Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen 6.6 todistus). (xh)(yh) = (xy)h Ratkaisu: Aiemmin on jo osoitettu, että laskutoimitus on mielekäs. Liitännäisyys: Olkoot x, y, z G. Tällöin (xh)((yh)(zh)) = (xh)((yz)h) (laskutoimituksen määritelmä) = (x(yz))h (laskutoimituksen määritelmä) = ((xy)z)h (liitännäisyys ryhmässä G) = ((xy)h)(zh) (laskutoimituksen määritelmä) = ((xh)(yh))(zh). (laskutoimituksen määritelmä) Neutraalialkio: Jos e on ryhmän G neutraalialkio, niin (xh)(eh) = (xe)h = xh = (ex)h = (eh)(xh) aina, kun x G. Siispä eh on neutraalialkio. Käänteisalkiot: Olkoon x G. Tällöin sillä on käänteisalkio x 1 G. Täten (xh)(x 1 H) = (xx 1 )H = eh = (x 1 x)h = (x 1 H)(xH), joten x 1 H on alkion xh käänteisalkio. 2. a) Anna esimerkki sellaisesta ryhmästä G ja sen aliryhmästä H, että asettamalla (xh)(yh) = (xy)h ei saada mielekästä laskutoimitusta joukossa G/H. b) Anna esimerkki tilanteesta, missä G on ryhmä, H G normaali aliryhmä ja xh hx jollakin h H.
Ratkaisu: a) Olkoon G = D 3 ja H = {id, S}. Tällöin R H = {R, R S} = (R S) H, 3. mutta ja (R H) (R H) = R 2 H H ((R S) H) (R H) = (R S R) H = S H = H. Siis yhdistettäessä saman sivuluokan eri edustajia päädyttiin edustajasta riippuen eri sivuluokkiin, mitä ei saisi tapahtua. Näin ollen laskutoimitus ei ole mielekäs. b) Olkoon G = D 3 ja H = {id, R, R 2 }. Tällöin H on normaali, koska sivuluokkia on Lagrangen lauseen nojalla täsmälleen kaksi: Tiedetään, että ainakin id H = H id, joten myös toisten sivuluokkien alkiot ovat samat. Tällöin siis erityisesti S H = H S, mutta kuitenkin esimerkiksi S R = R 2 S R S. Tarkastellaan ryhmää S 3 = {id, ρ, σ, τ, α, β}, missä ρ = (12), σ = (13), τ = (23), α = (132) ja β = (123). Määrää sen aliryhmän H := {e, σ} vasemmat sivuluokat. Voidaanko tekijäryhmä S 3 /H muodostaa (ts. onko H normaali)? Ratkaisu: Lagrangen lauseen perusteella aliryhmällä H on kolme eri vasenta sivuluokkaa. Nämä ovat e H = {e, σ} α H = {α e, α σ} = {α, ρ} β H = {β e, β σ} = {β, τ}. 4. Nyt esimerkiksi joten H ei ole normaali aliryhmä. H α = {e α, σ α} = {α, τ} α H, Määrää kolmion symmetriaryhmän D 3 = {id, R, R 2, S, R S, R 2 S}, missä R 3 = S 2 = id ja S R = R 2 S, kaikki aliryhmät. Ratkaisu: Jos H on ryhmän D 3 aliryhmä, niin Lagrangen lauseen nojalla H D 3, joten H {1, 2, 3, 6}. Jos H = 1, niin H = {id}. Jos H = 6, niin H = D 3.
Jos H = 2, niin H = {id, f}, missä ord(f) = 2. Siispä oltava H = {id, S} tai H = {id, R S} tai H = {id, R 2 S}. Jos H = 3, niin H = {id, f, g}, missä ord(f) = ord(g) = 3. Siispä oltava H = {id, R, R 2 }. 5. Näin ollen aliryhmät ovat {id}, S, R S, R 2 S, R ja D 3. Osoita, että kahden normaalin aliryhmän leikkaus on normaali aliryhmä. Ratkaisu: Oletetaan, että G on ryhmä, ja että H 1 sekä H 2 ovat sen normaaleja aliryhmiä. Olkoon x G ja h H 1 H 2. Yritetään osoittaa, että x(h 1 H 2 ) = (H 1 H 2 )x. Koska H 1 on normaali aliryhmä ja h H 1, niin xh xh 1 = H 1 x. Täten on olemassa sellainen k H 1, että xh = kx. Vastaavasti on olemassa sellainen l H 2, että xh = lx. Mutta nythän (xh =)kx = lx, mistä supistamalla saadaan k = l. Siispä xh = kx, missä k H 1 H 2. Täten x(h 1 H 2 ) (H 1 H 2 )x. 6. 7. Osajoukkouden toinen suunta voidaan todistaa täysin vastaavasti. Olkoon G ryhmä ja x, y, z G. Tiedetään, että ord(x) = 8, ord(y) = 12 ja ord(z) = 14. Montako alkiota ryhmässä G on vähintään oltava? Ratkaisu: Lagrangen lauseen nojalla lukujen 8, 12 ja 14 on oltava luvun G tekijöitä (koska ne ovat aliryhmien alkioiden lukumääriä). Siispä G pyj(8, 12, 14) = 168 Todista Cayleyn lause: Jokaiselle ryhmälle G on olemassa upotus symmetriseen ryhmään S G = {bijektiot G G}. (Vinkki: Lauseessa 2.5 on osoitettu, että ϕ g : G G, x g x on bijektio kaikilla g G.) Ratkaisu: Olkoon G ryhmä. Määritellään kuvaus ψ : G S G, g ϕ g, missä ϕ g on bijektio G G, x gx (lause 2.5). Osoitetaan, että ψ on haluttu upotus eli injektiivinen homomorfismi.
Injektiivisyys: Olkoon g Ker ψ. Tällöin ψ(g) = ϕ g = id G, joten ϕ g (x) = id G (x) eli gx = x kaikilla x G. Erityisesti g = e, joten Ker ψ = {e}. Täten ψ on injektio lauseen 5.6 nojalla. Homomorfisuus: Olkoot g, h G. Tällöin ψ(gh) = ϕ gh ja ψ(g) ψ(h) = ϕ g ϕ h. Nyt kaikilla x G joten ϕ gh = ϕ g ϕ h. ϕ gh (x) = (gh)x = g(hx) = g(ϕ h (x)) = ϕ g (ϕ h (x)) = (ϕ g ϕ h )(x), 8. Jatkoa harjoitusten 7 tehtävään 2. Tarkastellaan ryhmähomomorfismia f : Z 12 Z 4, n 12 n 4. Kirjoita ryhmien (Z 12 /Ker f, +) ja (Im f, +) kertotaulut. Mitä huomaat? Ratkaisu: Harjoitusten 7 tehtävän 2 perusteella Ker f = {0, 4, 8} = 4 ja Im f = Z 4. Koska Z 12 on Abelin ryhmä, niin 4 on normaali, ja tekijäryhmä Z 12 / 4 voidaan siis muodostaa. Tässä sivuluokat ovat 0 + 4 = {0, 4, 8}, 1 + 4 = {1, 5, 9}, 2 + 4 = {2, 6, 10}, 3 + 4 = {3, 7, 11}, joten Z 12 / 4 = {0 + 4, 1 + 4, 2 + 4, 3 + 4 }.
Merkintöjen helpottamiseksi kirjoitetaan tässä n + 4 = ˆn. Halutut kertotaulut ovat siis + 0 1 2 3 + ˆ0 ˆ1 ˆ2 ˆ3 0 0 1 2 3 ˆ0 ˆ0 ˆ1 ˆ2 ˆ3 1 1 2 3 0 ja ˆ1 ˆ1 ˆ2 ˆ3 ˆ0 2 2 3 0 1 ˆ2 ˆ2 ˆ3 ˆ0 ˆ1 3 3 0 1 2 ˆ3 ˆ3 ˆ0 ˆ1 ˆ2 Näistä nähdään heti, että ryhmät ovat isomorfiset. Itse asiassa sama tulos yleistyy isomorfialauseeksi, joka todistetaan myöhemmin.