H = H(12) = {id, (12)},
|
|
- Mika Katajakoski
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen oikea sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on Hg = {hg : h H}. Jos kommutatiivisen ryhmän G laskutoimitusta merkitään additiivisesti, niin aliryhmän H G sivuluokkia merkitään x + H tai H + x. Esimerkki 7.1. Aliryhmän qz < (Z, +) vasemmat ja oikeat sivuluokat toteuttavat n + qz{n + kq : k Z} =[n] ={kq + n : k Z} = qz + n. Edellä tehty havainto yleistyy kaikille kommutatiivisille ryhmille: Lemma 7.2. Olkoon G kommutatiivinen ryhmä. Tällöin jokaiselle x G ja jokaiselle H G pätee xh = Hx. Yleisessä tapauksessa alkion x vasen ja oikea sivuluokka eroavat toisistaan. Esimerkki 7.3. Olkoon H = (12) <S 3.AliryhmänH vasemmat sivuluokat ovat Sen oikeat sivuluokat ovat H =(12)H = {id, (12)}, (123)H =(13)H = {(123), (13)} (132)H =(23)H = {(132), (23)} H = H(12) = {id, (12)}, H(123) = H(23) = {(123), (23)} H(132) = H(13) = {(132), (13)}. Osoittautuu siis, että vasen sivuluokka (123)H ei esiinny lainkaan oikeiden sivuluokkien kokoelmassa. Siis vasemmat ja oikeat sivuluokat määräävät kaksi erilaista ryhmän G ositusta. Usein, jos ryhmä G ei ole kommutatiivinen, sillä on aliryhmiä, joiden vasemmat ja oikeat sivuluokat eroavat toisistaan. Harjoitustehtävissä tarkastellaan esimerkkiä ryhmästä, joka ei ole kommutatiivinen, vaikka sen kaikkien aliryhmien vasemmat ja oikeat sivuluokat ovat samoja joukkoja. Propositio 7.4. Olkoon G ryhmä, ja olkoon H sen aito aliryhmä. Tällöin (1) xh = yh, josjavainjosy 1 x H. ErityisestixH = H, josjavainjosx H. (2) Hx = Hy,josjavainjosxy 1 H. ErityisestiHx = H, josjavainjosx H. (3) Vasemmat sivuluokat muodostavat ryhmän G osituksen. (4) Oikeat sivuluokat muodostavat ryhmän G osituksen. (5) Joukot H, gh ja Hg ovat yhtä mahtavia. Todistus. (1) ja (2) Harjoitustehtävä 81. (3) Vasempien sivuluokkien yhdiste on koko G sillä x xh kaikille x G. Osoitetaan, että vasemmat sivuluokat leikkaavat vain, jos ne ovat sama sivuluokka. Jos xh yh, onh, h H, joillexh = yh.muttatällöin,josg xh, niin 42 ja ja
2 g = xh = yh h 1 h yh. Vastaavapäättelyantaainkluusiontoiseensuuntaan. Kohdan (4) todistus on samanlainen. (5) Vasemman sivuluokan määritelmän nojalla kuvaus l x : H xh, l x h = xh, on surjektio. Supistussäännöstä (Propositio 4.4) seuraa, että l x on injektio. Vastaavasti kuvaus r x : H Hx, r x h = hx, antaabijektionjoukkojenh ja Hx välille. Vasempien sivuluokkien kokoelmalle käytetään merkintää G/H ja oikeiden sivuluokkien kokoelmalle käytetään merkintää H\G. Jälkimmäistä merkintää ei pidä sekottaa joukkojen erotukseen. Aliryhmän qz < (Z, +) sivuluokkien joukko on kongruenssiluokkien joukko (modulo q). Tämä on selitys sille, miksi kongruenssiluokkien joukolle käytetään merkintää Z/qZ. Propositio 7.5. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. JoukotG/H ja H\G ovat yhtä mahtavia. Todistus. Harjoitustehtävä 82 Proposition 7.5 nojalla ryhmän ja sen aliryhmän suhdetta kuvaava indeksi voidaan määritellä kumman tahansa aliryhmään H liittyvän sivuluokkien joukon avulla. Määritelmä 7.6. Aliryhmän H<Gindeksi on Esimerkki 7.7. (a) [Z : qz] =q. [G : H] =#(G/H) =#(H\G). (b) Aliryhmän C 2 {e} indeksi ryhmässä C 2 C 2 on [C 2 C 2 : C 2 {e}] =2. (c) [R 2 : R {0}] =, silläsivuluokatovatr {a}, a R Lause 7.8 (Lagrangen lause). Olkoon G äärellinen ryhmä, ja olkoon H<G.Tällöin [G : H] = #G #H. Todistus. Proposition 7.4 nojalla kaikki sivuluokat ovat yhtä mahtavia ja sivuluokat osittavat ryhmän G. Propositio 7.9. Olkoon G äärellinen ryhmä. Tällöin g #G = e jokaiselle g G. Todistus. Olkoon H = g. Tällöin#H =ordg. KoskaLagrangenlauseenmukaan #G = k#h jollain k N, päteepotenssisääntöjenjalemman5.21nojalla g #G = g k ord g =(g ord g ) k = e k = e. Lagrangen lauseen mukaan äärellisen ryhmän G aliryhmien mahdolliset indeksit ja kertaluvut ovat ryhmän alkioiden lukumäärän tekijöitä. Esimerkki Ryhmän S 3 kertaluku on 6, jotensenaliryhmienmahdolliset kertaluvut (ja indeksit) ovat 1, 2, 3 ja 6. Kolmenalkionpermutaatioidenryhmän 43
3 aliryhmärakenne on yksinkertainen ja sitä voi havainnollistaa aliryhmäkaaviolla: S 3 (123) (12) (13) (23) I Aliryhmäkaaviossa tarkasteltavan ryhmän aliryhmät asetellaan päällekäisille tasoille kertaluvun mukaan siten, että kertaluvultaan suuremmat ryhmät ovat ylemmillä tasoilla. Aliryhmä H yhdistetään janalla ylemmällä tasolla olevan aliryhmän K kanssa, jos H<Keikä ole aliryhmää L, jollepäteeh<l<k.ylläolevassakaaviossa I = {id}. Esimerkissä 7.10 permutaatioryhmällä S 3 on jokaista Lagrangen lauseen sallimaa kokoa olevia aliryhmiä. Aina ei kuitenkaan ole näin, Esimerkissä 7.27 osoitetaan, että ryhmällä A 4 ei ole kuuden alkion aliryhmää vaikka #A 4 =12=2 6. Määritelmä Ryhmän G aliryhmä H on normaali, josgh = Hg kaikille g G. JosH on ryhmän G normaali aliryhmä, merkitään H G, aitoanormaalia aliryhmää merkitään H G. Propositioiden 7.4 ja 3.6 mukaan vasemmat sivuluokat määräävät ekvivalenssirelaation, jonka ekvivalenssiluokat ovat vasemmat sivuluokat ja vastaavasti oikeat sivuluokat määräävät ekvivalenssirelaation, jonka ekvivalenssiluokat ovat oikeat sivuluokat. Koska ryhmän G normaalin aliryhmän H vasemmat ja oikeat sivuluokat määräävät saman osituksen ryhmälle G, ne määräävät saman ekvivalenssirelaation. Tämä on oleellisen tärkeää tarkasteltaessa ryhmän G laskutoimituksen yhteensopivuutta sivuluokkien määräämän ekvivalenssirelaation kanssa Lauseessa Esimerkki (a) Ryhmä itse ja neutraalialkion muodostama aliryhmä ovat normaaleja. (b) Lemman 7.2 mukaan qz (Z, +) ja R {0} (R 2, +), muttaesimerkin7.3 aliryhmä (12) <S 3 ei ole normaali. Joissain tilanteissa normaalius on helppo tarkastaa: Propositio Jos aliryhmän H<Gindeksi on kaksi, se on normaali. Todistus. Vasemmat sivuluokat ovat H ja G H, samoin oikeat sivuluokat. Lemma Olkoon K G ja K<H<G.TällöinK H. Esimerkki Olkoon n 3. Olkoonτ S n alkeispermutaatio. Vasen siirto l τ on bijektio joukkojen A n ja S n A n välillä. Siis #S n = n! =2#A n.lagrangen lauseen nojalla [S n : A n ]=2,jotenProposition7.13nojallaA n S n kaikilla n 3. Erityisesti C 3 = (123) = A3 S 3. Usein on kätevä käyttää seuraavaa normaalin aliryhmän karakterisointia: Propositio Ryhmän G aliryhmä H on normaali, jos ja vain jos ghg 1 H kaikilla h H ja kaikilla g G 44
4 Todistus. Jos H on normaali, niin gh = Hg kaikille g G. Siisjokaiselleg G ja h H pätee gh = h g jollain h H, jotenghg 1 = h H. Jos taas kaikille g G ja h H pätee ghg 1 H, niinjokaiselleg G ja h H on h H, jolleghg 1 = h.siisgh = h g Hg,jotengH Hg kaikille g G. Samoin saadaan hg 1 g 1 H,jotenHg 1 g 1 H kaikille g G. Koskajokainen ryhmän G alkio on jonkin alkion käänteisalkio, väite on todistettu. Sovellamme Propositiota 7.16, kun osoitamme, että normaalit aliryhmät sopivat hyvin yhteen homomorfismien kanssa. Propositio Olkoon φ: G G ryhmähomomorfismi. (1) Olkoon H G. Tällöinφ(H) φ(g) =Imφ. (2) Olkoon H G.Tällöinφ 1 (H ) G. Todistus. (1) Proposition 5.8 nojalla φ(h) φ(g). Olkoota φ(h) ja g φ(g). Tällöin on a H ja g G, joillea = φ(a) ja g = φ(g). Nyt g a (g ) 1 = φ(g)φ(a)φ(g) 1 = φ(gag 1 ) φ(h), koska gag 1 H. VäiteseuraaProposition7.16nojalla. (2) Harjoitustehtävä 89. Propositiosta 7.17 saadaan tärkeänä erikoistapauksena Seuraus Ryhmähomomorfismin ydin on normaali aliryhmä. Esimerkki (a)a n =kerɛ S n. (b) SL n (R) =kerdet GL n (R). Proposition 7.17 kohdassa (1) on syytä pitää mielessä, että φ(h) ei välttämättä ole ryhmän G normaali aliryhmä: Jos H<Gon aliryhmä, joka ei ole normaali ja jos φ: G G on inkluusiokuvaus, ei tietenkään φ(h) =H ole ryhmän G normaali aliryhmä. Lause Olkoon G ryhmä ja olkoon H G aliryhmä. Tällöin vasempien tai oikeiden sivuluokkien määräämä ekvivalenssirelaatio on yhteensopiva ryhmän G laskutoimituksen kanssa, jos ja vain jos H on ryhmän G normaali aliryhmä. Todistus. (1) Oletetaan, että H on normaali. Olkoot x xh ja y yh. Tällöinon h 1,h 2,h 3 H, joillex = xh 1, y = yh 2 ja normaaliusoletuksen nojalla h 1 y = yh 3, joten x y = xh 1 yh 2 = xyh 3 h 2 xyh. Siis x y H = xyh Proposition 7.4 nojalla ja laskutoimitus on yhteensopiva sivuluokkien määräämän ekvivalenssirelaation kanssa. (2) Jos laskutoimitus on yhteensopiva vasempien sivuluokkien määräämän relaation kanssa, niin G/H varustettuna tekijälaskutoimituksella on ryhmä: Tekijälaskutoimituksen assosiatiivisuus osoitettiin Propositiossa 3.9. Koska luonnollinen homomorfismi on surjektiivinen, niin Proposition 1.16 nojalla se kuvaa ryhmän G neutraalialkion tekijälaskutoimituksen neutraalialkioksi, joka siisonh.tekijälaskutoimituksen määritelmän mukaan kaikille gh G/H pätee (gh)(g 1 H)=H, jotenlaskutoimituksella varustetun joukon G/H jokaisella alkiolla on käänteisalkio. Luonnollinen homomorfismi on siis ryhmähomomorfismi G G/H ja sen ydin on H. Proposition7.17nojallaH on normaali. Lauseen 7.20 todistuksesta saadaan myös seuraava tulos: 45
5 Seuraus Jos H G, niintekijäjoukkog/h varustettuna tekijälaskutoimituksella on ryhmä. Tekijäryhmän G/H neutraalialkio on H. Ryhmää G/H kutsutaan normaalin aliryhmän H määräämäksi ryhmän G tekijäryhmäksi. EsimerkiksiryhmäZ/qZ, jotatarkasteltiinesimerkin4.2kohdassa(a), on kongruenssia a b mod q vastaava kokonaislukujen ryhmän tekijäryhmä. Additiivisen ryhmän alkion x sivuluokalle käytetään merkintää x + H ja tekijäryhmän laskutoimitus on siis tällä merkintätavalla (x + H)+(y + H) =(x + y)+h. Sykliset ryhmät käyttäytyvät hyvin tekijäryhmienkin suhteen Propositio Jokainen syklisen ryhmän tekijäryhmä on syklinen. Todistus. Harjoitustehtävä 91. Todistamme seuraavaksi tärkeimmän tekijäryhmiä koskevan tuloksen. Todistus on Lauseen 5.18(1) todistuksen yleistys. Lause 7.23 (Ryhmien (ensimmäinen) isomorfismilause). Olkoon φ: G G ryhmähomomorfismi. Tällöin Im φ = G/ ker φ. Todistus. Jos x ker φ = y ker φ, niinproposition7.4nojallajollainh ker φ pätee y = xh. Siis φ(y) =φ(xh) =φ(x)φ(h) =φ(x)e = φ(x). Tähän havaintoon perustuen määritellään kuvaus ψ : G/ ker φ Im φ, ψ(x ker φ) = φ(x), joka on homomorfismi: Olkoot x, y G. Tällöin ψ(x ker φ)ψ(y ker φ) = φ(x)φ(y) = φ(xy) = ψ(xy ker φ) = ψ(x ker φy ker φ). Määritelmän mukaan Im ψ Im φ ja jokaiselle x G pätee ψ(x ker φ) =φ(x), joten φ(x) Im ψ ja ψ on siis surjektio. Injektiivisyyden toteamiseksi osoitamme, että kuvauksen ψ ydin koostuu ainoastaan tekijäryhmän G/ ker φ neutraalialkiosta ker φ. Josψ(x ker φ) =e,niinφ(x) =e,jotenx ker φ, mistäproposition7.4(1) nojalla seuraa x ker φ =kerφ. Seuraus Surjektiiviselle ryhmähomomorfismillle φ: G G pätee [G :kerφ] =#G. Lause Olkoon φ: G G surjektiivinen ryhmähomomorfismi ja olkoon H G.TällöinG/φ 1 (H ) = G /H. Todistus. Proposition 7.17(2) mukaan H = φ 1 (H ) G. Olkoonπ : G G /H luonnollinen homomorfismi. Tällöin ψ = π φ: G G /H on surjektiivinen homomorfismi, jonka ydin on H. Lauseen7.23mukaanG/H = G /H. Esimerkki (a) [Z 2 :(2Z) 2 ]=4sillä luonnollinen homomorfismi on surjektio, jonka ydin on (2Z) 2. Z 2 (k 1,k 2 ) (k 1 +2Z,k 2 +2Z) (Z/2Z) 2 (b) GL n (R)/SL n (R) = R koska det GL n (R) R on surjektiivinen homomorfismi. 46
6 Ryhmien isomorfismilause antaa vastaavuuden surjektiivisten homomorfismien ja normaalien aliryhmien välille: Jos N G, niinluonnollinenhomomorfismionsurjektiivinen homomorfismi G G/N, jonkaydinonh. Toisaaltajokaisenryhmähomomorfismin ydin on määrittelyryhmänsä normaali aliryhmä. Tämä vastaavuus ei kuitenkaan ole bijektiivinen sillä esimerkiksi homomorfismeilla exp: C C ja k exp, missäk on kompleksikonjugointi, on sama ydin ker k exp = ker exp = {k 2πi : k Z}. Esimerkki Alternoiva ryhmä A 4 on mielenkiintoinen muun muassa euklidisen geometrian kannalta: Olkoot v 1 =(1, 1, 1), v 2 =(1, 1, 1), v 3 =( 1, 1, 1) ja v 4 =( 1, 1, 1) kolme avaruuden R 3 pistettä. Tetraedri T = {a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 + a 4 v 4 : a 1,a 2,a 2,a 4 [0, 1]} on yksi kolmiulotteisen euklidisen avaruuden säännöllisistä monitahokkaista. Sillä on neljä kärkipistettä, sivua ja tahoa. Kaikki tetraedrin sivut ovat yhtä pitkiä keskenään ja kaikki tahot ovat tasasivuisia kolmioita. Tällä tavalla muodostetun tetraedrin painopiste on 0. Toinen tapa konstruoida tetraedri on muodostaa pyramidi, jonka pohjan muodostavat ykkösen kolmannet juuret kompleksitasossa, joka ajatellaan avaruuden R 3 tasoksi C = {x R 3 : x 3 =0} ja valitsemalla neljänneksi kärjeksi (0, 0, 2). Tällöin minkä tahansa kahden kärjen etäisyys toisistaan on 3.Tällätavallamuodostetun 1 tetraedrin painopiste on (0, 0, 2 ). 2 Euklidisen avaruuden R n ortogonaaliryhmä on O(n) ={A GL n (R) :A t A = I n } ja sen normaali aliryhmä erityinen ortogonaaliryhmä on SO(n) ={A O(n) :deta =1}. Kolmilulotteisen avaruuden erityisen ortogonaaliryhmän SO(3) neutraalialkiosta poikkeavat alkiot vastaavat avaruuden R 3 kiertoja jonkin (origon kautta kulkevan) suoran ympäri. Olkoon T tetraedri, jonka painopiste on origossa. Esimerkin 6.6 tarkastelun yleistys kolmeen ulottuvuuteen osoittaa, että ryhmä A 4 on isomorfinen säännöllisen tetraedrin symmetriaryhmän {A SO(3) : A(T )=T } kanssa. Esimerkiksi jokainen 3-sykli vastaa tetraedrin kiertoa kulman 2π verran sellaisen suoran ympäri, joka kulkee tetraedrin kärjen ja sen vastakkaisen tahon keski- 3 pisteen kautta. Alternoivan ryhmän A 4 kertaluku on #A 4 =4!/2 =12.JosH<A 4 on aliryhmä, jonka kertaluku on 6, niinlagrangenlauseennojalla[a 4 : H] =2.Proposition7.13 nojalla H A 4,jotenensimmäisenisomorfismilauseennojallaA 4 /H = C 2.Siis kaikille g G pätee g 2 H = ghgh = H, jotenproposition7.4(1)nojallag 2 H kaikille g G. Kaikki 3-syklit ovat parillisia permutaatioita, joten ne kuuluvat ryhmään A 4.Jos g A 4 on 3-sykli, niin g = g 4 =(g 2 ) 2 H. Kaikki3-syklit siis sisältyvät aliryhmään H. KuitenkinryhmässäA 4 on 83-sykliä, joiden siis pitäisi sisältyä kuuden alkion aliryhmään. Siis ryhmällä A 4 ei ole kuuden alkion aliryhmää. 47
7 Ryhmän A 4 aliryhmärakenne on seuraavan kaavion mukainen: A K (123) (124) (134) (234) (12)(34) (13)(24) (14)(23) I Mitkä tahansa kaksi ryhmän A 4 kertaluvun 2 alkioista (12)(34), (13)(24) ja (14)(23) virittävät kaaviossa esiintyvän Kleinin neliryhmän K. Esimerkki (a) Harjoitustehtävässä 47 osoitettiin, että ryhmän G automorfismit muodostavat ryhmän Aut(G). Olkoona G. Kuvausφ a : G G, φ a (g) = aga 1 on ryhmän G automorfismi: Se on homomorfismi: φ a (g)φ a (g )=(aga 1 )(ag a 1 )=(ag)(a 1 a)(g a 1 )=(ag)e(g a 1 ) =(ag)(g a 1 )=a(gg )a 1 = φ(gg ). Se on myös bijektio, koska sillä on käänteiskuvaus φ 1 a : G G: φ 1 a (g) =a 1 ga. Kuvaus φ a on ryhmän G sisäinen automorfismi. Ryhmän G sisäiset automorfismit muodostavat sisäisten automorfismien ryhmän Inn(G) ={φ a : a G} Aut(G). Harjoitustehtävässä 92 osoitetaan, että sisäisten automorfismien ryhmä on automorfismiryhmän normaali aliryhmä. Tekijäryhmä Out(G) =Aut(G)/ Inn(G) on ryhmän G ulkoisten automorfismien ryhmä. (b) Automorfismi φ a on identtinen kuvaus täsmälleen silloin, kun aga 1 = g kaikilla g G. TämänehdontoteuttavatalkiotmuodostavatryhmänG keskuksen Z(G) ={z G : zg = gz kaikilla g G}. Harjoitustehtävässä 93 osoitetaan, että Z(G) on ryhmän G normaali aliryhmä. Jos G on kommutatiivinen, niin Z(G) =G, jotentekijäryhmäg/z(g) tavallaan kuvaa ryhmän G epäkommutatiivisuutta. (c) Kuvaus ρ: G Inn(G), ρ(a) =φ a,onhomomorfismi.tämätarkastetaankuten Proposition 6.8 todistuksessa: Jos a, b G, niinkaikillex G pätee ρ(ab)(x) =φ ab (x) =(ab)x(ab) 1 = a(bxb 1 )a 1 = φ a (φ b (x)) = ρ(a) ρ(b)(x). Sisäisten automorfismien määritelmän nojalla Im(ρ) =ρ(g) =Inn(G). Lisäksi ρ(g) on identtinen automorfismi täsmälleen silloin, kun g Z(G), jotenryhmienisomorfismilauseen nojalla pätee Inn(G) = G/Z(G). 48
8 ( ) 0 1 (d) Matriisi A = määrää ryhmän SL (Z) sisäisen automorfismin φ A, ( )( )( ) ( ) 0 1 a b 0 1 d c φ A (B) = = = 1 0 c d 1 0 b a t (B 1 ). Harjoitustehtävässä 46 osoitettiin, että kuvaukset B B 1 ja C t C eivät ole ryhmän SL 2 (Z) automorfismeja. Kuitenkin niiden yhdistetty kuvaus on automorfismi! Harjoitustehtäviä. Tehtävä 81. Olkoon G ryhmä ja olkoon H sen aliryhmä. Osoita, että xh = yh, jos ja vain jos y 1 x H Tehtävä 82. Olkoon G ryhmä ja olkoon H < G.Osoita,ettätekijäjoukkojen välinen kuvaus b : G/H H\G, b(ah) =Ha 1 on bijektio. Tehtävä 83. Täydennä diedriryhmän D 4 aliryhmäkaavio D 4 H 1 H 2 H J 1 J 2 J 3 J 4 J I Kaaviossa esiintyvien aliryhmien indeksit ovat [D 4 : J i ]=4ja [D 4 : H j ]=2kaikilla 1 i 5 ja 1 j 3. Olkoot ja A = B = ( ) i 0 SL 0 i 2 (C) ( ) 0 1 SL (C). Olkoon H = A, B < SL 2 (C) matriisien A ja B virittämä aliryhmä. Tehtävä 84. Osoita, että ryhmä H ei ole kommutatiivinen ja että #H =8. Tehtävä 85. Osoita, että ryhmällä H on aliryhmien H ja {I} lisäksi neljä aliryhmää, jotka ovat kaikki normaaleja. Tehtävä 86. Piirrä ryhmän H aliryhmäkaavio. 83 Vihje: Kaikki ryhmät H j, 1 j 3 eivät ole isomorfisia. 84 Vihje: Tarkasta ensin, että BA = AB ja käytä tätä tietoa ja Propositiota
9 Tehtävä 87. Olkoon G äärellinen ryhmä. Olkoot K<H<G.OsoitaLagrangen lauseen avulla, että indekseille pätee: [G : K] =[G : H][H : K]. Tehtävä 88. Olkoon G ryhmä. Olkoot K<H<Gsiten, että [G : H] < ja [H : K] <. Osoita,ettäindekseillepätee: [G : K] =[G : H][H : K]. Tehtävä 89. Olkoon φ: G G ryhmähomomorfismi. Olkoon H G.Osoita, että φ 1 (H ) G. Tehtävä 90. Olkoon t A neliömatriisin A transpoosi, ja olkoon I n identtinen n n- matriisi. Olkoon O(n) ={A GL n (R) :A t A = I n }. Osoita, että O(n) < GL n (R). OnkoO(n) GL n (R)? Tehtävä 91. Olkoon C syklinen ryhmä. Osoita, että kaikki ryhmän C tekijäryhmät ovat syklisiä. Tehtävä 92. Olkoon G ryhmä. Osoita, että ryhmän G sisäiset automorfismit muodostavat ryhmän Aut(G) normaalin aliryhmän. Tehtävä 93. Osoita, että ryhmän G keskus Z(G) on kommutatiivinen normaali aliryhmä. Tehtävä 94. Määritä ryhmien S 3, D 3 ja C 2 C 2 keskukset. Tehtävä 95. Määritä ryhmien S 3, D 3 ja C 2 C 2 sisäiset automorfismiryhmät. Tehtävä 96. Olkoon { H 3 = 1 a c } 0 1 b : a, b, c R Heisenbergin ryhmä, jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Osoita, että kuvaus ψ : H 3 (R 2, +), jokamääritelläänasettamalla ψ( 1 a c 0 1 b ) =(a, b), on homomorfismi ja määritä sen ydin. Osoita, että tekijäryhmä H 3 / ker ψ on isomorfinen ryhmän (R 2, +) kanssa. 88 Vihje: Oletetaan, että G = m i=1 a ih ja H = n j=1 b jk.osoita, että G = m i=1 n j=1 a ib j K. 50
Esko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
Lisätiedotjonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
LisätiedotH = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 8,
Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen
Lisätiedot(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin
LisätiedotMikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin
LisätiedotIdeaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat
Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :
Lisätiedot6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
Lisätiedotrenkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
LisätiedotALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN
ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN Algebra käsittelee laskemista. Osin tämä tarkoittaa numeroilla laskemista lukualueissa N, Z, Q, R, C laskutoimituksilla + ja ja niiden käänteisoperaatioilla ja / siinä
LisätiedotRyhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta
Ryhmäteoriaa 2. Ryhmän toiminta Permutaatiot kuvaavat jonkin perusjoukon alkioita toisikseen. Eräät permutaatiot jättävät joitain alkioita paikalleen, toiset liikuttavat kaikkia joukon alkioita. Kaikki
Lisätiedot3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2
3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 Olen valinnut kunkin luvun teemaksi yhden ryhmän. Ensimmäisen luvun teema on pienin epätriviaali ryhmä, eli ryhmä, jossa on kaksi alkiota. Merkitsen
LisätiedotMAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
LisätiedotTekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.
3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
Lisätiedot(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
LisätiedotTekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}.
Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa suuriin, helpommin käsiteltäviin osiin. Tämän jälkeen voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin
LisätiedotLuupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014
Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Perusteita 3 1.1 Kuvauksista............................ 3 1.2 Relaatioista............................
LisätiedotLaitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn
Lisätiedota 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.
Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a
LisätiedotEräitä ratkeavuustarkasteluja
Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................
LisätiedotTekijäryhmät ja homomorsmit
Tekijäryhmät ja homomorsmit LuK-tutkielma Henna Isokääntä 1953004 henna.isokaanta@gmail.com Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto Kevät 2019 Sisältö Johdanto 1 1 Tekijäryhmät 1 2 Homomorsmit 3 Lähdeluettelo
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Matti
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
LisätiedotAlgebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen
Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
Lisätiedot1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,
LisätiedotTransversaalit ja hajoamisaliryhmät
Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,
LisätiedotJarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
LisätiedotToisin sanoen kyseessä on reaalitason vektoreiden relaatio. v w v =k w jollakink R\{0}.
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Harjoitus 7 Ratkaisuehdotus (5 sivua) JR 1. Määritellään reaalilukuparien relaatio seuraavasti: (x,y) (x,y ) x =kx jay=ky jollakink R\{0}. Toisin sanoen
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotLiite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
LisätiedotLUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
LisätiedotLisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä
14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 1 / 28 14A.1 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Tehtävä: Määrää ryhmän karakteritaulu,
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotSyklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016
Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................
LisätiedotLuuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006
Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3
Lisätiedotei ole muita välikuntia.
ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten
LisätiedotTIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta
Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala
LisätiedotSylowin lauseet äärellisten ryhmien luokittelussa
Sylowin lauseet äärellisten ryhmien luokittelussa Jenna Johansson 21. marraskuuta 2018 Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2018 Merkintöjä: N Luonnollisten
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotRyhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua)
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) 10.12.2012 Tehtävä 1. Osoita, että tuloryhmän R np R sp indeksi Rubikin paikkaryhmässä R p on täsmälleen kaksi. (Tarkkaan
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
LisätiedotSylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Aleksi Heiskanen Sylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Marraskuu 2017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta
LisätiedotAlgebra, 1. demot, 18.1.2012
Algebra, 1. demot, 18.1.2012 1. Mielivaltaisen joukon X potenssijoukko eli kaikkien osajoukkojen joukko P(X) määritellään asettamalla P(X) = {A A X}. Päteekö ehto X P(X) a) aina, b) ei koskaan tai c) joskus?
LisätiedotLineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016
Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................
LisätiedotRatkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä
Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Pro Gradu-tutkielma Lauri Kangas 2192712 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2015 Sisältö 1 Perusteita 3 1.1 Ryhmät ja aliryhmät.......................
LisätiedotHänessä kaikki viisauden ja tiedon aarteet ovat kätkettyinä. Vrt. Paavalin kirje kolossalaisille 2:2-3.
TAMPEREEN YLIOPISTO Matematiikan pro gradu -työ Seppo Janhonen Ryhmäteoriaa Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2001 Hänessä kaikki viisauden ja tiedon aarteet ovat kätkettyinä.
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]
LisätiedotFrobeniuksen lauseesta ja sen yleistyksistä
Frobeniuksen lauseesta ja sen yleistyksistä Pro Gradu-tutkielma Mikko Korhonen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perustuloksia 4 2.1 Lukuteoriaa............................
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
3.5. Sisäiset symmetriat. Kuution väritysesimerkissä 3.14 tarkasteltiin yksittäisten alkioiden sijaan niiden konjugaattiluokkia ja todettiin, että konjugaattiluokkia vastaavat luonnollisella tavalla erityyppiset
Lisätiedot1 Jakajat ja jäännökset. on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä
LUKUTEORIAA 1 Jakajat ja jäännökset Luonnollisten lukujen joukko N = { 0, 1, 2, 3,... } on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä Z + = {1,
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos
LisätiedotAlgebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D
LisätiedotAlgebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto
Algebra I Jokke Häsä ja Johanna Rämö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Kevät 2011 Sisältö 1 Laskutoimitukset 6 1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset..................... 6 1.1.1 Joukko..............................
Lisätiedot6 A 5, alternoiva ryhmä ja muita yksinkertaisia ryhmiä
6 A 5, alternoiva ryhmä ja muita yksinkertaisia ryhmiä Tutustukaamme ensin ryhmään S 5. Jos käytämme syklinotaatiota, toteamme, että se sisältää syklejä, jotka ovat muotoa (12), (123), (1234), (12345),
Lisätiedotπ πρ = ρ, π πρ 3 = ρ 3, πρ 2 πρ = ρ 3 πρ 2 πρ 3 = ρ.
Rhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 4, ratkaisuehdotus (5 sivua) 26.11.2012 Tehtävä 1. Etsi neliön smmetriarhmän D 8 kaikki alirhmät. Mitkä niistä ovat normaaleja? Ratkaisu. Rhmää D 8
LisätiedotAlgebra kl Tapani Kuusalo
Algebra kl. 2010 Tapani Kuusalo Sisältö Luku 1. Luonnolliset luvut 1 Luku 2. Laskutoimitukset 4 1. Laskutoimitusten yleiset ominaisuudet 4 2. Neutraali- ja käänteisalkiot 6 3. Indusoidut laskutoimitukset,
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
Lisätiedot5. Ryhmän kompositiotekijät
5. Ryhmän kompositiotekijät Jos ryhmästä löydetään normaali aliryhmä, sen suhteen voidaan muodostaa tekijäryhmä, jolla saattaa olla yksinkertaisempi rakenne kuin alkuperäisellä ryhmällä. Ryhmä voidaan
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos meillä
LisätiedotÄÄRELLISTEN RYHMIEN VAIHDANNAISUUSVERKOT MIIKKA SILFVERBERG
ÄÄRELLISTEN RYHMIEN VAIHDANNAISUUSVERKOT MIIKKA SILFVERBERG PRO GRADU HELSINGIN YLIOPISTON MATEMATIIKAN LAITOS TOUKOKUU 2008 SISÄLTÖ 1. Merkinnöistä ja määritelmistä 2 2. Johdanto 3 3. Ryhmäteoriaa 5 3.1.
LisätiedotCauchyn ja Sylowin lauseista
Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4
LisätiedotAlgebra 1. Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa talvella 2019
Algebra 1 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa talvella 2019 Sisältö I Renkaat ja kunnat 1 1 Laskutoimitukset 3 1.1 Laskutoimitus.................................. 3 1.2 Indusoitu laskutoimitus.............................
LisätiedotKvasiryhmistä ja niiden sovelluksista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Suvi Pasanen Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2016 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö PASANEN,
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotALGEBRA KEVÄT 2011 JOUNI PARKKONEN
ALGEBRA KEVÄT 2011 JOUNI PARKKONEN Sisältö 1. Laskutoimitukset 1 2. Kompleksiluvut 8 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut 15 4. Ryhmät 20 5. Aliryhmät 26 6. Aärelliset permutaatioryhmät
LisätiedotLineaariset Lien ryhmät / Ratkaisut 6 D 381 klo
JYVÄSKYLÄN YLIOPISO MAEMAIIKAN JA ILASOIEEEN LAIOS Lineaariset Lien ryhmät 27.2.2012 / t 6 D 381 klo. 16-18. 1. Matriisiryhmällä U(n) on epätriviaali normaali aliryhmä SU(n), joka on homomorfismin det
Lisätiedot5 Platonin kappaleet ja niiden symmetriaryhmät
5 Platonin kappaleet ja niiden symmetriaryhmät Ensimmäisissä luvussa käsittelimme ryhmäteorian peruskonsepteja niin kuin ne on 1800- ja 1900-luvuilla määritelty. Nyt palaamme ajassa taaksepäin, ja tutkimme,
Lisätiedot4 Abelin ryhmät. 4.1 Suorat tulot ja summat
4 Abelin ryhmät Ensimmäisellä ryhmäteorian kurssilla käytiin läpi lähinnä syklisiä ryhmiä. Tällä kurssilla keskitymme epäkommutatiivisiin esimerkkeihin. On kuitenkin niin, että äärellisesti viritettyjen
Lisätiedot802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
Lisätiedot802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä
802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
Lisätiedotkoska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan
4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta
LisätiedotTeema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
LisätiedotOnko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?
Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa II
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto. huhtikuuta 0 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
Lisätiedot