TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii: Tarkastelu kohteea ovat seuraavat χ - F-ja t-jakaumie omiaisuudet: (i) Jakauma määrittely (ii) Odotusarvo variassi ja stadardipoikkeama (iii) Tiheysfuktio kuvaaja : Mitä opimme? / Lisäksi tarkastelemme todeäköisyyksie määräämistä χ - F-ja t- jakaumista. Koska χ - F-ja t-jakaumie tiheysfuktioide itegraalifuktioita ei tueta χ - F-ja t-jakaumii liittyvie todeäköisyyksie määräämisessä o käytettävä jotaki umeerista meetelmää. Siksi useimmissa tilastotietee ja todeäköisyyslaskea oppikirjoissa o valmiit taulukot joissa o taulukoitua χ - F-ja t- jakaumie kertymäfuktioide arvoja ja iihi liittyviä todeäköisyyksiä. χ - F-ja t-jakaumie tiheysfuktioide lausekkeet johdetaa luvussa Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat. TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 : Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavia lukuja: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kertymäfuktio Jakaumie tuusluvut Jatkuvia jakaumia : Lisätiedot χ - F-ja t-jakaumie tiheysfuktioide lausekkeide johtamie vaatii satuaismuuttuja. potessi sekä riippumattomie satuaismuuttujie summa ja osamäärä jakaumie määräämistä; ks. lisätietoja luvusta Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Huomautus: Tarkoitamme satuaismuuttujie riippumattomuudella sitä että yhdekää satuaismuuttuja saamat arvot eivät riipu siitä mitä arvoja muut satuaismuuttujat saavat; käsite täsmeetää luvussa Kaksiulotteiset todeäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6
TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 Johdato >> Johdato Avaisaat Jakaumie määrittelemie TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Johdato Jakaumie määrittelemie ormaalijakauma avulla Useat tilastotietee keskeiset todeäköisyysjakaumat voidaa määritellä ormaalijakauma avulla. Tällaisia ovat esimerkiksi χ - F-ja t joilla o keskeie rooli otosjakaumie teoriassa estimoiissa ja testauksessa (ks. esim. lukuja Otos ja otosjakaumat Estimoiti ja Tilastolliste hypoteesie testaus). Tarkastelemme seuraavie jakaumie määrittelemistä ja omiaisuuksia: Johdato >> TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) määritelmä / Avaisaat Normaalijakauma Odotusarvo Stadardipoikkeama Stadardoitu ormaalijakauma Tiheysfuktio Todeäköisyyksie määräämie sta Vapausasteet Variassi Olkoot X i i = riippumattomia stadardoitua ormaalijakaumaa N() (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) oudattavia satuaismuuttujia. Tällöi Xi ~N() i = X X X TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4)
TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 määritelmä / vapausasteet Olkoo X = X i= i N()-jakautueide riippumattomie satuaismuuttujie X i i = eliösumma. Tällöi satuaismuuttuja X oudattaa a (Khii eliö -jakaumaa) :llä vapausasteella. Merkitä: X χ () vapausasteide lukumäärä viittaa yhteelaskettavie lukumäärää määrittelevässä eliösummassa. Vapausasteide lukumäärä o muodo määräävä parametri. TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Odotusarvo variassi ja stadardipoikkeama Tiheysfuktio kuvaaja Olkoo X χ (). Odotusarvo: E( X) = Variassi ja stadardipoikkeama: Var( X) = D ( X) = D( X) = χ () tiheysfuktiota välillä [ ] ku vapausasteide lukumäärällä o seuraavat arvot: (i) = (ii) = (iii) = 5 Jakauma odotusarvo: E( X ) = χ ().6 χ ().4 χ (). χ (5) 4 6 8 TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 Tiheysfuktio ja se kuvaaja omiaisuuksia tiheysfuktio f(x) o positiivie kaikille positiivisille argumeti arvoille: f(x) > x > Jos vapausasteide lukumäärä = ii tiheysfuktio o mootoisesti laskeva kaikille x. Jos vapausasteide lukumäärä 3 ii tiheysfuktio o yksihuippuie ja sillä o maksimi pisteessä x >. Todeäköisyyksie määräämie sta / Todeäköisyydet voidaa määrätä sta jakauma kertymäfuktio avulla. Olkoo X χ (). Olkoo satuaismuuttuja X kertymäfuktio F Chi (x ; ) = Pr(X x) Huomautus : Merkiällä F Chi (x ; ) o haluttu korostaa riippuvuutta se vapausasteide lukumäärästä. Huomautus : tiheysfuktio itegraalifuktiota ei tueta jote kertymäfuktio määräämisee o käytettävä jotaki umeerista meetelmää. TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8
TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 Todeäköisyyksie määräämie sta / Kaikkie a liittyvie tapahtumie todeäköisyydet saadaa todeäköisyyksistä Pr(X x) = F Chi (x ; ) todeäköisyyslaskea laskusäätöje avulla. Esimerkiksi Pr( a X b) = F ( b) F ( a) Chi Chi Todeäköisyyksie määräämie sta: Taulukot / taulukot sisältävät tavallisesti argumeti x arvoja taulukoitua useille vapausasteide lukumäärille mutta vai muutamille kertymäfuktio F Chi arvoille. Site taulukot mahdollistavat seuraava tehtävä ratkaisemise (taulukkokohtaisi rajoituksi): Määrää x ku todeäköisyys Pr(X x) = F Chi (x ; ) o aettu. TKK (c) Ilkka Melli (4) Todeäköisyyksie määräämie sta: Taulukot / Todeäköisyyksie määräämie sta: Esimerkki Koska a käytetää tavallisesti väliestimoii tai testaukse yhteydessä taulukoihi o yleesä taulukoitu sellaisia argumeti x arvoja jotka vastaavat todeäköisyyde Pr(X x) = F Chi (x ; ) komplemettitodeäköisyyttä p = Pr(X x) = F Chi (x ; ) χ () tiheysfuktiota välillä [ 35]. taulukoista saadaa: Aluee A pita-ala = Pr(3.94 X 8.37) = FChi (8.37;) FChi (3.94;) =.95.5 =.9 χ ()...8.5.6.4 A =.9..5 5 5 5 3 35 3.94 8.37 TKK (c) Ilkka Melli (4) TKK (c) Ilkka Melli (4) Todeäköisyyksie määräämie sta: Ohjelmat Olkoo X χ (). Moet tietokoeohjelmat mahdollistavat seuraavie tehtävie ratkaisemise ilma taulukoide asettamia rajoituksia: (i) Määrää todeäköisyys Pr(X x) = F Chi (x ; ) ku x o aettu. (ii) Määrää x ku todeäköisyys Pr(X x) = F Chi (x ; ) o aettu. Johdato >> TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4
TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 määritelmä / Avaisaat Normaalijakauma Odotusarvo Stadardipoikkeama Stadardoitu ormaalijakauma Tiheysfuktio Todeäköisyyksie määräämie sta Vapausasteet Variassi Olkoot Y i i = m ja X i i = riippumattomia stadardoitua ormaalijakaumaa N() (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) oudattavia satuaismuuttujia. Tällöi Yi ~ N() i= m Xi ~ N() i = Y Y Ym X X X ja edellee m Y = Y ~ χ ( m) X = X ~ χ ( ) Y X i i= i= i TKK (c) Ilkka Melli (4) 6 määritelmä / vapausasteet Olkoo Y Y F = m = X m X jossa Y ~ χ ( m) X ~ χ ( ) Y X Tällöi satuaismuuttuja F oudattaa Fisheri F- jakaumaa m:llä ja :llä vapausasteella. Merkitä: F F(m ) vapausasteide lukumääristä esimmäie (m) viittaa yhteelaskettavie lukumäärää määrittelevä lausekkee osoittajassa. vapausasteide lukumääristä toie () viittaa yhteelaskettavie lukumäärää määrittelevä lausekkee imittäjässä. Vapausasteide lukumäärät m ja ovat muodo määrääviä parametreja. TKK (c) Ilkka Melli (4) 7 TKK (c) Ilkka Melli (4) 8 Odotusarvo variassi ja stadardipoikkeama omiaisuuksia Olkoo F F(m ). Odotusarvo: E( F) = > Variassi ja stadardipoikkeama: ( m+ ) Var( F) = D ( F) = > 4 m ( ) ( 4) ( m+ ) D( F) = > 4 m ( ) ( 4) Olkoo F F(m ). Tällöi myös /F o F-jakautuut mutta vapausastei ja m: ~ F( m ) F TKK (c) Ilkka Melli (4) 9 TKK (c) Ilkka Melli (4) 3
TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Tiheysfuktio kuvaaja Tiheysfuktio ja se kuvaaja omiaisuuksia F(m ) tiheysfuktiota välillä [ 5] ku vapausasteide lukumäärillä m ja o seuraavat arvot: (i) m = = 4 (ii) m = 4 = (iii) m = 4 = 4 Jakauma odotusarvo: E( F) = > F(m ).4. F(4 4).8.6 F( 4).4 F(4 ). 3 4 tiheysfuktio f(x) o positiivie kaikille positiivisille argumeti arvoille: f(x) > x > Jos osoittaja vapausasteide lukumäärä m = ii tiheysfuktio o mootoisesti laskeva kaikille x. Jos osoittaja vapausasteide lukumäärä m 3 ii tiheysfuktio o yksihuippuie ja sillä o maksimi pisteessä x >. TKK (c) Ilkka Melli (4) 3 Todeäköisyyksie määräämie sta / Todeäköisyydet voidaa määrätä sta jakauma kertymäfuktio avulla. Olkoo F F(m ). Olkoo satuaismuuttuja F kertymäfuktio F F (x ; m )= Pr(F x) Huomautus : Merkiällä F F (x ; m ) o haluttu korostaa riippuvuutta se vapausasteide lukumääristä m ja. Huomautus : tiheysfuktio itegraalifuktiota ei tueta jote kertymäfuktio määräämisee o käytettävä jotaki umeerista meetelmää. Todeäköisyyksie määräämie sta / Kaikkie a liittyvie tapahtumie todeäköisyydet saadaa todeäköisyyksistä Pr(F x) = F F (x ; m ) todeäköisyyslaskea laskusäätöje avulla. Esimerkiksi Pr( a F b) = F ( b) F ( a) F F TKK (c) Ilkka Melli (4) 33 TKK (c) Ilkka Melli (4) 34 Todeäköisyyksie määräämie sta: Taulukot /4 taulukot sisältävät tavallisesti argumeti xarvojataulukoituia useille vapausasteide lukumäärille m ja mutta vai muutamille kertymäfuktio F F arvoille. Site taulukot mahdollistavat seuraava tehtävä ratkaisemise (taulukkokohtaisi rajoituksi): Määrää x ku todeäköisyys Pr(F x) = F F (x ; m ) o aettu. Todeäköisyyksie määräämie sta: Taulukot /4 Koska a käytetää tavallisesti väliestimoii tai testaukse yhteydessä taulukoihi o yleesä taulukoitu sellaisia argumeti x arvoja jotka vastaavat todeäköisyyde Pr(F x) = F F (x ; m ) komplemettitodeäköisyyttä p = Pr(F x) = F F (x ; m ). TKK (c) Ilkka Melli (4) 35 TKK (c) Ilkka Melli (4) 36
TKK (c) Ilkka Melli (4) 37 Todeäköisyyksie määräämie sta: Taulukot 3/4 Todeäköisyyksie määräämie sta: Taulukot 4/4 Moet taulukot sisältävät todeäköisyyksiä p = Pr(F x) = F F (x ; m ) vastaavia argumeti arvoja vai ku p o piei. Suurii p: arvoihi liittyvät argumeti x arvot saadaa tällöi käyttämällä hyväksi sitä että /F ~ F( m). Olkoo F m F(m ) ja p = Pr(F m a) F m F( m) ja p = Pr(F m b) Tällöi a = b Oletukset: F m F(m ) F m F( m) p = Pr(F m a) = Pr(F m b) Tällöi: a = b Perustelu: Todetaa esi että p = Pr( Fm a) = Pr( Fm a) = Pr( / Fm a) = Pr( Fm / a) = Pr( Fm / a) Toisaalta: p = Pr( Fm b) Yhdistämällä tulokset saadaa: b= / a TKK (c) Ilkka Melli (4) 38 Todeäköisyyksie määräämie sta: Esimerkki Todeäköisyyksie määräämie sta: Ohjelmat F( 6) tiheysfuktiota välillä [ 4]. taulukoista saadaa: Aluee A pita-ala = Pr(.385 F.993) = FF (.993;6) FF (.385;6) =.95.5 =.9 F( 6).8.5.6.4 A =.9..5 3 4.385.993 Olkoo F F(m ). Useat tietokoeohjelmat mahdollistavat seuraavie tehtävie ratkaisemise ilma taulukoide asettamia rajoituksia: (i) Määrää todeäköisyys Pr(F x) = F F (x ; m ) ku x o aettu. (ii) Määrää x ku todeäköisyys Pr(F x) = F F (x ; m ) o aettu. TKK (c) Ilkka Melli (4) 39 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 Johdato >> Avaisaat Normaalijakauma Odotusarvo Stadardipoikkeama Stadardoitu ormaalijakauma Tiheysfuktio Todeäköisyyksie määräämie sta Vapausasteet Variassi TKK (c) Ilkka Melli (4) 4 TKK (c) Ilkka Melli (4) 4
TKK (c) Ilkka Melli (4) 43 määritelmä / määritelmä / Olkoot Y ja X i i = riippumattomia stadardoitua ormaalijakaumaa N() (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) oudattavia satuaismuuttujia. Tällöi Y ~N() Xi ~N() i= Y X X X ja edellee X = X ~ χ ( ) i= Y X i Olkoo Y t = X jossa Y ~N() X ~ χ ( ) Y X Tällöi satuaismuuttuja t oudattaa Studeti t- jakaumaa :llä vapausasteella. Merkitä: t t() TKK (c) Ilkka Melli (4) 44 vapausasteet Odotusarvo variassi ja stadardipoikkeama vapausasteide lukumäärä viittaa yhteelaskettavie lukumäärää määrittelevä lausekkee imittäjässä. Vapausasteide lukumäärä o muodo määräävä parametri. Olkoo t t(). Odotusarvo: E( t) = > Variassi ja stadardipoikkeama: t t D( t) = > Var( ) = D ( ) = > TKK (c) Ilkka Melli (4) 45 TKK (c) Ilkka Melli (4) 46 Tiheysfuktio kuvaaja Tiheysfuktio ja se kuvaaja omiaisuuksia / t() tiheysfuktiota välillä [ 4 +4] ku vapausasteide lukumäärällä o seuraavat arvot: (i) = (ii) = 3 (iii) = Jakauma odotusarvo: E( t) = > Kuvaa o piirretty myös stadardoidu ormaalijakauma N( ) tiheysfuktio kuvaaja. TKK (c) Ilkka Melli (4) 47.5.4.3.. t() ja N() t(3) t() t() N() -4-3 - - 3 4 tiheysfuktio f(x) o kaikkialla positiivie: f(x) > kaikille x Tiheysfuktio o yksihuippuie. Tiheysfuktio saa maksimiarvosa pisteessä. Tiheysfuktio o symmetrie suora x = suhtee: f( x) = f(+ x) kaikille x TKK (c) Ilkka Melli (4) 48
TKK (c) Ilkka Melli (4) 49 Tiheysfuktio ja se kuvaaja omiaisuuksia / ja tiheysfuktio muistuttaa stadardoidu ormaalijakauma N( ) tiheysfuktiota mutta o sitä paksuhätäisempi. tiheysfuktio muistuttaa stadardoidu ormaalijakauma N( ) tiheysfuktiota sitä voimakkaammi mitä suurempi o vapausasteide lukumäärä (ks. tarkemmi >). Olkoo t t(). Tällöi t ~ F( ) Olkoo F ~ F( ). Tällöi F t ( ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 ja ormaalijakauma / ja ormaalijakauma / lähestyy stadardoitua ormaalijakaumaa ku vapausasteide lukumäärä kasvaa. Olkoo t t(). Tällöi lim Pr( t z) =Φ( z) + missä Φ o stadardoidu ormaalijakauma N( ) kertymäfuktio. Koska lähestyy vapausasteide lukumäärä kasvaessa stadardoitua ormaalijakaumaa N( ) voidaa a liittyvät todeäköisyydet määrätä suurilla vapausasteide luvuilla stadardoidu ormaalijakauma avulla. Normaalijakauma-approksimaatio lle o kohtuullie jo ku = 3 ja riittävä useimpii tarkoituksii ku >. Esimerkki: Edellä esitetyssä kuvassa ei t()- ja N()-jakaumie tiheysfuktioide kuvaajia pysty erottamaa toisistaa (ks. <). TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 TKK (c) Ilkka Melli (4) 5 Todeäköisyyksie määräämie sta / Todeäköisyyksie määräämie sta voidaa tehdä jakauma kertymäfuktio avulla. Olkoo t t(). Olkoo satuaismuuttuja t kertymäfuktio F t (x ; )= Pr(t x) Huomautus : Merkiällä F t (x ; ) o haluttu korostaa riippuvuutta se vapausasteide lukumäärästä. Huomautus : tiheysfuktio itegraalifuktiota ei tueta jote kertymäfuktio määräämisee o käytettävä jotaki umeerista meetelmää. Todeäköisyyksie määräämie sta / Kaikkie tapahtumie todeäköisyydet saadaa todeäköisyyksistä Pr(t x) = F t (x ; ) todeäköisyyslaskea laskusäätöje avulla. Esimerkiksi Pr( a t b) = F( b) F( a) t t TKK (c) Ilkka Melli (4) 53 TKK (c) Ilkka Melli (4) 54
TKK (c) Ilkka Melli (4) 55 Todeäköisyyksie määräämie sta: Taulukot /3 taulukot sisältävät tavallisesti argumeti xarvojataulukoitua useille vapausasteide lukumäärille mutta vai muutamalle kertymäfuktio F t arvolle. Site taulukot mahdollistavat seuraava tehtävä ratkaisemise (taulukkokohtaisi rajoituksi): Määrää x ku todeäköisyys Pr(t x) = F t (x ; ) o aettu. Todeäköisyyksie määräämie sta: Taulukot /3 Koska a käytetää tavallisesti väliestimoii tai testaukse yhteydessä taulukoihi o yleesä taulukoitu sellaisia argumeti x arvoja jotka vastaavat todeäköisyyde Pr(t x) = F t (x ; ) komplemettitodeäköisyyttä p = Pr(t x) = F t (x ; ) TKK (c) Ilkka Melli (4) 56 Todeäköisyyksie määräämie sta: Taulukot 3/3 Todeäköisyyksie määräämie sta: Esimerkki Moissa taulukoissa o taulukoitu todeäköisyyksiä p = Pr( t x) = Ft ( x; ) vai ku x. Tällöi todeäköisyydet Pr(t x) saadaa soveltamalla tiheysfuktio symmetrisyyttä suora x = suhtee: Pr( t x) = Pr( t x) = Pr( t x) = Pr( t x) = p t() tiheysfuktiota välillä [ 4]. taulukoista saadaa: Aluee A pita-ala = Pr(.8 t +.8) = Ft ( +.8;) Ft (.8;) =.95.5 =.9 t().5.4.3..5.5. A =.9-4 -3 - - 3 4.8 +.8 TKK (c) Ilkka Melli (4) 57 TKK (c) Ilkka Melli (4) 58 Todeäköisyyksie määräämie sta: Ohjelmat Olkoo t t(). Moet tietokoeohjelmat mahdollistavat seuraavie tehtävie ratkaisemise: (i) Määrää todeäköisyys Pr(t x) = F t (x ; ) ku x o aettu. (ii) Määrää x ku todeäköisyys Pr(t x) = F t (x ; ) o aettu. TKK (c) Ilkka Melli (4) 59