2 5. Lieaarise optimoii perusprobleemat Optimoitiprobleema o lieaarise optimoii tehtävä, jos kohdefuktio o lieaarie fuktio ja rajoitusehdot ovat lieaarisia yhtälöitä tai lieaarisia epäyhtälöitä. Yleisessä muodossaa tehtävä voi sisältää molempia rajoitustyyppejä. Lieaarise optimoii probleema voidaa aia saattaa stadardimuotoo, joita o kaksi: stadardi epäyhtälöprobleema ja stadardi yhtälöprobleema. Stadardi epäyhtälöprobleema ma z c + +c a + + a b a m + + a m b m,, Tässä optimoii suutaa voi olla myös miimoiti. Probleema voidaa esittää tiiviisti matriisie avulla: ma z c T A b, m missä, c, b ja A o m -matriisi. Probleema käypä joukko o silloi S { A b, }.
22 Stadardi yhtälöprobleema ma z c + +c a + + a b a m + + a m b m,, Tässäki optimoii suutaa voi olla myös miimoiti. Probleema voidaa samoi esittää matriisie avulla: ma z c T A b, m missä, c, b ja A o m -matriisi. Probleema käypä joukko o silloi S { A b, }.
2 Jokaie lieaarise optimoii tehtävä voidaa muutaa äihi stadardimuotoihi (kumpaa hyväsä):. Epäyhtälö " " saadaa yhtälöksi lisäämällä vasemmalle puolelle pelivaramuuttuja. 2. Epäyhtälö " " saadaa yhtälöksi vähetämällä vasemmalta puolelta ylijäämämuuttuja.. Yhtälöä "vase oikea" vastaa epäyhtälöpari "vase oikea" ja "vase oikea". 4. Jos etumerkkiehto k puuttuu (eli k o etumerkiltää vapaa muuttuja), ii muuttuja k voidaa korvata kahde ei-egatiivise muuttuja k + ja k - erotuksella: k k + - k -. Tämä esitys tulee yksikäsitteiseksi, jos lisäksi vaaditaa k k + + k -.
24. Lieaarise optimoititehtävä ratkaisut Lieaarise optimoii ratkaisualgoritmeista esimmäie kehitettii jo 94-luvu lopulla (George Datzig) ja tämä simple-algoritmia tuettu meetelmä o edellee käytetyimpiä optimoitialgoritmeja. Meetelmä perustuu siihe, että optimiratkaisuia o aia käyvä jouko kärkipiste, tai sitte äärellistä optimiratkaisua ei ole. Tämä ähdää (ku raka) seuraavasti: Koska lieaarise optimoii käypä joukko o aia moitahokas, jokaie käypä ratkaisu o Mikowski esityslausee perusteella lausuttavissa kärkipisteide i ja äärisäteide d j avulla: e + e N N + t d + t K d K ; e + e N, e i, t j. Silloi kohdefuktio z c T arvo pisteessä o z c T (e + e N N + t d + t K d K ) e c T + e N c T N + t c T d + t K c T d K. Rajoitetulla tehtävällä (ei äärisäteitä) kohdefuktio arvo o siis koveksi kombiaatio reaaliluvuista z i c T i, i,,n. Mutta äärellise moe reaaliluvu z i koveksi kombiaatio o väli [mi z i, ma z i ]. Siis kohdefuktio z saa maksimisa jossaki kärkipisteessä, samoi miimisä. Jos maksimiarvo saadaa useammassa kärkipisteessä, se saadaa jokaisessa äide koveksissa kombiaatiossaki. Esimerkiksi jos maksimi saavutetaa kahdessa kärkipisteessä, koko äide välillä oleva särmä o myös optimaalie. Sama pätee miimille. Rajoittamattomalla tehtävällä o säteitä. Jos kyseessä o maksimoiti ja jollaki säteellä d j o voimassa c T d j >, ii kohdefuktio saa rajattoma suuria arvoja, eli "ma z ". Jos taas miimoititehtävälle o jollaki säteellä d j voimassa c T d j <, ii "mi z - ".
25 Alla olevissa kuvissa kohdefuktio zc T tasa-arvosuoria o merkitty katkoviivalla. Kohdefuktio kasvusuuta o silloi vektori c suuta. Toisessa kuvassa mi z saavutetaa jaalla [, 2 ], kolmaessa puolisuoralla, ja eljäessä miz-. 2 c c c Edellä todetuista seuraa, että optimitehtävä ratkaisu voitaisii periaatteessa hakea tutkimalla kohdefuktio arvo äärellise moessa kärkipisteessä tai äärellise moessa äärisäteessä. Kärkipisteitä o esimerkiksi muotoa S { A b, } olevalla moitahokkaalla eimmillää m+ kappaletta, ku A o m -matriisi. Tämä o kuiteki erittäi opeasti kasvava luku m: ja : fuktioa, esimerkiksi.2 4, ku m5, 5. Näi olle ratkaisemie täydellisellä läpikäymisellä ei ole mahdollista reaalisissa ogelmissa.
2 Stadardimuotoisessa lieaarisessa optimoititehtävässä käypä joukko o avaruude ei-egatiivisessa ortatissa eli sopessa sijaitseva moitahokas. Kohdefuktio z tietty arvo z taas vastaa hypertasoa c T z, joka o z: tasa-arvopita. Siis geometrisesti lieaarisessa optimoiissa o kysymys sellaise tasa-arvopia hakemisesta, joka edustaa suurita (maksimoiti) tai pieitä (miimoiti) arvoa ja vielä leikkaa käypää joukkoa. Tämä tarjoaa mahdollisuude ratkaista kahde ja kolme muuttuja probleemat graafisesti. Esimerkiksi jos tehtävää o kahde muuttuja stadardi miimoititehtävä, ii käypä joukko o taso esimmäisessä eljäeksessä oleva moikulmio (taso versio moitahokkaasta). Optimi löydetää siirtämällä tasa-arvosuoraa z vakio väheemissuutaa -c ii kaua, kues se viimeise kerra hipaisee moikulmiota. Tämä kosketuskohta o yleesä moikulmio kärki, mutta voi olla myös koko sivu. Tai sitte voi käydä iiki, että tasa-arvosuoraa voi siirtää rajatta kohti äärettömyyttä, jolloi tehtävä ratkaisu o "mi z - ". 2 2 optimi -c Käypä joukko c + c22 s2, c + c22 s s2 < s
27 7. Simple-algoritmi Simple-algoritmi idea o geometrie ja yksikertaie. Siiä lähdetää jostaki kärkipisteestä liikkeelle ja tutkitaa ollaako optimikohdassa eli löytyykö aapurikärkipisteistä parempaa. Ellei, siirrytää johoki sellaisee aapurikärkee, jossa kohdefuktiolla o parempi arvo. Näi jatketaa, kues optimi o löydetty tai o havaittu sellaie äärisäde, joka ilmaisee rajattoma ratkaisu. Nämä geometriset tutkailut ja operaatiot voidaa tehdä matriisilaskealla. Otetaa perusprobleemaksi P stadardi yhtälömuotoie miimoititehtävä mi z c T A b (P), m missä, c, b, b ja A o m -matriisi. Oletamme lisäksi, että m ja että rak(a) m (eli suuri mahdollie). Nämä eivät ole yleisyyttä rajoittavia oletuksia. Jos imittäi olisi m>, ii yhtälöryhmässä A b olisi yhtälöitä eemmä kui tutemattomia ja liikkumavaraa optimoitii ei yleesä jäisi. Jos taas ragi o vajaa, ii se merkitsee, että matriisi A vaakariveissä o lieaarista riippuvuutta: joki rivi o muide lieaarikombiaatio. Tämä rivi ehto o silloi redudatti ja voidaa poistaa mallista. Redudati rajoitusyhtälö rivi saadaa selville esimerkiksi A T : redusoidusta riviporrasmuodosta. Kaikki e sarakkeet A T :ssa, joita vastaa rref(a T ):ssa johtava ykköe, muodostavat A T : sarake-avaruude kaa ja muut sarakkeet ovat iide lieaarikombiaatioita. Ja A T : sarakkeetha ovat A: vaakarivejä.
28 Edellä maiittii, että rajoitetussa tapauksessa optimi löytyy aia kärkipisteistä. Kärkipistee käsite o geometrie, jote tarvitsemme laskeallise tava se karakterisoitii. Koska rajoitusyhtälöissä A b o eemmä muuttujia () kui yhtälöitä (m), saadaa "ylimääräiset" -m ollaksi pakottamalla yhtälöryhmä, jossa o m muuttujaa ja m yhtälöä. Jos äi saatu yhtälöryhmä o ei-sigulaarie, ii saatua ratkaisua saotaa kataratkaisuksi. Jos ratkaisu o lisäksi kompoeteiltaa eiegatiivie, ii se o käypä kataratkaisu. Osoittautuu, että juuri ämä ovat geometrisesti katsoe käyvä jouko kärkipisteitä. { A b, } Ω Yhtälössä A b o siis m yhtälöä ja muuttujaa. Jos muuttujista asetetaa -m kpl olliksi, voidaa muut m kpl ratkaista jäljelle jääeestä yhtälöryhmästä, joka kerroimatriisi B o saatu A:sta poistamalla siitä ollattuja muuttujia vastaavat sarakkeet. Tämä sillä edellytyksellä, että B o käätyvä. Koska A: ragi o m, o A:ssa kuiteki olemassa tällaisia käätyviä m m-kokoisia osamatriiseja B. Oletetaa yt merkitöje yksikertaistamiseksi, että B koostuu A: m:stä esimmäisestä sarakkeesta, eli muuttujat m+,, o ollattu. Loput sarakkeet muodostavat matriisi N. Silloi yhtälö A b saa muodo A [B N] B N B B + N N b, missä B m ja N m +. Koska B o käätyvä, saadaa siis B ratkaistua muodossa
29 B B - b - B - N N. Jos tässä yt N, ii [ B T ] T [B - b ] T. Tällaie ratkaisu, jossa o -m kompoettia asetettu ollaksi, o siis tehtävä P kataratkaisu. Jos lisäksi B ii o käypä kataratkaisu. Matriisi B o vastaava kata. O mahdollista osoittaa, että geometrisesti tulkite o probleema P käypä kataratkaisu täsmällee silloi, ku se o käyvä moitahokkaa Ω A b, kärkipiste. { } Kataratkaisu o siis laskeallie esitystapa kärkipisteelle. Esimerkki Epäyhtälöt + 2 2, 2 rajoittavat taso moikulmio. Jos kaksi esimmäistä epäyhtälöä muutetaa pelivaramuuttujilla yhtälöiksi, saadaa probleema P mukaie käypä joukko + 2 + 2 + 4, 2,, 4 eli matriisimuodossa A b,,
missä A [a, a 2, a, a 4 ] b. Silloi kaikki mahdolliset kataratkaisut ja vastaavat kaat B o lueteltu ohessa:., 2 B b B 4 N 2. [ ], 4 a a B, 4 B b B 2 N. [ ], a 2 a B, 2 B b B 4 N 4. [ ], 4 a 2 a B, 4 2 B b B N 5. [ ], 4 a a B, 4 B b B 2 N
Näi siis kataratkaisut ovat, 2,, 4, 5, jotka ovat käypiä 4 :ta lukuu ottamatta. Jos tarkastellaa tilaetta alkuperäisessä avaruudessa eli muuttujie, 2 avulla, ii käypie kataratkaisuide kaksi esimmäistä kompoettia atavat moikulmio kärkipisteet: 2
2 Koska optimi löydetää kärkipisteistä, o siis "vai" tiedettävä, mitkä m muuttujaa ollataa, jotta loput voidaa ratkaista. Vaihtoehtoja o eimmillää m m kappaletta, joista tosi vai osa o käypiä eli kärkipisteitä. Optimaalisuuskriteeri saadaa käyvälle kataratkaisulle [B - b, ] T, ku sijoitetaa se kohdefuktioo ja verrataa arvoa mielivaltaise käyvä ratkaisu atamaa arvoo: y [y B T, y N T ] T c T c T y c B T B - b c B T y B + c N T y N c B T (B - b-b - Ny N ) + c N T y N c B T B - b + (c N T - c B T B - N)y N c T + cˆ T N y N, missä s. redusoidut kustaukset muodostavat vektori cˆ T N c T N - c T B B - N. Nähdää siis, että jos redusoidut kustaukset ovat ei-egatiivisia, ii c T y c T eli o miimikohta. Jos joki redusoitu kustaus o egatiivie: c ˆs <, ii valitsemalla y N te s [,,, t,,, ] T, missä t> o s:ellä paikalla, saadaa
y B B - b - B - Ny N B - tb - Ne s B - tb - a s B - ta s *. Tässä matriisi A muuttujaa s vastaava sarake Ne s a s joka muuettua eli B - :llä kerrottua o B - a s a s *. Kohdefuktio arvo äi määritellyllä käyvällä ratkaisulla y o c T y c T + cˆ T N y N c T + ct ˆs < c T, jote kohdefuktio arvo pieeee, ku siirrytää :stä y:hy. Siirtymie riippuu jatkuvasti parametristä t >, joka kasvaessaa pieetää kohdefuktio arvoa. Jos vektori a s *, ii vektori y pysyy käypää kaikilla t >, jolloi tehtävä o rajoittamato ja mi z -. Jos taas vektorilla a s * o positiivisia kompoetteja: a js * >, j J, ii käypyyde takia o oltava y B B - ta s * myös iillä eli j - t a js *, j J. Tästä ähdää, että parametria t voi hiata ylöspäi ii pitkälle, että esimmäie äistä saavuttaa arvo olla. Näi tapahtuu, ku t mi { j /a js * a js * > }. Jos tämä miimisuhdeluku saavutetaa ideksillä r: t r /a rs *, ii se merkitsee, että etie positiivie muuttuja r o ollattu, ja uudeksi positiiviseksi muuttujaksi tilalle tulee s. Silloi matriisi A sarakkeista koostuvasta kaasta B o poistettu s :ää vastaava sarake ja tilalle o tullut r :ää vastaava A: sarake, jolloi kata o B. Geometrisesti tämä merkitsee sitä, että kataa B vastaavasta kärjestä o siirrytty yhdellä vaihdolla toisee kärkee, joka o aapurikärki eli viereie kärki. Sitä vastaa kata B.
4 Simple-algoritmi miimoititehtävälle mi z c T A b (P), missä, c rak(a) m., b m, b, A o m -matriisi, m ja. Haetaa esimmäie kärkipiste ja sitä vastaava kata B. BB, NN 2. Ratkaistaa B yhtälöstä B B b eli B B - b.. Lasketaa redusoidut kustaukset cˆ T N c T N - c T B B - N. 4. Jos cˆ T N, ii lopetetaa: B o optimaalie kata ja tehtävä optimiratkaisu o [ T B T ] T ja z mi c T B B. 5. Muute valitaa vektorista cˆ T N egatiivie kompoetti, olkoo vastaava muuttuja s. Ratkaistaa a * s yhtälöstä Ba * s a s eli a s * B - a s.. Jos a s *, ii lopetetaa, tehtävä ratkaisu o mi z -. 7. Muute lasketaa suhdelukumiimi mi {( B ) j /a js * a js * > } ( B ) r /a rs *, josta käytetää hyväksi tieto, että se saavutetaa ideksillä r, joka vastaa muuttujaa q. 8. Muodostetaa uusi kata B vaihtamalla B:ssä siellä oleva matriisi A q. sarake A: s. sarakkeesee. 9. B B.. Jatketaa kohdasta 2.
5 Esimerkki mi z - - 2 2 + 2 - + 2, 2. Muutetaa stadardii yhtälömuotoo pelivaramuuttujilla, 4 : 2 + 2 + - + 2 + 4, 2,, 4. Siis matriisi A 2 ja b.. Esimmäie käypä kataratkaisu ähdää yt helposti, koska A sisältää I: ja b. Silloi voidaa valita BI (eli muuttujat, 2 asetetaa ) B B [a a 4 ] 2, N N [a a 2 ] 4 2 (muuttujie ideksie kirjapito) 2 [B N b] [I B - N B - b] (o rref valmiiksi) B, cb, cn, ĉ T N c T N - c T B B - 2 N [- -] - [ ] [- -].
Redusoidut kustaukset ovat yt kaikki egatiivisia, valitaa iistä "egatiivisi" eli -: s 2, vastaava muuttuja 2, a 2 * B - a 2 Lasketaa suhdeluvut: /2, / piei, r2, vastaava muuttuja 4. Siis sarake a 2 otetaa matriisii B sarakkee a 4 tilalle: B. 2 2. B [a a 2 ], N [a a 4 ] 2 4 (muuttujie ideksie kirjapito) 2 [B N b] 5 [I B - N B - b] B, cb, cn, ĉ T N c T N - c T B B - 5 N [- ] - [ -] [- ] - [ -] [-4 ]. Redusoiduista kustauksista o yt esimmäie egatiivie: s, vastaava muuttuja, a * B - a 5. Lasketaa suhdeluvut: /5 aioa ja siis piei, r, vastaava muuttuja. Siis sarake a otetaa matriisii B sarakkee a tilalle: B 2.
7 2. B [a a 2 ], N [a a 4 ] 2 4 (muuttujie ideksie kirjapito) 2 [B N b] 5 2 8 / 5 / 5 / 5 / 5 2 / 5 8/ 5 [I B - N B - b] / 5 2 / 5 8/ 5 B / 5, c B 8/ 5, cn, ĉ T N c T N - c T B B - / 5 / 5 N [ ] - [- -] / 5 2 / 5 [ ] - [-4/5 -/5] [4/5 /5]. Redusoidut kustaukset ovat yt ei-egatiivisia, eli OPTIMI! 4. Optimiratkaisu o siis [/5 8/5 ] T, z mi c T c T / 5 B B [- -] - 8/ 5 27/5. Pelivaramuuttujie arvot. Oheisessa kuviossa o algoritmi vaiheet kuvattua alkuperäiste muuttujie tasossa. 2 5 8 5 c Huom! Jos alkuperäie optimoititehtävä o maksimoitia, se o muutettava miimoiiksi, jotta em. muoto simple-algoritmista soveltuisi.