Lueto 7 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio Aalto-yliopisto perustieteide korkeakoulu PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi
Määritelmä Tarkasteltava yksikö luotettavuus O se todeäköisyys, että yksikkö suorittaa tarkoitetulla tavalla sille kuuluvat tehtävät tarkasteltavaa ajajaksoa täsmeettyje ympäristöolosuhteide vallitessa. Huomioita Tarkasteltava yksikkö riippuu tilateesta» Toisiaa kyse kompoetista, toisiaa koko järjestelmästä vrt. vikapuut ja tapahtumapuut Tarkoitettu suorittamie kuvattava yksiselitteisesti» Tarpee esimerkiksi vahigokorvausvaatimuste ja viraomaisvaatimuste tulkitsemiseksi sopimus-juridiikka ja säädökset (direktiivit je.)» Tolerassirajat yleisiä esim. vaa a tarkkuude oltava 0 ± 0.00 kg Tarkoitettu yksikkö ja tehtävä kuvattava myös» Esim. auto hads free hajoamie ei estä kuljetustehtävä suorittamista, mutta työpuhelut jäävät soittamatta Ajajakso ohella voidaa käyttää muitaki suureita» Esim. ajokilometrit, virtakytkime kytkemiskerrat Olosuhteet rajattava myös» Esim. vuoristorajoitukset autovuokraajalle Islaissa Laatu vs. luotettavuus» Laatu staattie käsite viittaa omiaisuuksii joaki hetkeä, luotettavuus huomioi aja ja olosuhteet» Luotettavuus implikoi laadu, ei välttämättä toisi päi
Koheretit järjestelmät (/) Kompoeti x i, i =,, tila 0, jos kompoetti ei toimi x i = ቊ, jos kompoetti toimii :stä kompoetista koostuva järjestelmä tilavektori o x = (x,, x ) Järjestelmä rakeefuktio 0, jos järjestelmä ei toimi tilavektorilla x φ(x) = ቊ, jos järjestelmä toimii tilavektorilla x Huom! sama muuttujie loogiste arvoje tulkita kui logiikkakaavioissa, se sijaa vikapuissa tarkoitti via esiitymistä! Esimerkkejä Sarjajärjestelmä - kompoetit peräkkäi» Kaikkie toimittava, jotta virta meisi läpi φ x = mi x,, x = x i i= Riakkaisjärjestelmä kompoetit ria» Yhdeki toimimie riittää φ x = max x,, x k/-järjestelmä φ x = 0,, = i= i= i= x i < k x i k x i
Koheretit järjestelmät (/) Kompoetti o irrelevatti, jos sillä ei ole vaikutusta rakeefuktioo Esim. kompoetti o alla olevassa järjestelmässä irrelevatti φ x = x ( x )( x ) Järjestelmä o koheretti joss siiä ei ole irrelevatteja kompoetteja ja φ x,, x i, 0, x i+,, x φ x,, x i,, x i+,, x Ts. rakeefuktio o jokaise kompoeti osalta eiväheevä Yksittäise kompoeti muuttamie viallisesta toimivaksi voi tehdä järjestelmä toimivaksi, mutta ei toisi päi Yleesä pyritää raketamaa koheretteja järjestelmiä, koska äissä kompoetteja voidaa korjata ilma, että tämä voi aiheuttaa vikoja Kaikki järjestelmät eivät ole koheretteja: esimerkiksi yksikompoettie rakeefuktio o ei-koheretti φ x = x 4
Kompoettie kahdetamie (/) Luotettavuutta voidaa parataa kahdetamalla joko koko järjestelmä tai se osat mutta kumpi o parempi? a b a a b b Lause. Jos järjestelmä o koheretti ja x ja y ovat tilavektoreita, ii φ x y,, x y φ x φ y. Epäyhtälö pätee yhtäsuuruutea, ku φ x = i=? a b x i = ሡ x i i= a b a b Ts. kaattaa kahdetaa kompoetteja, ei järjestelmiä! 5
Kompoettie kahdetamie (/) Todistus. Kaikille i =,, pätee x i y i x i Järjestelmä o koheretti, jote rakeefuktio o argumettiesa suhtee ei-väheevä ja φ x y,, x y φ(x) Vastaavasti pätee φ x y,, x y φ(y) Saadaa siis φ x y,, x y max φ x, φ y = [ φ(x)][ φ(y)] Rakeefuktiolle pätee φ x = i= x i Toisaalta φ x y,, x y = i= x i y i Tämä vastaa riakkaisjärjestelmää, jossa kahdetamistavalla ei siis väliä φ x φ y = i= x i y i 6
Raketeellie tärkeys (/) Kompoeti merkitys luotettavuude kaalta riippuu se sijaiista Esim. järjestelmässä kompoetti äyttää tärkeämmältä, koska se hajoamie väistämättä vikaauttaa koko järjestelmä; äi ei ole kompoettie ja osalta Kompoetti o toimivaa kolmessa tilavektorissa (,,), (,0,), (,,0), (,0,0) Järjestelmä toimii äistä kolmessa Jos x tilavektori, ii ( i, x i ) o tilavektori, jossa kompoetti i o toimii ja muut kompoetit saavat samat arvot kui mitä iillä o tilavektorissa x Vastaavasti (0 i, x i ) o tilavektori, jossa kompoetti i ei toimi, mutta muut saavat tilavektori x mukaiset arvot Määritelmä. Kompoeti i raketeellie tärkeys koheretissa järjestelmässä o I φ i = φ i, x i φ(0 i, x i ) x x = Tämä o suhteellie osuus iistä muide kompoettie tiloista, joissa kompoeti vikaatumie vikaauttaa koko järjestelmä Myös todeäköisyys, jos muut kompoetit vikaatuvat riippumattomasti yhtä isolla t:llä 7
Raketeellie tärkeys (/) Esimerkkijärjestelmä Kompoetti toimivaa mukaa tilavektoreissa (,,), (,0,), (,,0), (,0,0) Järjestelmä toimii äistä kolmessa esimmäisessä Kompoeti vikaatumie johtaa tilavektoreihi (0,,), (0,0,), (0,,0), (0,0,0) Järjestelmä ei toimi äistä missää I φ = + + + 0 = 4 Vastaavasti kompoetille saadaa tilavektorit (,,),(,0,),(0,,),(0,0,) (kaksi toimii) (,,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,0) (yksi toimii) I φ = 0 + + 0 + 0 = 4 Symmetriasyistä kompoeti raketeellie tärkeys sama kui kompoeti 8
Miimitoimitapolut ja -katkosjoukot Merkitää x < y joss x i y i kaikille i =,, ja x i < y i jolleki i:lle Tarkastellaa seuraavassa koherettia järjestelmää Tilavektori x o toimitapolku, joss φ x = (joss = jos ja vai jos) Toimitapolku x o miimitoimitapolku, joss φ y = 0, y < x So. yhdeki miimitoimitapolulla oleva kompoeti hajoamie vikaauttaa järjestelmä Tilavektori x o katkosjoukko, joss φ x = 0 Katkosjoukko x o miimikatkosjoukko, joss φ y =, y > x So. yhdeki miimikatkosjoukkoo kuuluva kompoeti korjaamie palauttaa järjestelmä toimivaksi 9
Esimerkki Järjestelmä Vikapuu T + + Lasketaa huipputapahtuma Boole algebralla saadaa katkosjoukot {}, {,} ja {,}, {,} Miimikatkosjoukot (,0,0) ja (0,,) Miimitoimitapolut (,,0) ja (,0,) 0
Rakeefuktio ja toimitapolut Olkoot P,, P s kohereti järjestelmä miimitoimitapolut ja α j (x) = jos kaikki P j: kompoetit toimivat 0, jos joki P j : kompoetti ei toimi Pätee α j (x) = mi i P j x i = i P j x i Järjestelmä toimii, jos joki toimitapolu kompoetit toimivat φ x = jos α j(x)=0 jolleki toimitapolulle 0, jos α j (x)= kaikille toimitapoluille Saadaa siis φ x = max α j (x) = max x i = x i j j i P j j= i P j Rakeefuktio siis yksikäsitteisesti esitettävissä miimitoimitapolkuje riakkaisjärjestelmää Ks. esim. miimitoimitapolut (,,0), (,0,) s φ x = ( x x )( x x ) = x x + x x x x x
Rakeefuktio ja katkosjoukot Olkoot C,, C k kohereti järjestelmä miimikatkosjoukot ja β j (x) = jos aiaki yksi kompoetti C j:ssä toimii 0, jos mikää kompoetti C j :ssä ei toimi Pätee β j x = max i C j x i = i C j x i Järjestelmä ei toimi, jos joki miimikatkosjouko kaikki kompoetit pettävät φ x = jos β j(x)= kaikille toimitapolulle 0, jos β j (x)=0 jolleki toimitapoluille Tällöi φ x = mi j k β j (x) = β j (x) = j= k j= i C j x i Rakeefuktio siis yksikäsitteisesti esitettävissä miimikatkosjoukkoje sarjajärjestelmää Ks. esim. miimikatkosjoukot (,0,0,), (0,,) φ x = ( x ) ( x )( x ) = x x + x x x = x x + x x x x x
Järjestelmä luotettavuus Kompoeti i tila o satuaismuuttuja 0, jos kompoetti i ei toimi X i = ቊ, jos kompoetti i toimii Kompoeti i luotettavuus p i = P X i = Tilavektorista vastaavasti saadaa siis t-vektori p i = (p,, p ) Huom! Tarkasteluajakohta täsmeettävä, muute ei mielekäs määritelmä Järjestelmä luotettavuus r p = P[φ(x) =
Luotettavuude laskeasta (/) Toimitapolut Järjestelmä toimii, jos joki toimitapolku kuossa Luotettavuus o siis t sille, että tilavektoria o toimitapolku Järjestelmä luotettavuus = toimitapolkuje t:ie summa Esim. /-järjestelmä toimitapolut (0,,), (,0,), (,,0), (,,) r p = p p p + p p p + p p p + p p p = p p + p p + p p p p p T:ie p i sijoittamie X i :ide paikalle rakeefuktiossa φ X = ( X X )( X X )( X X ) ei aa oikeaa odotusarvoa, koska tällöi tulee vääriä tulotermejä (p ). Ts. biäärimuuttujille pätee E X i = E X i = p i Sama luotettavuus saadaa odotusarvoa E[φ X ] = E[ ( X X )( X X )( X X )] = E[X X + X X + X X X X X X X X X X X + X X X ] = E X X + X X + X X X X X = r(p) 4
Luotettavuude laskeasta (/) Katkosjoukot Järjestelmä ei toimi, jos joku katkosjoukko toteutuu Luotettavuus saadaa siis vähetämällä yhdestä t sille, että tilavektori o katkosjoukko» Katkosjoukot (0,0,0,0), (0,0,0,), (0,0,,0), (0,0,,) ja (0,,0,0)» Näi luotettavuudeksi saadaa r p = p p p p 4 p p p p 4 p p p p 4 p p p p 4 p p p p 4 Ehdollistamie Järjestelmä toimita voidaa ehdollistaa joku avaikompoeti toimialle r p = P φ i, x i P x i = + P φ 0 i, x i P x i = 0 = r i, p i p i + r 0 i, p i ( p i ) 4 5
Luotettavuude laskeasta (/) Ehdollistamie (jatk.) Tarkastellaa järjestelmää 4 Ehdollistetaa järjestelmä kompoetille A: Kompoetti toimii B: Ei toimi 4 A: luotettavuus r p A = p p 4 B: luotettavuus r p B = p p p 4 Koko järjestelmä luotettavuus siis r p = ( p p 4 )p + ( p p p 4 )( p ) 4 6
Luotettavuude tärkeys Koheretissa järjestelmässä kompoeti luotettavuude tärkeyttä kuvaa I r i = r(p), i =,, p i Ts. mite paljo järjestelmä luotettavuus muuttuu, jos yksittäiste kompoeti luotettavuus muuttuu? Luotettavuude ehdollistamiskaavaa käyttäe tämä voidaa kirjoittaa muodossa I r i = r i, p i r 0 i, p i Kuossapito kaattaa pyrkiä kohdetamaa luotettavuudeltaa tärkeimpii kompoetteihi Esim. sarjajärjestelmässä i:e kompoeti luotettavuus r p = j= I r i = r(p) p j p i = j i p j Ts. tärkeys suuri kompoetille, joka luotettavuus piei (tällöi muide tulo suuri) ketju o yhtä vahva kui se heikoi lekki 7
Lasketa-approksimoieista (/) Huomioita Rakeefuktio käyttöö perustuvat em. laskutavat atavat tarka luotettavuusarvo Kompoettie oletetaa kuiteki oleva toisistaa riippumattomia vailla yhteisiä vikaatumissyitä Isoissa järjestelmissä tarkka lasketa tulee raskaaksi tarvitaa approksimaatioita Koherettie järjestelmie approksimaatioide ääripäiä sarja- ja riakkaisjärjestelmät, jote i= p i r p i= ( p i )» Ei kuitekaa kovi käyttökelpoie jos esim. eljä kompoettia yhteisellä t:llä p = 0.9, ii rajoiksi saadaa 0.9 4 = 0.656 ja -(-0.9) 4 = 0.9999, mitkä ovat liia väljät Miimitoimitapolut ja -katkosjoukot Järjestelmä voidaa kuvata sarjaakytkettyiä miimikatkosjoukkoia tai riakkaikytkettyiä miimitoimitapolkuia Näistä saadaa luotettavuusrajat k j= i C j ( p i ) r p s j= i P j p i Kompoetit voivat olla useilla toimitapoluilla ja useissa katkosjoukoissa, kyse approksimaatiosta A B 8
Lasketa-approksimoieista (/) Esimerkki Miimitoimitapolut {}, {,},{,4} Miimikatkosjoukot {,},{,,4} Miimitoimitapoluista saadaa luotettavuudelle yläraja r p = p p p p p 4 Miimikatkosjoukoista saadaa luotettavuudelle alaraja r p = p p p p p 4 Jos kaikkie kompoettie t:t samoja, ii p p r p ( p)( p ) 4 Tarkka arvo voidaa laskea seuraavista toisesa poissulkevista katkosvektoreista (0,0,0,0),(0,0,,0),(0,0,0,),(0,0,,),(0,,0,0) 9