Projektin arvon aleneminen sivut 99-07 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 /
Arvon aleneminen Jatketaan projektin arvon tutkimista. Nyt huomioidaan arvon aleneminen. Syitä esimerkiksi: kaluston vanheneminen ja kuluminen käytössä kilpailevien tekniikoiden kehitys Tarkastellaan arvon alenemisen vaikutusta reaalioption arvoon. Optimointiopin seminaari - Syksy 000 /
. Malli arvon alenemiselle: Eksponentiaalinen heikkeneminen Elinikä Poisson-prosessi Projekti loppuu ajanjaksolla dt tdn:llä λdt. Lopetus ennen hetkeä T tdn:llä -e -lt T:n tiheysfunktio f(t) = λe -lt Kohde-etuuden hinta alkuhetkellä P P t seuraa geometrista Brownin liikettä. Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 3
Projektin arvon odotusarvo () Jos projekti kestää T vuotta, tuottovirran nykyarvon odotusarvo on Ε missä δ= µ-α. ( δ T e ), T T µ t αt µ t P e Pt dt = Pe e dt = δ 0 0 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 4
Projektin arvon odotusarvo () Projektin tuoton odotusarvo V ( P) = λe 0 λt P e δ δ T dt = P λ + δ Tulkintoja: Elinikä ääretön, mutta toimivuus huononee ja ulostulo pienenee kertoimella e -lt tai huoltokulujen takia tuotto = Pe -lt Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 5
Option arvon tarkastelu (). tapaus: investointia ei voi uudistaa Tehdään tuttu portfolio F(P) - F (P)P. F(P) = A P β ehdot F(P * ) = V(P * ) - I ja F (P * ) = V (P * ) * β P = ( δ + λ )I β Arvon aleneminen ei vaikuta kertoimeen β eikä vähennä option arvon merkitystä. Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 6
Option arvon tarkastelu (). tapaus: investointi voidaan uudistaa Käytetään dynaamista ohjelmointia. diskonttauskerroin ρ Kun optiota ei käytetä: F(P) = A P β α α β = + + σ σ ρ σ Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 7
Option arvon tarkastelu (3) Merk. J(P) = käynnistetyn projektin ja myöhempien optioiden arvo Alueella P < P * J Tdn:llä λdt projekti loppuu, jolloin option arvo palautuu F(P):hen. ( ) ( ) ρ dt P = Pdt + λdt e Ε[ J ( P + dp )] + λdte ρ dt Ε [ F ( P + dp )] Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 8
Option arvon tarkastelu (4) Ratkaisu missä β = β J ( P = B P + + ) α σ + α σ ρ + P λ + α A P β ( ρ + λ) σ Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 9
Option arvon tarkastelu (5) Alueella P > P * J Jos projekti päättyy, aloitetaan heti uusi. ρ dt P = Pdt + λdt e Ε J P + ( ) ( ) [ ( dp )] + λdte ρ dt Ratkaisu missä Ε [ J ( P + dp ) I ] J β ( P) = B P + P ρ α α α β = + σ σ λi ρ ρ σ Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 0,
Option arvon tarkastelu (6) Ehdot: J (P * ) = J (P * ) J (P * ) = J (P * ) F(P * ) = J(P * ) - I F (P * ) = J (P * ) Ratkaisu: missä δ= ρ - α * β P = λ I β ( δ + ), Nyt arvon aleneminen pienentää option arvon kerrointa. Optimointiopin seminaari - Syksy 000 /
Parametrien vaikutus Kertoimen β /(β - ) arvoja, kun ρ = 0.04 ja α = 0 l s 0. 0. 0.3 0.4 0.00.4.00.76 3.73 0.0.37.86.50 3.30 0.05.7.60.00.49 0.0..46.75.09 0.5.8.38.6.89 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 /
. Malli arvon alenemiselle: Äkkikuolema Projekti loppuu T:n vuoden kuluttua. Projektin arvo V T = ( ) µ t P Ε e P dt = P, missä δ= µ - α Option arvon tarkastelu voidaan tehdä kuten edellä. t δ 0 e δ T Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 3
Yleinen malli Tuottovirta π(p,t) Projektin arvo V(P,t) Tehdään portfolio: projekti + n kpl lyhyeksi π P, t dt nδ Pdt ajanjaksolla dt tuotto missä δ= µ - α portfolion pääoman kasvu dv ndp = ( ), ( ) V n dp+ P V + V dt P σ PP Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 4 t
Yleinen malli () Tehdään portfoliosta riskitön valitsemalla n = V P (P,t) ja merkitään odotettu kokonaistuotto yhtäsuureksi riskittömän tuoton kanssa, jolloin saadaan osittaisdifferentiaaliyhtälö ( ) = 0, δ P VPP + r δ PVP + Vt rv + π joka voidaan ratkaista numeerisesti. Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 5
Yleinen malli (3) Jos tiedetään suurin mahdollinen loppuaika T, saadaan ehto V(P,T) = 0 ja voidaan ratkaista lopusta alkuun päin. Termi V t (P,t) kuvaa arvon alenemista ajan myötä. Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 6
Kotitehtävä Johda kaava optimaaliselle investointirajalle P * äkkikuolemamallissa tapauksessa, jossa investointia ei voi uudistaa. Ratkaise sitten tehtävä: Projektin hinta noudattaa Brownin liikettä parametrein α = 0.05, σ = 0.30. Projektin investointikustannus on 00 miljoonaa euroa ja diskonttokorko 0 %. Paljonko P * muuttuu, jos äkkikuolemamallissa elinikä T muuttuu 5 vuodesta 6 vuoteen, eikä investointia voi uudistaa? Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 7