Johdannaisanalyysi Contingent Claims Analysis Juha Leino 11.10.2000 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1
Oletukset Yritys tuottaa tuotetta, jonka hinta on x x noudattaa geometrista Brownin liikettä dx = αxdt + σxdz Tuotteella x on olemassa markkinat Mahdollisuus sijoittaa riskittömästi korolla r Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 2
Mikä on yrityksen arvo? Tarkastellaan lyhyttä ajanjaksoa dt Luodaan kaksi portfoliota Ostetaan yritys summalla F(x,t) Sijoitetaan 1 dollari riskittömällä korolla ja ostetaan n yksikköä tuotetta x Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 3
Portfolio 1 Ostohinta F(x,t) Saadaan kassavirta π(x,t)dt F(x,t):n muutos saadaan laskettua käyttäen Iton lemmaa df = [F t + αxf x + ½σ 2 x 2 F xx ]dt + σxf x dz Tuotto π + F t + αxfx + F ½σ 2 x 2 F xx dt + σxf F x dz Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 4
Portfolio 2 Sijoitetaan dollari riskittömällä korolla r Saadaan riskitön tuotto rdt Ostetaan n yksikköä tuotetta x Osinko nδxdt Arvon muutos ndx = nαxdt + nσxdz Tuotto r + n( α + δ ) x σnx dt + 1+ nx 1+ nx dz Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 5
Portfolioiden vertailu Valitaan n siten, että portfolioilla sama riski σ nx σ xf x ( x, t ) = 1 + nx F ( x, t ) Sama riskikäyttäytyminen Sama tuotto π + Ft + αxfx + F Sievennetään ½σ 2 x 2 F xx = r + n( α + δ ) x 1+ nx Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 6
Yrityksen arvo ½σ 2 x 2 F xx + (r δ)xf x + F t rf + π = 0 Yrityksen arvo saadaan ratkaisemalla F Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 7
Yleistetään tarkastelua x noudattaa Ito-prosessia dx = a(x,t)dt + b(x,t)dz Ei käytetä tuotetta x portfoliossa Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 8
Seuraava kohde Käytetään apuna seuraavaa kohdetta X, joka korreloi täydellisesti x:n kanssa Futuuri Dynaaminen portfolio Kohteen X tuotto ajassa dt Osinko D(x,t)Xdt Kohteen arvon muutos dx = A(x,t)Xdt + B(x,t)Xdz Merkitään µ X (x,t) = A(x,t) + D(x,t) Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 9
Portfolio Yritys ja n yksikön lyhyt positio kohdetta X Lyhyt positio Ostohinta nx Arvon muutos naxdt nbxdz Osinko nd(x,t)xdt maksetaan toiselle osapuolelle Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 10
Portfolio Ostohinta F(x,t) nx Tuotto ( 2 π ndx + F af b F nax) t + x + ½ xx ( bfx nbx) dz F nx Valitaan n = bf x /BX dt + Riskitön portfolio Tuoton oltava sama kuin riskittömällä korolla F nx Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 11
Yrityksen arvo Sieventämällä saadaan ½ 2 b b Fxx + a µ r F x rf + Ft + π = B Yhtälön kaikki kertoimet saadaan joko käytettävistä malleista (a(x,t)) tai havainnoimalla markkinoita (µ(x,t)) ( ) 0 F ratkaisemalla saadaan yrityksen arvo Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 12
Reunaehdot Aiemmat tulokset saatiin tarkastelemalla ajanjaksoa dt Yhtälöiden ratkaisu vaatii reunaehtoja Lopputuotto Ω(x,t) tunnetaan Loppuaika T F(x,T) = Ω(x,T) x Rajahinta x * (t) F(x * (t),t) = Ω(x * (t),t) t Optimaalinen pysäytys F(x * (t),t) = Ω(x * (t),t) t Smooth-pasting-ominaisuus F x (x * (t),t) = Ω x (x * (t),t) t Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 13
Poisson-prosessit Oletetaan, että x noudattaa hyppyprosessia dx = f(x,t)dt + g(x,t)dq Joskus kohde X löydettävissä Lyhytkestoiset futuurit Yleisessä tapauksessa käytettävä dynaamista portfoliota Poisson-prosessi epäjatkuva Ei voida käyttää Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 14
Poisson-prosessit Ratkaisu Dynaaminen ohjelmointi CAPM Merkittiin odotettua tuottoa µ X (x,t) =A(x,t) + D(x,t) µ X (x,t) = r + φρ xm B(x,t) Oletetaan, että hyppy ei korreloi markkinaportfolion kanssa eli ρ xm = 0 µ X (x,t) = r ½b 2 F xx + af x rf + F t + π = 0 Molemmat ratkaisut johtavat samaan yhtälöön Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 15
Kotitehtävä Yritys F(x,t) Kassavirta π(x,t)dt Kohde X Korreloi täydellisesti x:n kanssa Osinko D(x,t)Xdt Prosessi dx = A(x,t)Xdt + B(x,t)Xdz Johda kahden portfolion menetelmällä yhtälö yrityksen hinnalle Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 16