Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit, syksy 2003

Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit, syksy 2003 Ilkka Holopainen 1 5. helmikuuta 2009 1 Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse osoitteeseen ilkka.holopainen@helsinki.fi

2 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit Sisältö 0 Johdanto 2 1 R n :n Sobolev avaruudet W 1,p lyhyesti) 3 1.1 Mitä ne ovat ja mihin niitä käytetään?.......................... 4 1.6 Ekvivalentteja määritelmiä................................ 5 1.24 Epäyhtälöitä........................................ 13 2 Lipschitz kuvaukset 22 2.2 R n :n Lipschitz-funktioiden differentioituvuus...................... 23 2.10 Lipschitz-vakiot Lip ja lip................................. 24 2.14 Lipschitz-kuvausten jatkaminen.............................. 26 2.19 Metristen avaruuksien upotukset............................. 27 3 Metristen avaruuksien suppeneminen 30 3.1 Hausdorff-etäisyys..................................... 30 3.13 Gromov-Hausdorff-etäisyys................................ 32 3.27 Ei-kompaktien metristen avaruuksien Gromov-Hausdorff suppeneminen....... 37 3.41 Filtterit, ultrafiltterit ja ultraraja-arvot......................... 42 3.47 Ankkuroitujen metristen avaruuksien jonon ultraraja-avaruus............. 43 3.54 Tangenttikartio ja asymptoottinen kartio......................... 46 3.68 Kuvauspakettien suppeneminen.............................. 49 3.77 Funktiopaketit....................................... 52 4 Kvasilineaariset funktiot 54 4.1 Mittateorian kertausta ja täydennystä.......................... 54 4.7 Kvasilineaariset funktiot, äärellisulotteisuus....................... 55 4.13 Tangenttifunktioiden kvasilineaarisuus.......................... 57 5 Vahva mitallinen differentioituva struktuuri 62 5.1 Määritelmä, päätulos ja alkuvalmisteluja......................... 62 5.9 Äärellisulotteisuus..................................... 65 5.17 Lauseen 5.5 todistus.................................... 67 6 Tangenttikimppu ja Sobolevin avaruus 72 6.1 Mitallinen tangenttikimppu................................ 72 6.11 Sobolev-avaruus....................................... 76 6.16 Poincarén epäyhtälö ja pisteittäiset Lipschitz-vakiot.................. 77 6.25 Poincarén epäyhtälö ja gradientin yksikäsitteisyys................... 80 0 Johdanto Tällä kurssilla tutustutaan Jeff Cheegerin hiljattain kehittämään Lipschitz-funktioiden differentioituvuusteoriaan metrisisillä avaruuksilla. Tällainen teoria kuuluu viime aikoina paljon tutkittuun analyysiin metrisissä avaruuksissa, jonka yhtenä tärkeänä tavoitteena on etsiä vastineita ns. Sobolev-avaruuksille.

Syyslukukausi 2003 3 Palautetaan ensiksi mieliin differentioituvuuden käsite. Olkoon G R n avoin. Sanomme, että kuvaus f : G R m on differentioituva pisteessä x G, jos lineaarikuvaus Ax) LR n, R m ) s.e. fx + h) fx) Ax)h lim = 0. h 0 h Lineaarikuvausta Ax) sanotaan f:n differentiaaliksi pisteessä x ja sitä merkitään Ax) = f x) = Dfx). Kuvausta f voidaan siten approksimoida lineaarikuvauksella f x) pisteen x ympäristössä. Voisiko vastaava approksimointi olla mahdollista myös, jos kuvauksen määrittelyjoukko on muu kuin R n :n alue? Ongelma syntyy tietenkin) heti siitä, että lineaarikuvaus vaatii lähtö- ja maalijoukokseen vektoriavaruuden. Differentiaaligeometriassa tutkitaan sileitä topologisia monistoja. Tällaisia monistoja voidaan, karkeasti ottaen, lokaalisti approksimoida vektoriavaruuksilla ja siten myös kuvauksien approksimointi lineaarikuvauksilla on mielekästä. vektoriavaruuksia lineaarikuvaus f monistoja Todistamme piakkoin klassisen) Rademacherin lauseen, jonka mukaan Lipschitz-kuvaus f : G R m, G R n, on differentioituva m.k. G:ssä. Muistutetaan, että kuvaus f : X Y, missä X,d 1 ) ja Y,d 2 ) ovat metrisiä avaruuksia, on Lipschitz, jos on olemassa vakio L siten, että d 2 fx),fy) ) Ld1 x,y) x,y X. Koska Lipschitz-ominaisuus on mielekäs metristen avaruuksien välisille kuvauksille, voidaan myös kysyä päteekö jonkinlainen Rademacherin lauseen vastine metristen avaruuksien tapauksessa. Muun muassa tällaiseen kysymykseen etsimme vastausta tällä kurssilla. Kurssin aikana perehdytään myös muihin mielenkiintoisiin metrisiin avaruuksiin liittyviin käsitteisiin kuten upotus- ja konvergenssilauseisiin. Huomautus 0.1. Kurssin materiaali on koottu useasta eri lähteestä ks. kirjallisuusluettelo). Olen pyrkinyt luettelemaan joka luvun alussa ko. luvussa käytetyt lähteet. Lisäksi kurssin opiskelijat Saara Lehto, Aleksander Nuija ja Aleksi Vähäkangas ovat toimittaneet minulle materiaalia omista havainnoistaan ja muistiinpanoistaan. Aloitamme lyhyellä katsauksella klassisiin Sobolev-avaruuksiin. 1 R n :n Sobolev avaruudet W 1,p lyhyesti) Lähdemateriaalit: [EG], [HK], [HKM], [He1].)

4 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit 1.1 Mitä ne ovat ja mihin niitä käytetään? Aloitetaan tarkastelemalla seuraavaa ongelmaa: Olkoon R n avoin rajoitettu joukko, 1 < p < ja h C 1 ) reaaliarvoinen funktio. Huom. Merkintä f C k ) tarkoittaa, että on olemassa avoin joukko U = U f ja funktio g C k U) siten, että U ja g = f.) Haluamme syystä tai toisesta) minimoida energian Iu) = u p dm, kaikkien niiden funktioiden u C 1 ) joukossa, joilla u = h :ssa. Kutsutaan tällaisia funktioita sallituiksi. Huomautus 1.2. 1. Yllä ux) = D 1 ux),d 2 ux),...,d n ux) ) = u x 1 x), u x 2 x),..., u x n x) ) on u:n gradientti x:ssä. 2. Koska on rajoitettu ja h C 1 ), kyseinen minimi on äärellinen. Mitä voimme tehdä? Yritys: Valitaan jono funktioita u i C 1 ), u i = h, siten, että Iu i ) inf{iu): u C 1 ),u = h } =: I 0. Koska supiu i ) < ja p > 1, niin L p -avaruuksien heikon kompaktisuuden nojalla on olemassa funktio v L p ; R n ) ja osajono u ij siten, että u ij v L p ; R n ):ssä. Lisäksi lim Iu ij ) v p dm. Voisiko v olla jonkun sallitun funktion u 0 gradientti? Silloin olisimme ratkaisseet minimointiongelman. Ongelma: Avaruudet C 1 ) ); p eivät ole täydellisiä. Jotta minimointiongelmalla olisi ratkaisu, joudumme laajentamaan sallittujen funktioiden luokkaa. Katsotaan asiaa toiselta kantilta. Oletetaan, että u C 1 ) on sallittu ja minimoi yo. energian. Jos ϕ C0 1 ), niin funktio u+tϕ on myös sallittu kaikilla t R. Koska u on minimoija, niin pätee Lasketaan vasen puoli: d dt Iu + tϕ) t=0 = d dt d dt Iu + tϕ) t=0 = 0. ) u + tϕ) p dm t=0 = d dt d = dt p = 2 u, u p 2 1 2 u, ϕ dm = u p 2 u, ϕ dm. u + tϕ), u + tϕ) p/2 dm ) t=0 u + t ϕ, u + t ϕ p/2) t=0 dm

Syyslukukausi 2003 5 Johtopäätös: Jos sallittu funktio u C 1 ) on minimoija, niin se toteuttaa yhtälön 1.3) u p 2 u, ϕ dm = 0 kaikilla ϕ C 1 0 ). Kolmas näkökulma: Jos u,ϕ C 2 ), niin Diff II: tulon derivaatta eli Leibnizin sääntö) div ϕ u p 2 u ) = ϕdiv u p 2 u ) + u p 2 u, ϕ. Jos lisäksi ϕ C0 2 ), niin Gaussin lauseesta seuraa, että div ϕ u p 2 u ) dm = 0. Oletetaan sitten, että u C 2 ) on sallittu ja minimoija. Edellä olleen nojalla ϕdiv u p 2 u ) dm = u p 2 u, ϕ dm = 0 kaikilla ϕ C0 2 ). Tästä voimme päätellä, että u on 2. kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälön 1.4) div ux) p 2 ux) ) = 0 x ratkaisu. Huomautus 1.5. Itseasiassa pätee myös kääntäen: Jos u C 2 ) toteuttaa 1.4):n, niin se toteuttaa selvästi myös 1.3):n. Samoin jos 1.3) pätee funktiolle u C 1 ), niin silloin u on minimoija. HT: Todista jälkimmäinen käyttäen arviota Todista myös yo. arvio.) x p y p > p y p 2 y,x y, x,y R n, x y. Opetus: Jos haluamme löytää minimointiongelman ratkaisun ja/tai ratkaista osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, joudumme työskentelemään sellaisessa järkevässä) funktioavaruudessa, josta kyseinen ratkaisu voi löytyä. Sobolev-avaruudet ovat juuri tällaisia funktioavaruuksia. Myös reuna-arvot u = h on tulkittava Sobolev-avaruus mielessä. 1.6 Ekvivalentteja määritelmiä Olkoon R n avoin ja 1 p <. Kun u C 1 ), niin merkitään u 1,p = u p + u p. Määritelmä 1.7. Sobolev-avaruus W 1,p ) on C 1 ):n täydellistymä normin 1,p suhteen. Toisin sanoen, u W 1,p ), jos ja vain jos u L p ) ja on olemassa jono u i C 1 ) ja R n -arvoinen) v L p ; R n ) s.e. u i u u i v L p ):ssa ja L p ; R n ):ssä, eli u i u p 0 ja u i v p 0. Merkitään v = u ja kutsutaan sitä u:n Sobolev-)gradientiksi. Lisäksi merkitsemme u 1,p, = u 1,p = u p + u p, kun u W 1,p ).

6 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit Merkitään U, kun U on sellainen avoin joukko, että u W 1,p loc ), jos u W 1,p U) kaikilla U. Ū on kompakti. Sanomme, että Huomautus 1.8. Herää pari kysymystä: a) Onko v ja siten u yksikäsitteinen? Tarkemmin sanoen: Jos v i C 1 ) ja w L p ; R n ) ovat myös sellaisia, että v i u v i w L p ):ssa ja L p ω; R n ):ssä, niin onko w = v L p ; R n ):n alkiona)? b) Jos u C 1 ), niin onko tavallinen gradientti u = Sobolev-gradientti? Havainto: Jos vastaus a):han on kyllä, niin myös b):n vastaus on kyllä. Valitaan jonoksi u i = u i.) Osoitetaan, että vastaus molempiin on kyllä. Gradientin yksikäsitteisyyteen riittää osoittaa: 1.9) u i C 1 ), u i 0 L p ):ssa u i v L p ; R n ):ssä } v = 0. Todistetaan tämä osittaisintegroinnilla. Olkoon ϕ C0 1). Laajennetaan se C1 -funktioksi ϕ: R n R asettamalla ϕ R n \) = 0. Käyttämällä Fubinin lausetta ja analyysin peruslausetta) nähdään, että ) D 1 ϕx)dm n x) = D 1 ϕx)dm n x) = D 1 ϕt,y)dt dm n 1 y) = 0, R n R n 1 R sillä R D 1 ϕt,y)dt = 0 kaikilla y R n 1. Yllä kirjoitimme pisteen x R n muodossa x = t,y) R R n 1. Samoin nähdään, että D j ϕdm = 0 j = 1,...,n. Eritysesti, jos u C 1 ) ja ϕ C0 1 ), niin 0 = D j uϕ)dm = ud j ϕ + ϕd i u)dm, joten 1.10) ϕd j udm = ud j ϕdm Olkoon sitten ϕ C0 1) mielivaltainen sekä u i C 1 ) ja v = v 1,...,v n ) L p ; R n ) kuten 1.9):ssä. Nyt ϕd k u i dm = u i D k ϕdm i N, k {1,...,n}.

Syyslukukausi 2003 7 Siis ϕd k u i dm = u i D k ϕdm u i D k ϕ dm ) 1/p ) 1/q u i p dm D k ϕ q dm 0, } {{ } < kun i. Yllä q on p:n Hölder-konjugaatti q =, jos p = 1). Koska u i v L p ; R n ):ssä, niin D k u i v k L p ):ssa k {1,...,n}. Näin ollen ϕv k dm = ϕv k D k u i )dm + ϕd k u i dm ϕ v k D k u i dm + ϕd k u i dm kun i. Siis 1.11) 0, ) 1/q ϕ q dm } {{ } < ϕv k dm = 0 ) 1/p v k D k u i p dm } {{ } 0 ϕ C 1 0). + ϕd k u i dm } {{ } 0 Tästä voimme päätellä, että v k x) = 0 m.k. x, k {1,...,n}, eli v = 0 m.k. Olemme siten todistaneet Sobolev-gradientin yksikäsitteisyyden. HT: Todista, että 1.11) v k = 0 m.k.) Lause 1.12. Sobolev-avaruus W 1,p ) on Banach-avaruus. Todistus. Selvästi W 1,p ) on vektoriavaruus ja 1,p on normi. Olkoon u i ) Cauchy-jono W 1,p ):ssa. Silloin u i ) on Cauchy-jono L p ):ssa ja u i ) on Cauchy-jono L p ; R n ):ssä. Siten on olemassa u L p ) ja v L p ; R n ) siten, että u i u p 0 ja u i v p 0. Osoitettava vielä, että v = u Sobolev-gradientti). Koska u i W 1,p ), on olemassa jono funktioita u i,j C 1 ) s.e. kun j. Jokaisella i N valitaan j i N s.e. u i,j u i p 0 ja u i,j u i p 0, u i,ji u i p < 1/i ja u i,ji u i p < 1/i. Nyt kun i. Siten v = u. u i,ji u p u i,ji u i p + u i u p 0 ja u i,ji v p u i,ji u i p + u i v p 0,

8 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit Määritelmä 1.13. Sanomme, että 1. u i u W 1,p ):ssa, jos u i u 1,p, 0, ja 2. u i u W 1,p loc ):ssa, jos u i u 1,p,U 0 kaikilla U. Yhtälön 1.10) motivoimana määrittelemme: Määritelmä 1.14. Olkoon u L 1 loc ) ja i {1,...,n}. Sanomme, että g i L 1 loc ) on u:n heikko i:s osittaisderivaatta, jos ϕg i dm = ud i ϕdm kaikilla ϕ C 1 0 ). Merkitsemme g i = D i u Huomautus 1.15. a) Jos heikko i:s osittaisderivaatta on olemassa, niin se on yksikäsitteinen. Vrt. 1.11):n todistus. b) Jos u C 1 ), niin tavallinen osittaisderivaatta) D i u on myös u:n heikko i:s osittaisderivaatta. c) Sanomme, että D 1 u,...,d n u) on u:n heikko gradientti, jos jokainen heikko osittaisderivaatta D i u, i = 1,...,n, on olemassa. Lause 1.16. Jos u W 1,p ), 1 p <, niin Sobolev-gradientti u on u:n heikko gradientti. Todistus. Merkitään u = v 1,...,v n ). Hölderin epäyhtälöstä seuraa, että v k L 1 loc ) k = 1,...,n. Olkoon ϕ C0 1) ja u i C 1 ) s.e. u i u W 1,p ):ssa. Silloin ϕv k dm + ud k ϕdm Siis = = { }} { ϕv k dm + ud k ϕdm ϕd k u i dm + u i D k ϕdm) ϕv k D k u i )dm + u u i )D k ϕdm ϕ v k D k u i dm + u u i D k ϕ dm ) 1/q ϕ q dm } {{ } < 0, kun i. ) 1/p v k D k u i p dm } {{ } 0 =0 + ϕv k dm = ud k ϕdm ) 1/p u u i p dm } {{ } 0 ϕ C 1 0). ) 1/q D k ϕ q dm } {{ } < Palautetaan Reaalianalyysi I-kurssilta mieliin L p -funktioiden approksimointi C -funktioilla. Olkoot η: R R, { ) exp 1 t ηt) = 2 1, kun t < 1, 0, kun t 1,

Syyslukukausi 2003 9 ja ϕ i : R n [0, [, 1.17) ϕ i x) = a i ηi x ), missä i N ja a i on vakio s.e. R n ϕ i dm = 1 i N. Tällöin ϕ i C R n ). Merkitään i = {x : distx, ) > 1/i}, kun i N. Jos u L 1 loc ), niin määritellään u i = u ϕ i : i R, u i x) = uy)ϕ i x y)dy. Lause 1.18. Olkoon u L p loc ), 1 p <. Oletetaan, että u:lla on olemassa heikot osittaisderivaatat D k u L p loc ), k = 1,...,n. Merkitään u i = u ϕ i. Silloin a) u i C i ), b) D k u i = D k u ϕ i, missä D k u on u:n heikko k:s osittaisderivaatta, k = 1,...,n, c) u W 1,p loc ) ja u i u W 1,p loc ):ssa. Todistus. Reaalianalyysin kurssilla todistettiin ks. [Ho2, L. 2.26, Huom. 2.28]), että u i C i ). Siten a) pätee. Samoin osoitettiin, että D k u i x) = u D k ϕ i x). Kiinnitetään x i ja merkitään hy) = x y ja ψ i = ϕ i h, jolloin ψ i y) = ϕ i x y). Nyt ψ i C ). Ketjusäännön nojalla D k ψ i y) = D k ϕ i x y), missä D k ϕ i x y) tarkoittaa tietenkin) funktion D k ϕ i arvoa pisteessä x y. Nyt D k u i x) = u D k ϕ i x) = uy)d k ϕ i x y)dy = uy)d k ψ i y)dy i) = D k uy)ψ i y)dy = D k uy)ϕ i x y)dy = D k u ϕ i x). Kohdassa i) käytettiin heikon osittaisderivaatan määritelmää. Näin ollen b) on todistettu. Reaalianalyysi I:ssä todistettiin myös, että u ϕ i u L p U):ssa aina kun U on avoin joukko, jolla Ū on kompakti ks. [Ho2, L. 2.34]). Samoin D ku ϕ i D k u L p U):ssa. Siten funktioille u i C 1 ) ja v = D 1 u,...,d n u) L p loc ) pätee u i u L p loc ):ssa ja u i v L p loc ):ssa. Siis u W 1,p loc ) ja u i u W 1,p ):ssa eli c) pätee. loc

10 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit Lemma 1.19. Olkoon u W 1,p ) ja ϕ C 1 0 ). Silloin ϕu W 1,p ) ja ϕ u + u ϕ on ϕu:n Sobolev gradientti. Todistus. Koska ϕ C0 1 ), on olemassa M R s.e. ϕx) M ja ϕx) M x. Siten ϕ u + u ϕ L p ; R n ). Olkoon u i C 1 ) s.e. u i u W 1,p ):ssa. Nyt ja ϕu i ϕu p M u i u p 0 ϕu i ) ϕ u + u ϕ) p = ϕ u i + u i ϕ ϕ u u ϕ p ϕ u i u) p + u i u) ϕ p M u i u p + M u i u p 0. Seuraava lause antaa ekvivalentin määritelmän Sobolev-avaruudelle. Lause 1.20. Olkoon u L 1 loc ). Tällöin u W 1,p ), 1 p <, u L p ) ja u:lla on olemassa heikot osittaisderivaatat D k u L p ), k = 1,...,n. Todistus. Implikaatio seuraa Lauseesta 1.16. Merkitään v = D 1 u,...,d n u). On osoitettava, että on olemassa jono funktioita u j C 1 ) siten, että u j u p 0 ja u j v p 0. Merkitään k N k = {x : distx, ) > 1/k} B0,k), 0 =, U k = k+1 \ k 1. Olkoon ζ k ) k=1 jono funktioita s.e. ζ k C0U 1 k ), 0 ζ k 1, ζ k x) = 1 x. k=1 Lauseesta 1.18 seuraa, että u W 1,p U k ) ja siten Lemman 1.19 nojalla uζ k W 1,p U k ). Lisäksi sptuζ k ) U k. Näin ollen ε > 0 ja k N kohti i ε,k N s.e. spt uζ k ) ϕ iε,k ) Uk, uζ k ) ϕ iε,k uζ k p < ε2 k, uζ k ) ϕ iε,k ) uζk ) p < ε2 k, missä ϕ i on kuten kaavassa 1.17). Sovelletaan edellä ollutta jokaisella j N arvoon ε = 1/j ja määritellään u j = uζ k ) ϕ iε,k. ε = 1/j) k=1

Syyslukukausi 2003 11 Jokaisella x on olemassa sellainen ympäristö, jossa yo. summassa on vain äärellisen monta nollasta poikkeavaa termiä. Siten u j C 1 ). Koska u = uζ k, k=1 niin u j u p u j v p uζ k ) ϕ iε,k uζ k p < ε = 1/j, k=1 ) uζ k ) ϕ iε,k uζk ) p < ε = 1/j. k=1 Siten u W 1,p ), v = u, ja u j u W 1,p ):ssa. Nyt voimme osoittaa, että monet tavalliset derivoimissäännöt pätevät myös heikoille osittaisderivaatoille. Lause 1.21. L ) ja 1. Leibnizin sääntö ) Olkoot u,h W 1,p ) L ). Silloin uh W 1,p ) 1.22) D k uh) = ud k h + hd k u m.k. 2. Ketjusääntö ) Jos u W 1,p ), f C 1 R), f L R) ja f0) = 0, niin f u W 1,p ) ja 1.23) D k f u) = f u)d k u m.k. Jos m) <, niin oletus f0) = 0 on tarpeeton.) 3. Jos u W 1,p ), niin u +,u, u W 1,p ) ja u + = χ {u>0} u 4. u = 0 m.k. joukossa {x : ux) = 0}. m.k., u = χ {u<0} u m.k., u, m.k. joukossa {x : ux) > 0}; u = 0, m.k. joukossa {x : ux) = 0}; u, m.k. joukossa {x : ux) < 0}. Todistus. 1. Selvästi uh L p ) ja ud k h+hd k u L p ), joten riittää todistaa kaava 1.22). Olkoon ψ C 1 0 ) mielivaltainen ja U s.e. sptψ U. Merkitäään u i = u ϕ i ja h i = h ϕ i, missä ϕ i on kuten kaavassa 1.17). Tällöin u i u L p U):ssa ja L q U):ssa, h i h L p U):ssa ja L q U):ssa, D k u i D k u L p U):ssa ja D k h i D k h L p U):ssa,

12 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit joten Näin ollen 1.10):n nojalla u i h i uh L 1 U):ssa ja u i D k h i + h i D k u i ud k h + hd k u L 1 U):ssa. uhd k ψ dm = uhd k ψ dm U = lim u i h i D k ψ dm i U = lim u i D k h i + h i D k u i )ψ dm i U = ud k h + hd k u)ψ dm U = ud k h + hd k u)ψ dm. Siis 1.22) pätee. HT: Perustele konvergenssit.) 2. Ensin todetaan, että f u L p ) ja f u)d k u L p ) yksityiskohdat HT). Olkoot ψ, U, ja u i kuten edellä. Tällöin f u)d k ψ dm = f u)d k ψ dm U = lim f u i )D k ψ dm i U = lim ψf u i )D k u i dm i U = ψf u)d k udm U = ψf u)d k udm. Siis 1.23) pätee. HT: Perustele konvergenssit.) 3. Kiinnitetään ε > 0 ja määritellään f ε : R R, { t 2 + ε 2 ) 1/2 ε, jos t 0; f ε t) = 0, jos t < 0. Nyt f ε C 1 R), f ε L R), joten ketjusäännöstä 1.23) seuraa, että ψ C0 1) f ε u)d k ψ dm = ψf ε u)d kudm. Antamalla ε 0 saadaan u + D k ψ dm = ψχ {u>0} D k udm. Näin ollen ensimmäinen kaava 3:ssa pätee. Samoin muut pätevät, sillä u = u) + ja u = u + +u. 4. Tämä kohta seuraa 3:sta, sillä u = u + u.

Syyslukukausi 2003 13 1.24 Epäyhtälöitä Sobolevin avaruuksien teoriassa eräät epäyhtälöt ovat äärimmäisen tärkeitä. Tällaisia ovat esim. Poincarén epäyhtälö ja Sobolevin epäyhtälö. Emme tällä kurssilla valitettavasti) käsittele näitä kovin tarkkaan. Esitämme kuitenkin muutamia, joiden todistuksiin riittää Diff. II:n ja Reaalianalyysin tiedot. Tarkoitus on samalla oppia myös tyyppillisiä menetelmiä. Aloitetaan Poincarén tyyppisellä epäyhtälöllä. Oletamme koko ajan, että n 2. Merkitsemme Bx,r) = {y R n : x y < r}. Lemma 1.25. Jokaista 1 p < kohti on olemassa vakio C = Cn, p) siten, että 1.26) Bx,r) uy) uz) p dy Cr n+p 1 Bx,r) uy) p dy y z n 1 kaikilla Bx,r) R n, u C 1 Bx,r) ) ja z Bx,r). Todistus. Jos y, z Bx, r), niin uy) uz) = Siten Hölderin epäyhtälön nojalla 1 0 u z + ty z) ),y z dt. 1 uy) uz) p y z p u z + ty z) ) p dt. Merkitään ũ = uχ Bx,r) ja g = u χ Bx,r), 0 jolloin voidaan olettaa, että ũ ja g ovat määritelty koko R n :ssä. Nyt 1.27) uy) uz) p dy = Bx,r) Bz,2r) ũy) ũz) p dy. Merkintöjen yksinkertaistamiseksi voidaan edelleen olettaa, että z = 0, jolloin 1 ũy) ũ0) p y p g p ty)dt. 0 Muussa tapauksessa tehdään sopiva muuttujanvaihto. Arvioidaan integraalia 1.27) käyttäen pallokoordinaatteja y = θ,s) S [0, [, S = S n 1 0,1):

14 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit B0,2r) ũy) ũ0) p dy = 2r 0 2r S 0 S 2r τ=st = 0 2r = = = ũθ,s) ũ0) p dθ s n 1 ds 1 s p g p θ,ts)dt dθ s n 1 ds 0 s n+p 2 s n+p 2 s S 0 s 0 S 0 2r s n+p 2 0 B0,s) 2r s n+p 2 0 B0,2r) 2r s n+p 2 0 Bx,r) = 2n+p 1 n + p 1 rn+p 1 g p θ,τ)dτ dθ ds g p θ,τ) τ n 1 τn 1 dτ dθ ds g p w) ) w n 1 dw ds g p w) ) w n 1 dw ds uy) p y n 1 Bx,r) ) dy ds uy) p y n 1 dy. Otetaan käyttöön merkintä f A = A fy)dy = 1 fy)dy, ma) A kun A R n on mitallinen, ma) > 0 ja f on integroituva. Soveltamalla epäyhtälöä 1.26) tapauksessa p = 1 saadaan seuraava Rieszin) potentiaaliarvio. Korollari 1.28. On olemassa vakio C = Cn) siten, että 1.29) uz) u Bx,r) C Bx,r) kaikilla Bx,r) R n, u C 1 Bx,r) ) ja z Bx,r). Todistus. Väite seuraa 1.26):ta, sillä uz) u Bx,r) = = uz) Bx,r) Bx,r) = 1 cr n Bx,r) uy) dy y z n 1 uy) dy uz) uy) ) dy uz) uy) dy Bx,r) uz) uy) dy.

Syyslukukausi 2003 15 Määritelmä 1.30. Olkoon f L 1 loc Rn ) ei-negatiivinen. Sen 1. kertaluvun) Rieszin potentiaali on funktio I 1 fx) = y 1 n fy) f)x) = dy. x y n 1 Määritelmä 1.31. Sanomme, että mitallinen funktio f : R n Ṙ kuuluu heikkoon Lp -avaruuteen weak-l p R n ), jos on olemassa vakio c = c f siten, että Kun 1 p < n, niin lukua sanotaan p:n Sobolev-konjugaatiksi. Sille pätee R n m {x R n : fx) > t} ) ct p t > 0. p = np n p 1 p = 1 p + 1 n, p > p. Lause 1.32. Sublineaarinen kuvaus f I 1 f kuvaa L 1 R n ):n heikkoon L n/n 1) -avaruuteen weak-l n/n 1) R n ) ja L p R n ):n avaruuteen L p R n ), kun 1 < p < n. Itse asiassa on olemassa vakio c = cn, p) siten, että 1.33) I 1 f p c f p, 1 < p < n, ja 1.34) m {x R n : I 1 fx) > t} ) c f n/n 1) 1 t n/n 1). Todistus. Todistuksessa esiintyvä c on yleinen merkintä vakiolle, joka riippuu korkeintaan n:stä ja p:sta, ja sen arvo voi muuttua riviltä toiselle siirryttäessä. Olkoon f L p R n ), 1 p < n. Voimme olettaa, että f 0. Kun δ > 0, niin kirjoitetaan I 1 fx) = Bx,δ) = Ax) + Bx). fy) fy) dy + dy x y n 1 R n \Bx,δ) x y n 1 Ensimmäistä termiä voidaan arvioida maksimaalifunktiotekniikalla. Merkitään A j = Bx,2 j δ) \ Bx,2 j 1 δ), j = 0,1,.... Nyt Ax) = = c j=0 A j fy) dy x y n 1 2 j 1 δ) 1 n j=0 2 j δ j=0 cδmfx), Bx,2 j δ) Bx,2 j δ) fy)dy fy)dy

16 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit missä M f on f:n Hardy-Littlewood maksimaalifunktio ks. [Ho2]). Jälkimmäistä termiä voidaan arvioida tapauksessa p > 1) Hölderin epäyhtälöllä Bx) f p R n \Bx,δ) x y 1 n)q dy) 1/q, missä q = p/p 1) on p:n Hölder-konjugaatti. Tapauksessa p = 1 käytämme arviota Bx) δ 1 n R n fy)dy = f 1 δ 1 n. Jos p > 1, niin R n \Bx,δ) x y 1 n)q dy = S δ t 1 n)p/p 1) t n 1 dt dθ = cδ p n)/p 1). Siten Bx) c f p δ p n)/p kaikilla 1 p <. Näin ollen Minimoidaan oikea puoli valitsemalla jolloin saadaan arvio ) I 1 fx) c f p δ 1 n/p + δmfx). δ = n p 1) f ) p/n p, Mfx) I 1 fx) c f p/n p Mfx) 1 p/n. Jos p > 1, niin käyttämällä Hardy-Littlewoodin lausetta so. Mf p c f p, ks. [Ho2]) saadaan arvio I 1 fx) np/n p) dx c f p2 /n p) p Mfx) p dx R n R n Jos p = 1, niin Hardy-Littlewoodin lauseen mukaan c f np/n p) p. m {x R n : Mfx) > t} ) c f 1, t > 0, t joten m {x R n : I 1 fx) > t} ) {x ) n/n 1)} ) m R n : Mfx) > ct/ f 1/n 1 c f n/n 1) 1 t n/n 1). Muokkaamalla yo. todistusta saadaan seuraava lokaali) arvio kaikilla 1 < p <.

Syyslukukausi 2003 17 Lause 1.35. Olkoon R n avoin, m) <, 1 < p p < n p ja κ = n p/n p p). Tällöin on olemassa vakio c = cn,p, p) s.e. kaikilla f L p ), sptf. Todistus. Koska spt f, niin I 1 f x) = Siten termille Bx) pätee arvio I 1 f κp cm) p 1 n p f p fy) dy. x y n 1 Bx) f p \Bx,δ) x y 1 n)q dy) 1/q. Jos p = p, niin käytetään arviota \Bx,δ) x y 1 n)q dy δ 1 n)q m). Jos p > p, niin käyttämällä toistamiseen Hölderin epäyhtälöä saadaan \Bx,δ) x y 1 n)q dy 1/α x y dy) 1 n)qα m) α 1)/α, \Bx,δ) missä α = p 1)/p p). Tämän jälkeen jatketaan kuten aiemmin valitsemalla nyt δ = n p p 1) f pm) p 1)/p Mfx) Yksityiskohdat jätetään harjoitustehtäväksi. Yhdistämällä Korollari 1.28 ja Lauseet 1.32 ja 1.35 saadaan ns. Sobolev-Poincaré epäyhtälöt. ) p n p Lause 1.36. Jokaisella 1 p < n on olemassa vakio c = cn, p) siten, että. 1.37) uy) u Bx,r) p dy Bx,r) ) 1/p c uy) p dy Bx,r) ) 1/p kaikilla Bx,r) R n ja kaikilla u W 1,p Bx,r)). Todistus. Merkitään lyhyemmin B = Bx,r). Osoitetaan arviot ensin funktioille u C 1 B) W 1,p B). Jos 1 < p < n, niin väite seuraa Korollari 1.28:sta ja Lause 1.32:sta. Tapauksessa p = 1, 1 = n/n 1), joudumme käyttämään ns. katkaisutekniikkaa, sillä Korollari 1.28:sta ja heikon tyypin epäyhtälöstä 1.34) saadaan vain arvio m { u u B > t} ) m {I 1 u > t/c} ) c u 1 /t) 1.

18 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit Ideana on osittaa B erillisiin joukkoihin B j = {2 j < u u B < 2 j+1 }, j Z, ja yrittää) arvioida B u u B 1 dm j Z 2 j+1)1 mb j ) i) c 2 j+1)1 χ Bj u 1 1 2 j1 j Z c u 1 1. Ongelmana on askel i). Tämän ratkaisemiseksi valitaan ensin sellainen b R, että ja tehdään havainto HT 2/3) m {u b} ) mb)/2 u u B 1 dm B ) 1/1 ja m {u b} ) mb)/2, 2 inf u c 1 dm c R B 2 u b 1 dm B ) 1/1 ) 1/1. Merkitään jolloin v + = maxu b,0) Merkitään lyhyemmin v = v + ja lisäksi B u b 1 dm = ja v = maxb u,0), B v+ 1 dm + v 1 dm. B v t 2 t1 = min max0,v t 1 ),t 2 t 1 ), kun 0 < t 1 < t 2 <. Jos ux) b, niin v t 2 t1 x) = 0, joten Harjoitustehtävä 2/2:n mukaan t > 0 pätee Siten supm {v t 2 t 0 m {v t 2 t1 = 0} ) m {u b} ) mb)/2. m {v t 2 t1 > t} ) 2 inf c R m { v t 2 t1 c > t/2} ). t1 > t} ) t 1 sup t 0 2 inf c R m { v t 2 t1 c > t/2} ) t/2) 1 2 1 2 1 +1 supm { v t 2 t1 v t 2 t1 ) B > t/2} ) t/2) 1 t 0 c2 1 +1 u χ {t1 <v<t 2 } 1 1.

Syyslukukausi 2003 19 Nyt voimme arvioida B v 1 dm 2 k1 m {2 k 1 < v 2 k } ) k Z 2 k1 m {v 2 k 1 } ) k Z = 2 k1 m {v 2k 1 2 2 k 2 } ) k 2 k Z c2 3 1 +1 u χ {2 k 2 <v 2 k 1 } dm k Z B c2 3 1 +1 u χ {2 k 2 <v 2 k 1 } dm k Z B = c2 3 1 +1 u dm B Sama arvio pätee v :lle, joten 1.37) on voimassa. Itse asiassa käytimme yllä heikon tyypin arviota 1.34) katkaistuille funktioille, vaikka todistimme sen vain C 1 -funktioille. Arvion 1.34) todistus toimii kuitenkin myös katkaistuille funktioille. Olkoon sitten u W 1,p B) ja u i W 1,p B) C 1 B) s.e. u i u W 1,p B):ssä. Soveltamalla arviota 1.37) erotuksiin u i u j nähdään, että u i ) on Cauchy-jono L p B):ssä. Siten u L p B) ja toteuttaa arvion 1.37). Yksityiskohdat jätetään harjoitustehtäväksi. Epäyhtälö 1.37) voidaan kirjoittaa muodossa Bx,r) uy) u Bx,r) p dy 1/p ) 1. cr Bx,r) ) 1 ) 1 uy) p dy Tällainen epäyhtälö pätee kaikilla 1 < p <. Nimittäin Korollari 1.28:sta ja Lause 1.35:sta saadaan seuraava lause. Lause 1.38. Olkoon 1 < p p < n p ja κ = n p/n p p). Tällöin on olemassa vakio c = cn,p, p) s.e. 1 1/p κp 1.39) uy) u Bx,r) κp dy cr uy) p dy Bx,r) kaikilla Bx,r) R n, u W 1,p Bx,r) ). Bx,r) Huomautus 1.40. 1. Yllä oleva arvio on hyödyllinen tapauksessa p = n, sillä silloin κn saadaan mielivaltaisen suureksi valitsemalla p tarpeeksi läheltä 1:stä. Kuitenkaan tästä ei pidä päätellä, että funktio u W 1,n ) kuuluisi avaruuteen L ) ks. HT 2/4). 2. Tapauksessa p = n pätee ns. Trudingerin epäyhtälö: On olemassa vakiot c 1 = c 1 n) ja c 2 = c 2 n) siten, että ) c1 uy) u B n/n 1) exp dy c 2 u n B kaikilla B = Bx,r) R n ja u W 1,n B). Emme todista tätä. 1/p.

20 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit 3. Jos u W 1,n R n ) ja Bx,r) R n, niin 1.39):n ja Hölderin epäyhtälön nojalla Bx,r) uy) u Bx,r) dy Bx,r) uy) u Bx,r) κn dy ) 1/n c u dm <. R n Siten u BMOR n ) =bounded mean oscillation). 1 κn Bx,r) u n dm Määritelmä 1.41. Olkoot X,d 1 ) ja Y,d 2 ) metrisiä avaruuksia ja 0 < α < 1. Sanomme, että kuvaus f : X Y on Hölder-jatkuva eksponentilla α, jos on olemassa vakio L s.e. d 2 fx),fy) ) Ld1 x,y) α kaikilla x,y X. Sanomme myös, että f : X Y on lokaalisti Hölder-jatkuva eksponentilla α, jos jokaisella X:n pisteellä on olemassa ympäristö, jossa f on Hölder-jatkuva eksponentilla α. Tapauksessa p > n pätee seuraava Morreyn epäyhtälö. Lause 1.42. a) Jokaisella n < p < on olemassa vakio c = cn, p) siten, että 1.43) uy) uz) cr 1/p u p dm kaikilla B = Bx,r) R n, kaikilla u W 1,p B) ja m.k. y,z B. b) Jos u W 1,p ) ja n < p <, niin raja-arvo 1.44) lim uy)dy =: u x) r 0 Bx,r) on olemassa kaikilla x. Lisäksi u = u m.k. ja u on lokaalisti Hölder-jatkuva eksponentilla 1 n/p. Tod. Olkoon u C 1 B) W 1,p B), p > n. Tällöin Korollari 1.28:n nojalla B 1/n uy) uz) uy) u B + uz) u B ) uw) uw) c dw + dw B w y n 1 B w z n 1 ) 1/p c u p dm w y 1 n)p p 1 dw B B ) p 1 p ) p 1) + w z 1 n)p p p 1 dw. B Toisaalta käyttämällä pallokoordinaatteja saadaan arviot w y 1 n)p p 1 dw w y 1 n)p p 1 B = c By,2r) 2r 0 = cr p n p 1 s 1 n)p p 1 s n 1 ds dw

Syyslukukausi 2003 21 ja Siten B uy) uz) cr p n p w z 1 n)p p 1 B dw cr p n p 1. 1/p u dm) p = cr u p dm Jos u W 1,p B), niin approksimoimalla u:ta sileillä funktioilla W 1,p B):ssä nähdään, että 1.43) pätee m.k. y,z B. Olkoon sitten u W 1,p ), p > n. Määritellään funktio ū: R, ūx) = lim sup udm. r 0 Bx,r) Perustele, miksi ūx) R x.) Tällöin Lebesguen differentioituvuuslauseen mukaan u = ū m.k. Olkoon x ja Bx,2r). Tällöin kaikilla y Bx,r) pätee yksityiskohdat HT) ūx) ūy) c x y Bx,2 x y ) B u p dm 1/p c x y 1 n/p Bx,2 x y ) u p dm c x y 1 n/p u p dm) 1/p. ) 1/p 1/p. Siten ū on lokaalisti Hölder-jatkuva eksponentilla 1 n/p. Koska ū on jatkuva, niin raja-arvo ūx) = lim ūdm = lim udm on olemassa x. r 0 Bx,r) r 0 Bx,r) Määritelmä 1.45. Olkoon R n avoin ja 1 p <. Sobolev-avaruus W 1,p 0 ) on C 1 0 ):n täydellistymä normin 1,p suhteen. Lähes suoraan Korollari 1.28:sta saadaan arvio uy) 1.46) ux) c dy x y n 1 kaikilla u C0 1 ) ja x. Tällöin nimittäin sptu on kompakti ja valitsemalla r > 0 niin suureksi, että sptu Bx,r) sekä asettamalla u R n \ = 0 saadaan ux) u Bx,r) c Bx,r) uy) dy = c x y n 1 uy) dy. x y n 1

22 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit Toisaalta u Bx,r) = Bx,r) udm cr n udm 0, kun r. Siten 1.46) pätee. Näin ollen saamme Sobolev-Poincaré epäyhtälöt funktioille u W 1,p 0 ): Lause 1.47. a) Jokaisella 1 p < n on olemassa vakio c = cn, p) s.e. kaikilla u W 1,p 0 ). u p dm ) 1/p ) 1/p c u p dm b) Olkoon 1 < p p < n p ja κ = n p/n p p). Tällöin on olemassa vakio c = cn,p, p) s.e. Bx,r) u κp dm 1 κp cr Bx,r) u p dm 1/p kaikilla Bx,r) R n, u W 1,p ) 0 Bx,r). Huomautus 1.48. Tässä luvussa käsiteltiin vain joitain Sobolevin avaruuksiin liittyviä ilmiöitä ja esimerkiksi tärkeät kompaktisuustulokset on jätetty käsittelemättä. Mainitaan kuitenkin seuraava, jossa oletus p > 1 on välttämätön. Jos u j ) on rajoitettu jono W 1,p ):ssa ja p > 1 so. u j 1,p c < ), niin on olemassa osajono u ji ) ja u W 1,p ) s.e. u ji u heikosti L p ):ssa ja u ji u heikosti L p ; R n ):ssä. Jos u j W 1,p 0 ), niin u W 1,p 0 ). Tämä johtuu siitä, että W 1,p ) on refleksiivinen, jos p > 1 ks. Funktionaalianalyysin kurssi). 2 Lipschitz kuvaukset Tässä luvussa tutkimme mm. R n :n Lipschitz-funktioiden differentioituvuutta, Lipschitz-kuvausten jatkamista sekä metristen avaruuksien upotuslauseita. Lähdemateriaalit: [EG], [He1], [He2], [HKM], [HKST], [K1].) Olkoot X,d 1 ) ja Y,d 2 ) metrisiä avaruuksia. Palautetaan mieliin, että kuvaus f : X Y on Lipschitz, jos on olemassa vakio L siten, että 2.1) d 2 fx),fy) ) Ld1 x,y) x,y X. Sanomme tällöin, että f on L-Lipschitz. Kuvaus f : X Y on lokaalisti Lipschitz, jos jokaisella X:n pisteellä on ympäristö, jossa f on Lipschitz. Jos L-Lipschitz kuvauksella f : X Y on käänteiskuvaus f 1 : Y X, joka on myös L-Lipschitz, niin f:ää kutsutaan L-bilipschitz kuvaukseksi. Kuvaus f : X Y on isometria, jos d 2 fx),fy) ) = d1 x,y) x,y X.

Syyslukukausi 2003 23 2.2 R n :n Lipschitz-funktioiden differentioituvuus Todistamme seuraavaksi Rademacherin lauseen edellä ollutta Morreyn epäyhtälöä käyttäen. Tätä varten tutkitaan ensin Lipschitz-funktioiden kuulumista Sobolevin avaruuksiin. Lause 2.3. Olkoon R n avoin ja u: R lokaalisti Lipschitz. Tällöin u W 1,p loc ) kaikilla p 1. Tod. Selvästi u on jatkuva, joten u L p loc ) p 1. Riittää osoittaa, että u:lla on heikot osittaisderivaatat D k u L p loc ), k = 1,...,n, p 1. Olkoon U. Koska u on lokaalisti Lipschitz, niin on olemassa vakio L s.e. u U on L-Lipschitz. Merkitään x = t,y) R R n 1. Kiinnitetään y R n 1 s.e. R {y} U. Tällöin funktio ϕ y : I R, ϕ y t) = ut,y), on L- Lipschitz jokaisella suljetulla välillä I, jolla I {y} U. Erityisesti ϕ y on absoluuttisesti jatkuva ja siten derivaatta ϕ yt) = D 1 ut,y) on olemassa m.k. t I ks. Reaalianalyysi I [Ho2]). Lisäksi ϕ yt) L m.k. t I. Funktiot D 1 ux) := lim sup i ut + 1/i,y) ut,y) 1/i ja D 1 ux) := lim inf i ut + 1/i,y) ut,y) 1/i ovat mitallisia, sillä ne ovat pisteittäisiä raja-arvoja jatkuvista funktioista = erotusosamääristä). Erityisesti joukko, jossa osittaisderivaatta D 1 u on olemassa ts. {x: D 1 ux) = D 1 ux) R}) on mitallinen. Fubinin lauseesta seuraa nyt, että D 1 u on olemassa m.k. U:ssa ja D 1 u L m.k. Siis D 1 u L p U) p 1, joten D 1 u L p loc ) p 1. Vielä on perusteltava, että D 1u on u:n heikko 1. osittaisderivaatta. Tämä seuraa siitä, että absoluuttisesti jatkuville funktioille pätee osittaisintegrointikaava ks. Reaalianalyysi I, HT 8/6 v. 2003)). Samoin voidaan käsitellä muut osittaisderivaatat D k u. Huomautus 2.4. Myös käänteinen tulos pätee. Toisin sanoen, jos u L loc ) ja sillä on heikot osittaisderivaatat D k u L loc ) k = 1,...,n, niin tällöin u:n ekvivalenssiluokassa on edustaja, joka on lokaalisti Lipschitz. Seuraava on Calderónin yleistys Rademacherin lauseesta. Lause 2.5. Olkoon R n avoin ja u W 1,p loc ) jollakin p > n. Tällöin u on differentioituva m.k. :ssa. Tod. Olkoon B mielivaltainen kuula, jolloin u W 1,p B). Lebesguen differentioituvuuslauseen mukaan 2.6) lim ux) ux 0 ) p dy = 0 r 0 Bx 0,r) melkein kaikilla x 0 B. Valitaan tällainen piste ja määritellään funktio vx) = ux) ux 0 ) ux 0 ),x x 0.

24 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit Tällöin v W 1,p B) ja vx) = ux) ux 0 ) m.k. x B. Morreyn epäyhtälöstä 1.43) sovellettuna funktioon v saadaan uy) ux 0 ) ux 0 ),y x 0 = vy) = vy) vx 0 ) cr vx) p dx missä r = y x 0. Nyt 2.6):n nojalla = cr Bx 0,2r) Bx 0,2r) 1/p ux) ux 0 ) p dx 1/p, uy) ux 0 ) ux 0 ),y x 0 y x 0 0, kun r 0. Lisäksi kuvaus h ux 0 ),h on lineaarinen kuvaus R n R, joten u on differentioituva x 0 :ssa ja siten m.k. :ssa. Huomautus 2.7. Ehto p > n on tarkka, sillä on olemassa funktio u W 1,n ), R n, joka ei ole jatkuva missään :n pisteessä, eikä näin ollen voi olla differentioituva missään :n pisteessä. Tällainen funktio saadaan konstruoitua esimerkiksi seuraavasti: Numeroidaan kaikki :n rationaalipisteet {q 1,q 2,...} ja määritellään u: Ṙ, ux) = i=1 ) 2 i 1 log log 1 +. x q i Nyt u W 1,n ), mutta ei ole jatkuva missään pisteessä. Yksityiskohdat HT.) Lauseista 2.3 ja 2.5 seuraa nyt välittömästi. Korollari 2.8 Rademacherin lause). Olkoon R n avoin ja u: R lokaalisti Lipschitz. Silloin u on differentioituva m.k. :ssa. Huomautus 2.9. Rademacherin lause pätee myös lokaalisti Lipschitz kuvauksille f : R m, R n, sillä jokainen f:n koordinaattifunktio on differentioituva m.k. 2.10 Lipschitz-vakiot Lip ja lip Olkoon X,d) metrinen avaruus. Otetaan käyttöön yleinen) merkintätapa dx,y) =: x y, x,y X, vaikkei X olekaan vektoriavaruus. Olkoon f : X Y Lipschitz kuvaus. Merkitään LIP f:llä pienintä vakiota L, jolla 2.1) pätee. Toisin sanoen, LIPf = inf{l: f on L-Lipschitz}. Helposti nähdään, että tällöin f on LIP f-lipschitz. Seuraavat pisteittäiset Lipschitz-vakiot tulevat karkeasti ottaen vastaamaan gradientin normia.

Syyslukukausi 2003 25 Määritelmä 2.11. Olkoon X,d) metrinen avaruus ja f : X R. Määritellään f:n ylempi pisteittäinen Lipschitz-vakio funktiona Lip f : X [0, + ], ) fx) fy) Lipfx) = lim sup r 0 r missä sup y Bx,r) = lim sup F s x), r 0 0<s<r F s x) = sup y Bx,s) fy) fx). s Samoin määritellään f:n alempi pisteittäinen Lipschitz-vakio funktiona lip f : X [0, + ], ) fx) fy) lip fx) = lim inf r 0 r sup y Bx,r) = lim r 0 inf 0<s<r F sx). Lemma 2.12. Jos f : X R on jatkuva, niin Lip f ja lip f ovat Borel-funktioita. Tod. Osoitetaan ensin, että F s on alhaalta puolijatkuva, ts. {x: F s x) > t} on avoin t R. Riittää tarkastella arvoja t 0. Kiinnitetään t 0 ja olkoon x 0 {x: F s x) > t}. Tällöin on olemassa y Bx,s) s.e. fy ) fx 0 ) > st. Valitaan ε > 0 s.e. fy ) fx 0 ) > st + ε. Koska f on jatkuva x 0 :ssä, on olemassa r 0,s x 0 y ] s.e. fy) fx 0 ) < ε y Bx 0,r). Toisaalta, jos y Bx 0,r), niin y By,s) ja Siis F s y) > t y Bx 0,r), joten fy) fy ) fy ) fx 0 ) fx 0 ) fy) > st + ε ε = st. Bx 0,r) {x: F s x) > t} ja siten F s on alhaalta puolijatkuva. Tästä seuraa, että myös sup 0<s<r F s on alhaalta puolijatkuva HT) ja siten Borel. Koska on Lip f Borel. Osoitetaan lopuksi, että Lip fx) = lim sup F s x) = lim r 0 0<s<r i 2.13) inf 0<s<r F sx) = inf 0 < s < r s Q jolloin myös inf 0<s<r F s, ja siten lip f on Borel. Selvästi Toisaalta inf F sx) 0<s<r inf 0 < s < r s Q sup 0<s<1/i F s x), F s x). sf s s ε)f s ε ε > 0, F s x), joten jokaista x, s 0,r) ja ε > 0 kohti on olemassa s 0,r) Q s.e. Antamalla ε 0 nähdään, että 2.13) pätee. F s x) 1 ε)f s x).

26 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit 2.14 Lipschitz-kuvausten jatkaminen Lause 2.15 McShane-Whitney jatkolause). Olkoon X metrinen avaruus, A X ja f : A R L-Lipschitz. Tällöin on olemassa L-Lipschitz funktio F : X R s.e. F A = f. Tod. Jokaisella a A määritellään L-Lipschitz funktio f a : X R, f a x) = fa) + L a x, x X. Määritellään F asettamalla Fx) = inf a A fa x), x X. Selvästi Fx) < x X. Kiinnitetään a 0 A, jolloin nähdään, että fa) + L a x fa) + L a a 0 L a 0 x fa 0 ) L a 0 x. Siten Fx) > kaikilla x X. Koska jokainen f a on L-Lipschitz ja Fx) > x, myös F on L-Lipschitz. Lisäksi jokaisella x A joten F A = f. Fx) f x x) = fx) fy) + L x y = f y x) y A, Korollari 2.16. Olkoon X metrinen avaruus, A X ja f : A R n L-Lipschitz. Silloin on olemassa nl-lipschitz kuvaus F : X R n s.e. F A = f. Tod. Sovelletaan Lausetta 2.15 koordinaattifunktioihin. Huomautus 2.17. Lause 2.15 pätee myös tapauksessa X R m, f : X R n, mutta todistus on paljon vaikeampi ns. Kirszbraunin lause). Jos käytetään R n :ssä l -normia, x 1,...,x n ) = max{ x i : i = 1,...,n}, niin kerroin n on tarpeeton Korollari 2.16:ssa. Itseasiassa pätee yleisempi tulos. Sitä varten palautetaan mieliin merkintä l Y ) = {s: Y R: sup sy) < }, y Y kun Y on mikä tahansa joukko. Nyt l Y ) varustettuna normilla s = sup y Y sy) on Banach avaruus. Korollari 2.18. Olkoon X metrinen avaruus, A X, Y mikä tahansa joukko ja f : A l Y ) L-Lipschitz kuvaus. Tällöin on olemassa L-Lipschitz kuvaus F : X l Y ) s.e. F A = f. Tod. Jokainen l Y ):n piste s voidaan tulkita jonoksi sy) ) y Y. Siten voimme tulkita kuvauksen f : A l Y ) kuvauksena, jonka koordinaattifunktioita ovat reaaliarvoiset funktiot f y : A R, a fa)y), y Y. Sovelletaan sitten Lausetta 2.15 näihin koordinaattifunktioihin.

Syyslukukausi 2003 27 2.19 Metristen avaruuksien upotukset Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia. Sanomme, että kuvaus f : X Y on upotus, jos f : X fx) on homeomorfismi. [Huom. fx):ssä relatiivitopologia.] Erityisesti jokainen isometria on upotus. Lause 2.20 Kuratowski). Jokainen metrinen avaruus X voidaan isometrisesti upottaa Banachavaruuteen l X). Tod. Kiinnitetään x 0 X. Jokaisella y X, määritellään kuvaus f y : X R, Kolmioepäyhtälöstä seuraa, että f y x) = x y x x 0. f y x) y x 0 ja f y x) f y x) = x y x y y y kaikilla x X. Siten f y on rajoitettu eli f y l X) ja f y f y y y. Toisaalta f y y) f y y) = y y, joten f y f y = y y. Kuratowskin upotuslauseen heikkous on siinä, että maalijoukko l X) riippuu X:stä. Jos X on separoituva, voidaan maalijoukoksi valita Banach-avaruus l = l N). Muistutetaan, että topologinen avaruus X on separoituva, jos on olemassa numeroituva tiheä osajoukko {x 1,x 2...} X. Lause 2.21 Fréchet). Jokainen separoituva metrinen avaruus X voidaan isometrisesti upottaa Banach-avaruuteen l. Tod. Kiinnitetään numeroituva tiheä osajoukko {x 0,x 1,x 2,...} X. Silloin kuvaus x x x 1 x 1 x 0, x x 2 x 2 x 0,... ) määrittelee isometrisen upotuksen X l. Yksityiskohdat HT.) Huomautus 2.22. Edellisen lauseen heikkous on, ettei l ole separoituva. Banach on todistanut, että jokainen separoituva metrinen avaruus uppoaa isometrisesti separoituvaan Banachavaruuteen C[0,1]), ). Emme todista tätä. Määritelmä 2.23. Sanomme, että metrinen avaruus X on tuplaava eli kahdentava), jos on olemassa vakio c N s.e. jokainen joukko, jonka halkaisija on d, voidaan peittää c:llä joukolla, joiden halkaisija on korkeintaan d/2. Lemma 2.24. Jokainen tuplaava metrinen avaruus on separoituva. Tod. Kiinnitetään y 0 X ja merkitään X k = X By 0,k). Koska X = k N X k, riittää löytää numeroituva tiheä X k :n osajoukko k N. Selvästi jokainen X k on tuplaava metrinen avaruus vakiolla c ja X k :n halkaisija on korkeintaan 2k. Voimme siten olettaa, että X on rajoitettu. Olkoon d = diam X. Voimme peittää X:n joukoilla A 1,1,...,A 1,c s.e. diam A 1,i d/2. Jokainen A 1,i voidaan edelleen peittää c:llä joukolla, joiden halkaisijat ovat korkeintaan d/2 2. Yleisesti X voidaan peittää joukoilla A i,1,...,a i,c i s.e diam A i,j d/2 i. Valitaan pisteet x i,j A i,j jokaisella i N, j = 1,...,c i. Tällöin joukko S = i,j {x i,j } on numeroituva ja tiheä.

28 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit Lemma 2.25. Jos X,d) on metrinen avaruus ja 0 < α < 1, niin X,d α ) on metrinen avaruus. Tod. HT Sanomme, että X,d α ) on X,d):n lumihiutale versio. Lause 2.26 Assouad). Jos X, d) on tuplaava metrinen avaruus, niin sen jokainen lumihiutale versio X,d α ) voidaan bi-lipschitz upottaa johonkin euklidiseen avaruuteen R N. Lisäksi N riippuu vain α:sta ja X,d):n tuplausvakiosta c. Lykkäämme Assouadin lauseen todistusta myöhemmäksi. Todistusta varten tarvitsemme lisää määritelmiä ja lemmoja. Palautetaan ensiksi mieleen Zornin lemma ks. esim. Algebra, Topologia II). Lemma 2.27 Zornin lemma). Olkoon Y, ) osittain järjestetty joukko. Jos jokaisella Y :n ketjulla on yläraja Y :ssä, niin Y :ssä on ainakin yksi maksimaalinen alkio. Määritelmä 2.28. Olkoon X metrinen avaruus ja ε > 0. Sanomme, että X:n osajoukko A on ε-verkko, jos x y ε, x,y A, x y. Maksimaalinen ε-verkko N = NX, ε) on mikä tahansa ε-verkko, joka on maksimaalinen inkluusion suhteen. Tällöin X = Bx,ε). x N Lemma 2.29. Jokaisella metrisellä avaruudella on olemassa maksimaalinen ε-verkko jokaisella ε > 0. Tod. Väite voidaan todistaa Zornin lemman avulla. Merkitään X:n ε-verkkojen joukkoa N ε X):llä. Tällöin N ε X), ) on osittain järjestetty joukko N ε X), jos X ). Jos K = {A α : α A} N ε X) on ketju ts. täysin järjestetty joukko), niin A α N ε X) α on K:n yläraja. Zornin lemman nojalla N ε X):ssä on ainakin yksi) maksimaalinen alkio N. Perustellaan vielä edellä ollut väite α A α N ε X). Olkoot x,y α A α, x y. Silloin x A α ja y A β joillakin indekseillä α,β A. Koska K on ketju, pätee joko A α A β tai A β A α. Erityisesti A α A β on ε-verkko, joten x y ε. Huomautus 2.30. 1. Edellä ei vaadita, että maksimaalinen ε-verkko olisi numeroituva. Esimerkki metrisestä avaruudesta, jonka jokainen maksimaalinen ε-verkko on ylinumeroituva, on R R,d), missä d on metriikka { dz,z y y, jos z = x,y),z = x,y ); ) = y + x x + y, jos z = x,y),z = x,y ),x x. 2. Joskus kirjallisuudessa määritellään ε-verkko äärellisenä osajoukkona F X s.e. X = Bx,ε). x F

Syyslukukausi 2003 29 3. Kutsumme tällä kurssilla) joukkoa F X ε-tiheäksi, jos X = Bx,ε). x F Jälkimmäiseen huomautukseen liittyy seuraava käsite. Käytämme sitä myöhemmin Lemman 2.32 kautta. Määritelmä 2.31. Metrinen avaruus X on totaalisesti rajoitettu eli prekompakti), jos jokaisella ε > 0 on olemassa äärellinen ε-tiheä joukko F X. Lemma 2.32. Metrinen avaruus on kompakti, jos ja vain jos se on totaalisesti rajoitettu ja täydellinen. Tod. Jos metrinen avaruus X on kompakti, niin se on selvästi totaalisesti rajoitettu ja täydellinen Topologia I:n tiedot). Oletetaan kääntäen, että X on totaalisesti rajoitettu ja täydellinen. Olkoon y i ) jono X:n pisteitä. Koska X on totaalisesti rajoitettu, on olemassa äärellinen 1-tiheä) joukko {x 1,...,x k1 } s.e. X = k 1 i=1 Bx i,1). Siten on olemassa kuula Bx i,1), joka sisältää äärettömän monta jonon y i ) pistettä. Poimitaan nämä y i :t ja merkitään niiden muodostamaa osajonoa y 1,i ):llä. Edelleen on olemassa äärellinen 1/2-tiheä joukko ja siten kuula Bx, 1/2), joka sisältää äärettömän monta jonon y 1,i ) pistettä. Merkitään näiden muodostamaa osajonoa y 2,i ):llä ja jatketaan prosessia. Yleisesssä vaiheessa on olemassa äärellinen 2 j -tiheä joukko ja siten 2 j -säteinen kuula, joka sisältää äärettömän monta jonon y j 1,i ):n pistettä. Merkitään näiden muodostamaa osajonoa y j,i ):llä. Nyt diagonaalijono y i,i ) on Cauchy-jono ja se suppenee X:n täydellisyyden nojalla. Siis X on kompakti. Lemma 2.33. Olkoon Z metrinen avaruus, jonka jokaisessa suljetussa kuulassa Bz,r) on korkeintaan M N alkiota. Silloin on olemassa kuvaus f : Z {1,...,M} s.e. fz) fz ), jos z z r. Tod. Olkoon F kaikkien niiden kuvausten g: Z g {1,...,M}, Z g Z, joukko, joilla gz) gz ), jos z,z Z g ja z z r. Selvästi F. Määritellään F:ään osittainen järjestys, Olkoon K F ketju. Olkoon g g Z g Z g ja g Z g = g. Z = g K ja määritellään h: Z {1,...,M} yhtälöllä hz) = gz), jos z Z g. Kuvaus h on hyvin määritelty, koska K on ketju. Lisäksi hz) hz ), jos z z r, joten h F. Nyt h on K:n yläraja, sillä Z g Z g K. Zornin lemman mukaan F:ssä on olemassa maksimaalinen alkio f : Z f {1,...,M}, jolle siis pätee, että fz) fz ), jos z z r. Oletetaan, että Z f Z ja valitaan z 0 Z \ Z f. Koska z 0 Bz 0,r) \ Z f ja oletuksen mukaan card Bz 0,r) M, niin cardz f Bz 0,r)) M 1. Valitaan k {1,...,M} s.e. fz) k kaikilla z Z f Bz 0,r). Jatketaan f kuvaukseksi f : Z f {z 0 } {1,...,M} asettamalla f z 0 ) = k ja f z) = fz), kun z Z f. Nyt f F ja f f, mikä on ristiriita f:n maksimaalisuuden kanssa. Siis on oltava Z f = Z. Lemma 2.34. Olkoon X, d) metrinen avaruus. Oletetaan, että jollakin m N on olemassa jono funktioita ϕ j : X R m, j Z, ja vakiot A,B > 0 ja 0 < τ < 1 s.e. 1) ϕ j s) ϕ j t) A, jos τ j+1 < ds,t) τ j, ja Z g

30 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit 2) ϕ j s) ϕ j t) B min{τ j ds,t),1} kaikilla s,t X. Tällöin jokaista 0 < ε < 1 kohti on olemassa L-bilipschitz upotus f : X,d ε ) R n jollakin n N. Lisäksi bilipschitz vakio L ja dimensio n riippuvat vain annetusta datasta: m,a,b,τ,ε. Lemman 2.34 samoin kuin Assouadin lauseen todistukset lisätään tähän myöhemmin kunhan ne on ensin käsitelty luennolla). 3 Metristen avaruuksien suppeneminen Lähdemateriaali: [BBI], [DS], [Gr], [He2], [Pe].) 3.1 Hausdorff-etäisyys Olkoon X metrinen avaruus, S X ja ε > 0. Joukko Sε) = {x X : distx,s) < ε} on S:n ε-ympäristö. Toisin sanoen Sε) = x S Bx,ε). Määritelmä 3.2. Joukkojen A X ja B X välinen Hausdorff-etäisyys on d H A,B) = inf{r > 0: A Br),B Ar)}. Joskus merkitsemme myös d X H = d H. Jos A, niin d H A, ) =. Asetamme d H, ) = 0. Lemma 3.3. Jos A,B,C X, niin d H A,B) d H A,C) + d H C,B). Tod. Voidaan olettaa, että d H A,C) < ja d H C,B) <. Valitaan r > 0 ja s > 0 s.e. 3.4) A Cr), C Ar), C Bs), B Cs). Tällöin Cr) Bs) ) r) Bs + r), joten A Bs + r). Samoin Cs) Ar) ) s), joten B Ar + s). Näin ollen d H A,B) s + r. Ottamalla inf yli sellaisten r:ien ja s:ien, joille 3.4) pätee, saadaan väite. Huomautus 3.5. 1. Helposti nähdään, että d H A,B) = max{sup a A dista,b),sup b B distb,a)}. 2. Jos r > 0, niin d H A,B) r dista,b) r a A ja distb,a) r b B. 3. d H ei välttämättä ole metriikka, sillä voi olla d H A,B) = esim. X = R 2, A on suora y = x ja B on suora y = x), tai d H A,B) = 0, vaikka A B esim. X = R = A, B = Q). Merkitään X:n kompaktien epätyhjien osajoukkojen joukkoa CX):llä. Lemma 3.6. Jos A,B X ovat suljettuja ja A B, niin d H A,B) > 0. Erityisesti d H määrittelee metriikan CX):ssä. Tod. Olkoot A,B X suljettuja ja A B. Voimme olettaa, että A \B. Olkoon x A \B. Koska B on suljettu, on olemassa r > 0 s.e. Bx,r) B =. Tällöin x Br), joten d H A,B) r > 0. Selvästi d H on ei-negatiivinen, symmetrinen, ja d H A,A) = 0. Koska metrisessä avaruudessa jokainen kompakti joukko on rajoitettu, on d H A,B) äärellinen, jos A CX) ja B CX). Kolmioepäyhtälö todistettiin Lemmassa 3.3. Näin ollen d H määrittelee metriikan CX):ssä.

Syyslukukausi 2003 31 Lause 3.7. Jos X on kompakti, niin CX),d H ) on kompakti. Tod. Lemman 2.32 nojalla riittää osoittaa, että CX),d H ) on täydellinen ja totaalisti rajoitettu. Olkoon S i ) i N Cauchy-jono CX):ssä. Merkitään S = {x X : Bx,r) S i r > 0, äärettömän monella i:n arvolla}. Osoitetaan, että S CX) ja d H S i,s) 0. Jos y X \ S, niin on olemassa r > 0 ja i r N s.e. By,r) S i = i i r. Tällöin Bz,r/2) S i = i i r ja z By,r/2). Näin ollen By,r/2) X \ S, joten S on suljettu. Koska X on kompakti, on myös S kompakti. Kiinnitetään ε > 0 ja olkoon i 0 N sellainen, että d H S i,s j ) < ε i,j i 0. Jos x S, niin on olemassa j i 0 s.e. Bx,ε) S j. Siis x y < ε jollakin y S j. Koska d H S i,s j ) < ε i i 0, niin disty,s i ) < ε ja distx,s i ) x y + disty,s i ) < 2ε i i 0. Siis S S i 2ε) i i 0. Olkoon sitten i i 0 ja x S i. Olkoon i 1 = i ja jokaisella k N valitaan i k N s.e. i k+1 > i k ja d H S j,s n ) < ε/2 k j,n i k. Olkoon x 1 = x ja jokaisella k > 1 valitaan pisteet x k S ik rekursiivisesti s.e. x k+1 x k < ε/2 k. Näin voidaan tehdä, sillä S ik S ik+1 ε/2 k ). Nyt x k ) on Cauchy-jono, sillä n 1 x k+n x k < ε/2 j = ε/2 k 1, j=k joka saadaan mielivaltaisen pieneksi kasvattamalla k:ta. Koska X on täydellinen, on olemassa y = lim x k X. Lisäksi y S konstruktion perusteella. Nyt k 1 x y = lim x x k lim x j x j+1 < 2ε. k k Näin ollen S i S2ε) i i 0. Olemme osoittaneet, että d H S i,s) 0 ja S CX), joten CX),d H ) on täydellinen. Olkoon ε > 0 ja olkoon N X äärellinen ε-tiheä joukko. Osoitetaan, että 3.8) CX) {C CX): d H C,S) < 2ε}, }{{} S PN) =B H S,2ε) jolloin olemme näyttäneet, että PN) on äärellinen 2ε-tiheä CX):n osajoukko eli CX),d H ) on totaalisesti rajoitettu. Olkoon K CX) ja j=1 S K = {x N : distx,k) < ε} PN). Jokaisella y K, on olemassa x N s.e. x y < ε, koska N on ε-tiheä. Tällöin x S K, sillä distx,k) x y < ε. Siten disty,s K ) < ε y K, joten K S K ε). Toisaalta S K :n määritelmän mukaan distx,k) < ε x S K, joten S K Kε). Siis d H K,S K ) < 2ε. Tämä pätee jokaisella K CX), joten 3.8) pätee. Korollari 3.9. Olkoon X kompakti ja S i CX), i N. Tällöin on olemassa osajono S ij ) ja S CX) s.e. S ij S CX):ssä eli d H S ij,s) 0).

32 Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit Merkitään BX) = {A X : A suljettu, rajoitettu ja epätyhjä}. Lemman 3.6 ja Lauseen 3.7 todistuksista saadaan seuraava tulos. Lause 3.10. a) Hausdorff-etäisyys d H määrittelee BX):ään metriikan. b) Jos X on täydellinen, niin BX),d H ) on täydellinen. Myös käänteinen tulos on voimassa. Sitä varten todistetaan aputulos. Lemma 3.11. Olkoot A, B X ja diam A <. Silloin ts. kuvaus A diam A on 2-Lipschitz. joten diam A diam B 2d H A,B), Tod. Voi olettaa, että myös diam B <. Tällöin r > 0, jolla A Br) ja B Ar), pätee diam A diam Br) diam B + 2r diam B diam Ar) diam A + 2r, diam A diam B 2r. Siis diam A diam B 2d H A,B). Määritellään kuvaus i: X BX), ix) = {x}. Selvästi d H {x}, {y}) = x y, joten i on isometrinen upotus metriseen avaruuteen BX),d H )). Lause 3.12. a) Jos BX),d H ) on täydellinen, niin myös X on täydellinen. b) Jos BX),d H ) on kompakti, niin myös X on kompakti. Tod. Oletetaan, että BX),d H ) on täydellinen. Olkoon x j ) Cauchy-jono X:ssä, jolloin ix j ) ) on Cauchy-jono BX):ssä. Siten ix j ) A BX). Lemman 3.11 nojalla diama = 0, joten A = {x} = ix). Tästä seuraa, että x j x. Siten X on täydellinen. Oletetaan sitten, että BX),d H ) on kompakti ja olkoon x j ) jono X:ssä. Tällöin on olemassa osajono x jk ) ja A BX) s.e. ix jk ) A. Samoin kuin edellä päätellään, että A = ix) jollakin x X ja siten x jk x. Siis X on kompakti. 3.13 Gromov-Hausdorff-etäisyys Määritelmä 3.14. Metristen avaruuksien X ja Y Gromov-Hausdorff-etäisyys on d GH X,Y ) = inf Z,ϕ,ψ dz H ϕx,ψy ), missä Z on metrinen avaruus ja ϕ: X Z, ψ: Y Z ovat isometrisia upotuksia. Separoituvien metristen avaruuksien tapauksessa Z:ksi voidaan valita l. Lemma 3.15. Jos X ja Y ovat separoituvia metrisiä avaruuksia, niin d GH X,Y ) = inf ϕ,ψ dl H ϕx,ψy ), missä ϕ: X l ja ψ: Y l ovat isometrisia upotuksia.