Rtkisuist Nämä Juuri- j logritmiunktiot -kurssin krtusthtävin j -srjojn rtkisut prustuvt oppikirjn titoihin j mntlmiin. Kustkin thtävästä on ylnsä vin yksi rtkisu, mikä i kuitnkn trkoit sitä, ttä rtkisu olisi ino ti ds prs mhdollinn. Vlittu rtkisutp on toivottvsti kuitnkin mhdollisimmn suorviivinn j ymmärrttävä. Rtkisut ovt mllirtkisuj. Niissä rtkisun tnminn on sittty niin trksti j prustlln kuin hyvässä rtkisuss pitää thdä. Hyvään rtkisuun kuuluu rtkisuss käyttyn mntlmän j mrkintöjn snllinn slittäminn. Moniss tämän kurssin thtävissä prustlut thdään unktion kulkukvion vull. Tällöin kulkukvion muodostminn j prustlu on olllinn os thtävän rtkisu. Monsti rtkisujn hhmottmisss trvitn myös unktioidn kuvji. Kuvj on hlppo piirtää grisll lskimll, jotn kuvj knntt piirtää, vikk sitä i välttämättä vdittisikn. Kuvjn vull on myös hlppo trkist thtävän vstus. Rtkisuun kuuluu myös vstuksn ilmoittminn. Miluimmin knntt kirjoitt rillinn vstus, vikk ohisiss rtkisuiss i tiln säästämisksi ol näin thtykään. Rtkisut on kuitnkin ldittu sitn, ttä vstus on rtkisun lopuss. Ylnsä thtävin rtkisuiss trvitn skä snllisi prustluj vtivi välivihit ttä mknisi lskuj, kutn yhtälöidn rtkismist ti kvojn käyttöä. Ohisiss rtkisuiss on snllist prustlut sittty vähintäänkin riittävällä trkkuudll. Myös rtkisuihin liittyvät kuviot on piirrtty, lli thtävässä ol ollut kuviot vlmiin. Monimutkismmiss thtävissä on joistin mknistn vihidn yksityiskohdist ollut joskus pkko tinkiä, jott rtkisujn slkys i kärsisi. Esimrkiksi toisn stn yhtälön rtkisu rtkisukvn vull i ol kirjoitttu näkyviin, vikk tämä täydllisn rtkisuun kuuluukin. Opisklijn pitää kuitnkin omiss rtkisuissn käyttää riittävästi välivihit, kosk tämä prhitn tk virhttömän lopputuloksn. Jukk Kngsho j Wrnr Södrström Oskyhtiö 8
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät Krtusthtävin rtkisut. Nliöjuuri on määritlty, kun juurrttv on pängtiivinn. Siis unktio on määritlty, kun. < Määrittlyjoukko on väli ], ]. b Funktio on määritlty, kun juurrttvt ovt pängtiivisi j lisäksi nimittäjä i s oll noll. Siis unktio on määritlty, kun j < > > <. < Siis unktio on määritlty, kun < li unktion määrittlyjoukko on väli ], [. c Kuutiojuuri on määritlty kikill juurttvn rvoill. Siis unktion määrittlyjoukko on R.. Funktio on määritlty, kun. Funktion kuvj on lspäin ukv prbli, jonk nollkohdt ovt j. Siis, kun. Funktion määrittlyjoukko on väli [, ]. b Funktio g on määritlty, kun luskkn nliöjuurt ovt määritllyt j lisäksi nimittäjä i s oll. Siis on oltv > j j < < li <. Funktion g määrittlyjoukko on väli [, [.
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. Yhtälön molmmt puolt ovt pängtiivist, jotn voidn korott nliöön. b 9 9 : 9 c 9, kun 9. Kosk nliöjuuri on in pängtiivinn, yhtälöllä i ol rtkisu. d Yhtälö on määritlty, kun. 8 8 Rtkisu totutt määrittlyhdon. Voidn korott kolmntn ponssiin. Korottn nliöön.. Määrittlyhto: ti Rtkisukvll. Rtkisut totuttvt määrittly- j nliöönkorotushdot. b 7 Määrittlyhto: 7 7 Nliöönkorotushto: 7 Nliöönkorotushto: ti Rtkisukvll. Rtkisuist totutt määrittly- j nliöönkorotushdot.
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. 7 7 7 7 7 D b D D 7. b 8., Drivoidn., > Drivtt on noll, kun osoittj on noll mutt nimittäjä i ol. Kulkukvio: Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss. Pinin rvo on. D D D 7 7 7 D D D D,, > <
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 8. b Funktio g Drivoidn. on määritlty, kun >. g D D D D Drivtn nollkohdt: Kulkukvio: g < g g g 9 > Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss. 8 Pinin rvo on g. 9., jos j vin jos jokisll. Drivoidn. D Drivtn nollkohdt: > Kulkukvio: Korottn nliöön. <, 9 > Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss. Pinin rvo on, jotn jokisll. 7
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. Funktio on jtkuv, kun j drivoituv, kun >. Drivoidn., > Drivtn nollkohdt:, Korottn nliöön. Kulkukvio:,, < > Kulkukvion prustll unktio on idosti vähnvä välillä [, ] j ksvv välillä [, [. b Kosk <, unktioll i ol nollkoht välillä [, ]. Kulkukvion prustll unktio on idosti ksvv, kun. Kosk,7 < j >, unktioll on nollkoht välillä [, [. Kosk on välillä idosti ksvv, muit nollkohti i ol. Siis yhtälöllä on tsn yksi juuri. 8
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. Nliön pint-l on cm, jotn sivun pituus on cm cm. b Nliön pint-l on cm, jotn sivun pituus on cm cm. c Jos nliön pint-l on A cm, niin nliön sivun pituus on s A cm. Pint-l t skunnin kuluttu on t t cm, jotn sivun pituus htkllä t on s t t t t cm. d Sivun pituudn ksvunopus on drivtt s t. t Ksvunopus 8 skunnin kuluttu on s 8, cm/s. 8 Ksvunopus skunnin kuluttu on s, cm/s. 9
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. D D D b D D. Suorn j käyrän likkuspistn -koordintti: ti 9 Korottn nliöön. Sijoittmll nähdään, ttä vin totutt yhtälön. Funktion drivttunktio on D. Kuvjll kohtn piirrtyn tngntin kulmkrroin on 9 Suorn y kulmkrroin on, jotn suor on likkuskohdss kohtisuorss tngntti vstn, kosk kulmkrtoimin tulo on. Siis suor y on käyrän normli..
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. D D Drivtt on määritlty kikill :n rvoill. Nollkohdt: ti Vin totutt nliöönkorotushdon.. Funktio g on määritlty, kun. Drivoidn: g Drivttunktion nollkoht on. Kulkukvio: Kulkukvion prustll unktion g suurin rvo on. g Nliöönkorotushto:,,, < > g g g g
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. Funktio g on määritlty, kun j. Siis määrittlyjoukko on väli [, ]. Drivoidn. g D Drivtn nollkoht on drivtn osoittjn nollkoht. nliöön. Voidn korott Funktio s suljtull välillä [, ] suurimmn rvons päätpistssä ti drivtn nollkohdss. Päätpistrvot: g,, g,7 Arvo drivtn nollkohdss: g Funktion g suurin rvo on, pinin rvo on.
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 7. Nopin ritti on kuvn murtoviiv ACB. B Jos kilomtriin kuluv ik on tillä, niin mtsässä s on. Kokonisik on km AC CB AC CB. C A Aik on lyhin kohdss, joss unktio, s pinimmän rvons. Drivoidn. Drivtn nollkohdt:,, Funktion rvot välin [, ] päätpistissä:,, Funktion rvo drivtn nollkohdss on likimin 8,7. Siis unktio s pinimmän rvons drivtn nollkohdss,. Nopin ritti: Ensin titä pitkin, 7, km j sittn suorn mtsän hlki plopikll.
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 8. Krtion tilvuus V π r h, missä r on pohjn säd j h korkus. Pythgorn lusn prustll r h r h. Sijoittn r h tilvuudn luskksn. V π h h π h h, h Drivtn V π h nollkohdt ovt h r j. Päätpistrvot välillä [, ]: V V Arvo drivtn nollkohdss: V π π π π, 9 Suurin tilvuus on π. 9 9. Mrkitään vkrimn pituutt j vinon y m. Tällöin y, jotn y. Khikon korkus h sdn Pythgorn lusll: h y Khikon pint-l on A h, missä. Funktion A päätpistrvot ovt nolli, jotn unktio s suurimmn rvons drivtn A 8 välill ], [ kuuluvss nollkohdss. Suurimmn tulun lvys on, m j korkus h, m.
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. 7 Kntluvun potnssin ksponntti. b c d 9 9 9 g g. Jos b on luvun k-kntinn logritmi, niin b k. 8 b c d 7 7 log 7. Logritmin määritlmän prustll 7 b log log. k-kntinn logritmi on ksponntti, kun luku sittään luvun k potnssin. lg log b lg log c ln log d ln log,. Kosk lg,, niin.,9 b Kosk lg,9, niin,8.. ln b ln ln ln
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. log log log log log log log b log log log log log 9 log 7. log log log log log log log log log log log log log log log log 8 log log 8. Yhtälön log log määrittlyjoukko: > j > > > Molmmt hdot ovt voimss, kun >. log log log log ti Tulon nollsääntö. Rtkisuist kuuluu yhtälön määrittlyjoukkoon. b Yhtälö log log määritlty, kun > li < j > li >. Ehdot ovt yhtä ik voimss, kun < <. log log log log log log 7 ti log Rtkisukvll. Rtkisuist kuuluu määrittlyjoukkoon.
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 9. lg lg,, jotn,,,7. Siis Luvuss on suurmpi kuin luku j siis myös luvuss. on numro, kutn myös luvuss,7.,.,7, :, b,7, lg,7 lg, lg,7 lg, lg,, lg,7,98, lg,98 lg, lg,98 lg, lg, lg,98. log 7 b 7 lg lg 7 lg lg 7 lg 7,9 lg log 7 7 lg 7 lg lg 7 lg lg lg 7 lg, lg 7,87. Korkus tul yhdllä kopiokrrll,7-krtisksi j kopioinnill,7 -krtisksi. Kosk korkus pinn jok kopiointikrrll, korkus litt, cm:n rjn, kun,7 8,,,7 8, lg 8 9,7. lg,7 : 8 Siis pitää kopioid vähintään krt. 7
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät. Rtkistn, kosk rj lg lg lg 98,9 lg ylittyy. Kosk suurn, kun suurn, niin nsimmäinn kokonislukupotnssi, jot i voi lsk on 98.. Todnnäköisyys, ttä hnkilö i ol ortodoksi, on,,989. Jos ryhmässä on n hnkilöä, niin: Pinkin yksi ortodoksi Pi yhtään ortodoksi,989 n.,989,989 lg,989 n n n >,9 <, < lg, n lg,989 < lg, : lg,989,8 < lg, n > 8, lg,989 Ryhmässä pitää oll vähintään hnkilöä. 8
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 9. D ln ln ln ln b D g g on in positiivinn, sillä > kikill. Siis drivtll i ol nollkohti.. D Siis kikill j vin kohdss, jotn on idosti ksvv kikkill. 7. Funktion drivtt:, kun > Drivtn nollkohdt: Kulkukvio: Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss. Pinin rvo on. 7 b Funktion g drivtt: g Drivtn nollkohdt: Kulkukvio: Kulkukvion prustll unktio g s pinimmän rvons kohdss. Pinin rvo on. 7 g, > < > > < g g g g g ti
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 8. Mrkitään 7 j g. Käyrin y j y g yhtisissä pistissä on g. 7 7 9 : 9 Rtkisukvll sdn. Drivoidn: 7 g Yhtisn pistsn piirrttyjn tngnttin kulmkrtoimt:, g Kulmkrtoimt ovt yhtä suurt, jotn käyrillä on yhtisssä pistssä yhtinn tngntti li käyrät sivuvt toisin.
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 9. D D b D D c D D D d D D D 7. Kosk mss vähn 7 %, intt jää jäljll 8 %. Mss tul yhdssä vuorokudss,8-krtisksi, jotn mss tul t vuorokudss,8 t -krtisksi. Siis mss mikrogrmmoin t vuorokudn kuluttu on m t,8 t 7 7,8. Mssn muutosnopus htkllä t on määrän drivtt t m t 7,8 ln,8 µg/vrk. Muutosnopus htkllä t on m 7,8 ln,8 9,. Määrä vähn nopudll 9, µg/vuorokusi. b Muutosnopus htkllä t on m 7,8 ln,8,. Määrä vähn nopudll, µg/vuorokusi. t 7. Drivoidn. on in positiivinn, sillä > kikill. Siis unktio on idosti ksvv kikkill. 7. Funktion drivtt on. Drivtn nollkohdt: ln ln, Kulkukvio: ln, < > Kulkukvion prustll unktio on idosti ksvv, kun ln.
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 7. Funktion drivttunktio on. Drivtn nollkohdt: ln, : Kulkukvio: ln <,9 > Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss ln. ln ln ln ln Pinin rvo on ln 9. 7. Mrkitään. Tällöin. Käyräll y pistsn,, piirrtyn tngntin kulmkrroin on y j yhtälö on. Tngntti kulk origon kutt, kun : ti. Pistt ovt, j,.
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 7. Mrkitään suorkulmion -kslill olvn knnn puolikkn pituutt. Suorkulmion korkus on Suorkulmion pint-l on A, >. Drivoidn. A y. Drivtn ino nollkoht on. Kulkukvion prustll l s kohdss suurimmn rvons. Suurin rvo on A, 7. A A y A, >, A < y
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 7. ln ln ln ln ln ln ln b g ln ln ln ln ln ln ln g c h ln ln ln ln ln ln ln h 77. D ln ln ln, > Drivtn nollkohdt: ln ti ln b ln g D ln ln ln ln, > 8 Drivtn nollkohdt: ln ln ln i klp nollkohdksi 8 ln
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 78. Drivoidn unktio g ln ln, >. g Drivtn nollkohdt:, > ti Ngtiivinn juuri i klp nollkohdksi. Nollkoht, kuuluu välill [, ]. Funktion g rvo kohdss : g ln ln,8 Funktion g rvo välin [, ] päätpistissä: g ln g ln ln,9 Funktion g suurin rvo on j pinin ln. 79. Epäyhtälö ln pät, jos j vin jos unktio ln s vin pängtiivisi rvoj, kun >. Drivoidn: ln ln, Drivtn nollkoht on. Kulkukvio:, ln,,9 < ln,9 > Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss. Pinin rvo on ln. Kosk unktion pinin rvo on noll, unktio s vin pängtiivisi rvoj. Siis päyhtälö pät.
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 8. Mrkitään ln. Suorn y kulmkrroin on, jotn suor voi oll käyrän y tngntti kohdss, joss drivtt s rvon. Koht on. Vstv suorn pist on,, jotn myös käyrän y pitää kulk pistn, kutt li pitää oll. Siis ln, jotn. Sivumispist on pist,. 8. D ln D b D ln D 8. Funktio ln ln on määritlty, kun > j < li kun < <. Funktion nollkohdt: ln ln ln ln ln ln ti Rtkisukvll. Vin kuuluu unktion määrittlyjoukkoon. b Drivtt on positiivinn unktion määrittlyjoukoss < <, jotn drivtll i ol nollkohti. 8. Funktion ln drivttunktio on. Funktion kuvj likk -kslin kohdss, joss li kohdss. Likkuspist on,. Likkuskulm on tngntin suuntkulm α. Kohtn piirrtyn tngntin kulmkrroin on, jotn tn α, jost α,. b Likkuspist on,, ln. Tngntin suuntkulmll on tn α,, jotn α,8. Tngntin j y-kslin likkuskulm on 9 α 8,.
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 8. Funktio s positiivist rvons khdss ri pistssä. Funktioll i ol kääntisunktiot. b Funktio drivttunktio on idosti ksvv, kun, sillä unktion on positiivinn, kun >. Funktioll on kääntisunktio, jonk määrittlyjoukko on unktion rvojoukko [, [. Kääntisunktion lusk on y y, sillä yhtälön c Funktio y pängtiivinn rtkisu on y. on idosti ksvv, sillä drivtt on positiivinn koht noll lukuun ottmtt. Funktioll on kääntisunktio y y. Kääntisunktion määrittlyjoukko on unktion rvojoukko R. d Funktio on idosti ksvv, sillä ln >. Funktioll on kääntisunktio. Kääntisunktion lusk on yhtälön y rtkisu on lg y. y lg y, sillä Kääntisunktion määrittlyjoukko on unktion li väli ], [. rvojoukko 8. Funktio ln on määritlty kikill :n rvoill, sillä > kikill. Drivtt on in positiivinn, jotn on idosti ksvv. Siis unktioll on kääntisunktio. Funktion rvojoukko on ], [, jotn unktion rvojoukko on ], [. Siis kääntisunktion määrittlyjoukko on ], [. b Kääntisunktion lusk: ln y y y ln y y Siis y ln li ln. 7
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Krtusthtävät 8. Funktion g drivtt g on in positiivinn, jotn g on idosti ksvv. Siis unktioll on kääntisunktio. Funktion g rvojoukko on R, jotn kääntisunktion määrittlyjoukko on R. Huomtn kokilmll ti kuvjn vull, ttä g. Siis g. Vstvsti huomtn, ttä g, jotn g. 8
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt Srj A. Funktion drivtt: Drivtn nollkohdt:. Kulkukvio: Kulkukvion prustll unktio on idosti ksvv, kun j vähnvä, kun. > <. Yhtälön log 8 log määrittlyjoukko: 8 > j > < 8 Molmmt hdot ovt voimss, kun < < 8. log8 log log 8 log log 8 log log 8 log 9 9 8 9 8 8 ti 9 8 log Rtkisukvll. Rtkisuist 9 8 kuuluu yhtälön määrittlyjoukkoon. 9
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Rtkistn, kosk rj,99 littuu. lg,99 lg lg,99 9, lg,99 Kosk,99 pinn, kun suurn, niin nsimmäinn 9 kokonislukupotnssi, jok on rj pinmpi, on,99.. Suorn j käyrän likkuspistn -koordintti: 8 8 9 ti 9 Korottn nliöön. 9 Rtkisukvll. Sijoittmll nähdään, ttä vin lkupräisn yhtälön. totutt Funktion 8 drivttunktio on D 8 8. 8 Kuvjll kohtn piirrtyn tngntin kulmkrroin on 8 Kosk suorn y kulmkrroin on, suor on kohtisuorss likkuspistsn piirrttyä tngntti vstn li suor on käyrän normli..
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Epäyhtälö > ln, >, pät, jos j vin jos unktio ln s vin positiivisi rvoj, kun >. Drivoidn: Drivtn nollkohdt: Kulkukvio: Voidn korott nliöön, kun Rtkisukvll.,, >, > >. Kulkukvion prustll unktio on idosti ksvv, kun. Kosk ln, on >, kun >. Siis päyhtälö pät.
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Mrkitään ympyrän sädttä r. Pistn P täisyys jäntstä on OP b r Määrittään unktion r r r r, r > pinin rvo. Drivoidn: r r r Drivtn nollkohdt:. r r r r O b r P r r r r r r Voidn korott nliöön. r r r r r, ti r, jok i klp. Kulkukvio:, Funktio s pinimmän rvons kohdss. Siis täisyys on pinin, kun säd r.,, <,,8 >
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt Srj B., Drivoidn., > Drivtt on noll, kun osoittj on noll mutt nimittäjä i ol. Voidn korott nliöön. Kulkukvio: < > Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss. Pinin rvo on.. Mss grmmoin t tunnin kuluttu on t m t,7,,,7. t Mssn muutosnopus htkllä t on määrän drivtt t m t,,7 ln,7 g/h. Määrä htkllä t on m,,7 9, g. Muutosnopus htkllä t on m,,7 ln,7,8 g/h. Mss ksv nopudll,8 g/h. b Määrä htkllä t on m,,7 g. Muutosnopus htkllä t on m,,7 ln,7 g/h. Mss ksv nopudll g/h.
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Mrkitään P b c. b b b c, kun b c, b j b c. Sijoittmll sdn b j c. Siis P. b b c. Käyrän y pistsn,, piirrtyn tngntin kulmkrroin on. Tngntin yhtälö: y y y y y B O Tngntti likk y-kslin pistssä,. Pistn, kutt kulkv -kslin suuntinn suor on y. Suor y likk y-kslin pistssä B,, jotn tngntti puolitt jnn OB.
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Mrkitään ln. Tällöin. Pistsn, ln piirrtyn tngntin kulmkrroin on, jotn normlin kulmkrroin on. Normlin yhtälö: y ln y h b Normlin j -kslin likkuspistssä on y. Siis: ln ln ln : ln ln Kolmion knt on b. Kolmion korkus on h ln. Kolmion pint-l on ln A bh, > ln Määrittään unktion A, >, suurin rvo. Drivoidn: A ln ln ln ln ln ln Drivtn nollkohdt: ln ln ln ln ln ln 7, : ln, kun > Kulkukvio: A A A, > A, < Kulkukvion prustll pint-l A s suurimmn rvon, kun.
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Vdn tilvuus t skunnin kuluttu on t litr li t dm. Mrkitään vdn muodostmn krtion korkutt h dm. Tällöin krtion pohjn säd on myös h. Vsikrtion tilvuus on V πh h πh. Siis htkllä t on πh h t t π h t π π π t π t dm. Vdnpinnn nousunopus htkllä t on drivtt h t t t dm/s π π Nousunopus yhdn skunnin kuluttu on h π dm/s,7 dm/s 7, cm/s. b Nousunopus kymmnn skunnin kuluttu on h π dm/s, dm/s, cm/s.
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt Srj C. Funktion drivtt on. Jos sivumispistn -koordintti on, niin y-koordintti on j tngntin kulmkrroin on k. Koordinttin summ on k.. Mgnitudi on m,lg F. Siriuksn kirkkus: m, lg, Vnuksn kirkkus: m, lg, lg, m b Kosk m,lg F, niin lg F, jotn F, Auringon mitttu kirkkus: 7,,8 F, Vgn kirkkutt Himmimmän kohtn kirkkus:,,, F, Vgn kirkkutt m,.. log log log log log log log log log log Siis log log. 7
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Funktio on määritlty, kun. Etsitään välit, joill on idosti monotoninn. Drivoidn: Drivtll on vin yksi nollkoht 8. Kulkukvion prustll on idosti vähnvä, kun 8 j idosti ksvv, kun 8. Suurin nolln sisältävä väli, joll on idosti monotoninn, on väli [8, [. Hluttu väli on [8, [. Kulkukvion prustll unktion pinin rvo on 8 8. Kosk, kun, unktion rvojoukko on [, [. Siis kääntisunktion määrittlyjoukko on väli [, [. b, kun,, kun 9 c on yhtälön juuri li unktion nollkoht. Hrukoimll sdn lopult,, <,,,99 >, jotn nollkohdn kksidsimlinn likirvo on,. 8. Funktion drivttunktio on. Kohdll piirrtyn tngntin kulmkrroin on, jotn normlin kulmkrroin on. Sivumispist on,,. Normlin yhtälö: y y Normlin j y-kslin likkuspistn y-koordintti on, kun Siis likkuspist lähn pistttä,.. 8
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Kolmio on tskylkinn. Suurimmss kolmioss ympyrän kskipist O on kolmion sisällä ti knnll. Kosk PO on kohtisuorss jännttä vstn, pist O on lisäksi kolmion korkusjnll. Mrkitään jäntn täisyyttä kskipiststä. Kolmion knt: b 9 Kolmion korkus on h 7. Kolmion pint-l on A h 7 9 9,.. 7 b P O Määrittään unktion A 7 9 suurin rvo suljtull välillä [, ]. Drivoidn: A 9 9 9 7 7 9 7 9 9 9 7 9 Drivtn nollkohdt: 7 9 7 9 ti, Nollkoht kuuluu välill ], [. Funktion A rvo kohdss : A 8 8, Päätpistrvot: A 7 9 7 A Suurin pint-l on A,. 9
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt Srj D., kun: 8 9 8 9 9 ti Rtkisuist 9 8 totutt määrittly- j nliöönkorotushdot.. Funktion, ln >, drivttunktio on. Drivtn nollkohdt: Drivtn nollkoht kuuluu välill ]., [ Arvo drivtn nollkohdss:,9 ln ln ln Päätpistrvot:,7 ln ln ln Siis suurin rvo on ln j pinin. Yhtälö on määritlty, kun. Nliöönkorotushto: 9 8 8 9
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Käyrä y on suorn y yläpuolll, jos j vin jos > li > kikill. Mrkitään. On osoitttv, ttä unktio s vin positiivisi rvoj. Drivoidn: Drivtn nollkohdt: ln,9 Kulkukvio: ln < > Kulkukvion prustll unktio s pinimmän rvons kohdss ln. ln Pinin rvo on ln ln ln,. Kosk unktion pinin rvo on positiivinn, unktio s vin positiivisi rvoj..,, jos j vin jos on unktion,, Drivoidn:,,, nollkoht. Drivtt > kikill, jotn on idosti ksvv. Siis unktioll on nintään yksi nollkoht. Kosk 999 < j 8 98 >, unktioll on nollkoht välillä ], [. Siis unktioll on tsn yksi nollkoht. Hrukoimll sdn lopult, < j,7 >, jotn nollkohdn li yhtälön juurn kolminumroinn likirvo on.
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Mrkitään. D Käyrän pistsn,, piirrtyn tngntin kulmkrroin on. Tngntin yhtälö: y y y Tngntti likk y-kslin kohdss. y Tngntin j -kslin likkuskoht: Muodostuvn krtion pohjn säd on r. Krtion korkus on h. Krtion tilvuus on. 9 9 π π π π h r V Siis tilvuus on in sm riippumtt kohdst, johon tngntti piirrtään. y r h
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Käyttään kuvion mrkintöjä. Kuvioss mittojn yksikkönä on mtri. Kourun pint-l on b A h b b. Siis b. Mrkitään kourun pituutt k. Tällöin kourun sinin j pohjn yhtispint-l on A k ck c k h b k b k. Kosk b, on b, jotn A b b k. Pint-l s pinimmän rvons, kun unktio b b b, b b h b c s pinimmän rvons. Drivoidn: b b b Drivtn nollkohdt: b b b b b b b b b b b b,8 ti Voidn korott nliöön. b, jok i klp. Funktion rvo drivtn nollkohdss:, 7 Päätpistrvot:,, 7 Siis l on pinin, kun b. Vstvn kourun mitt: lvys pohjll: b, m lvys pinnll: b b,8 m
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt Srj E. Funktio g on määritlty, kun li kun. Drivoidn unktio. g, < < g Drivtn nollkohdt: ti Rtkisuist totutt määrittly- j nliöönkorotushdot.. Funktio ln on määritlty, kun >. Drivoidn: Drivtt on positiivinn kikill >, jotn unktio on idosti ksvv koko määrittlyjoukossn ], [. Nliöönkorotushto:
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Suorn y kulmkrroin on, jotn suor voi oll käyrän y tngntti kohdss, joss drivtt s rvon. Siis: Voidn korott nliöön. Vstv suorn pist on,,, jotn myös 8 käyrän y pitää kulk pistn, kutt. 8 Siis pitää oll li 8 8 8 8. 8 Sivumispist oli pist,. 8
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt. Funktio ln ln ln ln on määritlty, kun >. Funktion nollkohdt: ln ln ln ln ti ln ti i klp nollkohdksi. Äärirvokohdt: Funktion ln ln drivtt: ln ln ln ln ln ln ln ln ln Drivtn nollkohdt: ln ln ln ti ln,, Kulkukvio: Kulkukvion prustll koht j koht on minimikoht.,, > <,9 > on mksimikoht
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt 7. Mrkitään., c g Drivoidn: c g, Mrkitään likkuspistn -koordintti. Tällöin g j likkuspistsn piirrttyjn tngnttin kulmkrtoimt ovt j. g Käyrät likkvt kohtisuorsti, jos kulmkrtoimin tulo on. Tulo on. g c c g Siis käyrät likkvt kohtisuorsti.
Juuri- j logritmiunktiot Krtusthtävin rtkisut Thtäväsrjt 8. Mrkitään. Käyrän pistsn,, piirrtyn tngntin kulmkrroin on. Tngntin yhtälö: y y y Tngntti likk y-kslin kohdss. y Likkuspist on positiivisll y-kslill, kun. < Tngntin j -kslin likkuskoht: : Likkuskoht on ngtiivisll -kslill, kun. < Muodostuvn kolmion knt on j korkus. Kolmion pint-l:, < A Määrittään unktion, < A suurin rvo. Drivoidn: A Drivtn nollkohdt ovt j. Kulkukvio: Kulkukvion prustll suurin rvo on,7. A y A A, < > A A