Luku 14 Säteilevät systeemit Edellisessä luvussa käsiteltiin vain yhden varauksellisen hiukkasen säteilykenttiä. Nyt tutustutaan esimerkinomaisesti yksinkertaisiin antenneihin ja varausjoukon aiheuttamaan säteilyyn. 14.1 Värähtelevän dipolin kenttä Tarkastellaan tyhjössä olevaa sähköistä dipolia, joka muodostuu kahdesta z- akselilla pisteissä z = ±L/2 sijaitsevasta pallosta (kuva 14.1). Ne on yhdistetty johdolla, jonka kapasitanssi voidaan jättää huomiotta. Ylemmän pallon varaus olkoon q(t), alemman q(t). Varauksen säilyminen antaa virrantiheydeksi J(r,t)=I(t)δ(x)δ(y)θ(L/2 z)θ(z + L/2) e z (14.1) q z L/2 y x q L/2 Kuva 14.1: Yksinkertainen dipoliantenni. 171
172 LUKU 14. SÄTEILEVÄT SYSTEEMIT missä I = +dq/dt. Viivästyneellä vektoripotentiaalilla A(r,t)= µ 4π V on nyt ainoastaan z-komponentti J(r,t r r /) r r dv (14.2) A z (r,t)= µ L/2 I(t r z e z /) 4π L/2 r z dz (14.3) e z Katsotaan dipolia kaukaa (L r), jolloin r z e z =(r 2 2z e z r + z 2 ) 1/2 r z os θ (14.4) missä θ on katselupisteen paikkavektorin r ja z-akselin välinen kulma. Vektoripotentiaalin nimittäjässä z os θ voidaan jättää huomiotta, kun dipolia katsotaan kaukaa. Viivästystermissä se voidaan jättää huomiotta, jos z os θ/ on pieni verrattuna virran muutoksen aikaskaalaan, esimerkiksi harmonisesti värähtelevän virran jaksoon T. Koska z os θ L/2, voidaan z os θ/ jättää huomiotta vain, jos L/2 T = (14.5) Oletetaan, että näin on eli että syntyvän aallon aallonpituus on paljon dipolin pituutta suurempi ja tarkastellaan dipolia kaukaa. Tällöin A z (r,t)= µ L I(t r/)(14.6) 4π r Skalaaripotentiaalin laskeminen on yksinkertaisinta käyttäen Lorenzin mittaehtoa A + 1 ϕ 2 t = (14.7) mistä saadaan ϕ t [ 1 r I(t r/) ] = L 4πɛ z [ ] L z z = I(t r/)+ 4πɛ r3 r 2 I (t r/) (14.8) missä I on I:n (t r/):n suhteen laskettu derivaatta. Koska toisaalta I = +q, missä q on saman argumentin suhteen otettu derivaatta, saadaan ϕ(r,t)= L [ ] z q(t r/) I(t r/) 4πɛ r 2 + (14.9) r Rajataan tarkastelu harmonisesti värähtelevään dipoliin q(t r/) = q os ω(t r/) I(t r/) = I sin ω(t r/) = ωq sin ω(t r/)(14.1)
14.1. VÄRÄHTELEVÄN DIPOLIN KENTTÄ 173 Kirjoitetaan A pallokoordinaatistossa A r = µ I L 4π r A θ = µ 4π A φ = os θ sin ω(t r/) I L r Nyt A:lla on vain φ-komponentti, joten B φ = 1 (ra θ ) 1 A r r r r θ = µ 4π sin θ sin ω(t r/)(14.11) I L r sin θ [ ω os ω(t r/)+1 r sin ω(t r/) ] (14.12) Sähkökenttä one = A/ t ϕ: E r = 2I [ ] L os θ sin ω(t r/) os ω(t r/) 4πɛ r 2 ωr 3 E θ = I [( L sin θ 1 4πɛ ωr 3 ω ) r 2 os ω(t r/) 1 ] r 2 sin ω(t r/) E φ = (14.13) Koska B on kaikkialla tangentiaalinen dipoli keskipisteenä piirretylle pallon pinnalle, kyseessä on TM-moodi (HT: totea, että suurilla r:n arvoilla E = B e r ). Lasketaan dipolin säteilemä energia integroimalla Poyntingin vektorin normaalikomponentti R-säteisen pallon pinnan yli. S n da = 1 π R 2 E θ B φ 2π sin θdθ (14.14) µ Kun R, ainoastaan 1/r:ään verrannolliset termit antavat nollasta poikkeavan osuuden. Rajoittumalla näihin tulee tehoksi S n da = (I L) 2 ω 2 6πɛ 3 os2 ω(t R/)(14.15) Tämä on siis dipolin hetkellisesti säteilemä teho. Integroimalla jakson yli saadaan keskimääräinen säteilyteho P = l2 ω 2 6πɛ 3 I 2 2 = 2π 3 µ ɛ ( L ) 2 I 2 2 (14.16) Tämän voi tulkita siten, että vastus R, jossa kulkee sinimuotoinen virta I os ωt, kuluttaa energiaa keskimääräisellä teholla P = RI 2 /2. Suuretta µ ( L ) 2 ( ) L 2 789 Ω (14.17) R r = 2π 3 ɛ
174 LUKU 14. SÄTEILEVÄT SYSTEEMIT kutsutaan säteilyvastukseksi. Mikäli dipoli ei ole tyhjössä, on permittiivisyys ja permeabiliteetti korvattava väliaineen vastaavilla suureilla. Magneettinen dipoli käsitellään aivan samaan tapaan. Se voidaan esittää ympyräsilmukkana, jossa kulkee sinimuotoinen virta. Dipolivektori on kohtisuorassa silmukan tasoa vastaan. Koska virralla on vain φ-komponentti, on vektoripotentiaalin ainoa nollasta poikkeava komponentti A φ (r,t)= µ I a 4π 2π os ω(t r r /) r r os φdφ (14.18) missä a on virtasilmukan säde. Nyt dipoliapproksimaatio edellyttää, että r a ja ωa. Tästä eteenpäin lasku etenee samalla reseptillä kuin edellä (HT). Erona värähtelevään sähködipoliin on, että tällä kertaa aallon sähkökenttä on dipolikeskisen pallon tangentti eli kyseessä on TE-moodi. Huom. Oletettaessa harmoninen aikariippuvuus (e iωt )skalaaripotentiaalia ei välttämättä tarvitse laskea. Magneettikenttä määräytyy pelkästään virrasta vektoripotentiaalin kautta. Toisaalta lähdealueen ulkopuolella B = iωµ ɛ E (14.19) josta saadaan E = i2 B (14.2) ω 14.2 Puoliaaltoantenni Edellä saatu tulos ei anna oikeaa säteilytehoa oikealle radioantennille, koska yleensä antenni ei ole lyhyt verrattuna aallonpituuteen eikä sitä yleensä syötetä päistä vaan keskeltä. Tarkastellaan tasan puolikkaan aallonpituuden mittaista antennia. Tämä on realistinen esimerkki, koska esimerkiksi 1 MHz aallon aallonpituus on 3 m. Antennin voi ajatella koostuvan infinitesimaalisista osista, joihin kuhunkin sopii edellä ollut tarkastelu. Olkoon antenni z-akselilla välillä ( /4, +/4)ja kulkekoon siinä virta ( 2πz I(z ),t)=i sin ωt os (14.21) Tämä on nolla antennin molemmissa päissä. Nyt pisteen z ympärillä oleva elementti dz tuottaa tyhjössä sähkökentän θ-komponenttiin ( sin θ 2πz ) de θ = I 4πɛ R 2 ω os ω(t R/)os dz (14.22)
14.2. PUOLIAALTOANTENNI 175 Tässä R on etäisyys dz :sta katselupisteeseen ja kertalukua 1/R 2 olevat termit on jätetty huomiotta. Magneettikenttään tulee puolestaan osuus db φ = µ ( I ω 2πz ) 4π R sin θ os ω(t R/)os dz (14.23) E θ :n ja B φ :n laskemiseksi on integroitava lauseke K = π/2 π/2 1 os ω(t R/)os udu (14.24) R missä u = 2πz /. Nyt jälleen R = r z os θ ja riittävän suurella r nimittäjässä voidaan korvata R r. Kosinitermissä täytyy kuitenkin olla varovainen ja kirjoittaa K = 1 r π/2 π/2 Tämän voi esittää muodossa jolloin lopputulos on os[ω(t r/)+u os θ] os udu (14.25) K = 1 π/2 r Re (eiω(t r/) du e iu os θ os u) π/2 K = 2 θ] os ω(t r/)os[(π/2)os r sin 2 (14.26) θ Sijoittamalla tämä sähkö- ja magneettikenttien lausekkeisiin saadaan E θ = B φ = µ I 2πr Keskimääräiseksi säteilytehoksi tulee I θ] os ω(t r/)os[(π/2)os 2πɛ r sin θ os ω(t r/)os[(π/2)os θ] sin θ (14.27) (14.28) P = 1 µ π I 2 os 2 [(π/2)os θ] 4π ɛ sin 2 sin θdθ (14.29) θ Integraalin numeerinen arvo on 1,219, joten puoliaaltoantennin säteilyteho on P =73, 1Ω I2 (14.3) 2 Tästä eteenpäin antennilaskut käyvät pian hankaliksi. Jo se korjaus, että antennia syötetään usein keskeltä sinimuotoisella virralla tai jännitteellä aiheuttaa teknisiä monimutkaisuuksia.
176 LUKU 14. SÄTEILEVÄT SYSTEEMIT 14.3 Liikkuvan varausjoukon aiheuttama kenttä Tarkastellaan sitten mielivaltaisen varausjoukon säteilyä. Oletetaan, että varausjoukko on etäällä tarkastelupisteestä siten, että joukko pysyy tilavuudessa V 1 sen ajan, joka aallolta kuluu saavuttaa tarkastelupiste ja V 1 :n mitat ovat pienet verrattuna etäisyyteen tarkastelupisteestä (siis v ). Oletetaan lisäksi, että tilavuuden pituusskaalat ovat pieniä hallitseviin säteilyn aallonpituuksiin verrattuina ja että varaukset ovat tyhjössä. Valitaan origo tilavuuden V 1 sisälle, merkitään varauksien koordinaatteja r :llä, tarkastelupiste olkoon r ja R = r r. Nyt R = r r r r r r Viivästynyt skalaaripotentiaali tarkastelupisteessä on 1 ρ(r,t R/) ϕ(r,t) = dv 4πɛ V 1 R Käyttäen binomisarjaa 1 4πɛ ρ(r,t r/ + r r /r) V 1 r (r r )/r (14.31) dv (14.32) (r r r /r) 1 = r 1 + r 2 (r r /r)+... (14.33) ja Taylorin kehitelmää ρ (r,t r + r ) ( r = ρ r,t r ) + r r ρ r r t r,t r/ +... (14.34) saadaan ( 1 ϕ(r,t) = ρ r,t r ) dv + 1 ( 4πɛ r V 1 4πɛ r 3 r r ρ r,t r ) dv V 1 1 + 4πɛ r 2 r d ( r ρ r,t r ) dv +... dt V 1 Ensimmäinen integraali antaa jakautuman kokonaisvarauksen, toinen dipolimomentin ja kolmas dipolimomentin aikaderivaatan ja loput ovat korkeampia multipolimomentteja, jotka häviävät etäällä nopeammin. Siis ϕ(r,t)= 1 [ ] Q r p(t r/) r ṗ(t r/) + 4πɛ r r 3 + r 2 (14.35) Viivästynyt vektoripotentiaali on puolestaan A(r,t) = µ J(r,t r/ + r r /r) 4π V 1 r (r r dv )/r = µ ( r,t r ) dv +... (14.36) 4πr V 1 J
14.3. LIIKKUVAN VARAUSJOUKON AIHEUTTAMA KENTTÄ 177 Äärelliselle tilavuudelle V pätee V J dv = dp/dt (HT), jolloin A(r,t)= µ r/)(14.37) 4πrṗ(t Olisimme yhtä hyvin voineet johtaa tämän ensin ja laskea sitten ϕ:n käyttäen Lorenzin mittaehtoa. Rajoitutaan jatkossa säteilykenttiin, jotka siis pienenevät etäisyyden funktiona kaikkein hitaimmin (r 1 ). Laskettaessa ϕ:ta todetaan, että koska ṗ on (t r/):n funktio, ṗ/ r = (1/) p, joten E(r,t)= µ 1 r p(t r/) p(t r/)+ 4πr 4πɛ 2 r 3 r (14.38) Samoin laskettaessa vektoripotentiaalin roottoria täytyy huomioida se, että A on (t r/):n funktio. Pieni vektoriakrobatia (HT) antaa säteilykentäksi B(r,t)= A(r,t)= µ r p (14.39) 4πr2 Edellä saatu sähkökenttä on (HT) E(r,t)= r r B(r,t)(14.4) Kaikissa laskuissa dipolimomentin aikaderivaatta on laskettava viivästetyllä ajanhetkellä t r/, joka on sama koko varausjakaumalle pieniksi oletettujen nopeuksien vuoksi. Säteilykenttä on poikittainen SM-aalto, jonka Poyntingin vektori on S = B2 µ r r = 1 16π 2 ɛ 3 r 5 (r p)2 r (14.41) Jos z-akseli valitaan p:n suuntaiseksi, niin S = p2 sin 2 θ r 16π 2 ɛ 3 r 2 (14.42) r Säteilyn maksimisuunta on kohtisuoraan p:tä vastaan. Säteilytehon P R laskemiseksi tarkastellaan pallonkuorta, joka on kokonaan säteilyalueessa: P R V S n da = 1 6πɛ p 2 3 (14.43) Varausjoukko siis säteilee, mikäli siihen liittyvällä dipolimomentilla on kiihtyvyyttä. Edellä käsitelty dipoliantenni on esimerkki tällaisesta tilanteesta. Niinkin voi käydä, että vaikka varausjoukossa olisi kiihtyvässä liikkeessä olevia varauksia, niiden muodostama dipolimomentti voisi olla ajasta riippumaton, mutta varaukset säteilisivät siitä huolimatta. Tällöin edellä
178 LUKU 14. SÄTEILEVÄT SYSTEEMIT olevissa sarjakehitelmissä on mentävä korkeampiin kertalukuihin. Seuraavana tulee kvadrupolitermi ja itse asiassa kvadrupoliantenni on aivan käyttökelpoinen vehje. Sen etuna on se, että kenttä pienenee kuten r 2, joten se ei häiritse kaukana lähteestä olevia vastaanottimia. Tässä esitetty tarkastelu soveltuu myös yksittäiseen kiihtyvään varaukseen, jolloin p = q v ja saadaan tuttu Larmorin kaava P R = q2 v 2 6πɛ 3 (14.44) Se on voimassa hitaasti liikkuvalle (ei-relativistiselle)kiihtyvälle varaukselle.