13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2. 365. Tarkista laskemalla Greenin lauseen voimassaolo, kun u(x,y) = (2xy x 2 )i + (x + y 2 )j ja integroidaan käyrien y = x 2 ja x = y 2 rajaaman rajoitetun alueen yli. 366. Laske integraali (e x 4ysin 2 x)dx + (2x + sin2x)dy a) suoraan viivaintegraalina, b) palauttamalla tasointegraaliksi. Tie on neliön piiri positiiviseen suuntaan kierrettynä. 367. {(x,y) x 2, y 2} Laske a) suoraan viivaintegraalina, b) tasointegraaliksi muuntamalla y 2 dx + (x + y) 2 dy, kun on sen kolmion piiri positiiviseen suuntaan kierrettynä, jonka kärjet ovat (a, 0), (a, a) ja (0, a); oletetaan a > 0. 2 3 a3. 368. Olkoon funktio f (x) jatkuvasti derivoituva ja olkoon u(x,y) = (2xy y)i + f (x)j tason vektorikenttä. Olkoon säännöllinen umpinainen tasokäyrä. Osoita, että f voidaan valita äärettömän monella tavalla siten, että integraali u dr antaa käyrän reunustaman alueen pinta-alan. 369. Laske u dn,
kun u(x,y) = (x + e y )i + (sinx + 2y)j, tie on ellipsi x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 positiiviseen suuntaan kierrettynä ja n on tämän yksikköulkonormaalivektori. Tehtävä voidaan laskea joko suoraan viivaintegraalina tai palauttamalla tasointegraaliksi. 370. Olkoon A tasoalue ja A tämän reuna, joka oletetaan säännölliseksi käyräksi. Funktio u(x, y) olkoon harmoninen, ts. 2 u = 0 alueessa A. Osoita, että u ds = 0, missä u tarkoittaa funktion u derivaattaa reunan A ulkonormaalin suuntaan. Sovella Gaussin lauseen tasoversiota. 371. Laske vektorikentän u(x,y,z) = xi + y 2 j k vuo kuution pinnan läpi a) pintaintegraalina, b) avaruusintegraalina. 372. A {(x,y,z) x 1, y 1, z 1} Laske vektorikentän u(x,y,z) = z 2 (xi + yj) + k vuo kuution x 2 1, y 1 2, z 1 2 pinnan läpi. 373. Laske Gaussin lauseen avulla kentän u(x,y,z) = x 2 i + y 2 j + z 2 k vuo kuution {(x,y,z) x 1, y 1, z 1} pinnan läpi. 374. Laske Gaussin lauseen avulla kentän u(x,y,z) = e x osyi + e osz j + e xsiny k vuo kuution {(x,y,z) x 1, y 1, z 1} pinnan läpi. 375. Olkoon V koordinaattitasojen ja tason x + y + z = 1 rajoittama alue, tämän reunapinta. Olkoon u(x,y,z) = 2xyi + 3yj + 2zk. Laske Gaussin lausetta käyttäen integraali u ds. 376. Laske vektorikentän u(x,y,z) = (x 2 1)i x 2 yj+z 2 k vuo pintojen z = 0, z = 1 ja x 2 +y 2 = 4 rajoittaman kappaleen pinnan läpi.
377. Laske vektorikentän u(x,y,z) = x 4 i + y 2 z 2 j + zk vuo kappaleen {(x,y,z) x 2 + y 2 1, 0 z 1} pinnan läpi. 378. Laske vuo kun V = {(x,y,z) x 2 + y 2 + z 2 4y + 2z + 2 0}. 379. Määritä pintaintegraalin (xi yj + zk) ds, [(x + y)i 2xzj + (y z)k] ds arvo, kun integroimisjoukkona on palloneljänneksen {(x,y,z) x 2 + y 2 + z 2 1, x 0, y 0} pinta. 380. Olkoon A rajoitettu tason R 2 alue ja V vastaavasti rajoitettu avaruuden R 3 alue; näiden reunat A ja olkoot säännöllisiä. Mikä geometrinen merkitys on seuraavilla integraaleilla: 1 1 a) 2 r dn, b) 3 r ds? A a) Joukon A ala; b) joukon V tilavuus. 381. Vektorikenttä u olkoon rajoitetun alueen V säännöllisellä pinnalla kaikkialla kohtisuorassa pintaa vastaan. Osoita, että udv = o. V 382. Osoita: rdv = 1 r 2 ds. V 2 383. Olkoon V alue, jolla on säännöllinen pinta ; olkoon origo alueen V ulkopiste. Muunna seuraavat pintaintegraalit alueen V yli otetuiksi avaruusintegraaleiksi: r n r n a) ds, b) r r 2 ds.
384. Olkoon vakiovektori. Laske ( r) ds. 385. Skalaarikenttä u(x,y,z) olkoon kahdesti jatkuvasti derivoituva avaruuden R 3 säännöllisessä rajoitetussa joukossa V. Osoita: u V ds = 2 udv, missä u tarkoittaa funktion u suunnattua derivaattaa pinnan ulkonormaalin suuntaan. 386. Olkoot u ja v kahdesti jatkuvasti derivoituvia funktioita R 3 R sekä V alue, jonka reuna on säännöllinen. Oletetaan lisäksi, että v on jokaisessa reunan pisteessä tangenttitason suuntainen. Laske Gaussin lauseen avulla (u 2 v + u v)dv. 387. V Olkoon u : R 3 R jatkuvasti derivoituva funktio, jonka tasa-arvopinnat ovat umpinaisia säännöllisisä pintoja siten, että pienempää arvoa vastaava pinta aina jää suurempaa arvoa vastaavan sisään. Mikä geometrinen tulkinta on tietyn tasa-arvopinnan rajoittaman alueen V yli otetun integraalin arvolla? 388. V u u u dv Olkoon V R 3 rajoitettu joukko, jolla on origo sisäpisteenä ja jonka reuna on säännöllinen. Laske a) epäoleellinen avaruusintegraali 1 V r dv, b) pintaintegraali 1 r ds. Seuraako Gaussin lauseesta, että integraalien arvot ovat samat? a) 0; 389. b) 4π. Laske avaruuden R 3 vektorikentän u(r) = r/r 3 vuo origokeskisen R-säteisen pallopinnan läpi. Laske kentän divergenssi. Voidaanko vuo laskea Gaussin lauseen avulla? Jos ei, niin miksi ei?
390. Laske vektorikentän u(r) = rr (r paikkavektori, r sen pituus) vuo R-säteisen origokeskisen pallon läpi a) pintaintegraalina, b) muuntamalla pintaintegraali Gaussin lauseen avulla avaruusintegraaliksi. Millainen on kentän u lähdekenttä xyz-koordinaateissa? 4πR 4, lähdekenttä 4r = 4 x 2 + y 2 + z 2. 391. Osoita Gaussin lauseen avulla, että pintaintegraali x 2 + y 2 r ds S r 4 on riippumaton siitä, millainen origoa ympäröivä (säännöllinen) pinta S on. (Tässä r on paikkavektori ja r sen itseisarvo.) Laske integraali valitsemalla pinnaksi S origokeskinen pallopinta. π 2. 392. Homogeenisessa nesteessä vallitsee syvyydessä z paine p = p 0 + gρz, missä g on maan vetovoiman kiihtyvyys, ρ nesteen tiheys ja p 0 paine nesteen pinnalla. Nesteeseen upotetun kappaleen pinta-alkioon ds vaikuttaa tällöin voima pn ds; kokonaisvoima saadaan integroimalla tämä lauseke kappaleen pinnan yli. Sovella tähän integraaliin yleistettyä Gaussin lausetta ja johda tällä tavoin Arkhimedeen periaate. Kappaleeseen vaikuttaa noste gρv, missä v on kappaleen tilavuus. 13.2. Stokesin lause 393. Olkoon on puoliympyrän {(x,y) x 2 + y 2 1, x 0} piiri. Laske viivaintegraali (x + y 2 )dr a) suoraan viivaintegraalina, b) muuntamalla se ensin sopivaa Stokesin lauseen muotoa käyttäen. 394. Laske suoraan viivaintegraalina ja Stokesin lauseen avulla (zi + xj + yk) dr, kun on lieriön x 2 + y 2 = 9 ja tason 3x + 2y + z = 6 leikkauskäyrä kierrettynä origosta katsottaessa vastapäivään. 395. Laske sekä suoraan viivaintegraalina että Stokesin lauseen avulla [ yzi + (xz 2 3y)j xyk ] dr,
missä on käyrä r(t) = ost i + sint j + ost k, t [0,2π]. 3 4 π. 396. Olkoon u(x,y,z) = yze xy i + xz(1 + e xy )j + e xy k. Laske viivaintegraali u dr, missä on lieriön x 2 +y 2 = 4 ja tason 2x+3y+z = 5 leikkauskäyrä kierrettynä origosta katsottaessa myötäpäivään. 397. Laske vektorikentän u(x,y,z) = xk viivaintegraali u dr, kun on pinnanpalan x = 8u 2, y = v 2, 0 u 1, 0 v 3 z = 4uv, reuna a) suoraan viivaintegraalina, b) muuntamalla integraali ensin Stokesin lauseen avulla pintaintegraaliksi. 398. Laske integraali (k r) ds, kun on a) xy-tason yksikkökiekko {(x,y,0) x 2 + y 2 1}, b) avaruuden R 3 yksikköpallon {(x,y,z) x 2 + y 2 + z 2 = 1} ylempi puolipallo, ) em. yksikköpallon alempi puolipallo. Pinta-alkioon ds sisältyvä normaalisuunta otetaan a-kohdassa ylöspäin, b- ja -kohdissa pallosta ulospäin. a) 2π; b) 2π; ) 2π. 399. Olkoon u(x,y,z) = zi + xj + yk vektorikenttä ja z = xy, x 1, y 1 pinnanapala. Laske viivaintegraali u dr pitkin pinnanpalan reunaa a) suoraan viivaintegraalina, b) muuntamalla se ensin pintaintegraaliksi Stokesin lauseen avulla. 4. 400. Laske Stokesin lauseen avulla pintaintegraali [(x z 2 )i + (x 3 + z)j + xyk] ds, missä on huipun ja xy-tason väliin jäävä kartiopinnan x 2 +y 2 = (z 1) 2 osa. Häiritseekö kartion huippu Stokesin lauseen käyttöä?
401. Osoita: ds r = 1 2 missä on jokin säännöllinen pinnanpala ja δ sen reuna pinnan normaaliin nähden positiiviseen suuntaan kierrettynä. 402. Olkoon vakiovektori, jokin säännöllinen pinnanpala ja δ sen reuna pinnan normaaliin nähden positiiviseen suuntaan kierrettynä. Osoita, että a) ds = ds = 1 2 r dr; δ b) ds = ds = r (dr ). δ r 2 dr, δ 13.3. Gaussin ja Stokesin lauseen yleistyksiä 403. Olkoon u : R 3 R harmoninen funktio ja V R 3 rajoitettu joukko, jonka reuna on säännöllinen. Osoita: u u V ds = u 2 dv. Tässä u on funktion u derivaatta pinnan ulkonormaalin suuntaan. 13.4. Kulma ja avaruuskulma 404. Neliön kärjet sijaitsevat pisteissä (1,1,1), (1,0,1), (1,0,0) ja (1,1,0). Kirjoita integraali, joka esittää sen avaruuskulman suuruutta, jossa neliö näkyy origosta. 405. Laske edellisen tehtävän integraali tai sen likiarvo seuraavilla tavoilla: a) geometrinen päättely, b) integrointi kynällä ja paperilla, ) symbolinen tietokoneohjelma. 406. Neliön kärjet sijaitsevat pisteissä (a, 1, 1), (a,1, 1), (a,1,1) ja (a, 1,1), a > 0. Muodosta integraali, joka esittää sen avaruuskulman suuruutta, jossa neliö näkyy origosta. Laske integraali. Mikä on avaruuskulman rajaarvo, kun a 0? Avaruuskulman suuruus 4artan(1/(a 2 + a 2 )); raja-arvo 2π.