Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012
1 Johdanto Valon käyttäytyminen eri väliaineiden rajapinnoilla on monien yleisesti luonnossa havaittavien optisten ilmiöiden taustalla. Valon etenemisnopeuden vaihtelu sähkömagneettisena aaltona eri väliaineissa aiheuttaa säteen taittumista siirtyessä väliaineesta toiseen, jonka avulla voidaan selittää esimerkiksi sateenkaarien näkyminen ilmakehässä. Snellin taittumislaki kertoo meille säteen taittumiskulman riippuvan säteen tulokulmasta rajapinnan normaaliin nähden, sekä aallon etenemisnopeudesta rajapinnan eri väliaineissa. Tämän kokeen tavoitteena on selvittää eri väliaineiden vaikutus valosäteen taittumiseen niiden rajapinnalla. Kokeessa pyritään määrittämään näiden eri väliaineiden taitesuhteet ja kokonaisheijastuksen rajakulmat. Koe tehdään mittaamalla monokromaattisen laser-valo säteen taittumista kulkiessaan koekappaleen ja kahden eri väliaineen rajapinnan läpi eri tulokulmilla. 2 Laitteisto ja menetelmät 2.1 Teoria Valosäteilyä voidaan käsitellä tasoaaltona jonka sähkökenttää voidaan kuvata Maxwellin aaltoyhtälöiden avulla [?]: E = E 0 sin( k r ωt) (1) missä sähkökenttä E. Aaltovektori k ja kulmataajuus ω kuvaavat tasoaallon etenemistä paikan r ja ajan t funktiona. Sähkömagneettisen aallon kulkiessa kahden väliaineen rajapinnan läpi, tulevasta (incident) aallosta i osa jatkaa samassa väliaineessa heijastuvana (reected) aaltona r, ja osa aallosta jatkaa toisessa väliaineessa läpimenevänä (transmitted) aaltona t. Todetaan että aaltojen kulmataajuudet ω pysyvät samoina rajapinnasta heijastumisen ja taittumisen yli [?], jolloin voidaan kuvata tulevan, heijastuvan ja läpimenevän aallon sähkökenttiä E i = E i0 sin( k i r ωt) (2) E r = E r0 sin( k r r ωt) (3) E t = E t0 sin( k t r ωt) (4) Faradayn lain avulla voidaan näyttää [?] että sähkökenttä väliaineiden rajapinalla P on oltava jatkuva E ip + E rp = E tp (5) Jotta yhtälö 5 olisi voimassa koko rajapinnan yli kaikkina ajanhetkinä, tulee yhtälöiden 2 vaihetekijöiden olla yhtäsuuria, eli k i r ωt = k r r ωt = k t r ωt (6) 1
Kuva 1: Tasoaallon käyttäytyminen kahden väliaineen rajapinnassa k i r = k r r = k t r (7) Jos vektorit kirjoitetaan auki yksikkövektoreiden u x, u y, u z avulla, jossa tuleva aalto k i on xy-tasossa ja rajapinnan paikkavektori r on xz-tasossa: r = x u x + z u z (8) k i = k ix u x + k iy u y (9) k r = k rx u x + k ry u y + k rz u z (10) k t = k tx u x + k ty u y + k tz u z (11) Laskemalla vektoreiden 8 pistetulot auki yhtälössä 7 sadaan k ix x = k rx x + k rz z = k tx x + k tz z (12) Koska yhtälön 12 on oltava voimassa kaikkialla rajapinnalla xz-tasossa, nähdään että k ix = k rx = k tx (13) k rz = k tz = 0 (14) 2
Kaikkien kolmen aallon z-komponentin ollessa nolla, nähdään että tuleva, heijastuva ja läpimennyt aalto ovat kaikki samassa xy-tasossa. Aaltovektoreiden k x-komponenttien k x osalta havaitaan että: k x = k sin θ (15) Koska aaltovektoreille k kulmataajuudella ω ja aallon etenemisnopeudella v on voimassa [?] k = ω (16) v Voidaan kirjoittaa kaava 13 muotoon: ω v i sin θ i = ω v r sin θ r = ω v t sin θ t (17) 1 v i sin θ i = 1 v r sin θ r = 1 v t sin θ t (18) Joka ensimmäisessä väliaineessa v i = v r antaa meille heijastuslain θ i = θ r (19) Ja kahden väliaineen v i v t yli Snellin lain, eli taittolain sin θ i sin θ t = v i v t (20) Määrittelemällä väliaineen taitekertoimeksi n aallon etenenisnopeus väliaineessa v suhteena etenemisnopeuteen tyhjiössä c: n = c v (21) Saadaan kahden väliaineen rajapinnalle taitesuhde sin θ i sin θ t = n t n i (22) Jos v i v t < 1 (valon nopeus rajapinnan toisessa aineessa on suurempi kuin tulevassa väliaineessa), saadaan riittävän suurella tulokulmalla tilanne sin θ t = 1 jossa taittunut säde kulkee rajapinnan suuntaisesti: sin θ i = v i v t = n t n i (23) Jossa kulmaa θ i kutsutaan kokonaisheijastuksen rajakulmaksi. 3
Kuva 2: Mittauslaitteisto. Valosäde kulkee laserista pleksikappaleen läpi varjostimelle. 2.2 Mittauslaitteisto Valosäteen taittumista mitattiin kuvassa 2 esitetyllä laitteistolla. Koekappaleena käytettiin kierrettävään alustaan kiinnitettyä puoliympyrän muotoista pleksikappaletta eri väliaineissa. Valolähteenä käytettiin monokromaattista aallonpituudeltaan λ He Ne = 632.8nm laseria. Kokeet tehtiin koekappaleen ja kahden eri väliaineen rajapinnalla, ilmassa ja vedessä. Ensimmäisessä koeastelmassa pleksikappale asetettiin vapaasti alustan päälle ilman ympäröimänä. Toisessa koeastelmassa kierrettävän alustan keskelle oli sijoitettuna tislatulla vedellä täytetty ympyränmuotoinen astia, jonka yhden puoliskon täytti pleksikappale. Molemmissa koeasetelmissa pleksikappale oli sijoitettuna kierrettävän alustan keskelle siten, että pleksikappale kiersi suoran tasopinnan keskipisteen ympäri. Valosäteen taittuminen tapahtuu puoliympyrän suoran tasopinnan ja kiekkoa ympäröivän väliaineen rajapinnassa. Valosäteen kulkiessa puoliympyrän läpi suoran tasopinnan keskipisteen kautta, voidaan alustaa kiertämällä muuttaa valosäteen tulokulmaa rajapinnan normaaliin nähden. Mittauksen kannalta on olennaista että valosäde kulkee tarkalleen puoliympyrän suoran tasopinnan keskipisteen kautta, jolloin valosäde pysyy kiekkoa pyörittäessä kohtisuorassa puoliympyrän kaarevaa tasopintaa ja mahdollista vesiastian reunaa vasten, estäen valon taittuminen muissa kuin tutkittavassa rajapinnassa. Valosäteen tulokulmaa pleksikappaleen rajapinnan normaaliin nähden määriteltiin mittaamalla kierrettävän alustan asento tämä kehää pitkin säteellä r = [mm] mitatulla poikkeamalla s[mm] (myötäpäivään), määrittelemällä asteikon s = 0[mm] kun tasopinta on kohtisuorassa valosäteeseen. 4
θ I = s rad (24) r θ I = 1 r s + s r (25) r2 Valosäteen taittokulma rajapinnan normaaliin nähden mitattiin rajapinnan läpi taittuneen säteen poikkeamalla l[mm] valolähdettä vastapäätä olevalla varjostimella yhdessä rajapinnan kulman 24 kanssa, asteikon ollessa l = 0[mm] kun rajapinta on kohtisuorassa valosäteeseen. Rajapinnan keskipisteen ja varjostimen välisen etäisyyden ollessa d[mm], on taittokulma θ T = θ I + arctan l d (26) Virhearvolla d θ T = θ I + d 2 + l 2 l + l d 2 d (27) + l2 Teorian mallin mukaisesti saadaan piirrettyä suora taittokulmasta tulokulman funktiona sinimuodossa, virheineen: sin θ t = n i n t sin θ i = kx + b (28) sin θ = cos θ θ (29) Jolloin voidaan määrittää rajapinnan suhteellinen taitekerroin kulmakertoimena käyttäen painotettua pienimmän neliösumman menetelmää(pns) [4, s28.] Vakiotermillä missä ( n t n i ) 1 = k = 1 D ( 1 y 2 xy y 2 b = 1 D ( x 2 y 2 y y 2 x y 2 y y 2 ) (30) x xy y 2 y 2 ) (31) D = 1 x 2 y 2 y 2 ( x y 2 )2 (32) Käyttäen virheenä standardipoikkeaman yhteenlaskusäännön perusteella yhdistettyä mittauksien x- ja y -suuntaiset virheet y = ( y) 2 + (k x) 2 (33) käyttämällä painottamattomalla PNS-menetelmällä sovitetun suoran k = N xy x y N x 2 ( x) 2 (34) 5
Virhearvioksi kulmakertoimelle saadaan 1 1 k = D y 2 (35) ja vakiotermille 1 x b = 2 D y 2 (36) Olettamalla jomman kumman väliaineein taitekertoimista tunnetuksi, voidaan mitattujen kulmien sinien suhteen avulla laskea toisen väliaineen taitekerroin: n t n i = sin θ i sin θ t n i (37) = sin θ t sin θ i n t (38) 3 Tulokset Mittauksissa taittuneen säteen poikkeama varjostimella L mitattiin pleksikappaleen kierrettävän alustan kehän poikkeaman s funktiona, ja kokeessa saadut tulokset on esitetty liitteessä 1. Mittaukset tehtiin kehän poikkeamalla s 5mm välein, siihen pisteeseen asti että taittuvaa sädettä ei enää havaittu, jolloin mitattiin erikseen kokonaisheijastuksen rajakulmaa vastaava poikkeama s0. Rajapinnan asento mitattiin kierrettävän kiekon kehällä olevalla asteikolla 1mm:n tarkkuudella, ja taittuneen säteen poikkeama varjostilemma olevalla asteikolla 1mm:n tarkkuudella. Poikkeaman L kasvatessa laser-säteen muodostama piste kuitenkin vääristyi mitta-asteikolla, jolloin mittauksen virheraja L merkattiin erikseen jokaisen mittauksen yhteydessä. Kiekon säteeksi r mitattiin r = 208 ± 2mm 2 = 104 ± 1mm (39) Rajapinnan ja varjostimen väliseksi kohtisuoraksi matkaksi d mitattiin d = 500 ± 1mm (40) Mitatulle poikkeamalle L saatiin arvo L0 = 20mm rajapinnan ollessa kohtisuorassa laser-säteeseen, jolloin säteen poikkeamaksi laskettiin l = L L0, l = L (41) Mitattujen poikkeamien arvoista laskettiin kaavojen (24, 26) avulla säteen tulo- ja taittumis -kulmat pelksikappaleen ja kunkin väliaineen rajapinnassa, sekä kulmien sini-arvot graasta esitystä. Tulokset virhearvoineen on 6
esitetty pleksi-ilma rajapinnalle taulussa 1 ja pleksi-vesi rajapinnalle taulussa 2. Kokonaisheijastuksen kohdalla mitattu poikkeama s ja vastaava tulokulma θ i on merkattuna taulun viimisellä rivillä. Laskettujen sin θ arvojen perusteella on kuviin 3 ja 4 laadittu graanen esitys taittumiskulman sinistä sin θ t tulokulman sinin sin θ i funktiona. Kuvaajaan on piirrettyä kaavoilla 30-31 määriteyt pienimmän neliösumman menetelmän mukaan sovitettu suora sekä katkoviivoin merkattu kulmakertoimen 35 ja vakiotermin 36 virheiden mukaiset virhesuorat. 1.0 0.8 Taittokulma sinθ t [ ] 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Tulokulma sinθ [ ] i Kuva 3: Tulokulman ja taittumiskulman välinen riippuvuus pleksi-ilma rajapinnalle, PNS-menetelmän mukaan sovitetulla suoralla virhesuorineen. Kulmakertoimelle saatiin painotetulla PNS-menetelmällä pelksi-ilma rajapinnassa arvoksi k = 1.48 ± 0.03, josta saadaan kaavan 30 perusteella laskettua taitesuhde n t = 1 = 0.67 ± 0.01. (42) n i k Jossa n t = 1 k = 0.01 (43) n i k2 Pisteistöön sovitettu suora kulkee virheen rajoissa origion kautta. Pleksi-vesi rajapinnan tapauksessa saadaan vastaavasti kulmakertoimelle arvo k = 1.12 ± 0.02, josta saadaan laskettua taitesuhde nt n i = 0.89 ± 0.01, kulkien samoin origion kautta. Olettamalla ilman taitekertoimeksi n ilma = 1, saadaan kaavalla 38 laskettua pleksi-ilma tapaukessa n pleksi = sin θ t sin θ i n ilma = kn ilma = 1.48 ± 0.03 (44) 7
1.0 0.8 Taittokulma sinθ t [ ] 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Tulokulma sinθ [ i ] Kuva 4: Tulokulman ja taittumiskulman välinen riippuvuus pleksi-vesi rajapinnalle, PNS-menetelmän mukaan sovitetulla suoralla virhesuorineen. ja pleksi-vesi tapauksessa n vesi = sin θ i sin θ t n pleksi = 1 k n pleksi = 1.32±??? (45) Kokonaisheijastuksen rajakulmaksi mitattiin pleksi-ilma tapauksessa θ i = 42.97±???[ ] ja pleksi-vesi tapauksessa θ i = 63.36±???[ ]. Lasketuilla taitekertoimilla saadaan kaavalla 23 pleksi-ilma tapauksessa ja pleksi-vesi tapauksessa θ i = arcsin n ilma n pleksi = 42.39[ ] (46) θ i = arcsin n vesi n pleksi = 63.19[ ] (47) joka vastaa virheiden rajoissa mitattuja rajakulmia. 4 Yhteenveto ja pohdinnat Mittauksien s, l nollakohtafail? Viitteet [1] I.S. Grant, W.R. Phillips, Electromagnetism, John Wiley, 1984 8
[2] Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla - Työohjeet http:// www.fyslab.hut.fi/kurssit/tfy-3.15xx/tp_ohjeet/21.pdf Luettu 13.11.2012 [3] Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla - Teoria http:// www.fyslab.hut.fi/kurssit/tfy-3.15xx/teoria/tyo21.pdf Luettu 13.11.2012 [4] Mittaustulosten käsittely. http://www.fyslab.hut.fi/kurssit/ Tfy-3.15xx/Luentomat/Tulostenkasittely.pdf Luettu 14.11.2012 Liitteet 1. Mittauspöytäkirja 9
s (mm) l (mm) l (mm) θ i ( ) θ i θ t ( ) θ t x = sin θ i x y = sin θ t y 0.00 0.00 2.00 0.00 0.55 0.00 0.78 0.00 0.01 0.00 0.01 5.00 10.00 2.00 2.75 0.60 3.90 0.84 0.05 0.01 0.07 0.01 10.00 24.00 3.00 5.51 0.66 8.26 1.01 0.10 0.01 0.14 0.02 15.00 35.00 3.00 8.26 0.71 12.27 1.06 0.14 0.01 0.21 0.02 20.00 48.00 3.00 11.02 0.76 16.50 1.11 0.19 0.01 0.28 0.02 25.00 60.00 3.00 13.77 0.82 20.62 1.17 0.24 0.01 0.35 0.02 30.00 74.00 3.00 16.53 0.87 24.95 1.22 0.28 0.01 0.42 0.02 35.00 87.00 3.00 19.28 0.92 29.15 1.27 0.33 0.02 0.49 0.02 40.00 105.00 3.00 22.04 0.97 33.90 1.33 0.38 0.02 0.56 0.02 45.00 120.00 3.00 24.79 1.03 38.29 1.38 0.42 0.02 0.62 0.02 50.00 142.00 3.00 27.55 1.08 43.40 1.43 0.46 0.02 0.69 0.02 55.00 165.00 3.00 30.30 1.13 48.56 1.48 0.50 0.02 0.75 0.02 60.00 192.00 3.00 33.06 1.19 54.06 1.52 0.55 0.02 0.81 0.02 65.00 223.00 3.00 35.81 1.24 59.85 1.57 0.59 0.02 0.86 0.01 70.00 276.00 5.00 38.56 1.29 67.46 1.78 0.62 0.02 0.92 0.01 75.00 373.00 7.00 41.32 1.35 78.04 1.92 0.66 0.02 0.98 0.01 78.0 42.97?? Taulukko 1: Taittumiskulman laskelmien tulokset ilmassa 10
s (mm) L (mm) L (mm) θ i ( ) θ i θ t ( ) θ t x = sin θ i x y = sin θ t y 0.00 0.00 2.00 0.00 0.55 0.00 0.78 0.00 0.01 0.00 0.01 5.00 4.00 2.00 2.75 0.60 3.21 0.83 0.05 0.01 0.06 0.01 10.00 6.00 3.00 5.51 0.66 6.20 1.00 0.10 0.01 0.11 0.02 15.00 10.00 3.00 8.26 0.71 9.41 1.06 0.14 0.01 0.16 0.02 20.00 12.00 3.00 11.02 0.76 12.39 1.11 0.19 0.01 0.21 0.02 25.00 16.00 3.00 13.77 0.82 15.61 1.16 0.24 0.01 0.27 0.02 30.00 18.00 3.00 16.53 0.87 18.59 1.22 0.28 0.01 0.32 0.02 35.00 22.00 3.00 19.28 0.92 21.80 1.27 0.33 0.02 0.37 0.02 40.00 24.00 3.00 22.04 0.97 24.78 1.32 0.38 0.02 0.42 0.02 45.00 29.00 3.00 24.79 1.03 28.11 1.38 0.42 0.02 0.47 0.02 50.00 33.00 3.00 27.55 1.08 31.32 1.43 0.46 0.02 0.52 0.02 55.00 35.00 3.00 30.30 1.13 34.30 1.48 0.50 0.02 0.56 0.02 60.00 41.00 3.00 33.06 1.19 37.74 1.54 0.55 0.02 0.61 0.02 65.00 49.00 3.00 35.81 1.24 41.41 1.59 0.59 0.02 0.66 0.02 70.00 53.00 3.00 38.56 1.29 44.62 1.64 0.62 0.02 0.70 0.02 75.00 56.00 3.00 41.32 1.35 47.71 1.70 0.66 0.02 0.74 0.02 80.00 64.00 3.00 44.07 1.40 51.37 1.75 0.70 0.02 0.78 0.02 85.00 72.00 3.00 46.83 1.45 55.02 1.80 0.73 0.02 0.82 0.02 90.00 79.00 3.00 49.58 1.50 58.56 1.86 0.76 0.02 0.85 0.02 95.00 91.00 3.00 52.34 1.56 62.65 1.91 0.79 0.02 0.89 0.02 100.00 105.00 4.00 55.09 1.61 66.95 2.07 0.82 0.02 0.92 0.01 105.00 121.00 4.00 57.85 1.66 71.45 2.12 0.85 0.02 0.95 0.01 110.00 154.00 5.00 60.60 1.72 77.72 2.27 0.87 0.01 0.98 0.01 115.0 63.36?? Taulukko 2: Taittumiskulman laskelmien tulokset vedessä 11