ELEC-E849. Tarkastellaan viittä rinnakkaista siirtojohtoa. Jännite johdon loppupäässä on 400, pituus on 00 km, reaktanssi on 0, ohm/km ( ohmia/johto). Kunkin johdon virta on 000. Jätä rinnakkaiskapasitanssit huomiotta ja oleta johto häviöttömäksi. Oleta, että johdon loppupäässä cos f on kaikissa tapauksissa 0,9848. Miten suuret ovat johtojen loistehohäviöt yhteensä? Mikä on siirretty teho ja mikä on kulmaero johdon päiden jännitteiden välillä? Jos yksi johto irtoaa ja sama teho siirretään neljällä johdolla, miten suuriksi loistehohäviöt muuttuvat? Mikä on tällöin jännitteiden kulmaero? Kunkin johdon loistehohäviöt ovat Q (000) W häviöt 96 Mvar Viiden johdon loistehohäviöt ovat 480 Mvar. Lasketaan siirretty teho. setetaan loppupään vaihejännitteelle kulmaksi nolla astetta. Virran aiheuttama jännitehäviö johdolla on + 000Ð -0 jw Ð0 + Ð80 v v 8,6Ð7,59 Johdon päiden jännitteiden välinen kulmaero on 7,59 astetta ja alkupään pääjännite on 4,7. Yhden johdon teho on 4,7 400 P sin(7,59) MW 68 MW Johtojen teho on yhteensä: 4 MW. Yksi johto irtoaa. Nyt neljä johtoa siirtää 4 MW. Yhden johdon teho on 85,9 MW. Loppupään virta on: P 85,9MW 50 cosf 400 0,9848 Kunkin johdon loistehohäviöt ovat Q (50) W häviöt 50 Mvar Kulmaero jännitteiden päiden välillä on nyt + 50Ð -0 jw Ð0 + 40Ð80 v v 4,8Ð9,4 Tarkistus: 47,74 400 P sin(9,4)mw 85,8MW Hei! En ole varma meneekö nyt väärälle assistentille mutta huomasin, että jännitteensäädön laskaripaperissa tehtävässä on turha/siihen kuulumaton rivi laskettaessa johdon alkupäässä olevaa vaihejännitettä. Siinä yhtäkkiä /_80 muuttuu 64/_86,4 :ksi.
ELEC-E849. Tarkastellaan tilannetta, jossa siirtojohdon molempien toisen pään jännite on 405 ja toisen 95, reaktanssi on 80 ohmia ja siinä siirretään tehoa jännitteiden kulmaeron ollessa 0. Laske johdolla kuluva loisteho ja jännite johdon puolivälissä. Johdon resistanssia ei oteta huomioon. P sin d Q - Q - cosd cosd 95 405 Kun 405Ð0, 95Ð0, P sin 0 000 MW 80 Loistehon kulutus johdolla on Q + Q - cosd + - cosd (405 ) (405 95 ) (95 ) 405 95-0,866 + - 0,866 (405 ) (405 95 ) (95 ) 405 95-0,866 + - 0,866 57 Mvar Johdolla kulkee virta - v 405Ð0-95Ð0 v k 495Ð, j j80. j puoliväli, v v - 4,4Ð5,0 Pääjännitteen itseisarvo johdon puolivälissä on siis 88.
ELEC-E849. Johda yhtälö siirtojohdon luonnolliselle teholle, kun jännitteet johdon kummassakin päässä ovat yhtä suuret: P. Resistanssia ei oteta B huomioon. Vihje: Käytä p-sijaiskytkentää, ilmoita johdon kuluttama ja tuottama loisteho jännitteen, kulman ja johtovakioiden funktioina ja merkitse ne yhtä d suuriksi. Muista, että kulman d ollessa pieni pätee: cosd» - ja sin d» d. Kuvataan johto π-sijaiskytkennällä. Tällöin johdon alkupään maakapasitanssi tuottaa loistehon B B Q C ja loppupään maakapasitanssi tuottaa loistehon Q C B Q C + B. eli yhteensä johto tuottaa ( ) Johdon reaktanssissa kuluu loisteho Q Q + Q - cosd + - cosd. Mikäli, saadaan yhtälöksi Q Q : B ( - cosd ) C Normaalisti jännitteiden kulmaero δ on pieni yhden johdon yli, jolloin (ja sin δ δ). Yhtälö saadaan siis muotoon: d B () cosd» - d Johdon siirtämälle pätöteholle on yhtälö P sin d» d () P Eli sijoittamalla d yhtälöön (), saadaan ratkaista: P B gamma B æ P ö ç, josta voidaan è ø
ELEC-E849 4. 50 km pitkän 400 -Finch-teräsalumiinijohdon aaltoimpedanssi ZSL on - 04,Ð -, W ja etenemiskerroin pituutta kohti (g) on,09 0 Ð87,57 km. a) Määritä johdon yleiset siirtovakiot, B, C ja D ja ilmoita miten lasket johdon alkupään jännitteen ( ) ja virran ( ) loppupään jännitteen ja loppupään virran funktiona. b) Johdon alkupää on jäykässä verkossa ja sen jännite on nimellinen (400 ) ja johdon loppupää on auki. Mikä on loppupään jännitteen itseisarvo? Onko tämä hyväksyttävä tilanne? c) Johdon alkupää on jäykässä verkossa (400 ) ja loppupäässä on - vaiheinen oikosulku, jonka vikaimpedanssi on nolla. Mikä on oikosulkuvirta johdon loppupäässä ja alkupäässä? a) 50 km pitkän johdon etenemiskerroin on gs on - gs 50km,09 0 Ð87,57 / km 0,5668Ð87,57 0,040 + j0,566 0,040-0,040 e e cosh gs D cosh(0,040+ j0,566) Ð0,566rad + Ð - 0,566rad 0,56Ð,4466 + 0,488Ð -,4466 0,4 + j0,748 + 0,49- j0,689 0,844+ j0,09 0,844Ð0,87.0.05 Korjattu miinusmerkki :ta laskettaessa ylimmän rivin oikeanpuoleiseen kulmaan (on nyt 0,566 rad, oli 0,566 rad ) a -a e e sinhgs Ðb - Ð - b 0,040-0,040 e e sinh(0,040+ j0,566) Ð0,566rad - Ð - 0,566rad 0,56Ð,4466-0,488Ð -,4466 0,4 + j0,748-0,49+ j0,689 0,009 + j0,5669 0,57Ð87,8.0.05 Korjattu miinusmerkki sinus hyperbolikusta laskettaessa ylimmän rivin oikeanpuoleiseen kulmaan (on nyt 0,566 rad, oli 0,566 rad) B Z c sinh( gs) 04,Ð -, W 0,57Ð87,84 6,Ð85, 74W sinh( gs) C Z c 0,57Ð87,84 04,Ð -, W,77Ð89,94 ms é ë é û ëc Bé D ûë é 0,844Ð0,87 û ë,77ð89,94 ms 6,Ð85,74Wé 0,844Ð0,87 ûë û b) Kun vastaanottava pää on auki, sen virta on nolla ja on jännitteiden suhde on 400Ð0. Û 474Ð - 0,87 (.0.05 korjattu 0,844Ð0,87 jännitteen kulma nimittäjässä oikeaksi. Jännitteen kulma oli 0.87 astetta, pitää olla 0.87 astetta.) Loppupään jännitteen itseisarvo on 474. Jännite on liian korkea. 4
ELEC-E849 Koska tässä on vain kahden jännitteen suhde, voidaan laskea suoraan pääjännitteillä. c) Kun vastaanottava pää on oikosuljettu, on vastaanottavan pään jännite ( ) nolla, alkupään jännite ( ) on 400 ja virtojen suhde on D. Lasketaan ensin oikosulkuvirta johdon loppupäässä. é400 é 0,844Ð0,87 6,Ð85,74W 0 é Û,77 89,94 ms 0,844 0,87 ë Ð Ð ûë û ë û 400Ð0 44Ð - 85,74 6,Ð85,74W Oikosulkuvirta johdon loppupäässä ( ) on 44. Merkitään nollaksi ja annetaan alkupään jännitteelle ( ) arvo 400. Lasketaan. é400 é 0,844Ð0,87 6,Ð85,74W 0 é Û,77 89,94 ms 0,844 0,87 44 85,74 ë Ð Ð ë Ð - ë û û û 0,844Ð0,87 44Ð - 85,74 9Ð - 84,87 Oikosulkuvirta johdon alkupäässä on 9..0.05 Korjattu matriisiyhtälöstä -virran itseisarvo (oli 449, pitää olla 44) 5. 00 km pitkän 400 -Finch-teräsalumiinijohdon impedanssi pituutta kohti on (0.06 + j 0,) W/km ja admittanssi pituutta kohti on (0,0 E 06 + j,58e 06) S/km. d) Laske johdon yleiset siirtovakiot. e) Johdon alkupää on jäykässä verkossa ja sen jännite on nimellinen (400 ) ja johdon loppupää on auki. Mikä on loppupään jännitteen itseisarvo? Onko tämä hyväksyttävä tilanne? Miksi jännite on erilainen kuin tehtävässä, jossa samanlaisen johdon pituus oli 50 km? f) Johdon alkupää on jäykässä verkossa (400 ) ja loppupäässä on - vaiheinen oikosulku, jonka vikaimpedanssi on nolla. Mikä on oikosulkuvirta johdon loppupäässä ja alkupäässä? Miksi virta on erilainen kuin tehtävässä, jossa oli pidempi johto? g) Laske oikosulkuvirta lyhyen johdon yhtälöllä (vain reaktanssi huomioitu) ja vertaa sitä tarkkaan ratkaisuun. h) Laske oikosulkuvirta lyhyen johdon yhtälöllä edellisen laskuharjoitustehtävän mukaisessa tapauksessa (50 km pitkä johto). Miten suuri on virhe tässä tapauksessa. a) Johdon yleiset siirtovakiot ovat: é ëc B é 0,9476Ð0,67 D û ë,049ð89,7 ms 97,57Ð85,58 W 0,9476Ð0,67 û 5
ELEC-E849 b) Kun vastaanottava pää on auki, sen virta on nolla ja on jännitteiden suhde on. 400Ð0 Û 4Ð - 0,67 0,9476Ð0,67 Loppupään jännitteen itseisarvo on 4. Jännite liian korkea. Lyhyt tyhjäkäyvä johto tuottaa vähemmän varausloistehoa kuin pitkä johto, joten jännite tyhjäkäyvän johdon päässä ei nouse niin paljon kuin pitkän johdon jännite nousisi. c) Kun vastaanottava pää on oikosuljettu, on vastaanottavan pään jännite ( ) nolla, alkupään jännite ( ) on 400 ja virtojen suhde on D. Lasketaan ensin oikosulkuvirta johdon loppupäässä. é400 é 0,9476Ð0,67 97,5669Ð85,58 W 0 é Û,049 89,7 ms 0,9476 0,67 ë Ð Ð ûë û ë û 400Ð0 67Ð - 85,58 97,5669Ð85,58W Oikosulkuvirta johdon loppupäässä ( ) on 67. Merkitään nollaksi ja annetaan alkupään jännitteelle ( ) arvo 400. Lasketaan. é400 é 0,9476Ð0,67 97,5669Ð85,58 W 0 é Û,049 89,7 ms 0,9476 0,67 67 85,58 ë Ð Ð ûë Ð - û ë û 0,9476Ð0,67 67Ð - 85,58 4Ð - 85, Oikosulkuvirta johdon alkupäässä on 4 Lyhyemmällä johdolla on pienempi reaktanssi, joten oikosulkuvirta on suurempi ( ~ v / ). 400 d) Oikosulkuvirta k on k johdon kummassakin 00km 0,W / km päässä kun lasketaan lyhyen johdon yhtälöllä. Tämä on 99 % pitkien johtojen yhtälöillä lasketusta virrasta (johdon loppupään arvosta) eli virhe on pieni. e) Mallilaskutehtävien mukaisessa tapauksessa oikosulkuvirta johdon kummassakin päässä olisi lyhyen johdon yhtälöillä laskettuna 400 k 46, mikä on 95 % pitkien johtojen yhtälöillä 50km 0,W / km lasketusta johdon loppupään virran arvosta. Mitä pidempi johto sitä suurempi virhe, mutta käytännön nopeisiin laskuihin ja suuruusluokka-arvioihin lyhyen johdon yhtälö riittää. 6. Loistehon kompensoinnin periaatteet Suomen kantaverkossa Vastaus: 400 :n verkko: tyhjäkäyvien johtojen tuottama loisteho pitää voida kuluttaa. Reaktoreita on verkossa suunnilleen yksi / 00 km johtoa. Mahdollisen suurhäiriön jälkeen verkkoa koottaessa tarvitaan kaikki reaktorit, etteivät johtojen jännitteet nousisi liikaa 6
ELEC-E849 Nopeita loistehoreservejä pitää olla verkon häiriöiden jälkitilanteisiin, jotta verkko selviää niistä romahtamatta 400 :n verkkoon kytketyt generaattorit eivät normaalitilanteessa ota eivätkä anna loistehoa verkkoon. Tahtigeneraattoreiden loistehoa pidetään häiriöreservinä 0 ja 0 verkot Loistehon kompensointilaitteita on sen verran, että asiakkaiden liittymispisteiden jännitteet voidaan pitää sallituilla alueilla. Näihin verkkoihin kytketyt tahtigeneraattorit voivat tuottaa tai kuluttaa enintään puolet loistehon tuotantokyvystään. Loput ovat häiriöreserviä. 7. Osoita, että reaktiivisessa siirtojohdossa loistehon siirto aiheuttaa pääosan jännitteen alenemasta. lmoita jännitteen aleneman itseisarvo johdon loppupäässä kulutetun pätö- ja loistehon funktiona. Vihje: Piirrä osoitinpiirros oheisen kuvan mukaisesta tilanteesta, laske likimääräinen jännitteen aleneman itseisarvo ja muista, että >> R. Vastaus: v - v» Rcosj + sin j, RP + Q -» D? R P, Q, cosj Jännitteenalenema: D - Piirretään vaihejännitteiden ja virran osoitinpiirros, josta saadaan jännitevektoreiden likimääräiseksi pituuseroksi: D j R R cosj sinj ~ Jännitteen aleneman itseisarvo v - v» Rcosj + sin j Koska >> R, on jälkimmäinen termi merkitsevämpi, ja loistehon siirto siis aiheuttaa pääosan jännitteen alenemasta. 7
ELEC-E849 Kun yllä olevaan yhtälöön sijoitetaan saadaan: RP v v v - v» Rcosj + sin j ja v P v v cosj Qv v sin j, + Q -» Rcosj + sin j P R + Q RP + Q 8. Tarkastellaan jännitteenantoa 75 km pitkälle 400 :n johdolle, jonka x 0, Ω/km ja b,57 μs/km. Johto oletetaan häviöttömäksi. lkupään verkon jännite on 409. a) Mikä olisi jännite johdon loppupäässä ilman reaktoreita, kun johto on alkupäästään kytketty verkkoon ja johto olisi loppupäästä auki? Vastaus: 446 b) Jos lähtöpään jännite on 409, kuinka suuri reaktoriteho tarvitaan vastaanottavassa päässä, jotta jännite ei siellä ylittäisi arvoa 40? Vastaus: 8, Mvar. Kuvassa on esitetty tilanteet.0.05 Korjattu jännitteen alaindeksit, nyt vasemmalla m, oikealla (oli kummassakin. a) Jos johto kuvataan π-sijaiskytkentänä, on alku- ja loppupään jännitteiden välillä reaktanssi 75 km 0, Ω/km 5 Ω. Johdon suskeptanssi B on 75 km,57 ms/km 9 ms. Johdon admittanssi koostuu pelkästään suskeptanssista eli Y/ jb/ j670 ms. Lasketaan tyhjäkäyvän johdon loppupään jännite jännitteenjaolla.,094 Y + j Y j670μs j670μs,094 409 446,4 + j5w - j49,5w - j49,5w + j5w 8
ELEC-E849 b) Nyt tiedetään, että loppupään jännite on 40, koska reaktori estää jännitettä nousemasta liian ylös. lkupään jännite siis 409 ja loppupään 40. Pätötehoa ei tilanteessa siirry, joten kulmaeroa ei ole päiden jännitteiden välillä. Johdolla kulkee tällöin sen alkupäätä kohden virta D j 40Ð0-409Ð0 5WÐ90 j - j50,8 Johdon loppupään maakapasitanssi ottaa loistehoa B Qc - j -(40) 670μS -8,Mvar j c (Kondensaattorin ottama loisteho on negatiivinen, koska kondensaattori tuottaa loistehoa) Loppupään maakapasitanssi ottaa virran Sc * (0 MW - j8,mvar * ( ) ( ) (-6,j) 40Ð0 * c 6,j 40 :n jännitteellä ja kuvan mukaisilla virran ja tehon suunnilla reaktorin ottama teho on * * * S - c - j 40 - j6, + j50,8 R 40 R ( ) ( ) ( j6, - j50,8) 8, Mvar Suomessa käytetyn reaktorin vakiokoon vuoksi tarvittaisiin käytännössä kaksi 60 Mvar suuruista reaktoria. Toinen tapa (aiemmin ratkaisuissa ollut). b) Nyt tiedetään, että loppupään jännite on 40, koska reaktori estää jännitettä nousemasta liian ylös. lkupään jännite siis 409 ja loppupään 40. Pätötehoa ei tilanteessa siirry, joten kulmaeroa ei ole päiden jännitteiden välillä. Johdolla kulkee tällöin sen alkupäätä kohden virta D 40-409 5W j 50,8 Johdon loppupään maakapasitanssi tuottaa loistehon B Qc (40) 670μS 8,Mvar ja virran Qc 8,Mvar c 6,. 40 Reaktorin loisteho Q sinj - sin 90 ( ) ( 6, - 50,8) 8, Mvar R R c j 9