2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0. Jos f on n ertaa derivoituva pisteessä x 0, niin polynomilla P n (x) P n (x; x 0 ) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n 2! n! f () (x 0 ) (x x 0 ) on pisteessä x 0 samat derivaatat uin f:llä ertaluuun n saaa. Taylorin aava: Jos derivaatta f (n+) on olemassa ja se on jatuva funtio, niin f(x) P n (x; x 0 ) + E n (x) ja virhetermille E n (x) pätee E n (x) f (n+) (ξ) (n + )! (x x 0) n+ jossain pisteessä ξ [x 0, x]. Jos on olemassa indesistä n riippumaton vaio M, jolle f (n+) (x) M jollain välillä x I, niin tällöin un n. E n (x) M (n + )! x x 0 n+ 0, Esimerisi tapausessa f(x) sin x, x 0 0, voidaan valita M, joten E n (x) (n + )! x n+. Kiinteällä x R virhetermi lähestyy nollaa, un n. Tällaisissa tapausissa Taylor-polynomin raja-arvona saadaan funtion f(x) Taylorsarja, josta myöhemmin lisää.

Eräitä Maclaurin-polynomiapprosimaatioita: x + x + x2 + + x n e x + x + 2! x2 + 3! x3 + + n! xn ln( + x) x 2 x2 + 3 x3 + ( )n x n n x x ( ) sin x x 3! x3 + 5! x5 + ( )n (2n + )! x2n+ cos x 2! x2 + 4! x4 + ( )n (2n)! x2n ( + x) r + rx + r(r ) x 2 + 2! x ( ) (2 + )! x2+ ( ) (2)! x2 r(r )(r 2) x 3 +... 3! Approsimaatiot voidaan irjoittaa myös yhtälöinä, jos äytetään ns. "iso- O-merintää": x + x + x2 + + x n + O(x n+ ), un x 0, taroittaa sitä, että jollain välillä [ δ, δ] virhetermillä on muotoa C x n+ oleva yläraja; tässä C C(δ) ei riipu muuttujasta x. Tämä muoto on ätevä esimerisi raja-arvojen lasemisessa; tosin menetelmä ei juuriaan poiea L Hospitalin säännöstä: joten cos x x 2 x2 /2 + O(x 4 ) x 2 2 + O(x2 ), cos x lim x 0 x 2 2. 2

2.2 Newtonin menetelmä Ensimmäisen asteen Taylor-polynomi P (x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) on sama uin funtion f linearisointi pisteen x 0 suhteen. Sitä voidaan äyttää erilaisissa arvioissa ja numeerisissa menetelmissä. Newtonin menetelmä: Yhtälö f(x) 0 rataistaan liimääräisesti valitsemalla alupiste x 0 (esimerisi uvion perusteella) ja määrittelemällä x n+ x n f(x n) f (x n ), un n 0,, 2,... Näin saadaan luujono (x 0, x, x 2,... ), jona termit yleensä antavat yhä parempia liiarvoja funtion f nollaohdalle. Palautusaava perustellaan geometrisesti etsimällä funtion nollaohtaa sen linearisoinnin (eli tangentin) avulla. 2.3 Taylor-sarja* Sarjoihin palataan taremmin urssin lopussa ja sen vuosi tämä ja seuraava luu ovat toistaisesi lähinnä oheisluemista. Jos Taylorin aavan virhetermi E n (x) lähestyy nollaa, un n asvaa, saadaan Taylor-polynomin raja-arvona funtion f Taylor-sarja ( Maclaurinsarja, jos x 0 0). Taylor-sarja on siis muotoa f () (x 0 ) (x x 0 ) lim n f () (x 0 ) (x x 0 ) Tämä on esimeri yleisestä potenssisarjasta, joita esiintyy monien aleisfuntioiden yhteydessä. Taylor-sarja voidaan muodostaa aina, un funtiolla f on aiien ertaluujen derivaatat pisteessä x 0 ja ne sijoitetaan ym. aavaan. Tähän liittyy uitenin asi ongelmaa: Suppeneeo Taylor-sarja aiilla muuttujan arvoilla? Vastaus: Ei aina; esimerisi funtion /( x) Maclaurin-sarja ( geometrinen sarja) suppenee vain arvoilla < x <, vaia funtio on derivoituva aiilla x. 3

Jos sarja suppenee jollain x, niin ono sarjan summa sama uin f(x)? Vastaus: Ei aina; esimerisi funtiolle { e /x2, x 0, f(x) 0, x 0, pätee f () (0) 0 aiilla N 0 (hanala, mutta periaatteessa aleellinen lasu). Näin ollen sen Maclaurin-sarja on identtisesti nolla ja suppenee ohti arvoa f(x) ainostaan pisteessä x 0. Johtopäätös: Taylor-sarjoja pitäisi tutia tarasti virhetermien jms. avulla. Käytännössä sarjoja muodostetaan äyttämällä apuna muutamia tunnettuja sarjaehitelmiä. Esimerejä (esponenttifuntioon palataan vielä myöhemmin): x x, x < e x x, x R ln( + x) ( ) x, x < sin x ( ) (2 + )! x2+, x R cos x ( ) (2)! x2, ( + x) r + x R r(r )(r 2)... (r + ) x, x < Viimeinen on nimeltään binomisarja ja se on voimassa aiilla r R. Jos r n N 0, niin sarjan ertoimet ovat nollia summausindesistä n+ lähtien ja tulosena on binomiaava. Syy: ( ) n n! (n )! n(n )(n 2)... (n + ). 4

2.4 Potenssisarja* Potenssisarja on muotoa c (x x 0 ) lim n c (x x 0 ) oleva sarja. Piste x 0 on sarjan esus ja luvut c sarjan ertoimia. Sarja suppenee arvolla x, jos yllä oleva raja-arvo on määritelty. Tämän suhteen on vain olme erilaista tapausta: sarja suppenee vain arvolla x x 0 (jolloin sarjassa esiintyy vain vaiotermi c 0 ) sarja suppenee aiilla x R sarja suppenee jollain välillä ]x 0 R, x 0 + R[ (ja mahdollisesti yhdessä tai molemmissa päätepisteissä) mutta hajaantuu muilla x:n arvoilla. Viimeisessä ohdassa esiintyvä luu R on potenssisarjan suppenemissäde; sovitaan lisäsi, että R 0 tai R muissa tapausissa. Suppenemisvälillä I tulee siis määriteltyä funtio f : I R, f(x) c (x x 0 ), () joa on nimeltään sarjan summafuntio. Potenssisarjan summafuntio f on välillä ]x 0 R, x 0 + R[ jatuva ja derivoituva. Lisäsi derivaatan f (x) voi lasea derivoimalla sarjaa () termeittäin: f (x) c (x x 0 ). Huomaa, että vaiotermi c 0 derivoituu pois eli summa alaa indesistä. Lisäsi derivoitu sarja suppenee samalla välillä x ]x 0 R, x 0 +R[; tämä on hieman yllättävää (?) ertoimen vuosi. Tapausessa [a, b] ]x 0 R, x 0 +R[ potenssisarjan () voi myös integroida termeittäin: b b f(x) dx c (x x 0 ) dx. a a 5