BMA58 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 4, Kevät 17 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Integraalit eivät tosin ole niin vaikeita etteikö niitä suurimmassa osassa tehtäviä pstisi laskemaan, ja niiden laskeminen onkin suositeltavaa "laskurutiinin"kasvattamiseksi. Vastauksia tulee (itsenäistä tarkastusta varten) numeroarvoisina. Matlabia tai jotakin muuta ohjelmistoa voi tietsti kättää kun tarkastaa onko muodostettu lauseke oikea (jottei mahdolliset huolellisuusvirheet integroinnissa johda harhaan). 1. ( ) Kmmenen metriä pitkän tukin toinen pää on mprän muotoinen (säde. metriä), kuten mös toinen pää (säde. metriä). Tukki on katkaistun (suoran) kartion muotoinen. mikä on tukin massa kun tihes on 15kg per kuutiometri? Missä on tukin painopiste?. ( ) Mietitään suoraa ja ohutta 1 m pitkää tankoa. Olkoon tangon toinen pää origossa ja toinen pää -akselilla pisteessä 1. Tangon tihes pisteess on λ() k. Tangon huomataan psvän tasapainossa kun se on tuettu kohdasta 7.5. Ratkaise k. Mikä on tangon massa?. ( ) Paraabelin + 1 ja -akselin rajoittaman alueen muotoinen lev kiinnitetään suoralta srjältään seinään. Mikä on levn massa? Millaisen momentin levn oma paino aiheuttaa kiinnitskohtaan (eli mikä on momentti -akselin suhteen)? Levn paksuus on.5 ja tihes.? leinen painovoimavakio 9.81 1 l 1 1 + 1 Kuva 1: Momentti d.5 Kuva : Momentti D
momenttialkio dm vipuvarsi voima-alkio vipuvarsi g.dv missä dv l.5d 1.5d + 1 ± 1 l 1 M dm 1 }{{} vipuvarsi 1 g..5 g. 1.5d 1 d 4. Mietitään tasapaksua homogeenista levä joka muodostuu paraabelin + 4 ja suoran rajoittamana. Olkoon tihes vakio b ja paksuus vakio h (g 9.81). Määritä se vaakasuora suora a jonka suhteen levn momentti on. Mikä on levn painopiste? 4 Kuva : + 4 Smmetria c c? Etsitään ensin momentti -akselin suhteen elementin da painopiste f () + 4 d Kuva 4: + 4 ja pstpalkki painopisteellä
da f () d dm f () }{{} vipuvarsi df {}}{ g } b {{ hda} dm f () gbh f ()d ( f ()) gbhd ( f ()) ( f ()) M g b hd gbh d kappaleen paino g b h f ()d c gbh ( f ()) d gbh ( f ())d 1 ( + 4) d ( + 4)d 1 ( 4 8 + 16)d / ( + 4)d ( 1 15 5 8 + 16 ) / + 4 ( 1 15 5 8 + 16 ) 1 ( 15 ( ) 5 8 ( ) + 16 ( ) ) ( ) 8 + 4 ( ) + 4 ( ) 5. Uima allas on lhäältä päin muodoltaan 4 m leveä ja1 m pitkä suorakaide. Lhen sivun suunnassa altaan svs on aina vakio. Pitkän sivun suunnassa allas svenee päädistä keskelle edetessä siten että pohjan profiili on f () + 5 välillä 5 5 kun veden pinta on tasolla. Eli keskeltä ( ) allas on metriä svä ja päädistä ( ±5) metrin svinen. Määritä altaan pohjan pinta-alan lauseke sekä altaan tilavuus. Määritä mös millainen kokonaisvoima vaikuttaa altaan pohjaan (vinkki: "voima paine kertaa pinta-ala"ja "paine on tihes kertaa nestepatsaan korkeus kertaa vetovoimavakio). 6. (a) Mikä on kuvassa esitettn padon luukkuun kohdistuvaa kokonaisvoimaa. Tehtävässä tarvitaan heiman fsiikkaa: Svdellä h nesteen aiheuttama paine p on ρgh, missä ρ on nesteen tihes ja g 9.81 on vetovoimavakio. Paineen p pinta-alaan A aiheuttama voima F taasen on F pa.
1 Ratkaisu: Fsiikasta tutulla kaavalla voimme laskea paineen p ρgh toisaalta paine aiheuttaa voiman, jonka kaava on p F A F pa Luukkuun kohdistuva voima svdellä dh on df pda toisaalta da dh eli voima saadaan tällöin muotoon Kokonaisvoima saadaan integroimalla df ρgh dh F 1 1 / ρgh dh ρg h ρg 1 (b) Mitäpä, jos luukku olisi kärjellään seisovan tasasivuisen kolmion muotoinen (korkeus 1 ja leves lhäältä )? Mitä voima olisi tällöin? Ratkaisu: h dh 1 w
h ( 1 )L + 1 h 1 L + 1 L Nt pinta-ala alkio on muotoa da L dh ja voima alkio Tällöin saamme voimaksi F df pda pl dh 1 1 p L dh p h 1 ρgh h 1 dh ρg }{{} C C 1 / 1 dh h 1h dh 1 h 5h C( 1 1 5 1 ) 7. Kuvan kappale on homogeeninen ja tihes on 7? Millainen momentti muodostuu sen suoran suhteen joka kulkee alhaalla olevan "terävän"särmän (pituus ) kautta? Kaareva osa on paraabelin 8 väliltä [,4] otetun kaaren muotoinen. Lausekkeen muodostaminen riittää. 4, Ratkaisu: d h f () Momentin htälö on M Fl
toisaalta F mg ja m ρv 7V Nt momentti saadaan muotoon dm dfl dm gl dm dm 7gl dv dm 7g(4 ) (, f ())d M 4 1g(4 )(, ( 8 ))d 8. Oletetaan että rahtialuksen ruuman poikkileikkaus on kärjellään olevan tasasivuisen kolmion muotoinen (sivun pituus 1 metriä) ja ruuma on tännä lastia. Mikä on lastin painopisteen etäiss ruuman pohjasta (eli kolmion kärjestä) kun oletetaan että lasti on homogeenista? Entäpä jos lasti on siten kokoon puristuvaa että sen tihes svdellä h ruuman pinnasta on 1(1 + h )?
Vastauksia: Teht.#1: Painopiste 7.5 19 4.4 Teht.#: k, m 1πr Teht.#: Likimäärin.61g Teht.#4: Painopiste, 5 8 Teht.#5: A 41.4, kokonaisvoima 68.19ρg, V / Teht.#6: (a) 15ρg, missä ρ on veden tihes ja g maan vetovoimavakio. (b) 5ρg Teht.#7: 89.6g Teht.#8: Jos lasti homogeeninen niin kstt etäiss on 75 5/ 5.77, jos epähomogeeninen niin 75 5875 675.64