MAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014

Transkriptio

1 0..0 MAOL-pistetsohje Matematiikka lht oppimäärä Kevät 0 Hvästä suorituksesta näk, miten vastaukseen on päädtt. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti. Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on kätett (smbolist laskinta, sen on kätävä ilmi suorituksesta. Analsointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos leensä riittää täsiin pisteisiin rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, htälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi.

2 0..0. = = 0 ( ) = 0 = 0 = = 0 = = = 0 ja sijoitus ratkaisukaavaan, esim: ± 0 =, ± 0 josta = = Jaettu puolittain :llä ja saatu vain juuri ma b) Ratkaisuksi saatu vain = 0, esim. kokeilemalla. ma a b Suora sijoitus: = a b Saatu oikea vastaus: = = a b ( a b)( a+ b) Jaettu osoittaja tekijöihin: = a b a b Supistettu, sijoitettu ja saatu: a+ b= + = c) Vastaukseksi hväkstään mös 6 Nimittäjien poisto: = = ( ), josta oikea vastaus = = Laskinratkaisut hväkstään kohdissa -c)

3 akselilla = 0. Tällöin 0 5 =, josta = 5 joten leikkauspiste on ( ) 0, 5 Suoran htälö muokattu esim. muotoon = 5 5 josta päätelt leikkauspisteeksi ( 0, 5) = 8 = =, b) 8 josta = =,89...,89 Likiarvossa tarkkuusvirhe ja/tai tarkka arvo ei näkvissä Kätett laskinta ja saatu tarkaksi arvoksi = 0 c) = 6 = 8 Koska 8 =, saadaan =. TAI logaritmeilla, esim: = 6 = 8 lg = lg8, lg8 josta oikea vastaus = = lg Laskinratkaisut hväkstään kohdissa -c)

4 0..0. b) Olkoot hpotenuusa c sekä terävät kulmat α ja β. c = 5,0 + 8,0 = 89,0 = 9,9... 9,. Vastaus 9, cm (tai 9 mm) 5 8 tanα = α =, Toinen terävä kulma on siten β Nimittäjien poisto: = ( + ) = 5( ), josta + = 5 5 = ja edelleen =, jolloin = TAI ratkaisemalla suoraan suhde : Supistus: + ( = = + = 5 5 = 7 7 = Ratkaistu htälöparilla + = 5 = tai kokeilemalla eri lukuarvoilla. ma. Olkoon kuution särmä aluksi a, jolloin tilavuus V = ( = 8a Vu a Uusi tilavuus Vu = a. Vertailu: = = = 0,5 V 8a 8 = 0,875, joten tilavuus on pienentnt 87,5 %. b) Kuution pinta-ala A = 6( = a. Au 6a Uusi pinta-ala Au = 6a. Vertailu: = = = 0,5 A a = 0,75, joten pinta-ala on pienentnt 75 %. Laskettu kokonaan numeerisesti, esim: Särmän pituus aluksi ja lopuksi ma

5 mansikkamehua (l) kuohuviiniä (l) hteensä (l) sekoitus,,8,0 sekoitus 0 seos,,8 +,0 + tai lähtötiedot muuten esitettinä Ehto: 0, (,0 + ) =,, josta,0 + = 6 =,0. Kuohuviiniä on siis lisättävä,0 l. Saatu laskettua, että mehua on, l ja kuohuviiniä,8 l Mehun osuus boolista (b) lisäksen jälkeen 0,b =, Boolia lisäksen jälkeen b = 6,0 l Kuohuviiniä siis lisättävä,0 litraa (tai litra 6. Häkissä on k kaniinia ja f fasaania. Saatu htälö k+ f = 5 k + f = 5 Saatu htälöpari: k + f = 9 k = Yhtälöpari ratkaistu oikein ja saatu. f = (Laskinratkaisu sallitaan) Vastaus: Kaniineja on ja fasaaneja. Kokeilemalla ratkaistu ma 7. Tukin halkaisija r = 0 cm, joten sen säde r = 0 cm. Vaijerin kunkin suoran osan pituus = r. Kaarevat osat ovat mprän kaaria, joiden keskuskulma = 60 TAI todettu, että niiden hteispituus = koko mprän kehän pituus. Vaijerin kokonaispituus on siten 6 r+ π r = 0 + 0π = 8, (cm) Ratkaistu kuusikulmion avulla ja saatu väärä vastaus, esim. 80 cm ma Likiarvossa tarkkuusvirhe 5

6 Saatu muutamia ensimmäisiä vaiheita, 00, 00, 900 Kseessä on geometrinen lukujono, jolle q = n 00 ( ) Geometrinen summa, n 00 ( ) 9 joka littää Suomen talousarvion, kun > 5, 0. 9 Tällöin >,08 0 +, (tai muu vastaava sievennett muoto) 9 lg(, ) josta n > = 8,9.... Ylits tapahtuu siis 9 vaiheen lg jälkeen. Taulukoimalla kaikki vaiheet 9. vaiheeseen asti oikein ma 6 Ratkaistu ilman epähtälömerkkejä 0 9. Mahdollisia setelijonoja on 6 erilaista: (5,5,0,0), (5,0,5,0,), (5,0,0,5), (0,0,5,5), (0,5,0,5) ja (0,5,5,0). Näistä vain ensimmäistä ovat suotuisia. Kstt todennäköiss on siten =. 6 Kaikki tapahtumat kpl (jotenkin perustellen) Suotuisia tapahtumia 8 kpl (jotenkin perustellen) Kstt todennäköiss on siten 8 =. Todennäköisksien avulla P(5, 5, 0, 0) = P(5, 0, 5, 0) = Summa + = 6

7 Funktio derivoitu f ( ) = a ja laskettu derivaatan nollakohta f ( ) = a = 0, joka toteutuu, kun =. Perusteltu jotenkin, että pienin arvo saavutetaan derivaatan f ( ) nollakohdassa. f = 8 = 0, josta saatu a =. Pienin arvo, kun ( ) a a b) Ehto voi toteutua vain silloin, kun b < 0, jolloin funktion g ( ) kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Lisäksi funktion g ( ) nollakohtien on oltava ja. Sijoittamalla :n arvot saadaan b + 6 = 0, josta b =, ja b + = 0, josta mös b =. a. Sijoitetaan kaavaan = ja a = 9. Saadaan 9 = + = =, Jatkamalla samalla periaatteella saadaan =, =, =, =, =, =, Vastaus on siten n = 7.. Kaavasta T b) Koska = lg p ratkaistuna todennäköiss p = 0 T.,8 p alko = 0 = 0, , ptapaturma = 0 = 0, > palko, p loukk = 0,, 6 niin loukkaantuneiden lukumäärä = 0 5, 0 = 07, Vastauksessa väärä tarkkuus 7

8 0..0. Kärän tangentin kulmakerroin on suurin derivaatan maksimipisteessä eli kohdassa, jossa = 0. = + + = + + = 6+ = 0 =. Merkkikaavio osoittaa, että kseessä on maksimikohta. Tällöin 9 ( ) = 7. Kstt piste on siten 9 (, 7). Laskettu derivaatan nollakohdat = 0. ± = 0 ja nollakohdat = Perustellusti laskettu keskiarvo ja saatu Tällöin 9 ( ) = 7. Kstt piste on siten 9 (, 7). = ja htälö 9 = 0 7 ( ), eli = 0 tai 90 7 = 0. b) Tangentin kulmakerroin on ( ) 0 7. Malli: = a( 0) + b (0) = b= a = 569,5 Ehdot:, josta (08) = a+ b= 6989 b = b = 6077 a = 569,5 b) Asukasluku vuonna 00 on (00) = 569,5 (00 0) = 6975 Erotus = (asukast c) Kuvaajaksi piirrett suora = 569,5( 0) = 569, ,5 välille 0 00 Piirrett suora tunnettujen pisteiden kautta Suoraa jatkettu määritsvälin ulkopuolelle 8

9 tanγ = γ = 5 ( + n 80, n Z) Välille 0 γ 60 b) Kuviosta: tan α =, tan β =. + 5 Kaavalla: tan( α + β) = = 6 =, 5 6 joten α + β = 5 = γ TAI tan( α + β) = = tanγ Laskettu kulmat α ja β ja saatu likiarvojen avulla tan( α + β) 9