ja siten kyseisen symmetriaryhmä on toinen dihedraaliryhmä (D 2 )

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "ja siten kyseisen symmetriaryhmä on toinen dihedraaliryhmä (D 2 )"

Ari-Matti Kauko Järvenpää
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 APPROBATUR (MATP170) Harjoitus 7, Ratkaisut 1. Kuvaa kirjaimen H smmetriarhmä permutaatioiden avulla ja tee saadulle rhmälle kertotaulu. (Nimeä tätä varten kirjaimesta smmetrian mielessä tärkeitä kohtia numeroilla) Ratkaisu. Numeroidaan kirjaimen H neljä sakaraa kuten kuvassa. Tällöin kirjaimen H smmetriat ovat permutaatiorhmän S alkioita. Toisin sanoen D(H) = {id,(1)(),(1)(),(1)()}. Jos merkitään ρ = (1)() ja σ = (1)() niin 1 ρσ = (1)()(1)() = (1)() ja siten kseisen smmetriarhmä on toinen dihedraalirhmä (D ) D(H) = {id,ρ,σ,ρσ} = D. Kertotaulu tälle tehtiin jo viime demoissa ja se nättää seuraavalta: (HUOM! σρ = ρσ) i ρ σ ρσ i i ρ σ ρσ ρ ρ i ρσ σ σ σ ρσ i ρ ρσ ρσ σ ρ i. Ilmoita permutaatioiden avulla säännöllisen viisikulmion smmetriarhmä. Kirjoita nämä permutaatiot dihedraalirhmänä (ts. hden kierron ja peilauksen tuloina). Ratkaisu. Numeroidaan viisikulmion kärjet numeroilla ja kuvataan kaikki smmetriat viiden alkion permutaatioiden avulla eli rhmän S alkioina. Viisikulmion smmetrioita ovat siis kierrot id,(1),(1),(1),(1) ja peilaukset ()(),(1)(),()(1),()(1),(1)().

2 1 Olkoon ρ = (1) ja σ = ()(). Näillä merkinnöillä (1)() = (1)()() = ρ σ ()(1) = (1)()() = ρ σ ()(1) = (1)()() = ρσ (1)() = (1)()() = ρ σ ja siten viisikulmion smmetriarhmä on dihedraalirhmä D, niinkuin pitikin olla.. Määritä ja shakkiruudukoiden smmetriarhmät ja vertaa näitä. Nimeä nämä sklisinä-tai dihedraalirhminä. E D C C B A B A Ratkaisu. Annetuilla shakkiruudukoilla on seuraavat smmetriat D( ) = {id,ρ 90 A,ρ 180 A,ρ 70 A,σ B,σ C,σ D,σ E } = D

3 ja D( ) = {id,ρ 180 A,σ B,σ C } = D. -. Määritä seuraavien tasokärien smmetriarhmät (kuviot jatkuvat samanlaisina koko tasoon) Paraabeli Hperbeli Kosini Kaksoisparaabeli Ratkaisu. Kuvan tasokärillä on seuraavat smmetriat identtisen kuvauksen lisäksi: Paraabeli; peilaus -akselin suhteen (D 1 ) Hperbeli; Kierto 180 astetta pisteen (0,0) suhteen, Peilaus suoran = suhteen ja peilaus suoran = suhteen (D ) Kosinifunktio; Peilaus suorien = nπ, n Z suhteen ja siirto vektorilla (πn, 0), n Z (D ) Kaksoiparaabeli; Kierto 180 astetta pisteen (0,0) suhteen, Peilaukset -ja -akseleiden suhteen (D ) 6. Yhdistä kuution tahkojen keskipisteet janoilla ja piirrä avaruuskappale, jonka särmät ovat täsmälleen nämä janat. Mikä avaruuskappale näin saadaan? Vertaile saadun kappaleen kierto-ja smmetrirhmiä kuution vastaaviin. Todistus. Piirretään kuvio kuution sisälle kuten tehtävänannossa jolloi huomataan, että sinne muodostuu oktaedri eli saannöllinen monitahokas, jonka tahkot ovat tasasivuisia kolmioita ja niitä on 8 kappaletta. Tällä ja kuutiolla on samat kierto-ja smmetriarhmät (luennot), oktaedri on ns. duaalikappale kuutiolle.

4 7. Määrää tiiliskiven (suorakulmio, jonka erisuuntaiset särmät ovat eripituisia) kiertorhmä ja edelleen koko smmetriarhmä. Ratkaisu. Tiiliskivellä on kiertosmmetriaa sen vastakkaisten tahkojen keskipisteiden kautta kulkevien suorien suhteen 180 astetta ( kpl). Kierrot avaruuslävistäjien tai vastakkaisten särmien keskipisteiden kautta kulkevien suorien suhteen eivät ole smmetrioita (vrt. kuutio). Näin ollen saimme kolme kiertoa, jotka voimme esittää permutaatioiden avulla siten, että ρ 1 = (17)(8)(6)(),ρ = (1)()(7)(68) ja ρ = (1)(8)(6)(7) Näille pätee seuraavat ρ 1,ρ,ρ = id ja ρ 1 ρ = (17)(8)(6)()(1)()(7)(68)= (1)(8)(6)(7) = ρ ρ 1 ρ = (17)(8)(6)()(1)(8)(6)(7)= (1)()(7)(68) = ρ ρ ρ = (1)()(7)(68)(1)(8)(6)(7)= (17)(8)(6)() = ρ 1. Valitsemalla ρ = ρ 1 ja σ = ρ saamme tiiliskiven kiertorhmän muotoon R(Tiili) = {id,ρ,σ,ρσ} = D. Koko smmetriarhmään kuuluu tämän lisäksi vielä peilausta, kpl eri peilauksia pokkileikkaustasojen suhteen ja ksi peilaus keskipisteen suhteen. Olkoot σ eräs näistä, tällöin muut saadaan muodossa ρσ,σσ ja ρσσ. 8. Liimaa kaksi tetraedriä hdestä tahkosta hteen. Määrää saadun avaruuskappaleen kiertorhmä.

5 Ratkaisu. Otetaan kaksi tetraedriä ja liimataan ne hdestä tahkosta kiinni toisiinsa. Jos tämän havainnollistaminen tuntuu liian hankalalta niin leikkaa seitsemän tasasivuista kolmiota kartongista ja kokoa itsellesi oma tuplatetraedri mitä pöritellä. Nimetään tämän kappaleen kulmat kuten kuvassa numeroilla 1,,, ja. Kappaleella on kiertosmmetriaa pisteiden ja kautta kulkevan suoran suhteen 10 ja 0 asteen kierrot. Huomaan, että 1 tämä suora kulkee väliin jäävän tasasivuisen kolmion keskipisteen kautta. Lisäksi kappalella on kiertosmmetriaa suoran suhteen joka kulkee pisteen 1 ja särmän keskipisteen kautta (180 asteen kierto). Samaan tapaan kiertosmmetriaa on mös pisteen ja särmän 1 keskipisteen kautta kulkevan suoran suhteen 180 asteen kierron ja pisteen ja särmän 1 keskipisteen kautta 180 asteen kierron verran. Yhteensä siis = 6 kpl. Huomaa, että tämä on samakuin tasasivuisen kolmion smmetriarhmä eli R(tuplatetraedri) = D. Tämän näkee mös nimeämällä ρ = (1) ja σ = ()(). Tällöin kierto 0 astetta akselin mpäri on (1) = ρ. Kierto 180 astetta pisteen 1 ja särmän keskipisteen kautta kulkevan suoran suhteen on σ, kierto 180 astetta pisteen ja särmän 1 keskipisteen kautta kulkevan suoran suhteen on (1)() = (1)()() = ρσ ja kierto 180 astetta pisteen ja särmän 1 keskipisteen kautta kulkevan suoran suhteen on (1)() = (1)()() = ρ σ. Näillä merkinnöillä siis R(tuplatetraedri) = {id,ρ,ρ,σ,ρσ,ρ σ}. 9. Määrää dihedraalirhmän D kaikkien alkioiden kertaluvut.

6 Ratkaisu. Dihedraalirhmän D voi kirjoittaa muodossa D = {id,ρ,ρ,σ,ρσ,ρ σ}. Kertaluvut voi laskea suoraan toistamalla samaa kuvausta (kertomalla alkiota itsellään) niin kauan, että saadaan identtinen kuvaus ulos. Tämä kertolaskujen lukumäärä, joka antaa identtisen kuvauksen, on alkion kertaluku. Muista, että ρ = id ja σ = id. Lisäksi tarvitsemme tietoa, että σρ = ρ σ. Alkio Yhtälö Kertaluku id id 1 = id 1 ρ ρ = id ρ (ρ ) = (ρ ) = id σ σ = id ρσ (ρσ) = ρ σ = id ρ σ (ρ σ) = (ρσ) = id 10. Viimeinen arvoitus: Aapo ja Kaapo vasta stävstivät Millan kanssa ja haluaisivat tietää Millan sntmäpäivän. Milla antaa heille 10 vaihtoehtoa: Milla kertoo Aapolle sntmäkuukauden (mutta ei päivää) ja Kaapolle päivämäärän (mutta ei kuukautta). Toukokuu Kesäkuu Heinäkuu 1 16 Elokuu Tämän jälkeen Aapo sanoo: En tiedä Millan sntmäpäivää, mutta tiedän ettei Kaapokaan tiedä. Tähän Kaapo jatkaa: Aluksi en tiennt mikä Millan sntmäpäivä oli, mutta nt tiedän. Edelleen Aapo jatkaa: Nt mös minä tiedän mikä Millan sntmäpäivä on. Mikä Millan sntmäpäivä on? 1 Ratkaisu. Aapon kommentin En tiedä Millan sntmäpäivää, mutta tiedän ettei Kaapokaan tiedä perusteella voidaan automaattisesti hlätä ne kuukaudet joissa on vain ksi ksittäinen päivämäärä eli tässä tapauksessa päivämääriä 18 ja 19 vastaavat kuukaudet, toukukuu ja kesäkuu. Kaapon jatkokommentin Aluksi en tiennt mikä Millan sntmäpäivä oli, mutta nt tiedän hänelle ei ole voitu kertoa päivää numero 1 sillä muuten hän ei voisi tietää Millan sntmäpäivää. Ja jos nt edelleen Aapo jatkaa Nt mös minä tiedän mikä Millan sntmäpäivä on joten hänelle kerrottu kuukausi ei voi olla elokuu sillä hänellä olisi edelleen vaihtoehtoa niinpä kuukauden tät olla heinäkuu ja päivämäärän 16. Onko tämä ainut tapa tulkita tehtävä? 1 Tämä arvoitus sai hijattain suurta huomiota sosiaalisessa mediassa, jossa väitettiin kseisen tehtävän olleen alunperin alakoululaisille tarkoitettu. 6

Samankaltaiset tiedostot

σ = σ = ( ).

σ = σ = ( ). APPROBATUR 3 (MATP170) Harjoitus 6, Ratkaisut 1. Kirjoita permutaatio perinteisessä kaksirivisessä esitysmuodossa. σ = ( 1 3 6 2 )( 4 5 6 1 )( 2 3 4 5 ) Ratkaisu. Katsotaan alkioden 1, 2, 3, 4, 5, 6 kuvautuminen