[E : F ]=[E : K][K : F ].

ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle K/F. Silloin {α 1 β 1,...,α n β 1,α 1 β 2,...,α n β 2,...,α n β m } on laajennuksen E/F kanta (Perustele!). Lause 4.5. Jos K/F on äärellinen, niin se on algebrallinen. Todistus. Olkoon n =[K : F ]jaα K. Nyt alkiot 1,α,α 2,...,α n ovat lineaarisesti riippuvat F :n suhteen, joten a 0 +a 1 α+ +a n α n = 0 joillakin a 0,...,a n F,joista jokin a i 0. Lause 4.6. Laajennuksen F (α)/f aste on yhtäsuuri kuin alkion α aste n. Tarkemmin: laajennuksella F (α)/f on kanta {1,α,...,α n 1 }. Todistus. Lauseen 4.2 nojalla jokainen kunnan F (α) alkio voidaan esittää alkioiden 1,α,...,α n 1 F -lineaarisena kombinaationa. Täten väite tulee osoitetuksi kunhan näytämme, että alkiot 1,α,...,α n 1 ovat lineaarisesti riippumattomat kunnan F suhteen. Jos a 0 + a 1 α + + a n 1 α n 1 =0 ja jokin a i 0, niin α on korkeintaan astetta n 1olevanF-kertoimisen polynomin nollakohta mikä on vastoin asteen n minimaalisuutta. Esimerkki 4.5. Osoitetaan, että [Q( 2,i) : Q] = 4. Koska {1, 2} on kanta laajennukselle Q( 2)/Q, niin [Q( 2) : Q] =2. Koskai Q( 2), niin [Q( 2,i): Q( 2)] 2. Toisaalta p(x) :=x 2 +1 Q( 2)[x] jap(i) =0joten[Q( 2,i): Q( 2)] 2. Täten [Q( 2,i):Q( 2)] = 2. Väite seuraa nyt astelukulauseesta. 4.2. Hajoamiskunta. Lause 4.7. Olkoon F kunta ja f(x) F [x], deg f(x) 1. Silloin polynomi f(x) hajoaa lineaarisiin tekijöihin renkaassa K[x], missä K on jokin kunnan F laajennuskunta. Todistus. Olkoon p(x) jokin polynomin f(x) jaoton tekijä renkaassa F [x]. Nyt polynomilla p(x) on nollakohta α jakojäännöskunnassa K := F [x] modp(x), nimittäin

36 ALGEBRA II α = x. Siispä pätee implikaatio f(x) =p(x)q(x) h(α) =p(α)q(α) =0. Täten renkaassa K[x] pätee f(x) =(x α)h(x). Valitaan nyt F :n paikalle K, f(x):n paikalle h(x) ja toistetaan eo. prosessia. Lopulta saamme kunnan K F jossa f(x) hajoaa lineaarisiin tekijöihin. Määritelmä 4.6.Olkoon f(x) F [x] jak/f kuntalaajennus. Jos f(x) hajoaa lineaarisiin tekijöihin renkaassa K[x], f(x) =(x α 1 )(x α 2 ) (x α n ), α i K, niin kunta F (α 1,...,α n ) on polynomin f(x) hajoamiskunta kunnan F suhteen. Määritelmä 4.7.Olkoot K/F ja K /F kuntalaajennuksia. Jos on olemassa isomorfismi τ : K K jolle pätee τ(a) =a kaikilla a F, niin τ on kuntien K ja K välinen F -isomorfismi, merkitään K F K. Lause 4.8. Olkoot F (α 1,...,α n ) ja F (β 1,...,β n ) polynomin g(x) F [x] hajoamiskuntia. Silloin F (α 1,...,α n ) ja F (β 1,...,β n ) ovat F -isomorfiset. Tämän tuloksen todistamiseksi tarvitsemme tarvitsemme muutaman aputuloksen. Olkoon τ : F F isomorfismi ja f(x) =f 0 + f 1 x + + f n x n F [x]. Merkitään τf(x) =τ(f 0 )+τ(f 1 )x + + τ(f n )x n F [x]. Lemma 4.2. Kuvaus τ : F [x] F [x],f(x) τf(x) on isomorfismi. Todistus. Harjoitustehtävä. Lemma 4.3. Olkoon g(x) F [x]. Silloin F [x]/(g(x)) F [x]/(τg(x)). Todistus. Merkitään I =(τg(x)) ja tarkastellaan kuvausta ψ : F [x] F [x]/i, f(x) τf(x)+i. Lemmasta 4.2 seuraa, että ψ on homomorfismi. Se on myös surjektio, sillä jos b(x)+i F [x]/i, niin ψ(τ 1 b(x)) = b(x)+i. Osoitetaan, että Ker(ψ) =(g(x)): f(x) Ker(ψ) τf(x) I τg(x) τf(x) g(x) f(x) f(x) (g(x)).

ALGEBRA II 37 Lause 4.9. Olkoot α jaottoman polynomin p(x) F [x] nollakohta jossakin kunnan F laajennuksessa, ja olkoon α polynomin τp(x) nollakohta josakin kunnan F laajennuksessa. Silloin kuvaus on isomorfismi. F (α) F (α ), f(α) τf(α ) Todistus. Olkoot I =(p(x)) ja I =(τp(x)). Kuvaukset τ 1 : F [x]/i F (α), f(x)+i f(α), τ 2 : F [x]/i F (α ), h(x)+i h(α ), ovat isomorfismeja sillä I = (m α,f (x)) ja I = (m α,f (x)). Täten kuvaus η := τ 2 ψ τ1 1, missä ψ on Lemman 4.3 isomorfismi, on isomorfismi F (α) F (α ) jolle pätee η(f(α)) = (τ 2 ψ)(f(x)+i) =τ 2 (τf(x)+i )=τf(α ). Seuraus. Olkoot α ja α jaottoman polynomin p(x) F [x] nollakohtia joissakin kunnan F laajennuksissa K ja K. Silloin kuvaus on F -isomorfismi. τ : F (α) F (α ), f(α) f(α ) Todistus. Valitaan Lauseessa 4.9 isomorfismiksi τ identiteettikuvaus id F. Nyt voidaan todistaa hajoamiskunnan yksikäsitteisyys eli Lause 4.8: Olkoon g(α 1 )=g(β 1 ) = 0 missä α 1 K F ja β 1 K F. Nyt p(α 1 )=p(β 1 ), missä p(x) on jokin polynomin g(x)jaotontekijä renkaassa F [x], ja täten Lauseen 4.9 Seurauksen nojalla τ : F (α 1 ) F (β 1 ),f(α 1 ) f(β 1 ) on F -isomorfismi. Jos α 1 = = α n, niin Lauseen 4.9 nojalla välttämättä myös β 1 = = β n. Oletetaan, että α 2 α 1. Tarkastellaan polynomeja h(x) := g(x)/(x α 1 ) F (α 1 )[x] jaτh(x) = g(x)/(x β 1 ) F (β 1 )[x]. Nyt h(α 2 ) = τh(β 2 ) = 0 ja edelleen p 1 (α 2 ) = τp 1 (β 2 ), missä p 1 (x) on jokin polynomin h(x) jaoton tekijä renkaassa F (α 1 )[x]. Täten Lauseen 4.9 nojalla kuvaus F (α 1,α 2 ) F (β 1,β 2 ),f(α 1,α 2 ) f(β 1,β 2 )

38 ALGEBRA II on isomorfismi ja selvästi se on myös F -isomorfismi. Toistamalla eo. prosessia saamme lopulta F -isomorfismin F (α 1,...,α n ) F (β 1,...,β n ),f(α 1,...,α n ) f(β 1,...,β n ). 4.3. Karakteristika, alkukunta. Olkoon K kunta ja tarkastellaan homomorfismia ψ : Z K, n n 1. Jos Ker(ψ) ={0}, niin K:ssa on isomorfinen kopio renkaasta Z ja täten kunnasta Q. JosKer(ψ) {0}, niin Ker(ψ) =(m), missä m on ihanteen Ker(ψ) pienin positiivinen luku. Tällöin ensimmäisen isomorfialauseen nojalla K:ssa on isomorfinen kopio renkaasta Z/(m) =Z m.koskak on kokonaisalue, niin m on alkuluku. Määritelmä 4.8.Olkoon K kunta. Alkuluku p jolle pätee p 1 = 0 on kunnan K karakteristika, merkitään char(k) = p. Joställaista lukua p ei ole olemassa, niin kunnan K karakteristika char(k) = 0. Esimerkki 4.6. char(f p )=p, char(q) =0. Huomautus. Jos char(k) = 0, niin välttämättä K:n kertaluku on ääretön. Käänteinen väite ei päde: esim. rationaalifunktioiden kunnan F 2 (x) kertaluku on ääretön vaikka karakteristika on 2. Määritelmä 4.9. Kunnan K alkukunta on kaikkien K:n alikuntien leikkaus (eli alkukunta on pienin K:n alikunta). Lause 4.10. Kunnan K alkukunta on { F p, jos char(k) =p, Q, jos char(k) =0. Todistus. Tarkstellaan jälleen homomorfismia ψ : Z K, n n 1. Olkoon L kaikkien K:n alikuntien leikkaus. Nyt 1 L joten Im(ψ) L. Jos siis char(k) =p, niin F p L. Toisaalta L:n määritelmän nojalla L F p. Jos taas char(k) = 0, niin Z L, jakoskal on kunta niin Q L. KoskaL Q, niin väite seuraa.

ALGEBRA II 39 4.4. Äärelliset kunnat. Merkitään jatkossa symbolilla F q äärellistä kuntaajonka kertaluku on q. Lause 4.11. Olkoon p = char(f q ). Silloin q = p m jollakin m N. Todistus. Kunnan F q alkukunta on F p.nytlaajennusf q /F p on äärellinen, joten F q = {a 1 α 1 + + a m α m a i F p }, missä {α 1,...,α m } on jokin laajennuksen F q /F p kanta. Siispä F q = p m. Lemma 4.4. Olkoot α 1,...,α n kokonaisluku. Silloin F q, char(f q )=p, jaolkoont ei-negatiivinen (α 1 + + α n ) pt = α pt 1 + + α pt n. Todistus. Harjoitustehtävä. Lause 4.12. Jokaista alkulukupotenssia q = p m kohti on olemassa äärellinen kunta F q. Todistus. Olkoon F p (α 1,...,α q ) polynomin g(x) :=x q x F p [x] hajoamiskunta. Osoitetaan alikuntakriteerin avulla, että g(x):n nollakohtien joukko S := {α 1,...,α q } on kunta. Koska g(0) = g(1) = 0, niin joukossa S on vähintään kaksi alkiota. Jos α, β S, niin g(α + β) =(α + β) q (α + β) =α q α +(β q β) =g(α)+g(β) =0. Täten α β S. Lisäksi g(αβ) =(αβ) q αβ = α q β q αβ = αβ αβ =0, ja täten αβ S. Siispä S on kunta. Koska polynomin g(x) derivaatta g (x) = qx q 1 1= 1, niin syt(g(x),g (x)) = 1. Täten g(x):n nollakohdat α 1,...,α q ovat pareittain erisuuret ja niinpä S = q. Selvitetään seuraavaksi kunnan F q yksikköryhmän F q rakenne. Lemma 4.5. Olkoon n N. Silloin φ(d) =n, missä φ(d) on Eulerin funktio eli φ(d) = Z d. d n

40 ALGEBRA II Todistus. Ryhmän (Z n, +) jokaisen alkion kertaluku on luvun n tekijä. Koska (Z n, +) on syklinen, niin jokaista tekijää d n kohti on olemassa täsmälleen φ(d) alkiota joiden kertaluku on d. Lause 4.13. Olkoon K kunta, äärellinen tai ääretön. Silloin jokainen ryhmän K äärellinen aliryhmä on syklinen. Erityisesti siis F q on syklinen. Todistus. Olkoon G K ja G = n<. Olkoon d n ja olkoon O d niiden G:n alkioiden joukko joiden kertaluku on d. OlkoonS d = {a G a d =1}. NytS d G ja S d d. Jos siis g O d, niin S d =<g>. Täten O d <g>ja näin ollen O d = φ(d). Jos O d =, niin O d <φ(d). Siispä n = d n O d d n φ(d) =n, ja näin ollen O d = φ(d) kaikilla d n. Erityisesti O n = φ(n) 1. Määritelmä 4.10. Ryhmän F q generoija on kunnan F q primitiivialkio. Esimerkki 4.7. Tarkastellaan äärellistä kuntaa F 16 = {a 0 + a 1 α + a 2 α 2 + a 3 α 3 α 4 =1+α, a i F 2 }. Nyt F 16 = 15, joten ord(α) =3, 5 tai 15. Koska α3 1jaα 5 = α 2 + α 1, niin α on eräs kunnan F 16 primitiivialkio. Muut primitiivalkiot ovat α i, missä i = 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14. Tämän kunnan nk. Zechin logaritmitalukko tai indeksitaulukko primitiivialkion α suhteen on ind α(β) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 β 1000 0100 0010 0001 1100 0110 0011 1101 1010 0101 1110 0111 1111 1011 1001 missä esimerkiksi α 5 = β = 0110 tarkoittaa alkiota 0 + 1 α +1 α 2 +0 α 3. Lause 4.14. Laajennus F q m/f q on yksinkertainen kaikilla m N. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt <α> F q (α) F q m. Koska 0 F q (α), niin q m F q (α) q m.täten F q m = F q (α). Seuraus. Olkoon F q mikä tahansa äärellinen kunta. Silloin on olemassa jaoton astetta m oleva polynomi F q [x] kaikilla m N. Todistus. Olkoon F q m m α,fq (x). = F q (α). Väitteen jaottomaksi polynomiksi voidaan valita