Algebrallisista käyristä

Transkriptio

1 Tampereen yliopisto Pro gradu -tutkielma Heidi Kalliojärvi Algebrallisista käyristä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009

2 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos KALLIOJÄRVI, HEIDI: Algebrallisista käyristä Pro gradu -tutkielma, 79 s. Matematiikka Elokuu 2009 Tiivistelmä Tässä tutkielmassa käsitellään algebrallisten tasokäyrien teoriaa. Tarkastelu rajoitetaan tapahtuvaksi yli algebrallisesti suljetun kunnan. Työssä keskitytään varsinkin säännöllisiin projektiivisiin tasokäyriin, koska niillä on erityisiä ominaisuuksia ja käyttöä esimerkiksi koodausteoriassa. Liikkeelle lähdetään affiinin ja projektiivisen tasokäyrän määritelmistä. Tasokäyrien määrittelyyn liittyvien tarkastelujen jälkeen tutustutaan Noetherin renkaisiin, diskreetteihin valuaatiorenkaisiin lokaaleine parametreineen sekä tietyssä käyrän pisteessä määriteltyihin rationaalifunktioihin. Rationaalifunktioiden osalta keskitytään paljolti niiden napoihin ja nollakohtiin. Lisäksi esitellään säännöllisen projektiivisen käyrän divisorit. Divisori määrää aina tietyn vektoriavaruuden, jonka ominaisuuksiin myös perehdytään. Eräs tutkielman päätavoitteista on pyrkiä löytämään yhteyksiä edellä mainittujen käsitteiden välille. Tutkielmassa esiteltäviä keskeisiä tuloksia ovat muun muassa Noetherin renkaita koskeva Hilbertin kantalause, rationaalifunktioita käsittelevä heikko approksimaatiolause sekä divisoreihin liittyvä Riemannin lause. Tutkielman lukemista helpottaa, mikäli lukijalla on esitietoinaan kurssi Algebra II. Asiasanat: algebralliset käyrät, algebrallinen geometria

3 Sisältö Johdanto 1 1 Algebrallisen geometrian peruskäsitteitä Kuntateorian alkeita Affiini tasokäyrä Homogeeniset polynomit Affiini koordinaattimuunnos ja affiinin tasokäyrän tangentti Affiinin tasokäyrän säännöllisyys Koordinaattirengas Rationaalifunktiot Affiinista tasosta projektiiviseen tasoon Projektiivinen avaruus Projektiivinen tasokäyrä Homogeeninen koordinaattirengas ja funktiokunta Projektiivinen koordinaattimuunnos Projektiivisen tasokäyrän säännöllisyys Algebrallisista käyristä Noetherin rengas Maksimaalinen ideaali ja lokaali rengas Diskreetti valuaatiorengas Lokaali rengas O P (C) Heikko approksimaatiolause Divisorit Yleistietoa divisoreista Vektoriavaruus L(D) Riemannin lause

4 Johdanto Tässä Pro gradu -tutkielmassa tarkastellaan eräitä algebrallisia käyriä koskevia tuloksia. Lukijan oletetaan hallitsevan melko laajat algebran perustiedot. Varsinkin kunta- ja rengasteorian tuntemus on lukijalle avuksi. Tutkielman lähdemateriaalina on käytetty pääasiassa William Fultonin teosta Algebraic Curves. Täydentävinä teoksina toimivat Henning Stichtenothin kirja Algebraic Function Fields and Codes sekä tähän pohjautuva Eero Hyryn luentomoniste Koodausteoria ja algebralliset käyrät. Työssä tutkitaan algebrallisia käyriä yleisellä tasolla. Erityisiin käyrätyyppeihin, kuten elliptisiin ja hyperelliptisiin käyriin, ei erikseen syvennytä. Elliptisistä käyristä löytyy tietoa esimerkiksi kirjasta [9]. Artikkelin [10] avulla pääsee alkuun hyperelliptisten käyrien parissa. Algebrallisiin käyriin liittyviä sovelluksia käytetään muun muassa koodausteoriassa. Ensimmäisessä luvussa käydään läpi työssä tarvittavia esitietoja ja peruskäsitteitä. Aluksi suoritetaan tarkasteluja affiinissa tasossa. Pelkästään affiineja tasokäyriä käyttämällä ei kuitenkaan päästä käsiksi kaikkiin työn kannalta olennaisiin tuloksiin. Toisessa luvussa tarkastelunäkökulmaa laajennetaankin affiinista tasosta projektiiviseen tasoon. Tämän jälkeen affiineja ja projektiivisia käyriä kuljetetaan rinnakkain tutkielman edetessä. Kolmannessa luvussa määritellään ensiksi Noetherin rengas ja esitetään muun muassa Hilbertin kantalause sekä joitakin muita Noetherin renkaan ominaisuuksia. Tämän jälkeen esitellään diskreetti valuaatiorengas kertalukufunktioineen. Luvussa perehdytään myös rationaalifunktioihin ja lokaaliin renkaaseen O P (C). Rationaalifunktioita koskevista tuloksista mainittakoon tässä heikko approksimaatiolause. Selvitetään, millaisia mahdollisia yhteyksiä on Noetherin renkailla, diskreeteillä valuaatiorenkailla, säännöllisillä pisteillä sekä annetussa käyrän pisteessä määritellyillä rationaalifunktioilla. Tarkastelun pohjana toimii jokin algebrallinen tasokäyrä. Neljännessä luvussa liitetään säännöllisen projektiivisen käyrän divisorit osaksi edellä käsiteltyä teoriaa. Divisorit tarjoavat uusia työkaluja päästä käsiksi muun muassa rationaalifunktion napoihin ja nollakohtiin. Erityisesti tutkitaan divisorin D määräämää vektoriavaruutta L(D). Myös avaruuden L(D) dimensio l(d) on keskeisellä sijalla tarkasteluissa. Lopuksi esitetään Riemannin lause säännölliselle projektiiviselle tasokäyrälle yli algebrallisesti suljetun kunnan. 1

5 1 Algebrallisen geometrian peruskäsitteitä Tässä luvussa esitellään työssä tarvittavia termejä ja käsitteitä. Renkaasta puhuttaessa tarkoitetaan aina kommutatiivista ykkösellistä rengasta. 1.1 Kuntateorian alkeita Määritelmä 1.1 Jos K on kunnan L alikunta, sanotaan, että L on kunnan K laajennus. Tälle käytetään merkintää L/K. Määritelmä 1.2 Kunnan k sanotaan olevan algebrallisesti suljettu, jos jokaisella vakiopolynomista eroavalla polynomilla F k[x] on juuri kunnassa k. Alkion algebrallisuus on eräs kuntateorian keskeisimmistä käsitteistä: Määritelmä 1.3 Olkoon R renkaan S alirengas. Sanotaan, että alkio v S on kokonainen yli renkaan R, jos on olemassa sellainen pääpolynomi F (X) = X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 R[X], että F (v) = 0. Jos R = K ja S = L ovat kuntia, sanotaan, että v on algebrallinen yli kunnan K. Mikäli v ei ole algebrallinen yli kunnan K, sanotaan, että v on transkendenttinen yli kunnan K. Määritelmä 1.4 Olkoon L/K kuntalaajennus. Sanotaan, että L on kunnan K algebrallinen laajennus, jos jokainen v L on algebrallinen yli kunnan K. Määritelmä 1.5 Olkoon R renkaan S alirengas ja v 1,... v n S. Tarkastellaan sijoitushomomorfismia ϕ : R[X 1,..., X n ] S, G G(v 1,..., v n ). Määritellään, että R[v 1,..., v n ] = Im(ϕ). Havaitaan, että R[v 1,..., v n ] on suppein sellainen renkaan S alirengas, joka sisältää renkaan R ja alkiot v 1,..., v n. Määritelmä 1.6 Olkoon L/K kuntalaajennus. Jos v 1,... v n L, niin merkinnällä K(v 1,..., v n ) tarkoitetaan suppeinta sellaista kunnan L alikuntaa, joka sisältää kunnan K ja alkiot v 1,..., v n. 2

6 Nyt K(v 1,..., v n ) = { } G(v1,..., v n ) H(v 1,..., v n ) G, H K[X 1,..., X n ], H(v 1,..., v n ) 0). Määritelmä 1.7 Olkoon L/K kuntalaajennus. Sanotaan, että L on kunnan K äärellisesti generoitu laajennus, jos on olemassa sellaiset alkiot v 1,..., v n L, että L = K(v 1,..., v n ). Apulause 1.1 Olkoon L/K kuntalaajennus ja x, y L. Nyt K(x)(y) = K(x, y). Todistus. Koska määritelmän 1.6 mukaan K K(x, y) ja x K(x, y), niin K(x) K(x, y). Samalla tavoin nähdään, että koska K(x) K(x, y) ja y K(x, y), niin K(x)(y) K(x, y). Määritelmän 1.6 mukaisesti K(x, y) on suppein kunnan L alikunta, joka sisältää kunnan K ja alkiot x, y. Tämä tarkoittaa, että K(x)(y) = K(x, y). Määritelmä 1.8 Olkoon L/K kuntalaajennus. Kunnan L dimensiota K-vektoriavaruutena kutsutaan kuntalaajennuksen L/K asteeksi. Sille käytetään merkintää [L : K]. Apulause 1.2 Mikäli M/L ja L/K ovat kuntalaajennuksia, on voimassa yhtälö [M : K] = [M : L][L : K]. Todistus. Sivuutetaan. Todistus löytyy kirjasta [6, s.498]. Määritelmä 1.9 Olkoon L/K kuntalaajennus. Sanotaan, että L on kunnan K äärellinen laajennus, mikäli [L : K] <. Tunnetusti äärellinen laajennus on aina myös algebrallinen [7, s.188]. Apulause 1.3 Olkoon L/K kuntalaajennus. Alkio α L on algebrallinen yli kunnan K, jos ja vain jos [K(α) : K] <. Todistus. Sivuutetaan. Todistus löytyy teoksesta [7, s.379] 3

7 Apulause 1.4 Olkoon K kokonaisalueen R osamääräkunta ja L/K äärellinen laajennus. a) Jokaista v L kohti on olemassa sellainen 0 a R, että av on kokonainen yli kokonaisalueen R. b) On olemassa sellainen vektoriavaruuden L kanta {v 1,..., v n } yli kunnan K, että jokainen v i (i = 1,..., n) on kokonainen yli kokonaisalueen R. Todistus. a) Koska L/K on algebrallinen laajennus, niin määritelmän 1.4 mukaisesti kukin v L on algebrallinen yli kunnan K. Määritelmän 1.3 perusteella jokaista v L kohti löytyy sellainen pääpolynomi F (X) = X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 K[X], että F (v) = 0. Koska F K[X] ja K on kokonaisalueen R osamääräkunta, jokainen a i (i = 0, 1,..., n 1) pystytään esittämään muodossa a i = b i /c i, missä b i, c i R ja c i 0. Voidaan siis kirjoittaa Asetetaan a = c 0 c 1 c n 1. Nyt eli Merkitään v n + b n 1 c n 1 v n 1 + b n 2 c n 2 v n b 1 c 1 v + b 0 c 0 = 0. ( a n v n + b n 1 v n 1 + b n 2 v n b 1 v + b ) 0 = 0 c n 1 c n 2 c 1 c 0 (av) n + ab n 1 c n 1 (av) n 1 + a2 b n 2 c n 2 (av) n an 1 b 1 c 1 (av) + an b 0 c 0 = 0. G(X) = X n + ab n 1 c n 1 X n 1 + a2 b n 2 c n 2 X n an 1 b 1 c 1 X + an b 0 c 0. Alkion a valinnasta johtuu, että polynomin G kertoimista saadaan supistettua pois nimittäjät c 0,..., c n 1. Täten G(X) R[X]. Koska lisäksi G on pääpolynomi ja G(av) = 0, määritelmän 1.3 mukaan av on kokonainen yli kokonaisalueen R. b) Koska [L : K] <, on olemassa vektoriavaruuden L äärellinen kanta {x 1,..., x n } yli kunnan K. Nyt x 1,..., x n L, joten a)-kohdan perusteella jokaista alkiota x i (i = 1,..., n), kohti löytyy sellainen 0 a i R, että a i x i on kokonainen yli kokonaisalueen R. 4

8 Näytetään, että myös joukko {a 1 x 1,..., a n x n } muodostaa vektoriavaruuden L kannan yli kunnan K. Riittää osoittaa, että alkiot a i x i (i = 1,..., n), ovat lineaarisesti riippumattomia yli kunnan K. Tarkastellaan relaatiota b 1 (a 1 x 1 ) b n (a n x n ) = 0, missä b 1,..., b n K. Tämä on sama asia kuin yhtälö (b 1 a 1 )x (b n a n )x n = 0. Koska alkiot x i ovat lineaarisesti riippumattomia yli kunnan K, on b i a i = 0 kaikilla i = 1,..., n. Mutta koska oletuksen mukaan a i 0 kaikilla i = 1,..., n, niin välttämättä b i = 0 kaikilla i = 1,..., n. Tämä todistaa väitteen, kun asetetaan v i = a i x i. 1.2 Affiini tasokäyrä Intuitiivisesti ajateltuna algebrallinen tasokäyrä ymmärretään jonkin polynomin nollakohtien joukkona. Kun siirrytään tutkimaan algebrallisia tasokäyriä, on mielekästä tarkastella niitä yli algebrallisesti suljetun kunnan k. Voidaan ensinnäkin osoittaa, että algebrallisesti suljettu kunta on aina ääretön [14, s.1]. Pelkkä kunnan äärettömyys ei sinänsä vielä kuitenkaan riitä takaamaan, että tasokäyrä eroaisi tyhjästä joukosta: ei tiedetä, paljonko tarkasteltavalla käyrällä on pisteitä. Voidaan kuitenkin osoittaa, että kun käyrän pisteiden koordinaatit sijaitsevat algebrallisesti suljetussa kunnassa, käyrän määräävä pistejoukko on ääretön [7, s.379]. Tästä eteenpäin kunnan k oletetaan olevan algebrallisesti suljettu. Annetaan seuraava täsmällinen määritelmä: Määritelmä 1.10 Olkoon F k[x, Y ] jaoton polynomi. Polynomin F nollakohtien joukkoa C = {(a, b) k 2 F (a, b) = 0} kutsutaan polynomin F määräämäksi affiiniksi tasokäyräksi yli kunnan k. 1.3 Homogeeniset polynomit Eräs tämän tutkielman keskeisimmistä käsitteistä on homogeenisen polynomin käsite: Määritelmä 1.11 Olkoon R kokonaisalue sekä n Z +. Polynomin F R[X 1,..., X n ] sanotaan olevan d-asteinen homogeeninen polynomi eli muoto, jos polynomin F jokainen nollasta eroava termi on astetta d. 5

9 Nollapolynomissa ei ole termejä, joten se on homogeeninen astetta n kaikilla n N. Määritelmä 1.12 Olkoon F R[X 1,..., X n ]. Kirjoitetaan F = F 0 + F F d, missä d = deg(f ) ja kukin F i R[X 1,..., X n ] on homogeeninen astetta i (i = 1,..., d). Määritellään polynomi F R[X 1,..., X n+1 ] seuraavasti: F = X d n+1f 0 + X d 1 n+1f F d = X d n+1f (X 1 /X n+1,..., X n /X n+1 ). Menettelyä kutsutaan homogenisoinniksi ja polynomia F polynomin F homogenisaatioksi muuttujan X n+1 suhteen. Määritelmästä 1.12 todetaan ensinnäkin, että F (X 1 /X n+1,..., X n /X n+1 ) R[X 1 /X n+1,..., X n /X n+1 ]. Lisäksi huomataan, että F on todellakin homogeeninen astetta d. Määritelmästä 1.12 nähdään myös, että mikäli G R[X 1,..., X n+1 ] on homogeeninen astetta e, niin G(X 1 /X n+1,..., X n /X n+1, 1) = G/X e n+1. Vastaavasti homogeenisesta polynomista saadaan tavallinen polynomi: Määritelmä 1.13 Olkoon F R[X 1,..., X n+1 ] homogeeninen polynomi. Määritellään polynomi F R[X 1,..., X i 1, X i+1,..., X n+1 ] seuraavasti: F = F (X 1,..., X i 1, 1, X i+1,..., X n+1 ). Menettelyä kutsutaan dehomogenisoinniksi ja polynomia F polynomin F dehomogenisaatioksi muuttujan X i suhteen. Tarkastelujen helpottamiseksi homogenisointi ja dehomogenisointi suoritetaan jatkossa muuttujan X n+1 suhteen. Apulause 1.5 Homogenisoinnilla ja dehomogenisoinnilla on seuraavat ominaisuudet: a) Olkoot F, G R[X 1,..., X n+1 ] homogeenisia. Nyt (F G) = F G. b) Olkoot F, G R[X 1,..., X n ]. Nyt (F G) = F G. 6

10 Todistus. a) Määritelmän 1.13 mukaan (F G) = (F G)(X 1,..., X n, 1) = F (X 1,..., X n, 1)G(X 1,..., X n, 1) = F G. b) Käyttämällä määritelmää 1.12 nähdään, että (F G) deg(f G) = Xn+1 (F G)(X 1 /X n+1,..., X n /X n+1 ). Koska R on kokonaisalue, on voimassa deg(f G) = deg(f ) + deg(g). Näin ollen yllä olevasta tulee edelleen esitys deg(f )+deg(g) Xn+1 F (X 1 /X n+1,..., X n /X n+1 )G(X 1 /X n+1,..., X n /X n+1 ), joka voidaan lausua muodossa X deg(f ) n+1 F (X 1 /X n+1,..., X n /X n+1 )X deg(g) n+1 G(X 1 /X n+1,..., X n /X n+1 ). Viimeksi saatu lauseke on määritelmän 1.12 mukaisesti F G. Apulause 1.6 Homogenisoinnilla ja dehomogenisoinnilla on seuraavat ominaisuudet: a) Olkoon F R[X 1,..., X n+1 ] homogeeninen ja r korkein sellainen muuttujan X n+1 potenssi, että X r n+1 jakaa polynomin F. Nyt X r n+1(f ) = F. b) Olkoon F R[X 1,..., X n ]. Nyt (F ) = F. Todistus. a) Kirjoitetaan d = deg(f ) ja F = X d n+1f 0 + X d 1 n+1f X r n+1f d r, missä kukin F i R[X 1,..., X n ] on homogeeninen astetta i (i = 0,..., d r). Tällöin määritelmästä 1.13 saadaan ja edelleen määritelmän 1.12 avulla F = F 0 + F F d r (F ) = X d r n+1f 0 + X d r 1 n+1 F F d r. Kertomalla yllä oleva yhtälö puolittain termillä X r n+1 nähdään, että X r n+1(f ) = F. 7

11 b) Kirjoitetaan F = F 0 + F F d, missä d = deg(f ) ja kukin F i R[X 1,..., X n ] on homogeeninen astetta i (i = 1,..., d). Määritelmän 1.12 perusteella F = X d n+1f 0 + X d 1 n+1f F d. Käyttämällä nyt määritelmää 1.13 nähdään, että (F ) = 1 d F d 1 F F d = F. Apulause 1.7 Olkoon F R[X 1,..., X n+1 ]. Jos G (F ), niin G (F ). Todistus. Nyt G = AF, missä A R[X 1,..., X n+1 ]. Apulauseen 1.5 a)-kohdan perusteella G = (AF ) = A F, mikä todistaa väitteen. Apulause 1.8 Olkoon F k[x, Y ] homogeeninen polynomi. Nyt F hajoaa ensimmäisen asteen tekijöihin. Todistus. Olkoon r korkein sellainen muuttujan Y potenssi, että Y r jakaa polynomin F. Tällöin apulauseen 1.6 a)-kohdan perusteella F = Y r (F ). Koska F k[x] ja k on algebrallisesti suljettu, F hajoaa tunnetusti ensimmäisen asteen tekijöihin (kts. [4, s. 170]). Voidaan siis kirjoittaa F = ɛπ(x λ i ), missä ɛ, λ i k. Soveltamalla apulauseen 1.5 b)-kohtaa polynomiin F huomataan, että (F ) = ɛπ(x λ i Y ), joten kaikkiaan F = Y r ɛπ(x λ i Y ). 8

12 Apulause 1.9 Jos F k[x 1,..., X n+1 ] on kunnassa k jaoton homogeeninen polynomi, niin myös dehomogenisaatio F = F (X 1,..., X n, 1) on jaoton kunnassa k (mikäli F ei ole vakio). Todistus. Tehdään vastaoletus, että F = AB, missä A, B k[x 1,..., X n ], A, B k. Apulauseen 1.6 a)-kohdan mukaan F = X r n+1(f ), missä polynomin F jaottomuuden perusteella joko F = λx n+1, λ k, tai r = 0. Edellisessä tapauksessa F = λ, mikä on oletuksessa pois suljettu erikoistapaus. Ollaan siis kiinnostuneita ainoastaan tapauksesta r = 0. Tällöin apulauseen 1.5 b)-kohtaa soveltamalla nähdään, että F = (F ) = (AB) = A B. Nyt A, B k, mikä on ristiriidassa polynomin F jaottomuuden kanssa. Vastaoletus on siis väärä, ja F on jaoton. 1.4 Affiini koordinaattimuunnos ja affiinin tasokäyrän tangentti Määritelmä 1.14 Bijektiota T : A n A n, (x 1,..., x n ) (T 1 (x 1,..., x n ),..., T n (x 1,..., x n )), missä jokainen T i k[x 1,..., X n ] on ensimmäisen asteen polynomi (i = 1,..., n), kutsutaan affiiniksi koordinaattimuunnokseksi. Merkitään symbolisesti T = (T 1,..., T n ). Jos T = (T 1,..., T n ) : A n A n on affiini koordinaattimuunnos ja G k[x 1,..., X n ], niin polynomille G(T 1,..., T n ) käytetään merkintää G T. Olkoon C jaottoman polynomin F k[x, Y ] määräämä affiini tasokäyrä sekä T = (T 1, T 2 ) : A 2 A 2 affiini koordinaattimuunnos. Osoitetaan, että myös polynomi F (T 1, T 2 ) k[x, Y ] määrää affiinin tasokäyrän: Apulause 1.10 Olkoon F k[x, Y ] jaoton ja T = (T 1, T 2 ) : A 2 A 2 affiini koordinaattimuunnos. Nyt myös polynomi F (T 1, T 2 ) k[x, Y ] on jaoton. 9

13 Todistus. Tehdään vastaoletus, että F (T 1, T 2 ) = AB, missä A, B k[x, Y ], A, B k. Koska määritelmän 1.14 mukaan T on bijektio, sillä on käänteiskuvaus T 1. On selvää, että myös T 1 on affiini koordinaattimuunnos. Merkitään symbolisesti T 1 = (S 1, S 2 ), missä S i (i = 1, 2) on ensimmäisen asteen polynomi. Näin ollen on olemassa polynomit A = A(S 1, S 2 ), B = B(S 1, S 2 ) k[x, Y ]. Koska T 1 (S 1, S 2 )(a, b) = a ja T 2 (S 1, S 2 )(a, b) = b, niin A B = A(S 1, S 2 )B(S 1, S 2 ) = (AB)(S 1, S 2 ) = F (T 1, T 2 )(S 1, S 2 ) = F. Siis F ei olekaan jaoton, joten vastaoletus on väärä ja alkuperäinen väite tosi. Käyrälle F (T 1 (X, Y ), T 2 (X, Y )) = 0 käytetään merkintää C T. Huomataan, että C T = T 1 (C). Nimittäin P T 1 (C) täsmälleen silloin, kun T (P ) C. Tämä puolestaan on yhtäpitävää sen kanssa, että F (T (P )) = 0. Apulause 1.11 Olkoot P, Q A 2 eri pisteitä. Olkoon lisäksi L pisteiden P ja Q kautta kulkeva suora ja T : A 2 A 2 affiini koordinaattimuunnos. Nyt T (L) on pisteiden T (P ) ja T (Q) kautta kulkeva suora. Todistus. Jos P = (a 1, a 2 ) ja Q = (b 1, b 2 ), niin Kirjoitetaan L = {(a 1 + t(b 1 a 1 ), a 2 + t(b 2 a 2 )) t k}. T = (T 1, T 2 ) = (A 1 X + B 1 Y + C 1, A 2 X + B 2 Y + C 2 ), missä A i, B i, C i k, i = 1, 2. Tällöin ja T (P ) = T (a 1, a 2 ) = (A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1, A 2 a 1 + B 2 a 2 + C 2 ) T (Q) = T (b 1, b 2 ) = (A 1 b 1 + B 1 b 2 + C 1, A 2 b 1 + B 2 b 2 + C 2 ). Merkitään lyhyesti T (P ) = (c 1, c 2 ) sekä T (Q) = (d 1, d 2 ). Soveltamalla affiinia koordinaattimuunnosta suoraan L saadaan T (L) = {A 1 (a 1 + t(b 1 a 1 )) + B 1 (a 2 + t(b 2 a 2 )) + C 1, A 2 (a 1 + t(b 1 a 1 )) + B 2 (a 2 + t(b 2 a 2 )) + C 2 t k}. 10

14 Tämä merkitsee, että T (L) = {(c 1 + t(d 1 c 1 ), c 2 + t(d 2 c 2 ))}. Viimeksi esitetystä lausekkeesta nähdään, että T (L) on suora, joka kulkee pisteiden T (P ) ja T (Q) kautta. Apulause 1.12 Olkoot P, P A 2. Olkoot lisäksi L 1 ja L 2 (L 1 L 2 ) pisteen P kautta kulkevia suoria sekä L 1 ja L 2 (L 1 L 2) pisteen P kautta kulkevia suoria. On olemassa sellainen yksikäsitteinen affiini koordinaattimuunnos T : A 2 A 2, että T (P ) = P ja T (L i ) = L i, missä i = 1, 2. Todistus. Merkitään P = (a 1, a 2 ), P = (a 1, a 2) A 2. Olkoot vielä Q = (b 1, b 2 ) L 1, R = (c 1, c 2 ) L 2, Q = (b 1, b 2) L 1, R = (c 1, c 2) L 2. Kaikki tässä mainitut pisteet oletetaan erillisiksi. Tutkitaan, mitä ehtoja affiinin koordinaattimuunnoksen T pitää toteuttaa. Huomataan ensin, että mikäli haluttua tyyppiä oleva T löytyy, niin apulauseen 1.11 perusteella T (L 1 ) on pisteiden T (P ) ja T (Q) kautta kulkeva suora. Vastaavasti suora T (L 2 ) kulkee tällöin pisteiden T (P ) ja T (R) kautta. Halutaan, että a) T (L 1) on pisteiden P ja Q kautta kulkeva suora ja b) T (L 2) on pisteiden P ja R kautta kulkeva suora. Ehdot a) ja b) toteutuvat, jos löytyy sellainen koordinaattimuunnos T, että T (P ) = P, T (Q) = Q ja T (R) = R. Mikäli T on olemassa, se on muotoa T = (T 1, T 2 ) = (A 1 X + B 1 Y + C 1, A 2 X + B 2 Y + C 2 ). Tällaisen koordinaattimuunnoksen olemassaolo on sama asia kuin se, että yhtälöryhmä (1) A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 = a 1 (2) A 1 b 1 + B 1 b 2 + C 1 = b 1 (3) A 1 c 1 + B 1 c 2 + C 1 = c 1 (4) A 2 a 1 + B 2 a 2 + C 2 = a 2 (5) A 2 b 1 + B 2 b 2 + C 2 = b 2 (6) A 2 c 1 + B 2 c 2 + C 2 = c 2 11

15 on ratkeava. Yhtälöryhmää (1)-(6) vastaava 6 6-kerroinmatriisi on A = a 1 a b 1 b c 1 c a 1 a b 1 b c 1 c 2 1 Siis A muodostuu neljästä 3 3-lohkosta. Näistä toinen ja kolmas ovat nollalohkoja. Koska L 1 L 2 ja L 1 L 2, niin R ei ole pisteiden P ja Q kautta kulkevalla suoralla eikä R pisteiden P ja Q kautta kulkevalla suoralla. Tämän vuoksi ensimmäisen ja neljännen lohkon rivit ovat lineaarisesti riippumattomia ja siksi näiden kahden lohkon determinantit eroavat nollasta. Koska det(a) on ensimmäisen ja neljännen lohkon determinanttien tulo, niin det(a) 0. Yhtälöryhmällä (1)-(6) on siis ei-triviaali ratkaisu. Tästä kuuden yhtälön ryhmästä kertoimet A i, B i ja C i, i = 1, 2 ratkeavat yksikäsitteisesti, mikä osoittaa, että yksikäsitteinen T on löydetty. Olkoon C jaottoman polynomin F k[x, Y ] määräämä affiini tasokäyrä, P = (a, b) C ja T : A 2 A 2 sellainen affiini koordinaattimuunnos, että T (X, Y ) = (X + a, Y + b). Nyt C T on käyrä F (X + a, Y + b) = 0. Kirjoitetaan. F T = G m + G m G n, missä kukin G i k[x, Y ] on homogeeninen astetta i (i = m,..., n), G m 0. Apulauseesta 1.8 seuraa erityisesti, että G m = L r i i, missä suorat L i = 0 ovat eri suoria. Merkitään L i = α i X + β i Y. Näin voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä 1.15 Olkoot oletukset kuten edellä. Suoria L i : α i (X a) + β i (Y b) = 0 kutsutaan käyrän C tangenteiksi pisteessä P. Lukua r i sanotaan tangentin L i kertaluvuksi pisteessä P. Pisteeseen P = (0, 0) piirretyt tangentit ovat selvästi muotoa L i : α i X + β i Y = 0 Tangentteihin liittyy läheisesti seuraava määritelmä: 12

16 Määritelmä 1.16 Olkoot oletukset yhä kuten määritelmässä Jos P = (0, 0), lukua m kutsutaan polynomin F (tai käyrän C) kertaluvuksi pisteessä P ja merkitään m = m P (C). Mikäli P (0, 0), niin määritellään, että m P (C) = m (0,0) (C T ). Apulause 1.13 Olkoon C jaottoman polynomin F k[x, Y ] määräämä affiini tasokäyrä. Nyt P C, jos ja vain jos m P (C) > 0. Todistus. Merkitään P = (a, b). Olkoon T : A 2 A 2, T (X, Y ) = (X + a, Y + b). Tällöin T (0, 0) = P. Koska määritelmän 1.16 perusteella m P (C) = m (0,0) (C T ), riittää tarkastella tapausta P = (0, 0). Osoitetaan, että m (0,0) (C) = 0 täsmälleen silloin kun (0, 0) C. Kirjoitetaan F = F 0 + F F n, missä kukin F i k[x, Y ] on homogeeninen astetta i (i = 0,..., n). Huomataan, että F i (0, 0) = 0, jos i > 0. Tästä seuraa, että F (0, 0) = F 0 (0, 0). Mutta koska deg(f 0 ) = 0, niin F 0 (0, 0) = F 0. Siis F 0 (0, 0) = 0 täsmälleen silloin, kun F 0 = 0, mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että m (0,0) (C) > 0. Apulause 1.14 Olkoon C jaottoman polynomin F k[x, Y ] määräämä affiini tasokäyrä, P C, P A 2 ja T : A 2 A 2 sellainen affiini koordinaattimuunnos, että T (P ) = P. Nyt suora L = 0 on käyrän C tangentti pisteessä P, jos ja vain jos suora L T = 0 on käyrän C T tangentti pisteessä P. Todistus. Merkitään P = (a, b), P = (a, b ). Etsitään aluksi esitys käyrän C tangenteille pisteessä P käyttämällä määritelmää Olkoon sellainen affiini koordinaattimuunnos, että T : A 2 A 2 T (X, Y ) = (X + a, Y + b). 13

17 Tällöin T (0, 0) = P. Lausutaan F T = G m G n, missä m = m P (C) ja kukin G i k[x, Y ] on homogeeninen astetta i (i = m,..., n). Olkoon G m = L j apulauseen 1.8 mukainen esitys. Määritelmän 1.15 perusteella suorat L j (X a, Y b) = 0 ovat käyrän C tangentit pisteessä P. Pyritään sitten esittämään käyrän C T tangentit pisteessä P suorien L j avulla. Hyödynnetään tässä ensin affiinia koordinaattimuunnosta T. Se on muotoa T (X, Y ) = (T 1 (X, Y ), T 2 (X, Y )) = (A 1 X + B 1 Y + C 1, A 2 X + B 2 Y + C 2 ), missä A i, B i, C i k, i = 1, 2. Koska T (P ) = P, niin (1a) A 1 a + B 1 b + C 1 = a ja Näin ollen sekä (1b) A 2 a + B 2 b + C 2 = b. (2a) C 1 = a A 1 a B 1 b (2b) C 2 = b A 2 a B 2 b, joten sijoittamalla kohdissa (2a) ja (2b) saadut lausekkeet affiinin koordinaattimuunnoksen T esitykseen nähdään, että Edelleen Olkoon nyt T (X, Y ) = (A 1 (X a ) + B 1 (Y b ) + a, A 2 (X a ) + B 2 (Y b ) + b). F T (X, Y ) = F (A 1 (X a ) + B 1 (Y b ) + a, A 2 (X a ) + B 2 (Y b ) + b). sellainen affiini koordinaattimuunnos, että T : A 2 A 2 T (X, Y ) = (X + a, Y + b ). 14

18 Siis T (0, 0) = P. Kirjoitetaan (F T ) T = F T (X + a, Y + b ) = F (A 1 X + B 1 Y + a, A 2 X + B 2 Y + b) n = G i (A 1 X + B 1 Y, A 2 X + B 2 Y ), i=m missä G m (A 1 X + B 1 Y, A 2 X + B 2 Y ) = L j (A 1 X + B 1 Y, A 2 X + B 2 Y ). Määritelmän 1.15 mukaan käyrän C T tangentit pisteessä P ovat suorat L j (A 1 (X a ) + B 1 (Y b ), A 2 (X a ) + B 2 (Y b )) = 0. Nämä ovat samat kuin suorat L T = 0, mikä todistaa väitteen. Apulause 1.15 Olkoon T : A n isomorfismin A n affiini koordinaattimuunnos. Nyt T indusoi T : k[x 1,..., X n ] k[x 1,..., X n ], T (F ) = F (T 1,..., T n ). Todistus. Määritelmän 1.14 perusteella polynomit T i k[x 1,..., X n ] ovat ensimmäisen asteen polynomeja (i = 1,..., n). Ne ovat siten muotoa T i (X 1,..., X n ) = Σa ij X j + b i (i = 1,..., n). Näin ollen T voidaan esittää matriisimuodossa: T (x 1,..., x n ) = Ax + b, missä A = a 11 a 1n.. a n1... a nn x = x 1. x n, 15

19 ja Selvästi T = T T, missä b = b 1. b n. T = (T 1..., T n) : A n A n on lineaarikuvaus (T i = Σa ij X j (i = 1,..., n)) ja T = (T 1..., T n ) : A n A n on siirto (T i = X i + b i (i = 1,..., n)). Siirtona T on bijektio ja määritelmän 1.14 mukaan T on bijektio, joten myös T on bijektio. Tästä seuraa, että A on kääntyvä. Kuvaus T indusoi rengashomomorfismin T : k[x 1,..., X n ] k[x 1,..., X n ], T (F ) = F (T 1,..., T n ). Alussa esitetyn nojalla T voidaan lausua matriisimuodossa missä T (X) = AX + b, X = X 1. X n Matriisin A kääntyvyyden perusteella on olemassa kuvaus Nyt joten S : X A 1 (X b). (S T )(X) = S(AX + b) = A 1 ((AX + b) b) = X, S T = id. Väite T S = id todistetaan samoin suoralla laskulla. Siis S = T 1. Rengashomomorfismi T on näin todettu bijektioksi ja siten isomorfismiksi. 16

20 1.5 Affiinin tasokäyrän säännöllisyys Affiinin tasokäyrän pisteet voidaan jakaa kahteen kategoriaan: Määritelmä 1.17 Olkoon C jaottoman polynomin F k[x, Y ] määräämä affiini tasokäyrä. Pistettä P C kutsutaan epäsäännölliseksi, jos F F (P ) = (P ) = 0. X Y Muussa tapauksessa pisteen P sanotaan olevan säännöllinen. Käyrää, jonka kaikki pisteet ovat säännöllisiä, kutsutaan säännölliseksi tai sileäksi käyräksi. Säännöllisillä tasokäyrillä on monia tärkeitä erityisominaisuuksia. Seuraavassa saadaan kätevä ehto affiinin tasokäyrän säännöllisyydelle: Apulause 1.16 Olkoon C jaottoman polynomin F k[x, Y ] määräämä affiini tasokäyrä. Piste P C on säännöllinen, jos ja vain jos m P (C) = 1. Todistus. Mikäli asetetaan T : A 2 A 2, T (X, Y ) = (X + a, Y + b), niin määritelmän 1.16 perusteella m P (C) = m (0,0) (C T ). Riittää siis tutkia tapausta P = (0, 0). Kirjoitetaan jälleen F = F m + F m F n, missä kukin F i k[x, Y ] on homogeeninen astetta i (i = m,..., n). Koska P C, niin apulauseen 1.13 mukaan ei voi olla m = 0. Havaitaan, että F i X (0, 0) = F i (0, 0) = 0, Y jos i 1. Siis F X (0, 0) = F 1 (0, 0) X ja F Y (0, 0) = F 1 (0, 0). Y Määritelmän 1.17 perusteella (0, 0) on säännöllinen täsmälleen silloin, kun F (0, 0) 0 X tai F (0, 0) 0 Y Äsken sanotun perusteella tämä toteutuu tarkalleen, kun F 1 0, mikä puolestaan on yhtäpitävää sen kanssa, että m P (C) = 1. 17

21 1.6 Koordinaattirengas Otetaan seuraavaksi käyttöön käyrän koordinaattirenkaan käsite. Sen avulla voidaan määritellä ensin käyrän polynomifunktiot ja tämän jälkeen rationaalifunktiot (ks. luku 1.7), jotka ovat keskeisellä sijalla tutkittaessa algebrallisia käyriä. Määritelmä 1.18 Olkoon C jaottoman polynomin F k[x, Y ] määräämä affiini tasokäyrä. Käyrän C koordinaattirengas yli kunnan k on jäännösluokkarengas k[c] = k[x, Y ]/(F ). Määritelmä 1.19 Alkiota g k[c] kutsutaan käyrän C polynomifunktioksi. Olkoon C jaottoman polynomin F k[x, Y ] määräämä affiini tasokäyrä ja P C. Koordinaattirenkaan k[c] alkiot ovat sivuluokkia g = G + (F ), missä G k[x, Y ]. Motivaatio määritelmän 1.19 nimitykselle polynomifunktio saadaan siitä, että jokaiseen g = G + (F ) k[c] voidaan liittää konkreettinen polynomifunktio ψ : C k, ψ(p ) = G(P ). Havaitaan, että ψ on todellakin kuvaus. Nimittäin jos g = G + (F ) = G + (F ) jollain G k[x, Y ], niin G G (F ). Tämä tarkoittaa, että G G = HF, missä H k[x, Y ]. Nyt G(P ) G (P ) = H(P )F (P ) = 0, jolloin siis G(P ) = G (P ). Yllä sanotun perusteella voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä 1.20 Olkoon C jaottoman polynomin F k[x, Y ] määräämä affiini tasokäyrä. Olkoon lisäksi g = G+(F ) k[c], G k[x, Y ] sekä P C. Polynomifunktion g arvo pisteessä P on g(p ) = G(P ). Kirjoittamalla G = Σλ i,j X i Y j huomataan, että koska alkiot λ k voidaan samastaa sivuluokkien λ + (F ) kanssa, niin G + (F ) = Σλ i,j x i y j = G(x, y), missä x = X + (F ), y = Y + (F ). Näin ollen k[c] = k[x, y]. Erikoisesti F (x, y) = F + (F ) = 0. 18

22 Apulause 1.17 Olkoon C jaottoman polynomin F k[x, Y ] määräämä affiini tasokäyrä. Koordinaattirengas k[c] on kokonaisalue. Todistus. Olkoot g, h k[c]. Osoitetaan, että jos gh = 0, niin g = 0 tai h = 0. Tällöin g = G+(F ), h = H +(F ), missä G, H k[x, Y ]. Nyt gh = GH +(F ). Koska gh = 0, on oltava GH (F ). Tämä tarkoittaa, että F GH. Polynomin F jaottomuuden perusteella F G tai F H [7, s. 148]. Siis G (F ) tai H (F ) eli g = 0 tai h = Rationaalifunktiot Koska affiinin tasokäyrän C koordinaattirengas k[c] on kokonaisalue, voidaan muodostaa sen osamääräkunta: Määritelmä 1.21 Olkoon C jaottoman polynomin F k[x, Y ] määräämä affiini tasokäyrä. Kokonaisalueen k[c] osamääräkuntaa k(c) sanotaan käyrän C rationaalifunktioiden kunnaksi. Alkiota f k(c) kutsutaan käyrän C rationaalifunktioksi. Koordinaattirengas k[c] on kunnan k(c) alirengas, joten jokainen g k[c] on myös rationaalifunktio. Lisäksi huomataan, että koska k[c] = k[x, y], niin k(c) = k(x, y). Määritelmä 1.22 Sanotaan, että rationaalifunktio f k(c) on määritelty pisteessä P C, jos on olemassa sellaiset polynomifunktiot a, b k[c], että f = a b ja b(p ) 0. Tällöin rationaalifunktion f arvo pisteessä P on Määritelmä 1.22 on mielekäs. Jos näet f(p ) = a(p ) b(p ). f = a b, missä a, b k[c], b (P ) 0, niin ab = a b. Tällöin a(p )b (P ) = a (P )b(p ), joten a(p ) b(p ) = a (P ) b (P ). Siis rationaalifunktion f arvo pisteessä P on hyvinmääritelty. Rationaalifunktio ei kuitenkaan ole välttämättä määritelty kaikkialla: 19

23 Määritelmä 1.23 Olkoon f = a b k(c) ja P C. Jos f ei ole määritelty pisteessä P, sanotaan, että rationaalifunktiolla f on napa pisteessä P. Tällöin merkitään f(p ) =. On helppo todeta, että joukko { a b k(c) b(p ) 0} on kunnan k(c) alirengas. Kyseinen joukko koostuu siis pisteessä P määritellyistä rationaalifunktioista. Tästä saadaan motivaatio seuraavalle määritelmälle: Määritelmä 1.24 Olkoon C jaottoman polynomin F k[x, Y ] määräämä affiini tasokäyrä ja P C. Alirengasta O P (C) = { a b k(c) b(p ) 0}. kutsutaan käyrän C lokaaliksi renkaaksi pisteessä P. Rengasta O P (C) tarkastellaan lähemmin luvussa 3. 20

24 2 Affiinista tasosta projektiiviseen tasoon 2.1 Projektiivinen avaruus Affiinissa tasossa A 2 kaksi suoraa joko leikkaavat toisensa tai ovat yhdensuuntaiset. Lisätään affiiniin tasoon äärettömyyspisteitä, jotta saataisiin avaruus, jossa kaksi suoraa leikkaavat toisensa täsmälleen yhdessä pisteessä. Näin päästään projektiivisen tason käsitteeseen. Annetaan kuitenkin ensin yleinen määritelmä n-ulotteiselle projektiiviselle avaruudelle: Määritelmä 2.1 Kaikkien pisteen (0, 0,..., 0) A n+1 kautta kulkevien suorien joukkoa kutsutaan projektiiviseksi n-ulotteiseksi avaruudeksi yli kunnan k. Sille käytetään merkintää P n (k) tai lyhyesti P n. Edellä mainittuja suoria kutsutaan projektiivisen avaruuden P n pisteiksi. Määritelmä 2.2 Joukkoa P 2 = P 2 (k) kutsutaan projektiiviseksi tasoksi yli kunnan k. Huomataan, että jokainen affiinin avaruuden piste (0, 0,..., 0) (x 1,..., x n+1 ) A n+1 määrittää yksikäsitteisen, pisteen (0, 0,..., 0) A n+1 kautta kulkevan suoran eli projektiivisen avaruuden P n yksikäsitteisen pisteen. Tämä suora on joukko {(λx 1,..., λx n+1 ) λ k)}. Pisteet (x) = (x 1,..., x n+1 ) A n+1 ja (y) = (y 1,..., y n+1 ) A n+1 määräävät saman suoran, mikäli on olemassa sellainen λ k, että y i = λx i (i = 1,..., n + 1). Merkitään tällöin (x) (y). Lause 2.1 Yllä määritelty relaatio on ekvivalenssi. Todistus. Selvästi (x) (x) (valitaan λ = 1), mikä tarkoittaa, että on refleksiivinen. Jos (x) (y), on olemassa sellainen λ 1 k, että y i = λ 1 x i (i = 1,..., n+1). Asetetaan λ 2 = λ 1 1. Koska x i = λ 2 y i, niin (y) (x). Siis on symmetrinen. Mikäli (x) (y) ja (y) (z), löytyy sellaiset alkiot λ 1, λ 2 k, että y i = λ 1 x i ja z i = λ 2 y i (i = 1,..., n+1). Merkitään λ 3 = λ 1 λ 2. Nyt z i = λ 3 x i, joten (x) (z), ja on transitiivinen. Lauseen 2.1 ja sitä edeltävän havainnon perusteella projektiivinen avaruus P n voidaan ajatella ekvivalenssiluokkien joukkona (A n+1 \ (0, 0,..., 0))/. 21

25 Kukin projektiivisen avaruuden P n piste vastaa selvästi yhtä tällaista ekvivalenssiluokkaa. Affiinin avaruuden pistettä (x 1,..., x n+1 ) A n+1 vastaavalle projektiivisen avaruuden P n pisteelle käytetään merkintää (x 1 :... : x n+1 ). Määritelmä 2.3 Pisteen (x 1 :... : x n+1 ) P n koordinaatteja sanotaan homogeenisiksi koordinaateiksi. Merkitään Helposti nähdään, että P n = Määritelmä 2.4 Joukkoa U i = {(x 1 :... : x n+1 ) P n x i 0}. n+1 i=1 U i. H i = P n \ U i = {(x 1 :... : x n+1 ) P n x i = 0} kutsutaan projektiivisen avaruuden P n äärettömyyspisteiden eli ideaalipisteiden joukoksi. 2.2 Projektiivinen tasokäyrä Nyt voidaan asettaa seuraava keskeinen määritelmä: Määritelmä 2.5 Olkoon F k[x, Y, Z] jaoton homogeeninen polynomi. Joukkoa C = {(a : b : c) P 2 F (a, b, c) = 0} kutsutaan polynomin F määräämäksi projektiiviseksi tasokäyräksi yli kunnan k. Määritelmässä 2.5 oleellista on, että polynomi F k[x, Y, Z] on homogeeninen. Jos nimittäin (a : b : c) P 2 ja F (a, b, c) = 0, niin kaikilla λ k on oltava myös F (λa, λb, λc) = 0. Tämä johtuu siitä, että projektiivisen tason pisteille pätee (a : b : c) = (λa : λb : λc). Homogeeniset polynomit toteuttavat yllä mainitun vaatimuksen, koska niille on voimassa F (λa, λb, λc) = λ deg(f ) F (a, b, c). Olkoon C jaottoman homogeenisen polynomin F k[x, Y, Z] määräämä projektiivinen tasokäyrä. Jokaisella P C \ H 3 on yksikäsitteinen esitys muotoa P = (x, y, 1). Täten P voidaan samastaa affiinin tason pisteen (x, y) A 2 kanssa. Näistä affiinin tason 22

26 pisteistä muodostuu joukko C U 3. Ideaalipisteiden joukko H 3 on se joukko, joka jää yli edellä muodostetusta käyrän C pisteiden ja tiettyjen affiinin tason A 2 pisteiden välisestä bijektiosta (x, y, 1) (x, y). Sama koskee myös joukkoja U 1 ja U 2. Homogeenisten polynomien yhteydessä todistettu apulause 1.9 osoittaa, että homogeenisen polynomin F k[x, Y, Z] jaottomuudesta seuraa myös dehomogenisaatioiden F (1, Y, Z) k[y, Z], F (X, 1, Z) k[x, Z], F (X, Y, 1) k[x, Y ] jaottomuus (mikäli ne eivät ole vakioita). Näin ollen joukot C U i, i = 1, 2, 3 ovat affiineja tasokäyriä (elleivät ne ole tyhjiä). Projektiivista tasokäyrää C : F (X, Y, Z) = 0 vastaa siis kolme affiinia tasokäyrää: ja C U 1 : F (1, Y, Z) = 0, C U 2 : F (X, 1, Z) = 0 C U 3 : F (X, Y, 1) = 0. Todistetaan seuraava apulause tapauksessa C U 3. Vastaava tulos pätee tietenkin myös käyrille C U 1 ja C U 2. Apulause 2.1 Olkoon C jaottoman homogeenisen polynomin F k[x, Y, Z] määräämä projektiivinen tasokäyrä. Nyt C U 3 = täsmälleen silloin,kun F = λz, λ k. Todistus. Jos F = λz, λ k, niin F = λ, jolloin C U 3 =. Oletetaan, että C U 3 =. Tästä seuraa, että F (a, b) 0 kaikilla (a, b) A 2. Kirjoitetaan F = F 0 + F F d, missä kukin F i k[x, Y ] on homogeeninen astetta i (i = 0,..., d). Koska myös F (0, 0) 0, niin F 0 0. Kaikilla i = 1,..., d on oltava F i = 0. Muuten ei nimittäin olisi C U 3 =. Siis F = F 0 = λ k. Polynomin F jaottomuuden perusteella F = (F ) = λz. 2.3 Homogeeninen koordinaattirengas ja funktiokunta Luvussa 1.6 annettu affiinin tasokäyrän koordinaattirenkaan määritelmä voidaan yleistää myös projektiivisille käyrille: 23

27 Määritelmä 2.6 Olkoon C jaottoman homogeenisen polynomin F k[x, Y, Z] määräämä projektiivinen tasokäyrä. Jäännösluokkarengasta k h [C] = k[x, Y, Z]/(F ) kutsutaan käyrän C homogeeniseksi koordinaattirenkaaksi yli kunnan k. Määritelmä 2.7 Alkiota g k h [C] kutsutaan d-asteiseksi muodoksi, mikäli on olemassa sellainen G k[x, Y, Z], että g = G + (F ) ja G on homogeeninen astetta d. Määritelmän 2.7 muoto g ei ole riippuvainen polynomin G valinnasta. Jos näet G k[x, Y, Z] on homogeeninen astetta d, g = G + (F ) ja G + (F ) = G + (F ), niin g = g. Apulause 2.2 Olkoon C jaottoman homogeenisen polynomin F k[x, Y, Z] määräämä projektiivinen tasokäyrä. Käyrän C homogeeninen koordinaattirengas k h [C] on kokonaisalue. Todistus. Väite todistetaan samoin kuin apulauseen 1.17 tapauksessa. Määritelmä 2.8 Olkoon C projektiivinen tasokäyrä. Homogeenisen koordinaattirenkaan k h [C] osamääräkuntaa k h (C) kutsutaan käyrän C homogeeniseksi funktiokunnaksi. Jos g = G + (F ) k h (C), G k[x, Y, Z], niin määritelmä g(p ) = G(P ) ei yleensä ole mielekäs. Päinvastoin kuin affiinien tasokäyrien tapauksessa, homogeenisen koordinaattirenkaan alkioita ei voida vakioita lukuunottamatta ajatella funktioina. Tämä johtuu siitä, että polynomin G arvo ja myös sitä vastaavan polynomifunktion g arvo pisteessä P riippuu pisteen P homogeenisten koordinaattien valinnasta. Myöskään homogeenisen funktiokunnan alkioita ei voida samasta syystä useimmissa tapauksissa pitää funktioina. Jos kuitenkin g, h k h [C] ovat samaa astetta d olevia muotoja, niin niissä pisteissä P C, joissa h(p ) 0, osamäärä g/h määrittelee funktion. Nimittäin jos P = (a : b : c) P 2, λ k, niin g(λa, λb, λc) h(λa, λb, λc) = λd g(a, b, c) λ d h(a, b, c) = g(a, b, c) h(a, b, c), joten osamäärän g/h arvo pisteessä P on riippumaton pisteen P homogeenisten koordinaattien valinnasta. Tällä perusteella rationaalifunktion käsite voidaan yleistää projektiivisille tasokäyrille: 24

28 Määritelmä 2.9 Olkoon C jaottoman homogeenisen polynomin F k[x, Y, Z] määräämä projektiivinen tasokäyrä. Käyrän C funktiokunta k(c) koostuu niistä osamääristä z = g h k h(c), joissa g, h k h [C] ovat samaa astetta olevia muotoja. Kunnan k(c) alkioita kutsutaan rationaalifunktioiksi. Rationaalifunktion z = g/h k(c) arvo pisteessä P C ja lokaali rengas O P (C) määritellään samoin kuin affiinien tasokäyrien tapauksessa määritelmissä 1.22 ja Selvästi k(c) on kunnan k h (C) alikunta. Lisäksi huomataan, että k k(c) k h (C), mutta k h (C) k(c). Itse asiassa projektiivisen käyrän funktiokunta vastaa affiinin tasokäyrän rationaalifunktioiden kuntaa: Lause 2.2 Olkoon C jaottoman homogeenisen polynomin F k[x, Y, Z] määräämä projektiivinen tasokäyrä. Valitaan sellainen i {1, 2, 3}, että C U i. Tällöin k(c) = k(c U i ). Todistus. Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että i = 3. Jaetaan todistus selkeyden vuoksi osiin. (1) Oletetaan, että z k(c). Määritelmän 2.9 perusteella löytyy sellaiset samaa astetta d olevat homogeeniset muodot g, h k h [C], että z = g h. Tällöin määritelmän 2.7 nojalla on olemassa sellaiset d-asteiset homogeeniset polynomit G, H k[x, Y, Z], että g = G + (F ), h = H + (F ). (2) Havaitaan, että polynomin F jaottomuuden perusteella (F ) = F. (Koska C U 3, niin apulauseen 2.1 mukaan F λz, λ k. Ollaan siis apulauseen 1.9 tapauksessa r = 0.) (3) Määritellään kuvaus ψ : k(c) k(c U 3 ) seuraavasti: G + (F ) H + (F ) G + (F ) H + (F ). Kuvaus ψ on tosiaan olemassa eli sen arvo ei riipu homogeenisten polynomien G ja H valinnasta. Jos nimittäin jollain homogeenisilla polynomeilla G, H k[x, Y, Z] on voimassa G + (F ) H + (F ) = G + (F ) H + (F ), 25

29 niin Tällöin ja apulauseen 1.7 mukaan Siis GH + (F ) = G H + (F ). (GH G H) (F ) (GH G H) (F ). (GH ) (G H) (F ), jolloin apulauseen 1.5 a)-kohtaa käyttämällä nähdään, että Tämä tarkoittaa, että eli Näin ollen G H G H (F ). G H + (F ) = G H + (F ) (G + (F )(H + (F ) = (G + (F )(H + (F ). G + (F ) H + (F ) = G + (F ) H + (F ). (4) Koska G G on homomorfismi, myös ψ on homomorfismi. (5) Osoitetaan, että ψ on surjektio huomaamalla, että jokaisella A + (F ) B + (F ) k(c U 3) on alkukuva kunnassa k(c). Jos deg(a) deg(b), valitaan alkukuvaksi Z deg(b) deg(a) A + (F ) B + (F ) k(c). Tapauksessa deg(a) > deg(b) alkukuvaksi kelpaa vastaavasti A + (F ) Z deg(a) deg(b) B + (F ) k(c). (6) Osoitetaan, että ψ on injektio toteamalla, että ehdosta ψ( G + (F ) H + (F ) ) = 0 26

30 seuraa, että Mikäli G + (F ) H + (F ) = 0. G + (F ) H + (F ) = 0, niin G + (F ) = 0. Tällöin G (F ). Siis G = AF jollain A k[x, Y ]. Käyttämällä apulauseen 1.5 b)-kohdan tulosta ja kohtaa (2) nähdään, että Apulauseen 1.6 a)-kohdan mukaan (G ) = (AF ) = A (F ) = A F. G = Z r (G ), missä r on suurin sellainen muuttujan Z potenssi, että Z r jakaa polynomin G. Koska F Z r G, niin polynomin F jaottomuuden perusteella F Z tai F G. Ei voi olla F Z. Muutoin nimittäin olisi F = λz, λ k, mikä on apulauseen 2.1 mukaisesti oletuksen C U 3 vastaista. On siis oltava F G. Tällöin G (F ), mikä merkitsee, että G + (F ) = 0. Täten myös G + (F ) H + (F ) = 0. Kohdista (4)-(6) seuraa, että ψ on isomorfismi, joten väite on saatu todistettua. Todistetaan seuraava lause 2.3 tapauksessa C U 3. Lauseen 2.3 tulos pätee toki myös käyrille C U 1 ja C U 2. Lause 2.3 Olkoon C jaottoman homogeenisen polynomin F k[x, Y, Z] määräämä projektiivinen tasokäyrä ja P = (a, b, 1) C. Tällöin O P (C) = O (a,b) (C U 3 ). Todistus. Halutaan osoittaa, että lauseen 2.2 isomorfismi ψ : k(c) k(c U 3 ), G + (F ) H + (F ) G + (F ) H + (F ). rajoittuu isomorfismiksi Olkoon O P (C) O (a,b) (C U 3 ). u v O P (C). 27

31 Koska u, v k h [C] ovat samaa astetta d olevia muotoja, määritelmän 2.7 perusteella on olemassa sellaiset d-asteiset homogeeniset polynomit U, V k[x, Y, Z], että u = U + (F ), v = V + (F ). Nyt ψ( U + (F ) V + (F ) ) = U + (F ) V + (F ). Renkaan O P (C) määritelmä edellyttää, että v(a, b, 1) 0. Lisäksi v(a, b, 1) = V (a, b, 1). Koska V (a, b) = V (a, b, 1), niin V (a, b, 1) 0 täsmälleen silloin, kun V (a, b) 0. Jos siis u v O P (C), niin ψ( u v ) O (a,b)(c U 3 ). Olkoon sitten g h O (a,b)(c U 3 ). Tällöin h(a, b) 0. On olemassa sellainen H k[x, Y ], että h(a, b) = H(a, b). Nyt H (a, b, 1) = H(a, b) 0. Tämä tarkoittaa, että ψ 1 ( g h ) O P (C). Jatkossa esitettävät rationaalifunktioiden kuntaa k(c) ja rengasta O P (C) koskevat tarkastelut voidaan lauseiden 2.2 ja 2.3 nojalla yleistää niin affiineille kuin projektiivisillekin tasokäyrille. 2.4 Projektiivinen koordinaattimuunnos Yleistetään koordinaattimuunnos myös projektiiviselle n-ulotteiselle avaruudelle: Määritelmä 2.10 Bijektiota T : P n P n, (x 1,..., x n+1 ) (T 1 (x 1,..., x n+1 ),..., T n+1 (x 1,..., x n+1 )), missä jokainen T i k[x 1,..., X n+1 ] (i = 1,..., n + 1) on homogeeninen ensimmäisen asteen polynomi, kutsutaan projektiiviseksi koordinaattimuunnokseksi. Merkitään symbolisesti T = (T 1,..., T n+1 ). 28

32 Mikäli T = (T 1,..., T n+1 ) : P n P n on projektiivinen koordinaattimuunnos ja G k[x 1,..., X n+1 ], niin polynomille G(T 1,..., T n+1 ) käytetään entuudestaan tuttua merkintää G T. On ilmeistä, että jos G on homogeeninen, niin myös G T on homogeeninen astetta deg(g). Olkoon C jaottoman homogeenisen polynomin F k[x, Y, Z] määräämä projektiivinen tasokäyrä sekä T = (T 1, T 2, T 3 ) : P 2 P 2 projektiivinen koordinaattimuunnos. Myös polynomi F (T 1, T 2, T 3 ) k[x, Y, Z] määrää projektiivisen tasokäyrän: Apulause 2.3 Olkoon F k[x, Y, Z] jaoton homogeeninen polynomi ja T = (T 1, T 2, T 3 ) : P 2 P 2 projektiivinen koordinaattimuunnos. Nyt myös polynomi F (T 1, T 2, T 3 ) k[x, Y, Z] on jaoton homogeeninen polynomi. Todistus. Selvästi F (T 1, T 2, T 3 ) on homogeeninen astetta deg(f ). Muutoin todistus suoritetaan samoin kuin affiinin tasokäyrän tapauksessa apulauseessa Myös käyrälle F (T 1 (X, Y, Z), T 2 (X, Y, Z), T 3 (X, Y, Z)) = 0 käytetään merkintää C T. Samoin kuin affiinien tasokäyrien yhteydessä havaitaan, että C T = T 1 (C). Apulause 2.4 Olkoon T : P n P n projektiivinen koordinaattimuunnos. Nyt T indusoi isomorfismin T : k[x 1,..., X n+1 ] k[x 1,..., X n+1 ], T (F ) = F (T 1,..., T n+1 ). Todistus. Samoin kuin affiinien tasokäyrien tapauksessa (kts. apulause 1.15). Apulause 2.5 Olkoot P 1, P 2, P 3 P 2 pisteitä, jotka eivät ole samalla suoralla sekä Q 1, Q 2, Q 3 P 2 pisteitä, jotka eivät ole samalla suoralla. Tällöin on olemassa sellainen yksikäsitteinen projektiivinen koordinaattimuunnos että T (P i ) = Q i, i = 1, 2, 3. Todistus. Merkitään T : P 2 P 2, P 1 = (a 1 : a 2 : a 3 ), P 2 = (b 1 : b 2 : b 3 ), P 3 = (c 1 : c 2 : c 3 ) sekä Q 1 = (d 1 : d 2 : d 3 ), Q 2 = (e 1 : e 2 : e 3 ), Q 3 = (f 1 : f 2 : f 3 ). 29

33 Mikäli T on olemassa, se on määritelmän 2.10 mukaan muotoa T = (T 1, T 2, T 3 ) = (A 1 X + B 1 Y + C 1 Z, A 2 X + B 2 Y + C 2 Z, A 3 X + B 3 Y + C 3 Z). Koordinaattimuunnoksen T olemassaolo on sama asia kuin se, että yhtälöryhmä (1) A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 = d 1 (2) A 1 b 1 + B 1 b 2 + C 1 b 3 = e 1 (3) A 1 c 1 + B 1 c 2 + C 1 c 3 = f 1 (4) A 2 a 1 + B 2 a 2 + C 2 a 3 = d 2 (5) A 2 b 1 + B 2 b 2 + C 2 b 3 = e 2 (6) A 2 c 1 + B 2 c 2 + C 2 c 3 = f 2 (7) A 3 a 1 + B 3 a 2 + C 3 a 3 = d 3 (8) A 3 b 1 + B 3 b 2 + C 3 b 3 = e 3 (9) A 3 c 1 + B 3 c 2 + C 3 c 3 = f 3 Se, että yhtälöryhmä (1)-(9) on ratkeava, on sama asia kuin se, että yhtälöryhmän kerroinmatriisi a 1 a 2 a b 1 b 2 b c 1 c 2 c a 1 a 2 a A = b 1 b 2 b c 1 c 2 c a 1 a 2 a b 1 b 2 b c 1 c 2 c 3 on kääntyvä. Nyt A muodostuu yhdeksästä 3 3-lohkosta, joista toinen, kolmas, neljäs, kuudes, seitsemäs ja kahdeksas ovat nollalohkoja. Matriisin A determinantti on ensimmäisen, viidennen ja yhdeksännen lohkojen determinanttien tulo. Näiden lohkojen determinantit eroavat nollasta, sillä P 1, P 2 ja P 3 (Q 1, Q 2 ja Q 3 ) eivät ole samalla suoralla, minkä vuoksi lohkojen rivit ovat lineaarisesti riippumattomia. Siis det(a) 0, mikä tarkoittaa, että T on olemassa. Kertoimet A i, B i ja C i, i = 1, 2, 3 ratkeavat nyt yksikäsitteisesti yhtälöryhmästä (1)-(9). 30

34 2.5 Projektiivisen tasokäyrän säännöllisyys Affiineille tasokäyrille esitetty säännöllisen pisteen määritelmä on aivan vastaava projektiivistenkin käyrien tapauksessa: Määritelmä 2.11 Olkoon C jaottoman homogeenisen polynomin F k[x, Y, Z] määräämä projektiivinen tasokäyrä. Pistettä P C kutsutaan epäsäännölliseksi, jos F F F (P ) = (P ) = (P ) = 0. X Y Z Muutoin pisteen P sanotaan olevan säännöllinen. Käyrää C sanotaan säännölliseksi tai sileäksi, mikäli sen kaikki pisteet ovat säännöllisiä. Todistetaan seuraava apulause tapauksessa C U 3. Vastaava tulos on tietenkin voimassa myös tapauksissa C U 1 ja C U 2. Apulause 2.6 Olkoon C jaottoman homogeenisen polynomin F k[x, Y, Z] määräämä projektiivinen tasokäyrä. Piste P = (a, b, 1) C on säännöllinen, jos ja vain jos piste (a, b) C U 3 on säännöllinen. Todistus. Näytetään, että jos piste (a, b, 1) C on säännöllinen, niin piste (a, b) C U 3 on säännöllinen. Ketjusäännön perusteella F X (a, b, 1) = F (a, b) X ja F Y (a, b, 1) = F (a, b), Y joten määritelmän 1.17 vaatimukset toteutuvat, jos pystytään osoittamaan, että tai Tehdään vastaoletus, että F (a, b, 1) 0 X F (a, b, 1) 0. Y F F (a, b, 1) = (a, b, 1) = 0. X Y 31

35 Tällöin homogeenisille polynomeille voimassa olevan Eulerin kaavan deg(f )F (a, b, 1) = X F F (a, b, 1) + Y (a, b, 1) + 1 F (a, b, 1) X Y Z vasen puoli on = 0 (koska (a, b, 1) C) ja oikea puoli 0 (koska pisteen (a, b, 1) C säännöllisyyden perusteella F (a, b, 1) 0), Z ja päädytään ristiriitaan. Jos puolestaan piste (a, b) C U 3 on säännöllinen, niin F (a, b) 0 X tai F (a, b) 0. Y Pisteen (a, b, 1) C säännöllisyys seuraa nyt ketjusäännöstä. 32

36 3 Algebrallisista käyristä Tästä eteenpäin algebrallinen tasokäyrä on yleisnimitys affiinille ja projektiiviselle tasokäyrälle. 3.1 Noetherin rengas Algebrallisessa geometriassa on mielenkiintoista tarkastella sellaisia renkaita, joiden jokainen ideaali on äärellisen joukon virittämä. Otetaan käyttöön seuraava määritelmä: Määritelmä 3.1 Rengasta R kutsutaan Noetherin renkaaksi, jos sen jokainen ideaali on äärellisen joukon virittämä. Koska kunnan K ainoat ideaalit ovat {0} ja K = (1 K ), kunnat ovat Noetherin renkaita. Seuraavat seikat valmistelevat Noetherin renkaita koskevan Hilbertin kantalauseen todistusta: Määritelmä 3.2 Olkoon R rengas ja F = a d X d a 1 X + a 0 R[X], missä a d 0. Termiä a d X d kutsutaan polynomin F johtavaksi termiksi ja kerrointa a d polynomin F johtavaksi kertoimeksi. Apulause 3.1 Olkoon R Noetherin rengas ja I renkaan R[X] ideaali. Olkoon J m joukko, joka koostuu ideaalin I korkeintaan astetta m olevien polynomien johtavista kertoimista. Nyt J m on renkaan R ideaali. Todistus. Olkoon a, b J m ja r R. Oletetaan, että a on astetta k m olevan polynomin G 1 I johtava kerroin ja b astetta l m olevan polynomin G 2 I johtava kerroin. Koska polynomi rg 1 I on astetta k, niin ar J m. Nyt myös a + b J m. Jos näet k l, niin a + b on astetta l olevan polynomin X l k G 1 + G 2 I johtava kerroin. Apulauseen 3.1 eräs erikoistapaus on apulause 3.2: Apulause 3.2 Olkoon R Noetherin rengas ja I renkaan R[X] ideaali. Olkoon J joukko, joka koostuu kaikkien polynomien F I johtavista kertoimista. Nyt J on renkaan R ideaali. 33

37 Todistus. Tulos saadaan apulauseesta 3.1 asettamalla m deg(f ) kaikilla F I. Nyt pystytään todistamaan Hilbertin kantalause: Lause 3.1 (Hilbertin kantalause) Jos R on Noetherin rengas, niin polynomirengas R[X 1,..., X n ] on Noetherin rengas. Todistus. Käytetään induktioperiaatetta luvun n Z + suhteen. Perusaskeleessa oletetaan, että R on Noetherin rengas, ja osoitetaan, että R[X] on Noetherin rengas. Olkoon I renkaan R[X] ideaali ja J ideaalin I kaikkien polynomien johtavien kerrointen joukko. Apulauseen 3.2 mukaan J on renkaan R ideaali. Määritelmän 3.1 perusteella on olemassa äärellinen joukko polynomeja F 1,..., F r I, joiden johtavat kertoimet virittävät ideaalin J. Valitaan luku n N niin, että n > deg(f i ) (i = 1,..., r). Olkoon jokaista lukua m = 0,..., n kohti J m se joukko, joka koostuu sellaisten polynomien F I johtavista kertoimista, että deg(f ) m. Apulauseen 3.1 perusteella joukot J m ovat renkaan R ideaaleja. Olkoon lisäksi kullakin luvun m = 0,..., n arvolla {F mj } sellainen joukko ideaalin I polynomeja, että joukon {F mj } polynomien johtavat kertoimet virittävät ideaalin J m. Koska J m on renkaan R ideaali, joukot {F mj } ovat äärellisiä. Olkoon I polynomien F 1,..., F r ja polynomien F mj virittämä renkaan R[X] ideaali. Koska ideaalin I virittäjät ovat ideaalin I polynomeja, niin I I. Nyt I on äärellisen joukon virittämä, joten perusaskeleen todistamiseksi riittää osoittaa, että I = I. Tehdään vastaoletus, että I I. Olkoon G I pienintä mahdollista astetta oleva polynomi, jolle pätee G I. Jos deg(g) > n, on olemassa sellaiset polynomit Q i R[X] että polynomeilla r Q i F i ja G on sama johtava termi (i = 1,..., r). Täten i=1 r deg(g Q i F i ) < deg(g). i=1 34

38 Nyt r G Q i F i I. i=1 Polynomin G määritelmän perusteella r G Q i F i I. i=1 Koska lisäksi r Q i F i I, i=1 viimeksi sanotusta seuraa, että myös G I. Vastaavasti jos deg(g) n, löytyy sellaiset polynomit Q j R[X] m että polynomeilla Q j F mj ja G on sama johtava termi (j = 1,..., m). Äskeiseen j=1 tapaan päädytään tulokseen G I. Ei siis voi olla I I, vaan I = I. Induktioaskeleessa oletetaan, että R[X 1,..., X k ] on Noetherin rengas. Induktiooletuksesta ja perusaskeleesta seuraa, että R[X 1,..., X k ][X k+1 ] on Noetherin rengas. Koska R[X 1,..., X k ][X k+1 ] = R[X 1,..., X k, X k+1 ], niin väite pätee myös renkaalle R[X 1,..., X k, X k+1 ]. Lause 3.2 Jos R on Noetherin rengas ja I renkaan R ideaali, niin jäännösluokkarengas R/I on Noetherin rengas. Todistus. Renkaan R/I ideaalit ovat tunnetusti muotoa J/I, missä I J. Koska R on Noetherin rengas, niin määritelmän 3.1 perusteella on olemassa sellaiset alkiot a 1,..., a n R, että J = (a 1,..., a n ). Tästä seuraa, että J/I = (a 1 + I,..., a n + I) eli myös J/I on äärellisen joukon virittämä. Lauseesta 3.2 seuraa, että algebrallisten tasokäyrien koordinaattirenkaat ovat Noetherin renkaita. Seuraavasta lauseesta 3.3 käy ilmi eräs Noetherin renkaiden tärkeimmistä ominaisuuksista. Lauseen 3.3 todistusta varten tarvitaan Zornin lemmaa: 35

39 Apulause 3.3 (Zornin lemma) Olkoon S sellainen osittain järjestetty joukko, että sen jokaisella täydellisesti järjestetyllä osajoukolla on yläraja. Tällöin joukossa S on maksimaalinen alkio. Lause 3.3 Olkoon R Noetherin rengas ja S kokoelma renkaan R ideaaleja. Nyt joukossa S on maksimaalinen alkio. Todistus. Refleksiivisenä, antisymmetrisenä ja transitiivisena relaationa osajoukkorelaatio on osittainen järjestys joukossa S. Tarkastellaan joukon S ketjua eli täydellisesti järjestettyä osajoukkoa {I j j Λ}. Halutaan näyttää, että tällä ketjulla on yläraja. Sopiva ehdokas ylärajaksi on I = I j. j Λ Todetaan aluksi I renkaan R ideaaliksi. Olkoot a, b I ja r R. On olemassa sellaiset k, l Λ, että a I k, b I l. Koska joukko {I j j Λ} on täydellisesti järjestetty, niin I k I l tai I l I k. Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että I k I l. Koska nyt a I l, niin a + b I l I. Lisäksi ar I k I. Koska R on Noetherin rengas, löytyy sellaiset F 1,..., F r I, että I = (F 1,..., F r ). Huomataan, että jokainen F i I ji jollain j i Λ (i = 1,..., r). Luku r on äärellinen, joten jollain k {j 1,..., j r } pätee F i I k (i = 1,..., r). Mutta koska alkiot F 1,..., F r virittävät ideaalin I ja I k I, niin I k = I. Siis I S. Tällöin S sisältää Zornin lemman perusteella maksimaalisen alkion. 3.2 Maksimaalinen ideaali ja lokaali rengas Määritelmä 3.3 Renkaan R aitoa ideaalia, joka ei sisälly mihinkään muuhun renkaan R aitoon ideaaliin, kutsutaan renkaan R maksimaaliseksi ideaaliksi. Edellä esitetyn lauseen 3.3 perusteella Noetherin rengas sisältää aina (vähintään yhden) maksimaalisen ideaalin. Renkaan maksimaalinen ideaali ei kuitenkaan välttämättä ole yksikäsitteinen. Tämä antaa motivaation seuraavalle määritelmälle: 36

40 Määritelmä 3.4 Rengasta R, jolla on yksikäsitteinen maksimaalinen ideaali, kutsutaan lokaaliksi renkaaksi. Apulause 3.4 Olkoon R rengas. Joukko M = R \ R on renkaan R ideaali, jos ja vain jos renkaalla R on yksikäsitteinen maksimaalinen ideaali (joka on M). Todistus. Oletetaan, että M on renkaan R ideaali, ja osoitetaan, että M on renkaan R yksikäsitteinen maksimaalinen ideaali. Olkoon I R aito ideaali. Mikäli jokin a I on yksikkö, niin aa 1 = 1 I, jolloin I = R. Siis mikään ideaalin I alkioista ei ole yksikkö, joten I M. Oletetaan sitten, että renkaalla R on yksikäsitteinen maksimaalinen ideaali I. Osoitetaan, että I = M. Edellä sanotun mukaisesti I M. Pitää näyttää, että M on ideaali. Olkoot a, b M. Nyt (a) ja (b) ovat renkaan R aitoja ideaaleja, joten (a), (b) I. Tämä merkitsee, että a, b I. Tällöin a + b I, joten myös a + b M. Olkoon r R. Jos olisi ra = u R, niin myös r, a R, mikä olisi oletuksen a M vastaista. Siis ra M. Apulause 3.5 Olkoon C algebrallinen tasokäyrä yli kunnan k ja O k(c) sellainen alirengas, että kaikilla z k(c) pätee z O tai z 1 O. Tällöin O on lokaali rengas. Todistus. Apulauseen 3.4 perusteella riittää osoittaa, että joukko M = O\O on ideaali. (1) Olkoon x M, z O. Tällöin xz M. Muuten nimittäin myös (xz) 1 O. Tämä merkitsisi, että x 1 = (xz) 1 z O eli että x O, mikä on oletuksen vastaista. (2) Olkoon x, y M. Oletuksen mukaan x/y O tai y/x O, joten yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että x/y O. Koska 1 O, myös 1 + x/y O. Nyt kohdan (1) nojalla x + y = y(1 + x/y) M. Määritelmä 3.5 Renkaan R aitoa ideaalia I kutsutaan alkuideaaliksi, jos kaikilla a, b R ehdosta ab I seuraa, että a I tai b I. Apulause 3.6 Olkoon I = (p) renkaan R alkuideaali, missä p 0. Tällöin p on jaoton. Todistus. Sivuutetaan. Todistus löytyy kirjasta [4, s. 70] 37

41 Apulause 3.7 Olkoon M renkaan R (jokin) maksimaalinen ideaali. Nyt M on alkuideaali. Todistus. Voidaan osoittaa, että M on maksimaalinen, jos ja vain jos R/M on kunta [7, s. 322], ja että M on alkuideaali, jos ja vain jos R/M on kokonaisalue [7, s. 312]. Koska kunnat ovat kokonaisalueita, väite seuraa välittömästi. 3.3 Diskreetti valuaatiorengas Seuraava lause muodostaa perustan tässä luvussa käsiteltäville asioille: Lause 3.4 Olkoon O kokonaisalue, joka ei ole kunta. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: 1) O on lokaali Noetherin rengas, ja sen maksimaalinen ideaali on pääideaali 2) On olemassa sellainen jaoton alkio t O, että jokainen 0 z O voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa z = ut n, missä u O ja n N. Todistus. Osoitetaan ensin, että jos ehto 1) pätee, niin myös ehto 2) on voimassa. Olkoon M renkaan O yksikäsitteinen maksimaalinen ideaali. Apulauseen 3.4 perusteella M = O \ O. Koska M on oletuksen mukaan pääideaali, on olemassa sellainen t O, että M = (t). Apulauseen 3.7 nojalla M on alkuideaali, joten apulauseesta 3.6 seuraa alkion t jaottomuus. Näytetään aluksi, että jos alkiolla 0 z O on vaadittua muotoa oleva esitys, niin tämä esitys on yksikäsitteinen. Tehdään vastaoletus, että jollain 0 z O pätee z = vt m = ut n, missä u, v O, u v, m, n N, m n. Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että n > m. Tällöin vu 1 = t n m. Nyt t n m M, mutta vu 1 O. Tässä on ristiriita, joten u = v ja n = m. Todistetaan sitten, että jokaiselle 0 z O löytyy haluttua muotoa oleva esitys. Mikäli z O, kirjoitetaan z = zt 0. Muutoin z M, jolloin on olemassa esitys z = z 1 t, missä z 1 O. Jos z 1 O, vaadittu esitys on löydetty. Muussa tapauksessa z 1 = z 2 t, missä z 2 O jne. Osoitetaan, ettei jono voi olla ääretön. Tarkastellaan ideaaleja z 1, z 2,... (z 1 ) (z 2 )

42 Koska oletuksen mukaan O on Noetherin rengas, apulauseen 3.3 mukaan tällä ketjulla on maksimaalinen jäsen. Näin ollen jollain n Z + on (z n ) = (z n+1 ). Tällöin z n+1 (z n ), joten jollain v O pätee z n+1 = vz n. Koska z n = z n+1 t, niin kaikkiaan z n = vtz n, josta saadaan vt = 1. Siis t O, mikä on oletuksen vastaista. Osoitetaan seuraavaksi, että ehdosta 2) seuraa ehto 1). Merkitään M = (t). Olkoon z O. Mikäli z O, ehdon 2) mukaan on olemassa esitys z = zt 0 M. Muussa tapauksessa z voidaan lausua yksikäsitteisesti muodossa z = ut n, missä n Z +. Tällöin z M. Siis M = O \ O. Koska M on ideaali, apulauseen 3.4 perusteella M on renkaan O yksikäsitteinen maksimaalinen ideaali, ja määritelmän 3.4 mukaan O on lokaali. Todetaan vielä O Noetherin renkaaksi osoittamalla, että renkaan O kaikki ideaalit ovat täsmälleen ideaalit (t n ), n N. Olkoon I O renkaan O aito ideaali. Huomataan aluksi, että löytyy sellainen n Z +, että t n I. Ehdosta 2) ja apulauseen 3.4 todistuksessa tehdystä havainnosta I M näet seuraa, että jokaisella a I on yksikäsitteinen esitys a = ut n, missä u O ja n Z +. Tällöin t n = u 1 a I. Olkoon m pienin luku, jolle pätee t m I. Näytetään, että I = (t m ). Ilmeisesti (t m ) I. Olkoon a I. Mikäli a = ut n, missä u O ja n Z +, niin a = ut n = ut n m t m t m. Siis myös I (t m ), mikä todistaa väitteen. Lauseen 3.4 perusteella voidaan antaa seuraava määritelmä: Määritelmä 3.6 Olkoon O lauseen 3.4 ehdot toteuttava kokonaisalue ja F sen osamääräkunta. Kokonaisaluetta O sanotaan kunnan F diskreetiksi valuaatiorenkaaksi (DVR). Alkiota t kutsutaan diskreetin valuaatiorenkaan O lokaaliksi parametriksi. Lause 3.5 Jos t on diskreetin valuaatiorenkaan O lokaali parametri, niin renkaan O kaikki lokaalit parametrit ovat täsmälleen alkiot ut, missä u O. Todistus. Huomataan ensin, että mikäli u O, niin ut on diskreetin valuaatiorenkaan O lokaali parametri. Selvästi (ut) (t). Lisäksi joten myös (t) (ut). Siis t = u 1 (ut) (ut), M = (t) = (ut). Jos puolestaan t O on lokaali parametri, lauseen 3.4 ehdon (2) mukaan M = (t ). Koska myös M = (t), on oltava t = ut, missä u O. 39

43 Lause 3.6 Jos O on kunnan F diskreetti valuaatiorengas ja lokaali parametri t O on kiinnitetty, niin jokainen 0 z F pystytään lausumaan yksikäsitteisesti muodossa z = ut n, missä u O ja n Z. Todistus. Voidaan kirjoittaa z = ab 1, missä a, b O. Lauseen 3.4 perusteella on olemassa yksikäsitteiset esitykset a = vt k ja b = wt l, missä v, w O sekä k, l N. Merkitään u = vw 1 ja n = k l. Määritelmä 3.7 Yllä mainittua yksikäsitteistä lukua n Z kutsutaan alkion 0 z F kertaluvuksi ja merkitään n = ord(z). Lisäksi määritellään, että ord(0) =. Luvun n yksikäsitteisyyden nojalla ehto z ord(z) määrittelee funktion F Z { }. Näin ollen voidaan puhua diskreetin valuaatiorenkaan O kertalukufunktiosta. Lauseesta 3.5 seuraa, että kertalukufunktion arvo ei riipu lokaalin parametrin t valinnasta. Jos nimittäin t = vt on lokaali parametri, missä v O, niin esitys z = ut n saadaan muotoon missä uv n O. Selvästi Renkaan O yksikköjen joukko O on ut n = (uv n )t n, O = {z F ord(z) 0}. O = {z F ord(z) = 0} ja renkaan O maksimaalinen ideaali M puolestaan joukko M = {z F ord(z) > 0}. Apulause 3.8 Olkoon O kunnan F diskreetti valuaatiorengas ja a, b F. Tällöin a) ord(ab) = ord(a) + ord(b) b) ord(a + b) min{ord(a), ord(b)}. (Aito kolmioepäyhtälö) Jos ord(a) < ord(b), niin ord(a + b) = ord(a). 40

44 Todistus. a) Oletetaan aluksi, että a, b 0. Olkoot a = ut n ja b = vt m lauseen 3.6 mukaisia esityksiä. Nyt ab = (uv)t m+n. Koska uv O, niin ord(ab) = m + n = ord(a) + ord(b). Oletetaan sitten, että a = 0 tai b = 0, olkoon esimerkiksi a = 0. Nyt tietenkin myös ab = 0. Tällöin määritelmän 3.7 mukaan ord(a) = ord(ab) =, ja väite pätee tässäkin tapauksessa. b) Tarkastellaan aluksi tapausta a, b 0. Oletetaan ensin, että m = n. Nyt a + b = (u + v)t n. Mikäli u + v O, yllä annettu esitys on lauseen 3.6 mukainen, ja ord(a + b) = m = n. Jos puolestaan u + v O, niin u + v (t). Tämä tarkoittaa, että u + v = wt k jollain w O ja k Z +, jolloin ord(a + b) = k + n > n. Oletetaan sitten, että m n, olkoon vaikkapa m < n. Kirjoitetaan Huomataan, että Muutoin näet olisi missä w O, k Z +. Tällöin myös olisi a + b = (v + ut n m )t m. v + ut n m (t). v + ut n m = wt k, v = wt k ut n m (t), mutta v O. Koska siis v + ut n m (t), niin v + ut n m O. Siten alkion a + b esitys on lauseen 3.6 mukainen. Tällöin ord(a + b) = m = min{ord(a), ord(b)}. Jos a = b = 0, niin määritelmän 3.7 mukaan ord(a + b) = ord(0) = = min{ord(a), ord(b)}. 41

45 Jos taas esimerkiksi a = 0, b 0, päädytään myös tulokseen ord(a + b) = ord(b) = min{ord(a), ord(b)}. Apulauseen 3.8 a)-kohdasta seuraa, että jos a F, n Z, niin ord(a n ) = n ord(a). Apulause 3.9 Olkoon O kunnan F diskreetti valuaatiorengas. Jos a 1,..., a n F ja on olemassa sellainen i {1,..., n}, että ord(a i ) < ord(a j ) kaikilla j i, niin a a n 0. Todistus. Tehdään vastaoletus, että Silloin määritelmän 3.7 mukaan a a n = 0. ord(a a n ) =. Koska ord(a i ) < ord(a j ) kaikilla j i, niin apulauseen 3.8 b)-kohdan aidon kolmioepäyhtälön perusteella ord(a a n ) = ord(a i ) <. Viimeksi sanottu merkitsee, että a a n 0. On päädytty ristiriitaan alkuperäisen oletuksen kanssa, joten vastaoletus on väärä ja väite tosi. Jos M on diskreetin valuaatiorenkaan O maksimaalinen ideaali, apulauseen 3.7 yhteydestä nähdään, että jäännösluokkarengas O/M on kunta. Olkoon C algebrallinen tasokäyrä yli kunnan k, O kunnan k(c) diskreetti valuaatiorengas sekä x M, missä M on renkaan O maksimaalinen ideaali. Kolmen seuraavan apulauseen avulla todistetaan lauseessa 3.7, että k(c) on äärellisulotteinen vektoriavaruus yli kunnan k(x). Apulause 3.10 todistetaan affiinin tasokäyrän tapauksessa todistustekniikkansa vuoksi, mutta lauseen 2.2 perusteella se yleistyy myös projektiivisille tasokäyrille. Apulause 3.10 Olkoon C jaottoman polynomin F k[x, Y ] määräämä affiini tasokäyrä ja x = X + (F ). Jos x k, niin [k(c) : k(x)] <. 42

46 Todistus. Polynomin F jaottomuuden perusteella F 0. Näin ollen voidaan kirjoittaa missä F 0,..., F d k[x], F 0 0. Olkoon F = F 0 Y d + F 1 Y d F d, B = F 0 (x)y d + F 1 (x)y d F d (x) k(x)[y ]. Havaitaan ensin, että B 0. Jos nimittäin olisi B = 0, niin olisi F 0 (x) = F 1 (x) =... = F d (x) = 0, jolloin x olisi algebrallinen yli kunnan k. Kuitenkin oletuksen mukaan x k ja k on algebrallisesti suljettu, mikä tarkoittaa, että x on transkendenttinen yli kunnan k. Huomataan seuraavaksi, että koska F (x, y) = F + (F ) = 0, niin B(y) = 0. Ehdoista B k(x)[y ], B(y) = 0 ja B 0 seuraa, että y on algebrallinen yli kunnan k(x). Täten apulauseen 1.3 nojalla [k(x)(y) : k(x)] <. Tämä todistaa väitteen, sillä apulauseen 1.1 mukaan k(x)(y) = k(x, y) ja luvussa 1.7 on todettu, että k(x, y) = k(c). Alla olevasta apulauseesta nähdään, että apulauseen 3.10 alkio x voidaan itse asiassa korvata millä tahansa alkiolla z k(c), z k: Apulause 3.11 Olkoon C algebrallinen tasokäyrä yli kunnan k. Jos z k(c), z k, niin [k(c) : k(z)] <. Todistus. Olkoon x = X + (F ), missä F on käyrän C määräävä polynomi. Koska apulauseen 3.10 mukaan [k(c) : k(x)] <, niin luvussa 1 todetun mukaisesti k(c) on kunnan k(x) algebrallinen laajennus. Tällöin määritelmän 1.4 nojalla z on algebrallinen yli kunnan k(x). Määritelmän 1.3 perusteella löytyy sellaiset f 0,..., f n k(x), f 0 0, että f 0 z n + f 1 z n f n = 0. Yleisyyttä rajoittamatta on mahdollista olettaa, että f 0,..., f n k[x] (mikäli näin ei ole, nimittäjät voidaan laventaa pois). Merkitään f i = F i (x), missä F i k[x] (i = 43

47 0,..., n). Voidaan myös olettaa, että jollain j {0,..., n} x ei jaa alkiota f j (muussa tapauksessa x saadaan yhteiseksi tekijäksi alkioista f 1,..., f n ), jolloin F j (0) 0. Olkoon G = F 0 z n + F 1 z n F n k(z)[x]. Selvästi G(x) = 0. Lisäksi huomataan, että G 0. Muutoin näet olisi myös 0 = G(0) = F 0 (0)z n + F 1 (0)z n F n (0), mikä tarkoittaisi, että z on algebrallinen yli kunnan k eli että z k. Nyt G k(z)[x], G(x) = 0 ja G 0, joten x on algebrallinen yli kunnan k(z). Apulauseen 1.1 nojalla k(x, z) = k(z)(x). Yllä todetusta ja apulauseesta 1.3 seuraa, että [k(x, z) : k(z)] <. Oletus [k(c) : k(x)] < takaa, että myös [k(c) : k(x, z)] <. Koska k(c) on kunnan k(x, z) laajennus ja k(x, z) on kunnan k(z) laajennus, soveltamalla apulausetta 1.2 nähdään, että [k(c) : k(z)] = [k(c) : k(x, z)][k(x, z) : k(z)] <. Apulause 3.12 Olkoon C algebrallinen tasokäyrä yli kunnan k, O kunnan k(c) lokaali alirengas ja M renkaan O maksimaalinen ideaali. Nyt k M = {0}. Todistus. Olkoon 0 x M. Oletetaan, että olisikin x k. Mutta nyt x on yksikkö, mikä on oletuksen x M vastaista, koska apulauseen 3.4 mukaan M = O \ O. Lause 3.7 Olkoon C algebrallinen tasokäyrä yli kunnan k, O kunnan k(c) diskreetti valuaatiorengas, M renkaan O maksimaalinen ideaali ja 0 x M. Nyt on voimassa [k(c) : k(x)] <. Todistus. Diskreettinä valuaatiorenkaana O on määritelmän 3.6 mukaan lokaali, joten apulauseen 3.12 perusteella x on transkendenttinen yli kunnan k. Apulauseesta 3.11 seuraa tällöin, että [k(c) : k(x)] <. Edellä havaittiin, että O/M on jokin kunta. Näytetään, että kunnan k ollessa algebrallisesti suljettu vieläpä O/M = k: 44

48 Lause 3.8 Olkoon C algebrallinen tasokäyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan k, O kunnan k(c) diskreetti valuaatiorengas ja M renkaan O maksimaalinen ideaali. Nyt on voimassa [O/M : k] = 1. Todistus. Olkoon 0 x M. Apulauseesta 3.11 seuraa tällöin, että Osoitetaan ensiksi, että [k(c) : k(x)] <. [O/M : k] [k(c) : k(x)]. Olkoot alkiot z 1,..., z n O sellaisia, että niiden jäännösluokat z 1,..., z n O/M ovat lineaarisesti riippumattomia yli kunnan k. Koska z 1,..., z n k(c), riittää osoittaa, että alkiot z 1,..., z n ovat lineaarisesti riippumattomia yli kunnan k(x). Tehdään vastaoletus, että on olemassa ei-triviaali lineaarikombinaatio (1) n ϕ i z i = 0, i=1 missä ϕ i k(x) (i = 1,..., n). Yleisyyttä rajoittamatta voidaan samoista syistä kuin apulauseen 3.11 todistuksessa olettaa, että kukin ϕ i k[x] (i = 1,..., n) ja että kaikki alkioista ϕ 1,..., ϕ n eivät ole jaollisia alkiolla x. Asetetaan a i = ϕ i (0). Edellä sanottu tarkoittaa, että ϕ i = a i + xg i, missä siis a i k, g i k[x] ja jollain luvun j {1,..., n} arvolla on voimassa ehto a j 0. Huomataan seuraavaksi, että koska k[x] O, niin g i O. Koska x M, tästä seuraa, että xḡ i = 0. Täten ϕ i = ā i = a i (i = 1,..., n). Soveltamalla jäännösluokkahomomorfismia z z modulo M yhtälöön (1) saadaan relaatio n n (2) 0 = 0 = ϕ i z i = a i z i. i=1 i=1 45

49 Koska jollain luvun j {1,..., n} arvolla a j 0, yhtälö (2) ilmaisee, että jäännösluokat z 1,..., z n O/M ovat lineaarisesti riippuvia yli kunnan k. Tässä on ristiriita, joka osoittaa vastaoletuksen vääräksi. Selvästi k O/M. Äsken näytettiin, että [O/M : k] <, joten O/M on kunnan k äärellinen ja samalla myös algebrallinen laajennus. Mutta koska kunta k on algebrallisesti suljettu, sillä ei voi olla aitoja äärellisiä laajennuksia (kts. [5, s.49]) eikä siten myöskään aitoja algebrallisia laajennuksia. Siis O/M = k, mikä merkitsee samaa kuin [O/M : k] = 1. Seuraavasta lauseesta 3.9 nähdään, että diskreettien valuaatiorenkaiden välillä ei ole inkluusioita: Lause 3.9 Olkoon C algebrallinen tasokäyrä yli kunnan k ja O kunnan k(c) diskreetti valuaatiorengas. Nyt O on kunnan k(c) maksimaalinen aito alirengas. Todistus. Olkoon R k(c) sellainen alirengas, että O R. Näytetään, että jos R O, niin R = k(c). Olkoon z R \ O. Tällöin ord(z) < 0, joten apulauseen 3.8 a)-kohdan seurauksen perusteella ord(z 1 ) = ord(z) > 0. Käyttämällä taaskin apulauseen 3.8 a)-kohtaa nähdään, että jokaisella y k(c) pätee ord(yz n ) = ord(y) + n ord(z 1 ) 0, kun luku n valitaan riittävän suureksi. Täten yz n O, mikä merkitsee, että y O[z]. Koska O[z] R, niin y R, ja R = k(c). Apulausetta 3.13 varten otetaan käyttöön seuraava merkintä. Jos M on renkaan O maksimaalinen ideaali ja x M, niin määritellään, että xm = {xz z M}. Apulause 3.13 Olkoon C algebrallinen tasokäyrä yli kunnan k ja O k(c) sellainen alirengas, että kaikilla z k(c) on voimassa ehto z O tai z 1 O. Oletetaan, että M on renkaan O maksimaalinen ideaali ja 0 x M. Olkoot x 1,..., x n M sellaisia, että x 1 = x ja x i x i+1 M (i = 1,..., n 1). Tällöin n [k(c) : k(x)] <. 46

50 Todistus. Koska oletuksen mukaan kaikilla z k(c) pätee z O tai z 1 O, niin apulauseen 3.5 mukaan O on lokaali. Apulauseesta 3.12 seuraa, että x k. Siis x on transkendenttinen yli kunnan k. Niinpä apulauseen 3.11 nojalla [k(c) : k(x)] <. Riittää siis osoittaa, että alkiot x 1,..., x n ovat lineaarisesti riippumattomia yli kunnan k(x). Oletetaan, että näin ei olisi. Tällöin on olemassa ei-triviaali lineaarikombinaatio (1) n ϕ i x i = 0 i=1 yli kunnan k(x). Yleisyyttä rajoittamatta voidaan samoista syistä kuin apulauseen 3.11 todistuksessa olettaa, että ϕ 1,..., ϕ n k[x] ja että x ei jaa kaikkia alkioista ϕ 1..., ϕ n. Asetetaan jälleen a i = ϕ i (0). Siis ϕ i = xg i + a i, missä g i k[x], a i k (i = 1,..., n). Äsken tehtyjen oletusten nojalla on olemassa sellainen luku j {1,..., n}, että a j 0 mutta a i = 0 kaikilla i > j. Yhtälö (1) voidaan tämän perusteella lausua muodossa (2a) ϕ j x j = i j ϕ i x i, missä kaikilla i < j pätee x i x j M ja kaikilla i > j on ϕ i = xg i. Toinen tapa kirjoittaa yhtälö (2a) on siis j 1 n (2b) ϕ j x j = ϕ i x i + xg i x i. i=1 Jakamalla yhtälö (2b) puolittain termillä x j saadaan j 1 (3) ϕ j = i=1 ϕ i x i x j + i=j+1 n i=j+1 x x j g i x i. Tarkastellaan yhtälön (3) oikean puolen termejä. Arvoilla i < j pätee x i x j M, jolloin x i /x j M. Alussa tehdyn oletuksen perusteella erityisesti x x j M. Koska lisäksi ϕ i, g i k[x] O ja x i M O, niin yhtälön (3) oikean puolen yhteenlaskettavat kuuluvat joukkoon M. Näin ollen myös ϕ j M. Toisaalta edellä tehtyjen oletusten mukaan a j = ϕ j xg j. 47

51 Koska g j O, x, ϕ j M ja a j k, niin a j M k. Nyt apulauseen 3.12 nojalla a j = 0, mikä ei pidä paikkaansa. Apulausetta 3.13 käyttämällä saadaan välttämätön ja riittävä ehto sille, milloin alirengas O k(c) on kunnan k(c) diskreetti valuaatiorengas: Lause 3.10 Olkoon O k(c) alirengas. Nyt O on kunnan k(c) diskreetti valuaatiorengas, jos ja vain jos kaikilla z k(c) pätee z O tai z 1 O. Todistus. Osoitetaan ensin, että jos O on kunnan k(c) diskreetti valuaatiorengas, niin kaikilla z k(c) on voimassa ehto z O tai z 1 O. Tapauksessa z O asia on selvä. Jos puolestaan z O, niin ord(z) < 0. Tällöin apulauseen 3.8 a)-kohdan nojalla ord(z 1 ) = ord(z) > 0, joten z 1 O. Todistetaan sitten, että jos kaikilla z k(c) pätee z O tai z 1 O, niin O on kunnan k(c) diskreetti valuaatiorengas. Apulauseen 3.5 mukaan O on lokaali eli renkaalla O on yksikäsitteinen maksimaalinen ideaali M. Osoitetaan M pääideaaliksi. Tehdään vastaoletus, että ideaalilla M on useampi kuin yksi virittäjä. Olkoon 0 x 1 M. Koska M (x 1 ), niin on olemassa x 2 M \ (x 1 ). Tällöin x 2 x 1 1 O, joten ord(x 2 x 1 1 ) < 0. Tämä tarkoittaa, että ord(x 1 2 x 1 ) > 0 eli että x 1 2 x 1 M. Toisin sanoen siis x 1 x 2 M. Oletetaan, että x n 1 x n M. Koska edelleen M (x n ), löytyy x n+1 M \ (x n ). Nyt x n+1 x 1 n O, mikä merkitsee, että x 1 n+1x n M. Siis x n x n+1 M. Induktiolla luvun n suhteen saadaan näin ääretön jono x 1, x 2, x 3,... ideaalin M alkioita siten, että x i x i+1 M, i 1. Mutta tämä on ristiriidassa apulauseen 3.13 kanssa. On siis olemassa sellainen t O, että M = (t). Tässä t on jaoton, koska apulauseen 3.7 mukaan M on alkuideaali. Näytetään seuraavaksi, että kaikilla z O on yksikäsitteinen esitys muotoa z = ut n, missä u O ja n N. Tällaisen esityksen yksikäsitteisyys todistetaan samoin kuin lauseessa 3.4. Vielä on osoitettava esityksen olemassaolo. Koska z O tai z 1 O, yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että z O. Mikäli z O, voidaan kirjoittaa z = zt 0. Jäljelle jää tapaus z M. Nyt z = ut m jollain m N, u O (tämä ei ole välttämättä sama kuin lauseen 3.4 esitys). Huomataan, että z t m 1 M, t m 1 t m 2 M,..., t 2 tm, 48

52 joten voidaan asettaa x 1 = z, x 2 = t m 1, x 3 = t m 2,..., x m = t. Koska apulauseen 3.13 nojalla yllä saatu jono on pituudeltaan rajallinen, on olemassa suurin mahdollinen sellainen luku m 1, että z (t m ). Kirjoitetaan nyt z = ut m, u O. Välttämättä u O. Muutoin näet u M, jolloin olisi u = tw, missä w O ja z = wt m+1 (t m+1 ). Tämä aiheuttaisi ristiriidan sen kanssa, että luku m on valittu suurimmaksi mahdolliseksi. Näin on osoitettu, että lauseen 3.4 ehto 2) pätee, joten O on diskreetti valuaatiorengas. 3.4 Lokaali rengas O P (C) Olkoon C algebrallinen tasokäyrä yli kunnan k. Tarkastellaan lähemmin pisteessä P C määriteltyjen käyrän C rationaalifunktioiden muodostamaa rengasta O P (C). Merkitään M P (C) = { a b k(c) a(p ) = 0, b(p ) 0}. Selvästi M P (C) = {f O P (C) f(p ) = 0}. Määritelmästä 1.24 muistetaan, että rengasta O P (C) kutsutaan käyrän C lokaaliksi renkaaksi pisteessä P. Oikeutus tälle nimitykselle saadaan seuraavasta apulauseesta 3.14, jossa osoitetaan, että O P (C) on todellakin lokaali: Apulause 3.14 Olkoon C algebrallinen tasokäyrä yli kunnan k ja P C. Nyt O P (C) on lokaali rengas, jonka yksikäsitteinen maksimaalinen ideaali on M P (C). Todistus. Koska M P (C) = O P (C) \ (O P (C)), voidaan soveltaa apulausetta 3.4. Sen perusteella riittää näyttää, että M P (C) on renkaan O P (C) ideaali. Olkoon f, g M P (C) ja h O P (C). Osoitetaan, että f + g, hf M P (C). Koska f(p ) = g(p ) = 0, niin (f + g)(p ) = f(p ) + g(p ) = 0 ja (fh)(p ) = f(p )h(p ) = 0 h(p ) = 0. Täten on osoitettu M P (C) renkaan O P (C) ideaaliksi. 49

53 Apulause 3.15 Olkoon C affiini tasokäyrä yli kunnan k ja P C. Nyt O P (C) on Noetherin kokonaisalue. Todistus. Kokonaisalueen k[c] alirenkaana O P (C) on rengas, jossa ei ole nollanjakajia, ja on siten itsekin kokonaisalue. Halutaan näyttää, että O P (C) on Noetherin rengas. Olkoon I O P (C) ideaali. Sen osoittamiseksi, että I on äärellisen joukon virittämä, tarkastellaan joukkoa I k[c]. Todetaan I k[c] renkaan k[c] ideaaliksi. Olkoot a, b I k[c], c k[c]. Tällöin löytyy sellaiset A, B, C k[x, Y ], että a = A + (F ), b = B + (F ), c = C + (F ), missä polynomi F k[x, Y ] määrää käyrän C. Nyt sekä a + b = A + B + (F ) k[c] ac = AC + (F ) k[c]. Ideaalien ominaisuuksien mukaisesti a + b, ac I. Näin ollen a + b, ac I k[c]. Koska k[c] on Noetherin rengas (kts.lause 3.2) ja I k[c] sen ideaali, on olemassa sellaiset polynomifunktiot f 1,..., f r k[c], että Osoitetaan, että I k[c] = (f 1,..., f r ). I = (f 1,..., f r ). Olkoon g I. Koska I O P (C), niin g = u/v, missä u, v k[c] ja v(p ) 0. Tällöin r vg k[c]. Siis vg I k[c], joten löytyy sellaiset a i k[c], että vg = a i f i. Toisin sanoen mikä todistaa väitteen. r g = ( a i i=1 v )f i, i=1 Apulause 3.16 Olkoon C jaottoman polynomin F k[x, Y ] määräämä affiini tasokäyrä, P C, P A 2 ja T : A 2 A 2 sellainen affiini koordinaattimuunnos, että T (P ) = P. Nyt k(c) = k(c T ). 50

54 Todistus. Apulauseen 1.15 perusteella T indusoi rengashomomorfismin T : k[x, Y ] k[x, Y ], T (G) = G(T 1, T 2 ). Nyt T puolestaan indusoi rengashomomorfismin ϕ : k[x, Y ]/(F ) k[x, Y ]/(F T ) seuraavasti: jos g = G + (F ), G k[x, Y ], niin ϕ(g) = G(T 1, T 2 ) + (F T ). Koska T on määritelmän 1.14 mukaan bijektio, sillä on käänteiskuvaus S = T 1. Edellä esitettyyn tapaan S indusoi rengashomomorfismin ja tämä edelleen rengashomomorfismin S : k[x, Y ] k[x, Y ], S(H) = H(S 1, S 2 ) ψ : k[x, Y ]/(F ) k[x, Y ]/(F S ) seuraavalla tavalla: mikäli h = H + (F ), H k[x, Y ], niin ψ(h) = H(S 1, S 2 ) + (F S ). Osoitetaan, että ψ ϕ = id. Olkoon (a, b) A 2. Koska T S = id, niin (T 1 (S 1 (a, b), S 2 (a, b)), T 2 (S 1 (a, b), S 2 (a, b)) = (a, b). Tämä merkitsee, että T 1 (S 1, S 2 )(a, b) = a ja T 2 (S 1, S 2 )(a, b) = b. Näin ollen (ψ ϕ)(g) = ψ(ϕ(g)) = ψ(g(t 1, T 2 ) + (F T )) = G(T 1, T 2 )(S 1, S 2 ) + ((F T ) S )). Yllä oleva lauseke voidaan esittää muodossa ja tämä edelleen muodossa Mutta viimeksi saatu lauseke on G(T 1 (S 1, S 2 ), T 2 (S 1, S 2 )) + (F (T 1, T 2 )(S 1, S 2 )) G(T 1 (S 1, S 2 ), T 2 (S 1, S 2 )) + (F (T 1 (S 1, S 2 ), T 2 (S 1, S 2 ))). G + (F ) = g. Väite ϕ ψ = id käsitellään vastaavasti. Koska siis ϕ on isomorfismi, se indusoi osamääräkuntien välille isomorfismin ξ : k(c) k(c T ), ξ( G + (F ) H + (F ) ) = G(T 1, T 2 ) + (F T ) H(T 1, T 2 ) + (F T ). 51

55 Apulause 3.17 Olkoon C jaottoman polynomin F k[x, Y ] määräämä affiini tasokäyrä, P C, P A 2 ja T : A 2 A 2 sellainen affiini koordinaattimuunnos, että T (P ) = P. Nyt O P (C) = O P (C T ). Todistus. Todetaan, että apulauseen 3.16 isomorfismi ξ rajoittuu isomorfismiksi O P (C) O P (C T ). Osoitetaan, että u v O P (C), täsmälleen silloin, kun ξ( u v ) O P (CT ). Nyt nimittäin v = V + (F ), missä V k[x, Y ]. Määritelmän 1.20 perusteella v(p ) = V (P ). Määritelmän 1.24 nojalla v(p ) 0. Tämä puolestaan on sama asia kuin se, että V (T (P )) 0. Apulause 3.18 Olkoon C jaottoman homogeenisen polynomin F k[x, Y, Z] määräämä projektiivinen tasokäyrä, P C, P P 2 ja T : P 2 P 2 sellainen projektiivinen koordinaattimuunnos, että T (P ) = P. Nyt O P (C) = O P (C T ). Todistus. Apulauseen 2.4 perusteella T indusoi rengashomomorfismin T : k[x, Y, Z] k[x, Y, Z], T (G) = G(T 1, T 2, T 3 ). Nyt T puolestaan indusoi rengashomomorfismin ϕ : k[x, Y, Z]/(F ) k[x, Y, Z]/(F T ) seuraavasti: jos g = G + (F ), G k[x, Y, Z], niin ϕ(g) = G(T 1, T 2, T 3 ) + (F T ). Kuvaus ϕ voidaan todeta isomorfiksi samalla tavoin kuin affiinien tasokäyrien tapauksessa apulauseessa Apulauseessa 3.17 todistettava osuus todistetaan myös samoin kuin affiineille tasokäyrille (sillä erotuksella, että muodot u, v k h (C) ovat homogeenisia). 52

56 Mikäli O P (C) on diskreetti valuaatiorengas, merkinnällä ord P tarkoitetaan diskreetin valuaatiorenkaan O P (C) määräämää kertalukufunktiota. Tällöin puhutaan esimerkiksi lokaalista parametrista pisteessä P. Jos C on affiini tasokäyrä ja P C, lauseesta 3.11 saadaan yksinkertainen ehto sille, milloin O P (C) on diskreetti valuaatiorengas: Lause 3.11 Olkoon C jaottoman polynomin F k[x, Y ] määräämä affiini tasokäyrä ja P C. Nyt O P (C) on diskreetti valuaatiorengas, jos ja vain jos piste P on säännöllinen. Olkoon L : ax + by + c = 0 pisteen P kautta kulkeva suora, joka ei ole käyrän C tangentti pisteessä P. Tällöin suoran L kuva renkaassa O P (C) on renkaan O P (C) lokaali parametri pisteessä P. Todistus. Suunnan vain jos todistus sivuutetaan, koska sitä ei tässä esityksessä tarvita. Todistus löytyy teoksesta [1, s.71 72]. Osoitetaan, että jos piste P C on säännöllinen, niin O P (C) on diskreetti valuaatiorengas. Koska P on säännöllinen, apulauseen 1.16 nojalla m P (C) = 1. Näin ollen voidaan kirjoittaa F = F 1 + F F n, missä F i k[x, Y ] on homogeeninen astetta i (i = 1,..., n), F 1 0. Merkitään L 1 : F 1 = 0. Koska L 1 on pisteeseen P piirretty tangentti, mutta L ei ole, niin suorat L ja L 1 eivät ole samat. Tämän vuoksi voidaan käyttää apulausetta Sen perusteella on olemassa sellainen affiini koordinaattimuunnos T : A 2 A 2, että T (0, 0) = P, T (X) = L ja T (Y ) = L 1, missä X ja Y tarkoittavat suoria X = 0 ja Y = 0. Apulauseesta 3.17 seuraa tällöin, että renkaat O P (C) ja O (0,0) (C T ) ovat isomorfisia. Riittää siis tarkastella tapausta P = (0, 0). Apulauseesta 1.14 seuraa, että suora Y = 0 on käyrän C tangentti pisteessä (0, 0), mutta suora X = 0 ei ole. Apulauseen 3.14 perusteella O (0,0) (C) on lokaali rengas, jonka yksikäsitteinen maksimaalinen ideaali on M (0,0) (C). Apulauseen 3.15 nojalla puolestaan O (0,0) (C) on Noetherin kokonaisalue. Lauseen 3.4 ehtojen toteutumiseksi riittää osoittaa, että M (0,0) (C) on pääideaali. Näytetään, että M (0,0) (C) = (x). Huomataan ensin, että olipa piste (0, 0) säännöllinen tai epäsäännöllinen, niin aina M (0,0) (C) = (x, y). Nimittäin jos z M (0,0) (C), 53

57 niin z = a b, missä a, b k[c], a(0, 0) = 0, b(0, 0) 0. On olemassa sellaiset polynomit A, B k[x, Y ], että a = A + (F ) ja b = B + (F ). Kirjoitetaan A = i,j λ i,j X i Y j, missä λ i,j k. Nyt λ 0,0 = A(0, 0) = a(0, 0) = 0, mikä tarkoittaa, että z on alkioiden x ja y lineaarikombinaatio eli että z (x, y). Koska suora Y = 0 on pisteeseen (0, 0) piirretty tangentti, käyrän C yhtälö voidaan lausua muodossa C : Y + F F n = 0. Koska F on jaoton, jollain luvun i {2,..., n} arvolla muoto F i ei sisällä tekijää Y. Asteeltaan pienin muoto F i, joka voi sisältää tekijänään muuttujan X, on F 2. Näin ollen jollain i {2,..., n} muoto F i sisältää tekijän X 2 (tai korkeamman potenssin). Ottamalla Y yhteiseksi tekijäksi niistä muodoista F i, joissa se esiintyy, käyrän C yhtälö saadaan täten muotoon C : Y G + BX 2 = 0, missä G = 1+ korkeamman asteen termejä k[x, Y ], B k[x]. Asettamalla H = B saadaan yhtälö Y G = HX 2. Tarkastellaan sivuluokkia x = X + (F ), y = Y + (F ) jne. Nyt Koska niin g 1 O (0,0) (C). Tällöin yg = x 2 h k[c]. g(0, 0) = G(0, 0) = 1 0, y = x 2 hg 1 (x), joten (x, y) = (x). Koska siis M P (C) = (x), määritelmän 3.6 mukaan x on renkaan O (0,0) (C) lokaali parametri pisteessä P. Nyt lauseen 3.11 tulos voidaan yleistää myös projektiivisille käyrille: Lause 3.12 Olkoon C projektiivinen tasokäyrä yli kunnan k ja P C. Tällöin O P (C) on diskreetti valuaatiorengas, jos ja vain jos piste P on säännöllinen. 54

58 Todistus. Väite seuraa välittömästi lauseista 2.3 ja 3.11 ja apulauseesta 2.6. Tästä eteenpäin oletetaan, että tarkasteltavat tasokäyrät ovat säännöllisiä, jolloin O P (C) on diskreetti valuaatiorengas. Seuraavasta lauseesta nähdään, että pisteet ja diskreetit valuaatiorenkaat vastaavat toisiaan: Lause 3.13 Olkoon C jaottoman homogeenisen polynomin F k[x, Y, Z] määräämä säännöllinen projektiivinen käyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan k. Olkoon vielä O kunnan k(c) diskreetti valuaatiorengas. On olemassa sellainen yksikäsitteinen piste P C, että O = O P (C). Todistus. Todistetaan ensin pisteen P yksikäsitteisyys. Tehdään vastaoletus, että O = O P (C) = O Q (C), missä P, Q C, P Q. Valitaan f k(c) siten, että f O P (C), f O Q (C), f(p ) = 0 ja f(q) 0. Todetaan, että tällainen f on tosiaan olemassa. Tarkastelun helpottamiseksi huomataan ensinnäkin, että pisteet (1 : 0 : 1) ja (0 : 1 : 1) eivät ole samassa tasossa, joten apulauseen 2.5 perusteella on olemassa sellainen projektiivinen koordinaattimuunnos T : P 2 P 2, että T (P ) = (0 : 1 : 1), T (Q) = (1 : 0 : 1). Apulauseen 3.17 nojalla ja O P (C) = O (0:1:1) (C T ) O Q (C) = O (1:0:1) (C T ) joten voidaan olettaa, että P = (0, 1, 1) ja Q = (1, 0, 1). Yllä mainitut isomorfismit ovat saman isomorfismin ξ : k(c) k(c T ) indusoimia, mistä johtuu, että O (0:1:1) (C T ) = O (1:0:1) (C T ). Nyt löytyy sellaiset a, b k h [C], että f = a/b, f(p ) = 0 ja f(q) 0: valitaan vaikkapa a = X, b = X + Y ja merkitään f = a/b. Tällöin f M P (C), joten ord(f) > 0. Koska f(q) 0, niin 1/f O Q (C), ja ord(1/f) 0. Apulauseen 3.9 a)-kohtaa käyttämällä päädytään ristiriitaan 0 = ord(1) = ord(f 1/f) = ord(f) + ord(1/f) > 0. 55

59 Todistetaan seuraavaksi pisteen P olemassaolo. Voidaan olettaa, että x/z, y/z O. Kuvitellaan, että näin ei olisi. Koska O on diskreetti valuaatiorengas, niin lauseen 3.10 nojalla x/z O tai z/x O. Oletetaan, että vaikkapa x/z O, mutta y/z O. Niinikään lauseen 3.10 perusteella z/y O. Tällöin myös x/y = (x/z)(z/y) O. Siis x/y, z/y O. Käymällä läpi kaikki tapaukset päädytään siihen, että aina x/z, y/z O tai x/y, z/y O tai y/x, z/x O. Tekemällä tarvittaessa koordinaattimuunnos voidaan edellä mainittu oletus siis tehdä. Koska x/z, y/z O, niin k[x/z, y/z] O. Käyrää C vastaavan affiinin tasokäyrän C U 3 koordinaattirengas k[c U 3 ] voidaan samastaa renkaan k[x/z, y/z] kanssa. Siis k[c U 3 ] O. Olkoon M renkaan O maksimaalinen ideaali. Tarkastellaan jäännösluokkia α = x/z + M, β = y/z + M. Koska k = O/M (kts.lause 3.8), niin α, β k. Tämä tarkoittaa, että x/z = x/z + M, y/z = y/z + M. Huomataan, että koska F on homogeeninen, luvussa 1.3 määritelmän 1.12 jäljessä todetun perusteella F (X/Z, Y/Z, 1) = F (X, Y, Z)/Z deg(f ). Nyt koska F (x, y, z) = F + (F ) = 0, niin F (x/z, y/z, 1) = F (x, y, z)/z deg(f ) = 0/z deg(f ) = 0. Siis F (α, β, 1) = 0. Tämä merkitsee, että (α, β, 1) C. Merkitään P = (α, β, 1). Osoitetaan seuraavaksi, että O (α,β) (C U 3 ) O. Oletetaan, että z O (α,β) (C U 3 ). Tällöin on olemassa sellaiset A, B k[c U 3 ], että z = A(x/z, y/z) B(x/z, y/z), missä B(α, β) 0. Koska k[c U 3 ] O, niin A(x/z, y/z), B(x/z, y/z) O. Tästä seuraa, että z O. Havaitaan lopuksi, että käyrän C on säännöllisyydestä seuraa pisteen P C säännöllisyys. Tällöin lauseen 2.6 nojalla myös (α, β) C U 3 on säännöllinen. Käyttämällä lausetta 3.11 nähdään, että O (α,β) (C U 3 ) on diskreetti valuaatiorengas. Lauseen 3.9 mukaan diskreettien valuaatiorenkaiden välillä ei voi olla inkluusioita, joten O = O (α,β) (C U 3 ). Lauseen 2.3 perusteella puolestaan O (α,β) (C U 3 ) = O P (C), 56

60 mikä todistaa väitteen, sillä samastuksen k[c U 3 ] = k[x/z, y/z] perusteella voidaan nyt kirjoittaa pelkän isomorfian sijasta O = O P (C). Lause 3.14 Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan k. Olkoon lisäksi R k(c) sellainen alirengas, että k R k(c), sekä {0} I R renkaan R aito ideaali. On olemassa sellainen piste P C, että I M P (C) ja R O P (C). Todistus. Tarkastellaan kaikkien sellaisten alirenkaiden S k(c) muodostamaa joukkoa F, joille pätee R S ja IS S. Koska joukko IS koostuu kaikista sellaisista äärellisistä summista a v s v, missä a v I, s v S, on helppoa todeta, että IS on renkaan S ideaali. Huomataan ensin, että R F. Oletuksen mukaan nimittäin R k(c) ja I R, joten IR R. Siis F. Todistetaan seuraavaksi, että joukon F jokaisella täydellisesti järjestetyllä osajoukolla on yläraja. Olkoon H F täydellisesti järjestetty osajoukko. Asetetaan T = {S S H}. Todetaan T osajoukon H ylärajaksi osoittamalla, että T F. Ensinnäkin T on kunnan k(c) alirengas ja R T (oletuksen mukaanhan R S kaikilla S H). On vielä näytettävä, että IT T. Mikäli näin ei ole, niin 1 T. Voidaan siis kirjoittaa n a v s v = 1, v=1 missä a v I, s v T. Nyt on olemassa sellaiset joukot S 1,..., S n H, että kukin s i S i (i = 1,..., n). Koska H on täydellisesti järjestetty, löytyy sellainen j = {1,..., n}, että S i S j kaikilla i = 1,..., n. Tällöin s 1,..., s n S j, mikä tarkoittaa, että 1 IS j eli että IS j = S j. Mutta nyt S j F. Siis IT T, joten T F. Koska osajoukolle H löydettiin yläraja, voidaan soveltaa Zornin lemmaa. Sen perusteella F sisältää maksimaalisen alkion, olkoon se O. Koska I {0}, niin O k(c). Osoitetaan, että O on diskreetti valuaatiorengas. Lauseen 3.10 mukaan riittää osoittaa, että kaikilla z k(c) pätee z O tai z 1 O. Mikäli näin ei ole, löytyy sellainen z k(c), että z O ja z 1 O. Koska z O, niin O O[z]. Vastaavasti ehdosta z 1 O seuraa, että O O[z 1 ]. Selvästi O[z] k(c). Alirenkaan O maksimaalisuuden perusteella IO[z] = O[z] ja IO[z 1 ] = O[z 1 ]. Näin ollen on olemassa sellaiset alkiot a 0,..., a n, b 0,..., b m IO, että 1 = a 0 + a 1 z a n z n 57

61 ja 1 = b 0 + b 1 z b m z m. Ilmeisesti n 1 ja m 1. Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että luvut n ja m on valittu pienimmiksi mahdollisiksi ja että m n. Kertomalla edellinen yhtälö termillä 1 b 0 ja jälkimmäinen termillä a n z n saadaan yhtälöt ja (1) 1 b 0 = (1 b 0 )a 0 + (1 b 0 )a 1 z (1 b 0 )a n z n (2) 0 = (b 0 1)a n z n + b 1 a n z n b m a n z n m. Kun lasketaan yhteen nämä yhtälöt, tuloksena on On siis päädytty muotoa (3) 1 = (1 b 0 )a 0 + b (b 1 a n + (1 b 0 )a n 1 )z n 1. (4) 1 = c 0 + c 1 z c n 1 z n 1 olevaan yhtälöön, jossa c i IO (i = 1,..., n 1). Tulos on ristiriidassa sen kanssa, että luku n on pienin mahdollinen. Vastaoletus ei siis pidä paikkansa, joten O on diskreetti valuaatiorengas. Lauseen 3.13 mukaan on olemassa sellainen piste P C, että O = O P (C). Juuri todistetusta seuraa myös, että I M P (C), koska M P (C) on renkaan O P (C) maksimaalinen ideaali. Lauseesta 3.14 seuraa, että rationaalifunktiolla on vähintään yksi napa ja vähintään yksi nollakohta (mikäli kyseessä ei ole vakiofunktio): Lause 3.15 Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan k. Rationaalifunktiolla z k(c), z k, on ainakin yksi nollakohta ja ainakin yksi napa. Todistus. Tarkastellaan rengasta R = k[z] ja sen aitoa ideaalia I = zk[z]. Selvästi k R k(c) ja {0} = I R. Koska C on säännöllinen projektiivinen käyrä, voidaan soveltaa lausetta Sen perusteella on olemassa sellainen piste P C, että I M P (C). Koska z zk[z], niin z M P (C). Tällöin z(p ) = 0. Vastaavasti jossain pisteessä Q C on z 1 (Q) = 0, jolloin z(q) =. 58

62 3.5 Heikko approksimaatiolause Tämän luvun päätulosta, heikkoa approksimaatiolausetta, tarvitaan rationaalifunktion nollakohtien ja napojen lukumäärää koskevissa tarkasteluissa. Lause 3.16 (Heikko approksimaatiolause) Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä yli kunnan k, P 1,..., P n C eri pisteitä, x 1,..., x n k(c) ja r 1,..., r n Z. On olemassa sellainen x k(c), että ord Pi (x x i ) = r i, kun i = 1,..., n. Todistus. Todistus on tekninen, joten jaetaan se osiin selkeyden vuoksi. Askel 1. Osoitetaan, että on olemassa sellainen u k(c), että ja ord P1 (u) > 0 ord Pi (u) < 0, kun i = 2,..., n. Askeleen 1 todistus. Huomataan ensin, että koska C on säännöllinen projektiivinen käyrä, niin lauseen 3.12 perusteella kukin O Pi (C) on diskreetti valuaatiorengas (i = 1,..., n). Käytetään induktiota luvun n suhteen. Perusaskeleessa arvolla n = 2 havaitaan käyttämällä lausetta 3.9, että O P1 (C) O P2 (C) ja O P2 (C) O P1 (C). On siis olemassa alkiot y 1 O P1 (C) \ O P2 (C) ja y 2 O P2 (C) \ O P1 (C). Koska y 1 on määritelty pisteessä P 1 mutta sillä on napa pisteessä P 2, niin ord P1 (y 1 ) 0 ja ord P2 (y 1 ) < 0. Vastaavasti ord P1 (y 2 ) < 0 ja ord P2 (y 2 ) 0. Asetetaan u = y 1 y 2. Apulauseen 3.8 a)-kohdan mukaan ja ord P1 (u) = ord P1 (y 1 ) ord P1 (y 2 ) > 0 ord P2 (u) = ord P2 (y 1 ) ord P2 (y 2 ) < 0. Induktioaskeleessa oletetaan, että askeleen 1 väite on voimassa arvoilla 2,..., n 1 ja osoitetaan, että väite pätee myös arvolla n. Induktio-oletuksen perusteella löytyy sellainen y k(c), että ord P1 (y) > 0 ja ord P2 (y) < 0,..., ord Pn 1 (y) < 0. 59

63 Mikäli ei ole mitään todistettavaa. Jos puolestaan ord Pn (y) < 0, ord Pn (y) 0, edellä sanotun nojalla löytyy sellainen z k(c), että ord P1 (z) > 0 ja ord Pn (z) < 0. Asetetaan u = y + z r. Tässä luku r 1 valitaan siten, että r ord Pi (z) ord Pi (y) kun i = 2,..., n 1. Apulauseen 3.8 b)-kohdasta seuraa, että ord P1 (u) = ord P1 (y + z r ) min{ord P1 (y), r ord P1 (z)} > 0. Arvoilla i = 2,..., n on voimassa aidon kolmioepäyhtälön nojalla ehto ord Pi (u) = min{ord Pi (y), r ord Pi (z)} < 0. Askel 2. Osoitetaan, että on olemassa sellainen w k(c), että ja ord P1 (w 1) > r 1 ord Pi (w) > r i, kun i = 2,..., n. Askeleen 2 todistus. Valitaan u k(c) kuten askeleessa 1. Asetetaan w = (1 + u s ) 1, missä luku s N on valittu (riittävän suureksi) niin, että s ord P1 (u) > r 1 ja kun i = 2,..., n. Nyt s ord Pi (u) > r i, w 1 = u s (1 + u s ) 1. 60

64 Koska ord P1 (1) = 0 ja apulauseen 3.8 a)-kohdan perusteella aidon kolmioepäyhtälön nojalla Täten Lisäksi ord P1 (u s ) = s ord P1 (u) > 0, ord P1 (1 + u s ) = min{ord P1 (1), s ord P1 (u)} = 0. ord P1 (w 1) = s ord P1 (u) ord P1 (1 + u s ) = s ord P1 (u) 0 > r 1. ord Pi (w) = ord Pi (1 + u s ) = min{0, s ord Pi (u)} = s ord Pi (u) > r i, kun i = 2,..., n. Askel 3. Olkoot y 1,..., y n k(c). Osoitetaan, että on olemassa sellainen z k(c), että ord Pi (z y i ) > r i kaikilla i = 1,..., n. Askeleen 3 todistus. Valitaan luku s Z niin, että ord Pi (y j ) > s kaikilla i, j = 1,..., n. Askeleen 2 perusteella on olemassa sellaiset alkiot että ja kun i j. Alkiolla w 1,..., w n k(c), ord Pi (w i 1) > r i s ord Pj (w i ) > r j s, n z = y j w j j=1 on halutut ominaisuudet. Tämän osoittamiseksi kirjoitetaan n z y i = y j w j y i = y i (w i 1) + y j w j. j=1 i j 61

65 Nyt Vastaavasti ord Pi (y i (w i 1)) = ord Pi (y i ) + ord Pi (w i 1) > s + (r i s) = r i. ord Pi (y j w j ) = ord Pi (y j ) + ord Pi (w j ) > s + (r i s) = r i. Apulauseen 3.8 b)-kohdasta nähdään, että ord Pi (z y i ) > r i. Askel 4. Askeleen 3 nojalla on olemassa sellainen z k(c), että ord Pi (z x i ) > r i, kun i = 1,..., n. Valitaan alkiot z i k(c) siten, että ord Pi (z i ) = r i ; asetetaan vaikkapa z i = t r i i, missä t i on diskreetin valuaatiorenkaan O Pi (C) lokaali parametri (i = 1,..., n). Askelta 3 käyttämällä löydetään sellainen z k(c), että kun i = 1,..., n. Koska niin aidon kolmioepäyhtälön nojalla ord Pi (z z i ) > r i, ord Pi (z i ) ord Pi (z z i ), ord Pi (z ) = ord Pi ((z z i ) + z i ) = min{ord Pi (z z i ), ord Pi (z i )} = r i. Asetetaan x = z + z. Koska ord Pi (z x i ) ord Pi (z ), hyödyntämällä jälleen aitoa kolmioepäyhtälöä päädytään tulokseen ord Pi (x x i ) = ord Pi ((z x i ) + z ) = min{ord Pi (z x i ), ord Pi (z )} = r i. Heikkoa approksimaatiolausetta käyttämällä voidaan nyt todistaa, että alkion x k(c) nollakohtien lukumäärä on enintään [k(c) : k(x)]: 62

66 Lause 3.17 Olkoon C säännöllinen projektiivinen käyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan k. Olkoot pisteet P 1,..., P r rationaalifunktion x k(c) nollakohtia. Nyt r ord Pi (x) [k(c) : k(x)]. i=1 Todistus. Käyrän C säännöllisyyden perusteella O Pi (C) on kunnan k(c) diskreetti valuaatiorengas (i = 1,..., r). Koska k on algebrallisesti suljettu, lauseen 3.8 mukaan O Pi (C)/M Pi (C) = k kaikilla i = 1,..., r. Triviaalisti alkio 1 k muodostaa vektoriavaruuden O Pi (C)/M Pi (C) kannan yli kunnan k, kun i = 1,..., r. Heikon approksimaatiolauseen 3.16 nojalla löytyy sellaiset alkiot z 1,..., z r k(c), että kaikilla lukujen arvoilla pätee ja kun i h. Huomataan, että koska i = 1,..., r ord Pi (z i 1) > 0 ord Ph (z i ) ord Ph (x), z i 1 M Pi (C), niin z i = 1 modulo M Pi (C) (i = 1,..., r). Nyt myös alkio z i muodostaa vektoriavaruuden O Pi (C)/M Pi (C) kannan yli kunnan k (i = 1,..., r). Niinikään lauseen 3.16 perusteella jokaista lukua i = 1,..., r kohti löytyy sellainen t i k(c), että ord Pi (t i ) = 1 ja että ord Ph (t i ) = 0, kun i h. Väitetään, että alkiot missä t a i z i, 1 i r, 0 a < ord Pi (x), ovat lineaarisesti riippumattomia yli kunnan k(x). Näitä alkioita on r ord Pi (x) i=1 kappaletta. Tehdään vastaoletus, että alkiot t a i z i ovat lineaarisesti riippuvia yli kunnan k(x). Tällöin on olemassa ei-triviaali lineaarikombinaatio r i=1 ord Pi (x) 1 a=0 63 ϕ ia t a i z i = 0

67 yli kunnan k(x). Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että alkiot ϕ ia k[x] ja että kaikki niistä eivät ole jaollisia alkiolla x. Alkiot ϕ ia ovat siis muotoa ϕ ia = λ ia + g ia x, missä λ ia k, g ia k[x] ja jokin λ ia 0. Äsken tehdyistä oletuksista seuraa, että on olemassa sellaiset indeksit h {1,..., r} ja c {0,..., ord Pk (x) 1}, että kaikilla a < c x jakaa alkion ϕ ha ja että x ei jaa alkiota ϕ hc, ts. λ hc 0. Kertomalla yhtälö termillä t c h saadaan Halutaan osoittaa, että r i=1 r i=1 ord Pi (x) 1 a=0 ord Pi (x) 1 a=0 Tarkastellaan ensin tapausta i h. Tällöin ϕ ia t a i z i = 0 ϕ ia t a i t c h z i = 0. ord Ph (ϕ kc z h ) > 0. ord Ph (ϕ ia t a i t c h z i) = ord Ph (ϕ ia ) + a ord Ph (t i ) c ord Ph (t h ) + ord Ph (z i ) 0 + a 0 c 1 + ord Ph (x) > 0. Oletetaan seuraavaksi, että i = h ja a < c. Koska x ϕ ha, niin ord Ph (ϕ ha ) ord Ph (x). Täten ord Ph (ϕ ha t a c h z h ) ord Ph (x) + a c ord Ph (x) c > 0. Jos puolestaan i = h ja a > c, niin Edellä sanotusta seuraa, että Tämä merkitsee, että ord Ph (ϕ ha t a c h z h ) a c > 0. ord Ph (ϕ hc z h ) > 0. ϕ hc z h M Ph (C). Koska λ hc 0, päädytään ei-triviaaliin lineaarikombinaatioon λ hc z h = 0 64

68 yli kunnan k. Siis alkio z h onkin lineaarisesti riippuva yli kunnan k, mikä on ristiriidassa alkuperäisen oletuksen kanssa. Lausetta 3.17 täsmennetään myöhemmin osoittamalla, että jos x k, niin lauseen 3.17 epäyhtälö onkin yhtälö. Lauseesta 3.17 seuraa välittömästi alla oleva tulos: Lause 3.18 Olkoon C säännöllinen projektiivinen käyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan k. Rationaalifunktiolla 0 x k(c) on vain äärellinen määrä napoja ja nollakohtia. Todistus. Vakiofunktiolla x k ei ole napoja eikä nollakohtia. Jos taas x k, lauseen 3.17 nojalla sen nollakohtien määrä on [k(c) : k(x)]. Samalla tavoin todetaan, että rationaalifunktiolla x 1 on vain äärellinen määrä nollakohtia (jotka siis ovat rationaalifunktion x napoja). 65

69 4 Divisorit 4.1 Yleistietoa divisoreista Tässä luvussa esitellään säännöllisen projektiivisen tasokäyrän divisorit. Tästä eteenpäin ord-funktiolla tarkoitetaan diskreetin valuaatiorenkaan O P (C) määräämää kertalukufunktiota; käyrän C säännöllisyyden perusteellahan O P (C) on diskreetti valuaatiorengas kaikilla P C. Annetaan aluksi joitakin määritelmiä: Määritelmä 4.1 Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä. Käyrän C divisori D on käyrän C pisteiden muodollinen summa D = P C n P P, n p Z, missä n P 0 vain äärelliselle määrälle pisteitä P. Lukua n P kutsutaan pisteen P kertaluvuksi divisorissa D. Käyrän C kaikkien divisorien joukkoa merkitään symbolilla D C. On ilmeistä, että pari (D C, +) muodostaa Abelin ryhmän, kun divisorien yhteenlasku määritellään seuraavasti: m P P + n P P = (m P + n P )P. P C P C P C Laskutoimituksen + assosiatiivisuus ja kommutatiivisuus seuraa tavallisen yhteenlaskun assosiatiivisuudesta ja kommutatiivisuudesta. Neutraalialkio on nolladivisori. Alkion n P P käänteisalkio on n P P. P C P C Määritelmä 4.2 Divisoria D = n P P D C kutsutaan effektiiviseksi divisoriksi, P C jos kaikilla P C pätee n P 0. Jos D = n P P, D = m P P D C ja kaikilla P C pätee n P m P, niin P C P C merkitään D D. Mikäli D on effektiivinen, niin määritelmän 4.2 mukaisesti D 0. Määritelmä 4.3 Divisorin D = n P P D C aste on P C deg(d) = P C n P. Jos D, D D C, niin selvästi deg(d + D ) = deg(d) + deg(d ). 66

70 Määritelmä 4.4 Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä yli kunnan k ja 0 z k(c). Alkion z määräämä divisori on div(z) = P C ord P (z)p. Alkion z nollakohtadivisori on (z) 0 = ord P (z)p ord P (z)>0 ja alkion z napadivisori on (z) = ( ord P (z))p. ord P (z)<0 Selvästi div(z) = (z) 0 (z). Divisorien avulla voidaan siis pitää lukua rationaalifunktion nollakohdista ja navoista. Olkoon z, z k(c), z, z 0. Koska ord P (zz ) = ord P (z) + ord P (z ), niin Lisäksi joten div(zz ) = div(z) + div(z ). ord P (z 1 ) = ord P (z), div(z 1 ) = div(z). Määritelmä 4.5 Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä yli kunnan k. Divisorien D, D D C sanotaan olevan lineaarisesti ekvivalentteja, jos on olemassa sellainen z k(c), että D = D + div(z). Tällöin merkitään D D. Nimensä mukaisesti lineaarinen ekvivalenssi on ekvivalenssirelaatio: Lause 4.1 Määritelmän 4.5 relaatio on ekvivalenssi. 67

71 Todistus. Valitsemalla z = 0 ja D = D huomataan, että on refleksiivinen. Oletetaan, että D D. Määritelmän 4.5 mukaan on olemassa sellainen z 1 k(c), että D = D + div(z 1 ). Koska div(z 1 1 ) = div(z 1 ), asettamalla z 2 = z 1 1 havaitaan, että D = D + div(z 2 ). Näin ollen D D, ja on symmetrinen. Oletetaan lopuksi, että D D ja D D. Käyttämällä jälleen määritelmää 4.5 nähdään, että löytyy sellaiset z 1, z 2 k(c), että ja Koska D = D + div(z 1 ). D = D + div(z 2 ). div(z 1 ) + div(z 2 ) = div(z 1 z 2 ), niin valitsemalla z 3 = z 1 z 2 on löydetty sellainen z 3 k(c), että D = D + div(z 3 ). Siis on myös transitiivinen. Apulause 4.1 Jos D D, niin deg(d) = deg(d ). Todistus. Oletetaan, että D D. Määritelmän 4.5 mukaan on olemassa sellainen z k(c), että D = D + div(z). Siis deg(d D) = P C ord P (z). Lauseessa 4.4 osoitetaan, että rationaalifunktiolla on yhtä paljon napoja ja nollakohtia (kertaluvut huomioon ottaen). Tästä tuloksesta seuraa, että ord P (z) = 0. Täten myös mikä todistaa väitteen. P C deg(d D) = 0, 68

72 4.2 Vektoriavaruus L(D) Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan k ja D = P C n P P D C. Nyt D valikoi äärellisen määrän käyrän C pisteitä ja liittää niistä kuhunkin kokonaisluvun. Tarkastellaan kunnan k(c) rationaalifunktiota, jolla on napoja vain valituissa pisteissä ja jonka navat eivät ole kertaluvultaan lukuja n P pahempia. On kiinnostavaa, montako tällaista rationaalifunktiota löytyy. Annetaan seuraava määritelmä: Määritelmä 4.6 Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan k ja D = P C n P P D C. Määritellään L(D) = {z k(c) P C : ord P (z) n P }. Lause 4.2 L(D) muodostaa vektoriavaruuden yli kunnan k. Todistus. Osoitetaan, että L(D) on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. Olkoon x, y L(D). Koska ord P (x), ord P (y) n P kaikilla P C, niin apulauseen 3.8 b)-kohdan mukaan jokaisella P C pätee myös ord P (x + y) min{ord P (x), ord P (y)} n P. Siis x + y L(D). Jos puolestaan a k, niin apulauseen 3.8 a-kohdan perusteella kaikilla P C on voimassa ord P (ax) = ord P (a) + ord P (x) = 0 + ord P (x) n P. Täten ax L(D). Merkitään lyhyesti l(d) = dim(l(d)). Apulause 4.2 Olkoot U W V sellaisia vektoriavaruuksia, että vektoriavaruus V/U on äärellisulotteinen. Nyt dimv/u = dimv/w + dimw/u. Todistus. Sivuutetaan. Todistus löytyy lineaarialgebran oppikirjasta [8, s.80 81]. 69

73 Apulause 4.3 Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä yli kunnan k ja D, D D C. Jos D D, niin L(D) L(D ) ja dim k (L(D )/L(D)) deg(d D). Todistus. Ensimmäinen väite seuraa suoraan määritelmästä 4.6. Jälkimmäisen väitteen todistamiseksi merkitään D 0 = D, sekä Tarkastellaan kuvauksia D i = D + P P i (i = 1,..., n) D = D n. ϕ i : L(D i ) k, ϕ(f) = (t r+1 f)(p i ), missä t on diskreetin valuaatiorenkaan O Pi (C) lokaali parametri ja r pisteen P i kertaluku divisorissa D i 1 (i = 1,..., n). Ensinnäkin ϕ i on hyvinmääritelty. Määritelmän 4.6 mukaan näet kaikilla f L(D i ) pätee joten apulauseen 3.8 a)-kohtaa käyttämällä ord Pi (f) r 1, ord Pi (t r+1 f) = ord Pi (t r+1 ) + ord Pi (f) = (r + 1) + ord Pi (f) (r + 1) (r + 1) = 0. Lisäksi kukin ϕ i on lineaarikuvaus (i = 1,..., n), koska kaikilla g, h L(D i ), a, b k pätee ϕ i (ag + bh) = (t r+1 (ag + bh))(p i ) = (t r+1 ag)(p i ) + (t r+1 bh)(p i ) = aϕ i (g) + bϕ i (h). Näytetään, että lineaarikuvauksen ϕ i ydin Ker(ϕ) = L(D i 1 ). Jos f ker(ϕ i ), niin (t r+1 f)(p i ) = 0. Tällöin t r+1 f M Pi (C) eli Koska apulauseen 3.8 a-kohdan nojalla ord Pi (t r+1 f) > 0. ord Pi (t r+1 f) = ord Pi (t r+1 ) + ord Pi (f), 70

74 niin äsken sanottu tarkoittaa, että ord Pi (f) > ord Pi (t r+1 ). Toisin sanoen siis Tämä on sama asia kuin ord Pi (f) > (r + 1). ord Pi (f) r, joten määritelmän 4.6 perusteella f L(D i 1 ). Täten ker(ϕ i ) L(D i 1 ). Suunta osoitetaan vastaavasti. Viimeksi todistetusta ja homomorfialauseesta seuraa, että ϕ i (i = 1,..., n) indusoi isomorfismin ϕ i : L(D i )/L(D i 1 ) Im(ϕ i ). Isomorfian perusteella Nyt Im(ϕ i ) k ja dim(k) = 1, joten dim(l(d i )/L(D i 1 )) = dim(im(ϕ i )). dim(l(d i )/L(D i 1 )) 1, (i = 1,..., n). Koska kaikilla i = 1,..., n 1 on L(D i 1 ) L(D i ) L(D i+1 ), niin apulauseen 4.2 nojalla dim(l(d i+1 )/L(D i 1 )) = dim(l(d i+1 )/L(D i )) + dim(l(d i )/L(D i 1 )). Tästä seuraa, että n dim(l(d )/L(D)) = dim(l(d i )/L(D i 1 )). i=1 Koska jokainen yhteenlaskettavista on 1 = deg(d i ) deg(d i 1 ) (i = 1,..., n), niin kaikkiaan dim(l(d )/L(D)) deg(d D). Tutkitaan seuraavaksi tarkemmin vektoriavaruuden L(D) dimensiota l(d). Apulause 4.4 Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä yli kunnan k ja D D C. Nyt L(D) 0, jos ja vain jos on olemassa sellainen divisori D D C, että D D ja D 0. 71

75 Todistus. Olkoon L(D) 0. Määritelmän 4.6 perusteella löytyy sellainen 0 f k(c), että div(f) D. Merkitään D = D +div(f). Nyt D 0 ja määritelmän 4.5 mukaan D D. Oletetaan kääntäen, että on olemassa sellainen D D C, että D D, D 0. Tällöin D = D+div(f) jollain f k(c). Koska D 0, niin div(f) D. Huomataan, että f L(D), joten L(D) 0. Apulause 4.5 Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä ja D D C. Jos deg(d) < 0, niin L(D) = {0}. Todistus. Olkoon deg(d) < 0. Tehdään vastaoletus, että L(D) {0}. Apulauseen 4.4 perusteella on nyt olemassa sellainen D D C, että D D ja D 0. Merkitään D = P C n P P. Koska D on effektiivinen, niin n P 0 kaikilla P C. Siis deg(d ) = P C n P 0. Tämä on mahdotonta, koska apulauseen 4.1 nojalla deg(d) = deg(d ). Apulause 4.6 Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan k ja D D C. Vektoriavaruus L(D) on aina äärellisulotteinen. Jos deg(d) 0, niin l(d) deg(d) + 1. Todistus. Mikäli deg(d) < 0, niin apulauseen 4.5 mukaan L(D) = {0}, ja asia on selvä. Oletetaan, että deg(d) = n 0. Olkoon lisäksi D = D (n + 1)P, missä P C. Nyt deg(d ) = 1 < 0, jolloin apulauseen 4.5 perusteella L(D ) = {0}. Koska D D, niin apulauseen 4.3 nojalla Äsken todettiin, että L(D ) = {0}, joten dim(l(d)/l(d ) deg(d D ) = n + 1. l(d) = dim(l(d)/{0}) = dim(l(d)/l(d )) n + 1. Näin ollen L(D) on äärellisulotteinen. 72

76 Apulause 4.7 Jos D D, niin l(d) = l(d ). Todistus. Olkoon D D. Jos D = D, ei ole mitään todistettavaa. Oletetaan, että D D. Määritelmän 4.5 mukaan on olemassa sellainen 0 g k(c), että Osoitetaan, että kuvaus D = D + div(g). ψ : L(D) L(D ), ψ(f) = fg, on (vektoriavaruuksien välinen) isomorfismi. Huomataan ensinnäkin, että ψ on todella kuvaus L(D) L(D ). Jos nimittäin f L(D), niin määritelmän 4.6 perusteella Tämä tarkoittaa samaa kuin se, että div(f) D. div(f) D div(g). Sama asia voidaan edelleen ilmaista muodossa Mutta nyt div(f) + div(g) D. div(f) + div(g) = div(fg), mikä osoittaa, että fg L(D ). Toiseksi ψ on homomorfismi, koska kaikilla f 1, f 2 L(D) pätee ψ(f 1 + f 2 ) = (f 1 + f 2 )g = f 1 g + f 2 g = ψ(f 1 ) + ψ(f 2 ). Lisäksi ψ on bijektio. Nimittäin koska g 0, kuvauksella ψ on käänteiskuvaus ϕ = ψ 1, ϕ : L(D ) L(D), ϕ(h) = hg 1. Koska yllä sanotun nojalla L(D) = L(D ), niin isomorfian perusteella l(d) = l(d ). Seuraava lause tarkentaa lausetta 3.17: 73

77 Lause 4.3 Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan k, x k(c), x k sekä n = [k(c) : k(x)]. 1) (x) 0 on astetta n oleva effektiivinen divisori. 2) On olemassa sellainen vakio τ, että kaikilla luvuilla r pätee l(r(x) 0 ) rn τ. Todistus. Olkoon Z = (x) 0 = P C n P P ja m = deg(z). Koska x k, niin x on transkendenttinen yli kunnan k. Lauseesta 3.17 seuraa, että m n. Todistetaan seuraavaksi kohta (2). Koska k(x) = k(x 1 ) on kokonaisalueen k[x 1 ] osamääräkunta ja apulauseen 3.11 perusteella k(c) on kunnan k(x) äärellinen laajennus, niin apulauseen 1.4 b)-kohdan nojalla on olemassa sellainen vektoriavaruuden k(c) kanta {w 1,..., w n } yli kunnan k(x), että jokainen w i on kokonainen yli kokonaisalueen k[x 1 ] (i = 1,..., n). Määritelmän 1.3 mukaan kukin w i (i = 1,..., n) toteuttaa yhtälön w n i i + a i1 w n i 1 i a in = 0, missä a ij k[x 1 ]. Osoitetaan, että löytyy sellainen t > 0, että kun i = 1,..., n. Merkitään div(w i ) + tz 0, S = {P C n P > 0}. Jos P S, niin n P > 0, jolloin vaaditun luvun t > 0 olemassaolo on selvää. Tutkitaan vielä tapaus P S. Tällöin n P = 0. Mikäli div(w i ) 0, ei ole mitään todistettavaa. Muussa tapauksessa jollain P C, P S pätee ord P (w i ) < 0. Apulauseen 3.8 a)- kohtaa käyttämällä huomataan, että joten kaikilla j = 1,..., n 1 on ord P (w n i i ) = n i ord P (w i ) < 0, ord P (w n i j i ) = (n i j)ord P (w i ) > ord P (w n i i ). Lisäksi havaitaan, että koska a ij k[x 1 ] ja P S, niin ord P (a ij ) 0. Näistä seikoista ja apulauseen 3.8 a)-kohdasta seuraa, että ord P (a ij w n i j i ) = ord P (a ij ) + (n i j)ord P (w i ) > ord P (w n i i ). 74

78 Soveltamalla apulausetta 3.9 yllä saatuun epäyhtälöön nähdään, että w n i i + a i1 w n i 1 i a in 0. Tämä on oletuksen vastaista. Täten kaikilla P S pätee ord P (w i ) 0. Tarkastellaan seuraavaksi joukkoa Edellä sanotun nojalla kaikilla on voimassa T = {w i x j i = 1,..., n, j = 0,..., r}. i = 1,..., n, j = 0,..., r ord P (w i x j ) (t + j)n P, joter kaikilla i = 1,..., n, j = 0,..., r pätee w i x j L((r + t)z). Koska alkiot w 1,..., w n ovat lineaarisesti riippumattomia yli kunnan k(x) ja alkiot 1, x 1,..., x r puolestaan lineaarisesti riippumattomia yli kunnan k, niin T on lineaarisesti riippumaton yli kunnan k. Joukossa T on n(r + 1) alkiota. Näin ollen l((r + t)z) n(r + 1). Käyttämällä apulausetta 4.2 vektoriavaruuksiin saadaan eli {0} L(rZ) L((r + t)z) dim(l(r + t)z)/{0} = dim(l((r + t)z)/l(rz) + dim(l(rz)/{0})) Apulauseen 4.6 perusteella taas dim(l((r + t)z)/l(rz)) = l((r + t)z) l(rz). dim(l((r + t)z)/l(rz)) deg((r + t)z rz) = deg(tz) = tm. Täten l(rz) l((r + t)z) tm ja aiemmin sanotun mukaisesti edelleen l(rz) n(r + 1) tm. Merkitään τ = tm n. Niinikään apulauseen 4.6 nojalla l(rz) rm

79 Kaikkiaan siis rn τ l(rz) rm + 1. Jakamalla viimeksi esitetty epäyhtälö luvulla r päädytään epäyhtälöön n τ r 1 r l(rz) m + 1 r Koska τ lim r r = lim 1 r r = 0, tästä nähdään, että n m. Siis n = m, ja näin kohta (1) tulee todistettua. Lause 4.4 Olkoon C säännöllinen projektiivinen tasokäyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan k. Rationaalifunktiolla x k(c) on yhtä paljon napoja kuin nollakohtia. Todistus. Vakiofunktiolla x k ei ole napoja eikä nollakohtia. Oletetaan, että x k. Lauseessa 4.3 osoitettiin, että deg(x) 0 = [k(c) : k(x)]. Koska (x) = (x 1 ) 0 ja k(x) = k(x 1 ), niin deg(x) = deg(x 1 ) 0 = [k(c) : k(x 1 )] = [k(c) : k(x)]. Apulause 4.8 Jos D D, niin l(d ) l(d) + deg(d D). Todistus. Koska D D, niin apulauseen 4.3 alkuosan perusteella L(D) L(D ). Tällöin apulauseen 4.2 nojalla l(d ) = dim(l(d )/L(D)) + l(d). Käyttämällä apulauseen 4.3 loppuosaa nähdään, että Näistä seikoista seuraa, että dim(l(d )/L(D)) deg(d D). l(d ) deg(d D) + l(d). 76

80 4.3 Riemannin lause On luonnollista päätellä, että jos divisori D D C on suuri, myös sitä vastaavan vektoriavaruuden L(D) tulee olla riittävän suuri. Tämän päättelyn vahvistaa seuraava lause: Lause 4.5 (Riemann) Olkoon C säännöllinen projektiivinen käyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan k. On olemassa sellainen vakio g N, että l(d) deg(d) + 1 g kaikilla D D C. Todistus Olkoon D = P C m P P D C. Merkitään S(D) = deg(d) + 1 l(d). Pyritään löytämään sellainen luku g N, että g S(D). (1) Koska S(0) = deg(0) + 1 l(0) = = 0, niin g 0, jos tällainen g on olemassa. (2) Mikäli D D, niin apulauseiden 4.1 ja 4.7 perusteella S(D) = S(D ). (3) Jos D D, niin apulauseen 4.8 nojalla S(D) S(D ). Oletetaan, että x k(c), x k. Merkitään Z = (x) 0 = n P P. Olkoon τ pienin kokonaisluku, joka toteuttaa lauseen 4.3 ehdot. Kaikilla luvun r arvoilla pätee S(rZ) τ + 1. Koska rz (r + 1)Z, niin kohdan (3) perusteella S(rZ) S((r + 1)Z). Kaksi viimeksi mainittua seikkaa johtavat siihen, että kaikilla suurilla luvun r > 0 arvoilla pätee S(rZ) = τ +1. Jos näet näin ei tapahtuisi, niin olisi S(rZ) = τ +1, missä τ < τ. Tällöin lauseen 4.3 merkinnöin l(rz) = deg(rz) + 1 S(rZ) = r deg(z) τ, mikä tarkoittaisi, että τ = τ. Asetetaan g = τ +1. Kohtien (2) ja (3) perusteella riittää osoittaa, että on olemassa sellaiset D = P C m P P D C ja r N, että D D ja että D rz. ja Yllä sanottu tarkoittaa, että pitää löytää sellainen f k(c), jolle pätee kaikilla P C. Merkitään y = x 1 ja D = D div(f) m P ord P (f) rn P T = {P C : m P > 0, ord P (y) 0}. 77

81 Todetaan, että rationaalifunktio f = (y y(p )) m P k(c) P T täyttää vaaditut ehdot. Tarkastellaan ensin tapausta ord P (y) 0. Kirjoitetaan apulauseen 3.8 a)-kohdan avulla ord Pi (f) = m Pi ord Pi (y y(p i )) + Σ i j m Pj ord Pi (y y(p j )). Rationaalifunktiolla y y(p i ) on nollakohta pisteessä P i, joten ord Pi (y y(p i )) 1. Koska y(p j ) k, niin Tilanne ord Pi (y(p j )) = 0. ord Pi (y) = ord Pi (y(p j )) = 0 on mahdoton, koska tällöin olisi y k ja näin ollen myös x k, mikä on oletuksen vastaista. Siis ord Pi (y) > 0, jolloin aitoa kolmioepäyhtälöä käyttämällä nähdään, että kun i j. Yllä esitetystä seuraa, että ord Pi (y y(p j )) = 0, m P ord P (f) 0. Jos puolestaan ord P (y) < 0, niin n P > 0. Tällöin ehto m P ord P (f) rn P toteutuu, kun luku r valitaan riittävän suureksi. Määritelmä 4.7 Pienintä lauseen 4.5 ehdot toteuttavaa lukua kutsutaan säännöllisen projektiivisen käyrän C genukseksi. 78

82 Viitteet [1] W. Fulton: Algebraic Curves, Addison-Wesley, [2] H. Stichtenoth: Algebraic Function Fields and Codes, Springer-Verlag, [3] R. J. Walker: Algebraic Curves, Springer-Verlag, [4] S. Lang: Algebra, Addison-Wesley, [5] A. I. Kostrikin, I. R. Shafarevich: Algebra I: Basic Notions of Algebra, Springer- Verlag, [6] M. Artin: Algebra, Upper Saddle River (N.J.) : Prentice Hall, cop [7] J. Rotman: Advanced Modern Algebra, Pearson Education, Inc., [8] B. Huppert, W. Willems: Lineare Algebra, Teubner, [9] L. C. Washington: Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Chapman and Hall, [10] A. Menezes, Y. Wu, R. Zuccherato: An elementary introduction to hyperelliptic curves, [11] E. Hyry: Koodausteoria ja algebralliset käyrät [12] K. Väänänen: Lukuteoria-luentorunko, Oulun yliopisto. [13] M. Viikinkoski: Johdatus algebrallisiin käyriin [14] A. Petrov: Algebraic Geometry Notes, Lecture 1: The Beginning apetrov/docs/alggeo/lecture1.pdf 79