802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho
|
|
- Anton Myllymäki
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 27. helmikuuta 2013
2 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Merkintöjä 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 5 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat 10 7 Eräs kongruenssiryhmä 10 8 Kiinalainen jäännöslause 11 9 Tuloksia ryhmistä Syklisten ryhmien perusteita Sovelluksia ja esimerkkejä Nopeaa potenssilaskentaa Diskreetti logaritmi kertolaskuryhmässä Hieman polynomialgebraa Primitiivijuuret Ryhmät Z n Sovelluksia ja esimerkkejä Polynomiyhtälöitä Neliöjäännökset Yhtälö x 2 = a syklisessä ryhmässä
3 12.2 Legendren symboli Gaussin Lemma Jacobin symboli Sovelluksia Deterministisiä alkulukutestejä Ei-polynomiaikaisia Mersennen ja Fermat n luvut Polynomiaikainen/AKS/Kokeeseen vain Lemma 13.7 todistuksineen Pseudoalkuluvut, Alkulukutestejä Fermat n pseudoalkuluvut Probabilistinen-testi 1/EI kokeeseen Carmichaelin luvut Eulerin pseudoalkuluvut Soloway-Srassenin alkulukutesti/ei kokeeseen Vahvat pseudoalkuluvut Miller-Rabinin alkulukutesti/ei kokeeseen
4 LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES 3
5 1 Johdanto S LUKUTEORIA A (5op) Luennoilla perehdymme aluksi äärellisten syklisten ryhmien rakenteeseen, jolloin tarkasteluun otetaan generaattoreiden ja kertalukujen perusteet. Sovelluksena todistetaan kertolaskuryhmien (mod n), primitiivijuurien (generaattoreiden) olemmassaolotulokset. Neliöjäännöksien kautta saavutaan Legendren ja Jacobin symbolien perusteisiin sekä Gaussin lemman ja Resiprookkilauseen todistuksiin. Edelleen tarkastellaan Pseudoalkulukuja, Carmichaelin lukuja, alkulukutestejä ja tekijäalgoritmeja. Kurssin materiaali on klassista puhdasta matematiikkaa, joka antaa työkaluja modernin Kryptografian alkeille. LÄHTEITÄ: T.M. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory. G.H. Hardy & E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Kenneth H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Number Theory Web American Mathematical Monthly Voit ilmoittaa löytämäsi painovirheet ja muut töpeksinnät osoitteeseen: etunimi.sukunimi@oulu.fi Tapani Matala-aho 4
6 2 Merkintöjä Olkoot a, b lukuja sekä A, J lukujoukkoja: aj + b = {aj + b j J} a J = {a j j J} A J = {a j a A, j J} Olkoon A = {a 1,..., a m }, tällöin f(a) = f(a 1 ) f(a m ), a A f(a) = f(a 1 ) f(a m ). a A Jos A =, niin f(a) = 0, f(a) = 1 a A a A (tyhjä summa ja tulo). Edelleen "Summaus n. tekijöiden yli" f(d) = f(d 1 ) f(d k ), d n missä d i Z + ovat n:n erilliset tekijät. "Summaus n. alkutekijöiden yli" f(p) = f(p). p n p n,p P "Tulo n. alkutekijöiden yli" f(p) = f(p). p n p n,p P 5
7 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia Lause 3.1. Olkoot a, b Z annettu. Tällöin on olemassa sellaiset s, t Z, että syt(a, b) = sa + tb. (3.1) Seuraus 1. Olkoot a, b, c Z. Tällöin, jos a bc ja a c, (3.2) niin a b. (3.3) Seuraus 2. Olkoot a, b, c Z. Tällöin, jos a c ja b c ja a b, (3.4) niin ab c. (3.5) Seuraus 3. Olkoot a, b Z ja p P. Tällöin, jos p ab, (3.6) niin p a tai p b. (3.7) Seuraus 4. Olkoot a Z, p P ja k, n Z +. Tällöin p a n p a p n a n ; (3.8) Seuraus 5. Olkoot a, b Z +, tällöin p k a n p a n. (3.9) ab = syt(a, b)pyj(a, b) = (a, b)[a, b]. (3.10) 6
8 Lemma 3.1. Olkoot a Z, a 2. Tällöin syt(a n 1, a m 1) = a syt(n,m) 1; (3.11) aina, kun k, m, n Z +. a n 1 a kn 1; (3.12) 4 Renkaan yksikköryhmä Lause 4.1. Olkoon R ykkösellinen rengas. Joukko R = {u R v R : uv = vu = 1} (4.1) on ryhmä kertolaskun suhteen. Todistus. Määritelmä 4.1. Olkoon R ykkösellinen rengas. Joukko R on renkaan R yksikköryhmä. Esimerkki 1. Jos R = K-kunta, niin K = K {0}. (4.2) Z = {±1}. (4.3) Lause 4.2. Joukko {a Z n a n} on renkaan Z n yksikköryhmä eli Z n = {a Z n a n}. (4.4) 7
9 Erityisesti, jos p P, niin Z p on kunta ja Z p = {a Z p a p} = {1, 2,..., p 1}. (4.5) Määritelmä 4.2. Olkoon n 2. Jos a n, niin a on alkuluokka (mod n) ja Z n = {a Z n a n} on renkaan Z n kertolaskuryhmä (multiplication group of the ring). 5 Eulerin funktio Määritelmä 5.1. Eulerin funktio φ : Z + Z + saadaan asettamalla φ(n) = #{k Z + 1 k n, k n} (5.1) aina, kun n Z +. Siten, ryhmän Z n kertaluku (order) on #Z n = φ(n), n Z 2. (5.2) Lause 5.1. φ(mn) = φ(m)φ(n), M N. (5.3) Eli φ on multiplikatiivinen ja koska ( φ(p m ) = p m 1 1 ), p P, m Z +, (5.4) p niin saadaan Lause 5.2. Olkoon n = p a p a k φ(n) = p a p a k k k, p i P. Tällöin ) ) (1 1p1... (1 1pk (5.5) eli φ(n) = n p n ( 1 1 ). (5.6) p 8
10 Lause 5.3. φ(d) = n. n Z +. (5.7) d n Tod: Merkitään F (n) = d n φ(d). Aluksi saadaan F (1) = 1. (5.8) Olkoon p k P Z+. Lasketaan F (p k ) = d p k φ(d) = φ(d) = (5.9) d=p m,0 m k φ(1) + φ(p) + φ(p 2 ) φ(p k ) = 1 + p 1 + p 2 p p k 1 p k 2 + p k p k 1 = p k. (5.10) Eli F (p k ) = p k. (5.11) Olkoon seuraavaksi n m. Määrätään F (nm) = φ(d) = d nm φ(d 1 d 2 ), d 1 n, d 2 m (5.12) d 1 d 2 nm Toisaalta F (n)f (m) = d 1 n φ(d 1 ) d 2 m φ(d 2 ) = d 1 d 2,d 1 n,d 2 m φ(d 1 )φ(d 2 ) 5.3 = (5.13) 9
11 Siten Vielä d 1 d 2 nm φ(d 1 d 2 ). (5.14) F (nm) = F (n)f (m) n m. (5.15) F (n) = F (p k 1 1 p kr r ) = F (p k 1 1 ) F (p kr r ) = p k 1 1 p kr r = n. (5.16) Lause 5.4. Keskimäärin: n φ(k) = 3 π 2 n2 + O(n log n) k=1 φ(n) = 6 π 2 n = 0, 6079 n, π 2 = 9, Esimerkki 2. φ(2 m ) = 2 m 1, n 1 = 2 m φ(n 1 ) = n 1 2 φ(p) = p 1 φ(n 2 ) = n 2 1 φ(2 a 1 3 a 2 ) = 2 a 1 3 a φ(n) = n 3 φ(7 a 1 11 a 2 }{{}) = n = n n φ( ) = n = n
12 6 Euler-Fermat Lause 6.1. EULER-FERMAT: Olkoot a Z, n Z 2 annettu ja a n. Tällöin a φ(n) 1 (mod n). (6.1) Lause 6.2. FERMAT N PIKKULAUSE: Olkoon p P annettu. Tällöin a p 1 1 (mod p), jos p a Z; (6.2) a p a (mod p), a Z. (6.3) Olettaen (6.2) todistetaan (6.3): Jos syt(a, p) = 1, niin Pikku Fermat n (6.2) nojalla a p a (mod p). (6.4) Jos p a, niin a 0 (mod p) a p 0 (mod p) (6.5) a p a (mod p). (6.6) 7 Eräs kongruenssiryhmä Lause 7.1. A) Olkoot p, q P ja p = q. Tällöin yhtälöistä a b (mod p) a b (mod q) (7.1) seuraa a b (mod pq). (7.2) 11
13 B) Olkoot m i Z ja m i m j kaikilla i = j. Tällöin yhtälöistä a b (mod m i ) i = 1,..., r (7.3) seuraa a b (mod m 1 m r ). (7.4) Todistus. A) kohta: Oletuksista (7.1) seuraa p a b, q a b. (7.5) Koska p q, niin Seurauksen 2 nojalla pq a b a b (mod pq). (7.6) B) kohta induktiolla. 8 Kiinalainen jäännöslause Lause 8.1. KIINALAINEN JÄÄNNÖSLAUSE. Olkoot m 1,..., m r Z + pareittain keskenään jaottomia ja olkoot a 1,..., a r Z annettu. Tällöin yhtälöryhmän x a 1 (mod m 1 ),. (8.1) x a r (mod m r ) ratkaisut ovat x = x 0 + l M, l Z, M = m 1... m r = m k M k, (8.2) missä x 0 = n 1 M 1 a n r M r a r, (8.3) 12
14 n k M k 1 (mod m k ). (8.4) Tod: Aluksi huomataan, että M k m k, (8.5) sillä, jos olisi 1 < d = (M k, m k ) p P : p d (8.6) p m k, p M k = i =k m i p m i, i = k (8.7) p (m k, m i ) Ristiriita. (8.8) Niinpä M k Z m k (M k ) 1 := n k Z m k (8.9) n k M k = 1 Z m k (8.10) Seuraavaksi huomataan, että n k M k 1 (mod m k ). (8.11) M j = i =j m i 0 (mod m k ) j = k, (8.12) joten laskemalla saadaan x 0 = n 1 M 1 a n r M r a r (8.13) n k M k a k 1 a k = a k (mod m k ) k = 1,..., r (8.14) 13
15 ja siten x 0 on eräs ratkaisu. Olkoon x ratkaisu, tällöin x x 0 0 (mod m k ) k = 1,..., r. (8.15) Koska m i m j i = j, niin Lauseen 7.1 kohdan B) nojalla x x 0 0 (mod m 1 m r ) (8.16) eli x x 0 (mod M). (8.17) Yleistetään Kiinalainen jäännöslause 8.1. Lause 8.2. Olkoot m 1,..., m r Z + pareittain keskenään jaottomia ja olkoot c 1,..., c r, b 1,..., b r Z annettu sekä b 1 m 1,..., b r m r. Tällöin yhtälöryhmällä b 1 x c 1 (mod m 1 ),. (8.18) b r x c r (mod m r ) on ratkaisu (mod M = m 1... m r ). Huomaa, että bx c (mod m), b m, (8.19) bx = c, b Z m (8.20) x = (b) 1 c = a x a (mod m). (8.21) Siten todistus palautuu aikaisempaan Kiinalaisen jäännöslauseen todistukseen. Esimerkki 3. 5n 3 + 7n 5 0 (mod 12) n Z. (8.22) 14
16 9 Tuloksia ryhmistä Merkintää D H käytetään, kun ryhmä D on ryhmän H aliryhmä. Lemma 9.1. Aliryhmäkriteeri I. Olkoon H ryhmä. Jos, ryhmän H osajoukko D = toteuttaa ehdon: a, b D ab 1 D, niin D on H:n aliryhmä. Lemma 9.2. Aliryhmäkriteeri II. Olkoon H äärellinen ryhmä. Jos, ryhmän H osajoukko D = toteuttaa ehdon: a, b D ab D, niin D on H:n aliryhmä. Olkoon A H. Joukkoa A = D A D H sanotaan joukon A generoimaksi aliryhmäksi. Käytetään myös merkintää a, b,..., c = {a, b,..., c}. Erityisesti a = {a k k Z} = a Z. Jos H on Abelin ryhmä, niin a, b = {a k b l k, l Z} = a Z b Z. 15
17 9.1 Syklisten ryhmien perusteita Lause 9.1. Olkoon (H, ) kertolaskuryhmä ryhmä, e = 1, α H. Ryhmän H osajoukko α = α Z = {α k k Z} H (9.1) on H:n aliryhmä. Todistus. Määritelmä 9.1. Aliryhmä α = {α k k Z} on α:n generoima syklinen aliryhmä. Jos H = α, niin H on syklinen ryhmä ja α on H:n generaattori. Määritelmä 9.2. Ryhmän H kertaluku = #H ja alkion α kertaluku eli ord α = # α. (9.2) Lause 9.2. Lagrangen lause. Olkoot #D = d, #H = h <. Tällöin Lause 9.3. Olkoon #H = h < ja α H. Tällöin D H d h. (9.3) ord α h. (9.4) Todistus: Lause 9.4. Olkoon H äärellinen ryhmä ja h = #H, tällöin a h = 1 a H. (9.5) Todistus: Olkoon x H, jolloin asetetaan B = {x, x 2, x 3,..., x h+1 }. Selvästi B H,, joten on olemassa sellaiset eksponentit 1 l < k h + 1, (9.6) 16
18 että x k = x l x k l = 1, 1 k l h. (9.7) Olkoon 1 d h pienin potenssi, jolla x d = 1.. Siten #B = d ja lisäksi B on H:n aliryhmä, joten Lagrangen lauseella saadaan d h x h = 1, x H. (9.8) Seuraus 6. Olkoon n Z +, jolloin Z n on ryhmä ja #Z n = φ(n). Siten a φ(n) = 1 a n, (9.9) josta edelleen saadaan Euler-Fermat n lause a φ(n) 1 (mod n) a n. (9.10) Erikoistapauksena, jos p P, niin Z p on ryhmä ja #Z p = p 1. Siten a p 1 = 1 a p, (9.11) josta edelleen saadaan Fermat n pieni lause a p 1 1 (mod p) a p. (9.12) Lause 9.5. A. Jos ord α = n Z +, niin α = {1, α, α 2,..., α n 1 } ja α n = 1, (9.13) missä n Z + on pienin eksponentti k Z +, jolla α k = 1. B. Vice Versa. Todistus A. Koska # α = n, niin β n = 1 β α. (9.14) Erityisesti α n = 1. Valitaan β = α i α, i Z. (9.15) 17
19 Jakoalgoritmin nojalla i = qn + r, 0 r n 1, (9.16) joten Täten Jos olisi niin ja β = α i = (α n ) q α r = α r 0 r n 1. (9.17) α = {1, α, α 2,..., α n 1 }. (9.18) α j = 1, 1 j n 1, (9.19) α = {1, α, α 2,..., α j 1 } (9.20) # α n 1. Ristiriita. (9.21) B. kohta laskareissa. Lause 9.6. Olkoon α H, m Z +. Tällöin Esimerkki 4. Määrätään ryhmän α m = 1 ord α m. (9.22) H = Z 7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, #H = 6 = φ(7). (9.23) aliryhmät ja sykliset aliryhmät. α 6 = 1, α Z 7 (9.24) mutta 1 1 = 1, 2 3 = 1, 3 6 = 1, 4 3 = 1, 5 6 = 1, 6 2 = 1. (9.25) 18
20 1 = {1}, 2 = 4 = {2, 4, 1}, 6 = {1, 6}, (9.26) Täten 3 ja 5 ovat Z 7:n generaattorit. 3 = 5 = {3, 2, 6, 4, 5, 1} = Z 7. (9.27) ord 1 = 1, ord 2 = ord 4 = 3, ord 3 = ord 5 = 6, Esimerkki 5. Määrätään ryhmän ord 6 = 2, d = 1, 2, 3, 6 6 = h. (9.28) H = Z 8 = {1, 3, 5, 7}, #H = 4 = φ(8). (9.29) aliryhmät ja sykliset aliryhmät. α 4 = 1, α Z 8 (9.30) mutta 1 1 = 1, 3 2 = 1, 5 2 = 1, 7 2 = 1. (9.31) 1 = {1}, 3 = {1, 3}, 5 = {1, 5}, (9.32) 7 = {1, 7}. (9.33) Täten ryhmällä Z 8 ei ole generaattoria ja siten se ei ole syklinen. ord 1 = 1, ord 3 = ord 5 = ord 7 = 2. (9.34) 19
21 Esimerkki 6. H = Z 15 = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}. (9.35) 4 = {1, 4}, 14 = {1, 14}. (9.36) 4, 14 = {1, 4, 14, 11}, (9.37) joka ei ole syklinen ja siten Z 15 ei ole syklinen. Lause 9.7. Olkoon H Abelin ryhmä ja olkoot α 1, α 2 H. Jos ord α 1 = e 1, ord α 2 = e 2, e 1 e 2, (9.38) niin ts. ord (α 1 α 2 ) = e 1 e 2. (9.39) # α 1 = e 1, # α 2 = e 2, e 1 e 2 (9.40) # α 1 α 2 = e 1 e 2. (9.41) Todistus. 1) Aluksi (α 1 α 2 ) e 1e 2 = 1. (9.42) 2) Olkoon d Z + pienin potenssi, jolle pätee (α 1 α 2 ) d = 1 (9.43) Siten (α 1 α 2 ) de 1 = 1 (α 1 e 1 ) d α 2 de 1 = α 2 de 1 = 1. (9.44) Jakoalgoritmin nojalla saadaan de 1 = m e 2 + r 2, 0 r 2 < e 2, (9.45) 20
22 jolloin α 2 de 1 = α m e 2 2 α r 2 2 = 1 α 2 r 2 = 1. (9.46) Mutta e 2 on pienin positiivinen tällainen potenssi, joten r 2 = 0 e 2 de 1 (9.47) Koska e 1 e 2, niin e 2 d. Vastaavasti e 1 d. Siten e 1 e 2 d e 1 e 2 = d. (9.48) Yhdistämällä 1) + 2) # α 1 α 2 = e 1 e 2. (9.49) Lause 9.8. Olkoon H on ryhmä ja #H = p P. Tällöin τ = H τ H {1}. (9.50) Todistus. 1. Tapa: Käytä Lagrangen lausetta aliryhmään τ. Laskareissa. 2. Tapa: τ H pätee τ p = 1. Olkoon τ = 1 ja τ a = 1, 1 a p 1. Koska a p, niin Eukleideen algoritmin nojalla s, t Z : 1 = sa + tp, jolloin τ 1 = τ sa+tp = (τ a ) s (τ p ) t = 1. Ristiriita. Siten ord τ = p, joten τ = H. mot. Lause 9.9. I. Syklisen ryhmän aliryhmät ovat syklisiä. II. Olkoon H = β, ord β = h = #H ja d h, 2 d h 1, ld = h. Tällöin A: ord β l = d B. ja on olemassa aliryhmät H d = β l, #H d = d d h. 21
23 Todistus. 1. Aluksi (β l ) d = β h = Jos ord β l = a, 1 a d 1, niin (β l ) a = 1 β al = 1, missä 2 al l(d 1) < h. Ristiriita. mot. Pienin yhteinen jaettava [a, b] = p.y.j.(a, b). (9.51) Lause Olkoon G Abelin ryhmä ja olkoot x, y G, ord x = m, ord y = n. Tällöin löytyy alkio z G, jolle pätee ord z = [m, n] (9.52) Tarvitaan ensin seuraava apulause. Lause Olkoot m = k K p a k k, n = k K p b k k, (9.53) p k P, a k, b k N, k K Z + I = {i K a i b i }, J = {j K a j > b j }, (9.54) I J = K, I J =. (9.55) Asetetaan l 1 = i I p a i i, l 2 = j J p b j j, (9.56) Tällöin ja (m/l 1, n/l 2 ) = 1 (9.57) mn = [m, n]l 1 l 2. (9.58) 22
24 Todistus laskareissa. Lauseen 9.10 todistus. Nyt Lauseen 9.9 nojalla ord x l 1 = m l 1, ord y l 2 = n l 2, (9.59) missä Lauseen 9.11 nojalla Asetetaan (m/l 1, n/l 2 ) = 1. z = x l 1 y l 2, (9.60) jolloin Lauseen 9.7 nojalla ord z = ord x ord y = m l 1 n l 2 = [m, n]. (9.61) Lause Olkoon H ryhmä, τ H ja τ = 1. Tällöin ord τ = h (9.62) Todistus. Koska τ = 1, niin h 2. Olkoon τ h = 1 ja τ h p i = 1, p i h, p i P. (9.63) h = p a p a k k, p 1,..., p k P. (9.64) Lauseen 9.5 nojalla h on pienin positiivinen eksponentti k, jolla τ k = 1. Olkoon p i luvun h alkutekijä, tällöin p i 2, 1 h p i h 2 h 1, (9.65) joten τ h = 1 ja τ h p i = 1. (9.66) 23
25 Vastaoletus: Mutta τ h = 1, joten Lause 9.6 Vastaoletuksen mukaan a < h, joten 1 a h 1 : ord τ = a. (9.67) a h a = p b p b k k. (9.68) p j : h = p j ra; r Z +. (9.69) Koska τ a = 1 τ ar = τ h p j = 1. (9.70) Ristiriita oletuksen kanssa. Täten Esimerkki 7. G = Z 71, #G = 70 = Valitaan τ = 7 G, jolle pätee 7 70 = 1, (käytä nopeaa potenssilaskentaa.) Siten ord τ = h. (9.71) = 7 35 =... = 70 = 1, = 7 14 =... = 1, = 7 10 = 1, Lause LUCASIN ALKULUKUTESTI. Olkoot a, n Z +, a n. Jos ord 7 = 70 7 = Z 71. (9.72) a n 1 1 (mod n) (9.73) 24
26 ja niin a n 1 p i 1 (mod n) p i n 1, p i P, (9.74) n = p P. (9.75) Todistus. Lause 9.12, missä G = Z n, antaa tuloksen n 1 = ord a. (9.76) Toisaalta #Z n = φ(n) a φ(n) = 1. (9.77) Nyt Lauseen 9.6 nojalla saadaan n 1 φ(n) n 1 φ(n) = n p n (1 1 p ) (9.78) Jos kuitenkin n / P, niin q 1 P s.e. q 1 n. tällöin n 1 n(1 1 q 1 ) n n q 1 1 n q 1 (9.79) Ristiriita, joten n = p P. Lause Olkoon H äärellinen syklinen ryhmä eli H = α, #H = h. Tällöin #{β H H = β } }{{} = φ(h). (9.80) Ryhmän H generaattoreiden lkm. Todistus: Tapaukset h = 1 ja h = 2 selviä. Oletetaan siis, että h 3. 1) Osoitetaan, että Olkoon ord α a = h, a Z h. (9.81) τ = α a, a Z h. 25
27 Jos a = 1, niin Ok. Joten olkoon a = 1. Aluksi τ h = 1. (9.82) Jos olisi niin τ h p i = 1, jollakin p i h; p i P, (9.83) α ah p i = 1. (9.84) Siten jollakin l Z. Välittömästi h ah ah = lh (9.85) p i p i a = lp i p i a. (9.86) Mutta a h = p k 1 1 p kr r. Ristiriita eli τ h p i = 1 p i h; p i P. (9.87) Lauseen 9.12 nojalla ord τ = ord α a = h, a Z h. (9.88) Ja 2) Osoitetaan vielä, että #{α a a Z h} = φ(h). (9.89) ord α b < h, b Z h Z h. (9.90) 26
28 Koska d = syt(b, h) 2 h = dl, b = dk, 1 l h 2 h 1, (9.91) niin (α b ) l = (α dl ) k = (α h ) k = 1 ord α b h 1. (9.92) 9.2 Sovelluksia ja esimerkkejä Lause Olkoon H ryhmä ja α H. Tällöin α = α 1. (9.93) Huom 1. Lauseen 9.12 avulla saadaan toinen todistus Lauseelle 9.7. Esimerkki 8. Olkoon H ryhmä ja α, β H sekä ord α = 5, ord β = 7 ord αβ = 35. (9.94) Todistus: Luvun h = 35 alkutekijäjoukko on {5, 7}. Lasketaan (αβ) 35 = 1; (9.95) (αβ) h/5 = α 2 = 1; (9.96) Siten Lauseen 9.12 nojalla (αβ) h/7 = β 5 = 1. (9.97) ord αβ = h = 35. (9.98) 27
29 Esimerkki 9. Olkoon n N ja p P 3. Tällöin p n p 1 (mod 4). (9.99) Todistus: Nyt ryhmässä Z p pätee n 2 = 1 n 4 = 1. (9.100) Osoitetaan, että ord n = 4, (9.101) missä luvun h = 4 alkutekijäjoukko on {2}. Lasketaan n h/2 = n 2 = 1. (9.102) Siten Lauseen 9.12 nojalla ord n = h = 4. (9.103) Toisaalta Pikku-Fermat n nojalla n p 1 = p 1. (9.104) Esimerkki 10. Koska Z 13 = 2 ord 2 = 12 = φ(13), (9.105) niin Lauseen 9.14 nojalla tiedetään, että myös 2 a, a = 1, 5, 7, (9.106) ovat generaattoreita. Osoitetaan kuitenkin suoraan Lauseen 9.12 avulla, että ord 2 5 = 12 = h. (9.107) Luvun h = 12 alkutekijäjoukko on {2, 3}. Tiedetään, että (2 5 ) 12 = 1; (9.108) 28
30 Näytetään vielä, että (2 5 ) h/2 = 1; (9.109) (2 5 ) h/3 = 1. (9.110) Lauseen 9.12 nojalla ord 2 5 = h = 12. (9.111) Edelleen, Lauseen 9.15 nojalla saadaan 2 7 = 2 7 = 2 5 = 2 ; (9.112) 2 11 = 2 1 = 2. (9.113) 29
31 9.3 Nopeaa potenssilaskentaa Lasketaan ryhmässä H alkion a H potenssi: a r, r Z +, r h = #H, r = e t 1 2 t e 0, e i {0, 1}, e t 1 = 1. (9.114) Aluksi: a 1 = a a 2 = a 2 1 = a 21 a 3 = a 2 2 = a 22 (9.115) Yhteensä t 1 kertolaskua. Seuraavaksi:. a t = a 2 t 1 = a 2t 1. a r = a e t 1 t missä korkeintaan t 1 kertolaskua. Siten a e t 2 t 1... a e 0 1, (9.116) Lemma 9.3. Olkoon 1 r h = #H. Tällöin Potenssin a r laskemiseen tarvitaan ryhmän H laskutoimitusta. 2t 2 2 log 2 r 2 log 2 h (9.117) Esimerkki 11. a Z p, #Z p = p 1 = h. (9.118) r p t (9.119) 30
32 9.4 Diskreetti logaritmi kertolaskuryhmässä Olkoon H äärellinen syklinen kertalukua h = #H oleva ryhmä eli H = β = {β j j = 0, 1,..., h 1} = {1, β, β 2,..., β h 1 }. (9.120) Huomaa, että β 0 = β h = β 2h =... = 1. (9.121) Määritelmä 9.3. Alkion y H diskreetti logaritmi kannan β suhteen on eksponentti k {0, 1,..., h 1}, jolle pätee y = β k. Tällöin käytetään merkintää k = log β y. (9.122) Lause log β 1 = 0; (9.123) log β xy log β x + log β y (mod h); (9.124) log β x k k log β x (mod h). (9.125) Todistus: 31
33 Esimerkki 12. H = Z 71 = 7 on syklinen ja h = φ(71) = 70. Lasketaan siis (mod 71) ja eksponentit (mod 70). 7 2 = 49 log 7 49 = = 59 log 7 59 = = 2 log 7 2 = 6. 7? = 33 log 7 33 =? 7 35 = 70 = 1 log 7 70 = log 7 1 = = 61 log 7 61 = = 1 = 7 0 log 7 1 = 0 32
34 10 Hieman polynomialgebraa Olkoon R ykkösellinen rengas. Tällöin R[x] = {P (x) P (x) = n p k x k ; p k R, n N} (10.1) k=0 on R-kertoimisten polynomien joukko. Jos p n = 0, niin polynomin aste deg P (x) = n, erityisesti deg 0(x) =. Pääpolynomiksi (monic polynomial) sanotaan polynomia, missä korkeimman potenssin kerroin p n = 1. Määritelmä Olkoot P (x) = n p k x k, k=0 jolloin asetetaan n Q(x) = q k x k R[x], k=0 P (x) = Q(x) k(p k = q k ); P (x) + Q(x) = k 0(p k + q k )x k ; (10.2) P (x)q(x) = k 0 r k x k, missä r k = joka on Cauchyn kertosääntö. k p i q k i = p i q j, (10.3) i=0 i+j=k Tällöin R[x] on rengas, missä 0(x) = x + 0 x (10.4) on nolla-alkio ja 1(x) = x + 0 x (10.5) 33
35 on ykkösalkio. Olkoon R = K kunta. Tällöin polynomirengas K[x] on kokonaisalue, jossa pätee Lemma Jakoalgoritmi: Olkoon a(x), b(x) K[x], a(x)b(x) = 0(x) ja deg b(x) deg a(x). Tällöin q(x), r(x) K[x] s.e. [(J.A.)] a(x) = q(x)b(x) + r(x), deg r(x) < deg b(x). (10.6) Seurauksia: Lemma Olkoon p(x) K[x]. Tällöin p(α) = 0, α K (x α) p(x). (10.7) K[x] Lemma Olkoon p(x) K[x] ja deg p(x) = n N. Tällöin #{α K p(α) = 0} n. (10.8) Erityisesti, kun K = Z p, p P, niin pätee Lemma Olkoon p(x) Z p [x] ja deg p(x) = n N. Tällöin #{α Z p p(α) = 0} n. (10.9) Kokonaisalueen D = K[x] yksikköryhmä on K. Joten polynomien a(x) ja b(x) suurin yhteinen tekijä d(x) = s.y.t.(a(x), b(x)) voidaan valita pääpolynomiksi. Lemma Eukleideen algoritmin nojalla saadaan, että on olemassa sellaiset polynomit s(x), t(x) K[x], että d(x) = s(x)a(x) + t(x)b(x). (10.10) 34
36 11 Primitiivijuuret 11.1 Ryhmät Z n Määritelmä Olkoon n Z 2. Luku b {1, 2,..., n 1} on primitiivijuuri (mod n), jos Z n = b eli b generoi ryhmän Z n. Tällöin diskreetille logaritmille käytetään myös merkintää ind b y = log b y. Lause Z n on syklinen n = 2, 4, p l, 2p l, l Z +, p P 3. (11.1) Siten Primitiivijuuri (mod n) n {2, 4} P Z+ 3 2P Z+ 3. Huomaa, että Z n = b ord b = φ(n). (11.2) Todistetaan 11.1 vaiheittain. Lause Olkoon n = 2 k, tällöin Z n on syklinen k = 1, 2. Todistus. Aluksi ja Z 2 = 1 (11.3) Z 4 = 3. (11.4) Olkoon nyt n = 2 k, k 3. Tällöin Z 2 k = {2l + 1 l = 0, 1,..., 2 k 1 1}. (11.5) Tutkitaan lukua a = 1 + 2l 1. a 2 = l 2 (11.6) 35
37 josta... Mutta a 22 = l 3 (11.7) a 2k 2 1 (mod 2 k ) k Z 3 (11.8) φ(2 k ) = 2 k 1 > 2 k 2. (11.9) Joten (11.2) ei toteudu millään a Z. 2 k Lause Olkoon p P 3, tällöin Z p on syklinen. Todistus. Pitäisi löytää sellainen alkio a Z p, että ord a = φ(p) = p 1. (11.10) Vastaoletus Koska niin Olkoon Nyt ord x p 2 x Z p. (11.11) ord x p 1, (11.12) ord x p 1 2 x Z p. (11.13) max ord x = K = ord y jollakin y Z p (11.14) ord x K x Z p, (11.15) sillä, jos olisi x Z p, jolle ord x = h K, (11.16) niin Lemman 9.10 nojalla löytyy sellainen z Z p, että ord z = [h, K] > K. (11.17) 36
38 Ristiriita. Täten x K = 1 x Z p p(x) = x K 1 = 0 x Z p (11.18) eli #{α Z p p(α) = 0} = p 1. (11.19) Mutta Ristiriita Lemman 10.4 kanssa. deg p(x) = K p 1 2 < p 1. (11.20) Merkintä 1. ord n α = ord α, α Z n. (11.21) Lause Olkoon p P 3, tällöin Z p 2 on syklinen. Todistus. Olkoon Z p = r ord p r = φ(p) = p 1, p r (11.22) ja Siten ja edelleen Siispä josta n = ord p 2 r. (11.23) r n 1 (mod p 2 ) (11.24) r n 1 (mod p). (11.25) p 1 n φ(p 2 ) = p(p 1), (11.26) n = p 1 (11.27) 37
39 tai n = p(p 1). (11.28) Jos (11.28), niin Z p2 = r. (11.29) Olkoon siis joten n = p 1, (11.30) r p 1 1 (mod p 2 ). (11.31) Merkitään s = r + p, jolle pätee Z p = s ord p s = φ(p) = p 1, p s. (11.32) Koska tai niin myös tai Määrätään n = ord p 2 r = p 1 (11.33) n = ord p 2 r = p(p 1). (11.34) ord p 2 s = p 1 (11.35) ord p 2 s = p(p 1). (11.36) s p 1 = (r + p) p 1 = (11.37) ( ) p 1 r p 1 + (p 1)r p 2 p + r p 1 p p p 1 (11.38) 2 38
40 1 pr p 2 (mod p 2 ) (11.39) Jos olisi niin s p 1 1 (mod p 2 ), (11.40) pr p 2 0 (mod p 2 ), (11.41) Ristiriita. Siten ord p 2 s = p(p 1) = φ(p 2 ) Z p2 = s. (11.42) Apulause. Olkoon v Z p 2. Jos v p 1 1 (mod p 2 ), (11.43) niin v pk 2 (p 1) 1 (mod p k ) k Z 2. (11.44) Todistus. Aluksi tapaus k = 3. Eulerin lauseella ja oletuksella (11.43) saadaan v p 1 = 1 + dp, p d. (11.45) Edelleen v p(p 1) = (1 + dp) p = (11.46) 1 + pdp + Induktio-oletus: k = l, jolloin pätee ( ) p (dp) dp 2 1 (mod p 3 ). (11.47) 2 v pl 2 (p 1) 1 (mod p l ). (11.48) 39
41 Induktioaskel: Euler-Fermat ja induktio-oletus antavat v pl 2 (p 1) = 1 + fp l 1, p f. (11.49) Potenssiin v pl 1 (p 1) = (1 + fp l 1 ) p 1 + fp l 1 (mod p l+1 ). (11.50) Lause Olkoon p P 3, k Z + tällöin Z p k on syklinen. Todistus. Olkoon Z p = r, ord p r = φ(p) = p 1, p r (11.51) ja Z p 2 = v, ord p 2 v = p(p 1) = φ(p2 ), (11.52) missä v = r tai v = r + p. Väite Z p k = v ord p k v = p k 1 (p 1) = φ(p k ). (11.53) Apulauseen nojalla tiedetään, että v pl 2 (p 1) 1 (mod p l ) l Z 2. (11.54) Olkoon joten Lisäksi ja edelleen h = ord p k v, (11.55) h p k 1 (p 1) = φ(p k ). (11.56) v h 1 (mod p k ) (11.57) v h 1 (mod p). (11.58) 40
42 Vielä joten Nyt oli josta v r (mod p), (11.59) r h 1 (mod p). (11.60) ord p r = φ(p) = p 1, (11.61) p 1 h h = K(p 1). (11.62) Yhdistä (11.56) ja (11.62), jolloin K(p 1) p k 1 (p 1) K = p j 0 j k 1. (11.63) Edelleen Koska h = p j (p 1). (11.64) v h 1 (mod p k ) (11.65) ja jos olisi j k 2, niin saataisiin v pk 2 (p 1) 1 (mod p k ). (11.66) Ristiriita tuloksen (11.54) kanssa. Siten h = p k 1 (p 1) = φ(p k ) = ord p k v = #Z p k. (11.67) Lause Olkoon p P 3, k Z + tällöin Z 2p k on syklinen. Todistus. (Kotitehtävä: lisää tarvittavat välivaiheperustelut.) Aluksi huomio Z p k = v Z p k = v + p k. (11.68) 41
43 Siten voidaan olettaa, että 2 v, v 2p k. (11.69) Olkoon Välittömästi ja josta Niinpä h = ord 2p k v. (11.70) h φ(2p k ) = φ(p k ) (11.71) v h 1 (mod 2p k ), (11.72) v h 1 (mod p k ). (11.73) h φ(p k ) h, h = φ(p k )h = φ(2p k ). (11.74) Lause Olkoot n Z +, q {4} P 3, p P 3, p = q ja pq n. Tällöin Z n ei ole syklinen. Todistus. Olkoon Merkitään Huomaa, että Valitaan joten n = BC, B, C 3, B C. (11.75) k = [φ(b), φ(c)], d = (φ(b), φ(c)). (11.76) 2 d, kd = φ(b)φ(c). (11.77) a Z n, (11.78) a φ(b) 1 (mod B). (11.79) 42
44 Edelleen Vastaavasti joten Vielä Siispä a k = a φ(b)φ(c) d 1 (mod B). (11.80) a k 1 (mod C), (11.81) a k 1 (mod BC). (11.82) k = φ(b)φ(c) d φ(bc) 2 = φ(n) 2. (11.83) Z n = a a Z n. (11.84) Lauseet osoittavat Lauseen 5.1 todeksi. Tutkitaan vielä ryhmää Z 2 k. Lauseen 5.2 nojalla, jos k Z 3, niin Apulause. Olkoon k Z 3. Tällöin Todistus. Yhtälön (11.8) nojalla Z 2 k = a a Z 2 k. (11.85) ord 2 k 5 = φ(2k ). (11.86) 2 5 2k 2 1 (mod 2 k ). (11.87) Olkoon jolloin h = ord 2 k 5, (11.88) h 2 k 2, h = 2 m, m k 2. (11.89) 43
45 Induktiolla saadaan 5 2l l 1 1 (mod 2 l ) l Z 3. (11.90) Jos olisi m k 3, niin relaatiosta 5 n = 5 2m 1 (mod 2 k ) (11.91) seuraisi Ristiriita. Siten 5 2k 3 1 (mod 2 k ). (11.92) h = ord 2 k 5 = 2 k 2. (11.93) Merkintä 2. Olkoon G Abelin ryhmä ja a, b G. Tällöin a, b = {a i b j i, j Z}. (11.94) Huomaa, että a, b G. (11.95) Kun G on äärellinen g = #G, niin silloin a, b = {a i b j 0 i, j g 1}. (11.96) Lause Z 2 k = 1, 5 k Z 1. (11.97) Todistus. Tapaukset k = 1, 2 OK. Olkoon k 3 ja H = 5 = {5 i i = 0, 1,..., 2 k 2 1}, #H = 2 k 2, (11.98) L = { 5 i i = 0, 1,..., 2 k 2 1}, #L = 2 k 2. (11.99) 44
46 Jos olisi niin #H = #L = #Z 2 k. (11.100) 2 5 j = 5 i Z 2 k, (11.101) 5 j 5 i (mod 2 k ) 5 j 5 i (mod 4) (11.102) 1 1 (mod 4). (11.103) Ei käy tällainen, joten joukot H ja L ovat erillisiä ja yhdessä täyttävät joukon Z 2 k eli H L = Z 2, H L =. (11.104) k II Tapa: Tarkastellaan aliryhmän 5 sivuluokkia Sovelluksia ja esimerkkejä Olkoon seuraavassa p P 3 ja Z p = β, jolloin β p 1 = 1. A). Olkoot n Z. Lasketaan Välittömästi a) p 1 n. Tällöin eli A n = a Z p a n. (11.105) p 2 p 2 A n = (β i ) n = (β n ) i. (11.106) i=0 i=0 p 2 A n = 1 i = p 1 (11.107) i=0 1 n + 2 n + 3 n (p 1) n 1 (mod p). (11.108) 45
47 b) p 1 n. Tällöin β n = 1 ja A n = (βn ) p 1 1 β n 1 = (βp 1 ) n 1 β n 1 = 0 (11.109) eli c) Erityisesti 1 n + 2 n + 3 n (p 1) n 0 (mod p). (11.110) p 1 0 (mod p). (11.111) B). Olkoot n Z. Tällöin B n = a = 1. (11.112) a Z p Polynomiyhtälöitä Olkoon seuraavassa H = β kertalukua h Z + oleva syklinen ryhmä, jolloin β h = 1. Lause Olkoon k Z +, (h, k) = d ja a H. Tällöin yhtälöllä x k = a ratkaisu x H d S = log β a. (11.113) Todistus. " ". Olkoon aluksi a = β S ja x = β R H, (11.114) jolloin yhtälöstä x k = a seuraa β kr = β S = β S+jh, j Z. (11.115) Yhtälö (11.115) toteutuu, mikäli yhtälöllä kr = S + jh (11.116) 46
48 on ratkaisu R, j. Koska d k, d h, niin välttämättä d S. " ". Oletetaan siis d S = dd. Tällöin yhtälöllä kr = S + jh (11.117) on ratkaisu R, j. Siten (β R ) k = β S+jh = β S, j Z. (11.118) Siispä x = β R H toteuttaa yhtälön x k = a. (11.119) Huomio: Yhtälön (11.117) ratkaisun olemassaolo. Koska d = (k, h), niin Eukleideen algoritmin nojalla (kts. Algebra I tai Lukuteoria I) saadaan Bh + Ck = d, B, C Z. (11.120) Siispä (DC)k = S + ( DB)h. (11.121) Aseta vielä R = DC, j = DB. Lause Olkoon k Z +, (h, k) = d ja a H. Tällöin yhtälöllä x k = a ratkaisu x H a h/d = 1. (11.122) Todistus. a h/d = 1 (11.123) S h d = jh S = jd d S (11.124) yhtälöllä x k = a on ratkaisu ryhmässä H. 47
49 Olkoon seuraavassa p P 3 ja Z p = β, jolloin β p 1 = 1. C). Yhtälöllä x 2 = 1 (11.125) on ratkaisut x = ±1 Z p. Toisaalta toteuttaa yhtälön (11.125). Siten α = β p 1 2 (11.126) β p 1 2 = 1. (11.127) D). Yhtälö x 2 = a Z p. (11.128) Nyt d = (h, k) = (p 1, 2) = 2. Täten Yhtälö (11.128) ratkeaa, kunhan d = 2 S = log β a. (11.129) Tällöin 2R = S + j(p 1). (11.130) E). Yhtälö x 2 = 1 Z p. (11.131) Nyt d = (h, k) = (p 1, 2) = 2. Täten Yhtälö (11.131) ratkeaa, kunhan d = 2 S = log β 1 = p 1 2 = 2k p = 4k + 1. (11.132) Eli yhtälöllä x 2 = 1 ratkaisu x Z p p = 4k + 1. (11.133) ja yhtälöllä x 2 = 1 ratkaisua x Z p p = 4k + 3. (11.134) 48
50 F). x 3 = 4 Z 13 = 2. (11.135) Nyt d = (h, k) = (p 1, 3) = 3. Lasketaan a h/d = 4 12/3 = 2 8 = 1. (11.136) Siten yhtälöllä (11.135) ei ole ratkaisua ryhmässä Z 13. G). Lasketaan x 3 = 5 Z 13 = 2. (11.137) a h/d = 5 12/3 = (2 9 ) 4 = 1. (11.138) Siten yhtälöllä (11.137) on ratkaisuja ryhmässä Z 13. Saadaan 3R = log j 12 = 9 + j 12 r = 3 + 4j, (11.139) josta ratkaisut (R, j) = (3, 0), (7, 1), (11, 2), x = 8, 11, 7. (11.140) 49
51 12 Neliöjäännökset 12.1 Yhtälö x 2 = a syklisessä ryhmässä Lause Olkoon H = β, h = #H. Jos 2 h, niin #{a H x H : x 2 = a} = h 2. (12.1) Jos 2 h, niin #{a H x H : x 2 = a} = h. (12.2) Todistus. (12.1): Määrätään ryhmän H neliöt a = (β l 1 ) 2, 0 l 1 h 1. (12.3) Olkoon vielä a = (β l 2 ) 2, 0 l 1 l 2 h 1. (12.4) jolloin saadaan β 2(l 2 l 1 ) = β jh, 0 2(l 2 l 1 ) 2h 2. (12.5) Siten eli 2(l 2 l 1 ) = 0 tai 2(l 2 l 1 ) = h (12.6) l 2 = l 1 tai l 2 = l 1 + h/2. (12.7) Tällöin saadaan #{a = x 2 } = #{a = β 2l 1 0 l 1 h/2 1} = h/2. (12.8) Esim. β 2 0 = β 2 h/2 = 1,... (12.9) 50
52 Huom. Kohdassa (12.1), jolloin 2 h ja β h = 1, yhtälöllä x 2 = β 2l (12.10) on ratkaisut Mutta yhtälöllä x 1 = β l, x 2 = β l+h/2. (12.11) x 2 = β 2l+1 l = 0, 1,..., h 1 (12.12) ei ole ratkaisua H:ssa! Sanotaakin, että a = β 2l on neliö ja a = β 2l+1 on epäneliö, joita on siis yhtä paljon eli #{ } = #{ } = h 2. (12.13) Olkoon nyt H = Z p = β ja h = p 1 = #H, missä p P 3. Tällöin 2 h ja 1 = 1, sekä 1 = β p 1 2, (12.14) jolloin yhtälöllä on ratkaisut x 1 = β l, x 2 = β 2l (12.15) p 1 l+ x 2 = β 2 = β l Z p. (12.16) Mutta yhtälöllä x 2 = β 2l+1 l = 0, 1,..., h 1 (12.17) ei ole ratkaisua Z p:ssa. Määritelmä Luku a Z (a Z p) on neliönjäännös (mod p), jos x Z p s.e. x 2 = a, (12.18) muutoin epäneliö. 51
53 Huom. Z 2 = {1} = {1 2 }. (12.19) Lause Olkoon p P 3. Joukossa Z p = β neliöitä ja epäneliöitä on yhtäpaljon = p 1 2. Neliö = β2l, epäneliö = β 2l+1 aina, kun l = 0, 1,..., (p 3)/ Legendren symboli Määritelmä Olkoon a Z ja p P 3. Legendren symboli ( a) määritellään p asettamalla 0, jos p a ( a = 1, jos a on neliönjäännös (mod p) (12.20) p) 1, jos a on epäneliö (mod p). Legendren symboli kertoo, milloin a on neliönjäännös (mod p) eli milloin a on neliö Z p:ssä. Lause Eulerin kriteeri. Olkoon a Z ja p P 3. Tällöin Todistus. Olkoon β = Z p, jolloin β p 1 = 1 ja ( a p) a p 1 2 (mod p). (12.21) β p 1 2 = 1. (12.22) ( a p) = 1 a = β 2l a p 1 2 = (β p 1 ) l = 1. (12.23) ( a p) = 1 a = β 2l+1 a p 1 2 = (β p 1 2 ) 2l+1 = 1. (12.24) 52
54 Esimerkki 13. p = 23 P, a = 5, p 1 2 = 11. (12.25) ( ) 11 = (5 2 ) 5 5 = = (mod 23) (12.26) eli 5 on epäneliö (mod 23). Lause Legendren symboli toteuttaa seuraavat ehdot: ( a a b (mod p), = p) ( b p). (12.27) ( ab ) ( a )( b =. (12.28) p p p) ( a 2 ) a 0 (mod p), = 1, p ( 1 = 1. (12.29) p) ( 1 ) = ( 1) p 1 2. (12.30) p ( 2 p) = ( 1) p2 1 8 = 1, jos p ±1 (mod 8) 1, jos p ±3 (mod 8). (12.31) Todistus. (12.27) Eulerin kriteerillä ( a ( a p) p 1 2 b p 1 b 2 p) (mod p). (12.32) (12.28) Eulerin kriteerillä ( ab ) ( (ab) p 1 2 a p 1 p 1 a )( b 2 b 2 p p p) (mod p). (12.33) (12.29) Määritelmästä suoraan. 53
55 (12.30) Eulerin kriteerillä. (12.31) Gaussin lemmalla myöhemmin. Esimerkki 14. ( ) = ( 2 13 ) = ( 1 13 )( ) = ( 1) 2 ( 1) = 1. (12.34) 13 siten 89, 2 ja 11 ovat epäneliöitä (mod 13). Lause Resiprookkilause. Olkoot p, q P 3, p = q. Tällöin ( q )( p ) = ( 1) (p 1)(q 1) 4. (12.35) p q Esimerkki P. Lasketaan ( ) = ( )( ) = ( 1) (23 1)(1009 1) 4 + (31 1)(1009 1) 4 ( )( ) = Siten yhtälöllä ( )(17 ) =... = 1. (12.36) 31 x (mod 1009), x Z, (12.37) on ratkaisuja Gaussin Lemma Jakoyhtälö: Olkoot a, b, q, r Z, b Z +. Tällöin a = qb + r, 0 r < b. (12.38) Jakoyhtälöstä (Lukuteorian perusteet) saadaan a q =, r = a b b a b. (12.39) 54
56 Olkoot p P 3, a Z, p a. Jaetaan seuraava jakojäännöksien joukko Isoihin jakojäännöksiin ja Pieniin jakojäännöksiin Huomaa, että R a = {r k 1 r k p 1, (12.40) r k ak (mod p), 1 k (p 1)/2} I a = {r k R a (p + 1)/2 r k p 1}, s = #I a (12.41) P a = {r k R a 1 r k (p 1)/2}, t = #P a. (12.42) s + t = p 1 2. (12.43) Lause Gaussin Lemma. Olkoot p P 3, a Z, p a ja s = #I a. (12.44) Tällöin ( a = ( 1) p) s. (12.45) Todistus. Merkitään I a = {b 1,..., b s }, P a = {l 1,..., l t } (12.46) ja lasketaan tulo S = b 1 b s l 1 l t = 2 r k p 1 k=1 Toisaalta 2 ( ) p 1 ka =!a p 1 2 (mod p). (12.47) 2 p 1 k=1 S ( 1) s (p b 1 ) (p b s )l 1 l t (mod p), (12.48) 55
57 missä tulon alkiot ovat erillisiä (mod p). Nimittäin, jos olisi p b i l j (mod p), (12.49) niin Edelleen p k i a k j a (mod p), 1 k i, k j (p 1)/2. (12.50) p k i + k j, 2 k i + k j p 1. (12.51) Ei mahdollista. Täten joukolle T = {p b 1,...p b s, l 1,..., l t } (12.52) pätee #T = s + t = p 1, x T 1 x (p 1)/2. (12.53) 2 Siten T = {p b 1,...p b s, l 1,..., l t } = {1, 2,..., (p 1)/2} (12.54) ja niinpä Täten josta väite seuraa. ( p 1 2 S ( 1) s t T t = ( 1) s 2 k = p 1 k=1 ( ) p 1 ( 1) s! (mod p). (12.55) 2 )!a p 1 Lause Olkoot p P 3. Tällöin ( p 1 2 ( 1) s 2 )! (mod p), (12.56) ( 2 p) = ( 1) p (12.57) 56
58 Huomaa, että (12.57) on yhtäpitävää seuraavan tuloksen kanssa. Todistus laskareissa. Olkoot p P 3. Tällöin ( 2 = 1 p = 8k ± 1. (12.58) p) Todistetaan (12.58). Lasketaan missä s = #I a = #{r k R 2 (p + 1)/2 r k p 1}, (12.59) R 2 = {r k 1 r k p 1, (12.60) r k 2k (mod p), 1 k (p 1)/2}. Saadaan ehdot (p + 1)/2 2k p 1, 1 k (p 1)/2 (12.61) Siten joten Tutkitaan p (mod 8). s = p 1 2 s = 8k { s = # k p p p k p 1 2. (12.62) k p 1 }, (12.63) = p p (12.64) p = 8k + 1 (12.65) 8k + 2 = 4k + 1 (2k + 1) 2Z. (12.66) 4 57
59 p = 8k + 3 s 2Z + 1. (12.67) p = 8k + 5 s 2Z + 1. (12.68) p = 8k + 7 s 2Z. (12.69) Saatiin (12.58). Lause Olkoot p P 3, a 2Z + 1, p a ja asetetaan v = 2 p 1 k=1 ka. (12.70) p Tällöin ( a = ( 1) p) v. (12.71) Todistus: Yhtälön (12.39) nojalla ka ka = p + r k, p 0 r k p 1. (12.72) Tästä Oli Näistä saadaan josta (mod 2) 2 ka = p p 1 k=1 p 1 2 p 1 k=1 2 k = k=1 (a 1) p 1 ka + p s b i + i=1 s (p b i ) + i=1 t l j. (12.73) j=1 t l j. (12.74) j=1 2 k = pv sp + 2 k=1 s b i (12.75) v s (mod 2) ( 1) v = ( 1) s. (12.76) i=1 58
60 Vielä Gaussin lemma. Todistetaan sitten Resiprookkilause eli: Olkoot p, q P 3, p = q. Tällöin ( q )( p ) = ( 1) (p 1)(q 1) 4. (12.77) p q Todistus. Merkitään ( q p) = ( 1) s 1 = ( 1) v 1, ( p ) = ( 1) s 2 = ( 1) v 2. (12.78) q Osoitetaan, että missä v 1 = v 1 + v 2 = p 1 2 m=1 mq p (p 1)(q 1), (12.79) 4, v 2 = 2 q 1 n=1 np. (12.80) q Jaetaan joukko N = {(x, y) Z 2 1 x (p 1)/2, 1 y (q 1)/2} (12.81) osiin #N = (p 1)(q 1), (12.82) 4 A = {(x, y) N y < qx/p}, (12.83) Y = {(x, y) N y > qx/p}. (12.84) Välittömästi A Y = N, A Y =. (12.85) Lasketaan vielä joukkojen A ja Y mahtavuudet. Olkoon aluksi x = m kiinteä, jolloin mq #{(m, y) A} = #{y 1 y < qx/p} =. (12.86) p 59
61 Niinpä ja vastaavasti Koska #A = #Y = p 1 2 m=1 2 q 1 n=1 mq = v 1 (12.87) p np = v 2. (12.88) q #A + #Y = #N, (12.89) niin saadaan v 1 + v 2 = (p 1)(q 1). (12.90) Jacobin symboli Määritelmä Olkoon a Z ja n 2Z + 1 3, jonka alkutekijäesitys on n = p α 1 1 p αr r, p i P. (12.91) Tällöin Jacobin symboli ( a ) määritellään asettamalla n ( a ( a ) α1 ( a ) αr. = (12.92) n) p 1 p r Lause Jacobin symboli toteuttaa seuraavat ehdot: a b (mod n), ( a n ) = ( b ). (12.93) n ( ab n ) = ( a n )( b ). (12.94) n a n, ( a2 n ) = 1, ( 1 ) = 1. (12.95) n ( 1 n 1 ) = ( 1) 2. (12.96) n 60
62 ( 2 = ( 1) n) n2 1 1, jos n ±1 (mod 8) 8 = 1, jos n ±3 (mod 8). (12.97) Lause Yleistetty Resiprookkilause. Olkoot m, n 2Z + 1 3, m n. Tällöin ( m ) ( = ( 1) (m 1)(n 1) n 4. (12.98) n m) Huom 2. Jos n on yhdistetty luku, niin ( a ) ei kerro sitä, onko kongruenssilla n x 2 a (mod n) (12.99) ratkaisu vai ei. 61
63 12.5 Sovelluksia Esimerkki 16. Olkoon p, q P 3 ja p = 4q + 1. Tällöin Z p = 2. (12.100) Todistus: Aluksi huomataan, että pienimmät tällaiset alkuluvut ovat p = 13, 29,... (12.101) Nyt ryhmässä Z p pätee h = p 1 = #Z p, (12.102) missä luvun h = 4q alkutekijäjoukko on {2, q}. Tarkastellaan potensseja 2 h/q = 2 4 = 1 Z p, (12.103) 2 h/2 = 2 p 1 2. (12.104) Tässä Siten 2 p = ( 2 p ) = ( 1) p2 1 8 = 1 Z p. (12.105) 2 h/2 = 1 = 1 Z p. (12.106) Niinpä Lauseen 9.12 nojalla saadaan ord 2 = h = p (12.107) 62
64 13 Deterministisiä alkulukutestejä 13.1 Ei-polynomiaikaisia Olkoon n annettu luku Z +. DT1=Eratostheneen seula. Kokeillaan luvut (tai alkutekijät, jos tiedetään) n. Esimerkki 17. n = , 3, 5 n 7 n = n 1 = , 11, 13, 17, 19, 23 n = , n 2 = 211 mutta 23 > 211 Stop = (Kokeiltavia alkulukuja tarvitaan korkeintaan π( n) = jakolaskujen lukumäärä, missä π( n) = O( n log ). Siten n T IME(DT 1) = O(2 O(n 1 2 log n) = O(le l/2 ) n 1 2 log n log2 n) = missä log n = O(l), l = l(n), eli DT 1 on eksponentiaalinen.) DT2=Lucasin testi=lemma 9.13, joka soveltuu hyvin vain luvuille n, joilla luvun n 1 alkutekijät ovat "pieniä"eli B = O(log n). Tällöin n 1 on B-tasainen 63
65 (ja testi on polynomiaikainen, jos B = O(log n).) Lemma 3.12: LUCASIN ALKULUKUTESTI. Olkoot a, n Z +, a n. Jos a n 1 1 (mod n) (13.1) ja a n 1 p i 1 (mod n) p i n 1, p i P, (13.2) niin n = p P. DT3= 2. Lucasin testi on Lemman 9.13 muunneltu versio. Lemma DT3=2. LUCASIN ALKULUKUTESTI. Olkoot n Z + ja n 1 = Jos jokaista i = 1,..., s kohti on olemassa sellainen a i, että s i=1 p k i i, p i P. (13.3) a n 1 i 1 (mod n) (13.4) ja n 1 p a i i 1 (mod n) (13.5) niin n = p P. Todistus: Olkoot h j = ord n a j h j n 1, h j φ(n). (13.6) Nyt 13.5 h j n 1 p j = p k j 1 j s i =j p k i i. (13.7) 64
66 Niinpä p k j j h j j = 1,..., s n 1 φ(n). (13.8) Jatketaan kuten Lemman 9.13 todistusta. Lemma DT4=POCKLINGTONIN ALKULUKUTESTI. Olkoot n Z + ja n 1 = mk, m = s i=1 p k i i, p i P, m k, n m. (13.9) Jos jokaista i = 1,..., s kohti on olemassa sellainen a i, että a n 1 i 1 (mod n) (13.10) ja n 1 p syt(a i i 1, n) = 1 (13.11) niin n = p P. Todistus: Olkoot q n, q P ja h j = ord q a j h j q 1, h j n 1. (13.12) Nyt n p a i i 1 (mod q) (13.13) Kuten aikaisemmin h j n 1 p j = k p k j 1 j s i =j p k i i, k m. (13.14) mistä Edelleen p k j j h j q 1 j = 1,..., s m q 1. (13.15) n m q 1. (13.16) 65
67 Jos olisi qr n, q, r P, qr ( n + 1) 2. (13.17) Ristiriita. Lemma DT5=PROTHIN ALKULUKUTESTI. Olkoot n = k2 t + 1 Z +, k < 2 t, t Z + (13.18) ja a n (mod n), a Z, (13.19) tällöin n = p P. Todistus laskareissa POCKLINGTONIN avulla Mersennen ja Fermat n luvut Mersennen luvut Fermat n luvut M n = 2 n 1, n Z + ; (13.20) F n = 2 2n + 1, n Z +. (13.21) Lause Olkoot a Z, a 2, m Z +. Tällöin a m 1 P, m 2, a = 2 ja m = p P. (13.22) a m + 1 P 2 a ja m = 2 n, n N; (13.23) Todistus Lukuteorian perusteet kurssilla. Lause M n P n = p P. (13.24) 66
68 Lause Olkoon p P 3. Tällöin d M p d = 2kp + 1, k Z +. (13.25) [DT8] Lucas-Lehmer alkulukutesti. Olkoon p P 3. Määritellään rekursiojono Lemma Olkoot u 0 = 4, u k+1 = u 2 k 2 k N. (13.26) α = 2 + 3, β = 2 3, (13.27) tällöin u k = α 2k + β 2k k N. (13.28) Todistus laskareissa. Lause Lucas-Lehmer alkulukutesti. Olkoon p P 3. M p P M p u p 2. (13.29) Ennen todistusta määritellään seuraava rengas. Määritelmä Olkoon q P. Asetetaan Z q [ 3] = {a + b 3 a, b Z q } (13.30) ja laskutoimitukset (a + b 3) + (c + d 3) = (a + b) + (c + d) 3, (13.31) (a + b 3) (c + d 3) = (ac + 3bd) + (ad + bc) 3. (13.32) 67
69 Lemma (Z q [ 3], +, ) on kunta. Todistus laskareissa. HUOM: Kyseessä on kuntalaajennus (Algebra II) eli tarkemmin Z q [ 3] = F = Z q [x]/ x 2 3, (13.33) missä merkintä 3 tarkoittaa renkaan F alkiota x, jolle pätee x 2 = 3 2 = 3, x = 3 F. (13.34) Edelleen 3 Zq ( ) 3 = 1 q ±1 (mod 12). (13.35) q Todistus laskareissa. Huomaa, että ja erityisesti Lemma F = F {0} (13.36) α = 2 + 3, β = 2 3 F. (13.37) #F q 2, #F q 2 1. (13.38) Tarkemmin #F = q tai q 2, #F = q 1 tai q 2 1. (13.39) Todistus luennolla. Lauseen 13.4 todistus. " ". Olkoon M p = q = 2 p 1 P q = 2 p 1. (13.40) 68
70 Aluksi q = 2 p 1 7 (mod 12) ( ) 3 = 1. (13.41) q Edelleen Eulerin (12.21) kriteerillä ( ) 3 3 q q (mod q) (13.42) ja ( ) 2 2 q 1 2 ( 1) q2 1 8 (13.43) q ( 1) 2p 2 (2 p 1 1) = 1 (mod q). (13.44) Olkoon seuraavaksi Lasketaan (a + b 3) q = a q + ( ) q + a 2 b q 2 3 q 2 + q 2 a + b 3 F. (13.45) ( ) q a q 1 b ( ) q a q 2 b (13.46) 2 ( ) q ab q 1 3 q 1 + b q 3 q (13.47) 1 Siten tuloksen (13.42) nojalla a q + b q 3 q a + b3 q (mod q). (13.48) (a + b 3) q = a b 3 F. (13.49) Koska niin 2α = = (1 + 3) 2, (13.50) 2 q+1 2 α q+1 2 = (1 + 3) q+1 (13.51) 69
71 2 2 q 1 2 α q+1 2 = (1 + 3)(1 3) = 2 (13.52) α q+1 2 = 1 α 2p 1 = 1. (13.53) Siten u p 2 = α 2p 2 + β 2p 2 = β 2p 2 (α 2p 1 + 1) = 0 F (13.54) ja lopulta u p 2 0 (mod q) u p 2 0 (mod M p ). (13.55) " ". Olkoon siis M p u p 2 = α 2p 2 + β 2p 2 = DM p, D Z +, (13.56) josta Vastaoletus α 2p 1 = DM p α 2p 2 1. (13.57) M p P q P, q M p, q 2 M p. (13.58) Tällöin (13.57) nojalla α 2p 1 1 (mod q), α 2p 1 (mod q) (13.59) eli α 2p 1 = 1, α 2p = 1 F. (13.60) Siten Lauseen 9.12 nojalla ord α = 2 p #F q 2 1 (13.61) M p 1 = 2 p 2. Ristiriita. (13.62) 70
72 Esimerkki 18. M 7 = 127. Lasketaan u 1 = 14, u 2 67 (mod 127), u 3 42 (mod 127), (13.63) joten M 7 P. u 4 16 (mod 127), u 5 0 (mod 127) (13.64) Lause M p 2 Mp 2 p P. (13.65) Siten Mersennen luvut alkulukuindeksillä ovat alkulukuja tai pseudoalkulukuja kannan 2 suhteen, katso Määritelmä Lause F n 2 Fn 2 n Z +. (13.66) Siten Fermat n luvut ovat alkulukuja tai pseudoalkulukuja kannan 2 suhteen. Lause Lause F n = F 0 F 1 F 2 F n 1 + 2, n Z +. (13.67) F n F m, n = m. (13.68) Lause Olkoon n Z 2. Jos p P, p 2 2n + 1, (13.69) niin p 1 (mod 2 n+2 ). (13.70) 71
73 Todistus. Oletuksen (13.69) nojalla 2 2n 1 (mod p) 2 2n+1 1 (mod p), (13.71) joten Lauseen 9.12 nojalla ord p 2 = 2 n+1. (13.72) Koska myös 2 p 1 1 (mod p) ord p 2 = 2 n+1 p 1 (13.73) ja siten p = 1 + l2 n+1 p 1 (mod 8). (13.74) Joten Eulerin (12.21) kriteerillä ( ) 2 2 p p (mod p) (13.75) Siispä ord p 2 = 2 n+1 p 1 2 p = 1 + k2 n+2. (13.76) Lause Olkoon n Z 2. Tällöin F n P 3 (Fn 1)/2 1 (mod F n ); (13.77) F n P Z F n = 3. (13.78) Todistus: Aluksi huomataan, että F n 17. (13.77). Olkoon F n P. Koska F n 2 (mod 3), (13.79) 72
74 niin Resiprookkilauseen nojalla ( Fn 3 ) = ( 3 ) = ( 1) (Fn 1)(3 1) 4 F n ( 2 = 1. (13.80) 3) ( Fn 3 ) = 1. (13.81) Koska F n P, niin Eulerin kriteerillä ryhmässä Z F n pätee ( 3 F n ) = 3 Fn 1 2. (13.82) (13.77). Oletuksen nojalla 3 (Fn 1)/2 1 = 1 (mod F n ) (13.83) josta Nyt 3 Fn 1 1 (mod F n ). (13.84) F n 1 = 2 2n := h, (13.85) missä missä luvun h alkutekijäjoukko on {2}. Siispä Lucasin alkulukutestin Lause 9.13 nojalla F n P. (13.78). Oletuksien nojalla F n = p P 17, jolloin ryhmässä Z p pätee Kuten kohdan (13.77) todistuksessa saadaan Täten Lauseen 9.12 perusteella 3 p 1 1 (mod p). (13.86) 3 p 1 2 = 1 = 1. (13.87) Z F n = 3. (13.88) 73
75 (13.78). Oletuksen nojalla Z F n = 3. (13.89) Lauseen?? mukaan F n = 2, 4, p l, 2p l, l Z +, p P 3, (13.90) joten Lauseen 13.9 nojalla Siten F n = p K, K Z +, p P 3. (13.91) p = L2 n+2 + 1, L Z +. (13.92) (1 + L2 n+2 ) K = 2 2n + 1 (13.93) ( ) K L2 n ( ) K L 2 2 (n+2) (13.94) 2 josta saadaan ( ) K L K 1 2 (n+2)(k 1) + L K 2 (n+2)k = 2 2n, (13.95) K 1 L 2 2n L = 2 s (13.96) Tuloksien (13.91) ja (13.97) mukaan p = 2 t + 1 p = 2 2l + 1 = F l. (13.97) F l F n, (13.98) josta Lauseen 13.8 nojalla F l = F n F n = p P 3. (13.99) 74
76 Lause Olkoot n Z 2 ja p P 3. Tällöin p = F n Z p = Z p. (13.100) Ts. Alkuluku p on Fermat n alkuluku täsmälleen silloin kun kertolaskuryhmä (mod p) on jokaisen epäneliönsä generoima. Todistus. " ". Olkoon siis F n = p P, Z p = β (13.101) Tiedetään, että epäneliöille pätee = β 2l+1 1 2l + 1 p 2. (13.102) Tässä (2l + 1, p 1) = (2l + 1, 2 2n ) = 1, (13.103) joten tuloksen (9.81) nojalla ord β 2l+1 = p 1. (13.104) Siispä β 2l+1 = Z p 1 2l + 1 p 2. (13.105) " ". Olkoon siis ord = ord β 2l+1 = p 1 1 2l + 1 p 2. (13.106) Siten (2l + 1, p 1) = 1, 1 2l + 1 p 2 p 1 = 2 m. (13.107) Tuloksen (13.23) nojalla p = 2 2n + 1, jollakin n Z. (13.108) 75
77 13.3 Polynomiaikainen/AKS/Kokeeseen vain Lemma 13.7 todistuksineen Seuraava Lause on lähtökohtana deterministiselle polynomiaikaiselle alkulukutestille =AKS. Lause Olkoot a Z, n N, n 2. Tällöin n P (x a) n = x n a; (13.109) a n, n / P, (x a) n = x n a; (13.110) polynomirenkaassa Z n [x]. Aluksi saadaan alkulukutesti DT6 n P (x 1) n = x n 1 Z n [x]. (13.111) (Mutta T IME(DT 6) = O(n log 3 n), joten (DT 6) on eksponentiaalinen.) Tarvitaan muunneltu testi. DT7=AKS. Vuonna 2002 julkaistiin ensimmäinen deterministinen polynomiaikainen alkulukutesti. Algoritmin (DT7)=PRIME(n), jolla todistettavasti voidaan päätellä onko annettu positiivinen kokonaisluku n alkuluku, esittivät intialaiset Maninra Agrawal, Neeraj Kayal ja Nitin Saxena [Primes is in P, Annals of Mathematics (2004)]. Aikaisemmat JULKISESTI tunnetut testit ovat tavalla tai toisella stokastisia eli joko testin tulos tai kestoaika on epävarma polynomiajassa. Algoritmi perustuu seuraavaaviin tuloksiin. 76
78 Lause Olkoot n Z 2, q, r P sellaisia, että (m, n) = 1, 1 m r. (13.112) q r 1. (13.113) q 2 r log n + 2, (13.114) n r 1 q 1 (mod r). (13.115) 1 a 2 r log n + 1 (13.116) pätee eli Tällöin (x a) n = x n a Z n [x]/ x r 1 (13.117) (x a) n x n a (mod x r 1). (13.118) n = p f, joillakin f Z +, p P (13.119) eli n on alkulukupotenssi. Lauseen todistamiseksi tarvitaan seuraavat lemmat. Lemma Lauseen oletuksilla (13.113) ja (13.115) saadaan, että on olemassa sellainen p P, että p n, q d = ord r p. (13.120) Todistus: Aluksi huomataan, että (13.113) r 1 q Z. (13.121) 77
79 ja koska q P, niin Lauseen 9.12 nojalla (13.115) γ = n r 1 q = 1 Z r (13.122) ord γ = q. (13.123) Olkoon ja Koska niin Merkitään Tällöin joten n = p a p a k k ; p i P, (13.124) f = # n, missä n Z r. (13.125) γ n, (13.126) ord γ = q f = ord n. (13.127) b i = ord p i, l = pyj(b 1,..., b k ). (13.128) p i l = 1, i = 1,..., k (13.129) n l = (p l 1) a 1... (p l k) a k = 1. (13.130) Siten f l ja koska oli q f, niin q l. Nyt q P, joten q b j, jollakin j = 1,... k. Täten on olemassa p = p j n, q ord p = b j. (13.131) Lemma Olkoot p P, p n ja a Z, i, j N sekä (x a) n = x n a Z n [x]/ x r 1. (13.132) 78
80 Tällöin (x a) ni p j = x ni p j a Z p [x]/ x r 1. (13.133) Todistus. Olkoon N Z +. Lauseen nojalla (x N a) p = x pn a Z p [x], (13.134) josta (x N a) p x pn a (mod x r 1) Z p [x]. (13.135) Koska oletuksen nojalla (x a) n x n a (mod x r 1) Z n [x] (13.136) ja p n, niin (x a) n x n a (mod x r 1) Z p [x]. (13.137) Sijoittamalla x:n paikalle x N, saadaan (x N a) n x nn 1 (mod x rn 1) Z p [x]. (13.138) Relaation avulla x r 1 x rn 1 Z p [x] (13.139) (x N a) n x nn 1 (mod x r 1) Z p [x]. (13.140) Edetään induktiolla käyttäen tuloksia (13.135) ja (13.140). Esimerkiksi (x a) np (x n a) p x np 1 (mod x r 1) Z p [x]. (13.141) 79
81 Lemma Olkoon n Z 2, p P, p n ja E = {n i p j 0 i, j r }. (13.142) Tällöin, jos n ei ole alkulukupotenssi, niin #E > r. (13.143) Todistus. Olkoon siis n / p Z + ja olkoot 0 i, i, j, j r (13.144) sekä Nyt n i p j = n i p j. (13.145) n = ap k ; p a Z 2, k Z +. (13.146) Siten kohdasta (13.145) saadaan a i p ik+j = a i p i k+j, (13.147) ja koska p a, niin Täten a i a i, a i a i. (13.148) a i = a i i = i p ik+j = p ik+j (13.149) p j = p j j = j. (13.150) Eli, kun joten pätee m = n i p j = m = n i p j E (i, j) = (i, j ), (13.151) (i, j) = (i, j ) m = m. (13.152) 80
82 Siten #E = #{(i, j) 0 i, j r } = (1 + r ) 2 > r. (13.153) Todistus. Lauseen todistus. Vastaoletus eli n / p Z+. (13.154) Lemman 13.9 nojalla #E > r, joten m, m E, m = m : m m (mod r) (13.155) (i, j) = (i, j ), 0 i, j, i, j r (13.156) s.e. n i p j n i p j (mod r), m = n i p j, m = n i p j. (13.157) Voidaan olettaa, että m > m, jolloin m = m + kr, jollakin k Z +. Tällöin Lemman 13.8 nojalla (x a) m x m a x m (x r ) k a x m 1 k a (13.158) Edelleen Lemma 13.8 antaa x m a (mod x r 1) Z p [x]. (13.159) x m a (x a) m (mod x r 1) (13.160) joten (x a) m (x a) m (mod x r 1) (13.161) polynomirenkaassa Z p [x] aina, kun 1 a 2 r log n + 1. (13.162) Voidaan todistaa vielä: 81
83 Lemma m = m. (13.163) Ristiriita, koska oli m = m. Siten vastaoletus (13.154) eli n / p Z+ on väärä, joten n p Z+. Algorithm PRIME(n) Input: Integer n 2 Output YES if n is a prime and NO otherwise r:=2; found:=false; while r < n and found=false do if gcd(r, n) = 1 then return NO endif if r is a prime and r > 2 then q:= largest prime factor of r 1 if q 2 r log n + 2 and n (r 1)/q = 1 ( mod r) then found:=true endif endif if found=false then r := r + 1 endif endwhile; for a := 1 to [2 r log n] + 1 do if (x a) n = x n a mod (x r 1) in Z n [x] then return NO endif endfor; if n = a b for some integers a, b 2 then return NO else return YES 82
84 endif Seuraava Analyyttisen lukuteorian tulos takaa algoritmin PRIME(n) polynomiaikaisuuden. Lemma Olkoon suuri kokonaisluku n annettu. Tällöin on olemassa alkuluvut q ja r ja (efektiivisesti määrättävät) vakiot 0 < c 1 < c 2, joille pätee 1. c 1 log 6 n < r c 2 log 6 n, 2. q r 1, 3. q 2 r log n + 2, 4. n (r 1)/q 1 (mod r). Huom: Tapaus n = a b voidaan selvittää polynomiajassa eli tarkemmin T IME(n = a b?) = O(log 4 n). Edelleen saadaan Lemma T IME(P RIME(n)) = O(log 19 n). Siten alkulukutestausalgoritmi PRIME(n) on polynomiaikainen ja on deterministinen (ei-stokastinen). Lenstra ja Pomerance ovat kehittäneet AKS idean algoritmiksi PRIME2(n), jolle pätee Lemma T IME(P RIME2(n)) = O(log 6 n). 83
802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho
802645S LUKUTEORIA A (5op) Tapani Matala-aho 25. lokakuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Valittuja kaavoja 4 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 4 4 Renkaan yksikköryhmä 6 5 Eulerin funktio 7 6 Euler-Fermat
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia Renkaan yksikköryhmä Eräs kongruenssiryhmä 0-17
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-3 2 Valittuja kaavoja 0-5 3 Valittuja jaollisuuden tuloksia 0-7 4 Renkaan yksikköryhmä 0-9 5 Eulerin funktio 0-11 6 Euler-Fermat 0-16 7 Eräs kongruenssiryhmä
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................
LisätiedotTOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
LisätiedotLUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
LisätiedotPrimitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Ilonen Primitiiviset juuret Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Joulukuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos ILONEN,
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Lisätiedot1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
LisätiedotFermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma
Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotShorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm
Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua
LisätiedotR 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,
2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään
LisätiedotMatematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
Lisätiedot[E : F ]=[E : K][K : F ].
ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle
Lisätiedot802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä
802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
LisätiedotRationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
LisätiedotLUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho
LUKUTEORIA I Tapani Matala-aho 19. helmikuuta 2009 Sisältö 1 Johdanto 5 2 Merkintöjä 6 2.1 Lukujoukot.............................. 6 2.2 Porrasfunktiot............................. 8 3 Kokonaislukurengas
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
LisätiedotMitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä
800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jussi Tervaniemi. Primitiiviset juuret
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jussi Tervaniemi Primitiiviset juuret Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Heinäkuu 2006 Sisältö Johdanto 3 1 Lukuteorian peruskäsitteitä
Lisätiedot2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];
802656S ALGEBRALLISET LUVUT Harjoituksia 2017 1. Näytä, että (a) (b) (c) (d) (e) 2 1/2, 3 1/2, 2 1/3 ; 2 1/2 + 3 1/2 ; 2 1/3 + 3 1/2 ; e iπ/m, m Z \ {0}; sin(π/m), cos(π/m), tan(π/m), m Z \ {0}; ovat algebrallisia
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotPolynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................
LisätiedotTodistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.
18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset
LisätiedotLiite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET. Tapani Matala-aho
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Tapani Matala-aho 12. joulukuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 4 2 Merkintöjä 5 2.1 Lukujoukot.............................. 5 2.2 Sekalaisia merkintöjä.........................
LisätiedotALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA
ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja
LisätiedotLUKUTEORIA I. Tapani Matala-aho
LUKUTEORIA I Tapani Matala-aho 22. marraskuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto 4 2 Merkintöjä 6 2.1 Lukujoukot.............................. 6 2.2 Sekalaisia merkintöjä......................... 6 2.3 Porrasfunktiot.............................
LisätiedotMääritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki
Alkuluvut LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Jokainen luku 0 on jaollinen ainakin itsellään, vastaluvullaan ja luvuilla ±1. Kun muita eri ole, niin kyseinen luku on alkuluku. Määritelmä, alkuluku/yhdistetty
Lisätiedot(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ
LisätiedotMultiplikatiivisista funktioista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Marita Riihiranta Multiplikatiivisista funktioista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
LisätiedotSalausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotMultiplikatiiviset funktiot
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Ilona Kiiveri Multiplikatiiviset funktiot Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KIIVERI, ILONA:
Lisätiedot11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R.
11. Jaollisuudesta Edellisen luvun esimerkissä tarvittiin tietoa erään polynomin jaottomuudesta. Tämä on hyvin tavallista kuntalaajennosten yhteydessä. Seuraavassa tarkastellaan hieman jaollisuuskäsitettä
Lisätiedotkoska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan
4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
Lisätiedot801698S KRYPTOGRAFIA. Tapani Matala-aho
801698S KRYPTOGRAFIA Tapani Matala-aho 6. tammikuuta 2015 Sisältö 1 Yleistä 2 2 Työkaluja 3 2.1 Asymptoottisesti sama........................ 3 2.2 ISO OO................................ 4 3 Kongruenssi
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä Porrasfunktiot Tärkeitä kaavoja...
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-7 2 Merkintöjä 0-9 2.1 Lukujoukot................... 0-9 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-10 2.3 Porrasfunktiot................. 0-12 2.4 Tärkeitä
LisätiedotAlgebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D
Lisätiedotd Z + 17 Viimeksi muutettu
5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
LisätiedotH = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
LisätiedotRenkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit
Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen
Lisätiedot802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013
802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
Lisätiedot802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I
802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802656S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Yleistä Työkaluja Asymptoottisesti sama ISO OO Kongruenssi 0-14
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Yleistä 0-6 2 Työkaluja 0-8 2.1 Asymptoottisesti sama............. 0-8 2.2 ISO OO.................... 0-10 3 Kongruenssi 0-14 3.1 Yksikköryhmä.................
Lisätiedot41 s. Neljännessä luvussa käsitellään erikseen parillisia täydellisiä lukuja. Luvussa osoitetaan Eukleides Euler teoreema,
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis luonnontieteellinen tiedekunta Tekijä/Författare Author Katja Niemistö Työn nimi / Arbetets titel Title Täydelliset luvut Oppiaine /Läroämne Subject
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 6. Alkeislukuteoria 6.1 Jaollisuus Käsitellään kokonaislukujen perusominaisuuksia: erityisesti jaollisuutta Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,...
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Lisätiedotei ole muita välikuntia.
ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotR : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotLineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016
Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................
LisätiedotMAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotCauchyn ja Sylowin lauseista
Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotALKULUVUISTA (mod 6)
Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi
LisätiedotJohdatus p-adisiin lukuihin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Lisätiedot. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n )
Lukuteorian alkeita Matematiikkakilpailuissa on yleensä tehtäviä, joiden aiheala on alkeellinen lukuteoria. Tässä esitellään perustellen ne lukuteorian tiedot, joihin lukuteoria-aiheisissa tehtävissä yleensä
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
Lisätiedot