Harjoitu Harjoitu. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Kirjoita alla olevalle piirille ilmukkavirtayhtälöt matriiimuodoa. H H H 4. Lake kuvan verkon portia ab näkyvä impedani. / / a I I I 3 /F F v v kuva b. Kirjoita alla olevalle piirille olmupiteyhtälöt matriiimuodoa. LASKUHARJOITUKSISSA LASKETTAA TEHTÄÄ: 5. Lake kuvaa olevan piirin portita ab näkyvä Thevenin ekvivalenttipiiri aettamalla tähän porttiin tetivirta H U A F A U U 3 F a b v in 4 v in v 8v kuva 3A 3. erkon olmujänniteyhtälöt ovat 4 4 3 4 4 3 3 3 5 Piirrä yhtälöitä vataava verkko. ASTAUS: R Thev., Thev.57 erkoa ei ole ohjattuja lähteitä, ainoataan riippumattomia virtalähteitä. 3
Harjoitu Harjoitu HARJOITUS. KERTAUSTA EKIALENTIT JÄNNITE JA IRTALÄHTEET STEADYSTATE ASTEIDEN LASKEMINEN erkon tranientti ja taajuuvateen analyointi onnituu ykinkertaieti ijoittamalla komponentin Laplacemuunno ja ratkaiemalla verkkofunktio olmupite tai ilmukkavirtamenetelmää käyttäen. Tällöin kekitetyillä, reaaliarvoiilla komponenteilla kaikita verkkofunktioita tulee reaalikertoimiia :n rationaalipolynomeja. Tätä taajuuvate aadaan ijoittamalla :n paikalle vakioamplitudita inivärähtelyä vataava j. Z I Y Z Z Taulukko : Piirielinten Laplacemuunnoket Impedani Z AdmittaniY L L / (L) Z Y C / (C) C I Y ZI R R / R IRTA JAKAANTUU ADMITTANSSIEN SUHTEESSA I in R I out C I out G / R Y C C C I in G C Theveninin ekvivalentti tietylle piirille voidaan muodotaa aettamalla piirin tuloporttiin tetivirta I tet ja ratkaiemalla porttiin aiheutuva jännite muodoa: U in U Thev R Thev I tet. (k. PT harj. 4) ataavati Nortonin ekvivalentti aadaan aettamalla tuloporttiin tetijännite U tet ja ratkaiemalla portin virta muodoa: I in I Nort G Nort U tet. JÄNNITE JAKAANTUU IMPEDANSSIEN SUHTEESSA R T I in R Z C / (C) U Thev U in I tet I Nort G Nort U tet C out in out C in R C out in RC 4 5
Harjoitu Harjoitu ERKKOYHTÄLÖIDEN MUODOSTAMINEN: Silmukkamenetelmä: Silmukkamenetelmää tuntemattomat virrat jaetaan verkon ilmukoita kiertäviin komponentteihin. Sen jälkeen kirjoitetaan Kirchhoffin jännitelain mukaiet yhtälöt jokaielle ilmukalle. Näin aadaan yhtälöryhmä, jota ilmukoita kiertävät virtakomponentit voidaan ratkaita. Solmupitemenetelmä: Solmupitemenetelmää valitaan tuntemattomiki jännitteiki eri olmujen ja yhden n. kantaolmun väliet jännitteet. Solmupiteyhtälöt kirjoitetaan kullekin olmulle Kirchhoffin virtalain mukainen yhtälö. Näin aadaan yhtälöryhmä, jota olmujännitteet voidaan ratkaita. Matriiimuotoiten verkkoyhtälöiden ratkaieminen: Silmukkavirta ja olmupiteyhtälöt voidaan kirjoittaa uoraan matriiimuotoon. Matriiiyhtälöitä voidaan ratkaita halutut virrat tai jännitteet eimerkiki Cramerin äännöllä, joa käytetään determinantteja. Eim. a 4a 5b 6c 8a b 3c Matriiimuodoa 456 83 Ratkaitaan muuttuja b Cramerin äännöllä: Sijoitetaan herätevektori y matriiiin A ratkaitavaa muuttujaa b vataavan arakkeen paikalle. Jaetaan edellä muodotetun matriiin determinantti alkuperäien matriiin A determinantilla ja näin aadaan haluttu ratkaiu. y A a b c i y OHJATUN LÄHTEEN ABSORPTIO: Ohjattu lähde voidaan muuttaa vataavaki impedaniki, jo ohjauuure vaikuttaa lähteen yli. trankonduktani g m : g m Z Z g m tranreitani r m : g m I r r m I Z m I Z r I m Ohjatun lähteen aborptiota ei käitelty Piiriteoria I kurilla, mutta e on ilmiönä varin helppotajuinen. Kun ohjauuure (virta tai jännite) vaikuttaa ohjatun lähteen yli, voidaan piirtää lähteen paikalle vatuken laatikkomalli. Reitanin (tai impedanin) arvon aat vatuken jännitteen ja virran uhteeta. Eimerkki aborptiota. I 8, Nyt virran I uunta on eri, kun jännitteen. Näinpä lähteen ekvivalentti reitani on negatiivinen! 8 I b 4 3 6 8 46 456 5 3 6 83 83 (amaan tulokeen päädytään lakemalla Nortonin tai Theveninin tetilähteellä) R tot 3rivinen determinantti laketaan kaavalla: 8 I 8 I 8 I abc def ghi a ef hi b df c de gi gh I I I Eli kertaukena PT ekata lakarita: atuken jännitteen ja virran uuntanuolet pitäiivät olla amanuuntaiia. Jo ne ovat oikeati eriuuntaiia täytyy reitanin arvon olla negatiivinen. Reaalinen vatu ei tähän pyty! 6 7
Harjoitu Harjoitu TEHTÄÄ. TEHTÄÄ. H H H I I I 3 /F Impedanimatriiiin tulee ilmukan varrella olevat impedanit iten, että diagonaalielementille z ii tulee kaikkien ilmukan varrella olevien impedanien umma. Eidiagonaalilla ilmukoiden i ja j väliä olevat impedanit miinumerkkiinä (oletukena että ilmukkavirrat ovat kaikki amanuuntaiiki merkittynä). Kirjoita yhtälöryhmän (matriiin) oikealle puolelle ilmukkaan liittyvät jännitelähteet. Jo ilmukkavirta kiertää lähteen läpi niin että e tulee ulo plunavata, jännite laketaan poitiiviena, muutoin negatiiviena. F U A F A H U U 3 F z z z 3 z z z 3 I I U U Admittanimatriii: diagonaalielementeiki y ii tulee kaikkien olmuun i liittyvien konduktanien umma ja elementiki y ij tai y ji olmujen i ja j väliet admittanit miinumerkkienä. Kirjoita yhtälöryhmän (matriiin) oikealle puolelle olmuun liittyvät virtalähteet. Tuleva virta on plu ja lähtevä miinumerkkitä. z 3 z 3 z 33 I 3 U 3 I I I 3 U U U Eli: kun lähteet ovat riippumattomia virtalähteitä, olmuyhtälön voi kirjoittaa uoraan matriiimuotoon Eli: kun lähteet ovat riippumattomia jännitelähteitä, ilmukkayhtälön voi kirjoittaa uoraan matriiimuotoon 8 9
Harjoitu Harjoitu TEHTÄÄ 3. 4 4 3 } 4 4 3 3 3 5 matriiimuodoa: 4 4 4 4 3 3 5 y 4 F 4 H 3 4 4 4 4 3 y y y 3 y y 3 Solmupiteyhtälöä tarkateltavan olmun ekä toien olmun välinen admittani merkitään matriiin eidiagonaalioalle miinumerkkienä. Tarkatellaan enin admittanimatriiin eidiagonaaliia elementtejä. Ne kertovat olmujen väliitä admittaneita. Ympyröidyt numerot tarkoittavat olmupiteitä. y y 3 y 3 y 33 y 33 3 F Termiä y eiintyy kelan admittani. Edellieltä ivulta huomataan, että numeroitujen olmujen välillä ei ole keloja, joten e liittyy maahan. irtalähteitä on kaki kappaletta ja ne liittyvät olmuihin ja 3. Piirretään verkko diagonaalioan ja pääteltyjen olmunumeroiden avulla 3 F y y 4 y 3 y 3 y 3 y 3 4 F 3 F 3 4 F F 3 Sitten tarkatellaan matriiin diagonaalioaa A H 5A y 4 F 4 3 Matriiin diagonaalioa on ii kuhunkin olmuun liittyvien admittanien umma. Admittanien umma vataa rinnankytkettyjä admittaneja. Solmuun liittyvät ii F:n kondenaattori ja 4:n vatu. Se, mihin olmuun kukin komponentti liittyy, elviää tarkatelemalla admittaneja y ja y 3. Tehdään vataavat päättelyt myö termeille y ja y 33 :
Harjoitu Harjoitu TEHTÄÄ 4. v. tapa: Käytetään lähdeaborptiota / / v Kahdennetaan aluki ohjattu virtalähde, jolloin aadaan ohjaujännite vaikuttamaan alemman lähteen yli: / a b Seuraavaki muunnetaan jäljellä oleva epäideaalinen virtalähde epäideaalieki jännitelähteeki, johon voidaan taa oveltaa lähdeaborptiota. v o v / / v zi v v i v / / v v z i v / v v v / 3/ 7/ / / v / v / / v z v 3
Harjoitu Harjoitu TEHTÄÄ 4.. tapa: Muodotetaan verkon Nortonekvivalentti ilmukkavirtamenetelmällä aettamalla tuloon tetijännite v tet. Muunnetaan piiriä oleva epäideaalinen virtalähde vataavaki jännitelähteeki / / I I N G N v tet v I v o I v tet Silmukkamatriiit: 5 3 I v I v tet v v lauuttuna I :n avulla on I I Sijoitetaan ja iirretään ilmukkavirrat yhtälön vaemmalle puolelle: 5 3 I I I v tet I 3 I I v tet v v tet I tet v tet A 3 7 7 v tet 4 3 /7S A 4 5
Harjoitu Harjoitu. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Lake euraavien funktioiden Laplacemuunnoket. nf k a) b) t c) e at d) cote) e at intf) ut a (kannattaa myö opetella, miten tehtävän muunnoket löytyvät ivun taulukon avulla). Lake euraavien funktioiden Laplacekäänteimuunnoket. a) b) c) d) 3 4 k 5u(t) in(t) Tranitorin ijaikytkentä: v 3. Lake kuvan piirin jännitteen v (t) aikavate a) ratkaiemalla differentiaaliyhtälö kuten PT:ä ja b) käyttämällä Laplacemuunnota. Tehtävä 3 on työlä. Kurin kannalta olennainen on 3b: Laplacemuunnettu verkkoyhtälö oamurtokehitelmä Laplacekäänteimuunno 4. Kirjoita kuvan piirille olmupiteyhtälö, joa kaikki mahdolliet alkutilat ovat mukana. kanta emitteri kollektori kanta i b emitteri i b kollektori LASKUHARJOITUKSISSA LASKETTAAT TEHTÄÄT: 5. Lake euraavien funktioiden Laplacekäänteimuunnoket. a) 3 b) c) 3 d) 4 3 3 3 4 Huom. c)kohdaa ei laketa oamurtoja, koka funktio voidaan muokata iten, että muunnotaulukkoa voidaan käyttää uoraan: G v in L C Kuva R v 6. Kuvan 3 piiriä virran i in (t) Laplacemuunno on J/, miä J on vakio. Lake virta i out (t), kun t ja i out () A. (Oakoetehtävä 7) Kuva at: teht. 5: a),5e t e t,5e 3t b) e t te t 3e 3t c) e t co t int d) t 4e t 7e 3t 3e 4t i in (t) R i out (t) L teht. 6: a) R t L i out t J e Kuva 3 6 7
Harjoitu Harjoitu HARJOITUS. RATKAISUT LAPLACE MUUNNOS Määritelmä: Lft ft e t dt F () Termi on komplekinen taajuumuuttuja, joten e t on komplekinen ekponentiaali. Muutujalla on reaalioa ja imaginaarioa : j. Fouriermuunnokea ei ole em. reaalioaa: Fmuunno mallintaa ignaaleja inimuotoiilla ignaaleilla. Reaalioan avulla Laplacemuunnokea mallinnetaan ignaaleja ekponentiaalieti kavavilla tai vaimenevilla iniignaaleilla. Huomaa kaavan () eitytapa. Kyeinen verkkofunktion eitytapa on n. nollanapa eity, joka oveltuu ivun muunnotaulukon käyttöön. Liää verkkofunktioiden eitytavoita kannattaa lukea luentomateriaalita, kappale 5.3. OSAMURTOKEHITELMÄ HEAISIDEN MENETELMÄ Lakueimerkeiä käytetään uein Heaviiden menetelmää. Nollanapamuodoa oleva verkkofunktio () kerrotaan ko. navalla ja tämän tulon arvo laketaan arvolla p i. A i H p i pi Jo funktiolla H() on rkertainen napa /(p ) r, itä varten oamurtokehitelmään on kirjoitettava termit (3) Käyttö: muunno aikatao komplekinen taajuutao (mm. verkkoyhtälöiden muodotaminen, taajuu ja tabiiliuutarkatelut) Käytännön lakutehtäviä kaavaa () ei käytetä, vaan turvaudutaan muunnotaulukkoon, ivu. LAPLACE KÄÄNTEISMUUNNOS Käyttö: differentiaaliyhtälöiden ratkaieminen: muunnetaan Laplacemuunnettu (taajutaon) ratkaiu aikataoon. Merkintätapa: L F ft. Lakutehtäviä Laplacemuunnetut muuttujat kannattaa elkeyden vuoki kirjoittaa iolla. Eim. muunnotaulukoa (t):n Laplacemuuno on X(). Matemaattieti käänteimuunno on vaikeahko tehdä, joten käänteimuunno tehdään taulukoiden avulla, k. ivu. Uein käytetään oamurtokehitelmää, jotta käänteimuunno pelkityii mahdolliimman ykinkertaiiki ummatermeiki. miä H Y Y G p r K K K r p p... p r r n K n d Y r n! d r n p G r p (4) (5) OSAMURTOKEHITELMÄ Laplacemuunnoken lineaariuuominaiuu (k. muunnotaulukko.) mahdollitaa en, että kun Laplacemuunnettu funktio jaetaan oamurtoihin, kullekin oamurtotermille voidaan hakea erikeen vataava käänteimuunno taulukon avulla. Olk. H Y Y A A A n, () G p p... p n p p p n HUOM: Oamurtokehitelmä on mahdollita, jo ooittajan Y() ateluku < nimittäjän G() ateluku. Tällöin kertoimet A, A,..., A n voidaan määrittää joko: Laventamalla yhtälön oikean puolen termit amannimiiki ja merkitemällä ooittajat yhtäuuriki tai Heaviiden menetelmällä (euraava ivu). Jo navat ovat moninkertaiia, käytetään mieluimmin jälkimmäitä. Jo Y():n ateluku G():n ateluku muokataan yhtälö käyttökelpoieen muotoon jakamalla kunne oamäärän ateluku < nimittäjän (vrt. tehtävä d) Jo r : d Y K p d G Y K p G p p SINI JA KOSINIFUNKTIOT KOMPLEKSIOSOITTIMILLA (EULER) Toiinaan käänteifunktion ratkaiu aadaan elkeämpään muotoon, kun käytetään ini ja koinifunktion komplekiooitineitytä. Kyeiet kaavaat aadaan johdettua Eulerin kaavalla: e jt cotjint e jt e jt int j e jt e jt cot 8 9
Harjoitu Harjoitu Taulukko : Yleiimpia Laplacemuunnokia (t) X() impuli (t) ykikköakel tai u(t) / ramppi t / n: poteni t n n! / n a: poteni (a>) t a /(a) / a / (t) / ekp.funktio eat / (a) e at a / ((a)) t n e at n! / (a) n ini in(t) / ( ) koini co(t) / ( ) inh inh(at) a / ( a ) coh coh(at) / ( a ) lineaariuu a(t) by(t) ax() by() taajuuiirro e at (t) X(a) aikaiirro (tt) e T X() aikaderivaatta d(t) / dt X () n: aikaderivaatta d n (t) / dt n n X() n () n () ()... (n) () aikaintegraali t X t dt t dt konvoluutio t gt d o G()X() taajuuderivaatta (t) n (t) d n X() / d n Laplacemuuunnoken merkity Laplacemuunnoken merkittävimpiä ominaiuukia on, että muunnota käyttäen integrointi ja derivointi muuttuvat taajuumuuttujalla jakamieki ja kertomieki. Integrointia ja derivointia ei ii tarvita, vaan differentiaaliyhtälöt palautuvat lineaarieki yhtälöryhmäki, jota haluttu lähtöuure voidaan ratkaita matriiialgebran keinoin. Saatu tulo on taajuumuuttujan funktio, joka on itten pilkottava eim. oamurtokehitelmänä niin pieniin oiin, että jokaielle ummatermille löytyy käänteimuunno. AIKAASTEIDEN LASKEMINEN ALKUEHTOINEEN Taulukon 3 kaavoja käyttämällä aadaan perukomponenttien virtajänniteyhtälöt alkuehtoineen muotoon, jotka voidaan ijoittaa uoraan ekä olmupite että ilmukkavirtayhtälöihin. R L C Taulukko 3: Komponenttien virtayhtälöt alkuehtoineen U() I() R I G U L I Li U i L I u C Tentiä voi tarvita taulukon 3 kaavoja, mutta niitä ei välttämättä tarvite opetella ulkoa. Kaavat aadaan johdettua helpoti edellien ivun taulukota aikaderivaatan Laplacemuunnokella: aikaderivaatta d(t) / dt X () Laketaan enin kapaitanin virtayhtälölle Laplacemuunno i C t C du C t Laplacemuuunnetaan dt I C C U C u C C U C Cu C ataava jänniteyhtälö aadaan ratkaiemalla U C () edellietä tuloketa: I C u I C C U C Cu C U C C C ataavat lakelmat induktanille, aloitetaan jänniteyhtälötä: u L t L di L t dt (ratkaie ite...) C U Cu
Harjoitu Harjoitu TEHTÄÄ. a) L e t dt e t e b) Lt te t dt Käytetään oittaiintegrointikaavaa: uv uv uv Nyt t v ja e t u, joten te tdt t e t e t dt e e c) Le at e at e td t e t dt Nyt kun < a, integraali ei uppene > a, integraali uppenee Oletetaan > a () a e e a a a)kohdaa on kyeeä n. ykikköakelfunktio, jota uein merkitään funktiolla u(t) ykköen aemeta. u(t) {, kun t <, kun t Jo vaikkapa Laplacemuunnetaan vakio A, muunnokeki tulee A / eli A/. a e a t () e t dt a)kohdan peruteella e:n potenien reaalioat ovat negatiiviet laueke uppenee j j j j j j e) Le at int e at inte t dt Käytetään inin komplekiooitin eitytä int e jt e jt j e at e jt e jt e t dt e j j j at e t dt e j at e t dt e j j a t dt e j a t dt j j j e j a t j a j a j a j a j a a e j a t vrt. d)kohta j a j j a j a j j a a d) Lcot? Käytetään koinin komplekiooitin eitytä cote t dt e j t e j t dt j ej t j e j t cot e jt e jt f) Lut a Kyeeä on viivätetty ykikköakelfunktio ut a t a t a Lut a e t dt a a e t e e a e a vrt. a)kohta a t 3
Harjoitu Harjoitu Heaviiden kaavalla: Tehtävä. Jaetaan muunnolauekkeet oamurtoihin, joiden käänteimuunnoket nähdään taulukota a) L 4 A B F 4 4 4. tapa: Lavennetaan amannimiiki: F A 4 B A 4 B 4 A F B F d C d F d d F ft L F te t e t A B 4A A B B A A 3 B 3 c) L Oamurto: F j j j j 3 F 4 Joten L F 3 e 4t vrt. a) ja c). tapa: Heaviiden kaavalla: A F 3 4 4 B 4 F 4 4 4 4 ft kuten edellä b) L Jaetaan oamurtoihin F A B C Nähdään, että j ja j ovat kakinkertaiia nollakohtia, joten oamurtokehitelmäki tulee: F A B C D j j j j A j F j j j j 4 B d j F d d d j j j 3 j j j 3 4j C j F j j j j 4 d D j d F d d j j j 3 j j j 3 4j 4 4j 4 4j F j j j j 4 5
Harjoitu Harjoitu ft te 4 jt e 4j jt te 4 jt e 4j jt t ejt e jt Käyttämällä inin ja koinin komplekiooitin eitytä ft tcot int d) L 3 Ooittajan ateluku > nimittäjän ateluku jaetaan 3 3 Tehtävä 3. v in R v v in (t) 5u(t) in(t) F ft i v in t t t i b ejt e jt j Käytetään tranitorin tilalla ykinkertaita ijaikytkentää C i c i C R Rk Rk CnF, miä u(t) {, kun t <, kun t Tarkatellaa oikeanpuoleita ijaikytkentää Kiinnotava uure on v, kun t joten u(t):n voi aettaa ykköeki. v o t R i i i b i c i b 5 int i b i i c d C vo t R dt v o t R 5 int d C vo t R dt R i b e t v R 3a 5R R v o t int R d R R C vo t dt Nyt differentiaaliyhtälö pitäii aada PT:tä tuttuun muotoon: dy t ay t ht (a on vakio ja h(t) on heräte) dt eli enimmäien kertaluvun epähomogeeninen differentiaaliyhtälö. d v o t 5 int vo t () dt R C R C R C R C Tällaien yhtälön ratkaiu on n. komplementtiratkaiun ja erityiratkaiun umma. Enimmäien kertaluvun homogeenita differentiaaliyhtälöä vataava komplementtiratkaiu on aina muotoa: v h t Ke at Joten tää tapaukea kyeinen ratkaiu on t R v h t Ke C Ke t Etitään euraavaki erityiratkaiu v p (t) alla olevan taulukon ja herätteen (yhtälön () oikea puoli) peruteella. Heräte on vakion ja inifunktion umma. Etitään erityiratkaiut vakiolle ja inifunktiolle erikeen. vakio: 5 4 3 R C R C akiota 4 vataava erityiratkaiu v op on muotoa A. Sijoitetaan tämä yhtälöön () v :n paikalle ja ratkaitaan A. Sinifunktio ei ole mukana. A 4 3 A R C 3 4 3 A 4 Heräte K o K o in(bt) Taulukko 4: (*) tätä aadaan aikavakio /a R C m Erityiratkaiu A Ain(bt) Bco(bt) (*) 6 7
Harjoitu Harjoitu 3a inifunktio: in t int R C 4 ataava erityiratkaiu v op on muotoa Ain(t) Bco(t). Sijoitetaan tämä yhtälöön () v :n paikalle ja ratkaitaan A ja B. akio ei ole mukana. Aint Bcot int Acot Bint R C R C 4 B A A B R C R C R C R C A B R C 4 A B R C 4 { { Yhtälön () ratkaiu on v o v oh v op v op v t Ke t 4 5 in t 5cot () Ratkaitaan lopuki vakio K alkutilan v o () arvioinnin peruteella. Kun t, piiri aadaan euraavaan muotoon: Kondenaattorihan on dctilanteea avoin piiri, joten i c (). Myö i b, koka ini ja akefunktio ovat nollia kun t. Koka ii b, R on virraton ja v o () Ratkaitaan K yhtälötä (), kun t. B R C 4 B 4 R C 5 A 5 i R i b i c i b i v R 3b) Laketaan ama Laplace muunnokella Lähdetään alkuperäietä piirikaaviota eli muodotetaan yhtälöt kuten akohdaa. Erona akohtaan on e, että käytetään Laplacemuunnettuja virtoja ja jännitteitä. Nämä uureet ovat ii komplekien taajuumuuttujan funktioita, ja ne kirjoitetaan elvyyden vuoki iolla. DCjännitelähde on aikataoa vakio, ja Lmuunnettuna e on vakio jaettuna eli tulkitaan akelfunktioki. Poi jäävä oa (t<) otetaan huomioon alkutilan arvioinnia, mikä tehtiin jo akohdaa. o I R I I b I c I b I b I I c L 5 int d C vo t R dt 5 R R C v o R I b (t) d v t dt K (vakio) X() v o o K K v t K Kint 5 R o R R C v Käytetään kompenettien lukuarvoja ja ratkaitaan (): 4 v 3 3 4 4 3 3 4 3 3 (3) K, v () K 4 5 K 45 v t 45e t 4 5 in t 5cot 4 3 Tehdään oamurto termille 3 4 3 A B 3 3 4 3 A 3 4 4 3 B 4 8 9
Harjoitu Harjoitu 3b) Tehdään oamurto termille 4 3b) Saatiin ii 4 4 D E F 3 j j 3 j j 4 D 5 j j v t 45e t 4 5 je jt 5 je jt Tämä on ihan oikea ja kelvollinen lopputulo, toin kaki viimeitä ummatermiä poikkeavat akohdan ratkaiuta. 4 E j 3 5 j j Käytetään inin ja koinin komplekiooitin eitytä 4 F j 3 5 j j v t 45e t 4 5e jt je jt e jt je jt (3) v t 4 3 4 5 5 j 3 5 j 3 j j 45 4 3 5 j 5 j j j Lopuki Laplacekäänteimuunno: 45e t 4 5 je jt 5 je jt v t v t v t 45e t 4 5je jt je jt e jt e jt 45e t 4 5je jt e jt e jt e jt 45e t e jt e jt 4 5 e jt e jt j e jt e jt int j e jt e jt cot v t 45e t 4 5 int cot X() (t) 45 3 45e t 4 4 5 j j 5 j e jt 5 j j 5 j e jt v t 45e t 4 5int 5cot Sama tulo, kun akohdaa 3 3
Harjoitu Harjoitu Tehtävä 4. Kuvan piirille olmuyhtälö alkuehtoineen. Solmupitemenetelmää kirjoitetaan kuhunkin tuntemattomaan olmujännitteeeen liittyvien virtojen umma. Alkutilat ovat kelan virran alkutila ja kondenaattorin jännitteen alkutila, i() ja v (). YLIMÄÄRÄINEN ESIMERKKI RCpiirin akelvate lakettiin PT:n harjoitukea 6. ataava laku käyttäen Laplacemuunnota menee näin: R L v in C R v R L C G I() U U i L C U Cu u t in u in (t) E, kun t {, kun t < U out C u out (t) joten U E in u c () C E C E RC RC U E in R R C C RC RC vatau: in i C Cv L R Toiinaan tentiä on tehtäviä, joa piiriä on nollata poikkeava alkutila. Tällainen tehtävä ei ole vaikea, kun iäität miten taulukon 3 (ivu ) virta ja jännitekaavat aadaan johdettua. Jo piiriä on nollata poikkeava alkutila, ratkaiua ei voida käyttää eim. jännitejaon tai virtajaoin kaavoja. Kirchhoffin lait eli olmupite ja ilmukkavirtamenetelmät toimivat tää tapaukea. Jo alkutilat ovat nollia, poita alkuarvoja iältävät termit. Nollaalkuarvoilla myö jännitejaon tai virtajaon kaavaa voidaan käyttää. Tätä eimerkkeina euraavan ivun laku ja tehtävä 6. Harjoitukea laketaan tehtävän 4 piirille jännitteeniirtofunktio. Siirtofunktioiden tapaukea alkutilat oletetaan automaattieti nolliki. Nyt aatua tulota voi käyttää apuna (aeta alkutilat nolliki). (t) e at X() a a t RC u out t E Ee Jännitejaon kaavaa voitiin käyttää, koka alkuehto oli nolla. (muutoin käytetään olmupite tai ilmukkavirtayhtälöitä) Ratkaiu löytyii myö oamurtokehitelmällä, mutta itä ei nyt tarvittu koka tarvittu muunnopari löytyi taulukota. ataavanlainen Laplacemuunnopari oli myö tehtävää 3b. Siinä käytettiin oamurtokehitelmää, jotta Laplacemuunnettu verkkofunktio aataiiin mahdolliimman ykinkertaieki käänteimuunnota varten (ooittajaa 3 ). Entäpä jo u c () oliikin nollata poikkeava? Tällöin käytetään Kirchhoffin lakeja, kuten edelliellä ivulla ohjeitettiin. Kokeillaan molempia, eli kirjoitetaan yllä olevalle piirille ekä olmuettä ilmukkayhtälö (piirrä kuvaan maaolmu JA ilmukkavirta I() myötäpäivään): Solmuyhtälö Silmukkayhtälö U out U in U R out C C u c I u R I c U C in Kumpaa yhtälöä kannattaa käyttää? Riippuu iitä mitä ollaan ratkaiemaa: jännitettä tai virtaa. Yllä olevata olmuyhtälötä pitäii aada ama tulo u out (t), kun u c () merkataan nollaki. 3 33
Harjoitu 3 Harjoitu 3 3. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Lake kuvan piirille a) Yleinen tranienttivateen Laplacemuunno. b) acjänniteiirtofunktio / in. c) Lähtöjännitteen ooitin taajuukilla Hz ja khz, kun tulojännitteen ooitin on º. d) Jänniteiirtofunktion / in nollanapakartta.. Yhditä kuvan akelvateet ja nollanapakartat v in k nf k v (a) (b) (c) (d) /4 /4 /4 kollektori kanta i b kollektori ().8.6.4 ().6.5.4 kanta emitteri i b emitteri..3. Kuva.. (3).4 5 5.8.6.4...4.6.8 5 5 (4) 5 5.4..8.6.4. 5 5 co(t /4) L C Kuva 3 R v a) b) C F L /H R /3 C /F L /H R / Kuva LASKUHARJOITUKSISSA LASKETTAA: 3. Lake kuvan 3 piirille lähtöjänniteen ooitin taajuudella rad/ ja rad/ ja piirrä jänniteiirtofunktion nollanapakartta. Tee tämä kumpaiellekin komponenttiarvoille a) ja b). iime lakuharjoitukea lakettiin piirille 3 olmuyhtälö alkutiloilla. Tulota voidaan käyttää tää tehtävää (merkite alkutilat nolliki). atauket: Teht. 3: rad/ rad/ a).637.8 b).88.4 34 35
Harjoitu 3 Harjoitu 3 HARJOITUS 3. RATKAISUT TEHTÄÄ. a) Harj. tehtävää 3 aadaan herätteellä vin(t) piiriä kuvaavaki differentiaaliyhtälöki aikaalueea: Lmuunnettuna: v o t R vin t d C vo t R dt d v o t v vo t in t dt R C R C R C v 4 R C R C in TEHTÄÄ b) Acjännitteeniirtofunktio a) kohdaa v 3 4 R C in Taajuuvateen analyyiä oletetaan, että piirin kaikki alkutranientit ovat vaimenneet ja vate on kokonaiuudeaan pakotettua acvatetta (n. teadytate tilanne). ijoitetaan: R kr kc nf ja v () Poitetaan dcjännitelähteen vaikutu ekä alkuehto v o () 4 4 3 in 3 3 v 3 4 R C in 4 Tehdään oamurto termille 3 4 A B 3 3 4 3 in 3 3 4 A 3 4 B 4 in 3 o 3 4 in o 4 in 3 o 4 in j 4 j 36 37
Harjoitu 3 Harjoitu 3 TEHTÄÄ c) o 4 j 4 8 atan 4 8 8 47 47,9 83, o Tulojännitteen ooitin 4 8 4 8 5799,9 j 8, Akelvateen Lmuunno: R Lut k k k 3 j j k R k jr j j j j jj j 4 k 3 jr j j j j j j d) o in 4 Imag nollanapakartta napa: (reaalinen) nolla: (reaalinen) Real j 4 R j j 4 4 j j L R rt je jt je jt 4 4 e jt j e jt e jt j e jt 4 4 4 4 TEHTÄÄ (a) e 4 t e jt e jt j e 4 t e jt e jt Navat piteiä j e t e jt e jt e t e j jt e jt H p p j j e t cot e t int e t co t in t vataa akelvatetta () 38 39
Harjoitu 3 Harjoitu 3 b) Muodotetaan aluki verkkofunktio (kuten akohdaa), jolle laketaan vate, kun tuloherätteenä on akelpuli. Navat piteiä (/4 j) ja (/4 j), nolla nollaa F /4 j j 4 4 6 R F 6 Kerrotaan F() akelvateen Lmuunnokella / Tehtävä on helpointa ratkaita kirjoittamalla R() ekponentiaalieti vaimenevan iniaallon L muunnota vataavaan muotoon (huom! komplekiet napaparit aiheuttavat aina inimuotoien vateen): Le at int a t 4 R jonka käänteimuunno on rt e int 4 vataa akelvatetta () (vaimeneva inivärähtely, jonka vaiheiirto ) F R j j 4 4 6 F 6 Tehtävän voi ratkaita kokonaan Heaviiden kehitelmällä, mutta tää tapaukea en käyttö vaatii paljon lakemita johtuen komplekiita navoita (ja inimuotoieta vateeta). Ratkaitaan tehtävä helpommin kirjoittamalla toien ateen termi yleitä vaimenevan iniaallon Lmuunnota vataavaan muotoon (myö edellien tehtävän voi lakea näin): R k a b 6 6 Laketaan vakio k Heaviiden menetelmällä: k R 7 Laketaan euraavaki a ja b käyttämällä k :tä ja laventamalla amannimiiki: k 6 a b k k a b 7k 6 { k a k b { a k k b 6 7 8 7 Kirjoitetaan euraavaki. ateen termi inin ja koinin Lmuunnokia vataavaan muotoon (vrt. edellieen tehtävään): c) 6 8 k 7 7 k 3 4 6 8 k 6 3 k 7 7 3 k 4 4 4 /4 { 6 k 3 4 6 7 6 7 7 7 4 R 4 k 7 4 4 Navat piteiä (/4 j) ja (/4 j) 4 4
Harjoitu 3 Harjoitu 3 rt akelvate (4) (lähetyy T:n kavaea arvoa 6/7 ) d) t t t 6 4 4 6 4 4 6 e e in t e cot 4in t 6 cot 7 7 7 7 7 /4 Navat piteiä (/4 j) ja (/4 j), kakinkertainen nolla nollaa F R j j 4 4 6 F 6 Kirjoitetaan R() jälleen vaimenevan inin ja koinin Lmuunnokia vataavaan muotoon: k k 4 k R { k k k 4 k 4 4 4 R 4 4 rt e 4 4 akelvate (3) (lähetyy T:n kavaea nollaa) t 4 in t 4 cot 4 43
a Harjoitu 4 Harjoitu 4 4. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Yhditä kuvan piirien jännitteeniirtofunktiot out / in kuvan nollanapakarttoihin. Numero nollanapakartan kirjaimen perää kertoo, montako piiriä kyeieen karttaan liittyy. Kuvan komponenttiarvojen ykiköt ovat ohmeja, henryjä ja faradeja. Lukuunottamatta piirejä (6) ja (4) tulo on vaemmalla ja lähtö oikealla. () v in / (4) () (6) (7) v out / / (5) (9) (8) (3) / nolla (ooittajan nollakohdat) napa (nimittäjän nollakohdat) (a,) (b,3) (c,) (d,).6.38 (g,) (e,) (h,) j j j j (f,) (i,) j j / () () j j j j () / (3) Kuva / v in /3 v out (4) / Kuva Piirien () ja () nollanapakartat ratkaitaan lakuharjoitukia. Liäki laketaan ylimääräinen tehtävä 44 45
Harjoitu 4 Harjoitu 4 HARJOITUS 4. RATKAISUT OPERAATIOAHISTINKYTKENTÖJEN ANALYSOINTI Oletetaan operaatiovahvitin ideaalieki, jolloin. Tulonapojen impedani. Operaatiovahvitimen jännitevahvitu 3. Tulonapojen välinen jännite (eurau kohdata ) 4. Lähtöimpedani Analyoidaan piiri () näiden oletuten pohjalta out in R C R C C R R C C Sijoitetaan R /, R, C F, C F out in Nimittäjän nollakohdat: in I I R I 3 C C I 4 R out R / R C F C F 4 4 j j out in j j ataa kuvan nollanapakarttaa (e) nolla nollaa navat j ja j Oletuken 3. peruteella jännite, koka poitiivinen tulonapa on maadotettu. Sovelletaan Kirchoffin virtalakia piteeeen. Piiri () out Z out I I I 3 () in in Z in I out, I R, I C 3 C C () in C R out C () Oletuken. peruteella I 3 I 4, koka operaatiovahvitimen äärettömään tuloimpedaniin ei mene virtaa. out C out out R R (3) R C Jännitejaon peruteella out Z in Z Z R Z C R R C, Z R R R C C out R R R R C R R C R C in R R R R R R C R R C R R R C R R C () & (3) in out R R R C C out C R C out C out R C R C R C R C nolla napa vataa nollanapakarttaa (c) 46 47
Harjoitu 4 Harjoitu 4 (3) in C R out R C F (5) in I I R R R C F I I R C out out R RC kartta (b) in RC R C RC (4) R R in I out, I R C R in R C out R out R R C RC in R R out /C * I in I C C out I? I R C F kartta (b) (6) Laketaan I in R C C C R C I I, jota in R a R v out b R C R R R C F R C in C C in C I in R C C R 3R RC 3RC C C R C C I out in C RC 3RC R C a, R R in in b R C in RC in out RC RC,5 in RC RC RC kartta (f) out in RC 3RC kartta (d) 3,6,38 48 49
Harjoitu 4 Harjoitu 4 in (7) R / R / I v I out C F in I R C R I L kartta (e) RCL L R RC RC LC () Z in I out in, I R C R out C R in R R C out R C CR R R R CR R in R C R C R R C kartta (c) (8) in C L out C F L H out L LC in L LC C j j j j LC LC LC kartta (h) (9) in Z R R C R R C F Piirin (5) pohjalta voidaan johtaa lakuääntö invertoivalle operaatiovahvitinkytkennälle: R C R out Z R C R C R C in Z R R R R C R C kartta (a) (3) in R C out out C RC kartta (a) in R C RC RC out R C F in R C L out C /F L H R L L L out C C C L C in R L L C R C L R C RL L C C 5 5
Harjoitu 4 Harjoitu 4 H4 YLIMÄÄRÄINEN TEHTÄÄ: (4) TENTTITEHTÄÄ 7.4. 6 in R a R v out R 3 b R R /3 R R 3 R L H C /F Lake kuvan 3 piirin lähtöjännite v out (t), kun t ja v in (t) on ykikköakelfunktio. Piiriin ei ole varatoitunut energiaa hetkellä t (eli laketaan nollaalkuehdoilla). oit käyttää apuna taulukkoa 5. L F C R a 3 R R in 4 in R L C b R 3 R L C LC RC in LC CR R 3 in R L LC R R in 3 in L LC out a b 3 in in in 4 4 4 j j kartta (i) 4 j j vin F k Kuva 3 Taulukko 5: Joitain Laplacemuunnopareja (t) vout X() ykikköimpuli (t) ykikköakel u(t) / ramppi t / ekp.funktio e at / (a) ekp.funktio t n e at n! / (a) n 5 53
Harjoitu 5 Harjoitu 5 5. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Kuvaa on edellien harjoituken nollanapakartat ja niihin liittyvät piirit iirtofunktioineen. Kuvaa on kaikkien piirien taajuuvateet eli amplitudi (mag) ja vaihe (phae) taajuuden funktiona. aiheen ykikkönä on ate. Päättele iirtofunktion avulla, mitkä vateet ja piirit vataavat toiiaan. (d).6.38 (4) out in 3 (a) () (3) out in out in (e) j j () / out in (9) / out in (f) (6) (b) (c) (5) () () out in out in Kuva / / / (7) out,5 in / out in (g) (h) (i) out,5 v in v in out j j j j j j j j () (4) /3 v in (8) v out / / out in out in out,5 in Kuva 54 55
Harjoitu 5 Harjoitu 5 () Mag.5 3 4 5 6 7 8 9 (rad/) 8 35 Phae 9 45 3 4 5 6 7 8 9 (rad/) (3) (4) Mag.5 ().5 Mag.5 3 4 5 6 7 8 9 45 Phae 9 35 8 3 4 5 6 7 8 9 (rad/) Mag.5 (7) (8).4.3.5.. 8 3 4 5 6 7 8 9 (rad/) 5 8 9 9 Mag 3 4 5 6 7 8 9 (rad/) Phae (9) () Mag.8.6.5.4 3 4 5 6 7 8 9 (rad/) 5 5.5 Phae 3 4 5 6 7 8 9 (rad/) Mag Mag.5 45 9 35 8 3 4 5 6 7 8 9 Phae 3 4 5 6 7 8 9 (rad/) 3 4 5 6 7 8 9 8 35 9 (rad/) (5) (6) (rad/) Mag Phae 3 4 5 6 7 8 9 (rad/) Kuva.6.5.4.3 45 9 Phae 3 4 5 6 7 8 9 (rad/). 3 4 5 6 7 8 9 (rad/) 8 35 9 45 3 4 5 6 7 8 9 (rad/) Mag Phae 3 4 5 6 7 8 9 (rad/) 3 4 5 6 7 8 9 8 35 9 45 () 3 4 5 6 7 8 9 (rad/).5 45 3 4 5 6 7 8 9 9 45 (rad/) Phae (rad/) Mag Phae 9 3 4 5 6 7 8 9 (rad/) 3 4 5 6 7 8 9 (rad/) 5 5 () Kuva Phae 3 4 5 6 7 8 9 (rad/).8.6.4. 3 4 5 6 7 8 9 (rad/) 9 45 Mag Phae 3 4 5 6 7 8 9 (rad/) 56 57
Harjoitu 5 Harjoitu 5 HARJOITUS 5. RATKAISUT TAAJUUSASTE, SIIRTOFUNKTIO JA NOLLANAPAKARTTA: Taajuuvateella tarkoitetaan piirin teadytate vatetta (amplitudi ja vaihevate) inimuotoielle tuloignaalille. Sen voi aina lakea uoraan iirtofunktiota ijoittamalla :n paikalle jja lakemalla iirtofunktion iteiarvo ja vaihe eri :n arvoilla. Tehtäväpaperita nähdään, että amalla nollanapakartalla voi olla ueita eri piiritoteutukia ja iihen voi liittyä ueita iirtofunktioita riippuen vakiotermitä. Tämän vuoki tietyn piirin aboluuttita vaihe ja amplitudivatetta ei voi määrittää pelkätään nollanapakartan peruteella, vaan myö vakiotermi täytyy tuntea. akiotermin iteiarvon muuttuminen vaikuttaa vain amplitudivateeeen, kun taa vakiotermin merkin muuttuminen vaikuttaa ainoataan vaihevateeeen. Amplitudi ja vaihevateen perumuoto voidaan kuitenkin aina päätellä pelkän nollanapakartan peruteella, koka iihen vakiotermin muuttuminen ei vaikuta. H(j) j navat nollat j Kuvaa 3on erä nollanapakartta ja itä vataava iirtofunktion H iteiarvo. Iteiarvokuvaaja on 3ulotteinen, koka nyt komplekiella taajuumuuttujalla on reaali ja imaginäärioa. 5 Navat ovat pinnan kohtia, joia H(j) ja nollat kohtia, joia H(j). Reaalioa vataa aikataoa ekponentiaalieti vaimenevaa tai kavavaa termiä. Nyt kun vate on jatkuva ja inimuotoinen, reaalioa on nolla. Siniherätteen graafinen taajuuvate iten on 3ulotteien pinnan leikkau jakelia pitkin (kuva 4a). Yleenä taajuuvatetta lakettaea käytetään vain poitiiviia :n arvoja, kuten kuvaa 4b. Tää harjoitukea etitään iirtofunktiota vataava taajuuvateen kuvaaja. Käytännöä tämä tapahtuu lakemalla iirtofunktiota valikoiduilla taajuukilla iteiarvo ja vaihe. Muitin virkitämieki euraavalla aukeamalla on kertauta ooitinlakennan äännöitä..5.5 (a) Kuva 3. j eli Im akeli eli Reakeli H() :n leikkau jakelin kohdalta j (b) H().5 likimääräinen amplitudivate (iteiarvo) j Kuva 4. 58 59
Harjoitu 5 Harjoitu 5 PIIRI () komplekinen vektori z jy (uorakulmainen muoto) A y vektorin pituu y arctan vektorin vaihekulma Imag Summau j 8 o 8 o j Reaalien ja negatiivien vektorin vaihekulma on 8 o. Real z jy A z jy A z Ae j A Imag A co j A in komplekinen vektori (ooitinmuoto) 7 o z z jy y j 9 o j 7 o 9 o j Real Jo laketun vaihekulman iteiarvo on > 8 o, valitaan yleenä vatakkainen kiertouunta., 8 o j j arc tan 8 o 74 o o 5 57 8 o 45 o,735 o 8 o 84 o,96 o Nähdään, että ainoa lakettuja amplitudi ja vaihearvoja vataava tehtäväpaperin taajuuvate on numero (5). (5).5 Mag Erotu Kertolakut z z jy y z z A A A A 4 6 8 (rad/) 8 Phae 35 9 jakolakut z z A A A A 4 6 8 (rad/) poteniin korottaminen z n A n n A n 6 6
Harjoitu 5 Harjoitu 5 PIIRI (3) Jänniteiirtofunktio eroaa edellietä vain vakiotermin etumerkin oalta, joten en amplitudivateen täytyy olla ama, kuin piirillä (). Myö vaihevateen muoto on ama, mutta arvot ovat 8:een vaiheiirroa edellieen. Näiden ehtojen peruteella piirin (3) taajuuvate on numero (4). taajuuvate () ().5 Mag (4).5 3 4 5 6 7 8 9 Mag.5 45 9 Phae 4 6 8 (rad/) 35 8 3 4 5 6 7 8 9 (rad/) 45 Phae PIIRI () 9 4 6 8 (rad/),5 Siirtofunktio eroaa piiritä (3) ainoataan vakiotermin oalta. Suurilla taajuukilla iteiarvo lähetyy arvoa.5. PIIRI (5) piiriä vataa taajuuvate (), > j j j 8 o 9 o arc tan o 9 o 957 o 55 7 o 9 45 o,4 35 o o 9 84 o 74 o ().8.6 Mag.4. 4 6 (rad/) 8 9 45 Phae 4 6 8 (rad/) 6 63
Harjoitu 5 Harjoitu 5 Laketaan loputkin tehtävät ijoittamalla :n paikalle,rad/, rad/ ja rad/. Iteiarvojen ja vaiheiden lakemien jälkeen etitään vataavat taajuuvatekuvaajat. oit haluteai käyttää muitakin taajuukia. oit kirjata tulokia euraavan taulukkoon, eimerkiki piirin () iteiarvot ja vaiheet em. taajuukilla on jo lakettu malliki. Ooitinlakenta on tärkeä apuväline monea kuria. Uein PT tentiä on tehtävä, joa piirretään taajuuvate käyttäen harjoitukea 6 opittavaa taajuuvateen viivaapprokimaatiota. Ooitinlakennalla voi tarkitaa tietyllä pitetaajuudella, onko oman approkimaation iteiarvo tai vaihe oikeaa paikaa. Lakaria 6 graafinen taajuuvate piirretään iten, että taajuuakeli on logaritminen (tää lakaria e on lineaarinen) ja iteiarvot ilmaitaan deibeleinä (tää e oli lineaariateikolla). Eimerkki: verkkofunktio on 3 H ja haluat tietää, mikä on iteiarvon ja vaiheen tarkka arvo taajuudella. Iteiarvo laketaan deibeleina, log tarkoittaa tää kantaita logaritmia. 3 log Hj log j log 3 log j log 3 log j 6dB 6 4dB db H(j):n vaihe taajuudella aadaan: 3 Hj arc tan 3 arc tan arctan arc tan o 84 894 o 84 3 o piiri () (7) (4) () ja (9) (6) () (8) (4),5 h,5 3 iirtofunktio,5 Mag,,,63 Mag,,99 Mag,,85 Phae,, 8,43 Phae, 5,6 Phae, vate (8) () (3) () (6) () (9) (7) 64 65
Harjoitu 6 Harjoitu 6 6. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Piirrä euraavien verkkofunktioiden Boden amplitudi ja vaihekuvaajat a) Hj j b) Hj j j j j c) Hj j j j H (deg) 45 9 (a) H (deg) 9 8 (b). Eti kuvan Boden amplitudikuvaajia vataavat verkkofunktiot. 3. Eti kuvan Boden vaihekuvaajia vataavat verkkofunktiot 35. (rad/) 7. (rad/) 4. Piirrä euraavan verkkofunktion Boden amplitudi ja vaihekuvaajat Kuva Hj j 3 j j, j LASKUHARJOITUKSISSA LASKETTAA: 5.a) Määritä kuvan 3 vaihekuvaajaa vataava verkkofunktio. (vertaa tehtävään 3) b) Piirrä akohdan verkkofunktiolle Boden amplitudikuvaaja, kun verkkofunktion vakiotermi K on. 6 H db) (a) H db) (b) H(j) (deg) 6.. (rad/) (rad/) Kuva 9 45 45. (rad / ) 9 Kuva 3. 66 67
Harjoitu 6 Harjoitu 6 BODEN KUAAJAT Boden kuvaaja on taajuuvateen graafinen eity. Erona edellien harjoituken taajuuvateiden eitykeen on e, että taajuuakeli on logaritminen ja amplitudikuvaaja eitetään deibeliateikolla. Logarimien taajuuateikon käyttämien yy elvinnee alla olevata eimerkitä. Siinä on eitetty tehtävän b) verkkofunktion tarkka taajuuvate ekä lineaariilla että logaritmiilla ateikoilla. Lineaarinen taajuuateikko kätkee verkkofunktion kaitanpäätöluonteen, eli iteiarvo nollataajuudella ei olekaan, kuten vaemmata iteiarvokuvaajata voitaiiin tulkita. Myö vaihekuvaaja on paljon elkeämpi logaritmiella taajuuateikolla: nurkkataajuudet, joia vaihe muuttuu, ovat helpommin havaittavia. erkkofunktioiden iteiarvoilla voi olla eri taajuukilla uuria vahvitukia ja vaimennukia, joten iteiarvokuvaajat eitetään deibeliateikolla. Eimerkiki 4dB on lineaariateikolla,, mikä on melko hankala havaita jo lineaarinen ateikko on vaikkapa nollata tuhanteen. Lineaariet ateikot Logaritmiet ateikot BODEN KUAAJIEN PIIRTÄMINEN Kuvaajia ei piirretä tarkan ooitinlakennan avulla, vaan n. viivaapprokimaatioiden avulla (traightline approimation), joiden avulla kuvaajien piirto ruutupaperille on mahdolliimman nopeaa. Piirtoäännöt ovat ivuilla 774, mutta itä ennen hiukan pohjututa. Kun kuvaajia aletaan piirtää, verkkofunktio kirjoitetaan muotoon Hj K Aj,miä K on vakiotermi, A ja B ovat ooittaja ja nimittäjä. Bj Jotta Boden kuvaajien piirtäminen menii oikein, reaaliet ja komplekiet nollat ja navat ovat kirjoitettuna tietyä tandardimuodoa, joka on muokattu verkkofunktion nollanapa eityketä. Reaaliet nollat ja navat. Jo H(j) iältää vain reaaliia nollia ja napoja, e on muotoa: j z j z j z m Hj K j p j p j p n, (6) iteiarvo 8 6 4 4 6 8 taajuu rad/ (lineaar.) 9 45 45 vaihe 9 4 6 8 taajuu rad/ (lineaar.) iteiarvo (db) 5 5 5 3 taajuu rad/ (logateikko) 9 45 45 vaihe 9 3 taajuu rad/ (logateikko) miä z...z m ja p...p n ovat taajuukia, joia amplitudivateen jyrkkyy muuttuu. Siirtofunktion nollanapaeitytä käytettiin edelliiä lakareia (eim. käänteimuunnoket). Eimerkiki H muokattaiiin tää lakaria muotoon z K, p p miä K, z rad/, p rad/ ja p rad/ Lakuohjeia eitetään j, joten j j z j j K j p j p 68 69
Harjoitu 6 Harjoitu 6 Komplekiet nollat ja navat: Jo A(j) ja B(j) iältävät komplekiia nolla ja napapareja, niiden aiheuttamat termit ovat muotoa:. (7) Qluku (eim. Q z ) on termi, jolla voidaan approkimoida amplitudivateen piikitytä ja vaihevateen jyrkkyyttä. Jo eimerkiki A(j) on muotoa j 3 j, Q z ja z aadaan vertaamalla kaavan (7) ooittajan muotoa: Näin ollen z on ja Q z on 3/. j j Q z z z Hj K j j Q p p p j 3 j j 3 j j j Q z z z DEKADI, DESIBELI Amplitudi ja taajuukuvaajia taajuuakeli on logaritminen, perutuen yleenä kantaieen logaritmiin. Tällöin taajuu kavaa taavälein kymmenkertaieki. Taajuuväliä, joa taajuu on kavanut kymmenkertaieki, kututaan dekadiki. 3 4 5 4 5 log rad/ Amplitudikuvaajaa verkkofunktion iteiarvo eitetään deibeleinä ( logh(j) ) ja vaihekuvaajaa vaiheakeli on lineaarinen. Kun piirretään taajuuvatetta, reaaliet/komplekiet nollat ja navat on aina kirjoitettava kaavojen (6) ja (7) mukaieti Jo näin ei tehdä, vakiotermi menee erittäin todennäköieti pieleen. Eimerkkinä iirtofunktio, joa reaalinen nolla: H H Siirtofunktio H() muokataan ennen piirtämitä euraavati: j Eli vakiotermi K onkin eikä! Lakuia nollat, navat, vakiokerroin, ja hyvyyluku (z,p,k ja Q) ovat numeeriia tunnulukuja, joiden mukaan iirtofunktion oatermit piirretään. Nämä oatermit ovat ii, nollat ja navat ja vakiokerroin. Tehtävien iirtofunktioita näkee uoraan, onko nolla/napa reaalinen vai jopa origoa. Jo ooittajaa tai nimittäjää on toien ateen polynomi, kannattaa lakemalla todeta, ovatko nollat/navat komplekiia vai reaaliia. Jo reaaliia, eitä iirtofunktio kahden reaalien termin tulona Eimerkki: nolla origoa j j j j z j j K j p j p reaalinen nolla reaalinen napa 7 7
Harjoitu 6 Harjoitu 6 akiotermi : iteiarvo log K Reaalinen nolla, tekijä ( j/z) : vaihe logk kun K 8 kun K H(j) 8 8 H(j) Reaalinen nkertainen nolla :a (origoa), tekijä (j) n : iteiarvo nlog vaihe n 9 ndb H(j) n9 H(j) K < K > K < z db kun z iteiarvo vaihe 45 dek z z db dek kun z 9 z db db z jyrkkyy db/dek H(j) virhe 3dB Reaalinen napa, tekijä /( j/p): z z 9 45 45 9 H(j) z jyrkkyy 45/dek z z (vaemman puolitaon nolla) db jyrkkyy ndb/dek p db kun p iteiarvo vaihe 45 dek p p db dek kun p 9 p ndb (lyhenne dek tarkoittaa dekadia eli taajuuden kymmenkertaitumita) Reaalinen nkertainen napa :a, tekijä /(j) n : iteiarvo nlog vaihe n 9 H(j) db p p virhe 3dB 9 H(j) 45 p 45 (vaemman puolitaon napa) p p p ndb H(j) H(j) db jyrkkyy db/dek 9 jyrkkyy 45/dek jyrkkyy ndb/dek db ndb n9 Reaalinen nolla ja napa kääntävät ii vaihetta 9 o. 7 73
Harjoitu 6 Harjoitu 6 Komplekinen nollapari, tekijä j : Q z z z j Lopullinen Bodenkuvaaja tehdään enin piirtämällä kunkin oatermin iteiarvo ja vaihe erikeen. Lopuki oatermien aiheuttamat kuvaajat ummataan. db kun z vaiheen muuto 8 iteiarvo vaihe 4dB dek kun z muuto taajuudeta taajuuteen H(j) 4dB jyrkkyy 4dB/dek H(j) 8 9 (vaemman puolitaon kompl. nollapari). Kun piirrät Boden kuvaajia, noudata tarkkaan piirtoääntöjä. Kuvaa on eimerkki oatermien kuvaajien ummaamieta. Harmaalla on merkitty vakiotermin ja reaalien navan vaikutuket amplitudivateeeen. Muta käyrä on oatermien umma, eli lopullinen amplitudivate. (db) 4 4 6 log ()db db todelliea vateea on piikki rajataajuudella, piikin uuruu on log Q 4Q db z z Komplekinen napapari tekijä j : Q p p p j z z log 4Q, z log 4Q Huomaa, että vaiheen muutojyrkkyy riippuu Qluvuta db kun p vaiheen muuto 8 iteiarvo vaihe 4dB dek kun p muuto taajuudeta taajuuteen Kuten komplekiella nollaparilla, vaiheen muutojyrkkyy riippuu Qluvuta. log todelliea vateea on piikki rajataajuudella, piikin uuruu on H(j) Q 4Q db H(j) p db p p (vaemman puolitaon jyrkkyy kompl. napapari) 4dB/dek 9 H(j) Approkimointiääntöjä on helpotettu iten, että nollat ja navat ijaitevat aina vaemmaa puolitaoa. Tällöin toteututa kututaan minimivaiheieki, illä vaemman puolitaon nollien aiheuttama vaiheen editäminen kompenoi napojen aiheuttamaa vaiheen jätättämitä. Kuten edelieä lakaria mainittiin, piirretyn Boden kuvaajan voi tarkitaa ooitinlakennalla ijoittamalla :n paikalle jokin piirretyä kuvaajaa oleva taajuu ja lakemalla todellinen iteiarvo ja vaihe. Huomaa, että jo laket tarkan taajuudella, jolla vaihe tai amplitudivate taittuu, tarkka arvo aattaa hieman poiketa viivaapprokimaatiota. 4dB 8 p log 4Q, p log 4Q 74 75
Harjoitu 6 Harjoitu 6 HARJOITUS 6. RATKAISUT TEHTÄÄ. a) Hj A j j B C vakiotermi reaalien navan aiheuttavat termit j/ (p ) ja j/ (p ) H(j (db) H(j (db) H(j) (deg) 4 4 3 4 4 3 (rad / ) 45 9 35 B db/dek 4dB/dek 8 3 45 o /dek H(j) 45 (deg) 9 9 /dek 35 45 o /dek 8 3 (rad / ) A B C A C j b) Hj j j vakiotermi nollan aiheuttava termi jnolla :a) navat ( j/) ja ( j/) H(j (db) H(j (db) H(j) (deg) 4 A B C D 4 3 4 4 3 (rad / ) 9 45 B db/dek db/dek 45 C D 9 3 9 45 o /dek H(j) 45 (deg) 9 /dek 45 45 o /dek A 9 3 (rad / ) C B D A 76 77
Harjoitu 6 Harjoitu 6 j c) Hj j j vakiotermi kakinkertainen nolla :a navat kuten edellä H(j (db) H(j (db) 4 A B C D 4 3 4 db/dek 4dB/dek B 4 3 (rad / ) 8 B 35 H(j) 9 (deg) 45 45 C D A 9 3 8 45 o /dek H(j) 35 9 9 o /dek (deg) 45 45 o /dek 45 A 9 (rad / ) 3 C D TEHTÄÄ 6 6. (rad/) a) : jyrkkyy db/dek, kun /j termi : jyrkkyyden muuto db/dek, kun termi /( j/) 3: jyrkkyyden muuto db/dek, kun termi ( j/) 4: vakiotermi K: arvioidaan funktiota taajuudella., joa en arvo on 6dB: logk log log, log 6 j logk K Hj j j b) H db) : jyrkkyy db/dek, kun j termi : jyrkkyy muuttuu db/dek, kun termi /( j/) 3: jyrkkyy muuttuu db/dek, kun termi /( j/) 4: vakiotermin täytyy olla (a) Hj K j j j, K, j Hj j j H db) (b). (rad/) 78 79
Harjoitu 6 Harjoitu 6 TEHTÄÄ 3. 35. (rad/) a) : 9, kun <. termi /j : jyrkkyyden muuto 45/dek taajuudella. termi /( j/) 3: jyrkkyyden muuto 45/dek taajuudella termi ( j/) b) H (deg) : jyrkkyyden muuto 45/dek taajuudella. termi /( j/) : jyrkkyyden muuto 45/dek taajuudella termi /( j/) 3: lopullinen arvo 7. Koka edelliet termit aiheuttavat yhteenä 8 vaiheiirron taajuuteen menneä, tarvitaan liäki termi /j, joka aiheuttaa 9:een vakiovaiheen 45 9 Hj H (deg) (a) 9 K j j j Hj 8 7 K j j j (b). (rad/) TEHTÄÄ 4, AMPLITUDIKUAAJA Jaetaan H(j) tekijöihin: vakiotermi (kuvaaja A) Hj j j 3 j, j Siirtofunktion nollat ovat komplekiet (lakemalla:.3333 j.948) komplekien nollaparin aiheuttava termi j j zq,5 (kuvaaja B) 3 5 j j reaalien navan. aiheuttava termi j, (kuvaaja C) reaalien navan aiheuttava termi j (kuvaaja D) Lopullinen amplitudivate on piirretty harmaalla katkoviivalla. 6 4 4 6 H(j) (db) Iteiarvo db/dek C db/dek 3 3 z db/dek 4dB/dek D db/dek (rad/) 8 8
Harjoitu 6 Harjoitu 6 TEHTÄÄ 4, AIHEKUAAJA Hj Boden vaihekuvaaja j j j 3 j 5 j, j j, j poitiivinen vakiotermi : ei vaikuta vaiheeeen komplekien nollaparin Q on.5, joten on.39 ja on.57 (kuvaaja B) reaalien navan. aiheuttava termi j, (kuvaaja C) reaalien navan aiheuttava termi j (kuvaaja D) Lopullinen vaihevate on piirretty harmaalla katkoviivalla. H(j) (deg) aihe 5 8 35 9 45 45 9 45 o /dek o /dek 75 o /dek C 45 o /dek 45 o /dek D 35 3 3 z log 4Q z log 4Q 8 o B: jyrkkyy log log o dek 8 83
Harjoitu 7 Harjoitu 7 7. HARJOITUS. KYSYMYKSET. Synteoi taulukon avulla piirit, jotka toteuttavat alla olevat amplitudivateet. Suunnittele piirit, jo mahdollita, iten että tarvittavat kondenaattorit ovat nf:n uuruiia. Toteuta (a) ja (b)kohdia liäki piirit, jotka antavat aman vateen kertaiella taajuudella kuviin verrattuna. mh mf in out 3 4 (a) db Kuva db Taulukko Nollanapakartta T() () / () piiri (ykiköt ovat ohmeja ja faradeja) (b) (c) 6dB db db db 6dB/oct 6dB/oct 4 db/dec db/dec 8 5 p z K z p toteuttaa mitkä tahana reaaliet nollan ja navan /z /K K/p /K db 6dB/oct p K p K/p (d) 6dB db db/oct 3 4 3 /K LASKUHARJOITUKSISA LASKETTAAT: p p K p p /p K/p. Miten (d)kohta toteutetaan yhdellä operaatiovahvitimella? 3. Tenttitehtävä 6..4 Kuvan piiritä: Lake Jännitteeniirtofunktio H() out () / in () ja piirrä H():lle Boden amplitudi ja vaihekuvaajat. 84 85
HARJOITUS 7. RATKAISUT SIIRTOFUNKTIOIDEN REALISOINTI KASKADIKYTKENNÖILLÄ Harjoitu 7 Kun iirtofunktion toteuttaminen ykinkertaiella perukytkennällä ei onnitu, voidaan näitä perumoduleja kytkeä peräkkäin eli kakadiin. Peräkkäiten ateiden iirtofunktiot voidaan kertoa kekenään, jo ne eivät kuormitta toiiaan. Tämä toteutuu jännitevahvitimea, mikäli ykittäien ateen tuloimpedani on ääretön tai lähtöimpedani nolla. Tällöin peräkkäiten ateiden iirtofunktiot voidaan kertoa kekenään, koka edellien ateen lähtöjännite kytkeytyy kokonaan euraavan ateen tuloon. Tarkatellaan eimerkiki kahden. ateen alipäätöuodattimen kakadikytkentää:. ateen alipäätöuodatin (iirtofunktio lakettu harj 4) in R C out out RC in RC Taajuu ja impedanikaalauket Harjoitu 7 Suodatinuunnittelua tarvitaan uein taajuu ja impedanikaalauta, jotta aavutetaan halutut iirtoominaiuudet. Skaalattujen piirielimien yhtälöt ovat euraavat. Impedanikaalau vatu R new k m R old () kela L new k m L old () kondenaattori C new C (3) k old m. ateen alipäätöuodatin (iirtofunktio lakettu harj 4) in R C R C out out RC in 3 RC RC. ateen alipäätöuodatin, joa ykittäiet ateet on erotettu ideaaliella operaatiovahvitimella, jonka tuloimpedani on ääretön ja lähtöimpedani nolla R a in C R C out out RC RC RC in RC RC RC RC b Taajuukaalau vatu R new R old (4) kela L new L (5) k old f kondenaattori C new C (6) k old f Skaalauket voidaan myö tehdä amanaikaieti, jolloin edelliet kaavat voidaan yhditää: Impedani ja taajuukaalau vatu R new k m R old (7) kela k m L new L (8) k old f kondenaattori C new C (9) k m k old f iimeieä piiriä käytetty operaatiovahvitinkytkentä voidaan analyoida harj. 4 ääntöjen pohjalta. Koka tulonapojen välinen jännite on nolla, b a. Ääretön tuloimpedani ja nolla lähtöimpedani ovat ideaalien operaatiovahvitimen ominaiuukia, joten operaatiovahvitin toteuttaa tää kytkennää ideaalien pukurin. Ykittäiten operaatiovahvitinkytkentöjen liittäminen peräkkäin toteuttaa aina kakadikytkennän ehdot, koka niiden lähtöimpedani on nolla (eim. tehtäväpaperin kytkennät). Tällöin euraavan ateen tuloimpedanin ei tarvite olla ääretön ideaalien kytkeytymien toteutumieki. 86 87
Harjoitu 7 Harjoitu 7 a) Jaetaan Boden amplitudikuvaaja oiin, joita piiri on helppo muodotaa: T T db 3 4 /K / /K / db 3 4 3 /z / 3 3 K/p / /z / 4 4 K/p / 5 5 aadaan euraava piiri db F F F F db 4 j in 3 4 5 out rajataajuudet Taajuukaalauta ei nyt tarvite uorittaa, koka komponenttiarvot on valittu uoraan haluttujen rajataajuukien peruteella. Suoritetaan impedanikaalau iten, että kaikki kondenaattorit ovat arvoltaan nf. Impedanikaalau kondenaattorille aadaan kaavata (3): 4 3 C k m old F C new nf 7 Skaalaamalla kaavoja ()(3) käyttäen aadaan piiri Siirtofunktioki aadaan: j 3 j Tj K 4 j j 5 j 3 j 4 j j 5 nf nf nf nf Kuvata nähdään, että taajuudella, T(j) db, joten K. Jaetaan euraavaki iirtofunktio kahteen. ateen funktioon. Jako voidaan tehdä eimerkiki euraavati: T T T 3 4 5 T :n ja T :n realioimieen voidaan nyt käyttää taulukon piiriä : in k k k.k out 88 89
Harjoitu 7 Harjoitu 7 Tehdään euraavaki taajuukaalau iten, että rajataajuudet nouevat kertaiiki. Käyttämällä kaavaa (9) tulee impedanikaalaukertoimeki C old F k m k f C new nf 6 aadaan piiri: Saadaan iirtofunktio j Tj K j 4 j j Koka T() db, K. nf nf nf nf T 4 T T in k k.k.k out käytetään realioinnia piiriä. T T /K / /K / b) Rajataajuudet voidaan aluki päätellä jyrkkyykien peruteella (jyrkkyy 6dB/oct tarkoittaa, että amplitudin arvo muuttuu 6dB taajuuden kakinkertaituea). Tämä on ama jyrkkyy, kuin db/ dec) Jaetaan aluki amplitudikuvaaja oiin, kuten edellä /z /. /z K/p /.5 /4.5 K/p /.5 6dB 6dB/oct 6dB/oct aadaan piiri db 4 F F F F 6dB 6dB/oct 6dB/oct in 5 3.5 3 5 3 out db 4 db/oct Tehdään impedanikaalau iten, että kaikki kond. ovat nf. k m 7 edellien kohdan peruteella. piiri nf nf nf nf 4 in k 5k 5k 5k out kakinkertainen napa 9 9
Harjoitu 7 Harjoitu 7 Tehdään euraavaki taajuukaalau iten, että rajatataajuudet kymmenkertaituvat. Kaavata (9) C old F k m k f C new nf 6 vatuket pienenevät kymmeneoaan entietä. Koka iteiarvo on kekitaajuudella db K. K tot 5 Taulukota nähdään, että voidaan käyttää uoraan piiriä 3 /K /5 8 6 c) /p /8 3.5 K/p 5/5 db db db/dec 8 5 db/dec Skaalataan kondenaattorit iten, että tulohaaraa oleva kond. on nf C old,5 k m 3 C new 9 5 aadaan piiri: 6nF db/dec db db A 8 5 db/dec B C D db/dec.5k nf 5k Jo K laketaan todelliten arvojen peruteella (arvioidaan funktiota taajuudella rad/), aadaan en arvoki noin 6.5. Syynä on e, että Bodenamplitudikuvaajat ovat approkimaatioita, jotka antavat 3dB:n virheen napa ja nollataajuudella (ykinkertaien navan tai nollan tapaukea). Alla olevaa kuvaa on ekä todelliet arvot, että approkimaatiot. Jo uunnitellaan tämän eimerkin mukainen kaitanpäätöuodatin pelkätään Bodenapprokimaatioiden peruteella, virhe tulee itä uuremmaki, mitä pienempi kaitanlevey uodattimelle valitaan. 5 8 8 3 5 3dB Laketaan aluki piirin iirtofunktio. db/dec noueva kuvaaja B on termin j/ aiheuttama, miä on db:n ylitytaajuu 8rad/ (vrt. harj. 6) j 8 Tj K K5j j 8 j 5 j 8j 5 H(j) 5 j 8 j 8 total j 5 3 4 (rad/) 9 93
Harjoitu 7 Harjoitu 7 d) Impedanikaalataan kumpikin ate erikeen iten, että kondenaattorit ovat nf db 6dB db 6dB/oct db/oct 3 4 3 33 4 5 4 k m 9 333 3 k m 9 5 3 T n n T db A log(k) K.5k 5k 3,33k 3,33k 6dB db 3 4 B Siirtofunktio: 4 Tj 4 6 j j 3 j j 3 8 3 T (yki jakomahdolliuu) j j 3 T käytetään piiriä. Yhditämällä piirit aadaan haluttu iirtofunktio. /K.5 4 T T C /K 3.33 4 Lopputuloken voi tarkitaa lakemalla iirtofunktiot Z Z Laketaan enin Z () kummallekin vahvitinateelle: 9 5 3 T 5 3 : 9 5 3 5 3 9 () () Z () Z () 7 K/p 4 K/p T : 9 333 3 9 333 3 333 3 3 33 3 9 7 3 Ja lopulliiki iirtofunktioiki aadaan: T : T : 7 5 3 7 3 333 3 8 3 3 94 95