Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 + v 2 u + v. Todista keskiarvoje suuruusjärjestys H G yhtäsuuruus o voimassa? A C. Milloi Ratkaisu. Läpi harmaa kive ratkaisut: H G 2 + u v 2 u ( ( uv ( 2 ( ) 2 v u) + v 2 ( 2 u) 2 + u v v) 0 2 u v) 0. Alimma rivi epäyhtälö o tosi, koska reaalilukuje eliöt ovat eiegatiivisia. Yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos = 0 u = v. u v G A uv u + v 2 2 u v u 2 + v 2 u 2 2 u v + v 2 0 ( u v ) 2 0. Alimma rivi epäyhtälö o tosi, koska reaalilukuje eliöt ovat eiegatiivisia. Yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos u v = 0 u = v. {0220 }
A C u + v u2 + v 2 2 u + v (u + v) 2 2(u 2 + v 2 ) u 2 + 2uv + v 2 2u 2 + 2v 2 u 2 2uv + v 2 0 (u v) 2 0. Alimma rivi epäyhtälö o tosi, koska reaalilukuje eliöt ovat eiegatiivisia. Yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos u v = 0 u = v. Hiema vähemmällä pääsee, jos huomaa, että G 2 = AH. 2. Osoita, että jos u ja u 2 ovat positiivisia lukuja, joille u + u 2 =, ii Milloi vallitsee yhtäsuuruus? u + u 2 4. Ratkaisu. Tehtävä oletuste mukaa + = u + u 2 + u + u 2 = + u 2 + u + + 2 + = 4. u u 2 u u 2 u u 2 Yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos u 2 + u = 2, u u 2 mikä toteutuu, jos ja vai jos u = u 2 = 2. 3. Osoita, että jos u, u 2 ja u 3 ovat positiivisia lukuja, joille u +u 2 +u 3 =, ii u + u 2 + u 3 9. Milloi vallitsee yhtäsuuruus? Ratkaisu. Samalla tavalla kui edellisessä tehtävässä + + = u + u 2 + u 3 + u + u 2 + u 3 + u + u 2 + u 3 = u u 2 u 3 u u 2 u 3 ( u2 3 + + u ) ( u2 + + u ) ( 3 u3 + + u ) 3 + 2 + 2 + 2 = 9. u u 2 u 3 u 2 u u 3 Yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos u = u 2 = u 3 = 3. {0220 } 2
4. Yleistä tehtävie 2. ja 3. epäyhtälöt mielivaltaiselle määrälle positiivisia lukuja, ja todista äi saamasi epäyhtälö yhtäsuuruusehtoiee. Ratkaisu. Jos positiiviste lukuje u,..., u summa o, ii äide lukuje kääteislukuje summa o vähitää 2. Todistus meee samaa tyylii edelliste kassa. Korvaamalla kääteislukuje summassa u + u 2 +... + u ı +... + u j +... + u osoittajissa olevat ykköset summalla u +... + u ja suorittamalla jakolaskut saadaa tulokseksi summa, jossa o kappaletta ykkösiä ja ( ) ( ) = 2 2 kappaletta muotoa u ı u j + u j u ı () olevia termejä, joista jokaie o vähitää yhtäsuuri kui 2. Siis kääteislukuje summa o vähitää + ( ) 2 2 = + 2 = 2. Yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos jokaise lausekkee () arvo o 2, mikä toteutuu, jos ja vai jos u ı = kaikilla ı {, 2,..., }. 5. Jos kaikki u-luvut ovat ollasta eroavia, ii CBS-epäyhtälö yhtäsuuruusehto voidaa kirjoittaa muotoo v u = v 2 u 2 =... = v u. Osoita, että jos u-lukuje summa ei ole olla, ii v ı u ı = v + v 2 +... + v u + u 2 +... + u kaikilla ı {, 2,..., }. Ratkaisu. Jos v u = v 2 u 2 =... = v u = t, {0220 } 3
ii v ı = tu ı kaikilla ı {, 2,..., }, jote v +... + v = tu +... + tu = t(u +... + u ). Jos u-lukuje summa ei ole olla, ii tästä seuraa v +... + v u +... + u = t = v ı u ı kaikilla ı {, 2,..., }. 6. a) Sijoita yksikkökuutio R 3 : positiiviste akselie rajaamaa soppee site, että yksi kärki tulee origoo ja kolme siitä lähtevää särmää yhtyy koordiaattiakseleihi. Määritä kuutio kärkipisteide koordiaatit. Laske samasta kärjestä lähtevä särmä ja avaruuslävistäjä välie kulma. Ratkaisu. Kärkipisteide koordiaatit ovat (0,0,0), (,0,0), (0,,0), (0,0,), (,,0), (,0,), (0,,) ja (,,). Samasta kärjestä lähtevät särmä ja avaruuslävistäjä voidaa esittää vektoreia s = (,0,0) ja a = (,,). Niide välise kulma γ kosii o jote γ = cos ( cos γ = ) 3 s a s a = + 0 + 0 3 54,7. = 3, b) Sijoita yksikkökuutio R 4 : positiiviste akseli osie raajaamaa osaa site, että yksi kärki tulee origoo ja eljä siitä lähtevää särmää yhtyy koordiaattiakseleihi. Määritä kuutio kärkipisteide koordiaatit. Laske samasta kärjestä lähtevä särmä ja avaruuslävistäjä välie kulma. Ratkaisu. Kärkipisteide koordiaatit ovat kute a-kohdassa (0,0,0,0), (,0,0,0), (0,,0,0),... (,,,). Niitä o 2 4 = 6 kappaletta. Samasta kärjestä alkavaa särmää ja avaruuslävistäjää edustavat vektorit s = (,0,0,0) ja a = (,,,), {0220 } 4
ja iide välise kulma γ kosii o cos γ = s a s a = + 0 + 0 + 0 4 = 2. Vektorie välise kulma asteluku o siis γ = cos ( 2) = 60. 7. a) Olkoo u R, ja γ ı se sekä katavektori e ı välie kulma kaikilla ı {, 2,... }. Osoita, että cos 2 γ + cos 2 γ 2 +... + cos 2 γ =. Ratkaisu. Olkoo u = (u,..., u ı,..., u ). Tällöi u e ı = u ı, ja toisaalta u e ı = u e ı cos γ ı. Siis mistä seuraa, koska e ı =, u e ı cos γ ı = u ı, cos γ ı = u ı u. Niipä äide kosiie eliöide summa o u 2 u 2 + u2 2 u 2 +... + u2 u 2 = u 2 u 2 =. b) Osoita, että R : vektorit toteuttavat kolmioepäyhtälö u + v u + v. Ohje: Sovella vektorimuotoista CBS-epäyhtälöä. Ratkaisu. u + v 2 = (u + v) (u + v) = u 2 + 2 u v + v 2 u 2 + 2 u v + v 2 = ( u + v ) 2, mistä väite seuraa. {0220 } 5
8. Osoita, että keskiarvot H, G, A ja C sijaitsevat pieimmä ja suurimma u-luvu välissä. Ratkaisu. Olkoot m ja M piei ja suuri positiivisista u-luvuista. Tällöi H) ja H = u +... + u H = u +... + u M +... + M +... + m m = M = m = M, = m. G) ja G = u u 2... u M M... M = M = M, G = u u 2... u m m... m = m = m. A) ja A = u +... + u M +... + M = M = M, A = u +... + u m +... + m = m = m. C) u 2 +... + u 2 Mu +... + Mu = M(u +... + u ), jote C = u2 +... + u 2 u +... + u M. u 2 +... + u 2 mu +... + mu = m(u +... + u ), jote C = u2 +... + u 2 u +... + u m. {0220 } 6
9. Todista epäyhtälö G A yhtäsuuruusehtoiee. Ohje: Tälle epäyhtälölle löytyy useita erilaisia todistuksia, mutta teoksessa [] esitetää seuraava erityise erokas ajatus. Voidaa rajoituksetta olettaa, että u u 2... u. Geometrie keskiarvo G sijaitsee pieimmä ja suurimma u-luvu välissä, jote o olemassa k, jolle u k G u k+. Koska k ı= u ı G ( t ) dt + G ı=k+ Guı( G t ) dt 0, (2) ja koska itegroitavat ovat ei-egatiivisia, o yhtäsuuruus voimassa, jos ja vai jos u ı = G kaikilla ı {, 2,... }. Osoita, että (2) sieveee epäyhtälöksi G A. Ratkaisu. Itegroitie jälkee epäyhtälö (2) vasemma puole esimmäie summa tulee muotoo k l G k l (u... u k ) + u +... + u k, G ja toie summa vastaavasti u k+ +... u G l (u k+... u ) ( k) + ( k) l G. Sijoittamalla ämä epäyhtälöö (2) saadaa l G + u +... u G Se sieveee :llä jakamalla muotoo l G + A G l (u... u ) 0. l G 0, ja edellee epäyhtälöksi A G A G. 0. a) Todista epäyhtälö H G yhtäsuuruusehtoiee. Ratkaisu. Sovelletaa epäyhtälöä G A u-lukuje kääteislukuihi. b) Todista epäyhtälö A C yhtäsuuruusehtoiee. Ratkaisu. Sovelletaa CBS-epäyhtälöä lukuihi (,..., ) ja (u,..., u ). {0220 } 7
2. osa, ks. Solmu 3/200. Osoita, että fuktio f(x) = x 2 o aidosti koveksi. Ratkaisu. Olkoo u, v R ja λ ]0,[. Epäyhtälöt f ( λu + ( λ)v) λf(u) + ( λ)f(v) ( λu + ( λ)v ) 2 λu 2 + ( λ)v 2 λ(λ )u 2 2λ(λ )uv + λ(λ )v 2 0 u 2 2 uv + v 2 0 (u v) 2 0 ovat yhtäpitäviä. Viimeie iistä o tosi, jote kaikki ovat tosia. Viimeisestä epäyhtälöstä ähdää myös, että yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos u = v, jote f o aidosti koveksi. 2. Osoita, että fuktio g(x) = x, x > 0, o aidosti koveksi. Ratkaisu. Olkoo u, v R + ja λ ]0,[. Epäyhtälöt f ( λu + ( λ)v) λf(u) + ( λ)f(v) ( λu + ( λ)v ) λu + ( λ)v ( λu + ( λ)v )( λu + ( λ)v ) 2λ( λ) λ( λ) ( u v + v ) u 2 u v + v u ovat yhtäpitäviä. Viimeie iistä o tosi, jote kaikki ovat tosia. Yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos u = v, jote g o aidosti koveksi. 3. Keksi esimerkki koveksista fuktiosta f : [0,] R, joka o a) jatkuva, b) epäjatkuva. Ratkaisu. a) Fuktio f : [0,] R, f(x) = x o koveksi ja jatkuva. b) Fuktio f(x) = o koveksi mutta ei jatkuva. {, ku x = 0, x, ku 0 < x, {0220 } 8
4. Osoita, että jos f ja g ovat välillä I kovekseja fuktioita ja jos a sekä b ovat ei-egatiivisia, ii lieaarikombiaatio af + bg o koveksi. Ratkaisu. Olkoot x, y I sekä λ ]0,[ mielivaltaisesti valittuja. Tällöi, koska f ja g ovat kovekseja ja a, b 0, o (af + bg)(λx + ( λ)y) = af(λx + ( λ)y) + bf(λx + ( λ)y) aλf(x) + a( λ)f(y) + bλg(x) + b( λ)g(y) jote af + bg o koveksi. = λ(af + bg)(x) + ( λ)(af + bg)(y), 5. Osoita, että välillä I määritelty fuktio f o koveksi, jos ja vai jos f(v) f(x) v x kaikille ehdo u < x < v toteuttaville väli I luvuille. (3) Ratkaisu. Olkoot [u,v] I. Luku x ]u,v[, jos ja vai jos o olemassa λ ]0,[ site, että x = λu + ( λ)v. Epäyhtälöt f(v) f(x) v x f(v) f( λu + ( λ)v ) v λu ( λ)v f(v) f( λu + ( λ)v ) λ() λf(v) λf(u) f(v) f ( λu + ( λ)v ) f ( λu + ( λ)v ) λf(u) + ( λ)f(v) ovat yhtäpitäviä, jote f o koveksi, jos ja vai jos ehto (3) o voimassa. {0220 } 9
6. Osoita, että välillä I määritelty fuktio f o koveksi, jos ja vai jos f(x) f(u) x u kaikille ehdo u < x < v toteuttaville väli I luvuille. (4) Ratkaisu. Olkoot [u,v] I. Luku x ]u,v[, jos ja vai jos o olemassa λ ]0,[ site, että x = λu + ( λ)v. Epäyhtälöt f(x) f(u) x u f ( λu + ( λ)v ) f(u) λu + ( λ)v f ( λu + ( λ)v ) f(u) ( λ)() f ( λu + ( λ)v ) f(u) ( λ)() f ( λu + ( λ)v ) λf(u) + ( λ)f(v) ovat yhtäpitäviä, jote f o koveksi, jos ja vai jos ehto (4) o voimassa. 7. Todista, että avoimella välillä määritelty koveksi fuktio o jatkuva. Ratkaisu. Olkoo ]a,b[ koveksi fuktio f määrittelyväli ja t ]a,b[. Osoitetaa, että f o jatkuva pisteessä t. Koska väli ]a,b[ o avoi, o olemassa c, d, x, y ]a,b[ site, että a < c < x < t < y < d < b. Kaksoisepäyhtälö f(t) f(c) t c f(t) f(x) t x f(d) f(t). d t vase ja oikea puoli ovat x:stä riippumattomia, jote merkitsemme e vakioiksi m ja m. Siis mistä seuraa m f(t) f(x) t x m, m(t x) f(t) f(x) m (t x). {0220 } 0
Ku x t, ii t x 0, jote f(x) f(t). Siis, Kaksoisepäyhtälöstä lim f(x) = f(t). (5) x t f(t) f(c) t c f(y) f(t) y t f(d) f(t) d t seuraa samalla tavalla jote f o jatkuva pisteessä t. lim f(y) = f(t), (6) y t+ 8. Osoita, että fuktio f : R + R, f(x) = x l x, o aidosti koveksi. Ratkaisu. Toie derivaatta f (x) = x > 0 kaikilla x R +, jote f o aidosti koveksi. 9. Osoita, että jos positiiviste lukuje u,..., u aritmeettie keskiarvo o, ii u u 2... u u u u u 2 2... u u, ja että yhtäsuuruudet ovat voimassa, jos ja vai jos u k = kaikilla k {,..., }. Ratkaisu. Kaksoisepäyhtälö vase puoli yhtäsuuruusehtoiee seuraa välittömästä keskiarvoepäyhtälöstä G A. Oikea puoli yhtäsuuruusehtoiee puolestaa seuraa epäyhtälöteksti kakkososa (Solmu 3/200) viideestä lauseesta. 0. Osoita a) edellise tehtävä erikoistapauksea, b) pelkästää lukio oppimäärää tukeutue, että kaikilla x ]0,[. ( x) x ( + x) +x > Ratkaisu. a) Lukuje x ja + x aritmeettie keskiarvo o, jote väite o edellise tehtävä kaksoisepäyhtälö oikea puole erikoistapaus. {0220 }
b) Fuktio f(x) = ( x) x ( + x) +x saa yksiomaa positiivisia arvoja, ku 0 x <, jote se logaritmi g(x) = l f(x) = ( x) l ( x) + ( + x) l ( + x) o äillä x: arvoilla määritelty. Tämä fuktio o derivoituva, ja se derivaatta sieveee muotoo ( ) + x g (x) = l. x Derivaatta o positiivie, ku 0 < x <, jote g o aidosti kasvava. Koska g(0) = 0 ja g o jatkuva välillä [0,[, o g(x) > 0, ku 0 < x <. Tästä seuraa, koska g(x) = l f(x), että f(x) >, ku 0 < x <.. Osoita, että jos a, b, c ovat positiivisia ja a + b + c =, ii Milloi yhtäsuuruus o voimassa? a 2 + b 2 + c 2 3. Ratkaisu. Fuktio f(x) = x, (x > 0), o aidosti koveksi. Jesei epäyhtälö mukaa f(aa + bb + cc) af(a) + bf(b) + cf(c), eli a 2 + b 2 + c a 2 a + b b + c c = 3, mistä väite seuraa. Jesei epäyhtälö yhtäsuuruusehdo mukaa yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos a = b = c = 3. Tehtävä voidaa ratkaista myös geometrisesti, jolloi a:, b: ja c: rajaamie positiivisiksi käy tarpeettomaksi. Nimittäi a + b + c = o erää R 3 :ssa sijaitseva taso yhtälö. Origo etäisyys tästä tasosta o d = 3. Origo kautta kulkeva taso ormaali siis leikkaa taso pisteessä, joka etäisyys origosta o d. Kaikkie muide taso pisteide etäisyys origosta o suurempi kui d, mistä väite seuraa. {0220 } 2
2. Osoita, että jos luvut u k ovat positiivisia ja jos u + u 2 +... + u =, ii ( u 2 + u 2 2 +... + u 2 ) 2 u 3 + u 3 2 +... + u 3. Milloi yhtäsuuruus o voimassa? Ratkaisu. Fuktio f(x) = x 2 o aidosti koveksi. Jesei epäyhtälöä soveltae saadaa f(u u +... + u u ) u f(u ) +... + u f(u ), eli ( u 2 + u 2 2 +... + u 2 ) 2 u 3 + u 3 2 +... + u 3. Jesei epäyhtälö yhtäsuuruusehdo mukaa yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos u =... = u =. {0220 } 3