Kvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa

Kvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa Kvanttiefektit ovat tärkeitä nanoskaalassa. Tässä on ksenon-atomeilla tehtyjä kirjaimia metallipinnalla. Luennon tavoite: Ymmärtää kvanttimekaniikan perusperiaatteet ja soveltaa niitä.

Kysymyksiä teiltä Voiko fotoni irrottaa protonin ytimestä? Voiko Bohrin atomimallia soveltaa suurempiin atomeihin kuin vetyyn? Onko kvantittumista olemassa makroskooppisissa ilmiöissä? Kaksi kvanttia samassa pisteessä yhtä aikaa: mitä tapahtuu? Miten kvanttimekaniikka selittää jarrutussäteilyn puuttumisen stationäärisellä tilalla?

Kvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa Aiheet: Schrödingerin yhtälö Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen Hiukkanen laatikossa: energiat ja aaltofunktiot Hiukkanen laatikossa: tulosten tulkitseminen Vastaavuusperiaate Äärelliset potentiaalikuopat Aaltofunktiot Harmoninen oskillaattori kvanttimekaniikassa Lisää kvanttimalleja Kvanttimekaaninen tunneloituminen

Läksytesti

A quantum particle can pass through a region of space that would be forbidden to a classical particle. What is the name of this process? A. Teleportation B. Vacuum decay C. Lasing D. Trapping E. Tunneling

A particle in the ground state of a potential energy well A. is at rest. B. has a zero-point motion. C. is equally probable to be found at any point inside the well. D. has a wave function that is zero at all points. E. has zero energy.

Which of these was not analyzed in this chapter? A. A particle in a capacitor B. A particle in a finite potential well C. A neutron in a nucleus D. An electron in an atom E. An electron in a quantum-well device

Peruskäsitteet ja esimerkkejä

Schrödingerin yhtälö Tarkastellaan hiukkasta, jonka massa on m ja energia E ja jonka potentiaalienergia on U(x). Potentiaalienergia kuvaa hiukkasen vuorovaikutusta ympäristönsä kanssa (esim. elektroni ytimen sähkökentässä). Hiukkasen aaltofunktio toteuttaa silloin Schrödingerin yhtälön Aaltofunktion tulee toteuttaa seuraavat ehdot: 1. ψ(x) on jatkuva funktio. 2. ψ(x) = 0, jos hiukkasen ei ole mahdollista olla pisteessä x. 3. ψ(x) 0 kun x + ja x. 4. ψ(x) on normitettu, ts. dx ψ (x) 2 = 1.

Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöllä on kaksi ratkaisua, ψ 1 (x) ja ψ 2 (x). Yleinen ratkaisu on silloin Tässä A ja B ovat vakioita, jotka voidaan kiinnittää niiden reunaehtojen avulla, jotka ratkaisun täytyy toteuttaa. Jos löydämme vaikka arvaamalla yhtälölle kaksi eri ratkaisua ψ 1 (x) ja ψ 2 (x), niin silloin tiedämme yhtälön yleisen ratkaisun se on tuo tuossa yllä.

Kvanttimekaniikan ongelmien ratkaiseminen Selvitetään, millä potentiaalilla U(x) hiukkasen vuorovaikutusta voidaan kuvata. Yleensä todelliset tilanteet ovat niin monimutkaisia, ettei potentiaalia voi tietää vaan pitää käyttää jotain yksinkertaista mallia, esim. laatikkopotentiaalia.

Kvanttimekaniikan ongelmien ratkaiseminen Reunaehdot

Kvanttimekaniikan ongelmien ratkaiseminen

Problem-Solving Strategy: Quantummechanics problems

Hiukkanen laatikossa Hiukkanen, jonka massa on m, on rajoitettu liikkumaan yksiulotteisessä laatikossa. Laatikon seinät ovat kohdissa x = 0 ja x = L. 1. Hiukkanen voi liikkua välillä 0 L tasaisella nopeudella eli sen liike-energia on vakio. 2. Riippumatta siitä, miten suuri hiukkasen liike-energia on, hiukkasen on aina käännyttävä pisteissä x = 0 ja x = L. (Seinät ovat äärettömän korkeat.) 3. Hiukkanen ei voi olla alueissa x < 0 ja x > L, ne ovat kiellettyjä alueita. 4. Potentiaalienergia on

Laatikon sisällä hiukkasella on vain liikeenergiaa (K). Energiataso piirretään korkeudelle K.

Hiukkanen laatikossa Kun Schrödingerin yhtälö ratkaistaan tämän potentiaalin tapauksessa, saadaan seuraavat aaltofunktiot ja niitä vastaavat energiat Nämä ovat ainoat mahdolliset ratkaisut ja energiat hiukkaselle laatikossa. Hiukkasen energia on kvantittunut.

Normitusehto Hiukkanen laatikossa määrää aaltofunktiossa olevan vakion A arvon: Tilassa n olevan hiukkasen aaltofunktio on silloin

Kolmen alimman tilan aaltofunktiot ja todennäköisyystiheydet. Huomaa, että alimmassa tilassa hiukkanen on todennäköisimmin laatikon keskellä, toiseksi alimmalla tilalla oleva hiukkanen ei voi olla laatikon keskellä.

Esimerkki: Energiatasot ja kvanttihypyt QUESTIONS:

Esimerkki: Energiatasot ja kvanttihypyt

The Correspondence Principle Niels Bohr esitti, että kvanttisysteemin keskimääräinen käyttäytymisen pitää alkaa muistuttaa klassisen systeemin käyttäytymistä silloin, kun kvanttiluku tulee suureksi eli kun n. Bohr mallin mukaan elektronin radan säde on r = n 2 a B, joten atomista tulee makroskooppinen kappale, kun n. Tätä Bohrin ajatusta, että kvanttifysiikasta siirrytään klassiseen fysiikkaan tasaisesti kvanttilukujen kasvaessa, kutsutaan vastaavuusperiaatteeksi.

Vastaavuusperiaate Kun kvanttiluku n kasvaa, aaltofunktion heilahdusten määrä kasvaa. Silloin tn, että hiukkanen on jollakin välillä δx myös kasvaa. Kun välille sopii suuri määrä heilahduksia, klassisen fysiikan ja kvanttimekaniikan mukainen tn ovat lähellä toisiaan. Bohrin vastaavuusperiaate: kvanttifysiikka lähestyy klassisen fysiikan tuloksia, kun kvanttiluvut kasvavat.

Potentiaalikuoppa Klassinen mekaniikka: Kineettistä energiaa ei ole tarpeeksi reunan päälle nousemiseen.

Energiatasot ja aaltofunktiot Potentiaalikuoppa Laatikko

Hiukkanen potentiaalikuopassa: Energia on kvantittunut. Potentiaalikuoppa Sidottuja tiloja on äärellinen määrä. Tilat, joille E > U 0, eivät ole sidottuja tiloja, koska silloin hiukkanen ei pysy potentiaalikuopassa. Kuopan ulkopuolella sillä on liikeenergiaa E U 0. Sidottujen tilojen aaltofunktiot ovat samanlaisia kuin potentiaalilaatikon tapauksessa, mutta energiatasot ovat vähän alempia. Aaltofunktiot jatkuvat klassisesti kielletylle alueelle. Hiukkanen voi siis käydä kääntymässä seinämien sisällä.

Potentiaalikuoppa Aaltofunktio klassisesti kielletyllä alueella on Kuopan sisällä aaltofunktio on oskilloiva, mutta seinien x = 0 ja x = L ulkopuolella se käyttäytyy eksponentiaalisesti pienentyen. Voimme määritellä tunkeutumissyvyyden η. Kun ollaan etäisyydellä η seinämästä seinämän sisällä, aaltofunktion arvo pienentynyt tekijällä e 1 = 0.37 siitä, mitä se oli seinän reunassa:

Tunkeutumissyvyys

QUESTION: Elektronin tunkeutumissyvyys.

Elektronin tunkeutumissyvyys.

Esimerkki: Elektronin tunkeutumissyvyys.

Miten piirrän aaltofunktion?

Harmoninen oskillaattori Klassisesta mekaniikasta opittu harmonisen värähtelyn potentiaalienergia on Jossa x on etäisyys tasapainopisteestä. Harmonisen oskillaattorin Schrödingerin yhtälö on silloin

Harmonisen oskillaattorin potentiaalienergia

Harmoninen oskillaattori Harmonisen oskillaattorin alimpien tilojen aaltofunktiot ja vastaavat energiat ovat ω = (k/m) ½ on klassinen kulmataajuus ja n on kvattiluku.

Harmonisen osklillaattorin energiatasot ja aaltofunktiot

Esimerkki. Värähtelevän elektroni lähettämä säteily QUESTION:

Esimerkki. Värähtelevän elektroni lähettämä säteily

Molekyylisidosta kuvaava potentiaali

Kvanttimekaaninen tunneloituminen Jos seinämä eli potentiaalivalli on äärellisen levyinen (w), hiukkasella on tietty todennäköisyys päätyä vallin ulkopuolle, koska aaltofunktio jatkuu sinne. Tätä kutsutaan tunneloitumiseksi. Tunneloitumistodennäköisyys riippuu tutnkeutumissyvyyden η ja seinämän paksuuden w suhteesta:

Yhteenvetokalvot

General Principles

Important Concepts

Applications

Chapter 41. Clicker Questions

Three de Broglie waves are shown for particles of equal mass. Rank in order, from largest to smallest, the speeds of particles a, b, and c. A. v b > v a > v c B. v b > v a = v c C. v c > v a > v b D. v c > v a = v b E. v a = v b > v c

A particle in a rigid box in the n = 2 stationary state is most likely to be found A. In the center of the box. B. One-quarter of the way from either end. C. One-third of the way from either end. D. It is equally likely to be found at any point in the box.

This is a wave function for a particle in a finite quantum well. What is the particle s quantum number? A. n = 1 B. n = 2 C. n = 3 D. n = 4 E. n = 5

For which potential energy is this an appropriate n = 4 wave function?

Which probability density represents a quantum harmonic oscillator with

A particle with energy E approaches an energy barrier with height U 0 > E. If U 0 is slowly decreased, the probability that the particle reflects from the barrier A. Increases. B. Decreases. C. Does not change.