ELEC-C230 Säätötekniikka Luku 0: Digitaalinen säätö, perusteet, jatkuu
Johdanto: Digitaalinen (diskreetti, diskreettiaikainen) säätöjärjestelmä r(tk) _ e(tk) Säädin u(tk) D/A u(t) Prosessi y(t) A/D y(tk) y(t) A/D-muunnoksessa analoginen signaali näytteistetään (sampling); D/A-muunnoksessa diskreetti säätösignaali muunnetaan analogiseksi (pito).
Kaksi peruslähestymistapaa tietokonesäädön suunnitteluun a. Jatkuva-aikainen säädin diskretoidaan, b. prosessi diskretoidaan ja siirrytään säätöpiirin suunnittelussa kokonaan diskreettiin maailmaan a. r(t) A/D Säädin D/A u(t) Prosessi y(t) y(t) r(tk) u(tk) Säädin D/A Prosessi A/D y(tk) b. y(tk)
Jatkuva-aikaisten signaalien näytteistäminen Periodinen näytteenotto Näyteväli, h Näytteistystaajuus, f s Näytteistyksen kulmataajuus ω s tk = k h f s = / h (Hz) = 2 / h = 2 f (rad / s) s s Nyquistin taajuus, f N f = / ( 2 N h ) (Hz) ω = 2 π / (2 h) = π / h= 2 π f (rad/s) N N
Näytteenottoteoreema (Jatkuvasta signaalista on otettava näytteitä vähintään kaksi kertaa (mieluummin 6-0 kertaa) niin taajaan, kuin on signaalin suurin taajuus) Esimerkki, mitä voi tapahtua (h = ) y (t) = sin(0.2π t) y 2 (t) = sin(.8π t) Kaksi eritaajuista signaalia. Näytteistettynä sama pulssijono. Jos y2 haluttaisiin esiin, näytetaajuutta on kasvatettava. samples 0.5 0-0.5-0 5 0 y(t)=sin(.8*pi*t) 0.5 0-0.5-0 5 0 y(t)=sin(0.2*pi*t) 0.5 0-0.5-0 5 0 0.5 0-0.5-0 5 0
Esimerkki: Diskreetin säätöjärjestelmän suunnittelu jatkuvan säätöteorian perusteella. Servoprobleema, Robottikäden ohjaus Prosessi (kaksoisintegraattori): Gs () Yksinkertainen servosäädin (huom. Tämä on ns. 2. vapausasteen säädin, jossa etukompensaattori (vahvistus ½) on luupin ulkopuolella ja luupin sisällä oleva säädin on vastahaarassa). (Laske muuten staattinen vahvistus referenssistä Uc ulostuloon.) 2s U() s = Uc () s Y() s 2 s 2 = s 2
Esimerkki: Diskreetin säätöjärjestelmän suunnittelu jatkuvan säätöteorian perusteella. jatkoa... Johdetaan säätimestä digitaalinen imitaatio korvaamalla differentiaali differenssillä 2s U() s = Uc () s Y() s 2 s 2 Laplace-muuttuja s:llä kertominen vastaa derivointia aikatasossa (derivointioperaattori p) s F() s p f() t = f () t
Esimerkki: Diskreetin säätöjärjestelmän suunnittelu jatkuvan säätöteorian perusteella. jatkoa... Derivaatan määritelmästä saadaan f () t f( t t) f() t t Tässä tapauksessa t = kh ja Δt = h. Otetaan lisäksi käyttöön siirtooperaattori q (q:lla kertominen vastaa ajassa eteenpäin ja q:lla jakaminen ajassa taaksepäin siirtymistä. f ( kh h) f ( kh) q f ( kh) f ( kh) q f ( kh) = = f ( kh) h h h
Esimerkki: Diskreetin säätöjärjestelmän suunnittelu jatkuvan säätöteorian perusteella. jatkoa... Laplace- ja Z-tasojen välille saadaan seuraava likimääräinen riippuvuus q z s F() s f () t f ( kh) F( z) h h Laplace-tason siirtofunktiosta saadaan likimääräinen Z-tason pulssinsiirtofunktio korvaamalla Lapace-muuttuja s sitä vastaavalla z- muuttujan funktiolla. z s h
Esimerkki: Diskreetin säätöjärjestelmän suunnittelu jatkuvan säätöteorian perusteella. jatkoa... Analogista säädintä imitoiva digitaalinen säädin on: z 2 2 2 ( ) ( ) h z h U z = Uc z Y( z) = Uc( z) Y( z) 2 z 2 2 z 2h h 2 z ( h 2) U( z) = Uc ( z) ( ) 2 Y z z (2h )
Esimerkki: Diskreetin säätöjärjestelmän suunnittelu jatkuvan säätöteorian perusteella. Jatkoa... Otetaan vielä vertailukohdaksi diskreettiin säätöteoriaan perustuva dead-beat-säädin ja simuloidaan robottikäden käyttäytymistä kullakin eri säätimellä säädettynä. (Dead-beat-säädin perustuu ns. tarkkaan diskretointiin. Käsitellään esim. kurssilla Digitaalinen ja optimaalinen säätö ).
Esimerkki: Diskreetin säätöjärjestelmän suunnittelu jatkuvan säätöteorian perusteella. Jatkoa... Analoginen säädin verrattuna digitaaliseen imitoivaan säätimeen eri näytteenottotaajuuksilla. Menee epästabiiliksi, kun näyteväli kasvaa. oho 0.6 0.4 0.2 0-0.2 0 5 0 0.5 0 AS-laitos h = 0. robottikäsi h =. ohjaus ohjaus robottikäsi -0.5 0 5 0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 h =.0-0.2 0 5 0 4 2 0-2 robottikäsi h =. ohjaus robottikäsi ohjaus -4 0 5 0 5 20
Esimerkki: Diskreetin säätöjärjestelmän suunnittelu jatkuvan säätöteorian perusteella. Jatkoa... Analoginen säädin verrattuna dead-beat säätimeen eri näytteenottotaajuuksilla. Pysyy stabiilina ja on nopea. Tosin vaatii suuren ohjauksen. h=4 0.5 0-0.5-0 5 0 h=0.5 0.5 0-0.5 - AS-laitos 0 5 0 h=.4 0.5 0-0.5-0 5 0 h=0. 0.5 0-0.5-0 5 0
Differentiaaliyhtälöiden approksimaatiot Derivaattaoperaattori p (tai Laplace s) korvataan siirtooperaattori q:lla (tai Z-muunnoksen z:lla) Taaksepäin derivointi BD: backward differences Eulerin approksimaatio eli eteenpäin derivointi Tustinin approksimaatio p p p» - - q q h = - qh q q» - - = - - q h h 2 q» - h q - - 2 q = - h q
Siirtofunktioiden approksimaatiot BD: F F - z H ( z )» - G G z - bd h zh HG I KJ = HG I K J Euler: Tustin: He( z)» G F H G F HG 2 z Ht ( z)» G - h z I KJ = F H G - - z G z - - hz h - - I I K J z K J F = GH G 2 - h z I K J
Integraalin approksimaatiot Integraaleja voidaan approksimoida summina. Alla yläja alasummat. Integraalin approksimointi ei siis myöskään ole yksikäsitteistä. Käytännössä p (tai s) korvataan kuten edellä. zt - i=- k p f ( t ) = f ( ) d» å f ( ih ) h zt - i=- k - p f ( t ) = f ( ) d» å f ( ih ) h
Diskreettiaikainen PID-säätäjä PID-säätäjä on teollisuudessa eniten käytetty yksikkösäädin. Jatkuva-aikaisena sen perusversio on F t = HG I z u t K e t e s ds T de ( t ) ( ) ( ) ( ) KJ P t I t D t T dt = D ( ) ( ) ( ) F I U ( s) = GPID ( s) E( s) = K HG TD s KJ E( s) = P( s) I( s) D( s) T s I Ideaalista derivointia ei pidä yleensäkään käyttää (derivointi vahvistaa häiriöitä) eikä myöskään suoraan diskretoida. I
Diskreetti PID-säädin Derivointitermiin lisätään yleensä ylimääräinen lag-termi T s D TD s T s N D Muita käytännön modifikaatioita ovat: - Derivoidaan vain lähtösuuretta negatiivisena (ajatellaan että referenssi on vakio ja muuttuu harvoin) - Vain osa asetusarvosta (b) vaikuttaa vahvistukseen.
Käytännön PID-säätäjä Ts D U() s = K byref () s Y() s ( YREF () s Y()) s Y() s Ts I TDs N = P () s I() s D (), s N 4 0 m m Diskretointi sitten approksimoimalla, kuten edellä on esitetty. Huomaa, että saatu pulssinsiirtofunktio voidaan helposti muuntaa aikatason algoritmiksi ohjelmointitoteutusta varten (esim. Matlabin M-skripti). Esim. z Y( z) = U( z) 2 z az b yk ( 2) ayk ( ) byk ( ) = uk ( ) yk ( ) = ayk ( ) byk ( 2) uk ( )
Esimerkki säätösuunnittelusta (vain esimerkki, ei tarvitse tutkia tarkasti) Hakkuriteholähteen säätösuunnittelu (Buck-tyyppinen eli laskeva hakkuri) Kytkin toimii suurella taajuudella, esim. 00 khz. Muuttamalla auki/kiinni-suhdetta (duty cycle) jakson aikana siirretään tehoa kuormaan ja säädetään kuorman yli vaikuttavaa jännitettä. Switch L r L v in - i L C r C v out - i o AS-laitos Z in Z out
Kytkemällä AC/DC-teholähteitä rinnan ja varmistamalla vielä akulla saadaan sopiva lähde esim. Telecom-kuormalle. Rectifiers Telecom Switching System ~ = = = = = ~ = = = Storage Battery Hankala monimuuttujajärjestelmä, MIMO = multiple input, multiple output. Vrt SISO = single input, single output
DC Bus u in = EMI EMI = = = = Load Load EMI = = Load Eikä homma yhtään helpotu, kun rakennetaan nyky- Maailman teollisuuden vaatimia teholähdejärjestelmiä; kytketään järjestelmiä rinnan, varustetaan ne tulosuotimilla (EMI), kuormat ovat vaihtelevia ja kompleksisia. Tarvitaan systemaattisia menetelmiä = tarvitaan teoriaa! Ja nykypäivän sana on digitalisointi. (Jee!)
Negatiivinen takaisinkytkentä = takaisinkytketty säätö, RC-piiri on kuorma. Verrataan mitattua lähtöjännitettä haluttuun lähtöjännitteeseen (referenssiin) ja käytetään diskreettiä PID-säädintä ohjaamaan kytkintä. v in DC/DC Converter - v out R V - d - Sawtooth waveform Digital PID Controller - v ref
Säätötekniikan kielellä voidaan systeemejä kuvata lohkokaavioesityksenä. PWM (pulssinleveysmodulaatio) muuntaa säätäjän eli kompensaattorin signaalin kytkimen ohjaussuhteeksi (duty cycle); kyse on siis periaatteessa toimilaitteeseen kuuluvasta elementistä. Tulojännite V g ja kuorman ottama virta i load ovat säädön kannalta häiriöitä. Säädön robustisuus = kyky sietää häiriöitä ja mallivirheitä. Switching converter v g i load Disturbances v ref - Compensator v c PWM d Control input v Sensor gain
Kirjoittamalla lohkojen toimintaa (=dynamiikkaa) kuvaavat siirtofunktiot päästään tutkimaan kvantitatiivisesti suljetun systeemin toimintaa. v g (s) G vg (s) i load (s) v ref (s) - v c (s) d(s) G c (s) /V m G vd (s) v(s) H(s) G G vg vd () s = ( s) = Vin R( scrc ) 2 ( ) ( ) LC R r s RCr RCr Cr r L s R r c c l l c l b g DR scr b g b c g 2 LC R r s RCr RCr Cr r L s R r c c l l c l
Prosessille on suunniteltu vaiheenjättö- / johtokompensaattori käyttämällä Boden diagrammia apuvälineenä. Avoimen prosessin aivan riittämätön vaihevara (2 astetta) on saatu paljon paremmaksi (n. 50 astetta). Stabiilisuus on taattava. G G c l ( s) = G cm cm = 33.8, ω ω = 257 ( rad z s ωl ω z s s ω = 068( rad / s), ω p p / s) = 906( rad / s) ω ω * c c 4500( rad 30000( rad / s), φ * m / s), φ m 2 50
) ( ) ( s G s N T st st K s N T st st K s s s G s G PID d d i d d i p l z cm c = = = ω ω ω Mutta kompensaattoria voidaan approksimoida PID-säätimellä:
Ja tämä puolestaan voidaan diskretoida tietokonesäätöä varten eli siis siihen tarkoitukseen, että säätimenä toimii prosessoripohjainen järjestelmä. v ref - e Digital PID Controller v c DC/DC Converter v out v c T z Td ( z ) ( bv ( z) v ( z) ) K ( v ( z) v ( z) ) K v ( ) ( z) = K ref out ref out out z T z Td T i d T z N N Säätimen ja mittauksen toimintataajuus ovat nyt uusia asioita, joita on tarkasteltava. Tässä näytteenottotaajuus 20 khz eli näyteväli /20000 s.
Säätimen toimintaa voidaan simuloida. Kuvissa systeemiin tulee häiriöitä; alla zoomatut kuvat, joissa kytkimen toiminta tulee ilmeiseksi.
Havaitaan, että PID-säätimen erilaisilla virityksillä voidaan nopeutta lisätä, mutta hintana ovat kasvavat värähtelyt.
Säätösuunnittelun kulku Prosessimallin laadinta fysikaalisista yhtälöistä tai identifioimalla. Mallin analyysi ja linearisointi tarvittaessa; siirtofunktioiden muodostaminen Säätöprobleeman formulointi Säätösuunnittelu aika- tai taajuustasossa Säätimen diskretointi ja diskreetin säätimen toteutus esim. digitaalisella signaaliprosessorilla (DSP) Vaihtoehtoisesti: prosessimallin (mallien) diskretointi ja suunnittelu suoraan diskreetissä ajassa LOPPU
ELEC-C230 Säätötekniikka (5 op) Tentti ja kurssin suoritus Kahdella välikokeella tai tentillä. välikoe harjoitusaikana 8.2.206 klo 4-6, sali AS2/Tu2, 2. välikoe ja tentti harjoitusaikana 7.4.206 klo 4-6, Sali AS2/Tu2. 2. välikokeen yhteydessä voi tehtävät nähtyään valita tekeekö tentin vai välikokeen. Seuraavan rästitentin yhteydessä 9.5.206 voi uusia/tehdä jomman kumman välikokeen. Rästitenttejä järjestetään myöhemmin ilmoitettavina aikoina. Rästitentteihin on ilmoittauduttava. Välikokeisiin (tai 2. välikokeen yhteydessä pidettävään tenttiin) ei tarvitse ilmoittautua. Kaksi välikoetta vastaa yhteensä tenttiä (5 5 p. = 30 p.). Välikokeessa on kolme tehtävää a 5p., tentissä viisi tehtävää a 6p. Bonuspisteitä voi saada vapaaehtoisilla kotitehtävillä, joita on yhteensä kuusi kappaletta. Maksimipistemäärä vastaa yhteensä yhtä 6p. arvoista tenttitehtävää. Bonuspisteet ovat todellista bonusta, koska ne lisätään suoraan välikoe- tai tenttipisteisiin. Arvosanarajoja ei koroteta bonuspisteiden vuoksi. 5 pistettä riittää aina hyväksyttyyn suoritukseen. Lisäpisteet ovat voimassa vuoden ajan, kunnes kurssin luennot alkavat seuraavan kerran.
Hyvää onnea ja menestystä jatkossa!