(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen Luvun pyöristäminen Mikäli ensimmäinen pois jäävä numero on 5 tai suurempi, korotetaan sen vasemmalla puolella olevan numeron arvoa yhdellä. Luku 123, 3476 yhden desimaalin tarkkuudella on 123,3 Luku 123, 3476 kahden desimaalin tarkkuudella on 123,35 1) Pyöristä kahden desimaalin tarkkuuteen: 123,745 kg = 23,40075 km = 15, 348 = 2) Pyöristä satojen metrien tarkkuuteen 8845 m = 3) Pyöristä tuhansien eurojen tarkkuuteen 62650 = 4) Kahden desimaalin tarkkuudella: 2,645 = 0,8146 = Koska Suomessa ei ole yhden ja kahden sentin kolikoita, käteismaksussa pyöristetään seuraavasti: Jos loppusummassa on 1 tai 2 senttiä, Jos loppusummassa on 3, 4, 6 tai 7 senttiä, Jos loppusummassa on 8 tai 9 senttiä, Jos loppusummassa 0 tai 5 senttiä, pyöristetään alaspäin 10 senttiin pyöristetään 5 senttiin pyöristetään ylöspäin 10 senttiin ei muutosta 5)Pyöristä lähimpään viiteen senttiin: a) 677, 43 = b) 34, 22 = c) 41,07 =
(2) Lukujen kymmenpotenssimuodot Hyvin suuret ja pienet luvut voidaan ilmaista kymmenen potensseina, esim. 1000 = 10³ (3 = eksponentti) Kirjoita seuraavat luvut desimaaleineen: Tehtävät vastauksineen nettisivulla ja lisää erilaisia tehtäviä: http://www.openmatikka.fi/potenssinarvoitus/kymmenpotenssimuoto.html http://www.openmatikka.fi/
(3) Murtoluvut Murtoluvun laventaminen (Osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla) Murtoluvun supistaminen (Osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla ( jos pystyy, että osoittaja ja nimittäjä pysyvät kokonaislukuina )
(4) Kokonais-, desimaali-, murto- ja sekalukujen muutoksia
(5)
(7) Suhde Suhde on kahden luvun jakolasku. 100 : 5 = 20 (Sata on 20 kertaa suurempi kuin 5) Suhteen arvo on jakolaskun tulos Porukanlottovoitto oli 30000 euroa. Se jaettiin samassa suhteessa jokaisen 6 pelaajan kanssa eli 30000: 6 = 5000 euroa. Seuraava saman porukan lottovoitto oli 42000 euroa. Kuinka paljon silloin tuli jokaista kohti? Verranto Joku saa 5 tunnin työstä palkkaa 80 euroa. Kuinka paljon palkkaa tulisi 12 tunnin työstä? Saadaan verranto: 80 : x 5 12 Kerrotaan ristiin tunnetut 80 12 ja jaetaan 5: llä = 960 : 5 = 192 euroa 1) Kuinka monta tuntia tulisi tehdä töitä em. palkalla saadakseen kasaan 720 euroa? Saadaan verranto: 80 : 720 5 x 2) Kaksi naapuria lainaa bobcatin pihatöitä varten. Sen vuokra kaikkiaan on 240 euroa. Naapuri A käyttää sitä 8 tuntia ja naapuri B 6 tuntia. Kuinka monta euroa olisi A:n osuus vuokrasta tuntien perusteella? Sekoitussuhde Mehutiivisteen sekoitussuhde on 1: 6. Kuinka paljon tiivistettä tarvittaisiin 20 litran mehumäärän valmistamiseen? Koska 1 litrasta tiivistettä saadaan 7 litraa valmista mehua, niin 20 litrassa valmista täytyy myös olla tiivistettä suhteessa x : 20 = 1 : 7 eli x = 20 : 7 = 2,86 litraa tiivistettä 17,14 litraan vettä. 3) Mikä määrä em. tiivistettä pitäisi panna 10 litraan vettä, että mehu olisi matemaattisesti oikean makuista? Ja kuinka paljon mehua saataisiin?
(8) Mittakaava Kartan mittakaava = 1 : 20 000. Kartalla oleva 10 cm matka on luonnossa 20 000 10 cm = 200 000 cm = 2 km 1) Kuinka pitkä matka luonnossa on em. kartalla oleva 15 mm = m Kartan mittakaava on 1: 100 000 2) Kartalla 20 cm matka on luonnossa 100 000 20 cm = 2000000 cm = km Kartan mittakaava on 1: 10 milj. 3) Kartalla 10 cm matka on luonnossa 10 milj. 10 cm = 100 000 000 cm = km Yksikköhinta 4) Parfyymipullo (50 ml) maksaa 25 euroa. Mikä on parfyymin litrahinta? (ml = 1/1000 litraa) (1000 ml : 50 ml) 25 5) Huoneeseen pantiin uusi parketti. Se maksoi 132. Lattian koko oli 3m x 4 m. Mikä oli parketin hinta neliömetriltä? 6) Yksiköiden määrä Kuinka monta litraa bensiiniä saa 60 eurolla, kun litra hinta on 1,68? 7) Kokonaishinta Irtoruuvit maksavat 4,25 /kg. Paljonko niitä maksaa 350 gramman muovipussillinen? Kääntäen verrannollisuus 240 km:n matka kestää keskinopeudella nopeudella 92 km/h 3 h. Kuinka kauan kestää nopeudella 40 km/h? Nopeudella 1 km/h kyseinen matka kestäisi kauemmin 92 x 3 h eli 276 h. Mutta nopeudella 40km/h = 276h : 4 276 h : 40 = 6,9 h = 6 h 54 min. Jos 2 miestä tekee urakan 90 päivässä, kuinka kauan urakka kestäisi 5 mieheltä. (Päättely: yhden miehen urakka kestäisi 2 x 90 d ja 5 miehen viides osa siitä.) Tekijöitä voidaan halutessa supistaa (pareittain ylhäältä ja alhaalta kuten murtolukuja). 36 d
25 euron hintaisia kenkiä myytiin 300 paria. Hinta korotettiin 30 euroon. Kauppiaan mieliksi myyntitulo pysyi samana, vaikka samassa ajassa kenkiä myytiin vähemmän. (9) 1) Kuinka monta paria myytiin korotetulla hinnalla? 300 25 = x 30 ; x = 300 25 = 30 2) Kodinkonetta myytiin 350 euron hinnalla 20 kpl. Varastoon jäi vielä myymättä 15 kpl. Niiden hintaa korotettiin niin paljon, että niiden myyntitulos olisi sama kuin halvemmalla myydyistä saatu. Mikä oli korotettu hinta? Yhtälö Yhtälössä on kaksi lauseketta, jotka on merkitty yhtäsuuriksi. Muistisääntö: = -merkin toiselle puolen siirrettäessä yhteen- ja vähennyslaskut muuttuvat päinvastaisiksi. Samoin kerto- ja jakolaskut. (Sulkumerkkejä yms noudattaen) Esimerkkejä siirroksista 3 + x = 9 6x - 2 = 4x + 10 x = 9-3 6x - 4x = 10 + 2 x = 6 2x = 12 x = 12 (eli x = 12: 2) 2 x = 6 x = 15 x + 3 = -2x + 15 7 x + 2x = 15-3 x = 7 15 3x = 12 x = 105 x = 4 3x - 2(4 + x) = 6 - x Tavaran hintaa korotettiin 20 %. Uusi hinta 3x - 8-2x = 6 - x Uusi hinta on 360. Mikä oli alkup. hinta X? 3x + x - 2x = 6 + 8 x + 0,20 x = 360 (20% = 0,20) 2x = 14 1,2X = 360 x = 7 x = 360 : 1,2 x = 300
(10) Ratkaise yhtälöt a) 2x - 4 = 4x - 13 b) 0,8x + 3 = 35 c) 2,5x - 6 = 9-0,5x d) 4(x - 2) = 36 e) 3x - 2 = x f) 5x + x - 15 = 10-3x 8 8 3 g) 3(x-2) = 10 + 6x h) 5 + 7x = 3- (1+x) i) 0,8x + 3 = 35 2
(11) Prosenttilaskut a) Kuinka paljon on 5 % 200 :sta? 5 x 200 = 10 100 b) Mistä luvusta 4% on 20? 100 x 20 = 500 :sta 4 c) Desimaaliluku prosenteiksi 100 x 0,223 = 22,3 % 100 x 3,255 = 325,4 % d) Murtoluku prosenteiksi 3 = 0,75 = 75% 4 e) Kuinka monta prosenttia joku on jostakin? Kuinka monta prosenttia 3 on 5:stä? 100 x 3 = 60 % 5 Alennus- ja korotusprosentti 1) Kuinka monta prosenttia 6 euroa on 240 eurosta? 2) Tavaran hinta nousi 400 eurosta 460 euroon. Kuinka monta prosenttia oli hinnankorotus? 3) Tavaran hinta laski 500 eurosta 480 euroon. Kuinka suuri oli alennusprosentti? 4) Merkkituotteen hinta oli 320 euroa ja piraattituotteen hinta 80 euroa. Kuinka monta %:a piraattituotteen hinta on merkkituotteen hinnasta?
(12) Vertailuprosentti 1) Kuinka monta % merkkituote on kalliimpi piraattituotetta? Laske erotus ja sitten kuinka monta % erotus on 80:stä. 2) Kuinka monta % piraattituote on halvempi merkkituotetta? Laske erotus ja sitten kuinka monta % erotus on 320:stä. 3) Kuinka monta % 30 euron paita on 50 euron paitaa edullisempi? Laske erotus ja sitten paljonko se on 50:stä. Perusarvo Perusarvo on luku, johon verrataan. 20 litraan bensiiniä sekoitetaan 4 dl öljyä. Kuinka monta prosenttia se on bensiinin määrästä eli 20 litrasta? 100 x 0,4 (litraa) = 20 4) Isän paino on 84 kg ja pojan 14 kg. Kuinka monta prosenttia pojan painoon isän painosta? 5) Myyntipalkkio 500 euron tavarasta on 100 euroa. Kuinka monta prosenttia? 100 x 100 = % 500 Prosenttiarvo Perusarvo Prosenttiluku myyntipalkkio myyntihinta 20% 100 500
(13) Muutosprosentti 1) Kuinka monen prosentin muutos on tapahtunut, kun liikevoitto kasvoi 2 milj. eurosta 3 miljoonaan euroon? Muutosprosentti lasketaan muuttuvasta määrästä eli kahdesta miljoonasta. Eli muutos on 1 miljoona, mikä on 50% 2 miljoonasta. Mikä on muutosprosentti, kun 2000 euron myyntitulos kasvaa 6000 euroon, eli montako %:a 4000 euroa on 2000 eurosta? 2) Mikä on muutosprosentti, kun 4000 euron myyntitulos pienenee 1000 euroon? Eli muutos on -3000 euroa. Eli kuinka monta % 3000 = 4000:sta. (Pienentynyt muutosprosentti merkitään miinusmerkillä.) 3) Osakkeen arvo laski 500 eurosta 300 euroon. Mikä oli muutosprosentti? Prosenttiarvo Paljonko on 40% 600:sta? 40 600 = 40 6 = 240 tai 0,40 600 = 240 100 Paljonko on 5% 4 kg:sta? 5% 4 kg = 5 x 0,04 kg = 100 Lisääntynyt tai vähentynyt arvo 4) 150 euron hintaa nostettiin 6%. Mikä oli uusi hinta? Huom! Prosenttiluku desimaalisena 6% = 1,06 (= lisäyskerroin) Joko 150 + 6 150 = tai 1,06 150 = 100 5) Tuotteen hinta on 240. Sitä korotetaan 6%. Mikä on korotettu hinta? Kätevästi laskettuna: 1,06 x 240 = 6) Tuotteen hinta on 240. Sitä alennetaan 6%. Mikä on alennettu hinta? 6% = 0,94 (= vähennyskerroin) Kätevästi laskettuna: 0,94 240 =
(14) Peräkkäiset muutosprosentit Koron vaihtelun takia alunperin 20000 euron auton hinta alkoi vaihdella kolmena vuotena seuraavasti: 1) + 10%, - 3,5% ja + 5,25%. Mikä oli hinta kolmantena vuotena? Jokaisen kolmen vuoden hinnanmuutoksen laskemisen asemesta voidaan menetellä muuttamalla prosenttiluvut desimaaliluvuiksi: 10% = 1,10-3,5% = 0,965 5,25% = 1,0525 ja laskemalla: 1,10 0,965 1,0525 20000 = Peräkkäiset muutosprosentit yhtä suuret 2) 3000 euroa kasvaa vuosittain korkoa 2%. Kuinka suureksi talletus on kasvanut 6 vuodessa? Koska korko on koko ajan sama, voidaan 6 vuoden korko merkitä 6 1,02 20000 ja näppäilemällä se laskimeen. 3) 30000 euron auton hinta laskee vuosittain 15%. Mikä on auton arvo 5 vuoden jälkeen? pot5-15% = 0,85. Viidessä vuodessa se on 0,85 30000 = Perusarvon laskeminen 4) Mistä hinnasta 15% on 300 euroa? Yksi prosentti ko hinnasta on siis 300/15, joten hinta (perusarvo) on 100 300/15 = 5) Mikä on ollut TV:n alennettu hinta, kun sen alkuperäistä hinnasta on saanut alennusta 20% eli 50 euron verran? Ensin lasketaan tv:n alkuperäinen hinta eli perusarvo ja siitä suoritetaan vähennys 50 euroa. Lisääntyneen arvon perusarvo 6) Tavaran hintaa nostettiin 12%, jolloin hinnaksi tuli 360 euroa. Laske alkup. hinta. Korotettu hinta 360 sisältää 120% alkup. hintaa. Eli 360 100 = 120 Tai suoraan jakolaskuna 360: 1,20 =
(15) Vähentyneen arvon perusarvo 7) Tuotteen hintaa oli ensin laskettu 20% eli 4000 euroon. Mikä oli kyseisen tuotteen alkuperäinen hinta eli perusarvo? (4000 on siitä 80%) Peräkkäisten muutosten perusarvo Tuotteen hintaan on ensin alennettu 20%, sitten alennettua hintaa nostettu 20% ja sitten sitä taas alennettu 40%, jolloin hinta 576. Mikä on tuotteen alkuperäinen hinta eli perusarvo. Prosenttiluvut kannattaa muuttaa desimaaliluvuiksi: alennus 20% = 0,80; korotus 20% = 1,20 ; alennus 40% = 0,60 8) Lähdetään liikkeelle vaiheittain ostohinnasta alkuperäiseen myyntihintaan. 576 = 960 ; 960 = 800 ; 800 = 1000 (perusarvo) 0,60 1,20 0,80 Tai helpoimmin loppuhinta kaikkien muutosprosenttien tulolla: 576 0,80 1,20 0,60 = 9) Tuotteen nykyinen hinta 30 euroa oli noussut viitenä vuotena peräkkäin 2%. Mikä oli ollut tuotteen alkuperäinen hinta eli perusarvo? Nykyinen hinta jaetaan tulolla 1.02 1.02 1.02 1.02 1.02 eli 1.02 potenssiin 5:llä. 10) Mikä olisi ollut saman tuotteen perushinta, jos se olisi viiden vuoden aikana vuosittain laskenut 2%? Prosenttiyksikkö Prosenttiyksikkö on prosenttilukujen erotus 11) Autojen hiilidioksidipäästöjen mukaan autoveroprosentti vaihtelee välillä 14,9% - 39,8%. Kuinka monta prosenttiyksikköä? 12) Koulussa on 300 oppilasta, niistä poikia 168. Kuinka monta prosenttia poikia? Kuinka monta prosenttia tyttöjä? Kuinka monta prosenttiyksikköä on enempi poikia?
(16) Arvonlisäverokanta ALV Veroton hinta + alv = verollinen hinta 1) Polkupyörä maksaa 690 euroa sisältää 158,70 euroa alvia. Laske alvin (arvonlisäverokannan) suuruus prosentteina. 100 158,70 = 690 2) Ruokaostokset maksoivat 40 euroa, jossa alv = 13%. Mikä on ruokalaskun pelkkä ruoan osuus euroina? 3) Lääkkeitä, pääsymaksuja, kirjoja ym koskevan alvin suuruus on 9%. Ilman alvia myyty kirja maksoi 36 euroa. Mikä olisi ollut kirjan hinta alvin kanssa? Pääomatulovero Valtiolle pääomatuloveroa maksetaan esim. myyntivoitosta, vuokratuloista, osingoista. Ensin vähennetään tulon hankintakulut. Vero on 30%, jos pääomatulo on 50 000 euroa tai alle ja 32% siitä osasta, joka ylittää 50 000 euroa. 4) Osakkeita ostettiin 2000 (= hankintahinta) eurolla ja myytiin ne 3000: lla. Laske 30% vero myyntivoitosta. 5) Vuokratuloja kertyi vuodessa 12000 euroa. Yhtiövastike 2400 ja remonttikulut 1600 euroa vuodessa vähennyskelpoisia. Kuinka paljon on maksettava verotettavasta pääomatulosta veroa 30%:n mukaan.