(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0

11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin ytimen avulla: Määritelmä 11.1. Rengashomomorfismin : R! R 0 ydin on ker = 1 (0) = {x 2 R : (x) =0}. Ryhmien vastaava tulos antaa välittömästi Propositio 11.2. Rengashomomorfismi on injektio, jos ja vain jos sen ydin on {0}. Rengashomomorfismin ydin on additiivisen ryhmän (R, +) normaali aliryhmä. Koska rengashomomorfismi on homomorfismi myös kertolaskun suhteen, ytimellä on toinenkin ominaisuus, jota tarkastelemme seuraavaksi. Propositio 11.3. Olkoon : R! R 0 rengashomomorfismi. Kaikille x 2 R ja kaikille a 2 ker pätee ax, xa 2 ker. Todistus. Väite seuraa helposti huomaamalla, että ja (xa) = (x) (a) = (x)0 = 0 (ax) = (a) (x) =0 (x) =0. Määritelmä 11.4. Renkaan R epätyhjä osajoukko I R on ideaali, jos (I, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä ja xa, ax 2 I kaikilla x 2 R ja a 2 I. Seuraus 11.5. Rengashomomorfismin ydin on määrittelyrenkaansa ideaali. Esimerkki 11.6. (a) Jokaisella renkaalla R on ainakin kaksi ideaalia: R ja {0}. (b) Kaikki kokonaislukujen additiivisen ryhmän aliryhmät ovat muotoa (az, +). On helppo tarkastaa, että joukko az on renkaan Z ideaali jokaisella a 2 Z. Muita ideaaleja ei ole koska ideaali varustettuna yhteenlaskulla on aina ryhmä. Siis kokonaislukujen renkaan ideaalit ovat täsmälleen joukot az, a 2 Z. Propositio 11.7. Jos renkaan R ideaali I on alirengas, niin I = R. Todistus. Jos I on renkaan R alirengas, niin 1=1 R 2 I.KoskaI on ideaali, niin kaikilla x 2 R pätee x = x1 2 I,jotenI = R. Propositio 11.8. Olkoon I jakorenkaan R ideaali. Silloin I = R tai I = {0}. Erityisesti kunnan K ainoat ideaalit ovat {0} ja K. Todistus. Jos a 2 R,niinsilläonkäänteisalkioa 1.JosI on ideaali, jolle a 2 I, niin 1=a 1 a 2 I. Väite seuraa Propositiosta 11.7. Esimerkki 11.9. Olkoot 6= ;, ;6= A, jar rengas. Olkoon N(A) ={f 2 F (,R):f(a) =0kaikilla a 2 A}. On helppo tarkastaa, että (N(A), +) on additiivisen ryhmän (F (,R), +) aliryhmä: Jos h 1,h 2 2 N(A), niin (h 1 h 2 )(a) =h 1 (a) h 2 (a) =0 0=0 kaikille a 2 A. Lisäksi,josg 2 F (,R), h 2 N(A) ja a 2 A, niin (gh)(a) =g(a)h(a) =g(a) 0=0 67

ja (hg)(a) =h(a)g(a) =0 g(a) =0 joten gh, hg 2 N(A). SiisN(A) on ideaali. Sama konstruktio antaa ideaaleja monille renkaan F (,R) alirenkaille, esimerkiksi {f 2 C 1 (R) :f(0) = 0} on renkaan C 1 (R) ideaali. Propositio 11.10. Olkoon : R! S rengashomomorfismi. Tällöin (1) Jos I R on ideaali, niin (I ) on renkaan (S) ideaali. (2) Jos I S on ideaali, niin 1 (I ) on renkaan R ideaali. Todistus. (1) Harjoitustehtävä 136. (2) Proposition 5.8 nojalla ( 1 (I ), +) apple (R, +). Olkoota 2 1 (I ) ja r 2 R. Tällöin (ra) = (r) (a) 2 I,koska (a) 2 I ja I on ideaali. Siis ra 2 1 (I ). Vastaavasti osoitetaan, että ar 2 1 (I ). Esimerkki 11.11. Luonnollinen kuvaus Z! Z/qZ on surjektiivinen rengashomomorfismi. Esimerkin 11.6 ja Proposition 11.10 mukaan joukot (11) az + qz = {ka + qz : k 2 Z} Z/qZ ovat renkaan Z/qZ ideaaleja. Toisaalta, jos J on renkaan Z/qZ ideaali, niin sen alkukuva luonnollisessa kuvauksessa on renkaan Z ideaali. Siis renkaan Z/qZ ideaalit ovat täsmälleen renkaan Z ideaalien kuvat luonnollisessa homomorfismissa, ja siis kuten kaavassa (11). Erityisesti jokainen renkaan Z/qZ additiivisenryhmänaliryhmä on jonkin ideaalin additiivinen ryhmä. Propositio 11.12. Olkoot I i, i 2 I, renkaanr ideaaleja. Tällöin T i2i I i on renkaan R ideaali. Todistus. Harjoitustehtävä 138. Esimerkki 11.13. Olkoon R rengas, 6= ; ja c 2. Evaluaatiokuvaus E c : F (,R)! R, E c (f) =f(c) on rengashomomorfismi, jonka ydin on N(c) =kere c = {f 2 F (,R):f(c) =0}. Erityisesti N(c) on siis ideaali ja Esimerkki 11.9 voidaan tehdä nopeasti uudelleen: N(A) ={f 2 F (,R):f(a) =0kaikilla a 2 A} = \ a2a ker E a on ideaali Proposition 11.12 nojalla. Määritelmä 11.14. Jos S R, S 6= ;, niinjoukon S virittämä ideaali on joukon S sisältävien ideaalien leikkaus. Lemma 11.15. Olkoon R rengas. Äärellisen joukon A = {x 1,x 2,...,x n } R virittämä ideaali on nx RAR = s i x i r i : n 1, s 1,r 1,s 2 r 2,...,s n,r n 2 R. i=1 Jos R on kommutatiivinen, niin nx RAR = RA = s i x i : n 1, s 1,s 2,...,s n 2 R. Todistus. Harjoitustehtävä 141. i=1 68

Erityisesti yhden alkion x virittämä ideaali on RxR = {rxs : r, s 2 R}. Jos rengas K on kommutatiivinen, niin alkion x 2 K virittämä ideaali on xk = Kx. Tätä ideaalia merkitään usein (x) ja sitä sanotaan pääideaaliksi. Vastaavasti alkioiden x 1,x 2,...,x m virittämää ideaalia kommutatiivisessa renkaassa merkitään usein (x 1,x 2,...,x m ).Kokonaisalue,jonkakaikkiideaalitovatpääideaalejaonpääideaalialue. Esimerkki 11.16. (1) Esimerkin 11.6 nojalla Z on pääideaalialue. (2) Esimerkin 11.11 nojalla Z/qZ on pääideaalialue kaikilla q 2. (3) Esimerkin 11.8 nojalla kaikki kunnat ovat pääideaalialueita. Muodostamme renkaan R ideaalia I vastaavan tekijäjoukon R/I additiivisen ryhmän (R, +) sivuluokista kuten ryhmien tilanteessa tehtiin luvussa 7. Seurauksen 7.21 nojalla tekijäjoukko R/I varustettuna yhteenlaskun tekijälaskutoimituksella on kommutatiivinen ryhmä. Osoittautuu, että ideaaliominaisuuden vuoksi myös kertolasku on yhteensopiva ekvivalenssirelaation kanssa ja tekijälaskutoimitukset antavat tekijäjoukolle renkaan rakenteen. Seuraava tulos yleistää Harjoitustehtävän 29 tuloksen kokonaislukurenkaan tilanteesta yleiseen tapaukseen: Propositio 11.17. Olkoon R rengas ja olkoon I R ideaali. Renkaan R yhteenlasku ja kertolasku ovat yhteensopivia ideaalin I määräämän ekvivalenssirelaation kanssa Todistus. Yhteenlaskun yhteensopivuus seuraa tekijäryhmien vastaavasta tuloksesta. Tarkastelemme siis vain kertolaskua: Olkoot a, a 0,b,b 0 2 R, a a 0 ja b b 0.Nyt a a 0 2 I ja b b 0 2 I,joten ab a 0 b 0 = ab ab 0 + ab 0 a 0 b 0 = a(b b 0 )+(a a 0 )b 0 2 I, koska I on ideaali. Siis ab a 0 b 0. Proposition 11.17 mukaan renkaan R molemmat laskutoimitukset määrittelevät tekijälaskutoimituksen tekijäjoukossa R/I.Ideaalia I vastaaville sivuluokille käytetään additiivista merkintää x + I,jolloinlaskutoimituksetovatsiis (x + I )+(y + I )=(x + y)+i ja (x + I )(y + I )=xy + I kaikille x, y 2 R. Seuraava tulos yleistää Esimerkkien 8.2(b) ja 8.10(a) tulokset kokonaislukurenkaan tilanteesta yleiseen tapaukseen: Propositio 11.18. Olkoon R rengas, ja olkoon I sen ideaali. Tällöin tekijäjoukko R/I on rengas ja luonnollinen kuvaus R! R/I on rengashomomorfismi. Todistus. Harjoitustehtävä 142. Propositio 3.9 antaa seurauksena Propositio 11.19. Tekijärengas on kommutatiivinen, jos alkuperäinen rengas on kommutatiivinen. Tekijärenkaille pätee ryhmien isomorfismilausetta vastaava tulos: Lause 11.20 (Renkaiden isomorfismilause). Olkoon : R! S rengashomomorfismi. Tällöin tekijärengas R/ ker on isomorfinen renkaan (R) kanssa. Todistus. Lause todistetaan kuten ryhmien isomorfismilause (Lause 7.23). Harjoitustehtävä 143. 69

Esimerkki 11.21. (a) Koska R on aina renkaan R ideaali ja R/R = {0}, jotentekijärengas R/I voi olla kommutatiivinen vaikka R ei olisikaan. Toinen ääriesimerkki tekijärenkaasta on R/{0} = R. (b) Olkoon R rengas, 6= ; ja c 2. Kuvaus E c : F (,R)! R, E c (f) =f(c) on surjektiivinen rengashomomorfismi, jonka ydin on N(a) ={f 2 F (,R):f(c) =0}. Renkaiden isomorfismilauseen nojalla F (,R)/N (a) on rengasisomorfinen renkaan R kanssa. (c) Reaaliluvut konstruoidaan kurssilla Lukualueet rationaalilukujen Cauchyn jonojen renkaan nollaan suppenevien jonojen ideaalia vastaavana tekijärenkaana. Määritelmä 11.22. Olkoon R rengas. Renkaan R ideaali I on aito, jos I 6= R. Renkaan R aito ideaali M on maksimaalinen, josseeioleminkäänaidonideaalin aito osajoukko. Proposition 11.8 mukaan kunnan nollaideaali on maksimaalinen. Propositio 11.23. Kokonaislukurenkaan ideaali qz, q ja vain jos q on alkuluku. 2, on maksimaalinen, jos Todistus. Jos q ei ole alkuluku, niin q = ab joillakin a, b 2 N {0, 1}. Tällöin q 2 az, joten ideaali qz sisältyy aidosti aitoon ideaaliin az eikä qz siis ole maksimaalinen. Olkoon q alkuluku ja olkoon rz ideaali, joka sisältää ideaalin qz, r 6= ±q. Tällöin on s 2 rz qz. Koskaq on alkuluku, syt(q, r) =1ja Bezout n yhtälön nojalla on x, y 2 Z, joille1=qx + ry. Siis1 2 rz, jotenrz = Z ja qz on maksimaalinen. Lauseen 10.12 mukaan tekijärengas Z/qZ on kunta täsmälleen silloin, kun q on alkuluku. Seuraava havainto yleistää tämän: Lause 11.24. Olkoon M kommutatiivisen renkaan K maksimaalinen ideaali. Tällöin tekijärengas K/M on kunta. Todistus. Proposition 11.18 nojalla K/M on kommutatiivinen rengas. Olkoon a + I 2 K/M {0}. Ideaali N = {ak + m : k 2 K, m 2 M} sisältää aidosti ideaalin M,koskaa 2 N M.KoskaM on maksimaalinen, pätee N = K. Erityisesti 1 2 N,jotenonk 2 K ja m 2 M siten, että ak + m =1. Mutta tästä saadaan joten a + M on yksikkö. (a + M )(k + M )=ak + M =1 m + M =12 K/M, Harjoitustehtäviä. Tehtävä 134. Olkoon K kommutatiivinen rengas. Alkion k 2 K annihilaattori on Osoita, että annihilaattori on ideaali. {a 2 K : ak =0}. Tehtävä 135. Olkoon R rengas, ja olkoon I renkaan R epätyhjäosajoukko. Osoita, että I on ideaali, jos ja vain jos xa+x 0 a 0, ax+a 0 x 0 2 I kaikilla x, x 0 2 R ja a, a 0 2 I. Tehtävä 136. Olkoon : R! S rengashomomorfismi. Olkoon I renkaan R ideaali. Osoita, että (I ) on renkaan (R) ideaali. 70

Tehtävä 137. Anna esimerkki, joka osoittaa, että tehtävän 136 tilanteessa (I ) ei välttämättä ole renkaan S ideaali. Tehtävä 138. Olkoot I i, i 2 I, renkaanr ideaaleja. Osoita, että T i2i I i on renkaan R ideaali. Tehtävä 139. Olkoon K kommutatiivinen rengas. Osoita, että renkaassa K pätee binomikaava nx n (a + b) n = a n k b k k kaikille a, b 2 K. k=0 Tehtävä 140. Olkoon K kommutatiivinen rengas. Alkio x 2 K on nilpotentti, jos x n =0jollain n 2 N.Osoita,ettärenkaanK nilpotentit alkiot muodostavat ideaalin. Tehtävä 141. Olkoon K kommutatiivinen rengas. Olkoot a 1,a 2,...a n 2 K. Osoita, että {x 1 a 1 + x 2 a 2 + + x n a n : x 1,x 2,...,x n 2 K} on renkaan K ideaali. Tehtävä 142. Olkoon R rengas, ja olkoon I sen ideaali. Osoita, että R/I on rengas. Tehtävä 143. Todista renkaiden isomorfismilause. Tehtävä 144. Osoita, että 3 Z[i] ={3z : z 2 Z[i]} on renkaan Z[i] ideaali. Osoita, että Z[i]/3 Z[i] on kunta, jossa on yhdeksän alkiota. Tehtävä 145. Olkoon I kommutatiivisen renkaan K ideaali ja olkoon a 2 K. Osoita, että N = {ak + m : k 2 K, m 2 I } on renkaan K ideaali. Kommutatiivisen renkaan K ideaali P 6= K on alkuideaali, jos sillä on seuraava ominaisuus: Jos a, b 2 K ja ab 2 P, niina 2 P tai b 2 P. Tehtävä 146. Mitkä kokonaislukujen renkaan ideaalit ovat alkuideaaleja? Tehtävä 147. Olkoon K kommutatiivinen rengas ja olkoon I 6= K sen ideaali. Osoita, että tekijärengas K/I on kokonaisalue, jos ja vain jos I on alkuideaali. Tehtävä 148. Osoita, että kommutatiivisen renkaan jokainen maksimaalinen ideaali on alkuideaali. 140 Vihje: Huomaa, että potenssi n voi riippua alkiosta x. Käytätehtävän139binomikaavaa. 144 Vihje: Tekijärenkaan voi osoittaa kunnaksi käsityöllä käyttämättä Lausetta 11.24. 71