{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

Transkriptio

1 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä. Osajoukko A B on joukon B aito osajoukko, jos A B. Määritelmä 5.1. Olkoon G ryhmä. Olkoon B G, B, vakaaosajoukko.jos indusoidulla laskutoimituksella varustettu joukko B on ryhmä, niin se on ryhmän G aliryhmä. JosH G on ryhmän G aliryhmä, käytämme merkintää H G. Jos aliryhmä H on ryhmän G aito osajoukko, se on aito aliryhmä ja voimme käyttää merkintää H<G. Merkinnät H G ja H <Gsisältävät tietojen H, H G ja H G lisäksi siis sen, että H ja H ovat ryhmiä, joiden laskutoimitus on ryhmän G laskutoimituksen indusoima. Lemma 5.2. Olkoon G ryhmä. Jokaisen aliryhmän H G neutraalialkio on ryhmän G neutraalialkio. Todistus. Jos joillekin a, b H G pätee ab = b, niinryhmäng supistussäännön nojalla a on ryhmän G neutraalialkio. Kaikki ryhmän vakaat osajoukot eivät ole ryhmiä, esimerkiksi ryhmän Z vakaa osajoukko N ei ole ryhmä. Seuraava tulos antaa keinon tarkastaa, onko jokin ryhmän osajoukko aliryhmä: Propositio 5.3. Ryhmän G osajoukko H on aliryhmä, jos (1) kaikilla x, y H pätee xy 1 H, tai (2) kaikilla x, y H pätee xy H ja y 1 H. Todistus. Olkoon e G neutraalialkio. Tarkastellaan ehtoa (1): Olkoon h H. Oletuksen mukaan hh 1 H, jotene H. Samoiny 1 = ey 1 H kaikilla y H. Kaikki on siis kunnossa, jos H on vakaa osajoukko. Edellisen nojalla kaikille x, y H pätee xy = x(y 1 ) 1 H, jotenh on vakaa. Ehdosta (2) seuraa ehto (1), joten väite seuraa kohdasta (1). Esimerkki 5.4. (a) Jokaisella ryhmällä on aliryhmiä: ryhmä itse, ja neutraalialkion muodostama yhden alkion ryhmä. (b) ({0}, +) < (Z, +) < (Q, +) < (R, +) < (C, +). (c) {1} < { 1, 1} < Q < R < C. (d) Neliömatriiseista koostuville ryhmille pätee muunmuassa kaikilla n 2 ja {I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) {I n } < { I n,i n } < SL n (Z) < SL n (Q) < SL n (R) < GL n (R) < GL n (C), kun n on parillinen. Aliryhmillä on monia ominaisuuksia, jotka muistuttavat kursseilta Lineaarinen algebra 1 ja 2 tuttuja vektoriavaruuksien aliavaruuksien ominaisuuksia. Tämä ei ole yllättävää: Esimerkki 5.5. Reaalinen vektoriavaruus (eli R-vektoriavaruus) muodostuu kommutatiivisesta ryhmästä (V,+), jossa on määritelty alkioiden kertominen reaaliluvulla. Reaaliluvulla kertominen tarkoittaa kuvausta R V V, (λ, v) λv. Laskutoimitukselta ja reaaliluvulla kertomiselta oletetaan 29

2 (1) λ(v + w) =λw + λw kaikille λ R ja v, w V, (2) (λ + µ)v = λv + µv kaikille λ, µ R ja v V, (3) µ(λv) =(µλ)v kaikille λ, µ R ja v V ja (4) 1 v = v. Määritelmän mukaan reaalisen vektoriavaruuden V aliavaruus on osajoukko H V, joka on vakaa vektoriavaruuden V yhteenlaskun ja reaaliluvulla kertomisen suhteen, ja on näillä operaatioilla varustettuna reaalinen vektoriavaruus. Erityisesti (H, +) on additiivisen ryhmän (V,+) aliryhmä. Kaikki additiivisen ryhmän (V,+) aliryhmät eivät ole R-vektoriavaruuden V vektorialiavaruuksia. Esimerkiksi R-vektoriavaruudella R on vain kaksi aliavaruutta {0} ja R mutta reaalilukujen additiivisella ryhmällä on paljon enemmän aliryhmiä: Esimerkiksi joukot αz = {αk : k Z} R ja αq = {αq : q Q} R ovat ryhmän (R, +) vakaita osajoukkoja kaikilla α R ja on helppo tarkastaa, että (αz, +) < (αq, +) < (R, +) kaikilla α R {0}. Jos W on toinen R-vektoriavaruus, niin kuvaus L: V W on (R-)lineaarikuvaus, jos se on homomorfismi kommutatiivisesta ryhmästä (V,+) kommutatiiviseen ryhmään (W, +), joka on lisäksi yhteensopiva reaaliluvulla kertomisen kanssa: Kaikille λ R ja v V pätee L(λv) =λl(v). Sen todistaminen, että kaikki homomorfismit reaalilukujen additiiviselta ryhmältä itselleen eivät ole lineaarikuvauksia on hieman monimutkaisempaa. G. Hamel todisti tämän tuloksen valinta-aksiooman avulla vuonna Käyttämällä edellä olevassa määritelmässä reaalilukujen sijaan rationaalilukuja tai kompleksilukuja saadaan Q-vektoriavaruuden ja C-vektoriavaruuden ja vastaavien Q- ja C-lineaarikuvausten käsitteet. Propositio 5.6. Aliryhmien leikkaus on aliryhmä. Todistus. Harjoitustehtävä 58. Määritelmä 5.7. Olkoot G ja G ryhmiä ja olkoon e ryhmän G neutraalialkio. Ryhmähomomorfismin φ: G G ydin on ker φ = φ 1 (e ) ja sen kuva on Im φ = φ(g). Propositio 5.8. Olkoon φ: G G ryhmähomomorfismi. Olkoot H G, H G aliryhmiä. Tällöin φ(h) G ja φ 1 (H ) G ovat aliryhmiä. Erityisesti ker φ G ja Im φ G. Todistus. Olkoot φ(g),φ(h) φ(h). Tällöin φ(g)(φ(h)) 1 = φ(g)φ(h 1 )=φ(gh 1 ) φ(h), koska gh 1 H. Siisφ(H) on aliryhmä Proposition 5.3(1) nojalla. Toinen väite todistetaan harjoitustehtävässä 59. Esimerkki 5.9. (a) Olkoon φ q :(Z, +) (Z/qZ, +) luonnollinen homomorfismi, φ q (k) =[k] Z/qZ. Homomorfisminφ q ydin on qz. (b) Lineaarialgebrassa osoitettiin, että kaikille neliömatriiseille A, B M n (R) pätee det(ab) =deta det B. 30

3 Kun rajoitetaan determinantti nollajoukkonsa komplementtiin saadaan siis ryhmähomomorfismi det: GL n (R) R.DeterminantinydinonSL n (R). Determinantti voidaan määritellä samalla lausekkeella myös kompleksikertoimisille neliömatriiseille, jolloin saadaan ryhmähomomorfismi det: GL n (C) C,jonkaydinonSL n (C). Tarkastelemme ydintä ja kuvaa lähemmin luvussa 7. Seuraava ytimen ominaisuus on hyvä todeta jo tässä vaiheessa: Propositio Ryhmähomomorfismi on injektio, jos ja vain jos sen ydin on neutraalialkion muodostama ryhmä. Todistus. Olkoon φ: G G ryhmähomomorfismi. Aiemmin osoitettiin (harjoitustehtävä 44), että ryhmän G neutraalialkio e kuvautuu ryhmän G neutraalialkioksi e,jotenjosφ on injektio, sen ydin on {e}. Oletetaan, että ker φ = {e}. Olkootx, y G siten, että φ(x) =φ(y). Tällöin joten xy 1 = e eli x = y. φ(xy 1 )=φ(x)(φ(y)) 1 = e, Proposition 5.10 mukaan ryhmähomomorfismin injektiivisyyden toteamiseksi riittää tarkastella neutraalialkion alkukuvaa. Määritelmä Olkoon G ryhmä, ja olkoon B G, B. JoukonB virittämä aliryhmä B on pienin aliryhmä, joka sisältää joukon B. JoukonB alkiot ovat ryhmän B virittäjiä. Joukon B virittämä aliryhmän aliryhmän määritelmässä voi todellakin puhua pienimmästä joukon B sisältävästä aliryhmästä sillä Proposition 5.6 nojalla B = {H G : B H} G. Ryhmä B voidaan esittää konkreettisesti virittäjiensä avulla: Propositio Olkoon G ryhmä ja olkoon e G neutraalialkio. Olkoon B G, B. JoukonB virittämä aliryhmä on { (6) b ±1 1 b ±1 2 b ±1 k : b 1,b 2,...,b k B,k N {0} } {e}. Todistus. Lausekkeen (6) antama osajoukko B on ryhmän G aliryhmä Propositioiden 4.3(4) ja 5.3 nojalla. Erityisesti se on ryhmä, joka sisältää joukon B, joten B B. Toisaalta B on ryhmän G aliryhmä, joten erityisesti se on vakaa osajoukko. Koska B B, niininduktiollaonhelpponähdä,ettävakaudestaseuraa,että B sisältää kaikki muotoa b ±1 1 b ±1 2 b ±1 k olevat alkiot. Siis B B. Esimerkki (a) (Z, +) = 1 = 1 ja kaikilla q Z { 1, 1} pätee q < Z. Toisaalta Z = 2, 3 = 6, 10, 15 koska 1=3 2= , muttaaliryhmät 2, 3, 6, 10 = 2, 6, 15 = 3 ja 10, 15 = 5 ovat ryhmän (Z, +) aitoja aliryhmiä. (b) Kokeilemalla kaikki tapaukset on helppo nähdä, että jokainen nollasta poikkeava alkio virittää ryhmän (Z/5Z, +): (Z/5Z, +) = [1] = [2] = [3] = [4]. Toisaalta (Z/4Z, +) = [1] = [3] mutta [2] < (Z/4Z, +). Seuraava tulos osoittaa, että ryhmässä G määritelty ryhmähomomorfismi määräytyy yksikäsitteisesti, jos sen arvot tunnetaan virittäjäjoukossa. 31

4 Propositio Olkoon G = S ryhmä. Olkoot φ, ψ : G H ryhmähomomorfismeja, joille pätee φ S = ψ S.Tällöinφ = ψ. Todistus. Harjoitustehtävä 66. Kun ryhmän alkiot kirjoitetaan virittäjien avulla on kätevä käyttäämonikertojen ja potenssien yleistyksiä ryhmille. Itse asiassa nämä käsitteet voidaan määritellä hieman yleisemmässä tapauksessa: Olkoon (A, ) assosiatiivisella laskutoimituksella varustettu joukko. Jokaiselle a A määritellään positiiviset potenssit: Asetamme a 1 = a, jakaikillen N, n 1 asetamme a n+1 = aa n.joslaskutoimituksella varustetussa joukossa (A, ) on neutraalialkio e, asetammea 0 = e, jajosalkiolla a A on käänteisalkio, määrittelemme sen 1. potenssiksikäänteisalkiona 1,ja kaikille n Z, n 2 asetamme a n =(a 1 ) n. Assosiatiivisella laskutoimituksella varustettu joukossa (A, +) määrittelemme vastaavasti alkion a positiiviset monikerrat asettamalla 1 a = a, ja(n +1)a = na + a kaikille n Z, n 1. Joslaskutoimituksellavarustetussajoukossa(A, +) on neutraalialkio 0, niinasetetaan0 a =0 A, jajosalkiollaa A on käänteisalkio a laskutoimituksen + suhteen, asetetaan ( 1) a = a, janegatiivisillen Z asetamme na =( n)( a). Tavanomaiset laskulait pätevät potensseille ja monikerroille: Lemma Olkoon (G, ) ryhmä. Tällöin (1) (a n ) m = a nm kaikilla a G, n, m Z. (2) a n a m = a n+m kaikilla a G, n, m Z. Olkoon (H, +) ryhmä. Tällöin (3) na + ma =(n + m)a kaikilla a H, n, m Z. (4) n(ma) =(nm)a kaikilla a H, n, m Z. Todistus. Harjoitustehtävä 60. Määritelmä Olkoon G multiplikatiivinen ryhmä ja olkoon H additiivinen ryhmä. Aliryhmät a = {a n : n Z} G ja b = {nb: n Z} H ovat alkioiden a G ja b H virittämät sykliset aliryhmät. RyhmäZ on syklinen ryhmä, josona Z siten, että Z = a. Kokonaislukujen additiivisella ryhmällä on sykliset aliryhmät nz = n = {kn : k Z}, n N. Itseasiassaryhmällä(Z, +) ei ole mitään muita aliryhmiä: Propositio Kokonaislukujen additiivisen ryhmän (Z, +) kaikki aliryhmät ovat syklisiä. Erityisesti Z on syklinen ryhmä. Todistus. Huomataan ensin, että {0} =0Z ja Z =1Z. OlkoonH<Z, H {0} jokin aliryhmä. Olkoon q pienin positiivinen kokonaisluku aliryhmässä H. Tällöin siis qz <H. Osoitamme, että H = qz. Josonm H qz, niinm = aq + b joillakin a, b Z siten, että 1 b<q.nytb H, jotenq ei olekaan pienin positiivinen kokonaisluku ryhmässä H, mikäonristiriita.siish = qz. 32

5 Edellä käsitellyistä esimerkeistä muun muassa ryhmät Z = 1 ja Z/qZ = [1], q 2, ovat syklisiä. Sen sijaan esimerkiksi Q ja R eivät ole syklisiä. Reaaliluvuille tämä on selvää koska syklinen ryhmä on aina numeroituva, rationaalilukujen tapaus käsitellään harjoitustehtävässä 64. Lause (1) Syklinen ryhmä, jossa on vähintään kaksi alkiota, on isomorfinen joko ryhmän (Z, +) tai jonkin ryhmän (Z/qZ, +), q 2 kanssa. (2) Syklisen ryhmän kuva ryhmähomomorfismissa on syklinen. (3) Jokainen syklisen ryhmän aliryhmä on syklinen. Todistus. (1) Olkoon C = g syklinen ryhmä ja olkoon φ: (Z, +) C, φ(n) =g n. Lemman 5.15 nojalla φ on homomorfismi ja ryhmän C määritelmän nojalla se on surjektio. Jos φ on injektio, se on isomorfismi. Jos φ ei ole injektio, niin Propositioiden 5.8, 5.10 ja 5.17 nojalla ker φ = qz jollain q 2. Olkoonψ :(Z/qZ, +) C, ψ([k]) = φ(k) =g k.kuvausψ on hyvin määritelty: jos k k mod q, niink k qz =kerφ, joteng k = g k g k k = g k. Kuvaus ψ on homomorfismi: ψ([n])ψ([m]) = g n g m = g n+m = ψ([n + m]) = ψ([n]+[m]). Homomorfismi ψ on surjektio koska φ on surjektio. Proposition 5.10 nojalla injektiivisyyden todistamiseen riittää osoittaa, että ker ψ = {[0]}. Oletetaansiis,että ψ([k]) = e G. Tällöinφ(k) =e, jotenk qz ja [k] =[q] = [0]. (2) Harjoitustehtävä 65. (3) Väite todistettiin sykliselle ryhmälle (Z, +) Propositiossa Olkoon C = g syklinen ryhmä, ja olkoon H < C.Olkoonφ: (Z, +) C (surjektiivinen) homomorfismi φ(n) =g n.tällöinproposition5.8nojallaφ 1 (H) (Z, +), joten Proposition 5.17 nojalla φ 1 (H) =NZ jollain N Z. Erityisestiφ 1 (H) on syklinen ryhmä. Koska H = φ(φ 1 (H)), väiteseuraakohdasta(2). Koska Lauseen 5.18 mukaan kaikki keskenään yhtä mahtavat sykliset ryhmät ovat isomorfisia keskenään, voimme puhua abstraktista n alkion syklisestä ryhmästä C n ja äärettömästä syklisestä ryhmästä C.Toisinaansyklisilleryhmillekäytetäänmerkintöjä Z n ja Z. Esimerkki (a) Ryhmän (R 2, +) alkiot (0, 1) ja (1, 0) virittävät aliryhmän (0, 1), (1, 0) =(Z 2, +) < (R 2, +). (Z 2, +) ei ole syklinen ryhmä: Jos a, b 0,niin( a, b) ei ole alkion (a, b) Z 2 virittämässä aliryhmässä. Lisäksi alkioiden (a, 0) ja (0,a) virittämät sykliset ryhmät sisältyvät ryhmän (Z 2, +) aitoihin aliryhmiin Z {0} ja {0} Z, jotenmyöskään tätä muotoa olevat alkiot eivät voi yksinään virittää ryhmää (Z 2, +). (b) Esimerkissä 4.10 käsitelty Kleinin neliryhmä K = f,g ja sen kanssa isomorfinen ryhmä Z/2Z Z/2Z = ([0], [1]), ([1], [0]) eivät ole syklisiä, koska jokaisen neutraalialkiosta poikkeavan alkion virittämä syklinen ryhmä on isomorfinen ryhmän Z/2Z kanssa. Erityisesti siis neljän alkion kommutativiset ryhmät Z/4Z ja Z/2Z Z/2Z eivät ole isomorfisia. Edellä esitellyn syklisten ryhmien merkinnän avulla edellinen on hieman lyhyempi ilmaista: ryhmät C 4 ja C 2 C 2 eivät ole isomorfisia. Määritelmä Ryhmän G alkioiden lukumäärä #G on ryhmän G kertaluku. Ryhmän G alkion g kertaluku ord g on sen virittämän syklisen aliryhmän kertaluku, ord g =# g. 33

6 Lemma Olkoon G ryhmä ja olkoon e ryhmän G neutraalialkio. Jos jollain k Z {0} pätee g k = e, niin Lisäksi Todistus. Harjoitustehtävä 67. ord g = min{k 1:g k = e}. g = {e, g, g 2,...,g ord g 1 }. Esimerkki (a) Ryhmien K ja C 2 C 2 kertaluku on 4 ja niiden jokaisen neutraalialkiosta poikkeavan alkion kertaluku on 2. (b) Ryhmän C 4 = (Z/4Z, +) kertaluku on 4 ja sen alkioiden [1] ja [3] kertaluku on 4. Tämäonhelppotarkastaavaikkaalkiolle[3]: 2[3] = [3] + [3] = [6] = 2, 3[3] = [6] + [3] = [2] + [3] = [5] = [1] ja 4[3] = [1] + [3] = [4] = [0]. Harjoitustehtäviä. Tehtävä 56. Osoita, että on ryhmän C aliryhmä. S 1 = {z C : z =1} Tehtävä 57. Anna esimerkki surjektiivisesta homomorfismista f :(R, +) (S 1, ). Tehtävä 58. Olkoon G ryhmä, olkoon I jokin indeksijoukko ja olkoot H i G, i I. Osoita,että H i G. i I Tehtävä 59. Olkoon φ: G G ryhmähomomorfismi. Olkoon H G.Osoita: φ 1 (H ) G. Tehtävä 60. Todista Lemman 5.15 kohtien (1) ja (2) potenssien laskusäännöt. Tehtävä 61. Määritä kaikki ryhmien (Z/6Z, +) ja (Z/7Z, +) aliryhmät. Tehtävä 62. Osoita, että ryhmät Z/6Z ja Z/2Z Z/3Z ovat isomorfisia. Tehtävä 63. Olkoon q N {0}. Osoita,ettäjoukko J q = {w C : w q =1} varustettuna kompleksilukujen kertolaskulla on ryhmän C aliryhmä. Osoita, että ryhmä J q on isomorfinen ryhmän (Z/qZ, +) kanssa. Tehtävä 64. Osoita, että rationaalilukujen additiivinen ryhmä ei ole syklinen. Tehtävä 65. Olkoon C syklinen ryhmä ja olkoon φ: C G ryhmähomomorfismi. Osoita, että φ(c) G on syklinen aliryhmä. Tehtävä 66. Olkoon G = S ryhmä. Olkoot φ, ψ : G H ryhmähomomorfismeja, joille pätee φ S = ψ S.Osoita,ettäφ = ψ. Tehtävä 67. Olkoon G ryhmä ja olkoon e ryhmän G neutraalialkio. Olkoon g G alkio, jolle pätee g k = e jollain k Z {0}. Osoita,että ord g = min{k 1:g k = e}. Tehtävä 68. Määritä matriisien A, B, C SL 2 (Z) kertaluvut, kun ( ) ( ) ( ) A =, B =, ja C = Vihje: Osoita, että Z/2Z Z/3Z on syklinen ryhmä. 34