Jäykän kappaleen liike

Luku 5 Jäykän kappaleen liike Tähän mennessä mekaniikkaa on tarkasteltu lähinnä yksittäisten massapisteiden näkökulmasta. Oikeat mekaaniset systeemit muodostuvat kuitenkin usein äärellisen kokoisista kappaleista, joiden eri osiin ulkoiset voimat vaikuttavat eri tavoin. Tarkastellaan tässä luvussa nk. jäykkiä kappaleita. Jäykällä kappaleella ymmärretään sellaista massapisteiden kokoelmaa, jossa massapisteiden etäisyydet r i r j ovat vakioita kaikilla i, j. Jäykkä kappale on idealisaatio, sillä voimavaikutus etenee kappaleessa kyseiselle aineelle ominaisella äänennopeudella. Esimerkiksi, kun naapurisi kommunikoi kanssasi takoen seinää nyrkillään, niin iskun vaikutus etenee seinän läpi seinän ääniaaltona, siis seinän massapisteiden vähäisenä värähtelynä tasapainoasemansa ympärillä, ja aiheuttaa lopulta ääniaallon ilmaan seinän toisella puolella. Jäykkä kappale on kuitenkin hyvä approksimaatio silloin, kun kappaleen osasten nopeudet ovat paljon pienempiä kuin vuorovaikutusten etenemisnopeudet kappaleessa. Selvästikin ongelmia tulee erittäin suurilla nopeuksilla, jolloin etäisyydet vääristyvät suhteellisuusteorian ennustusten mukaisesti. 5.1 Koordinaatiston valinta Käytetään tässä luvussa samoja koordinaatistomerkintöjä kuin edellisessä. Siis inertiaalikoordinaatistoa merkitään {x}:llä ja kappaleen B massakeskipisteeseen (CM) kiinnitettyä, mahdollisesti ei-inertiaalista koordinaatistoa {y}:llä. Jäykän kappaleen massapisteiden paikat tunnetaan, kun tiedetään sen massakeskipisteen paikka R {x}:ssä sekä kappaleen orientaatio, mitä varten tarvitaan kolme kulmaa. (Piirrä kuva!) B:n mielivaltainen piste P pysyy paikallaan koordinaatistossa {y}, jossa sen paikkavektori on r. Nyt P :n nopeus koordinaatistossa {x} on edellisen 81

8 LUKU 5. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE luvun oppien mukaan dr dt = dr dt + ω r, (5.1) missä ω on koordinaatiston {y} (ja samalla kappaleen B) kulmanopeus koordinaatistossa {x}. Tulos ei riipu B:n massakeskipisteen valinnasta koordinaatiston {y} origoksi. Se vain on käytännössä viisas valinta. 5. Hitaustensori Lähdetään sitten muodostamaan käyttökelpoista Lagrangen funktiota kappaleelle B. Oletetaan, että B muodostuu diskreeteistä massapisteistä. Tämän pistejoukon kineettinen energia {x}:ssä on T = 1 ( dr ) m, (5.) dt missä summausindeksiä ei ole kirjoitettu näkyviin. Summa on luonnollisesti yli kaikkien kappaleen B muodostavien massapisteiden ja niiden paikkavektorien komponenttien. Käyttäen edellisen jakson tulosta saadaan T = 1 m ( dr dt + ω r ), (5.3) missä r:t viittaavat siis massapisteiden paikkoihin {y}:ssä. Avataan nopeuden neliö, jolloin T = 1 ( ) dr m + m dr dt dt (ω r) + 1 m(ω r). (5.4) Ṙ ja ω ovat samat kaikille B:n osasille. Merkitään kokonaismassaa M = m ja kirjoitetaan T :n lausekkeen ensimmäinen termi muotoon 1 m Ṙ = 1 MṘ. (5.5) T :n lausekkeen toinen termi voidaan puolestaan kirjoittaa seuraavasti m Ṙ (ω r) = mr (Ṙ ω) = (Ṙ ω) mr. (5.6) Koska origona on CM, mr = 0, joten koko termi on nolla. Kirjoitetaan vielä viimeinen termi muotoon 1 m(ω r) = 1 m(ω r (ω r) ). (5.7) Kineettinen energia on siten saatu muotoon T = 1 MṘ + 1 m(ω r (ω r) ). (5.8)

5.. HITAUSTENSORI 83 Lausekkeen ensimmäinen termi kuvaa CM:n liikkeeseen liittyvää kineettistä energiaa ja jälkimmäinen pyörimisliikkeeseen liittyvää energiaa. Merkitään pyörimisestä aiheutuvaa kineettistä energiaa T rot ja tarkastellaan tätä lähemmin. Kirjoitetaan T rot komponenttimuodossa T rot = 1 3 3 3 3 m ωi yj ( ω i y i )( ω k y k ). (5.9) i=1 j=1 Tässä siis indeksoimaton summamerkintä merkitsee summausta kaikkien kiinteän kappaleen hiukkasten yli. Lausekkeen merkintätapa yksinkertaistuu jonkin verra, jos otetaan käyttöön nk. summaussääntö, jonka mukaan toistetun koordinaattia merkitsevän indeksin yli summataan eli i=1 k=1 3 3 3 ωi ωi = ω i ω i ; ω i y i ω i y i i=1 i=1 i=1 (Summasäännön käyttämistä kannattaa treenata, mutta aina on syytä olla huolellinen sen kanssa, tarkoittaako jossain yhteydessä toistettu indeksi todella summausta vai ei.) Kirjoitetaan sitten T rot :n käyttäen summasääntöä ja Kroneckerin symbolia δ ik muotoon T rot = 1 m[ω i y j (ω i y i )(ω k y k )] = 1 m(ωi ω k δ ik y j ω i ω k y i y k ) = 1 ω i ω k m(y j δ ik y i y k )), (5.10) i,k missä jälkimmäisessä lausekkeessa summat i:n ja k:n yli on kirjoitettu näkyviin selkeyden vuoksi. Merkitään sisempää summaa I ik = m(y j δ ik y i y k ). Tämä kaksi-indeksinen suure on matemaattisena oliona toisen kertaluvun tensori ja sitä kutsutaan hitaustensoriksi (inertiaalitensoriksi). Merkitään sitä symbolilla I. Hitaustensorin määritelmästä näkee suoraan, että sen fysikaalinen dimensio on massa kertaa pinta-ala ([ I ] = ML ) ja että I on symmetrinen I ik = I ki. Tarkasteltavan kappaleen kineettinen energia voidaan nyt kirjoittaa muodossa T = 1 MṘ + 1 I ik ω i ω k i,k = 1 MṘ + 1 ω I ω. (5.11)

84 LUKU 5. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE Lagrangen funktioksi tulee siten L = 1 MṘ + 1 ω I ω U. (5.1) Mikäli mikään sidosehto ei rajoita kappaleen vapausasteiden määrää, on Lagrangen funktion muuttujina kuusi koordinaattia (kolme paikkakoordinaattia ja kolme kulmaa) ja niitä vastaavat kuusi nopeuskomponenttia. Yllä on otettu käyttöön merkintä 1 I ik ω i ω k = 1 ω I ω. i,k Tässä on siis kyseessä operaatio: vektori-pistetulo-tensori-pistetulo-vektori. Kun otetaan tensorin ja vektorin välinen pistetulo, saadaan vektori. Tämän voi ajatella niin, että pistetulossa summataan yhden indeksin yli ja jäljelle jää yksi-ideksinen otus eli vektori. Kun otetaan tämän vektorin pistetulo toisen vektorin kanssa, summataan jäljellä olevan indeksin yli ja saadaan lopputuloksena skalaari. Jos nyt merkitään kulmanopeusvektorin suuntaa n:llä eli ω = ωn, niin T rot = 1 ω I ω = ω n I n = 1 Iω, (5.13) missä skalaaria I = n I n = m (r (r n) ) (5.14) kutsutaan kappaleen hitausmomentiksi pyörimisakselin suhteen. Tensorit samoin kuin vektorit ovat matemaattisia olioita, jotka eivät itsessään riipu koordinaatistosta. Samoin kuin vektori voidaan esittää komponenttiensa avulla annetussa kannassa niin myös n:n kertaluvun tensori voidaan esittää n:n kertaluvun matriisina. Hitaustensorin I kertaluku on kaksi, joten sillä on kaksiulotteinen matriisiesitys (I ik ) (emme käytä edellisessä luvussa käytettyä kaunokirjoitus-i:tä, ettei tule sekaannusta yksikkömatriisin kanssa): (I ik ) = m(y + y 3 ) my 1 y my 1 y 3 my y 1 m(y 3 + y 1 ) my y 3 my 3 y 1 my 3 y m(y 1 + y ). (5.15) Hitaustensorin matriisiesityksen diagonaalikomponentteja kutsutaan hitausmomenteiksi ja ei-diagonaalisia komponentteja hitaustuloiksi. Hitaustensori voidaan laskea kappaleen kaikkien osasten hitaustensorien summana, kunhan nämä vain on laskettu koko kappaleen CM:n suhteen. Myös tämä perustelee koordinaatiston keskipisteen sijoittamisen nimenomaan CM:ään.

5.. HITAUSTENSORI 85 Huom. Kuten jo edellä todettiin hitaustensori (ja niin myös sen matriisiesitys) on symmetrinen. Matriisilla (I ik ) ei kuitenkaan ole samanlaisia ortogonaalisuusominaisuuksia kuin luvussa 3 käsitellyillä matriiseilla M ja A. Edellä oleva lasku on havainnollisuuden vuoksi suoritettu ajattelemalla kiinteä kappale kootuksi suuresta joukosta massapisteitä. Todellisuudessa on useimmiten käytännöllisempää ajatella jäykkä kappale jatkuvasti jakautuneena aineena. Ilmaistaan kappaleen tiheysjakautuma koordinaatossa {y} jatkuvana funktiona ρ(r) ja jaetaan kappaleen tilavuus alkioiksi dv. Tällöin hitausmomentin komponentit ovat I ik = ρ(r)(yj δ ik y i y k ) dv. (5.16) V Tässä on siis edellä ollut indeksoimaton summaus korvattu tilavuusintegroinnilla. Koska hitaustensorin komponentit ovat reaaliset ja tensori itse symmetrinen, voidaan osoittaa, että tensori (tai sen matriisiesitys) voidaan diagonalisoida sopivalla koordinaatiston kierrolla. Näin hitaustensori saa muodon (I ik ) = I 1 0 0 0 I 0 0 0 I 3. (5.17) Nyt tietenkin diagonaalielementit (hitausmomentit) I i voivat olla hyvinkin monimutkaisia lausekkeita riippuen kappaleen liiketilasta. Kineettisen energian pyörimisestä johtuva osa voidaan tämän perusteella kirjoittaa T rot = 1 (I 1ω 1 + I ω + I 3 ω 3), (5.18) missä ω:n komponentit on annettu koordinaatistossa, jossa (I ik ) on diagonaalinen. Tätä koordinaatistoa kutsutaan (I ik ):n pääakselikoordinaatistoksi ja (I ik ):n komponentteja I j päähitausmomenteiksi. Jos kaikki päähitausmomentit ovat yhtäsuuria I 1 = I = I 3, kutsutaan jäykkää kappaletta pallohyrräksi. Homogeenisen pallon päähitausmomentit keskipisteessä olevan origon suhteen ovat samat valittiinpa pääakselit kuinka tahansa. Jos kaksi päähitausmomenttia ovat yhtäsuuret, esim. I 1 = I I 3, kutsutaan hyrrää symmetriseksi. Yleensä uuden ongelman tullessa esiin kannattaa miettiä, onko tarkasteltavassa tilanteessa symmetrioita, joita voisi käyttää hyväksi. Hitaustensorin komponenttien laskemisessa on arvatenkin suureksi eduksi, jos voi etukäteen päätellä, mitkä ovat pääakselien suunnat. Oletetaan, että tarkasteltava kappale on tiheydeltään homogeeninen (epähomogeeniset kappaleet aiheuttavat kaikenlaisia ongelmia, esim. epärehellinen peluri painotettuine arpanoppineen). Jos kappaleella on selvä symmetriaakseli, sijaitsevat sekä CM että yksi pääakseleista kyseisellä suoralla. Jos

86 LUKU 5. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE tätä akselia vastaan löytyy vielä kohtisuora symmetriataso, sijaitsevat CM ja loput kaksi pääakselia tällä tasolla. Esimerkkinä tällaisesta tilanteesta on kaksiulotteinen taso, jolla kaikki kappaleen muodostamat hiukkaset sijaitsevat. Valitaan koordinaatit y 1 ja y tästä tasosta, jolloin (HT) I 1 = my ; I = my 1 ; I 3 = m(y 1 + y ). (5.19) Nyt selvästikin I 1 + I = I 3. Käytännön ongelmissa tilanne on yleensä niin päin, että pyritään rakentamaan jokin laite, jonka tulisi olla sopivasti symmetrinen. Esimerkiksi pyörivän avaruusaluksen pitäisi pyöriä annetun symmetria-akselin ympäri, mutta alus koostuu joukosta erilaisia komponentteja, jotka ovat jakautuneet epätasaisesti rakenteen eri osiin. Autonomistajille tuttu ongelma on huonosti tasapainotettu autonrengas, joka tärisee ajettaessa. Edellä esitetyssä formalismissa tämä tarkoittaa sitä, että pyörimisakseli ei kulje pyörän CM:n kautta. Näissä tilanteissa laitteeseen lisätään painoja sopiviin paikkoihin niin, että CM (eli tarkastelun origo) siirtyy pääakselille. Merkitään tarvittavaa siirrosta vektorilla a ja siirretään koordinaatistoa pitäen koordinaattiakselien suunnat vakiona (yhdensuuntaissiirto). Hitaustensorin komponentit (I a ) ik saadaan uudessa koordinaatistossa nk. Steinerin säännön avulla (HT) (I a ) ik = I ik + M(a δ ik a i a k ), (5.0) missä a i :t ovat a:n komponentit alkuperäisessä koordinaatistossa {y}. Määritellään lopuksi toisen asteen pinta yhtälöllä r I r = 1. (5.1) Tätä pintaa kutsutaan kappaleen hitausellipsoidiksi. Pääakselistossa hitausellipsoidin akselit ovat samat kuin kappaleen hitausakselit. Jos kahden eri kappaleen hitausellipsoidit ovat samat, ovat kappaleet hyrräliikkeen kannalta ekvivalentit. Esimerkiksi samanmassaiset homogeeniset pallot ja kuutiot ovat tässä mielessä ekvivalentteja.

5.3. HYRRÄN LIIKE 87 5.3 Hyrrän liike 5.3.1 Hyrrän impulssimomentti Kappaleen pyörimiseen liittyy tietenkin impulssimomentti, jonka suuruus riippuu valitusta referenssipisteestä. Tarkastellaan tässä pyörivän hyrrän impulssimomenttia sen CM:n suhteen. Huom. Käytetään tässä luvussa impulssimomentille isoa L-kirjainta, etteivät tensori I ja vektori l mene typograafisesti sekaisin. Luvun 1 oppien perusteella impulssimomentti on tässä tapauksessa Nopeus on puolestaan ṙ = ω r, joten L = mr ṙ. (5.) L = mr (ω r) = m(r ω r(r ω)). (5.3) Kirjotetaan tämä vielä komponenttimuotoon (käyttäen summasääntöä) L i = m((y j )ω i y i (y k ω k )) mikä on vektorimuodossa kirjoitettuna = ω k m((y j )δ ik y i y k ) = I ik ω k, (5.4) L = I ω. (5.5) Jos {y}-koordinaatisto on pääakselikoordinaatisto, niin impulssimomentin komponentit ovat L 1 = I 1 ω 1 ; L = I ω ; L 3 = I 3 ω 3. Tämän voi tietysti kirjoittaa muodossa L i = I i ω i, mutta nyt pitää muistaa, ettei toistetun indeksin yli summata! Pallohyrrän tapauksessa I 1 = I = I 3 I, joten L = Iω (5.6) eli impulssimomentti on ω:n suuntainen. Epäsymmetrisen kappaleen tapauksessa L ja ω ovat yleensä erisuuntaiset paitsi tapauksessa, missä pyöriminen tapahtuu jonkin pääakselin ympäri.

88 LUKU 5. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE Esimerkki: Vapaan hyrrän prekessio Jos hyrrään ei vaikuta mikään ulkoinen voima, sen impulssimomentti epäilemättä säilyy. Tarkastellaan tästä esimerkkinä vapaata symmetristä hyrrää, jonka symmetria-akseli on y 3 ja jolle I 1 = I I 3. Oletetaan, että hyrrän CM on levossa inertiaalikoordinaatistossa {x}. (HT: Piirrä kuva tästä ja koko tarkastelusta! Vihje R. Keskisen oppikirjan kuva 5.) Nyt y -akseli voidaan valita vapaasti ja tehdään se jollain mielivaltaisella hetkellä siten, että akseli on kohtisuorassa vakiovektorin L ja hyrrän symmetria-akselin y 3 sen hetkisen suunnan virittämää tasoa vastaan. Nyt tietenkin L = 0. Koska hyrrällä on kuitenkin hitausmomentti kaikkien pääakselien suuhteen eli I 0, täytyy olla ω = 0. Koska tämä on voimassa mielivaltaisella ajanhetkellä, ω on ja pysyy L:n ja y 3 :n virittämässä tasossa. Hyrrän jokaisen hiukkasen nopeus ṙ = ω r on siten jatkuvasti kohtisuorassa kyseistä tasoa vastaan. Tämä tarkoittaa sitä, että hyrrän y 3 - akseli kiertää tasaisella kulmanopeudella L:n suunnan ympäri. Tätä liikettä kutsutaan prekessioksi. Prekession kulmanopeuden ω pr laskemiseksi merkitään L:n ja y 3 -akselin välistä kulmaa θ:lla. Koska L 3 = I 3 ω 3, niin ω 3 = L 3 /I 3 = L cos θ/i 3. Jaetaan ω L:n ja y 3 :n suuntaisiin komponetteihin. Selvästikin ω 1 = ω pr sin θ ja toisaalta ω 1 = L 1 /I 1 = L sin θ/i 1, joten ω pr = L/I 1. Ylläolevassa tarkastelussa ei tietenkään ole mieltä, jos L on alunperin symmetria-akselin suuntainen. Tällöin hyrrä pysyy koko ajan samassa asennossa eikä siis prekessoi. 5.3. Hyrrän liikeyhtälöt Hyrrällä on kuusi vapausastetta, joten tarvitaan joko kuusi skalaarista tai kaksi (kolmiulotteista) vektorimuotoista liikeyhtälöä. Kolmeen paikkamuuttujaan liittyy jotenkin liikemäärä ja kolmeen kulmamuuttujaan liittyy puolestaan impulssimomentti. Paikkamuuttujien osalta asia on yksinkertainen. Jokainen jäykän kappaleen massapiste noudattaa tietenkin Newtonin liikeyhtälöä, jossa vaikuttavina voimina ovat vain ulkoiset voimat. Jäykän kappaleen muodostavat sidosvoimat summautuvat nolliksi Newtonin kolmannen lain perusteella. Olkoon p kappaleen yksittäisen massapisteen liikemäärä ja f siihen mahdollisesti vaikuttava voima. Tällöin on siis voimassa dp/dt = f. Koko kappaleen

5.3. HYRRÄN LIIKE 89 liikemäärä on puolestaan P = p = MṘ. Laskemalla puolittain yhteen kaikkien massapisteiden Newtonin liikeyhtälöt saadaan Ṗ = F = f. (5.7) Kulmamuuttujien osalta lähdetään liikkeelle L:n liikeyhtälöstä, joka on {x}-koordinaatistossa dl dt = d dt (r p) = r ṗ = r f N, (5.8) missä on käytetty hyväksi identiteettiä ṙ p = 0, koska vektorit ovat samansuuntaiset. N on tietenkin luvusta 1 tuttu vääntömomentti. Siis hyrrän impulssimomentti säilyy, jos mikään ulkoinen voima ei väännä sitä. Momentit riippuvat aina referenssipisteen valinnasta. Jos {x}:n origoa siirretään vektorin a verran, niin tarkasteltavan kappaleen paikkavektorit muuttuvat kuten r = r a + a. (5.9) voimien momenttien summaksi tulee N = r f = r a f + a f = N a + a F. (5.30) Tuloksesta näkee, että jos ulkoisten voimien summa F on nolla, niin N ei riipu referenssipisteestä. Myös ulkoisten voimien summautuessa nollaksi voi olla N 0. Tällöin sanotaan, että kappaleeseen vaikuttaa voimapari. Siirrytään sitten inertiaalikoordinaatiosta {x} hyrrään kiinnitettyyn koordinaatistoon {y}. Edellisessa luvussa johdettiin derivaattaoperaattori d = d + ω dt x dt y sekä tämän seuraus, jonka mukaan ω on sama koordinaatistosta riippumatta. Valitaan {y}:ksi pääakselikoordinaatisto (semmoinenhan on aina olemasssa, vaikka se saattaakin olla työlästä löytää). Niinpä impulssimomentin derivaatta muuntuu kuten dl dt = dl + ω L. x dt y Liikeyhtälöiksi komponenttimuodossa tulee siis dl 1 dt + (ω L) 1 = N 1 dl dt + (ω L) = N (5.31) dl 3 dt + (ω L) 3 = N 3.

90 LUKU 5. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE Ristitulot ovat muotoa (ω L) 1 = ω L 3 ω 3 L = ω ω 3 I 3 ω 3 ω I ja vastaavasti muille komponenteille. Tässä yhteydessä matemaattinen esitys yksinkertaistuu käyttämällä permutaatiosymbolia ɛ ijk (kertaa tämä MAPU:n kurssilta). ɛ ijk määritellään siten, että sen arvo on nolla, jos indekseistä kaksi tai useampi ovat samoja, +1, jos ijk on lukujen 1,,3 parillinen permutaatio, ja 1, jos ijk on lukujen 1,,3 pariton permutaatio. Nyt esimerkiksi ristitulo A = B C voidaan kirjoittaa muodossa A i = ɛ ijk B j C k, missä oletetaan summaus tositetun indeksin yli. Tämän avulla ylläolevan liikeyhtälön komponentit ovat dl i dt + ɛ ijkω j L k = N i. (5.3) Pääakselikoordinaatistossa hitausmomentit I i eivät muutu ajan funktiona, joten koordinaatistossa {y} L i = I i ω i (ei summausta i:n yli!). Tämän avulla liikeyhtälöryhmä saa muodon I i dω i dt + ɛ ijkω j ω k I k = N i, (5.33) mikä kirjoitettuna auki kaikille komponenteille on I 1 ω 1 ω ω 3 (I I 3 ) = N 1 I ω ω 3 ω 1 (I 3 I 1 ) = N (5.34) I 3 ω 3 ω 1 ω (I 1 I ) = N 3. Jälleen on muuten saatu aikaiseksi yhtälöryhmä, jota kutsutaa Eulerin yhtälöiksi! Tässä on muistettava, että yhtälössä olevat suureet on annettava koordinaatistossa {y}. Vapaa hyrrä jälleen Oletetaan hyrrä vapaaksi (N = 0) ja symmetriseksi I 1 = I I 3. Liikeyhtälön 3-komponentti antaa suoraan I 3 ω 3 = 0 eli ω 3 = vakio. Liikeyhtälön 1- ja -komponentit antavat yhtälöparin ω 1 = ω ω 3 I I 3 I 1 Kerätään vakiotekijät yhdeksi symboliksi ω = ω 3 ω 1 I 3 I 1 I 1. (5.35) Ω ω 3 (I 3 I 1 )/I 1 = ω 3 (I I 1 )/I 1.

5.3. HYRRÄN LIIKE 91 Näin päästään yhtälöpariin ω 1 = Ωω ω = Ωω 1. (5.36) Tämäkin yhtälö on näppärää ratkaista tekemällä siitä yksi kompleksitason yhtälö kirjoittamalla ω 1 + iω = z, jolloin dz dt = iωz. (5.37) Tämän ratkaisu on tietenkin muotoa z = Ae i(ωt+δ). Valitsemalla ajan nollakohta sopivaksi saadaan kulmanopeudet Näin päästään yhtälöpariin ω 1 = A cos(ωt) ω = A sin(ωt). (5.38) Tulos tarkoittaa sitä, että kulmanopeuden projektio symmetria-akselia vastaan kohtisuoralle tasolle pyörii kulmanopeudella Ω ja projektion pituus A pysyy vakiona. ω-vektori pyörii hyrrän y 3 -akselin ympäri pysyen pituudeltaan vakiona. Jos asiaa tarkastelee puolestaan {x}-koordinaatistossa, niin ω on vakio, jota hyrrän symmetria-akseli kiertää. Maapalloa voi ensimmäisessä approksimaatiossa tarkastella vapaana pyörijänä, sillä muiden kappaleiden aiheuttamat vääntömomentit ovat hyvin pieniä. Maapallo on hyvin symmetrinen pyörimisakselinsa suhteen, mutta hieman litistynyt pitkin akselia. Hitausmomenteille on mitattu suhde I 3 I 1 I 1 = 0.00307, jonka perusteella prekession kulmanopeudeksi tulee Ω = ω 3 306. Tämän ennustaa prekessioperiodiksi on noin 10 kuukautta. Tämän pitäisi näkyä maapallon pinnalla olevien pisteiden näennäisen latitudin siirtymisenä tällä periodilla. Tarkkojen mittausten perusteella liikkeen amplitudiksi onkin saatu noin 10 m, mutta liike on paljon epäsäännöllisempää (horjuvampaa) kuin ylläoleva analyysi antaa olettaa. Horjunnan aikasarja-analyysi antaa vahvimmaksi periodiksi 40 vuorokautta. Tämä ero saattaa selittyä sillä, että maapallo ei ole aivan kiinteä kappale.

9 LUKU 5. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE 5.4 Eulerin kulmat Kuten edellä on jo todettu, jäykän kappaleen kuvailemiseksi tarvitaan kuusi riippumatona koordinaattia inertiaalikoordinaatistossa {x}. Kolmeksi niistä on viisasta valita CM:n paikkavektorin komponentit, mutta kappaleen asento voidaan esittää monella eri tavalla. Tutustutaan tässä nk. Eulerin kulmiin. Sijoitetaan jälleen molempien koordinaatistojen {x} ja {y} origot samaan pisteeseen (O). Tasojen (x 1, x ) ja (y 1, y ) leikkausviivaa kutsutaan solmuviivaksi. Merkitään Eulerin kulmia symboleilla θ, ϕ, ψ: θ on y 3 :n ja x 3 :n välinen kulma [0, π], ϕ on x 1 :n ja solmuviivan välinen kulma [0, π], ψ on y 1 :n ja solmuviivan välinen kulma [0, π]. Piirrä ehdottomasti kuva ITSE!! Mallia voit ottaa vaikkapa R. Keskisen kirjan sivulta 100. Luennolla esitetään, kuinka mielivaltainen {x}:ssä määritelty vektori x voidaan ilmaista Eulerin kulmien avulla {y}:ssä määriteltynä vektorina y, kun tehdään kierto yksitellen ϕ:n, θ:n ja ψ:n suhteen. (Luennoille vaivautumattomille, tämä on erittäin hyödyllinen HT. Sitä kun ei koskaan tiedä, milloin fyysikko joutuu työssään kiertämään koordinaatistoja toisiksi). Lopputulos on matriisimuodossa missä muunnosmatriisi R on y 1 y y 3 = R x 1 x x 3, (5.39) R(ϕ, θ, ψ) = (5.40) cos ψ cos ϕ cos θ sin ϕ sin ψ cos ψ sin ϕ + cos θ cos ϕ sin ψ sin θ sin ψ sin ψ cos ϕ cos θ sin ϕ cos ψ sin ψ sin ϕ + cos θ cos ϕ cos ψ sin θ cos ψ sin θ sin ϕ sin θ cos ϕ cos θ Nyt kulmanopeusmatriisi Ω = 0 ω 3 ω ω 3 0 ω 1 ω ω 1 0

5.4. EULERIN KULMAT 93 voidaan ilmaista muodossa (HT) Ω = R Ṙ, (5.41) josta voidaan poimia suoraan kulmanopeuden ω komponentit ω 1, ω, ω 3. Jos kuitenkaan ei haluta nähdä ylläolevan laskun vaivaa, tämä onnistuu edellisen kehotuksen mukaisesti piirrettyä kuvaa tarkastelemalla. Kulmanopeuksien määrittämiseksi tulee muistaa, että kulmanopeusvektori kolmessa ulottuvuudessa on kohtisuorassa sitä tasoa vastaa, jossa kulma mitataan. Näin ollen θ on solmuviivan suuntainen ja sen komponentit koordinaatistossa {y} ovat θ 1 = θ cos ψ, θ = θ sin ψ, θ3 = 0, ϕ on x 3 -akselin suuntainen ja sen projektio y 3 -akselille on ϕ 3 = ϕ cos θ ja (y 1, y )-tasolle ϕ (y1,y ) = ϕ sin θ, joka jaettuna y 1 - ja y -akseleille on ϕ 1 = ϕ sin θ sin ψ, ϕ = ϕ sin θ cos ψ ψ:lla on projektio ainoastaan y 3 -akselilla. Kulmanopeus ω on lopulta komponenttimuodossa ω 1 = ϕ sin θ sin ψ + θ cos ψ ω = ϕ sin θ cos ψ θ sin ψ (5.4) ω 3 = ϕ cos θ + ψ. Lagrangen hyrrä Esimerkkinä Eulerin kulmien käytöstä ratkaistaan nk. Lagrangen hyrrän liike. Kyseessä on gravitaatiokentässä pyörivä massiivinen symmetrinen hyrrä, jonka yksi symmetria-akselilla oleva piste on kiinnitetty. Tällaisista pyörivistä kappaleista on monenlaisia käytännön esimerkkejä pikkulasten leluhyrristä teknologisissa sovellutuksissa käytettäviin gyroskooppeihin. Esimerkiksi suuret lentokoneet eivät enää pitkään aikaan ole käyttäneet magneettisia kompasseja vaan nopeasti pyöriviin kappaleisiin perustuvia gyrokompasseja. Gyrojen suunta asetetaan tarkasti oikeaksi lentokentällä ja impulssimomentin säilymislain perusteella ne säilyttävät suuntansa lennon aikana.

94 LUKU 5. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE Koska hyrrän yksi piste on kiinnitetty avaruudessa, tämä sidosehto vie mennessään kolme vapausastetta ja hyrrän liike määräytyy täydellisesti kolmen kulman avulla ja niiksi kulmiksi kelpaavat edellä esitetyt Eulerin kulmat. Valitaan kiinteäksi pisteeksi hyrrän symmetria-akselin toinen pää. Olkoon se koordinaatiston {x} (x 1 x )-tasossa ja tämä taso olkoon puolestaan kohtisuorassa gravitaatiokiihtyvyyttä vastaan. Teoreetikon hyrrän kyseessä ollen kärjen ja pyörimistason välillä ei ole kitkaa. Hyrrän päähitausmomentit CM:n suhteen ovat I 1, I, I 3. Päähitausmomentit I1 0, I0, I0 3 kiinnityspisteen suhteen saadaan Steinerin säännön avulla I 0 1 = I 1 + mh I 0 = I + mh (5.43) I 0 3 = I 3, missä h on hyrrän CM:n korkeus (x 1 x )-tasosta mitattuna. Hyrrän Lagrangen funktioksi tulee (älä sekoita tässä Lagrangen funktion symbolia impulssimomenttiin!) L = 1 (I0 1ω 1 + I 0 ω + I 0 3ω 3) mgh cos θ, (5.44) missä kulma θ on määritelty kuten edellä, siis nyt hyrrän symmetria-akselin y 3 ja akselin x 3 välisenä kulmana. Kirjoitetaan kulmanopeuden komponentit Eulerin kulmien avulla ja käytetään hyrrän symmetrisyyden seurausta I1 0 = I0. Tällöin Lagrangen funktio saa muodon L = 1 I0 1( θ + ϕ sin θ) + 1 I 3( ψ + ϕ cos θ) mgh cos θ. (5.45) Nyt kulmat ψ ja ϕ ovat syklisiä (kertaa asia jaksosta.9), joten niihin liittyvät kanonisten impulssien komponentit p ψ = L/ ψ ja p ϕ = L/ ϕ ovat säilyviä suureita eli liikevakioita: p ψ = L ψ = I 3( ψ + ϕ cos θ) = I 3 ω 3 = L 3 (5.46) p ϕ = L ϕ = (I0 1 sin θ + I 3 cos θ) ϕ + I 3 ψ cos θ = L x3. Siis hyrrän impulssimomentti L hyrrän omassa koordinaatistossa on tietenkin liikevakio. Lisäksi p ϕ eli impulssimomentin projektio akselille x 3 on sekin liikevakio. Koska systeemi on konservatiivinen, myös kokonaisenergia on liikevakio E = T rot + U = 1 I0 1( θ + ϕ sin θ) + 1 I 3( ψ + ϕ cos θ) + mgh cos θ. (5.47)

5.4. EULERIN KULMAT 95 Liikevakioiden avulla päästään vihdoin integroimaan liikeyhtälöitä. Kanonisten impulssien komponenttien yhtälöistä saadaan kulmanopeudet ϕ = L x 3 L 3 cos θ I 0 1 sin θ ψ = L 3 cos θ L x 3 L 3 cos θ I 3 I1 0. (5.48) sin θ Sijoitetaan nämä energiayhtälöön, jolloin saadaan yhtälö θ:lle. Tämä on separoituva tavallinen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, joka on suoraviivainen integroitava. Oletetaan alkuarvoksi t = t 0 :lla, että hyrrän kallistuskulma on θ = θ 0. Integraaliksi tulee t t 0 = θ θ 0 dθ (E L 3 mgh cos θ) (L x 3 L 3 cos θ) I 0 I 3 I1 0 sin θ. (5.49) Tässä kannattaa tehdä muuttujanvaihdos u = cos θ, jolloin t t 0 = I 0 1 u u 0 du I 0 (1 u )(E L 3 I 3 mghu) (L x3 L 3 u). (5.50) Tuloksena on jälleen elliptinen integraali, jonka juurilausekkeessa on tällä kertaa u:n kolmannen asteen polynomi. Selailemalla integraalitaulukoita (HT: Tee se!) opitaan, että tällainen ongelma palaa Weierstrassin γ- funktion laskemiseen. Tämä on jälleen muistutus siitä, että matemaattisen fysiikan omituisilta näyttävät erikoisfunktiot ovat itseasiassa keinoja kirjoittaa erilaisista fysiikaalisista ongelmista nousevien differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja käsiteltävissä muodoissa. FYMMII:n kurssilla nämä funktiot saattavat tuntua elävän omaa elämäänsä, mutta kyseessä on kuitenkin ensisijaisesti tarve kehittää menetelmiä näiden usein hankalien ratkaisujen ominaisuuksien tarkasteluun. Olemme siis ainakin periaatteessa ratkaisseet Lagrangen hyrrän ongelman. Hyrrän ominaisuudet (kokonaisenergia ja impulssimomentti) antavat lähtötiedot E, L 3, L x3. Tämän jälkeen saadaan edellisen kaavan avulla lasketuksi (ainakin numeerisesti) hyrrän pääakselin kulma θ = θ(t) akselin x 3 suhteen. Tämän jälkeen saadaan loput kulmat integroiduiksi yhtälöistä (5.48). Näin siis ongelma on saatu redusoiduksi kolmen liikevakion avulla kolmeksi (todella työlääksi) integraaliksi. Kokemuksen myötä fyysikko kuitenkin (toivottavasti) oppii päättelemään tarkasteltavien systeemien fysiikkaa syöttämättä suinpäin kaavojaan Matlabiin tai Mathematicaan. Tässä tapauksessa integraalin t = t(θ) nimittäjän

96 LUKU 5. JÄYKÄN KAPPALEEN LIIKE juurilausekkeella R = I 0 (1 u )(E L 3 I 3 mghu) (L x3 L 3 u) on kaksi juurta välillä 1 < u < +1 ja yksi juuri u > 1. Viimemainittu on epäfysikaalinen koska u = cos θ. Juurten kohdalla kulmanopeus θ = 0, joten hyrrän symmetria-akselin suunta heilahtelee näitä juuria vastaavien kulmien välissä. Siis symmetria-akseli ei suinkaan osoita yhteen suuntaan, jolloin hyrrä kaatuisi samantien! Akseli ei myöskään välttämättä kierrä x 3 - akselia vakiokulmassa vaan tekee nk. nutaatioliikettä. Nutaatioon voi tutustua tarkastelemalla hyrrän vapaan pään liikettä pallon pinnalla, jonka keskipiste on hyrrän kiinteä piste (tässä tapauksessa hyrrän toinen pää. Vapaa pää liikkuu pallolla edelläolleen yhtälälön reaalisia juuria vastaavien leveyspiirien θ 1 ja θ välissä. Pallon pinnalle syntyvän käyrän muoto on summa prekessiosta ja nutaatiosta ja riippuu suhteesta L x3 /L 3. Hyrrän kärki voi edetä monotonisesti koordinaatiston {x} longitudikulman suhteen tai piirtää silmukkaa tai sykloidin kaltaista kuviota. Kevättasauspisteen prekessio Kuten jo aiemmin todettiin maapallo ei ole aivan pyöreä ja sen pyörimisakseli on lisäksi 3 7 kulmassa ratatason normaalin suhteen. Tämän vuoksi lähellä olevat kappaleet aiheuttavat pienen vääntömomentin maapallon liikeyhtälöön eli maapallo ei ole aivan vapaa hyrrä. Nyt voidaan osoittaa (katso esim. Goldsteinin oppikirjasta), että vääntömomentti aiheuttaa prekessionopeuden ϕ, jonka suhde ratakulmanopeuteen ω 0 on ϕ = 3 ω 0 I 3 I 1 cos θ. ω 0 ω 3 I 3 Tämä on tosin hyvin pieni efekti. Auringon aiheuttama vääntömomentti aiheuttaa prekession, joka on yksi kierros noin 81 000 vuodessa. Vaikkakin Kuu on paljon pienempi, se on paljon lähempänä ja vääntää Maan pyörimisakselia yhden kierroksen puolta lyhyemmässä ajassa. Näiden yhteisvaikutus on noin 50.5 vuodessa eli täysi kierros 6 000 vuodessa. Lisäksi Kuun rata on noin 5 kulmassa ekliptikaan nähden, mistä aiheutuu pieni nutaatio, joka on noin 9 kulman θ suhteen ja 18 kulman ϕ suhteen.