Hamiltonin sykleistä graateoriassa

Hamiltonin sykleistä graateoriassa Pro gradu -tutkielma Ohto Nordberg 1335868 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2013

Sisältö Johdanto 2 1 Historiaa 3 1.1 Euler................................ 3 1.2 Hamiltonin sykli......................... 5 2 Peruskäsitteitä 7 2.1 Piste, viiva ja graa........................ 7 2.2 Naapuri ja aste.......................... 8 2.3 Polku, sykli ja kulku....................... 8 2.4 Aligraa.............................. 9 2.4.1 Indusoitu aligraa..................... 9 3 Yhtenäisyys 10 3.1 Mengerin lause.......................... 11 4 Euleriaanisuus 15 5 Hamiltonilaisuus 17 5.1 Välttämättömiä ehtoja hamiltonilaisuudelle.......... 17 5.2 Riittäviä ehtoja hamiltonilaisuudelle.............. 21 5.2.1 Diracin lause....................... 21 5.2.2 Riippumattomuuden suhde yhtenäisyyteen....... 22 5.2.3 Asratian & Khachatrian lause.............. 24 5.2.4 Chvátalin lause...................... 25 Lähdeluettelo 30 1

Johdanto Tässä tutkielmassa tärkeimpänä tavoitteena on esittää ehtoja sille, millaisista graafeista Hamiltonin syklin voi löytää, eli mitkä graat ovat hamiltonilaisia. Hamiltonin syklin löytäminen graasta on NP-täydellinen ongelma [2, ss. 306-307], minkä vuoksi aihe on mielenkiintoinen matemaattisesti. Lisäksi hamiltonin sykliin liittyy sovellusmahdollisuuksia informaatioteknologiassa, mikä tekee aiheesta ajankohtaisen. Tutkielman aluksi tutustutaan graateorian historiaan. Ensin käsitellään Leonhard Eulerin ratkaisua Königsbergin siltojen ongelmaan ja sitten Hamiltonin syklin alkuhistoriaa. Tässä lähteenä on käytetty pääasiassa N. L. Biggin, E. K. Lloydin ja R. J. Wilsonin teosta Graph Theory 1736-1936 [1]. Seuraavaksi määritellään niitä graateorian peruskäsitteitä, joita tarvitaan myöhemmin tutkielmassa. Tämän jälkeen siirrytään graaen yhtenäisyyteen ja todistetaan Mengerin lause, jota tarvitaan myöhemmin hamiltonilaisuuden ehtoja käsiteltäessä. Ennen hamiltonilaisuuteen siirtymistä käsitellään euleriaanisuutta ja todistetaan Eulerin lauseen moderni versio. Lopuksi keskitytään itse hamiltonilaisuuteen, ensisijaisesti siihen, millaisista graafeista Hamiltonin syklin voi löytää. Päälähteenä työn matemaattisessa osassa käytetään R. Diestelin Graph Theory -kirjan neljättä painosta [2]. Käsitteiden suomennoksia on runsaasti M. Peltolan Graateoria-kurssilta ja sen luentomonisteesta [4]. 2

Julkaistun artikkelin koko englanninkielinen käännös on saatavilla esimerkiksi lähteestä [1]. Artikkeli alkaa näin (käännetty englanninkielisestä artikkelin käännöksestä) : Lisäyksenä siihen geometrian haaraan, joka koskee etäisyyksiä, ja mikä on aina saanut eniten huomiota, on olemassa toinen haara, tähän asti melkein tuntematon, jonka Leibniz ensin mainitsi, kutsuen sitä sijainnin geometriaksi [Geometriam situs]. Kyseinen haara koskee vain sijainnin määrittämistä ja sen ominaisuuksia; siihen eivät kuulu etäisyydet, eikä niistä tehtävät laskelmat. Siten, silloin kun tämä ongelma minulle mainittiin, se vaikutti geometriseltä, mutta oli niin konstruoitu, ettei siinä ollut tarvetta etäisyyksien mittaamiselle, eikä laskenta auttanut ollenkaan, minulla ei ollut epäilystäkään, etteikö se koskenut sijainnin geometriaa - varsinkin kun sen ratkaisuun liittyi ainoastaan sijainti, eikä laskennasta ollut mitään hyötyä. Tästä syystä olen päättänyt esittää löytämäni menetelmän, joka ratkaisee tämän ongelman, esimerkkinä sijainnin geometriasta. 2. Ongelma, joka on kuulemani mukaan laajasti tunnettu, on seuraavanlainen: Königsbergissä Preussissa on saari A, nimeltään Kneiphof; joki joka sitä ympäröi on jaettu kahteen haaraan, kuten kuvassa (...), ja nämä haarat ylittävät seitsemän siltaa, a, b, c, d, e, f ja g. Näiden siltojen ollessa kyseessä, minulta kysyttiin voiko joku kulkea sellaisen reitin, että hän ylittäisi kunkin sillan täsmälleen kerran.... [1, alk. s. 3] 4

Euler ei pidä itse Königsbergin siltojen ongelmaa sinänsä mielenkiintoisena, vaan kiinnittää huomionsa ongelman yleiseen muotoon. Hän kuvailee eri asetelmia ja muodostaa asetelmista taulukoita [1, ss. 6-7]. Hän päätyy kolmeen johtopäätökseen: Jos on enemmän kuin kaksi aluetta, mihin pariton määrä siltoja johtaa, silloin sellainen reitti on mahdoton. Jos, kuitenkin, siltojen määrä on pariton täsmälleen kahdella alueella, niin silloin sellainen reitti on mahdollinen, jos se alkaa jommasta kummasta tällaisesta alueesta. Jos, lopulta, ei ole yhtään aluetta, johon johtaa pariton määrä siltoja, silloin haluttu reitti voidaan kulkea alkaen mistä tahansa alueesta. [3, ss. 205-206] Artikkeli on kiinnostava sekä graateorian synnyn kannalta, että myöskin siksi, että siinä on vahvoja viitteitä topologian syntyhistoriaan. 1.2 Hamiltonin sykli Itse Hamiltonin syklin historiaan liittyy vuonna 1855 Thomas Penyngton Kirkmannin (18061895) kirjoittama artikkeli, jossa hän käsittelee seuraavanlaista kysymystä: voiko monitahokkaan graasta löytyä aina sykli, joka kulkee jokaisen pisteen kautta täsmälleen kerran. Toinen, kuuluisampi matemaatikko loi vuonna 1857 pelin Icosian game (kuva 2), jossa piti löytää sykli dodekaedrista muodostetusta graasta. Hänen nimensä oli William Rowan Hamilton (1805-1865), ja hänen nimensä jäi kuvaamaan tätä käsitettä, vaikka Kirkman julkaisi tästä aiheesta aiemmin ja käsitteli yleistä 5

2.2 Naapuri ja aste Määritelmä 2.2. Pisteet u ja v ovat naapureita, jos niitä yhdistää viiva. Pisteen u naapureiden joukkoa merkitään N(u). Piste on irtopiste, jos sillä ei ole naapureita. Viivat e 1 e 2 ovat naapureita, jos niillä on yhteinen päätepiste. Viivat (tai pisteet) ovat riippumattomia, jos ne eivät ole pareittain naapureita. Graa on täydellinen, jos kaikki graan pisteet ovat pareittain naapureita. Riippumattomassa pistejoukossa mitkään sen kaksi pistettä eivät ole naapureita. [2, ss. 2-5] Määritelmä 2.3. Pisteen v aste d(v) on pisteen v naapureiden lukumäärä. Jos graan G kaikilla pisteillä on aste k, graaa kutsutaan k-säännölliseksi. Graan G minimiaste on luku δ(g) := min{d(v) v V }. [2, s. 5] 2.3 Polku, sykli ja kulku Määritelmä 2.4. Polku on ei-tyhjä graa P = (V, E), missä pistejoukko V = {x 0, x 1,..., x k }, viivajoukko E = {x 0 x 1, x 1 x 2,..., x k 1 x k } ja pisteet x i ovat erilliset. Pisteet x 0 ja x k ovat yhdistetyt polussa P ja niitä kutsutaan päätepisteiksi. Pisteet x 1,..., x k 1 P ovat polun P sisäpisteitä. Polun viivojen määrä on polun pituus ja k:n pituista polkua merkitään P k. Polkua voidaan merkitä myös x 0 x k. Polut ovat riippumattomat, jos niillä ei ole yhtään yhteistä sisäpistettä. Polku, jossa on vain yksi piste, on triviaali. [2, ss. 6-7] Määritelmä 2.5. Jos P = x 0... x k 1 on polku ja k > 3, niin graaa C := P + x k 1 x 0 kutsutaan sykliksi. Syklin pituus on sen pisteiden (tai viivojen) lukumäärä ja k-pituista sykliä kutsutaan k-sykliksi ja merkitään C k. Viiva, 8

joka yhdistää kaksi syklin pistettä, mutta ei itse ole syklin viiva, on syklin säie. Sykli, jossa on vain yksi piste, on triviaali. [2, s. 8] Määritelmä 2.6. Kulku on ei-tyhjä alternoiva sarja v 0 e 1 e 2... e k 1 v k pisteitä ja viivoja, missä e i = v i v i+1 aina, kun i < k. [2, s. 10] Huomattakoon, että polku ja sykli ovat kulkuja. 2.4 Aligraa Määritelmä 2.7. Olkoon G = (V, E) ja G = (V, E ) graafeja ja G G := (V V, E E ). Jos V V ja E E, niin G on graan G aligraa. Jos G Gja V V, niin G on graan G aito aligraa. [2, ss. 3-4] Aligraa G ei siis sisällä yhtään viiva tai pistettä, joita graa G ei sisällä. 2.4.1 Indusoitu aligraa Määritelmä 2.8. Pistejoukon U V (G) indusoima graa on graan G aligraa, joka sisältää kaikki viivat, joiden molempina päätepisteinä on joukon U piste. Kyseistä graaa merkitään G [V (U)]. [2, s. 4] 9

3 Yhtenäisyys Käsite yhtenäisyys on tärkeä graateoriassa. Se ilmaisee, kuinka vahvasti graan pisteet on yhteydessä toisiinsa. Tätä vahvuutta mitataan sillä, kuinka monta pistettä tai viivaa pitää graasta poistaa, jotta siitä tulisi epäyhtenäinen. Toisaalta sitä voidaan myös arvioida sillä, kuinka monta erillistä polkua eri pisteiden välillä on. Itse asiassa nämä näkökulmat ovat saman asian eri puolia, jonka todistaa klassinen Mengerin lause vuodelta 1927 (ks. 3.10), jota usein kuvataan yhdeksi graateorian kulmakivistä. [2, s. 59] Määritelmä 3.1. Ei-tyhjä graa G on yhtenäinen, jos mitkä tahansa sen kaksi pistettä on yhdistetty jollain polulla. Muulloin se on epäyhtenäinen. [2, s. 10] Määritelmä 3.2. Merkintä G S tarkoittaa, että graasta G poistetaan joukon S pisteet ja niihin liittyvät viivat. [2, s. 11] Määritelmä 3.3. Olkoon G = (V, E) graa ja u, v V. Pistejoukko S V \{u, v} erottaa eli separoi pisteet u ja v toisistaan, jos graa G S ei sisällä yhtään polkua u v. Tätä joukkoa S sanotaan separoivaksi joukoksi tai separaattoriksi. [4, s. 29] Määritelmä 3.4. Yhtenäisyysluku κ(g) = min{ A A VG ja G A on epäyhtenäinen tai triviaali}. Graa G on k-yhtenäinen, jos yhtenäisyysluku κ(g) k. [2, s. 11] Toisin sanoen graa G on k-yhtenäinen, jos se pysyy yhtenäisenä aina, kun siitä poistaa vähemmän kuin k mielivaltaisesti valittua pistettä. Minkä tahansa pisteparin separoimiseen tarvitaan siis vähintään k pisteen poistoa. 10

Esimerkiksi kaikki syklit ovat 2-yhtenäisiä, koska yhden pisteen poistaminen ei separoi yhtään pisteparia. 3.1 Mengerin lause Mengerin lauseelle on esitetty useita todistuksia, joista osa vahvempia kuin Mengerin esittämä ja osa virheellisiä [6, s. 167]. Diestel esittää kolme eri todistusta [2, ss. 66-71], joista tässä käsitellään ensimmäinen. Määritellään ennen itse lausetta sen esittämiseen ja todistamiseen tarvittavia käsitteitä. Määritelmä 3.5. Kun A ja B ovat graan G pistejoukkoja ja pisteet x 0,..., x k graan G pisteitä, kutsumme polkua P = x 0,..., x k A B poluksi, jos V (P ) A = x 0 ja V (P ) B = x k. [2, s. 7] Toisin sanoen joukossa A on polun ensimmäinen piste ja joukossa B polun viimeinen piste, eikä yksikään polun sisäpiste ole joukossa A tai B. Määritellään sitten separointi myös joukoille, eli laajennetaan aiempaa pisteparien separoimiseen liittyvää määritelmää 3.3. Määritelmä 3.6. Jos A, B V (G) ja X V (G) E(G) ovat sellaisia joukkoja, että jokainen A B polku graassa G sisältää pisteen tai viivan joukosta X, sanotaan, että X separoi joukot A ja B graassa G. [2, s. 11] Huomattakoon, että tässä joukot A ja B eivät välttämättä ole erilliset. Myös triviaalit polut (eli yksittäiset pisteet) voivat separoida joukot A ja B silloin, kun A B, B A tai A = B. Määritelmä 3.7. Merkintä G e tarkoittaa graaa G, josta on poistettu viiva e = xy, mutta ei pisteitä x ja y. [2, s. 4] 11

Määritelmä 3.8. Merkintä G/e tarkoittaa, että graasta G on supistettu viiva e = xy sekä pisteet x ja y ja niiden tilalle on laitettu piste v e. Tähän pisteeseen v e liitetään viivat, jotka ennen supistamista liittyivät pisteisiin x ja y. [2, s. 20] Määritelmä 3.9. Luku k = k(g, A, B) on minimimäärä pisteitä, jotka separoivat joukot A ja B graassa G. [2, s. 66] On selvää, että G sisältää enintään k erillistä A B polkua. Jos erillisiä polkuja olisi enemmän, separoivan joukon koko olisi suurempi kuin k, mikä on ristiriita luvun k määritelmän perusteella. Lause 3.10. (Menger 1927). Olkoon G = (V, E) yhtenäinen graa ja A, B V kaksi pistejoukkoa. Silloin A:n ja B:n separoivan pistejoukon pisteiden minimimäärä on sama kuin erillisten A B polkujen maksimimäärä. Lauseen 3.10 todistuksessa on tavoitteena osoittaa, että on olemassa täsmälleen k erillistä A B polkua graassa G. Se tehdään induktiolla niin, että ensimmäisessä osassa käytetään graaa G/e osoittamaan, että graassa G on A B separaattori, missä on täsmälleen k pistettä. Toisessa osassa käytetään graaa G e osoittamaan, että on olemassa k erillistä polkua joukosta A joukkoon X ja k erillistä polkua joukosta X joukkoon B niin, että ne voidaan yhdistää muodostamaan k erillistä polkua joukosta A joukkoon B graassa G. Todistus. [2, ss. 66-67] Todistetaan lause 3.10 induktiolla graan G viivojen lukumäärän suhteen. Tehdään induktio-oletus: Mengerin lause on totta kaikille graafeille, joissa on vähemmän viivoja kuin graassa G. Jos viivoja ei ole 12

yhtään, niin joukkojen A ja B yhteisten pisteiden lukumäärä on k ja triviaaleja A B polkuja on siten k kappaletta ja Mengerin lause pätee. Oletetaan siis, että graassa G on vähintään yksi viiva e = xy, eli G 1. Käsitellään sitten graaa G/e, jossa on siis yksi viiva vähemmän kuin graassa G, eli G/e < G. Valitaan pisteet x ja y niin, että jos jompikumpi (tai molemmat) pisteistä on joukossa A G, niin supistettu piste v e lasketaan kuuluvaksi joukkoon A G/e (vastaavasti B). Huomattakoon, että jos a A ja b B, niin piste v e ajatellaan kuuluvan molempiin joukkoihin. Jos graassa G on vähemmän kuin k erillistä A B polkua, niin selvästi näin on myös graassa G/e. Nyt voidaan soveltaa induktio-oletusta, eli lause pätee kun G/e < G. Koska siis G/e = G 1 < G, graalla G/e on A B separaattori Y, missä on vähemmän kuin k pistettä. Joukossa Y G/e täytyy olla myös piste v e, koska muuten joukko Y V olisi A B separaattori graassa G. Silloin X := (Y/{v e }) {x, y} on A B separaattori graassa G, missä X = k. Lyhyesti: koska X k, mutta toisaalta X = Y + 1 ja Y < k, niin X = k ja lauseen ensimmäinen osa on todistettu. Käsitellään seuraavaksi graaa G e. Olkoon pistejoukko S G e A X separaattori. Tällöin jokainen A B polku sisältää joukon X pisteen ja siten myös joukon S pisteen, joten S on A B separaattori graassa G. Siten S k. Koska G e = G 1 < G, niin Mengerin lause pätee graalle G e, jolla siten on k erillistä A X polkua. On siis olemassa k riippumatonta A X polkua graassa G e, ja vastaavasti on olemassa k erillistä X B polkua graassa G e. Koska X separoi joukot A ja B, näillä poluilla ei ole yhteisiä pisteitä joukon X ulko- 13

puolella, joten ne pystytään yhdistämään k erilliseksi A B poluksi. Täten induktioperiaatteen nojalla Mengerin lause pätee kaikille graafeille. 14

4 Euleriaanisuus Seuraavaksi esitellän moderni versio Eulerin lauseesta ja todistetaan se. Määritelmä 4.1. Graalla G = (V, E) on Eulerin reitti, jos se sisältää kulun, jossa jokainen graan G viiva esiintyy täsmälleen kerran. Suljettu Eulerin reitti on Eulerin kierros. Yhtenäinen graa on Eulerin graa tai euleriaaninen, jos se sisältää Eulerin kierroksen. [2, s. 23] Eulerin reitti voi siis alkaa eri pisteestä kuin mihin se päättyy, mutta Eulerin kierroksella on sama alku- ja loppupiste. Eulerin reitin alku- ja loppupiste voivat olla asteeltaan parittomia, koska reitin ei tarvitse sekä lähteä että tulla kyseiseen pisteeseen. Lause 4.2. (Euler 1736) Yhtenäinen graa on euleriaaninen, jos ja vain jos sen jokaisen pisteen aste on parillinen. Todistus. [2, ss. 22-23] Oletetaan ensin, että graa G on euleriaaninen. Tällöin jokaisen pisteen aste on välttämättä parillinen, koska reitin täytyy jonkin kulkusuunnan mukaan sekä saapua pisteeseen että poistua siitä. Oletetaan sitten, että yhtenäisen, ei-triviaalin graan G kaikkien pisteiden aste on parillinen ja siinä on kulku v 0 e 0... e l 1 v l. Olkoon tämä kulku W graan G pisin kulku, missä kukin viiva esiintyy enintään kerran. Tämä kulku sisältää graan G kaikki viivat, koska jos se ei sisältäisi viivaa e G(E), tämän viivan e kautta menevä kulku olisi pitempi kuin W. Tämä on ristiriita kulun W pituusoletuksen perusteella. Jos kulku W ei olisi suljettu, eli v 0 v l, niin pisteestä v l lähtevien viivojen määrä olisi 2(k 1) + 1 eli sen aste olisi pariton. Tämä on ristiriita graan pisteiden asteen parillisuuden kanssa, joten v 0 = v l eli kulku W on suljettu. 15

Eli W on suljettu, G on yhtenäinen ja W sen pisin kulku. Jos G ei ole euleriaaninen, on olemassa viiva e = uv i E(G), joka ei ole kulun W viiva, mutta joka on liittynyt johonkin kulun W pisteeseen. Tällöin kulku uev i e i... e l 1 v l e 0... e i 1 v i on pitempi kuin W. Tämä on ristiriita, joten G on euleriaaninen, W on Eulerin reitti ja lause on todistettu. Kun ajatellaan Königsbergin sillat (kuva 1) viivoiksi ja niihin liittyvät maa-alueet pisteiksi, nähdään selvästi, että pisteiden parillisuusehto euleriaanisuudelle ei toteudu. Täten Eulerin reitti tai kierros kyseisessä asetelmassa ei ole mahdollinen. 16

5 Hamiltonilaisuus Lopuksi käsitellään sitä, millaisista graafeista Hamiltonin syklin voi löytää eli käsitellään ehtoja graan hamiltonilaisuudelle. Graan hamiltonilaisuuden selvittäminen on paljon vaativampaa kuin euleriaanisuuden ja se onkin ensimmäisiä NP-täydellisiä ongelmia. Graan hamiltonilaisuudelle ei vielä tunneta hyvää karakterisointia, toisin kuin graan euleriaanisuudelle. [2, ss. 306-307] Määritelmä 5.1. Suuntaamattoman graan Hamiltonin polku on polku, joka käy graan jokaisessa pisteessä täsmälleen yhden kerran. Hamiltonin sykli on Hamiltonin polku, joka on sykli. Graaa, joka sisältää Hamiltonin syklin, sanotaan hamiltonilaiseksi. [2, s. 293] Eulerin kierroksella ja Hamiltonin syklillä on siis se olennainen ero, että euleriaanisuus koskee graan kaikkien viivojen läpikäyntiä, hamiltonilaisuus pisteiden. 5.1 Välttämättömiä ehtoja hamiltonilaisuudelle Triviaaleja välttämättömiä ehtoja graan hamiltonilaisuudelle ovat yhtenäisyys ja se, että jokaisen pisteen aste on vähintään kaksi. Graassa täytyy tietysti olla myös vähintään kolme pistettä. Jokaisella hamiltonilaisella graalla siis on nämä ominaisuudet, mutta jokainen graa, jolla on nämä ominaisuudet, ei välttämättä ole hamiltonilainen. Esimerkiksi kuvan 4 graa toteuttaa nämä triviaalit ehdot, muttei ole hamiltonilainen. Esitellään seuraavaksi graan komponenttien määrään liittyvä välttämätön ehto hamiltonilaisuudelle. Tämä ehto ei ole yhtä triviaali kuin juuri mai- 17

5.2 Riittäviä ehtoja hamiltonilaisuudelle Tämän tutkielman lopuksi esitetään ja todistetaan neljä lausetta, joissa jokaisessa esitetään riittävät ehdot graan hamiltonilaisuudelle. 5.2.1 Diracin lause Ensimmäisenä käsitellään Diracin klassinen lause vuodelta 1952. Siinä oleellinen ehto liittyy graan minimiasteeseen. Lause 5.5. (Dirac 1952). Jokaisessa graassa G, missä on vähintään kolme pistettä ja minimiaste vähintään G /2, on Hamiltonin sykli. Todistus. [2, s. 294] Olkoon G = (V, E) graa, jolle G = n 3 ja δ(g) n/2. Tällöin G on yhtenäinen graa, koska jos se ei olisi yhtenäinen, siinä olisi vähintään yksi komponentti C. Tämä ei graassa G ole mahdollista, koska vaikka pienin komponentti olisi täydellinen graa, sen minimiaste olisi vähemmän kuin C n/2. Jos taas olisi C n/2, niin C ei olisi pienin komponentti. Olkoon P = v 0... v k graan G pisin polku. Kaikki pisteiden v 0 ja v k naapurit ovat polussa P, koska muutoin P ei olisi graan G pisin polku. Oletetaan, että pisteet v 0 ja v k eivät ole naapureita, koska saataisiin Hamiltonin syklin, eikä olisi muuta näytettävää. Tällöin molempien pisteiden v 0 ja v k kaikki naapurit ovat joukossa {v 1,..., v k 1 }. Alkuoletuksen perusteella tiedetään, että pisteellä v k on vähintään n/2 naapuria. Tutkitaan sitten niitä pisteen v k naapureiden naapureita, jotka eivät ole pisteen v k naapureita. Niitäkin on vähintään n/2 kappaletta. Tutkitaan vielä pisteen v 0 naapureita. Niitäkin on vähintään n/2 kappaletta. Koska sekä pisteen v 0 että v k naapureita on vähintään n/2, eivätkä v 0 ja v k 21

Todistus. [2, s. 295] Asetetaan κ(g) =: k ja olkoon C graan G pisin sykli. Nimetään syklin C pisteet niin, että V (C) = {v i i Z n }, missä v i v i+1 E(C) aina, kun i Z n. Jos sykli on Hamiltonin sykli, muuta ei tarvitse tehdä. Oletetaan siis, että C ei ole Hamiltonin sykli. Valitaan siis piste u G C ja u C viuhka F = {P i i I} graassa G, missä I Z n ja jokainen polku P i päättyy pisteeseen v i. Piste u on siis syklin C ulkopuolinen piste, ja pisteet v i ovat syklissä C. Olkoon F mahdollisimman suuri. Tällöin uv j / E(G) aina, kun j / I ja F min {k, C } (1) Mengerin lauseen 3.10 perusteella. Huomataan, että aina, kun i I, niin i+1 / I. Jos näin ei olisi, (C P i P i+1 ) v i v i+1 olisi pitempi sykli kuin C, mikä olisi ristiriidassa alkuoletuksen kanssa. Siten F < C ja siten I = F k kohdan (1) perusteella. Lisäksi v i+1 v h+1 v i v i+1 v j v j+1 olisi pitempi sykli kuin C. Täten {v i+1 i I} {u} on vähintään k + 1 riippumattoman pisteen joukko graassa G, aiheuttaen ristiriidan oletuksen α(g) k kanssa. Näin ollen syklin C ulkopuolella ei ole yhtään pistettä ja siten C on Hamiltonin sykli graassa G. 23

5.2.3 Asratian & Khachatrian lause Tässä kolmannessa lauseessa käsitellään paikallisen minimiasteen merkitystä hamiltonilaisuuteen, ei koko graan minimiasteen, kuten Diracin lauseessa. Lause 5.8. (Asratian & Khachatrian 1990). Yhtenäinen graa G, jossa on pisteitä vähintään 3, sisältää Hamiltonin syklin, jos jokaiselle indusoidulle polulle uvw pätee d(u) + d(w) N(u) N(v) N(w). Toisin sanoen jos pisteiden u ja w asteiden summa on vähintään yhtä suuri kuin pisteiden u, v ja w G(V ) naapurustojen unionin pisteiden lukumäärä aina, kun uvw on graan G indusoitu polku, niin graassa G on Hamiltonin sykli. Tämä polku sisältää siis vain kolme pistettä, mutta ne voivat olla graan G mitkä tahansa kolme pistettä niin, että v on sisäpiste ja u ja w sen naapureita. Indusoidussa polussa uvw, joka on siis graan G aligraa, on siis vain kolme pistettä. Todistus. [2, ss. 295-296] Olkoon uvw jokin graan G indusoitu polku. Koska d(u) + d(w) = N(u) N(w) + N(u) N(w) ja graan aste on vähintään 3, niin N(u) N(w) N(v) \ N({u, w}) {u, w} 2. (2) Yllä olevan perusteella ja koska yhtenäisessä graassa G on vähintään kolme pistettä, on graassa sykli. Olkoon C pisin sykli G:ssä. Olettaen, että G ei ole hamiltonilainen, valitaan piste u / C. Valitaan piste niin, että sillä on naapuri syklissä C:ssä ja määritellään V := N(u) V (C). Lisäksi merkitään 24

v + niitä pisteitä, jotka ovat pisteen v V jälkeen syklin C jonkin kiertosuunnan mukaan. Määritellään lisäksi joukon V + := {v + v V }. Koska C on pisin sykli, ei joukoilla V ja V + ole yhteisiä pisteitä, eikä joukossa V + {u} ole kahta vierekkäistä pistettä. Tämän unionin pisteillä ei täten myöskään ole yhteistä naapuria (3) syklin C ulkopuolella. Koska polut uvv + ovat indusoituja, kohdan (2) perusteella aina, kun v V, on N(u) N(v + ) N(v) \ N({u, v + }) N(v) V + + 1. Viimeinen epäyhtälö tulee siitä, että kohdan (3) perusteella sekä piste u että joukon V + pisteet eivät kuulu pisteiden u ja v+ naapurustoon. Viivat, jotka ovat joukkojen V ja V+ pisteitä yhdistäviä viivoja, toteuttavat lukumäärällään lauseen V, V + = N(v) V + ( N(v) N(v + ) 1)= V, V + V. v inv v inv Tämä on ristiriita, joten C on Hamiltonin sykli ja lause on todistettu. 5.2.4 Chvátalin lause Neljäntenä käsitellään lause, jonka ehto liittyy graan astejonoon. Määritelmä 5.9. Olkoon d 1, d 2,... d n laskeva äärellinen jono ei-negatiivisia kokonaislukuja, eli d 1 d 2... d n. Jono on esitettävissä graalla, jos on olemassa sellainen graa G = (V, E), missä V = v 1, v 2,... v n ja deg G (v i ) = d i aina, kun i = 1, 2,..., n. Jono d 1, d 2,..., d n on silloin graan G astejono. Jos 25

astejonon (a 1,..., a n ) jokainen termi a i on vähintään yhtä suuri kuin astejonon (d 1,..., d n ) jokainen termi d i, niin sanotaan, että astejono (a 1,..., a n ) on pisteittäin suurempi kuin astejono (d 1,..., d n ) Mielivaltaista astejonoa (a 1,..., a n ) kutsutaan hamiltonilaiseksi, jos jokainen graa, missä on n pistettä ja astejono, joka on pisteittäin suurempi kuin (a 1,..., a n ), on hamiltonilainen. [2, s. 297] Lause 5.10. (Chvátal 1972) Astejono (a 1,..., a n ), missä 0 a 1,..., a n < n ja n 3, on hamiltonilainen, jos ja vain jos a i i a n i n i aina, kun i < n/2. Chvátalin ehto hamiltonilaisuudelle on siis se, että jos kyseisen astejonon i:s termi on enintään yhtä suuri kuin luku i, niin termien a n i, a n i+1..., a n on oltava vähintään yhtä suuria kuin luku n i aina, kun i < n/2. Eli jos astejonossa on pieniasteisia termejä, silloin se sisältää myös termejä, joiden aste on suuri. Todistus. [2, ss. 297-299] Todistetaan lause kahdessa osassa. Ensin oletuksena on Chvátalin ehto ja seurauksena graan hamiltonilaisuus. Toisessa osassa oletuksena hamiltonilaisuus ja seurauksena ehto. Olkoon (a 1,..., a n ) mielivaltainen astejono niin, että 0 a 1,..., a n n 0 a 1 a n < n ja n 3. Oletetaan, että tämä sarja toteuttaa lauseen ehdot ja todistetaan, että se on hamiltonilainen. Tehdään vastaoletus. Silloin on olemassa graa, jonka astejono (d 1,..., d n ) toteuttaa ehdon d i a i kaikille i, (4) mutta jolla ei ole Hamiltonin sykliä. Olkoon G = (V, E) sellainen graa, jos- 26

sa on maksimaalinen määrä viivoja ilman, että siinä on Hamiltonin sykli. Kohdan (4) perusteella oletus astejonolle (a 1,..., a n ) on voimassa myös astejonolle (d 1,..., d n ) graassa G, eli d i i d n i n i kaikille i < n/2. (5) Olkoon x, y erilliset ei-vierekkäiset pisteet graassa G, missä d x dy ja d(x) + d(y) mahdollisimman suuria. Helposti nähdään, että astejono G + xy on pisteittäin suurempi kuin (d 1,..., d n ) ja siten myös pisteittäin suurempi kuin (a 1,..., a n ). Siten, graan G maksimaalisuuden perusteella, uusi lisätty viiva xy on Hamiltonin syklissä H, joka on graassa G + xy. Jos näin ei olisi, alussa valittu graa G ei olisi ollut maksimaalinen. Koska minkä tahansa viivan lisääminen tekee graain G Hamiltonin syklin, on siinä oltava Hamiltonin polku. Eli polku H xy on Hamiltonin polku x 1,..., x n graassa G, ja valitaan x 1 = x ja x n = y. Käytetään samaa tekniikkaa kuin Diracin lauseen todistuksessa, ja otetaan käyttöön indeksijoukot I := {i xx i+1 E} ja J := {j x j y E}. Silloin I J {1,..., n 1} ja I J =, koska graa G ei ole hamiltonilainen. Siten d(x) + d(z) h + (n h) = n, (6) joten h := d(x) < n/2 pisteen x valinnan perusteella. Koska x i y / E aina, kun i E, niin kaikki nämä pisteet x i eivät välttämättä ole erillisiä pisteen x kanssa (tai pisteen y). Koska valittiin pisteet {x, y}, siten, että d(x) ja d(y) ovat maksimaaliset, niin d(x i ) d(x) aina, kun i I. Siten graalla G on 27

vähintään I = h pistettä, joiden aste on enintään h, joten dh h. Kohdan (5) perusteella d n h on vähintään yhtä suuri kuin n h. Toisin sanoen kaikilla h + 1 pisteellä, joiden aste on d n h,..., d n, on siis asteen suuruus vähintään n h. Koska d(x) = h, niin on olemassa piste z, joka ei ole pisteen x naapuri. Koska dx + dz h + (n h) = n, niin pisteiden x ja y valinta on ristiriidassa kohdan (6) perusteella. Täten Chvátalin ehdon toteuttavassa graassa on Hamiltonin sykli ja todistuksen ensimmäinen osa on todistettu. Käsitellään sitten todistuksen toinen osa. Olkoon astejono (a 1,..., a n ) niin kuin lauseessa 5.10, mutta niin, että a h h ja a n h n h 1, kun h < n/2. Oletetaan, että jokaista tällaista astejonoa kohtaan on olemassa graa, jolla on pisteittäin suurempi astejono, mutta joka ei ole hamiltonilainen. Chvátalin ehtoa muutetaan siis niin, että yhtäsuuruus jätetään pois. Kun astejono (h,..., h, n h 1,..., n h 1, n 1,..., n 1) }{{}}{{}}{{} h kertaa n-2h kertaa h kertaa on pisteittäin suurempi kuin (a 1,..., a n ), riittää, että löydetään graa, jolla on tämä astejono, mutta joka ei ole hamiltonilainen. Kuvassa 8 on kahden graan unioni. Vasemman ja oikean puolen yhdistää kaksiosainen graa K h,h, eli vasemmalla puolella on h pistettä, jotka 28

Kuva 8: Graa, jossa ei ole Hamiltonin sykliä yhdistyvät oikealle puolelle h pisteeseen. Vasemmalla oleva pistejoukko on riippumaton joukko, jossa kaikilla pisteillä aste on siis h. Oikealla puolella on täydellinen graa K n h. Toisin sanoen, viivajoukko {v i v j i, j > h} {v i v j i h; j > n h}; on graan K n h unioni pisteissä v h+1,..., v n ja graa K h,h, missä on ositukset {v 1,..., v n } ja {v n h+1,..., v n }. Kuvan 8 graassa ei voi olla sykliä, jossa olisi pisteiden v 1, v 2... v n lisäksi piste v h+1. Chvátalin ehtoa muuttamalla voidaan siis saada ei-hamiltonilainen graa. Näin ollen lause on tosi. 29

Lähdeluettelo 1. N. L. Bigg, E. K. Lloyd, R. J. Wilson: Graph Theory 1736-1936. Oxford University Press, Bristol, 1976. 2. R. Diestel: Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics (4. ed). Springer-Verlag, New York, electronic edition 2010. [WWW-dokumentti]. [Viitattu 21.2.2013]. <http://diestel-graph-theory.com/basic.html> 3. B. Hopkins, R. J. Wilson: The Truth about Königsberg. The College Mathematics Journal, Vol. 35, No. 3, May 2004, pp. 198-207. [WWW-dokumentti]. [Viitattu 21.2.2013]. <http://www.gss.ucsb.edu/hopkins1.pdf> 4. M. Peltola: Graateoria, luentorunko. Oulun yliopisto, 2012. [WWWdokumentti]. [Viitattu 21.2.2013]. <http://s-mat-pcs.oulu./ mpa/graau12.pdf> 5. K. Ruohonen: Graateoria. Luentomoniste. Tampereen Teknillinen Yliopisto, 2006. [WWW-dokumentti]. [Viitattu 21.2.2013]. <http://math.tut./ ruohonen/gt.pdf> 6. D. B. West: Introduction to graph theory (2. ed). Prentice Hall, Upper Saddle River (N.J.), 2001. 30