Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Transkriptio

1 Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010

2 Tiivistelmä Harppi ja viivain ovat olleet keskeisiä välineitä geometriassa sen alkuajoista saakka. Tutkimuksen määrästä huolimatta vaikuttaisi kuitenkin siltä, että niitä on käsitelty vain tasossa. Mohrin-Mascheronin lauseen (todistettu vuonna 1672) mukaan kaikki harpilla ja viivaimella mahdolliset konstruktiot voidaan tehdä ilman viivainta. Tutkielmassa esitetään tälle lauseelle yksinkertainen todistus sekä muotoillaan sille kolmen ulottuvuuden vastine. Kolmen ulottuvuuden harppi-viivaingeometriassa käytetään tasoja ja palloja suorien ja ympyröiden sijaan, mikä johtaa siihen, että leikkauskuvioiksi muodostuu muutakin kuin pisteitä. Kolmen ulottuvuuden lause pyritään todistamaan seuraamalla analogisesti kahden ulottuvuuden todistusta. Tutkimuksen edetessä janan kahdentaminen pelkillä palloilla muodostui ongelmaksi, ja kolmen ulottuvuuden lauseen ehdoksi täytyi lisätä, että on annettuna jokin suora. Tätä lisäehtoa käyttäen lause yleistyy kolmeen ulottuvuuteen.

3 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Mohrin-Mascheronin lause tasossa Ympyrän ja suoran leikkauspisteet Suora ei kulje ympyrän keskipisteen kautta Aputulos: Janan puolitus ja kahdennus Suora kulkee ympyrän keskipisteen kautta Kahden tunnetun suoran leikkauspisteet Aputulos: Suoran ja normaalin leikkauspiste Kolmen ulottuvuuden välineet 9 4 Mohrin-Mascheronin lause kolmessa ulottuvuudessa Pallon ja tason leikkauskuviot Taso ei kulje pallon keskipisteen kautta Aputulos: Janan kahdennus palloilla Taso kulkee pallon keskipisteen kautta Kahden tunnetun tason leikkauskuvio Janan kahdennus pelkällä pallottimella Puolituksesta kahdennukseen Kahdennuksesta puolitukseen Johtopäätökset 17

4 1 1 Johdanto Klassillisessa geometriassa harpilla ja viivaimilla tehtävät konstruktiot olivat tärkeässä asemassa. Vuonna 1797 italialainen matemaatikko Lorenzo Mascheroni todisti yllättävän tuloksen, jonka mukaan kaikki harpilla ja viivaimella mahdolliset geometriset konstruktiot voidaan tehdä ilman viivainta. Vuonna 1928 kävi ilmi, että tanskalainen Georg Morh oli todistanut tuloksen jo vuonna Tulos tunnetaan nykyään Mohrin-Mascheronin lauseena.[1, 2, 3, 4] Tässä tutkielmassa selvitän, yleistyykö Mohrin-Mascheronin lause kolmeen ulottuvuuteen. Tutkielmassa esitellään yksinkertainen todistus kahden ulottuvuuden lauseelle ja pyritään todistamaan kolmen ulottuvuuden vastine. 2 Mohrin-Mascheronin lause tasossa Mohrin-Mascheronin lause. Jokainen harpilla ja viivaimella mahdollinen geometrinen konstruktio voidaan tehdä ilman viivainta. Kun ympyrästä tunnetaan keskipiste ja yksi kehän piste, se olkoon tunnettu. Vastaavasti kun suorasta tunnetaan kaksi pistettä, se olkoon tunnettu. Kaikki harpilla ja viivaimella tehtävät konstruktiot koostuvat seuraavista kolmesta peruskonstruktioista. 1. Kahden tunnetun ympyrän leikkauspisteet 2. Tunnetun ympyrän ja suoran leikkauspisteet 3. Kahden tunnetun suoran leikkauspisteet Täten Mohrin-Mascheronin lauseen todistukseksi riittää, että osoitetaan harpilla voitavan tehdä kyseiset konstruktiot. Tässä esitettävä todistus seuraa ajatukseltaan Norbert Hungerbühlerin todistusta [5], mutta on yksityiskohtaisempi. Kahden ympyrän leikkauspisteiden konstruoimisessa pelkällä harpilla ei ole mitään epäselvää, joten todistuksen voi aloittaa tunnetun ympyrän ja suoran leikkauspisteistä.

5 2.1 Ympyrän ja suoran leikkauspisteet Ympyrän ja suoran leikkauspisteet Suora ei kulje ympyrän keskipisteen kautta Lause 1. Pelkällä harpilla voidaan konstruoida tunnetun ympyrän ja sen keskipisteen kautta kulkemattoman suoran leikkauspisteet. Kuva 1: Suora ei kulje keskipisteen kautta Kulkekoon suora l pisteiden A ja B kautta, ja kulkekoon ympyrä Y pisteen C kautta keskipisteenä K. Piirretään ympyrät pisteen K kautta toisessa keskipisteenä A ja toisessa B. Näiden ympyröiden toinen leikkauspiste K on pisteen K peilaus suoran l suhteen. Piirretään ympyrän Y säteinen ympyrä Y, jonka keskipiste on K. Nyt ympyröiden Y ja Y leikkauspisteet L1 ja L2 ovat ympyrän Y ja suoran l leikkauspisteet Aputulos: Janan puolitus ja kahdennus Aputulos 1. Pelkällä harpilla voidaan puolittaa tai kahdentaa jana, jonka päätepisteet tunnetaan. Kuva 2: Jana AB ja ympäripiirretyt ympyrät

6 2.1 Ympyrän ja suoran leikkauspisteet 3 Olkoon A ja B janan päätepisteet. Piirretään ympyrä Y 1 pisteen B kautta keskipisteenä A ja ympyrä Y 2 pisteen A kautta keskipisteenä B. Olkoot ympyröiden Y 1 ja Y 2 leikkauspisteet C ja D. Kuva 3: Janan AB kahdennus Piirretään ympyrä Y 3 pisteen C kautta keskipisteenä D. Saadaan ympyröiden Y 2 ja Y 3 leikkauspiste E. Nyt koska kolmio DCE on symmetrian nojalla tasasivuinen, on piste E janan CD keskinormaalilla, eli samalla suoralla pisteiden A ja B kanssa. Täten janan AE ollessa ympyrän Y 2 halkaisija, B on janan AE keskipiste, joten AE = 2AB. Piirretään ympyrä Y 4 pisteen A kautta keskipisteenä E. Saadaan ympyröiden Y 1 ja Y 4 leikkauspisteet F ja G. Kuva 4: Janan AB puolitus

7 2.1 Ympyrän ja suoran leikkauspisteet 4 Nyt piirretään ympyrä Y 5 pisteen A kautta keskipisteenä F ja ympyrä Y 6 pisteen A kautta keskipisteenä G. Saadaan ympyröiden Y 5 ja Y 6 leikkauspiste H. Huomataan, että kolmiot F AH ja F AE ovat yhdenmuotoisia yhden suhteessa kahteen, joten H on janan AB keskipiste ja jana on puolitettu Suora kulkee ympyrän keskipisteen kautta Lause 2. Pelkällä harpilla voidaan konsruoida tunnetun ympyrän ja sen keskipisteen kautta kulkevan tunnetun suoran leikkauspisteet. Kuva 5: Suora kulkee keskipisteen kautta Olkoon Y 1 ympyrä, jonka keskipiste on K ja g suora, joka kulkee pisteiden P ja K kautta. Olkoon A jokin mielivaltainen suoran g ulkopuolinen piste ympyrän Y 1 kehällä. Pisteiden A ja P kautta kulkevan suoran leikkauspiste B ympyrän Y 1 kanssa saadaan tuloksen 1 nojalla konstruoitua.

8 2.1 Ympyrän ja suoran leikkauspisteet 5 Kuva 6: Ympyrän Y1 halkaisijan pituinen segmentti ympyrällä Y2 Olkoon Y 2 ympyrä, joka kulkee pisteiden A ja B kautta ja jonka säde on suurempi kuin ympyrän Y 1. Olkoon tämän ympyrän keskipiste K. Tämä voidaan konstruoida piirtämällä A:n ja B:n ympäri ympyrät, joiden säde on suurempi kuin ympyrän Y 1. Konstruoidaan ympyrälle Y 2 segmentti CD, jonka pituus on kaksi kertaa suurempi kuin ympyrän Y 1 säde. (Tämä on mahdollista aputulos 1:n nojalla.) Piirretään ympyrä Y 3 pisteen P kautta keskipisteenä K. Kuva 7: Pistettä P vastaava piste P ympyrältä Y3

9 2.2 Kahden tunnetun suoran leikkauspisteet 6 Nyt aputulos 1:sen avulla löydetään janan CD keskipiste K. Piirretään ympyrä Y 1 pisteen C kautta keskipisteenä K. Lauseen 1 avulla löydetään myös pisteiden C ja D kautta kulkevat suoran ja ympyrän Y 3 toinen leikkauspiste. Olkoon tämä piste P. Piirretään vielä ympyrälle Y 1 piste E siten, että P E = P B. Kuva 8: Leikkauspisteet L1 ja L2 saadaan selville Huomataan, että pisteen potenssin nojalla P L2 P L1 = P B P A = P C P D, joten pistejoukot P, L1, K, L2, B ja P, D, K, C, E ovat keskenään yhtenevät. Täten EC = BL2 ja ED = BL1, joten suoran g ja ympyrän Y 1 leikkauspisteet saadaan konstruoitua käyttäen vain harppia. 2.2 Kahden tunnetun suoran leikkauspisteet Lause 3. Pelkällä harpilla voidaan konstruoida kahden tunnetun suoran leikkauspisteet. Ennen tämän todistamista on kuitenkin syytä todistaa aputulos Aputulos: Suoran ja normaalin leikkauspiste Aputulos 2. Pelkällä harpilla voidaan konstruoida tunnetun suoran ja sen normaalin leikkauspiste, jos normaalilta tunnetaan jokin suoran ulkopuolinen piste.

10 2.2 Kahden tunnetun suoran leikkauspisteet 7 Kuva 9: Suoran ja normaalin leikkauspiste Piirretään ympyrä Y 1 pisteen P kautta keskipisteenä A ja vastaavasti ympyrä Y 2 keskipisteenä B. Ympyröiden Y 1 ja Y 2 toinen leikkauspiste olkoon P. Nyt pisteiden P ja P kautta kulkeva suora on pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran normaali ja suorien leikkauspiste on janan P P keskipiste, joka saadaan konstruoitua aputuloksen 1 nojalla. Nyt päästään itse todistukseen. Kuva 10: Leikkaavat suorat Olkoot suorat q ja s tunnettuja siten, että q kulkee pisteiden A ja B ja s pisteiden C ja D kautta. Olkoon suorien leikkauspiste L. Konstruoidaan suoran s ja sen B:n kautta kulkevan normaalin leikkauspiste N. Sitten konstruoidaan vielä suoran q ja sen N:n kautta kulkevan normaalin leikkauspiste M. Tämä onnistuu aputuloksen 2 nojalla. Huomataan, että kolmiot BN L ja BN M ovat yhdenmuotoiset (molemmissa on suora kulma ja kulma M BN). Tästä saadaan

11 2.2 Kahden tunnetun suoran leikkauspisteet 8 verranto: BN BL = BM BN (BN)2 = BM BL Nyt tavoitteena olisi saada konstruoitua janan BL pituus r, koska tällöin piste L saadaan konstruoitua pisteen B ympäripiirretyn r-säteisen ympyrän ja suoran s leikkauspisteenä lauseen 1 nojalla. Kuva 11: Etäisyyden BL konstruointi Kaksinkertaistetaan jana BN (katso aputulos 1) siten, että BG = 2BN. Nyt piirretään tarpeeksi suuri ympyrä Y pisteiden B ja G kautta. Tämä onnistuu piirtämällä B:n ja G:n ympäri samansäteiset ympyrät, joiden säde on esimerkiksi BG. Piirretään jana NE siten, että NE = BM. Konstruoidaan vielä pisteiden N ja E kautta kulkevan suoran ja ympyrän Y leikkauspiste F. Tämä onnistuu lauseen 1 nojalla. Nyt käytetään pisteen potenssia ja huomataan, että BM BL = (BN) 2 = BN NG = EN NF = BM NF BL = NF Täten janan BL pituus r voidaan konstruoida ja todistus on valmis.

12 9 3 Kolmen ulottuvuuden välineet Tutkittaessa Mohrin-Mascheronin lausetta kolmessa ulottuvuudessa otetaan käyttöön uudenlaiset välineet harpin ja viivaimen tilalle. Nämä ovat esikuviensa kolmiulotteiset vastineet: pallotin ja tasotin. Tasottimella voidaan piirtää taso, joka kulkee kolmen tunnetun pisteen kautta, kunhan nämä pisteet eivät ole samalla suoralla. Pallottimella voidaan piirtää pallo, jonka keskipiste ja jokin pinnan piste ovat annettuja. Tämän lisäksi janan kahdentaminen näyttää vaativan, että avaruudessa on annettuna jokin suora. Tätä käsitellään itse todistuksen jälkeen. 4 Mohrin-Mascheronin lause kolmessa ulottuvuudessa Lause 4. Jokainen geometrinen konstruktio, joka on mahdollinen pallottimella ja tasottimella voidaan tehdä ilman tasotinta, kunhan on annettuna jokin suora. Tämä lause voidaan jaotella samankaltaisesti kuin kahdessakin ulottuvuudessa. Kun tasosta tunnetaan kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, se olkoon tunnettu. Kun pallosta tunnetaan keskipiste ja jokin pinnan piste, se olkoon tunnettu. Kaikki pallottimella ja tasottimella tehtävät konstruktiot muodostuvat seuraavista peruskonstruktioista. 1. Kahden tunnetun toisiaan leikkaavan pallon leikkauskuvio, joka voi olla piste, jos pallot sivuavat toisiaan pallo, jos pallot ovat sama pallo muissa tapauksissa ympyrä 2. Tunnetun toisiaan leikkaavan pallon ja tason leikkauskuvio, joka voi olla piste, jos taso sivuaa palloa muissa tapauksissa ympyrä 3. Kahden tunnetun toisiaan leikkaavan tason leikkauskuvio, joka voi olla taso, jos tasot ovat sama taso muissa tapauksissa suora

13 4.1 Pallon ja tason leikkauskuviot 10 Kohdassa 1 ei ole mitään epäselvää, joten voidaan siirtyä suoraan kohtaan Pallon ja tason leikkauskuviot Lause 5. Pelkällä pallottimella voidaan konstruoida tunnetun tason ja pallon leikkauskuvio Taso ei kulje pallon keskipisteen kautta Kuva 12: Taso ei kulje keskipisteen kautta Olkoon tason t pisteet A, B ja C tunnetut. Olkoon pallo P 1 tunnettu. Piirretään pallot, joiden keskipisteinä ovat A, B ja C, ja jotka kulkevat pallon P 1 keskipisteen kautta. Näiden pallojen leikkuspiste on pallon P 1 keskipisteen peilaus tason t suhteen. Piirretään pallo P 1, jonka keskipiste on tämä peilattu keskipiste ja säde on pallon P 1 säde. Nyt pallojen P 1 ja P 1 leikkauskuvio on pallon P 1 ja tason t leikkauskuvio Aputulos: Janan kahdennus palloilla Tämä aputulos on välttämätön todistuksen kannalta ja myös ainoa, johon valmiiksi annettua suoraa tarvitaan.

14 4.1 Pallon ja tason leikkauskuviot 11 Aputulos 3. Pelkällä pallottimella voidaan kaksinkertaistaa tunnetun pallon säde, kunhan on annettuna jokin suora. Kuva 13: Janan kahdennus Olkoon r jokin tunnettu etäisyys. Piirretään r-säteinen pallo jonkin annetun suoran pisteen ympäri. Nyt suoran ja tämän pallon leikkauspisteiden L1 ja L2 etäisyys on kaksi kertaa r Taso kulkee pallon keskipisteen kautta Kuva 14: Taso kulkee keskipisteen kautta

15 4.1 Pallon ja tason leikkauskuviot 12 Olkoon P 1 tunnettu pallo, jonka keskipiste on K1. Olkoot pallon P 1 leikkaavat tasot t1 ja t2 tunnettuja siten, että tunnetut pisteet A ja B ovat niille yhteiset ja t2 kulkee pallon P 1 keskipisteen kautta. Kuva 15: Pallo P2 Olkoon P 2 sellainen pallo, että sen leikkauspinta pallon P 1 kanssa on sama kuin tason t1 leikkauspinta ja sen säde on suurempi kuin pallon P 1. Olkoon tämän pallon keskipiste K2. Kuva 16: Palloa P1 vastaava pallo P3 Valitaan jokin piste C pallolta P 2 siten, että se ei ole pallojen P 1 ja P 2 leikkausympyrällä. Tämän jälkeen piirretään sen ympäri pallo, jonka säde on

16 4.1 Pallon ja tason leikkauskuviot 13 kaksi kertaa pallon P 1 säde. Tämä onnistuu aputuloksen 3 avulla. Tämän pallon ja P 2:en leikkauskuvio on ympyrä. Nyt valitaan tältä ympyrältä mikä hyvänsä piste. Olkoon se D. Piirretään pallo P 3 siten, että CD on sen halkaisija. Olkoon tämän keskipiste S. Nyt P 3 on siis S:n ympäri piirretty pallon P 1 säteinen pallo, jonka isoympyrä on pallolla P 2. Kuva 17: Yhtenevät pistejoukot Nyt piirretään pallo P 4, jonka keskipiste on sama kuin pallolla P 2 ja joka kulkee pisteiden A ja B kautta. Valitaan pisteiden C ja D lisäksi pallojen P 2 ja P 3 leikkausympyrältä jokin piste E. Lauseen 4 nojalla saadaan konstruoitua pallon P 4 ja pisteiden C, D ja E kautta kulkevan tason leikkausympyrä y. Nyt valitaan tältä ympyrältä jokin piste F. Piirretään vielä F :n ympäri AB-säteinen pallo, jolloin saadaan y:n piste G, joka on AB:n päässä F :stä. Nyt soveltamalla pisteen potenssia pallojen P 1, P 2 ja P 3 ympyröihin huomataan, että pisteiden F ja G asema suhteessa palloon P 3 on yhtenevä pisteiden A ja B asemaan suhteessa palloon P 1. Täten kun piirretään A:n ympäri GC-, GD- ja GE-säteiset, ja B:n ympäri F C-, F D- ja F E-säteiset pallot, saadaan näiden pallojen ja pallon P 1 leikkauspisteet, jotka ovat kaikki tason t2 ja pallon P 1 leikkausympyrällä. Nyt kun piirretään näiden kolmen pisteen ympäri pallot, joiden säde on yli kaksi kertaa suurempi kuin pallon P 1 säde, ja piirrettään vielä toisen näiden pallojen leikkauspisteista ympäri samansäteinen pallo P 5, saadaan pallojen P 5 ja P 1 leikkausympyrä, joka on sama kuin tason t2 ja pallon P 1 leikkausympyrä. Todistus on valmis.

17 4.2 Kahden tunnetun tason leikkauskuvio Kahden tunnetun tason leikkauskuvio Lause 6. Pelkällä pallottimella voidaan konstruoida kahden tunnetun tason leikkauskuvio. Koska on selvää, että pelkillä palloilla ei ole mahdollista konstruoida kokonaista suoraa, tämä tulos vaatii hieman lisämäärittelyä. Riittää, kun osataan konstruoida pallon, tason ja kahden pisteen määrittämän suoran leikkauspisteet. Todistetaan ensin, että kahden leikkaavan tason leikkaussuoralta saadaan selville kaksi eri pistettä. Kuva 18: Leikkaavat tasot Olkoon taso t1 pisteiden A1, A2 ja A3, ja taso t2 pisteiden B1, B2 ja B3 yksikäsitteisesti määräämä taso. Nyt piirretään jonkin näistä pisteistä ympäri tarpeeksi suuri pallo. Sitten lauseen 4 avulla voidaan konstruoida tämän pallon ja näiden tasojen leikkausympyrät. Näiden leikkausympyröiden leikkauskuvio (kaksi pistettä tai ympyrä) määrittää tasojen t1 ja t2 leikkauskuvion. Nyt kuitenkin riittää käsitellä tapaus, jossa tasot t1 ja t2 eivät ole sama taso. Huomataan, että pallon ja suoran leikkauspisteet saadaan yksinkertaisesti pallon ja kahden tason leikkauskuviona. Tämä osataan konstruioida lauseen 4 nojalla, joten todistettavaksi jää enää suoran ja tason leikkauspisteen konstruointi.

18 4.2 Kahden tunnetun tason leikkauskuvio 15 Kuva 19: Taso ja suora leikkaavat Lause 7. Pelkällä pallottimella voidaan konstruoida tunnetun tason ja suoran leikkauspiste. Olkoon t tunnettu taso ja pisteet A ja B jotkin pisteet, jotka määrittävät suoran. Nyt valitaan jokin piste C, joka ei ole pisteiden A ja B määräämällä suoralla. Nyt pisteet A, B ja C määräävät tason t. Tasojen t ja t leikkaussuoralta saadaan konstruoitua edellisen kohdan nojalla kaksi pistettä. Nyt valitaan vielä jokin tason t ulkopuolinen piste D. Nyt pisteet A, B ja D määräävät tason t. Konstruoidaan vielä tasojen t ja t leikkaussuoralta 2 pistettä. Kuva 20: Suorat tasossa Suorat, jotka nämä pisteparit määräävät, ovat tasolla t ja niillä on sama leikkauspiste kuin tasolla t ja pisteiden A ja B kautta kulkevalla suoralla. Nyt koska lauseen 4 nojalla osataan konstruoida pallon ja tason leikkauskuvio, tasolla t pallotin vastaa tavallista harppia ja täten lauseen 3 ja aputuloksien 1 ja 2 nojalla haluttu leikkauspiste saadaan konstruoitua käyttäen kaksiulotteista geometriaa. Täten lause 7 on todistettu ja samalla koko kolmen ulottuvuuden Mohrin- Mascheronin lause.

19 4.3 Janan kahdennus pelkällä pallottimella Janan kahdennus pelkällä pallottimella Voidaan huomata, että kaikki etäisyydet, jotka voidaan konstruoida pallottimella, koostuvat tetraedreistä. Tutkimuksen aikana näitä tarkastellessa alkoi vaikuttaa siltä, että janan kahdentaminen vain pallottimella olisi mahdotonta. Tämän takia kolmen ulottuvuuden lauseeseen jouduttiin lisäämään ehto, että jokin suora on annettuna. Konjektuuri. Janan kahdentaminen tai puolittaminen pelkällä pallottimella on mahdotonta. Tätä en ole onnistunut todistamaan. Janan kahdentamisen tutkimisen aikana saatiin kuitenkin seuraava kiinnostava tulos. Pieni lause. Janan kahdentaminen ja puolittaminen pallottimella ovat ekvivalentteja Puolituksesta kahdennukseen Kuva 21: Kahdennus puolituksen avulla Oletetaan, että osataan puolittaa tunnettu jana. Olkoon jana AB tunnettu. Piirretään pallot P 1 ja P 2A:n ympäri B:n kautta ja B:n ympäri A:n kautta. saadaan näiden pallojen leikkausympyrä Y. Valitaan tältä ympyrältä jokin piste C. Puolitetaan jana AB. Olkoon sen keskipiste K. Nyt piirretään K:n ympäri C:n kautta pallo, jolloin saadaan ympyrän Y halkaisijan, joka kulkee pisteiden C ja K kautta, toinen päätypiste D. Nyt piirretään vielä pallot C:n ympäri D:n kautta ja D:n ympäri C:n kautta. Näiden pallojen ja pallon P 1 leikkauspiste E on tasasivuisen kolmion CDE kärki, joten BE = 2BA.

20 Kahdennuksesta puolitukseen Kuva 22: Puolitus kahdennuksen avulla Oletetaan, että osataan kahdentaa tunnettu jana. Olkoon jana AB tunnettu. Kahdennetaan jana AB, jolloin suoralta AB saadaan piste C siten, että AC = 2AB. Piirretään A:n ympäri B:n kautta pallo ja C:n ympäri A:n kautta pallo. Nyt saadaan näiden pallojen leikkausympyrä Y. Ympyrän Y määräämän tason etäisyys pisteestä A on 1 4. Täten kun valitaan ympyrältä Y kolme eri pistettä, voidaan peilata piste A ympyrän Y määräämän tason suhteen, jolloin saadaan piste A, joka on janan AB keskipiste. 5 Johtopäätökset Tutkimuksessa esitettyjen tulosten nojalla Mohrin-Mascheronin lause yleistyy kolmeen ulottuvuuteen, kunhan avaruudessa on annettuna jokin suora. On mahdollista, että tämä suora on tarpeeton. Näin on siinä tapauksessa, että janan kahdentaminen pelkällä pallottimella onnistuu. Tämän tutkimuksen perusteella tämä kuitenkin vaikuttaa mahdottomalta. Asian ratkaisu vaatii lisää tutkimista.

21 VIITTEET 18 Viitteet [1] Matti Lehtinen, Jorma Merikoski, Timo Tossavainen, Johdatus tasogeometriaan, 2007, WSOY Oppimateriaalit Oy, Helsinki [2] ( ) [3] ( ) [4] ( ) [5] Norbert Hungerbühler, A short elementary proof of the Mohr-Mascheroni theorem, Swiss Federal Institute of Technology, Zürich