SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.) tai a + a 2 + a 3 +... on luusarja. Sen n. osasumma on (3.2) s n =, ja on sarjan. termi. Sarja suppenee, jos osasummien jono (s n ) n= suppenee. Muuten sarja hajaantuu. Jos sarja suppenee, lim n s n = s R, meritään (3.3) Luu s on sarjan summa. = s. Sarja on siis ääretön summa, jona lasujärjestys on iinnitetty. Jos sarjan termit järjestetään uudelleen, saadaan toinen sarja, jona summa voi olla toinen uin aluperäisellä sarjalla. Tarastelemme tällaista järjestelyä Esimerissä 3.2(f). Termien järjestely voi joissain tapausissa muuttaa suppenevan sarjan hajaantuvasi ja päinvastoin. Tarasteltaessa osasummien jonoaii A:n luujonojosevat tuloset ovat äytettävissä. Joissain tilanteissa sarjan termien indesointi saatetaan aloittaa jostain muusta luvusta n Z uin :stä. Näin saatavia sarjoja =n äsitellään samalla tavalla uin Määritelmä 3.:ssa määriteltyjä. Erityisesti muotoa =0 olevat sarjat ovat yleisiä. On myös syytä huomata, että samaa merintää =0 äytetään (valitettavasti) taroittamaan sarjaa ja sen summaa. Esimeri 3.2. (a) Geometrinen sarja: q, = q, q ], [. Osasummien jonolle pätee (A, Esimeri 6 sivulla 63) (3.4) s n = q = + q + q 2 + + q n = qn q n q. Siis geometrinen sarja suppenee ja sen summa on /( q). (b) Sarjan, jossa siis = aiill N, osasummien jono on (3.5) s n = Siis sarja hajaantuu. (c) Sarjan (3.6) s n = ( ) osasummien jono on ( ) = = n n. {, un n on pariton, 0, un n on parillinen.
8 JOUNI PARKKONEN Siis sarja ( ) hajaantuu. (d) Oloon (b ) luujono. Määrittelemme uuden jonon () asettamalla (3.7) Tällöin (3.8) a =b a 2 =b 2 b.. =b b 2. = b + (b 2 b ) + + (b n b n 2 ) + (b n b n ) = b n. Lähtemällä luujonosta (b ) muodostimme siis luusarjan, jona osasummien jono on (b ). Luusarjat ovat siis luujonoja toisessa muodossa. (e) Jos 0 aiill N, sarjan osasummien jono on asvava. Tällaista sarjaa sanotaan positiivitermisesi. A:n asvavia luujonojosevat tuloset ovat äytettävissä positiivitermisiä sarjoja tarasteltaessa. Sarjan suppenemattomuus on josus helppo todeta seuraavan tulosen avulla: Lause 3.3. Jos sarja suppenee, niin jono ( ) suppenee ja (3.9) lim = 0. Todistus. Harjoitus. Siis, jos sarjan termien jono ei suppene tai se suppenee, mutta raja-arvo ei ole nolla, sarja ei suppene. Lause 3.3 on ysisuuntainen : lim = 0, mutta sarja hajaantuu, uten Lauseessa 3.7 osoitetaan. Cauchyn ehto jonojen suppenemiselle saa sarjojen ielelle äännettynä muodon Lause 3.4 (Cauchyn ehto sarjoille). Sarja suppenee, jos ja vain jos aiille ɛ > 0 on olemassa N > 0 siten, että (3.0) a N+ + a N+2 + + a N+p < ɛ aiilla p N. Todistus. Harjoitus. Seuraa luujonojen suppenemisen Cauchyn ehdosta, A:n Lause 4.9. Luujonojen raja-arvojen lineaarisuustulos on voimassa myös sarjoille: Lause 3.5. Jos x ja y suppenevat, ja a, b R, niin (ax +by ) suppenee ja (3.) (ax + by ) = a x + b y. Todistus. Seuraa A:n Lemmasta 4.4. Huomaa, että aavassa (3.) taroitetaan sarjojen summia. Sarjojen tulon vastaavien tulosten todistaminen vaatii tarempaäsittelyä. Palaamme siihen suppenemistarasteluiden jäleen. Muotoja (3.2) s, p > 0, olevat sarjat ovat täreitä vertailusarjoja. ( ), ja q
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 9 Määritelmä 3.6. Sarja (3.3) s on (a) harmoninen sarja, un s =, (b) yliharmoninen sarja, un s >, ja (c) aliharmoninen sarja, un s <. Sarja ( ) + (3.4) on vuorotteleva harmoninen sarja. Lause 3.7. Harmoninen sarja ja aliharmoninen sarja hajaantuvat. Yliharmoninen sarja ja vuorotteleva harmoninen sarja suppenevat. Todistus. Harmoninen sarja: A2:ssä (Esimeri ennen Lausetta 6.2) todistettiin, että funtion f : [, [ R, f(x) = /x, epäoleellinen integraali (3.5) x dx hajaantuu. Oloon [x] reaaliluvun x oonaisosa, siis (3.6) [x] = max{n x : n Z}. Funtion h : [, [ R, (3.7) h(x) = [x], rajoittuma välille [, b] on funtion f [,b] yläporrasfuntio, atso Kuva 7. Jos b N, pätee selvästi (3.8) s b = Siis b = b h > b b dx. x (3.9) lim s b =, b joten harmoninen sarja hajaantuu. Harmoninen sarja, toisen todistusen idea: Tarastele summia (3.20) N + + N + 2 + + 2N 2, ja totea, että harmoninen sarja hajaantuu Cauchyn ehdon, Lause 3.4, perusteella. Aliharmoninen sarja: (3.2) s < = /n s > /n, un un n 2. Siis (3.22) N joten sarja hajaantuu. Yliharmoninen sarja: Kosa N (3.23) N s N, N s = + =2 s N N,
20 JOUNI PARKKONEN 0.8 0.6 0.4 0.2 2 4 6 8 0 Kuva 7. Harmonisen sarjan tulinta porrasfuntion integraalina. niin (3.24) s Oloot f, g : [, [ [0, [, suppenee =2 s suppenee. (3.25) f(x) = x s, ja (3.26) g(x) = Selvästi [x + ] x aiilla x R, joten (3.27) [x + ] s. [x + ] x aiilla x > 0. A2:ssa osoitettiin, että epäoleellinen integraali (3.28) suppenee. Siis s = =2 (3.29) = n / n g n f = n x s dx x s dx s x s+ = s ( ) n s n s <, joten osasummien jono on ylhäältä rajoitettu (jasvava). Siis sarja suppenee. Vuorotteleva harmoninen sarja: ( ) + ( (3.30) = ) ( + 2 3 ) ( + 4 5 ) +.... 6 Tarastelemme ensin parillisten osasummien jonoa (r n ) n=, 2 ( ) + ( (3.3) r n = = 2 ). 2
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 2 0.5 0.4 0.3 0.2 0. 2 4 6 8 0 Kuva 8. Yliharmonisen sarjan tulinta porrasfuntion integraalina. Jono (r n ) n= on asvava, osa (3.32) 2 > 2. Lisäsi on helppo osoittaa, että (3.33) 2 2 2, joten 2 ( ) + (3.34) r n = 2. Kosa yliharmoninen sarja on suppeneva, niin jono (r n ) n= suppenee. Oloon (3.35) S = lim n r n. Osoitamme, että S on vuorottelevan harmonisen sarjan summa. Oloon ɛ > 0. On olemassa N N siten, että 2 ( ) + (3.36) S ɛ, un 2n N, 2 ja N > 2/ɛ. Oloon m > N. Jos m on parillinen, pätee (3.36). Jos m on pariton, pätee m ( ) + S m ( ) + m+ ( ) + m+ + ( ) + S (3.37) = m+ m + + ( ) + S < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Lauseen 3.7 todistusen yhteydessä tulimme erranneesi tai todistaneesi seuraavat olme tulosta: Lause 3.8. Oloon p N. Sarja suppenee +p suppenee =p suppenee.
22 JOUNI PARKKONEN Todistus. Lauseen 3.7 todistus ja A. Lause 3.9. Positiiviterminen sarja suppenee, jos ja vain jos sen osasummien jono on ylhäältä rajoitettu. Todistus. Seuraa A:n Lemmasta 4.3 ja Lauseesta 4.6. Lause 3.0 (Minoranttiperiaate). Oloot, b [0, [ siten, että b aiilla N. Jos hajaantuu, niin b hajaantuu. Todistus. Kuten aliharmonisen sarjan tapausessa: N N N (3.38) b, joten sarja hajaantuu. Ennen uin todistamme vastaavan majoranttiperiaatteen, Lause 3.2, todistamme seuraavan tulosen, jona avulla majoranttiperiaate soveltuu myos sarjoille, joilla on negatiivisia termejä. Lause 3.. Jos sarja suppenee, niin sarja suppenee. Todistus. Oloon ɛ > 0. Cauchyn ehdosta (Lause 3.4) seuraa, että on n N siten, että N+p N+p (3.39) ɛ > a a, =N+ =N+ joten suppenee Cauchyn ehdon nojalla. Lauseessa 3.7 osoitimme, että vuorotteleva harmoninen sarja suppenee, ja että harmoninen sarja hajaantuu. Siis Lause 3. toimii vain yhteen suuntaan. Sanomme, että sarja suppenee itseisesti, jos sarja suppenee. Lause 3.2 (Majoranttiperiaate). Oloot, b R siten, että b aiilla N. Jos b suppenee, niin suppenee itseisesti. Todistus. Lauseen 3.9 muaan on M > 0, jolle pätee (3.40) b M <. Siis Lauseen 3.9 nojalla n suppenee, joten n suppenee itseisesti. Minorantti- ja majoranttiperiaatteista saamme äyttöelpoisia suppenemistestejä: Lause 3.3 (Raja-arvon vertailutesti). Oloot [0, [, b ]0, [ aiilla N siten, että (3.4) 0 < lim <. b Tällöin sarja suppenee, jos ja vain jos b suppenee. Todistus. Oloon (3.42) α = lim. b Raja-arvon määritelmän muaan on N N siten, että aiille N pätee (3.43) α b < α 2.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 23 Siis aiille N pätee (3.44) α 2 < b < 3 2 α, eli α (3.45) 2 b < < 3 2 αb. Väite seuraa Lauseista 3.5, 3.0 ja 3.2. Esimeri 3.4. (a) Sarja (3.46) + ( + 2) hajaantuu Lauseen 3.3 perusteella: harmoninen sarja hajaantuu ja ( ) (3.47) lim (b) Sarja (3.48) + (+2) ( ) = lim log 2 + + 2 =. suppenee: On helppo tarastaa, että aiill pätee log. Siis log (3.49) 2 2 =. 3 2 Yliharmoninen sarja 3 2 suppenee, joten tulos seuraa majoranttiperiaatteesta. Lause 3.5. Oloot [0, [ aiill N. (a) Jos on N N ja c < siten, että (3.50) c aiill N tai (3.5) > 0 ja + c aiill N, niin suppenee. (b) Jos on N N ja c > siten, että (3.52) > c aiill N tai (3.53) > 0 ja + > c aiill N, niin hajaantuu. Todistus. (a) c c. Siis sarja suppenee majoranttiperiaatteen muaan, osa geometrinen sarja q suppenee. Jos taas + c aiill N, niin aiilla p N pätee (3.54) joten a N+p a N = a N+ a N a N+2 a N+ an+p a N+p 2 (3.55) a N+p < a N c p. a N+p a N+p c p,
24 JOUNI PARKKONEN Majoranttiperiaatteen (Lause 3.2 perusteella sarja suppenee, osa (3.56) a N c N = a N c N a N c suppenee. (b) Samaan tapaan. Seuraus 3.6 (Juuritesti ja suhdetesti). Oloot [0, [ aiill N. (a) Jos (3.57) lim a < tai (3.58) > 0 suurill ja lim niin suppenee. (b) Jos (3.59) lim a > tai (3.60) > 0 suurill ja lim niin hajaantuu. + <, + >, Todistus. Seuraa Lauseesta 3.5 ja raja-arvon määritelmästä. Huomautus 3.7. Lauseessa 3.5 ei oleteta, että jonot ( ) tai ( + ) suppenevat. Esimeri 3.8. (a) Lauseen 3.5 ja Seurausen 3.6 testit eivät sovellu aiien sarjojen tarasteluun: ( ) p ( (3.6) lim p = lim = lim e log ) p =, ja (3.62) lim aiilla p R. (b) Oloon q > 0. ( ) (+) p ( p ) ( ) p = lim = + ( + )q + + (3.63) lim q = lim q = q. Siis sarja (3.64) q suppenee, un q < ja hajaantuu un q > Seurausen 3.6 nojalla. Sarja hajaantuu, un q =, osa sen yleinen termi on. Positiivitermisille sarjoille on monia muitain testejä, joista tällä urssilläsittelemme vielä integraalitestin. Testiä äytettiin itse asiassa jo Lauseessa 3.7.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 25 Lause 3.9 (Integraalitesti). Oloot [0, [ siten, että + aiilla N. Oloon f : [, [ [0, [ vähenevä, jatuva funtio siten, että f() = aiill N. Tällöin (3.65) suppenee f suppenee. Todistus. Harjoitus. Idea Lauseen 3.7 todistusessa. Seuraava suppenemistulos yleistää vuorottelevan harmonisen sarjan suppenemistodistusen Lauseesta 3.7. Sanomme, että sarja on vuorotteleva, jos sen termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia, eli (3.66) + < 0 aiill N. Lause 3.20 (Vuorottelevan sarjan testi eli Leibnitzin testi). Oloon vuorottelevaterminen sarja siten, että () + aiill N ja (2) lim = 0. Tällöin suppenee. Jos sarjan summa on S, niin aiilla n N pätee n+ (3.67) (a n+ > 0) = < S < ja (3.68) (a n+ < 0) = n+ < S < Todistus. Voimme olettaa, että a > 0. Tällöin siis a 2+ > 0 ja a 2 < 0 aiilla N. Oloon S n = n. Kosa jono ( ) on vähenevä, niin parillisten osasummien jono on asvava: (3.69) S 2n+2 = S 2n + a 2n+ + a 2n+2 S 2n, osa a 2n+ + a 2n+2 0. Lisäsi (3.70) S 2n+2 = S 2n+ + a 2n+2 < S 2n+ ja (3.7) S 2n+ = S 2n + a 2n + a 2n+ S 2n. Siis (3.72) S 2n S 2n+2 < S 2n+ S 2n. Jono (S n ) suppenee, osa (3.73) lim (S 2n S 2n ) = lim a 2n = 0. n Lisäsi (3.74) S 2n < S < S 2n+ aiilla n N, osa parillisten osasummien jono on asvava ja parittomien osasummien jono on vähenevä. Tarasteltaessa sarjan suppenemistannattaa siis tutia, () suppeneeo jono ( ) N ohti 0:aa. Jos jono ei suppene tai sen raja-arvo ei ole 0, sarja ei suppene. (2) ovato sarjan termit positiivisia jostain indesistä lähtien. Jos näin on, suppenemista voi tutia Lauseiden 3.0 3.9 avulla.
26 JOUNI PARKKONEN (3) ovato sarjan termit vuorotellen positiivisia ja negatiivisia jostain indesistä lähtien. Jos näin on, suppenemista voi tutia Lauseen 3.20 avulla. (4) suppeneeo sarja itseisesti. Sarjan suppenemista tutitan testeillä 3.0 3.9. Jos suppenee, niin suppenee. Huomaa, että voi supeta vaia hajaantuu. (5) suppeneeo sarja jostain muusta syystä, uten Esimereissä 3.2(c) ja (d). Esimeri 3.2. (a) Sarja (3.75) ( ) log( + ) suppenee: Se on vuorotteleva, osa log( + ) > 0 aiill N. Lauseen 3.20 ehto () toteutuu, osa log( + 2) > log( + ) aiill N. Ehto (2) toteutuu, osa lim log( + ) =. (b) Sarja (3.76) q on vuorotteleva, un q < 0. Kun q, niin (3.77) lim q =, joten sarja ei suppene. Oloon q ], 0[. Funtion f : R R, f(x) = x q x derivaatta on (3.78) f (x) = q x ( + x log q ), joa on negatiivinen, un x > log q. Siis ( + )q+ < q aiille > log q, eli Lauseen 3.20 ehto () toteutuu sarjalle (3.79) q, =N missä N N, N > log q. Kosa lisäsi L Hospitalin säännön muaan (3.80) lim q = lim q L Hospital = lim q = 0, log niin myös ehto (2) toteutuu. Kosa sarja =N q suppenee, niin sarja q suppenee. Saman tulosen olisi voinut saada helpomminin Esimerin 3.8(b):stä Lauseiden 3.2 ja 3. avulla. (c) Joissain tapausissa sarjan osasummien irjoittaminen aui auttaa suppenemisen tarastelemisessa. Tällöin voi jopa sarjan summan laseminen olla mahdollista. Sarja (3.8) ( + ) suppenee Lauseen 3.3 nojalla: ( (3.82) lim (+) ( 2 ) ) 2 = lim 2 + =. q
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 27 Toisaaltäyttämällä havaintoa (3.83) saamme (3.84) ( + ) = +, ( + ) = 2 + 6 + 2 + + ( = ) ( + 2 2 ) + 3 = n. n + n(n + ) ( 3 4 ) ( + + n ) n + Siis sarjan summa on. Tällä tavoin äyttÿtyviä sarjojutsutaan usein telesooppisarjoisi. (d) Useat eri testit voivat soveltua joillein positiivitermisille sarjoille: Sarja (3.85) on positiiviterminen. Sarja suppenee juuritestin nojalla, osa ( ) 2 2 (3.86) 2 = 2 2. Saman tulosen saa myös suhdetestillä, osa ( ) ( + ) 2 ( ) 2 (3.87) ( + 2 + ) 2 = 2 2. 2 (e) Jos sarjaa harvennetaan lisäämällä termien väliin nollia, sarjan suppeneminen ei muutu, ja suppenevan sarjan summa pysyy samana. Tämä on helppo todeta tarastelemalla osasummien jonoa. Oloot (3.88) = ( )+, b 2 = 0 ja b 2 = ( )+ 2 aiill N. Tällöin = 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + 9 0 +... (3.89) 2 2 b =0 + 2 + 0 4 + 0 + 6 + 0 8 + 0 + 0 +.... Edellä todetun ja Lauseen 3.5 nojalla molemmat sarjat suppenevat, ja niiden summille pätee (3.90) b =. 2 (f) Lasemalla (e)-ohdan sarjat yhteen termeittäin saamme sarjan (3.9) ( + b ) = + 0 + 3 2 + 5 + 0 + 7 4 + 9 + 0 +....
28 JOUNI PARKKONEN jossa on täsmälleen samat nollasta poieavat termit uin vuorottelevassa harmonisessa sarjassa, ne vain esiintyvät eri järjestysessä. Kosa vuorotteleva harmoninen sarja suppenee, Lauseen 3.5 muaan pätee summille (3.92) ( + b ) = + b = + = 3. 2 2 Pudottamalla sarjasta ( + b ) 0-termit, saamme siis sarjan c, seoitetun vuorottelevan harmonisen sarjan, jolla on eri summuin vuorottelevalla harmonisella sarjalla! Itseisesti suppenevan sarjan summa ei muutu termejä järjestelemällä. Aina muulloin uudelleenjärjestelyt voivat muuttaa sarjan summaa ja jopa muuttaa suppenevan sarjan hajaantuvasi. Lause 3.22. Oloon suppeneva sarja, joa ei suppene itseisesti. Tällöin (a) on bijetio j : N N siten, että sarja a j() hajaantuu, ja (b) aiilla x R on bijetio i : N N siten, että sarja a i() suppenee ja sen summa on x. Todistus. (a) Oloon p n sarjan n:s positiivinen termi ja oloon q n sarjan n:s negativinen termi. Sarjat p ja q ovat hajaantuvia positiivitermisiä sarjoja, sillä muuten sarja suppenisi itseisesti (mieti!). Oloon n N siten, että n (3.93) p < p. Oloon m N pienin luu siten, että n m (3.94) p q <. Oloon n 2 N pienin luu siten, että n 2 m (3.95) p q 2. Oloon m 2 N pienin luu siten, että n 2 m 2 (3.96) p q < 2. Jatetaan näin. Selvästi saamme rajattasvavan osasummien jonon. Siis, un järjestämme sarjan termit uudelleen p, p 2,..., p n, q, q 2,..., q m, (3.97) p n+, p n+2,..., p n2, q m+, q m+,..., q m2,..., saamme halutun bijetion. (b) Todistus noudattelee samaa ideaa. Nyt sarjan osasummien jonoja ei paoteta asvamaan uten (a)-ohdassa. Positiivisia termejä otetaan sen verran, että osasumma nousee yli x:n ja sen jäleen negatiivisia termejä juuri niin monta, että osasumma saadaan pienemmäsi uin x, ja jatetaan samaan tapaan. Kosa sarjan yleinen termi lähestyy 0:aa, sarja saadaan suppenemaan ohti x:ää. Jos sarja suppenee itseisesti, termien järjestely ei muuta summaa: Lause 3.23. Oloon itseisesti suppeneva sarja. Oloon i : N N bijetio. Tällöin sarja a i() suppenee itseisesti ja sen summa on samuin aluperäisen sarjan summa.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 29 Todistus. Oloot b = a i() aiill N. Oloot S n = n, T n = n b, n N, ja S sarjan summa. Kaiilla n pätee (3.98) b max{i(): n} M <, osa joainen ensimmäisen summan termi esiintyy jälimmäisessä, ja summat ovat positiivitermisiä. Siis sarja n b suppenee itseisesti. Oloon ɛ > 0. On olemassa N N siten, että (3.99) < ɛ 2 ja =N+ (3.00) S n S < ɛ 2, un n N. Joaiselle N N on M N siten, että (3.0) {, 2,..., N} i({, 2,..., M}). Kun n > M, niin i(n) > N, osa i on bijetio. Siis N T n S T n S N + S N S < a i() + ɛ 2 (3.02) + ɛ 2 ɛ, =N+ osa termit a, a 2,..., a N supistuvat (3.0):n nojalla. Siis sarjan a i() summa on S. Taylorin sarjoja tarasteltaesserroimme polynomejesenään. Tällaisille äärellisille summille pätee esimerisi (3.03) (a + a 2 + a 3 )(b + b 2 + b 3 ) = a b + (a b 2 + a 2 b ) + (a b 3 + a 2 b 2 + a 3 b ) + (a 2 b 3 + a 3 b 2 ) + a 3 b 3. Sarjoille tämä yleistyy seuraavasti: Määritelmä 3.24. Sarjojen ja b Cauchyn tulo on (3.04) a i b j. i+j= Lause 3.25. Oloot =0 ja =0 b suppenevia sarjoja siten, että =0 suppenee itseisesti. Tällöin =0 :n ja =0 b :n Cauchyn tulo =0 c suppenee, ja summille pätee ( ) ( ) (3.05) b = c. =0 =0 Todistus. Todistamme tulosen ainoastaan siinä erioistapausessa, että molemmat sarjat ovat positiivitermisiä. Tällöin pätee aiilla n N ( n ) ( n ) (3.06) c b AB. =0
30 JOUNI PARKKONEN Siis Cauchyn tulo suppenee ja c = AB. Toisaalta, ( n ) ( n ) 2 (3.07) b c AB. Kosa epäyhtälöetjun (3.07) vasemman reunan termi asvaohti AB:tä, saamme (3.08) AB c AB eli c = AB. Department of Mathematics and Statistics, P.O. Box 35, 4004 University of Jyväsylä, Finland E-mail address: parone@maths.jyu.fi