Elliptisen osittaisdifferentiaaliyhtälön heikon ratkaisun säännöllisyys. Aapo Tevanlinna

Elliptisen osittaisdifferentiaaliyhtälön heikon ratkaisun säännöllisyys Aapo Tevanlinna 6. helmikuuta 2014

Tiivistelmä Elliptisillä osittaisdifferentiaaliyhtälöillä on tärkeä rooli eri ilmiöiden mallinnuksessa. Klassisesti ajatellen ilmiötä mallintavan differentiaaliyhtälön ratkaisun on vaadittu olevan klassisesti derivoituva. Tästä vaatimuksesta voidaan kuitenkin luopua. Ratkaisun kasite yleistetään L p -avaruuksien, tarkemmin Sobolev-avaruuksien, teorioiden avulla. Yleistetylle ratkaisulle käytetään nimitystä heikko ratkaisu. Luvussa 1 käsitellään Sobolev-avaruudet, jotka tarjoavat pohjan heikkojen ratkaisujen käsitteelle. Painopiste Sobolev-avaruuksien teoriassa on upotuslauseissa, joilla osoitetaan elliptisen osittaisdifferentiaaliyhtälön määrittävän operaattorin spektri diskreetiksi. Lisäksi upotuslauseita voi käyttää osoittamaan heikon ratkaisun klassinen derivoituvuus tietyissä tapauksissa. Luvussa 2 esitellään miten elliptiset osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisun käsite saadaan yleistettyä. Sen jälkeen osoitetaan Hilbert-avaruuksien teorian avulla, että heikkoja ratkaisuja on olemassa. Lopuksi tutkitaan heikkojen ratkaisujen säännöllisyyttä ja klassista derivoituvuutta riippuen annetun osttaisdifferentiaaliyhtälöprobleeman alkuasetelmista.

Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja.................................... 4 1.1 Normiavaruudet:............................ 4 1.2 Hilbert-avaruudet............................ 6 1.3 Notaatioita ja funktioavaruuksia.................... 8 I Sobolev-avaruudet 12 1 Approksimointi................................. 14 1.1 Silotukset................................ 14 1.2 Koordinaattimuunnokset........................ 17 2 Upotukset.................................... 21 2.1 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev epäyhtälö................ 24 2.2 Morreyn epäyhtälö........................... 28 2.3 Yleiset Sobolev-epäyhtälöt ja upotusten kompaktius......... 33 II Elliptiset osittaisdifferentiaaliyhtälöt 36 1 Heikot ratkaisut................................. 40 1.1 Avaruuden H 1 0() duaali........................ 41 2 Heikon ratkaisun olemassaolo......................... 43 2.1 Fredholm-alternatiivi.......................... 46 3 Heikon ratkaisun säännöllisyys......................... 50 3.1 Erotusosamäärät............................ 51 3.2 Säännöllisyys alueen sisällä..................... 53 3.3 Säännöllisyys alueen reunalla.................... 59 1

Johdanto Erinäisiä ilmiötä tutkiessa törmää usein kahteen tunnettuun osittaisdifferentiaaliyhtälöön: u = 0 (Laplace) ja u = f (Poisson). Laplace-yhtälön ratkaisut ovat harmonisia funktioita (potentiaaleja) ja niiden avulla voidaan mallintaa tarkasti erilaisten systeemien (esim. nesteen virtaus) käyttäytymisiä. Poissonin yhtälöllä on vastaavanlainen rooli, ja se ilmenee esimerkiksi Newtonin gravitaation kuvailussa. Laplacen- ja Poissonin yhtälöille on kummallekin on olemassa varsin tehokkaat menetelmät klassisen ratkaisun rakentamiselle. Mitä klassisella ratkaisulla yleensä tarkoitetaan on, että ratkaisu on yksikäsitteinen, toteuttaa annetun osittaisdifferentiaaliyhtälön ja riippuu jatkuvasti annetusta datasta. Emme tässä tutkielmassa kuitenkaan pureudu näihin klassisiin ratkaisumenetelmiin, vaan yleistämme Laplacen ja Poissonin yhtälöt olemaan osa laajempaa elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden maailmaa. Perehdymme elliptiseen (kts. Luku II määritelmiä varten) toisen kertaluvun differentiaalioraattoriin L liittyvään reuna-arvoprobleemaan { Lu = f, x (1) u = 0, x missä R n on rajoitettu alue; u on tuntematon ja f on annettu. Laplace-operaattori L = on esimerkki elliptisestä operaattorista. Yleistämme probleeman (1) ratkaisun käsitteen (toisin sanoen luovumme klassista ratkaisun vaatimuksista). Jos klassinen ratkaisu kuitenkin on olemassa, niin se on myös yleistetty 1 ratkaisu (tämä on välitön seuraus yleistetyn ratkaisun määritelmästä). Probleeman (1) asettelu viittaa siihen, että operaattoriin L: X Y koodautuu osittaisdifferentiaaliyhtälön luonne. Tässä kohtaa herää heti kysymys, mitkä funktioavaruudet sopisivat avaruuksiksi X ja Y. Heikosti derivoituvista funktioista koostuvat Sobolevavaruudet W m,p () L p () kelpaavat erityisen hyvin avaruuksiksi X ja Y. Nimenomaan elliptisten probleemien tapaukseen soveltuu tapaus p = 2, sillä W m,2 () = H m () on jopa Hilbert-avaruus. Tämä mahdollistaa tehokkaiden funktionaalianalyyttisten menetelmien käytön. Näillä menetelmillä voimme tutkia lineaarimuotoa L ja siten probleeman 1 Kirjallisuudessa ja myös tässä tutkielmassa käytetään myös ilmaisua "heikko" 2

(1) ratkeavuutta. Sobolev-avaruuksien teoria on hyvin laaja ja siksi sen läpikotainen tarkastelu on tämän tutkielman puitteissa mahdotonta. Luku I toimii lähinnä esitietolukuna. Käymme läpi vain oleellisimmat osat Sobolev-avaruuksien osalta ja sivuutamme tilan säästämiseksi aivan perustavanlaatuisimpien asioiden todistukset. Tarpeellisimpiin tuloksiin (approksimointi sileillä funktioilla ja Sobolev-upotuslauseet) paneudumme hieman tarkemmin. Tarkastelut tehdään pitäen silmällä Luvun II asiakokonaisuuksia. Luku II pyhitetään elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tarkasteluun. Palaamme probleemaan (1) ja tarkennamme, mitä oikeastaan halutaan tehdä. Määrittelemme, mitä elliptisyydellä tarkoitetaan ja formuloimme elliptiselle yhtälölle yleistetyn/heikon ratkaisun. Tutkimme, millä oletuksilla heikko ratkaisu on olemassa. Tämän jälkeen kiinnostuksen kohteena on heikon ratkaisun klassinen derivoituvuus, kun oletamme sen olemassaolon. Tämä myös päättää tutkielman aihepiirit. Seuraava esittely koostaa hieman tarkemmin tutkielman tavoitteet. Olkoon H0() 1 avaruuden C0 () sulkeuma Sobolev-avaruudessa H 1 (). Oletetaan, että probleeman (1) operaattori L = i,j (aij u xi ) xj + i bi u xi + cu on elliptinen, missä a ij, b i, c L () ja f L 2 (). Jos u C 2 ( ) on klassinen ratkaisu probleemalle (1), niin se toteuttaa yhtälön ( a ij u xi v xj + i,j=1 ) b i u xi v + cuv dx = fv dx. (2) i=1 kaikilla v C 0 (). Approksimaation avulla yhtälö (2) pätee myös Sobolev-funktiolla v H 1 0(). Saatu muoto on kuitenkin sallittu, jos onkin vain u H 1 0(). Yhtälön (2) vasen puoli on täten ilmaistavissa bilineaarimuotona B : H 1 0() H 1 0() R ja oikea puoli puolestaan on avaruuden L 2 () tavallinen sisätulo. Täten probleeman (1) heikko ratkaisu määritellään funktiona u H 1 0(), joka toteuttaa identiteetin B[u, v] = (f, v) kaikilla v H 1 0(). Koska siis käsittelemme bilineaarimuotoa B, niin heikon ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys voidaan saada välittömästi Lax-Milgramin lauseesta, jos bilineaarimuoto on rajoitettu ja koersiivinen. Yleisesti ottaen bilineaarimuoto ei ole koersiivinen, joten tilannetta pitää hieman muokata suotuisampaan suuntaan. Tässä kohtaa hyödylliseksi työkaluksi osoittautuu Fredholm-alternatiivi. Viimeinen tavoite on käsitellä heikon ratkaisun säännöllisyystulokset, jotka vastaavat luonnollisesti kysymykseen, onko heikko ratkaisu myös klassinen ratkaisu. Tässä kohtaa vastaukseen liittyy läheisesti Sobolevupotuslauseet. 3

1 Esitietoja Lukijalta oletetaan Banach- ja Hilbert-avaruuksien perusteiden osaaminen. Seuraavassa kuitenkin lyhyt esittely tarpeellisista työkaluista. Lukija voi funktionaalianalyysin perusteita varten pitää silmällä esimerkiksi lähdettä [Ru1]. Funktioavaruuksia käsittelevää teoriaa löytyy monestakin lähteestä. Hyvät perusteet funktioavaruuksien teoriaan löytyy esimerkiksi lähteistä [Ad] ja [E-E]. Notaatioissa noudatetaan pitkälti samaa linjaa kuin lähteessä [Ev]. 1.1 Normiavaruudet: Olkoon reaalikertoiminen X vektoriavaruus. Kuvaus : X [0, [ on normi, jos (i) u + v u + v, jokaisella u, v X (ii) λu = λ u jokaisella u X ja λ R (iii) u = 0 jos ja vain jos u = 0. Sanomme, että jono {u k } X suppenee pisteeseen u X, jolloin merkitään (u k u), jos u k u 0. Jono {u k } on Cauchy-jono, jos u k u l 0, kun k, l. Jos avaruuden X jokainen Cauchy-jono suppenee, niin avaruus X on täydellinen eli Banachavaruus. Avaruus X on separoituva, jos se sisältää numeroituvan tiheän osajoukon. Lineaarioperaattorit: Olkoot X, Y reaalikertoimisia normiavaruuksia. Kuvaus L: X Y lineaarinen operaattori, jos L(λu + µv) = λlu + µlv, λ, µ R; u, v X. Lineaarista operaattoria I : X Y, Ix = x, kutsutaan identiteettioperaattoriksi. Operaattoriin L liittyy aina kaksi tärkeää aliavaruutta 2 Operaattori L on jatkuva/rajoitettu, jos R(L) = {Lx : x X}; N (L) = {x X : Lx = 0}. L := sup{ Lu : u 1} <. Jos L 1, L 2 : X X ovat rajoitettuja ja λ R, niin tulo summa L 1 + L 2, skaalaus λl 1 ja tulo L 1 L 2 : X X ja ovat myös rajoitettuja. 2 R tulee sanasta "range"ja N sanasta "null". Suomenkielisessä kirjallisuudessa edelliset tunnetaan kuvana ja ytimenä. 4

Kompaktit operaattorit: Kun X ja Y ovat normiavaruuksia, niin lineaarinen operaattori K : X Y on kompakti, jos avaruuden X rajoitetuilla jonoilla on joukossa Y suppeneva osajono. Kompakti operaattori on aina rajoitettu, mutta käänteinen ei välttämättä päde, jos Y ei ole äärellisulotteinen. Lause (Fredholm-alternatiivi normiavaruuksissa). Jos K : X X on kompakti, niin joko (i) yhtälöllä x Kx = 0 on epätriviaali ratkaisu x 0 tai (ii) jokaiselle y on yhtälöllä x Kx = y yksikäsitteinen ratkaisu x. Tapauksessa (ii) käänteisoperaattori (I K) 1 on siis olemassa ja se on myös rajoitettu. Edellisen Lauseen seurauksena saadaan tietoa kompaktin operaattorin K spektraalikäyttäytymisestä. Lukua λ R kutsutaan K:n ominaisarvoksi, jos on olemassa sellainen x 0, että Kx = λx. Tällöin vektoria x kutsutaan ominaisvektoriksi. On selvää, että operaattorin K eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Jos λ 0 ei ole K:n ominaisarvo, niin silloin Resolventti R λ = (λi K) 1 on hyvin määritelty ja rajoitettu kuvaus X X. Pätee myös seuraava. Lause. Jos K : X X on kompakti operaattori, niin sen ominaisarvojen joukko Σ on numeroituva ja sillä on kasautumispisteenään korkeintaan luku 0. Lisäksi ominaisarvoon λ Σ liittyvä avaruus N (λi K) on äärellisulotteinen. Duaalit ja adjungaatit: Normivaruuden X duaali X on rajoitettujen lineaaristen kuvausten (funktionaalien) f : X R kokoelma. Käytämme funktionaalien arvoille merkintää f, x = f(x), x X. Avaruuden X biduaali on avaruuden X toinen duaali (X ). Kuvaus J : X (X ) määriteltynä ehdolla Jx(f) = f(x) on normin säilyttävä, lineaarinen ja injektiivinen. Jos X = (X ), niin silloin X on refleksiivinen. Olkoon sitten X ja Y normiavaruuksia ja L: X Y rajoitettu lineaarinen operaattori. Operaattorin L adjungaatti on rajoitettu operaattori L : Y X, joka määritellään ehdolla L f, x = (L f)(x) = f(lx) = f, Lx, f Y, x X. 5

Käytetään merkintöjä R, N, R, N operaattoreiden L ja L vastaaville kuville ja ytimille. Seuraavat relaatiot pätevät, jos R on suljettu. R = N = {y Y : g(y) = 0 kaikilla g N }, R = N = {f X : f(x) = 0 kaikilla x N }. Jos operaattori L on kompakti, niin silloin myös sen adjungaatti on kompakti. Jos X on täydellinen ja K : X X on kompakti, niin Fredholm-alternatiivin tapauksessa (i) yhtälöllä x Kx = y on ratkaisu, jos ja vain jos g(y) = 0 kaikilla g X, jotka toteuttavat yhtälön K g = g. 1.2 Hilbert-avaruudet Olkoon sitten H reaalikertoiminen vektoriavaruus. Kuvaus (, ): H H R on sisätulo, jos (i) (u, v) = (v, u) jokaisella u, v H (ii) kuvaus u (u, v) on lineaarinen jokaisella v H (iii) (u, u) 0 kaikilla u H (iv) (u, u) = 0 jos ja vain jos u = 0 Sisätulo määrää normin ehdolla u = (u, u) 1/2. Avaruus H on Hilbert-avaruus, jos se on täydellinen sisätulon määräämän normin suhteen. Suoraan sisätulon määritelmästä saadaan myös Schwartzin epäyhtälö (u, v) u v Vektorit u, v H ovat ortogonaaliset, jos (u, v) = 0. Jos S on H:n aliavaruus, niin sen ortogonaalikomplementti on joukko S = {u H : (u, v) = 0 kaikilla u S}. Ortogonaalikomplementti on aina suljettu. Hilbert-avaruuksien tapauksessa duaali H on karakterisoitavissa sisätulon avulla. Tämä on seuraus Riezin esityslausesta: Lause. Jos f on Hilbert-avaruuden H rajoitettu lineaarifunktionaali, niin on olemassa yksikäsitteinen u H, että f, v = f(v) = (u, v) kaikilla v H. Lisäksi f = u. Sanomme, että muoto B : H H R on bilineaarinen, jos kaikilla u, v H ja λ R pätee (i)b[u + v, w] = B[u, w] + B[v, w]; (ii)b[u, v + w] = B[u, v] + B[u, w] ja (iii)b[λu, v] = λb[u, v] = B[u, λv]. Tällaiset muodot ovat erittäin hyödyllisiä, mikä käy ilmi Lax-Milgramin lauseesta: 6

Lause. Olkoon H Hilbert-avaruus. Olkoon bilineaarimuoto B : H H R on rajoitettu ja koersiivinen, eli on olemassa α, β > 0, joille B[u, v] α u v, u, v H ja β u 2 B[u, u], u H. Oletetaan vielä, että f on avaruuden H rajoitettu lineaarifunktionaali. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen u H, että kaikilla v H. B[u, v] = f, v Fredholm-alternatiivi Hilbert-avaruuksissa: Hilbert-avaruuksien tapauksessa rajoitetun operaattorin L: H H adjungaatti L määritellään ehdolla (L u, v) = (u, Lv), u, v H. Tällöin L = L ja lisäksi, jos L on kompakti, niin myös L on kompakti. On myös osoitettavissa, että operaattorin L kuvan R sulkeuma on sama kuin adjungaatin L ytimen ortogonaalikomplementti. Täten Hilbert-avaruuksien tapauksissa Fredholm-alternatiiviksi saadaan seuraavaa: Lause. Olkoon H Hilbert-avaruus ja K : H H kompakti. Tällöin on olemassa numeroituva joukko Σ R, kasautumispisteenään korkeintaan piste λ = 0, että pätee seuraavaa: Jos λ 0 ja λ / Σ, niin yhtälöillä λu Ku = v, λu K u = v on yksikäsitteiset ratkaisut u H jokaiselle v H; lisäksi käänteiskuvaukset (λi K) 1, (λi K ) 1 ovat rajoitettuja. Jos λ Σ, niin kuvausten λi K ja λi K ytimien dimensiot ovat positiiviset; lisäksi yhtälö λu Ku = v on ratkeava, jos ja vain jos v on ortogonaalinen kuvauksen λi K ytimen kanssa ja vastaavasti λu K u = v on ratkeava, jos ja vain jos v on ortogonaalinen kuvaukset λi K ytimen kanssa. 7

Heikko konvergenssi: Normiavaruuden X jono {u n } suppenee heikosti kohti alkiota u X, jos u, u n u, u kaikilla u X. Riezin esityslauseesta seuraaa, että Hilbert-avaruudessa H jono u n u heikosti, jos (u n, v) (u, v) kaikilla v H. Pätee myös seuraava: Lause. Refleksiivisten Banach-avaruuksien rajoitetulla jonolla on heikosti suppeneva osajono. Erityisesti tämä pätee Hilbert-avaruuksissa. 1.3 Notaatioita ja funktioavaruuksia Jos x R n, niin merkitään x = (x 1,..., x n ) ja yksikkövektoreille käytetään merkintää e i = (0,..., 1,..., 0). Merkinnällä x tarkoitamme tavallista Euklidista normia. Avaruuden R n x-keskistä, r-säteistä avointa kuulaa merkitsemme B(x, r) ja suljettua kuulaa B(x, r). Pisteen x R n etäisyyttä joukosta U R n merkitään dist(x, U) = inf{ x y : y U}. Käytämme myös merkintää R+ n = {x R n : x n > 0}. Avaruuden R n avoimia joukkoja merkitään tyypillisesti symboleilla U, V ja W. Joukon U R n sulkeumaa merkitään Ū ja reunaa merkitään U. Joukko V sisältyy kompaktisti joukkoon U, jos V V U ja V on kompakti ja merkitsemme tällöin V U. Symboli varataan funktioavaruuksien määrittelyalueeksi. Jos f : R on kuvaus, niin sen osittaisderivaatoille käytetään merkintöjä j f ja f xj, joista jälkimmäinen on käytännöllisempi. Funktion gradientille käytetään merkintää f = ( 1 f,..., n f). Kuvauksen f kantajalla tarkoitamme joukkoa spt(f) = {x : f(x) 0}. Kun n N, niin multi-indeksi α on on vektori α = (α 1,..., α n ), missä kukin α k on epänegatiivinen kokonaisluku. Multi-indeksin α kertaluku on α = n k=1 α k. Multi-indeksien summa α + β = (α 1 + β 1,..., α n + β n ). Merkitsemme lisäksi α! = n k=1 α k!. Symbolilla D α merkitsemme n:n muuttujan funktioon operoivaa osittaisdifferentiaalioperaattoria D α := ( x 1 ) α 1 ( x 2 ) α2 ( x n ) αn = Jatkuvien funktioiden avaruudet: α x α. 1 1 x αn Kun k N, niin vektoriavaruus C k () koostuu niistä funktioista f : R, joilla D α f on olemassa ja on jatkuva kaikilla α k. Avaruus C k ( ) määritellään vaatimalla edellisen derivoituvuusehdon lisäksi tasainen jatkuvuus kaikissa :n rajoitetuissa osajoukoissa. Avaruuden C k ( ) voi ajatella koostuvan niistä funktioista f ja derivaatoista D α f, jotka 8 n

voidaan jatkuvasti jatkaa joukolle. Tapauksessa k = 0 jätämme yläindeksin 0 merkitsemättä. Määrittelemme myös C () = C k (), C ( ) = k=0 Avaruudet C k ( ) varustetaan sup-normilla jolloin niistä tulee täydellisiä. Hölder-avaruudet: u C k ( ) = max sup α k x D α u(x), C k ( ) Olkoon 0 < γ 1. Avaruus C 0,γ () koostuu niistä jatkuvista funktiosta, jotka toteuttavat lokaalin Hölder-ehdon :ssa; u C 0,γ (), jos ja vain jos kaikilla U on olemassa vakio M > 0, jolle u(x) u(y) M x y γ, x, y U. (3) Erikoistapaus γ = 1 tunnetaan paremmin Lipschitz-ehtona. Merkitsemme C k,γ () = {u C k () : D α u C 0,γ (), α = k}. Määritellään myös joka on täydellinen, kun normina on u C k,γ ( ) := missä k=0 C k,γ ( ) = {u C k ( ) : D α u C 0,γ ( ), α = k}, α k D α u C( ) + [D α u] C 0,γ ( ) (4) α =k D α u C( ) := sup D α u(x), [D α u] C 0,γ ( ) := sup x x,y x y { D α u(x) D α u(y) x y γ Jatkuvien funktioiden avaruuksien ja Hölder-avaruuksien keskinäiset sisältyvyydet ovat seuraavat: Lause. Olkoon k N ja 0 < ν < γ 1. Tällöin (i) C k+1 ( ) C k ( ); (ii) C k,γ ( ) C k,ν ( ) C k ( ) 9 }.

Jos on rajoitettu, niin upotukset (ii) ovat kompakteja. Jos on konveksi, niin silloin (iii) C k+1 ( ) C k,1 ( ); (iv) C k+1 ( ) C k,ν ( ). Lopuksi, jos on rajoitettu ja konveksi, niin upotukset (i) ja (iv) ovat kompakteja. Upotuksella tässä yhteydessä tarkoitamme inkluusiokuvausta. L p -avaruudet: Avaruus L p (), 1 p < on täydellinen normiavaruus, joka koostuu joukossa määritellyistä mitallisista p-integroituvista funktioista, joilla ( ) 1 u L p () = u p p dx <. Jos u on vektoriarvoinen funktio, niin u tarkoittaa edellisessä tavallista Euklidista normia. Jos p =, niin L (), normina u L () = ess sup u, on oleellisesti rajoitettujen funktioiden muodostama täydellinen avaruus. Käytämme joukon U Lebesgue mitalle merkintää U = χ U(x) dx, missä χ on joukon U karakteristinen funktio. Avaruuden R n kuulan mitta on B = πn/2, missä Γ( n 2 +1)Rn Γ on Eulerin gammafunktio. Avaruuden R n yksikköpallon pinnan alaa merkitään ω n. Tärkeä työkalu on Hölderin epäyhtälö: Jos 1 p, q ja 1/p+1/q = 1 ja u L p (), v L q (), niin uv L 1 () ja ( uv L 1 () u p dx ) 1 p ( ) 1 v q q dx = u L p () v L q (). (5) Yleisemmin, jos 1/p 1 + + 1/p m = 1 ja u 1,..., u m kuuluvat vastaaviin avaruuksiin L p 1 (),..., L pm (), niin m k=1 u k L 1 () ja m m u k L 1 () u k L p k (). (6) k=1 Avaruus L p () on separoituva, kun p <. Avaruuden L p () duaali on isomorfinen avaruuden L q () kanssa, mikäli 1/p + 1/q = 1. Siten L p () on refleksiivinen, kun 1 < p <. Erityisasemassa on avaruus L 2 (), joka on Hilbert-avaruus sisätulolla (u, v) L 2 () = uv dx. 10 k=1

Lokaalisti p-integroituvien funktioiden avaruutta merkitään L p loc () ja funktio u Lp loc (), jos u L p ( ) kaikilla. Vaikka lokaali avaruus ei ole normiavaruus, on se kuitenkin topologinen avaruus: Jono {u m } m=1 suppenee avaruudessa L p loc () funktioon u, jos {u m } m=1 suppenee funktioon u jokaisessa L p ( ),. 11

I Sobolev-avaruudet Aloitamme Sobolev-avaruuksiin tutustumisen käymällä lyhyesti läpi heikkojen derivaattojen teoriaa. Sobolev-avaruuksien karakterisointi sileillä funktioilla on tärkeässä roolissa jatkossa, joten keskitymme siihen hieman tarkemmin. Luvun I asiat viimeistellään Sobolev-upotuslauseilla, joilla on merkittävä rooli differentiaaliyhtälöitä tutkiessa. Heikot derivaatat ja avaruudet W m,p () Olkoon R n avoin sekä u L 1 loc () ja α multi-indeksi. Funktio v L1 loc () on funktion u α:s heikko osittaisderivaatta, jos kaikilla ϕ C0 () pätee ud α ϕ dx = ( 1) α vϕ dx. (1) Kirjoitamme tällöin D α u = v. Määritelmästä seuraa välittömästi, että D α u on määritelty nollamittaista joukkoa vaille yksikäsitteisesti. Kutsumme funktiota u heikosti derivoituvaksi, jos kaikki ensimmäisen kertaluvun heikot derivaatat ovat olemassa. Yleisemmin funktio on m kertaa heikosti derivoituva, jos aina kertalukuun m asti heikot osittaisderivaatat ovat olemassa. Koska klassisessa mielessä derivoituvat funktiot toteuttavat osittaisintegrointikaavan (1), niin kyseessä on derivoituvuuden yleistys. Merkitsemme W m () = {u : on olemassa D α u, α m}. Kun u, v W m (), λ, µ R ja ϕ C0 (), niin (λu + µv)d α ϕ dx = λ ud α ϕ dx + µ vd α ϕ dx = ( 1) α λ(d α u)ϕ dx + ( 1) α µ(d α v)ϕ dx = ( 1) α (D α (λu + µv)) ϕ dx, Siispä heikosti derivoituvat funktiot muodostavat lineaarisen avaruuden. 12

13 Määritelmä I.1. Olkoon 1 p ja m N. Heikosti derivoituvista funktiosta koostuva lineaarinen avaruus on Sobolev-avaruus. W m,p () = {u L p () : D α u L p () kaikilla α m}, Heikkojen derivaattojen perusominaisuudet koostetaan seuraavalla lauseella. Lause I.2. Oletetaan, että u, v W m,p () ja α m. Tällöin i) D α u W m α,p (); ii) D β (D α u) = D α (D β u) = D α+β u, kun α + β m; iii) Jos ζ C0 ), niin ζu W m,p () ja D α (ζu) = ( ) α D β ζd α β u, (2) β β α missä ( ) α β = α! = ( α 1 ) ( β!(α β)! β 1 αn ) β n on binomikertoimien tulo. Todistus ei ole vaikea ja se löytyy esimerkiksi lähteestä [Ev] 5.2.3 Theorem 1. Yhtälö (2) tunnetaan Leibnizin derivoimissääntönä. Määritelmä I.3. Sobolev-avaruuden normi määritellään ehdolla ( 1/p u W m,p () = 0 α m Dα u dx) p, 1 p α m ess sup Dα u, p =. Lause I.4. Sobolev-avaruus W m,p () on Banach-avaruus kaikilla m = 1,... ja 1 p. Tämän toditus löytyy esimerkiksi lähteestä [Ev] 5.2.3 Theorem 2. Samaistamme tavalliseen tapaan avaruuden W m,p () funktiot, jotka yhtyvät melkein kaikilla x. Normin määritelmästä seuraa välittömästi, että W m,p () W m,p (U), kun U on avoin. Lokaalit Sobolev-avaruudet W m,p loc () määritellään koostumaan funktioista u, joilla u W m,p ( ) kaikilla. Jonojen suppeneminen Sobolev-avaruuksissa määritellään kuten tavallisesti: Jos {u n } n=1 on jono avaruudessa W m,p (), niin se suppenee kohti funktiota u W m,p (), jos u n u W m,p () 0.

14 LUKU I. SOBOLEV-AVARUUDET Vastaavasti suppeneminen lokaalissa avaruudessa W m,p loc () tarkoittaa, että jokaisella pätee u n u W m,p ( ) 0. Eräs tärkeä Banach-avaruus saadaan, kun otetaan avaruuden C0 () sulkeuma Sobolevavaruudessa W m,p (), ja tätä avaruutta merkitään W m,p 0 (). Avaruudet W m,p 0 () ja W m,p () eivät ole samat rajoitetuilla. Tämä perustuu huomioon, että avaruuden W m,p 0 () voi tulkita koostuvan funktioista u W m,p (), joilla D α u = 0 reunalla, kun α m 1. Notaatio: Kun p = 2, niin tyypillisesti merkitään W m,2 () = H m () ja W m,2 0 () = H0 m (), sillä nämä ovat Hilbert-avaruuksia sisätulolla (u, v) = D α ud α v dx. (3) α m Lisää avaruuksien W m,p () ja W m,p 0 () funktionaalianalyyttisiä ominaisuuksia saadaan tutkimalla niiden luonnollista upotusta tuloavaruuteen, joka on avaruuden L p () N m kertainen tulo, missä N m on ehdon α m toteuttavien multi-indeksien lukumäärä. Tärkeimmät tulokset ovat separoituvuus, kun 1 p < ja refleksiivisyys, kun 1 < p <. Emme paneudu näihin yksityiskohtiin. 1 Approksimointi Tässä osiossa osoitamme, että annettua Sobolev-avaruuden funktiota pystyy approksimoimaan sileillä funktioilla. Tämä toimii myös vaihtoehtoisena karakterisointina Sobolevavaruuksille. Hyöty on seuraava: voimme jatkossa rajoittua osoittamaan väitteet ensin helpommissa, sileiden funktioiden tapauksissa, jolloin väitteet yleiselle Sobolev-funktiolle seuraa karakterisoinnista. 1.1 Silotukset Approksimaatiotulokset osoitetaan silotuksien avulla. Standardi silottaja on epänegatiivinen funktio η C (R n ), jolle η(x) = C exp(1/( x 2 1)), kun x < 1; η = 0, kun x 1; ja C on valittu niin, että R n η dx = 1. Kun ε > 0, niin asetamme η ε (x) := 1 ε n η(x ε ).

1. APPROKSIMOINTI 15 Funktiot η ε kuuluvat avaruuteen C0 (R n ) ja niille pätee η R n ε dx = 1 sekä spt(η ε ) B(0, ε). Jos R n ja u L 1 loc (), niin funktion u silotus määritellään konvoluutiona u ε (x) = η ε (x y)u(y) dy joka on hyvin määritelty, kun x ε := {x : dist(x, ) > ε}. Silotuksille pätee paljon hyviä ominaisuuksia, jotka seuraava lause koostaa. Lause I.5. Silotuksille pätee: (i) u ε C ( ε ). (ii) u ε u pisteittäin m.k. x, kun ε 0. (iii) Jos u C(), niin u ε u tasaisesti jokaisessa :n kompaktissa osajoukossa (iv) Jos 1 p < ja u L p loc (), niin uε u avaruudessa L p loc (). Sivuutamme todistukset; viitteenä annettakoon [Ev] Appendix C.5. Aloitamme approksimaatiotulosten rakentamisen seuraavalla lemmalla: Lemma I.6. Olkoon ε > 0 ja η ε silottaja. Olkoon u L 1 loc () ja oletetaan, että Dα u on olemassa. Tällöin, jos x ε, niin D α u ε (x) = D α (η ε u)(x) = η ε (D α u)(x). Todistus. Koska u ε C ( ε ), niin, kun x ε, pätee D α u ε (x) = D α η ε (x y)u(y) dy = Dx α η ε (x y)u(y) dy = ( 1) α Dy α η ε (x y)u(y) dy, missä derivoinnin alaindeksöinnillä korostettiin, minkä muuttujan suhteen derivointi suoritettiin. Kiinteällä x ε funktio ψ(y) := η ε (x y) kuuluu avaruuteen C0 (), jolloin heikon derivaatan määritelmästä seuraa Dy α η ε (x y)u(y) dy = ( 1) α η ε (x y)d α u(y) dy. Näin ollen D α u ε (x) = ( 1) α + α η ε (x y)d α u(y) dy = [η ε D α u](x), x ε. (4)

16 LUKU I. SOBOLEV-AVARUUDET Edellisen Lemman seurauksena saadaan välittömästi ensimmäinen approksimaatiotulos: Lause I.7. Olkoon u W m,p (), 1 p <. Tällöin u ε u avaruudessa W m,p loc (), kun ε 0. Todistus. Lemman I.6 nojalla D α u ε = η ε (D α u), kun x ε ja α m. Olkoon U on avoin ja U. Nyt silotuksien ominaisuuksien I.5 nojalla D α u ε D α u avaruudessa L p (U) kaikilla α m. Tästä seuraakin, että u ε u p W m,p (U) = ja siten u ε u avaruudessa W m,p loc (). α m D α u ε D α u p L p (U) 0, Osoitetaan seuraaksi, että vastaavanlainen tiheystulos on mahdollinen myös avaruudessa W m,p (), kun on rajoitettu. Lause I.8. Oletetaan, että on rajoitettu, 1 p <. Tällöin C () W m,p () on tiheä avaruudessa W m,p (). Todistus. Jokaiselle i N määritellään i := {x dist(x, ) > 1/i}. Tällöin i=1 i = ja asetetaan U i := i+3 \ i+1. Valitaan vielä avoin joukko U 0 niin, että U 0 ja = i=0 U i. Olkoon {ζ i } i=0 sileä ykkösen hajotelma ([E-E] V:1.10 tai [Ad] 3.14) avoimille joukoille U i : { 0 ζi 1, ζ i C 0 (U i ) i=0 ζ i = 1, x. Jos u W m,p (), niin tällöin lauseen I.2 nojalla ζ i u W m,p () ja tämän kantajalle pätee spt(ζ i u) U i. Olkoon δ > 0 ja valitaan luvut ε i > 0 niin pieneksi, että funktioille u i := η εi (ζ i u) pätee joukoilla V i := i+4 \ i U i. { u i ζ i u W m,p () δ/2 i+1 (i = 0, 1,...) spt(u i ) V i (i = 1,...)

1. APPROKSIMOINTI 17 Asetetaan v := i=0 ui. Funktio v C (), sillä jokaisella avoimella U summassa on korkeitaan äärellinen määrä nollasta poikkeavia termejä. Koska u = i=0 ζ iu, niin jokaisella U pätee v u W m,p (U) = (u i ζ i u) W m,p () i=0 u i ζ i u W m,p () δ i=0 i=0 1 = δ. 2i+1 Koska tämä päti vapaasti valitulle joukolle U, niin v u W m,p () δ, jolloin väite on todistettu. 1.2 Koordinaattimuunnokset Käsittelemme jatkossa lähinnä joukkoja, joiden reunat ovat säännöllisiä. Säännöllisten reunojen tapaukseen löytyy kätevät koordinaattimuunnosmenetelmät. Tutustutaan seuraavaksi niihin. Olkoon Φ bijektiivinen kuvaus joukolta R n toiselle joukolle R n. Merkitään tämän muunnoksen käänteiskuvausta Ψ = Φ 1. Kirjoitetaan lisäksi y = Φ(x) = (Φ 1 (x),..., Φ n (x)) ja x = Ψ(y) = (Ψ 1 (y),..., Ψ n (y)). Sanomme, että muunnos Φ on k- säännöllinen mikäli koordinaattikuvaukset Φ i ja Ψ i kuuluvat vastaaviin avaruuksiin C k ( ) ja C k ( ). Jos u on :ssa määritelty mitallinen kuvaus, niin voimme määritellä :ssä mitallisen kuvauksen Au asettamalla Au(y) = u(ψ(y)). (5) Oletetaan, että Φ on 1-säännöllinen. Tälloin on olemassa vakiot C 1, C 2, että kaikilla x C 1 det Φ C 2, missä Φ on Jakobiaanimatriisi. Koska C () on tiheä avaruudessa L p (), niin kaavan (5) määrittelemä operaattori A muuntaa avaruuden L p () rajoitetusti avaruudeksi L p ( ) ja operaattorilla A on rajoitettu käänteismuunnos A 1. Vastaava tulos pätee myös Sobolevavaruuksille ja käsitellään se seuraavaksi. Lause I.9. Olkoon Φ m-säännöllinen muunnos joukolta joukolle D ja operaattori A kuten kaavassa (5). Tällöin A muuntaa avaruuden W m,p () rajoitetusti avaruudeksi W m,p ( ) ja käänteismuunnos on myös rajoitettu.

18 LUKU I. SOBOLEV-AVARUUDET Todistus. Olkoon u W m,p () Lauseen I.8 nojalla on olemassa jono u j C (), jolla u j u avaruudessa W m,p (). Jos α m, niin näille u j pätee tavallisen ketjusäännön ja tulon derivointisäännön nojalla D α (Au j )(y) = β α M αβ A(D β u j )(y), (6) missä M αβ on polynomi, joka koostuu Ψ:n komponenttien derivaatioista. Olkoon sitten v C 0 (D), jolloin osittaisintegroimalla saadaan ( 1) α (Au j )(y)d α v(y) dy = β α A(D β u j )(y)m αβ (y)v(y) dy. (7) Koska y = Φ(x), niin voimme yhtä hyvin kirjoittaa edellisen integraaleina yli joukon : ( 1) α u j (x)(d α v)(φ(x)) det Φ (x) dx = D β u j (x)m αβ (Φ(x))v(Φ(x)) det Φ (x) dx. β α Koska D β u j D β u, β m, avaruudessa L p (), niin annetaan j yhtälössä (8). Tämä puolestaan antaa yhtälön (7), missä u j korvautuu nyt u:lla. Täten (6) pätee heikon derivaatan mielessä, mille tahansa u W m,p (). Lopuksi ( p ( ) D α (Au)(y) p dy 1) max sup M αβ (D β u) (Ψ(y)) p dy β α y β α C max (D β u)(x) p dx, β α josta seuraa toivottu normiepäyhtälö (8) Au W m,p ( ) C u W m,p () Käänteinen suunta menee vastaavasti käyttäen operaattoria A 1. Jätämme jatkossa merkitsemättä operaattorin A.

1. APPROKSIMOINTI 19 Määritelmä I.10. Avoimen ja rajoitetun joukon R n reuna on C k -luokan reuna, jos jokaiselle pisteelle x 0 on olemassa r > 0 ja funktio γ C k (R n 1 ), että B(x 0, r) = {x B(x 0, r) x n > γ(x 1,..., x n 1 )}. Vastaavasti on luokkaa C, jos se on luokkaa C k kaikilla k N. Uudelleennimeten koordinaattiakselit voi aina olettaa vertailun tapahtuvan viimeisessä koordinaatissa. Käytämme jatkossa lyhyempää ilmaisua "reuna on C k ". Tarvitsemme jatkossa ainostaan seuraavia koordinaattimuunnoksia, joita käytetään joukon reunan suoristamiseen. Jos x B(x 0, r), niin asetetaan { yi = x i := Φ i (x) (i = 1,..., n 1) y n = x n γ(x 1,..., x n 1 ) =: Φ n (x), (9) ja kirjoitetaan y = Φ(x). Vastaavasti joukossa Φ( B(x 0, r)) määritellään { xi = y i := Ψ i (y) (i = 1,..., n 1) x n = y n + γ(y 1,..., y n 1 ) =: Ψ n (y), (10) ja kirjoitetaan x = Ψ(y). Näiden muunnoksien Jakobiaaneille pätee 1, i = j (Φ (x)) ij = γ xj (x 1,..., x n 1 ), 1 j < n, i = n 0 muuten ja 1, i = j (Ψ (y)) ij = +γ xj (x 1,..., x n 1 ), 1 j < n, i = n 0 muuten, missä on käytetty tavallista matriisinotaatiota. Selvästi Φ = (Ψ) 1 sekä niiden determinanteille det(φ ) = det(ψ ) = 1. y-koordinaateissa reuna on "suoristettu" ja on tason {y n = 0} osajoukko. Approksimaatiotulokset viimeistellään seuraavalla lauseella. Lause I.11. Oletetaan, että R n on rajoitettu ja että reuna on C 1. Tällöin C ( ) on tiheä avaruudessa W m,p (), 1 p <.

20 LUKU I. SOBOLEV-AVARUUDET Todistus. Kiinnitetään ensin piste x 0. Koska reuna on C 1, niin on olemassa r > 0 ja C 1 -funktio γ : R n 1 R, jolle B(x 0, r) = {x B(x 0, r) x n > γ(x 1,..., x n 1 )}. Määritellään U = B(x 0, r/2) ja olkoon x U. Olkoon λ > 1, ja määritellään pisteen x translaatti x ε ehdolla x ε = x + λεe n, ε > 0. Nyt pienille ε > 0 joukko B(x ε, ε) sisältyy joukkoon B(x 0, r) kaikilla x U. Oletetaan sitten, että u W m,p (). Määritellään joukossa U funktion u translaatio u ε asettamalla u ε (x) = u(x ε ). Translaatiota voidaan silottaa joukon sisällä. Olkoon η ε silottaja ja määritellään funktion u ε silotus v ε := η ε u ε. Tällöin v ε C (Ū). Olkoon α multi-indeksi, α m. Nyt kolmioepäyhtälön nojalla D α v ε D α u L p (U) D α v ε D α u ε L p (U) + D α u ε D α u L p (U). Oikean puolen termeistä jälkimmäinen suppenee nollaan, kun ε viedään nollaan, koska translaatio on jatkuva L p normissa; Ensimmäisen termi suppenee nollaan samalla perusteella kuin lauseen I.7 todistuksessa. Täten v ε u W m,p (U) v ε u ε W m,p (U) + u ε u W m,p (U) 0, kun ε 0 ja siten v ε u avaruudessa W m,p (U). Olkoon δ > 0. Koska on kompakti, niin on olemassa äärellisen määrä pisteitä x 0 i ja säteitä r i > 0, sekä niitä vastaavat joukot U i = B(x 0 i, r i /2) ja äskeisen konstruktion nojalla funktiot v i C (Ūi), joille { N i=1 B(x i, r i /2) (11) v i u W m,p (U i ) δ. Valitaan vielä avoin joukko U 0 siten, että N i=0 U i ja valitaan Lauseen I.7 antama funktio v 0 C (Ū0), jolle v 0 u W m,p (U 0 ) δ. (12)

2. UPOTUKSET 21 Olkoon {ζ i } N i=0 ykkösen hajotelma avoimille joukoille {U 0, B(x 0 i, r i /2)}. Määritellään funktio v = N i=0 ζ iv i. Silloin v C ( ). Koska u = N i=0 ζ iu, niin heikkojen derivaattojen ominaisuuksien (Lause I.2) ja kohtien (11), (12) nojalla jokaisella multi-indeksillä α m voimme arvioida N N D α v D α u L p () = D α ( ζ i v i ) D α ( ζ i u) L p () C C i=0 i=0 N D α (ζ i v i ) D α (ζ i u) L p (U i ) = i=0 N i=0 β α N D α (ζ i (v i u) L p (U i ) i=0 ( ) α D β ζ i D α β (v i u) L β p (U i ) N D α β (v i u) L p (U i ) i=0 β α N v i u W m,p (U i ) = CNδ, i=0 missä C on yhdistelmä funktioiden D β ζ i sup-normeista ja multi-indeksien binomikertoimista. Tämä viimeistelee todistuksen, sillä saamme luvusta δ riippuvan ylärajan Sobolevnormille v u W m,p (). 2 Upotukset Keskitymme seuraavaksi Sobolev-avaruuksien luonnollisiin upotuksiin toisiin funktioavaruuksiin. Upotukset ovat inkluusiokuvauksia ja ne saadaan normiepäyhtälöinä, jotka tunnetaan Sobolev-tyypin epäyhtälöinä. Jaamme aiheen tarkemman tarkastelun lukujen n ja p suhteen seuraavasti: (i) Tapaus 1 p < n: Gagliardo-Nirenberg-Sobolev epäyhtälö (ii) Tapaus n < p < : Morreyn epäyhtälö Erikoistapausta n = p ei käsitellä. Tähän erikoistapaukseen liittyy n.k. Orlicz-avaruudet. Referenssinä annettakoon [E-E] s.239. Tyydymme käsittelemään vain C 1 -luokan reunojen tapausta, vaikka upotukset ovat mahdollisia myös epäsäännöllisemmilläkin reunaluokilla. Lähde [Ad] on varsin kattava muiden yleisempien upotuslauseiden puolesta. Aloitamme yksinkertaisella ekstensiotuloksella.

22 LUKU I. SOBOLEV-AVARUUDET Lause I.12 (Ekstensiolause). Olkoon rajoitettu, ja sen reuna on C 1. Olkoon U sellainen avoin ja rajoitettu joukko, että U. Tällöin on olemassa rajoitettu lineaarinen operaattori E : W 1,p () W 1,p (R n ), 1 p <, jolle kaikilla u W 1,p (): (i) Eu = u melkein kaikilla x (ii) spt(eu) U (iii) Eu W 1,p (R n ) C u W 1,p (), missä vakio C = C(p,, U). Todistus. Olkoon x 0 ja oletetaan väliaikaisesti, että on tasainen jossain pisteen x 0 ympäristössä ja on tason {x n = 0} osajoukko. Tällöin voi olettaa, että on olemassa avoin kuula B := B(x 0, r), jolle { B + = B {x n 0} B = B {x n 0} R n (13) \. Oletetaan lisäksi väliaikaisesti, että u C 1 ( ). Heijastetaan funktio u joukolta B + joukolle B asettamalla { u(x), x B + ū(x) = 3u(x 1,..., x n 1, x n ) + 4u(x 1,..., x n 1, xn ), x 2 B Määritellään rajoittumafunktiot u = ū B nojalla ja u + = ū B +. Tällöin funktion ū määrittelyn u (x) = 3 u (x 1,..., x n 1, x n ) 2 u (x 1,..., x n 1, x n x n x n x n 2 ). Siten derivaattojen rajoittumille joukkoon {x n = 0} pätee u x n {xn=0} = u + x n {xn=0}. Koska lisäksi u + = u tasossa {x n = 0}, niin jokaisella i = 1,..., n 1 pätee u x i {xn=0} = u + x i {xn=0}. Tason {x n = 0} ulkopuolella funktion ū derivoituvuus on selvää ja näin ollen ū C 1 (B). Lisäksi ū, ja sen derivaatat ovat rajoitettuja joukossa B, koska ne ovat rajoitettuja joukossa B +. Täten jollain vakiolla C, joka ei riipu funktiosta u. ū W 1,p (B) C u W 1,p (B + ) (14)

2. UPOTUKSET 23 Tarkastellaan seuraaksi yleistä tilannetta. Olkoon x 0. Koska reuna on C 1, niin on olemassa γ, että B(x 0, r) = {x B(x 0, r) x n > γ(x 1,..., x n 1 )}. Koordinaattimuunnokset Φ ja Ψ (9) ja (10) palauttavat tilanteen tasaisen reunan erikoistapaukseen. Kirjoitamme y = Φ(x), x = Ψ(y) ja määritellään u (y) := u(ψ(y)). Valitaan y-koordinaateissa riittävän kuula B = B(Φ(x 0 ), s), että tilanne on kuten kohdassa (13). Jatkamme funktion u joukolta B + koko kuulassa B määriteltyyn funktioon ū kuten aiemmin. Näin saadaan ū C 1 (B) ja ū W 1,p (B) C u W 1,p (B + ). Palauttamalla tilanne takaisin x-koordinaatteihin saadaan funktion u ekstensio ū joukolle U := Ψ(B) ja samalla estimaatti ū W 1,p (U) C u W 1,p (). (15) Koska on kompakti, niin voimme valita äärellisen määrän pisteitä x 0 i sekä avoimia joukkoja U i niin, että N i=1 U i. Valitaan vielä U 0, niin että N i=0 U i =: U. Olkoon {ζ i } joukkoihin U i liittyvä ykkösen hajotelma. Voimme nyt kirjoittaa ū = n i=0 ζ iū i, missä ū i ovat ekstensioita, kuten yllä ja ū 0 = u. Nyt koska spt(ū) U, niin ū W 1,p (R n ) = ū W 1,p (U) C u W 1,p (), (16) missä käytettiin estimaattia (15). Vakio C ei riipu funktiosta u. Määritellään tämän motivoimana Eu = ū. Konstruktionsa nojalla kuvaus u Eu on lineaarinen. Jos nyt u W 1,p (), niin voimme Lauseen I.11 nojalla valita jonon u m C ( ), jolle u m u avaruudessa W 1,p (). Täten E:n lineaarisuudesta ja kohdasta (16) saadaan Eu m Eu n W 1,p (R n ) C u m u n W 1,p (). Tämä puolestaan osoittaa jonon {Eu m } m=1 olevan Cauchy-jono, joten se suppenee funktioon ū =: Eu. Erityisesti tämä ei riipu approksimoivasta jonosta. Määritelmä I.13. Eu on funktion u ekstensio avaruuteen R n.

24 LUKU I. SOBOLEV-AVARUUDET 2.1 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev epäyhtälö Oletamme, että 1 p < n. Luvun p Sobolev-konjugaatti on p = np/(n p). On syytä huomata, että 1 p = 1 p 1 n, p > p. Haluamme todistaa seuraavan tuloksen: Jos 1 p < n, niin avaruus W 1,p () voidaan upottaa avaruuteen L p (), kun on avoin ja rajoitettu. Tämän todistaminen vaatii seuraavaa Gagliardo-Nirenbeg-Sobolev nimellä tunnettua epäyhtälöä. Lemma I.14 (Gagliardo-Nirenberg-Sobolev epäyhtälö). Kun 1 p < n, niin on olemassa vakio C = C(p, n), jolle kaikilla u C 1 0(R n ). u L p (R n ) C u L p (R n ) (17) Todistus. Olkoon u C 1 0(R n ). Täten jokaisella x = (x 1,..., x n ) R n pätee joten u(x) = x1 1 u(y 1, x 2,..., x n ) dy 1 = x 1 1 u(y 1, x 2,..., x n ) dy 1, 2u(x) 1 u(y 1, x 2,..., x n ) dy 1 := I 1. Sama arviointi pätee myös muiden koordinaattien suhteen, joten 2u(x) 2u(x). 2 u(x 1, y 2,..., x n ) dy 2 := I 2 n u(x 1, x 2,..., y n ) dy n := I n. Siten 2u(x) n n 1 (I1 I n ) 1 1 n 1 = I n 1 1 n i=2 I 1 n 1 i.

2. UPOTUKSET 25 Integroidaan tämä epäyhtälö muuttujan x 1 suhteen: I 1 on jo integroitu ensimmäisen muuttujan suhteen ja termiin n i=2 I i voi soveltaa yleistettyä Hölderin epäyhtälöä (u C0(R 1 n )), jolloin ( ) 1 2u(x) n n 1 n ( ) 1 n 1 n 1 dx1 1 u(x) dx 1 i u(x) dx i dx 1. Integroidaan seuraavaksi muuttujan x 2 suhteen. Nyt termi 2u(x) dx 2 dx 1 on jo integroitu toisen muuttujan suhteen ja muihin termeihin sovelletaan yleistettyä Hölderin epäyhtälöä, jolloin ( 2u(x) n n 1 dx1 dx 2 n i=3 i=2 2 u(x) dx 2 dx 1 ) 1 n 1 ( ( i u(x) dx i dx 2 dx 1 ) 1 n 1. 1 u(x) dx 1 dx 2 ) 1 n 1 Jatkamalla integrointiprosessia edelleen integrointia muuttujien x 3,..., x n suhteen saadaan lopulta n ( ) 1 2u(x) n n 1 n 1 dx i u dx, R n R n mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että i=1 u L n n 1 (R n ) 1 2 n i=1 i u 1/n L 1 (R n ) (18) Nyt aritmeettis-geometrisen epäyhtälön ja Schwarzin epäyhtälön nojalla u n 1 L n 1 (R n ) i u L 2n 1 (R n ) 1 ( ) 1/2 2 i u 2 dx n R n i=1 = 1 2 n u L 1 (R n ), mikä todistaa väitteen tapauksessa p = 1. Oletetaan seuraavaksi, että 1 < p < n. Käytämme epäyhtälöä (19) funktioon u γ, missä γ = p(n 1) n p > 1. i=1 (19)

26 LUKU I. SOBOLEV-AVARUUDET Tämä onnistuu, sillä u γ C0(R 1 n ). Tällöin siis ( ) n 1 u γn n n 1 dx 1 R 2 u γ dx = n n R n γ ( 2 n R n u (γ 1) γ 2 n ) p 1 p p p 1 dx missä viimeisessä vaiheessa sovellettiin Hölderin epäyhtälöä. Lisäksi γn p = (γ 1) n 1 p 1 = np n p = p, joten epäyhtälö (20) tulee muotoon ( ) 1 ( ) p 1 u p dx C(p, n) u p p dx, R n R n sillä n 1 n p p 1 = 1 p. u γ 1 u dx R ( n u p dx R n ) 1 p, (20) Gagliardo-Nirenberg-Sobolev epäyhtälön välittömänä seurauksena saadaan: Lause I.15. Olkoon R n avoin ja rajoitettu. Jos u W 1,p 0 (), 1 p < n, niin u L p () ja pätee missä vakio C = C(p, n, ). u L p () C u L p (), (21) Todistus. Kun u W 1,p 0 (), niin määritelmän mukaan on olemassa funktiot u i C 0 (), joille u i u avaruudessa W 1,p (). Kunkin funktion u i voi triviaalisti jatkaa koko avaruuteen R n asettamalla u i = 0, kun x R n \. Siten funktiot u i toteuttavat Gagliardo- Nirenberg-Sobolev epäyhtälön oletukset. Täten epäyhtälön (17) nojalla jono {u i } on Cauchy-jono avaruudessa L p (), joten on olemassa rajafunktio u L p (). Lisäksi jonolla {u i } on pisteittäin melkein kaikkialla suppeneva osajono, jolla u k u. Siten u = u avaruudessa L p () L p (). Erityisesti siis u L p () = u L p () = lim k u k L p () lim k C u k L p () = C u L p (), joten u L p ().

2. UPOTUKSET 27 Seuraavaksi osoitetaan upotus W 1,p () L p (), kun reunalla on säännöllisyyttä: Lause I.16. Olkoon R n avoin ja rajoitettu, ja että reuna on C 1. Jos u W 1,p (), 1 p < n, niin u L p () ja pätee missä vakio C = C(p, n, ). u L p () C u W 1,p (), (22) Todistus. Olkoon u W 1,p (). Koska reuna on C 1, niin ekstensiolauseen I.12 nojalla on olemassa funktion u ekstensio Eu = ū W 1,p (R n ), jolle ū = u m.k. x, spt(ū) on kompakti ja ū W 1,p (R n ) C u W 1,p (). (23) Lauseen I.7 nojalla on olemassa funktiot u i C 0 (R n ), i N, joille u i ū avaruudessa W 1,p (U), U R n. Koska ekstensio ū on kompaktikantajainen, niin suppeneminen tapahtuu myös avaruudessa W 1,p (R n ). Nyt Gagliardo-Nirenberg-Sobolev epäyhtälön (17) nojalla u i u j L p (R n ) C u i u j L p (R n ) kaikilla i, j 1. Siten jono {u i } on Cauchy-jono avaruudessa L p (R n ), rajanaan u. Täten on olemassa pisteittäin m.k. suppeneva osajono {u k }. Koska u = ū avaruudessa L p (R n ) L p (R n ), niin kuten edellisen lauseen todistuksessa saadaan rajankäynnillä Tämän epäyhtälön ja kohdan (23) nojalla joten u L p (). ū L p (R n ) C ū L p (R n ). u L p () ū L p (R n ) C ū L p (R n ) C u W 1,p (), Erityisesti avaruuksille W 1,p 0 () saadaan vahva tulos: Lause I.17. Kun 1 p ja on rajoitettu, niin on voimassa upotus W 1,p 0 () L p () ja u L p () C u L p (). (24)

28 LUKU I. SOBOLEV-AVARUUDET Todistus. Lähteessä [E-E] Lause V.3.22. käsitellään hieman yleisempi tapaus, johon lauseen väite sisältyy. Riittää osoittaa väite funktioille u C 1 0(). Funktiot u voi jatkaa triviaalisti nollana koko avaruuteen R n ja lisäksi voi olettaa, että sijaitsee hypertasojen x 1 = 0 ja x 1 = l välissä. Tällöin Hölderin epäyhtälön nojalla kaikilla x pätee Siten u(x) = kuten vaadittu. x1 ( l 1/p 1 u(t, x 2,..., x n ) dt 1 u(t, x 2,..., x n ) dt) p l 1/p. l u(x) p dx l p 1 u(t, x 2,..., x n ) p dt C 0 0 u(x) p dx Huomautus: Epäyhtälö (24) osoittaa myös, että avaruudessa W 1,p 0 () tavallinen Sobolevnormi ja normi u L p () ovat ekvivalentit. 2.2 Morreyn epäyhtälö Siirrymme seuraavaksi tutkimaan tapausta n < p. Tavoitteena on osoittaa, että tällöin Sobolev-funktioilla u W 1,p () on Hölder-jatkuva edustaja ekvivalenssiluokassaan. Tämän todistamiseen tarvitsemme Morreyn epäyhtälöä. Käytämme jatkossa seuraavaa notaatiota: Kun U R n on joukko, niin merkitään u U = u(y) dy = U 1 u(y) dy. U Lemma I.18. Olkoon n < p. Oletetaan, että u C 1 (R n ). Tällöin kaikille kuulille B R n pätee u(y) u(x) u B C dy, x B, (25) y x n 1 missä C = C(n). Todistus. Kaikille x, y B pätee B u(x) u(y) = x y 0 U u(x + tw) dt, t

2. UPOTUKSET 29 missä w = (y x)/ y x. Täten u(x) u B = B 1 B u(x) u(y) dy = B 1 B x y 0 u(x + tw) dtdy. t Merkitään y x = ρw, missä w = 1 ja 0 ρ ρ 0 2r. jolloin ρ0 ρ0 u(x) u B B 1 u(x + tw) 0 w =1 0 t ρn 1 dtdwdρ (2r)n ρ0 n B u(x + tw) 0 w =1 t dwdt (2r)n u(y) dy. n B x y n 1 B (26) Merkitsemme lopuksi C(n) = (2r)n n B. Lemma I.19. Kun B(x, R) on avaruuden R n kuula ja 0 < µ < n, niin integraali x y µ n dy suppenee. B(x,R) Todistus. Käyttämällä n-ulotteisia pallokoordinaatteja saadaan d x y µ n dy = ω n r µ n r n 1 R µ dr = ω n B(x,R) missä ω n on yksikköpallon pinnan ala. 0 µ <, Kun n < p ja B = B(x, R) on kuula, niin määritellään V f kaavalla V f(x) = x y (n 1) f(y) dy, B(x,R) kun integraali suppenee. V on itseasiassa erikoistapaus integraalioperaattoreiden perheestä V µ (kts. [E-E] Lemma V.3.13). Lemma I.20. Operaattori V : L p (B(x, R)) L (B(x, R)) on hyvin määritelty ja rajoitettu ja sen operaattorinormille pätee arvio V C(n, p)r 1 n/p. (27)

30 LUKU I. SOBOLEV-AVARUUDET Todistus. Määritellään 1/r = 1 1/p. Merkitään lisäksi µ = n+r nr. Tällöin 0 < µ < n, jolloin Lemman I.19 nojalla x y (n 1)r dy = x y µ n R µ dy = ω n µ. B(x,R) B(x,R) Täten Hölderin epäyhtälön nojalla ( V f(x) x y (n 1) f(y) dy B C(n, p)r µ/r f L p (B), B x y (n 1)r ) 1/r ( B f(x) p ) 1/p mikä antaa x:stä riippumattoman ylärajan. Koska µ/r = 1 n/p, niin väite on todistettu. Seuraava tulos tunnetaan Morreyn epäyhtälönä: Lemma I.21 (Morreyn epäyhtälö). Olkoon n < p <. Tällöin on olemassa sellainen vakio C := C(p, n), että kaikilla u C 1 (R n ) pätee missä γ := 1 n/p. u C 0,γ (R n ) C u W 1,p (R n ), (28) Todistus. Olkoon x R n ja B = B(x, 1) R n kuula. Lemman I.18 nojalla u(y) u(x) u(x) u B + u B u(x) u B + u B C x y dy + u B. (29) n 1 Koska aiemmin osoitetun nojalla x y 1 n L p p 1 (B), niin Hölderin epäyhtälöstä seuraa, että ( ) 1/p ( ) (p 1)/p u(y) dy u p dy x y (n 1) p p 1 B x y n 1 B B (30) = C u W 1,p (R n ). Lisäksi selvästi u B C u L p (R n ) C(n, p) u W 1,p (R n ) (31) Sijoittamalla arviot (30) ja (31) epäyhtälöön (29) saadaan B sup u(x) C u W 1,p (R n ), (32) x R n

2. UPOTUKSET 31 missä C riippuu siis luvuista n ja p. Olkoon sitten x, y R n. Merkitään x y = R ja olkoon B(z, R) R n kuula, joka sisältää pisteet x ja y. Nyt Lemman I.18 ja Lemman I.20 nojalla kaikilla x, y B(z, R) pätee Erityisesti tällöin u(x) u(y) u(x) u B + u(y) u B 2CR 1 n/p u W 1,p (R n ). (33) u(x) u(y) x y 1 n/p C u W 1,p (R n ), joten [u] C 0,1 n/p (R n ) := sup x y { } u(x) u(y) C u x y 1 n/p W 1,p (R n ). (34) Kohdat (34) ja (32) antavat epäyhtälön (28). Osoitamme seuraavaksi Morreyn epäyhtälön avulla, että funktion u W 1,p () ekvivalenssiluokasta löytyy Hölder-jatkuva edustaja: Lause I.22. Olkoon R n on avoin ja rajoitettu sekä sen reuna on C 1. Olkoon n < p < ja u W 1,p () sekä γ = 1 n/p. Tällöin on olemassa funktio u C 0,γ ( ), jolle u = u m.k. x ja u C 0,γ ( ) C(n, p, ) u W 1,p (). Todistus. Koska on C 1, niin ekstensiolauseen I.12 nojalla on olemassa kompaktikantajainen ekstensio Eu = ū W 1,p (R n ), jolle ū = u m.k. x ja ū W 1,p (R n ) C u W 1,p (). (35) Koska spt(ū) on kompakti, niin lauseen I.7 nojalla on olemassa funktiot u j C 0 (R n ), joille u j ū (36) avaruudessa W 1,p (R n ). Morreyn epäyhtälön (28) nojalla jokaisella k, l 1 u k u l C 0,γ (R n ) C u k u l W 1,p (R n ),

32 LUKU I. SOBOLEV-AVARUUDET joten jono on Cauchy. Koska Hölder-avaruus C 0,γ (R n ) on täydellinen, niin on olemassa funktio u C 0,γ (R n ), jolle u j u (37) avaruudessa C 0,γ (R n ). Täten siis kohtien (36) ja (37) nojalla u = u m.k. x. Lisäksi Morreyn epäyhtälön nojalla u j C 0,γ (R n ) C u j W 1,p (R n ), joten rajankäynnillä u C 0,γ (R n ) C ū W 1,p (R n ). Käyttämällä nyt epäyhtälöä (35) saadaan toivottu epäyhtälö u C 0,γ ( ) C ū W 1,p (R n ) C u W 1,p (). Voimme jatkossa valita Hölder-jatkuvan edustajan funktion u W 1,p (), p > n, ekvivalenssiluokasta. Lisäksi edellisessä γ 1, kun p, joten voi otaksua, että tällöin saavutetaan jopa Lipschitz-jatkuvuus. Näin itse asiassa käykin: Lause I.23. Olkoon R n avoin ja rajoitettu, ja että reuna on C 1. Jos u W 1, (), niin u on Lipschitz-jatkuva. Todistus. Kun on rajoitettu ja on C 1, niin ekstensiolauseen I.12 nojalla ongelman voi siirtää avaruuteen R n ja tutkia kompaktikantajaisia funktioita u W 1, (R n ). Oletetaan siis, että u W 1, (R n ) on kompaktikantajainen ja edellisen lauseen nojalla voi itse asiassa valita funktiolle u jatkuvan edustajan. Nyt tavalliselle silotukselle u ε = η ε u pätee, että u ε u tasaisesti ja u ε L (R n ) u L (R n ). Siten kaikille x, y R n, x y, pätee 1 u ε (x) u ε (y) = 1 t uε (tx + (1 t)y) dt = u ε (tx + (1 t)y) (x y) dt 0 u ε L (R n ) x y u L (R n ) x y. Antamalla ε 0, koska suppeneminen oli tasaista, saadaan u(x) u(y) u L (R n ) x y. 0 Lauseen I.23 väite pätee toiseenkin suuntaan, mutta emme paneudu yksityiskohtiin. Kiinnostava seikka aiheeseen liittyen saadaan Rademacherin lauseesta. Sen mukaan lokaalisti Lipschitz-funkiot ovat melkein kaikkialla derivoituvia, joten myös funktiot u W 1, () on melkein kaikkialla derivoituvia.

2. UPOTUKSET 33 2.3 Yleiset Sobolev-epäyhtälöt ja upotusten kompaktius Seuraava lause yleistää Lauseet I.16 ja I.22. Lause I.24. Olkoon R n on avoin ja rajoitettu, sekä reuna on C 1. Oletetaan, että u W m,p (). Tällöin (i) Jos m < n/p, niin u L q () ja missä C = C(k, p, n, ) ja q = np/(n mp). u L q () C u W m,p (), (38) (ii) Jos m > n/p, niin u C m [ n p ] 1,γ ( ), missä { [ ] n + 1 n γ =, jos n / Z p p p mikä hyvänsä positiivinen luku < 1, jos n Z, p ja u C m [ n p ] C u 1,γ W m,p (), (39) ( ) missä C = C(m, n, p, γ, ) ja [ n ] on pyöristys alaspäin. p Ylläolevat Sobolev-avaruudet voidaan korvata avaruuksilla W m,p 0 (). Upotukset ovat myös kompakteja. Todistus. (i) Oletetaan, että m < n p ja määritellään rekursiivisesti p1 = p ja p k = (p (k 1) ), k > 1. Tällöin 1 p k = 1 (p (k 1) ) 1 n = 1 p k n > 1 n, (40) kun k + 1 m. Täten p k < n, kun k m 1. Jokaisella α m pätee D α u L p (), joten Lause I.16 antaa arviot D β u L p () C 1 u W 1,p () C 1 u W m,p (), β m 1. (41) Tämän nojalla u W m 1,p (). Nyt siis D α u L p () kaikilla α m 1. Lause I.16 antaa heti uuden arvion D β u L p 2 () C 2 u W 1,p () C 2 u W m 1,p (), β m 2, (42) joten u W m 2,p2 (). Voimme jatkaa tätä päättelyä m kertaa, jolloin lopulta u W 0,q () = L q (), missä q = np/(n mp). Normiepäyhtälö (38) saadaan kertomalla välivaiheiden antamat vakiot C k.

34 LUKU I. SOBOLEV-AVARUUDET (ii) Oletetaan, että m > n p. Jos n ei ole kokonaisluku, niin valitaan kokonaisluku l siten, että l < n p [ ] < l + 1; p toisin sanoen asetamme l =. Samalla tavalla kuten yllä saamme n p u W m l,r, 1 r = 1 p l n. (43) Tällöin lisäksi r = pn ( ) ( ) p n pl = n 1 = n n n pl l p > n, joten voimme soveltaa Lausetta I.22: jokaiselle α m l 1 on D α u saamme D α u C 0,1 n r ( ). Lisäksi 1 n r = 1 n [ ] n p + l = + 1 n p p, joten u C m [ n p ] 1,[ n p ]+1 n p ( ). Estimaatti (39) saadaan korvaamalla Hölder-normin jokainen termi D α u C ( ) ja [D α u] C 0,γ ( ) vastaavilla Hölder-normeilla D α u C 0,γ ( ). [ ] Jos n on kokonaisluku, niin asetetaan l = n 1 = n p p p W m l,r (), missä r = pn n pl = n p( n p p = n. l) [ Lauseen I.16 nojalla on D α u L q (), missä α m l 1 = m 1. Nyt, kuten yllä, u n p ] ja n q <. Lause I.22 [ implikoi ] nyt, että D α u C 0,1 n/q ( ) jokaisella n < q < ja kaikilla α m 1. Niinpä jokaisella 0 < γ < 1 on u C m [ n p ] 1,γ ( ) ja estimaatti n p seuraa (39) kuten aiemmin Kompaktiudesta: Lauseen I.24 upotuksien kompaktiustarkastelut sivuutamme niiden laajuuden takia. Lähteet [Ad], [E-E] ja [G-T] käsittelevät kompaktiuden paljon yleisemmässä tapauksessa kuin C 1 reunan tapauksessa. Aiheesta on syytä kuitenkin mainita muutama sananen.