Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa vain kahden seuraavan viikon aikana. Harjoitus 10 Tehtävä 1 Kilpa-auton voimansiirtoakseli välittää 400 kw voiman moottorilta takapyörille kierrosnopeudella 4000 rpm. Akseli on valmistettu hiilikuitu-epoksi komposiitista ja sen ulkohalkaisija on D 70 mm. Kuinka suuri leikkausjännitys τ akselissa vaikuttaa kun sen sisähalkaisija d 65 mm? Onko sisähalkaisijan mitoitus kohdillaan, jos ei niin mitä sille pitäisi tehdä? Materiaalin suurin sallittu leikkausjännitys on τ sall 86 MP a. Poikkipinnaltaan pyöreän sauvan väännössä leikkausjännitys saadaan kaavasta (1). Tässä nyt iso R merkitsee ulkosädettä. isäksi tiedetään, että sauvan resultanttivääntömomentti on seuraavaa muotoa τ GRθ (1) M v GθI p G M v θi p (2) Sijoittamalla yhtälöstä (2) saatu tulos yhtälöön (1) saadaan leikkausjännityksestä τ M v θi p Rθ M v I p r M v 2I p D () Tuntemattomia ovat siis sauvan vääntömomentti M v sekä polaarinen jäyhyysmomentti I p. Näistä vääntömomentti voidaan laskea jakamalla akseliin vaikuttava teho P sen kulmanopeudella ω 2πn, jossa n on pyörimisnopeus kierroksina sekunnissa. M v P ω Ontolle ympyräpokkipinnalle polaarinen jäyhyymomentti on muotoa P 954, 9 Nm (4) 2πn 1
I p π 2 (R4 r 4 ) π 2 (D4 16 d4 16 ) π D4 d 4 2 Nyt voidaan siis laskea akselin leikkausjännitys. 6, 047 10 7 m 4 (5) τ M v 2I p D 55, MP a (6) eikkausjännitys jää siis alle suurimman sallitus arvon, tällöin akselin sisähalkaisijaa voisi siis kasvattaa ja tällä tavalla keventää sitä. Tehtävä 2 Kuvan mukaisen ohutseinäisen sylinterimäisen paineastian pääty on valmistettu liimaamalla ympyränmuotoinen levy kiinni lieriöön. Määritä keskimääräinen leikkausjännitys liimapinnalla sekä paineastian seinien jännitystila, kun astian sisällä vallitseva ylipaine on 450 kpa. asketaan ensin päädyn liimapinnan leikkausjännitys. Tämä saadaan leikkausjännistyksen määritelmästä, eli jakamalla leikkausvoima liimapinnan pinta-alalla. τ A liima (7) Nyt tarvitsee siis määrittää liimapinnassa vaikuttava leikkausvoima. Se on sama kuin voima, jonka ylipaine aiheuttaa päätylevyyn. pa paaty pπr 2 (8) Kun tiedetään, että astiassa vallitseva paine p 450 kp a, astian säde r 150 mm ja liimapinnan paksuus t paaty 15 mm voidaan leikkausjännitys laskea. τ pπr2 pr 2t paaty 2, 25 MP a (9) Paineastian säteen suuntainen normaalijännitys σ r on nyt suoraan paineastiassa vaikutta ylipaine, sillä ylipaine vaikuttaa astian seinään suoraan säteen suuntaisesti (ulospäin eli positiivinen etumerkki). 2
σ r p 450 KP a (10) Kehän suuntainen normaalijännitys σ φ saadaan kertomalla ylipaine säteen r 150 mm ja seinämän paksuuden t 25 mm suhteella (kirja kaava 4.11). σ φ p r t 2, 7 MP a (11) opuksi astian pituussuuntainen normaalijännitys σ x saadaa kertomalla ylipaine säteen r ja kaksinkertaisen seinämän paksuuden suuhteella (kirjan kaava 4.18). Seinämän paksuus tulee kahteen kertaan, sillä paineen aiheuttama kuorma jakautuu aina poikkileikkauksessa kahdelle seinämälle σ x p r 2t 1, 5 MP a (12) Tähän kohtaan pätee käytettävälle säteelle sama kuin kehän suuntaiseen jännitykseen. Tehtävä Tarkastele kuvan mukaista sylinterimäistä ohutseinämäistä paineastiaa, jossa olevan kaasun ylipaine on p. Asennusvirheen johdosta säiliö on tukien välisellä matkalla vääntynyt kulman e[rad]. Määritä säiliön sylinterimäisen osan seinämäpaksuus t siten, että von Mises -jännitys σ vm ei ylitä materiaalin myötörajaa R e. Paine p aiheuttaa yhtälökokoelman kaavan (98) mukaiset jännityskomponentit Asennusvirheestä johtuva säiliön vääntymä on σ x pd 4t σ ϕ pd 2t (1) (14) θ e (15) joten säiliön seinämään aiheutuva leikkausjännitys on yhtälökokoelman kaavan (9) mukaan
τ xϕ Gθr GDe 2 missä G on säiliön materiaalin liukukerroin (materiaaliominaisuus, vrt. kimmokerroin). Säiliön seinämässä vaikuttaa tasojännitystila (σ x, σ ϕ, τ xϕ ) johtuen oletetusta ohutseinämäisyydestä, joten jännitystilaa kuvaava von Mises -jännitys on σ vm σx 2 σ x σ ϕ + σϕ 2 + τxϕ 2 (17) 1 pd 2 pd pd + 1 pd 2 GDe 2 + (18) 16 t 4t 2t 4 t 2 pd 2 + GDe 2 (19) 16 t 4 Seinämäpaksuus t voidaan määrittää ehdosta josta ratkeaa paksuudelle lauseke (16) pd 2 σ vm + GDe 2 < R e (20) 16 t 4 Sievennetään (21) Muutetaan järjestystä (22) 16 ( pd t 16 (pd)2 + 4 + 4 < R 2 e (21) t 2 < R 2 e t 2 (22) R 2 e t 2 4 t 2 > 16 (pd)2 (2) Otetaan t 2 yhteiseksi tekijäksi [ t 2 Re 2 ] GDe 2 4 > 16 (pd)2 (24) Ratkaistaan t yhtälöstä (24) t 2 > 1 16 (pd)2 Re 2 4 (25) 4
Saadaan siis t > [ (pd ] 4 4(R e (GDe pd 2 12(R e 9(GDe (26) 5