1 Rotaatioista Viime kerralla nähtiin, että jokainen R 3 rotaatio voidaan esittää kvaternien avulla kuvauksena ρ y (x) = yxy, missä y = 1. Lemma 1.1. Kuvaus ρ : S 3 SO(3), missä ρ(y) = ρ y on surjektiivinen ryhmähomomorsmi, jonka ydin on { 1, 1}. Todistus. Katso [1]. 2 Kierto yleisesti peilausten avulla Lemma 2.1 (R 3 rotaatioiden ryhmä). Kolmiulotteisen vektoriavaruuden rotaatiot muodostavat ryhmän yhdistetynkuvauksen suhteen, identiteetti alkio on kuvaus ρ 1 (x). Todistus. Suoraan laskemalla. Lause 2.2 (Eulerin lause). Rotaatioiden ryhmä kolmiulotteisessa vektoriavaruudessa on isomornen 3 3 matriisien ryhmän kanssa, jonka alkiot toteuttavat yhtälöt A T A = I ja det(a) = 1. Todistus. Katso lähde [3]. Edellisen Lauseen johdosta on mielekästä määritellä rotaatiot yleisesti vektoriavaruudessa R n, niiden kuvausten joukkona, jotka ovat muotoa y = Ax, missä A on R n n ortogonaalinen matriisi, jonka determinantti on yksi. Vektoriavaruudessa V, jossa on määritelty tavanomainen sisätulo (.,.) ja euklidinen normi., lineaarinen kuvaus T on ortogonaalinen, jos (T x, T y) = (x, y) kaikilla x, y V ([2]). Lemma 2.3. Vektoriavaruudessa R n ortogonaalikuvausten joukko muodostaa ryhmän yhdistetyn kuvauksen suhteen, ja sitä merkitään O(n), identiteettialkiona identiteettikuvaus. Tällä joukolla on aliryhmänä rotaatioiden joukko, sitä merkitään SO(n) = {T T O(n) ja det(t ) = 1}. Todistus. Suoraan laskemalla. Huomautus. Koska ortogonaalinen kuvaus on lineaarinen ja lineaariset kuvaukset voidaan esittää matriisien avulla, niin ortogonaalisten kuvausten ryhmä O(n) esitetään usein matriisiryhmänä {A A GL(n, R), A T A = I} ja rotaatioiden ryhmä SO(n) edellisen aliryhmänä {A A GL(n, R), A T A = I ja det(a) = 1}. 1
Lemma 2.4. Olkoon V vektoriavaruus varustettuna normaalilla sisätulolla ja euklidisella normilla. Tällöin kuvaus T : V V on ortogonaalinen, jos ja vain jos T (0) = 0 ja T (x) T (y) = x y. Todistus. 1. Olkoon kuvaus T ensin ortogonaalinen, tällöin (T x T y, T x T y) = (T x, T x) 2(T x, T y) + (T y, T y) = (x, x) 2(x, y) + (y, y) = (x y, x y). Edelleen linearikuvaukselle pätee tietenkin T (0) = 0. 2. Olkoon kuvaukselle T voimassa yhtälöt T (0) = 0 ja T (x) T (y) = x y. Edellä olleesta yhtälöketjusta saadaan 2(T x, T y) = (T x, T x) (T x T y, T x T y) + (T y, T y) = (T x T 0, T x T 0) (T x T y, T x T y) + (T y T 0, T y T 0) = T x T 0 2 T x T y 2 + T y T 0 2 = x 2 x y 2 + y 2, mistä edelleen 1. kohdan nojalla 2(T x, T y) = 2(x, y). Lopuksi on vielä näytettävä lineaarisuus. Olkoon {e j j = 1, 2,..., n} Vektoriavaruuden ortonormaali kanta. Koska edellisen nojlla kuvaus T säilyttää normin, niin (T e i, T e j ) = (e i, e j ), siis myös {T (e j ) j = 1, 2,..., n} muodostaa ortonormaalin kannan. On siis olemassa jotkin kertoimet a i, joille pätee T v = a i T ei, missä v = v i e i. Mutta koska a i = (T v, T e i ) = (v, e i ) = v i, niin kuvaus T on myös lineaarinen. 2
Määritellään vektoriavaruuden R n kuvaus S a : R n R n seuraavasti: S a (x) := x 2(a, x) a 2 a, missä a on kiinteä avaruuden R n alkio. Geometrisesti kuvaus on peilaus tason suhteen, jonka normaali on vektori a. Vektori x voidaan esittää muodossa (a, x) x = a 2 a (a, x) + x a }{{} 2 a, }{{} normaalin suuntainen komp. tason suuntainen komp. mistä peilaus saadaan helposti, kun siirrytään ensin tasoon vähentämällä normaalin suuntainen komponentti ja tästä edelleen tason toiselle puolelle vähentämällä toisen kerran normaalin suuntainen komponentti. Siis muodostuvva peilauspiste x saadaan yhtälöstä: x = x 2( (a, x) 2(a, x) a) = x a 2 a 2 a. Lemma 2.5 (Peilauksen ominaisuuksia). Kuvaukselle S a : R n R n pätee: (a) Kuvaus oma inverssinsä, S a S a x = x kaikilla x R n. (b) Kuvaukselle pätee S a (a) = a. (c) Ortogonaalinen alkio ei muutu, S a (b) = b kaikille b a. (d) Kuvaus on lineaarinen. (e) Kuvaus on ortogonaalinen. Todistus. Täydennetään.. Lemma 2.6. Olkoon u ja v vektoriavaruuden R n eri elementtejä, joiden normit ovat samat. Tällöin on olemassa peilaus vektorilta u vektorille v. Todistus. Ensin huomataan, että u v u + v, sillä (u + v, u v) = (u, u) (u, v) + (v, u) (v, v) = u 2 v 2 = 0, 3
koska oletuksena oli vektorien sama pituus. Nyt Lemman 2.5 mukaan S u v (u) = S u v ( 1 2 (u v) + 1 (u + v)) 2 = 1 2 S u v(u v) + 1 2 S u+v(u + v) = 1 2 (u v) + 1 (u + v) 2 = v. Lemma 2.7. Jokainen vektoriavaruuden R n ortogonaalisen kuvauksen T, lukuunottamatta identiteettikuvausta I, esittämiseen tarvitaan korkeintaan n kappaletta peilauksia. Todistus. Olkoon {e j j = 1, 2,..., n} vektoriavaruuden R n ortonormaali kanta. Koska kuvaus T on ortogonaalinen, niin yhtälöketju (T e n, T e n ) = (e n, e n ) = 1 on voimassa, ja Lemman 2.6 mukaan, kun T (e n ) e n on olemassa peilaus S T en e n, jolle S T en e n (e n ) = e n. Mikäli T (e n ) = e n, niin valitaan identiteetti kuvaus peilauksen sijaan. Kokonaisuudessaan merkitään valittua kuvausta S n. Siis kokonaisuudessaan kuvaus S n T on edelleen kahden ortogonaalikuvauksen yhdisteenä lineaarinen ja ortogonaalinen, ja joka kaiken lisäksi kuvaa kantavektorin e n itsekseen. Nyt vastaavasti kuin edellä, muodostetaan identiteetti kuvaus siten, että jokainen kantavektori säilyy muuttumattomana. Kuten edellä (S n T e n 1, S n T e n 1 ) = (e n 1, e n 1 ) = 1, siis voidaan kirjoittaa S n 1 S n T e n 1 = e n 1, missä S n 1 = { I, jos Sn T e n 1 = e n 1 S Sn T e n 1 e n 1, muuten. Huomattavaa on, että uudessa kuvauksessa S n 1 S n T kantavektori e n säilyy itsenään. Sillä mikäli S n 1 valittiin identiteetiksi tämä on selvää, ja valinnalla S n 1 = S Sn T e n 1 e n 1 tämä johtuu siitä, että (S n T e n 1 e n 1, e n ) = (S n T e n 1, e n ) = (S n T e n 1, S n T e n ) = (e n 1, e n ) = 0. Jatkamalla kuten edellä, saadaan lopulta: S 1 S 2... S n T = I, kun jokainen S i on valittu vastaavalla periaatteella kuin S n ja S n 1. Edelleen 4
saadaan (S i on oma inverssinsä) T = S n S n 1... S 1. 3 Takaisin kvaternien maailmaan Tutkitaan peilausta kvaternien joukossa. Lemma 3.1. Kvaternien joukossa H voidaan peilaus S a muodossa S a (q) = aqa, : H H esittää kun a on yksikkökvaterni. Todistus. Täydennetään.. Kvatenien joukossa peilauksen lisäksi, myös kuvaus p a : H H, jolle p a (q) = aqa, on mielenkiintoinen. Koska jokaiselle kvaternille pätee, S a S b (q) = a( bqb)a = ab q ba = p a p b (q), (1) niin voidaan sanoa, että S a S b = p a p b. Lause 3.2 (Cayleyn lause). Kvaternien joukossa kiertojen, eli rotaatioiden, kuvausten joukko koostuu kuvauksista x ϑ a,b (x) = axb, missä a = b = 1 ja a, b H. Todistus. Koska peilaus on ortogonaalikuvaus, mutta se ei kuitenkaan ole kierto, niin peilausta vastaavan matriisin determinantin arvo on oltava 1. (Itseasiassa tämä on selvää vain kolmiulotteisessa tapauksessa) Koska Lemman 2.6 mukaan kierto voitiin esittää peilausten avulla, ja koska kierron determinantti on yksi, niin Lemman 2.6 esityksessä saa olla peilauksia vain parillinen määrä. Tämän takia esitysksen peilaukset voidaan korvata yhtälöketjun 1 mukaan, kuvauksilla p a. Toisin sanoen, jokainen kierto voidaan esittää muodossa a 1 a 2 a 3 a }{{} 4 q a 4 a 3 a 2 a 1. Edellä a }{{} i = 1, mistä päätellään myös a = b = 1. a b 5
Tosin päin katso [1]. 4 Kvaterniluvun loppu 4.1 Eräs matriisiesitys Näytetään, että kvaternit ovat erään 4 4 matriisien alialgebran kanssa isomor- nen rakenne. Tehdään työläät laskennat Maple-ohjelmistolla, josta komennolla latex() saadaan mukavasti esitysmuoto. Lemma 4.1. Määritellään kuvaus L : H R 4 4, L(x) = x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 0 x 3 x 2 x 2 x 3 x 0 x 1 x 3 x 2 x 1 x 0.Joukko {A A = x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 0 x 3 x 2 x 2 x 3 x 0 x 1 x 3 x 2 x 1 x 0, x 0, x 1, x 2, x 3 R} on 4 4 matriisien alialgebra. Kuvaus L on algebra isomorsmi. Todistus. Näytetään ensin, että kuvauksen L muodostama joukko on todella alialgebra. Siis käytännössä riittää näyttää, että kertolasku on suljettu tässä joukossa, koska muu yhteenlaskun osalta tämä on selvä. Määritellään joukon x 0 x 1 x 2 x 3 {A A = x 1 x 0 x 3 x 2 x 2 x 3 x 0 x 1, x 0, x 1, x 2, x 3 R} x 3 x 2 x 1 x 0 kaksi mielivaltaista matriisia X ja Y, x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 0 x 3 x 2 X = x 2 x 3 x 0 x 1 x 3 x 2 x 1 x 0, 6
y 0 y 1 y 2 y 3 y 1 y 0 y 3 y 2 y 2 y 3 y 0 y 1 y 3 y 2 y 1 y 0. Nyt tulo XY = x 0 y 0 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 0 y 1 x 1 y 0 x 2 y 3 + x 3 y 2 x 0 y 2 + x 1 y 3 x 2 y 0 x 3 y 1 x 0 y 3 x 1 y 2 + x 2 y 1 x 3 y 0 x 1 y 0 + x 0 y 1 x 3 y 2 + x 2 y 3 x 0 y 0 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 0 y 3 x 1 y 2 + x 2 y 1 x 3 y 0 x 1 y 3 + x 0 y 2 + x 3 y 1 + x 2 y 0 x 1 y 3 + x 0 y 2 + x 3 y 1 + x 2 y 0 x 2 y 1 + x 3 y 0 + x 0 y 3 + x 1 y 2 x 0 y 0 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 0 y 1 x 1 y 0 x 2 y 3 + x 3 y 2 x 2 y 1 + x 3 y 0 + x 0 y 3 + x 1 y 2 x 0 y 2 + x 1 y 3 x 2 y 0 x 3 y 1 x 1 y 0 + x 0 y 1 x 3 y 2 + x 2 y 3 x 0 y 0 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 (2) mikä on vaadittua muotoa. Lopuksi isomorsuus, kuvauksesta riittää jälleen todeta vain, että L(xy) = L(x)L(y), muu on selvää. Yhtälöstä (2) oikeanpuolen matriisista poimimalla ensimmäinen sarake, varmistutaan asiasta., 4.2 Bilineaariset tulot Käydään läpi kvaternien kertolaskua geometrisesti. Normaali kolmiuloteinen vektoriavaruus ajatellaan joukkona V ech, toisin sanoen jokainen vektori voidaan esittää muodossa x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3. Ensin muistetaan, että pistetulo voidaan kirjoittaa muodossa (x, y) = x y = Scx y = 1 2 (x y + y x) = x 1y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. (3) ja vastaavasti ristitulolle x y = V ecx y = 1 (x y x y) = 2 e 1 e 2 e 3 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3. (4) Lemma 4.2. Olkoot x, y H. (a) Skalaari- sekä ristitulo ovat homogeeniset, siis kaikille r R r(x y) = (rx) y = x (ry) ja r(x y) = (rx) y = x (ry) 7
(b) Molemmat kertolaskut ovat distributiiviset yhteenlaskun suhteen. (c) Skalaaritulo on kommutatiivinen ja ristitulo on antikommutatiivinen x y = y x. Todistus. Sivuutetaan.. Ennen kertolaskujen geometrista tulkintaa, tarvitaan yksi aputulos, tai oikeastaan kaksi, mutta toinen on tavallinen laajennettu pythagoraan lause, eli kosinilause, joka oletetaan tunnetuksi. Lemma 4.3 (Lagrange identiteetti). Olkoon x, y vektoreita. Voidaan kirjoittaa x 2 y 2 = x y 2 + x y 2. Todistus. Koska skalaaritulo on reaalinen ja vektorien ristitulo on vektoriarvoinen, ja x y = x y + x y niin tulos saadaan suoraan ottamalla pituudet puolittain. Nyt ollaan valmiit tulkitsemaan skalaari- ja ristitulo geometrisesti. Lemma 4.4. Pistetulolle pätee x y = x y cos( (x, y)), ja ristitulolle pätee x y = x y sin( (x, y))e x y, missä kolmikko x/ x, y/ y, e x y on ortonormaali ja toteuttaa oikean käden säännön. Todistus. 1. Pistetulo itsensä kanssa on toisaalta vektorin pituuden neliö, ja toisaalta x y 2 = x x + y y 2x y, mistä kosinilauseen nojalla voidaan päätellä, x y = x y cos( (x, y)). 2. Yhtälöiden (3) ja (4) avulla voidaan helposti osoittaa, että 4x (x y) = 0 = 4y (x y). Siis vektorien x ja y ristitulo on kohtisuorassa kummankin 8
tekijänsä kanssa. Lemman 4.3 mukaan x 2 y 2 = x y 2 + x y 2, mistä edellisen kohdan ja trigonometrian peruslauseen nojalla, x y 2 = x 2 y 2 sin 2 ( (x, y)). Tästä voidaan päätellä, että x y = x y sin( (x, y))e x y, mutta vektorin e x y suunnistuksen näyttäminen sivuutetaan. Lemma 4.5. Olkoon x, y vektoreita. Tällöin voidaan kirjoittaa, (a) xy = yx, jos ja vain jos vektorit ovat yhdensuuntaiset. (b) xy = yx, jos ja vain jos vektorit ovat ortogonaaliset. Todistus. Kirjassa, seuraa suoraan ristitulon ja pistetulon esityksistä kvaternitulon kanssa. 4.3 Multilineaariset tulot Tutkitaan kuinka voidaan mielekkäästi kertoa useampia vektoreja keskenään. Lemma 4.6. Vektoreille x, y ja z pätee (a) x (y z) = (x y) z, (b) x (y z) + (x y)z = (x y) z + x(y z). Todistus. Aloitetaan tunnetuilla yhtälöillä xy = x y + x y ja x(yz) = (xy)z. 9
Ydistämällä edelliset saadaan x(y z) x (y z) + x (y z) = x(yz) = (xy)z = (x y)z (x y) z + (x y) z, mistä poimimalla reaaliosat saadaan (a) kohta, ja vektoriosista kohta (b). Määritellään skalaarikolmiotulo (.,.,.) kolmelle vektorille x, y, z seuraavasti (x, y, z) := x (y z). Skalaarikolmiotulolle saadaan (tutut tulokset): Lemma 4.7. (a) Skalaarikolmiotulo on homogeeninen reaalilukujen suhteen ja se on lineaarinen jokaisen komponentin suhteen. (b) (x, y, z) = (y, z, x) = (z, x, y) = (y, x, z) = (x, z, y) = (z, y, x) (c) Skalaarikolmiotulo antaa suunnistetun tilavuuden suuntaissärmiölle, jonka virittää vektorit x, y, z, ja se voidaan esittää muodossa x 1 x 2 x 3 (x, y, z) = y 1 y 2 y 3. z 1 z 2 z 3 Todistus. Melko suoraviivaisia, kirjassa. Lemma 4.8. Olkoot x, y, z, w vektoreita: (a) x (y z) = (x z)y (x (y)z), (b) x (y z + y (z x + z (x y = 0 ja (c) (x y) (z w) = x z y z x w y w. Todistus. (a) Kirjassa lyhyt lasku. (b) Sovelletaan vain edellistä jokaiseen summattavaan termiin. 10
(c) Lähtemällä vasemmasta puolesta liikkeelle, lopputulos saadaan suorittamalla seuraavat toimenpiteet: 1. Lemma 4.6 a-kohta. 2. Lemma 4.8 a-kohta ja antikommutatiivisuus. 3. Pistetulon distributiivisuus yhteenlaskun suhteen. 5 Pieni esimerkki sovelluksista Lähteestä http://users.tkk.fi/mvermeer/geom.pdf löytyy ns. tavanomainen käsittely pallotrigonometriasta. Näytetään nyt kuinka saadaan esimerkiksi pallotrigonometrian kosinikaava kvaternitulon avulla. Ylläolevasta lähteestä voi katsoa toisen tavan. Olkoon yksikkövektoreilla a, b, c yhteinen alkupiste, jolloin ne luovat yksikköpallolle kolmion. Merkitään pallopinnan ja vektorien leikkauspisteita kirjaimin A, B ja C, edelleen olkoon vektorien a ja b välinen kulma γ, vastaavasti (a, c) = β ja (b, c) = α. Lisäksi merkitään, että pallopinnalla kulma (CAB) = α, vastaavasti β ja γ. Geometrisen havainnon π α = (c a, a b) perusteella voidaan näyttää pallotrigonometrian kosinikaava cos(β) = cos(γ) cos(α) + sin(γ) sin(α) cos(β ) todeksi. Sillä (a b) (b c) = cos(γ) cos(α) cos(β), mutta toisaalta (a b) (b c) = sin(γ) sin(α) cos(π β ) = sin(γ) sin(α) cos(β ). Yhdistämällä edelliset saadaan haluttu tulos. 11
Viitteet [1] Klaus Habetha ja Wolfgang Sprössig Klaus Gürlebec. Holomorphic Functions in the Plane and n-dimensional Space. Birkhäuser Verlag AG, 2008. [2] Eriksson Sirkka-Liisa. Johdatus geometrisiin algebroihin, luentomoniste 2007. TTY, Matematiiikan laitos, 2007. [3] Tony Suderby. Introdunction to quaternions. In Sirkka-Liisa Eriksson, editor, Cliord algebras and potential theory (Mekrijärvi, 2002), pages 175211. Univ. Joensuu Dept. Math. Rep. Ser. No. 7, June 2004. 12