Informaatiotieteiden yksikkö. Lineaarialgebra 1A. Pentti Haukkanen. Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

Transkriptio

1 Informaatiotieteiden yksikkö Lineaarialgebra 1A Pentti Haukkanen Puhtaaksikirjoitus: Joona Hirvonen

2 . 2

3 Sisältö 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät Matriisin määritelmä Matriisien laskutoimitukset Matriisialgebraa Determinantti Kofaktori Käänteismatriisin kaava ja olemassaolo Lineaariset yhtälöryhmät Lineaariset yhtälöryhmät matriiseilla Vektorialgebraa Geometriset vektorit Vektoriavaruus R n, n Z Vektorialgebraa vektoriavaruudessa R n Vektoreiden skalaaritulo eli pistetulo Määritelmä Algebrallisia ominaisuuksia Geometrisia ominaisuuksia Projektio Vektoritulo eli ristitulo Määritelmä Algebrallisia ominaisuuksia Geometrisia ominaisuuksia Skalaarikolmitulo Vektorikolmitulot Analyyttistä geometriaa: suoran ja tason yhtälöt Suora avaruudessa R Suora avaruudessa R Taso avaruudessa R

4 Luku 1 Matriisit, determinantit ja lineaariset yhtälöryhmät 1.1 Matriisin määritelmä Määritelmä Matriisi on suorakulmainen taulukko muotoa a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =.....,. a m1 a m2... a mn jossa m on rivien lukumäärä ja n on sarakkeiden lukumäärä. Lukuja a ij sanotaan matriisin alkioiksi tai elementeiksi. Matriisin A koko eli kertaluku on m n. Sanotaan, että A on m n matriisi. Matriisia voidaan lyhyesti merkitä A = [a ij ]. Huomautus. Luonnollisesti m, n Z +. Huomautus. Mikäli matriisin koko halutaan kirjoittaa näkyviin, käytetään merkintää a 11 a a 1n a 21 a a 2n A m n = [a ij ] m n = a m1 a m2... a mn Huomautus. Matriisit A ja B ovat samat, jos ja vain jos ne ovat samankokoisia ja a ij = b ij aina, kun i = 1, 2,..., m ja j = 1, 2,..., n. Esimerkki Matriisi A = on 3 4 matriisi, jossa esimerkiksi a 21 = 4 ja a 12 = 5. 4 m n

5 Merkintä. Joukko R m n on kaikkien reaalialkioisten m n matriisien joukko. Määritelmä Kokoa n n oleva matriisi on neliömatriisi. Neliömatriisin alkioita a 11, a 22,..., a nn kutsutaan diagonaalialkioiksi. Jos a ij = 0, kun i j, niin A on diagonaalimatriisi ja sitä merkitään notaatiolla A = diag(a 11,..., a nn ). Esimerkki Matriisi on 3 3 neliömatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat 1, 4 ja 1. Tämä matriisi ei ole diagonaalimatriisi. Esimerkki Matriisi on 3 3 neliömatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat 3, 5 ja 0. Tämä matriisi on diagonaalimatriisi. Määritelmä Matriisin alimatriisi on sellainen matriisi, joka saadaan poistamalla alkuperäisestä matriisista rivejä ja/tai sarakkeita. Alkuperäinen matriisi on myös itsensä alimatriisi. Esimerkki Matriisin [ 1 2 ] alimatriiseja ovat mm. [ ] 1 0, [ 1 2 ], [0] Matriisien laskutoimitukset Määritelmä (Matriisien summa). Olkoot A ja B samaa kokoa olevia matriiseja. Silloin niiden summa A + B on A + B = [a ij + b ij ]. Toisin sanoen matriisit lasketaan alkioittain yhteen. Esimerkki Lasketaan [ ] [ ] = [ ] ( 1) = [ ]

6 Esimerkki Summaa [ ] ei ole määritelty. Määritelmä (Matriisin kertominen skalaarilla). Olkoon A matriisi ja c R skalaari. Niiden tulo ca on ca = [ca ij ]. Toisin sanoen matriisi A kerrotaan alkioittain skalaarilla c. Esimerkki Lasketaan = 5 ( 1) 5 2 = Huomautus. Skalaarilla kertominen on aina määritelty. Määritelmä (Matriisien tulo). Olkoon A m r matriisi ja B r n matriisi. Niiden tulo AB on m n matriisi [ r ] AB = a ik b kj. k=1 Toisin sanoen AB = C, missä c ij = r k=1 a ik b kj. Esimerkki Olkoon ja A = [ ] B = Silloin [ ] ( 1) AB = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) [ ] =

7 Esimerkki Olkoon ja A = B = [ ] Tällöin AB ei ole määritelty, sillä A on 2 2 matriisi ja B on 3 2 matriisi mutta 2 3. Huomautus. (Ks. pykälä 1.8.) Lineaarinen yhtälöryhmä { a1 x + b 1 y = c 1 voidaan kirjoittaa matriisimuodossa 1.3 Matriisialgebraa a 2 x + b 2 y = c 2 [ ] [ ] [ ] a1 b 1 x c1 =. a 2 b 2 y c 2 Lause Olkoot A, B, C R m n. Silloin (1) A + B = B + A (2) (A + B) + C = A + (B + C). Todistus. Valitaan mielivaltaiset A, B, C R m n. Todistetaan ensin kohta (1). Nyt A + B = [a ij ] + [b ij ] = [a ij + b ij ] = [b ij + a ij ] = [b ij ] + [a ij ] = B + A, joten kohta (1) on todistettu. Todistetaan sitten kohta (2). Nyt joten kohta (2) on todistettu. (A + B) + C = ([a ij ] + [b ij ]) + [c ij ] = [a ij + b ij ] + [c ij ] = [(a ij + b ij ) + c ij ] = [a ij + (b ij + c ij )] = [a ij ] + [b ij + c ij ] = [a ij ] + ([b ij ] + [c ij ]) = A + (B + C), 7

8 Lause Matriisitulo on assosiatiivinen, tarkemmin sanottuna kun kertolaskut ovat määriteltyjä. Todistus. Harjoitustehtävä. (AB)C = A(BC), Huomautus. Matriisien tulo ei ole kommutatiivinen eli vaihdannainen, toisin sanoen on olemassa sellaiset matriisit A ja B, että Esimerkki Olkoon ja Tällöin mutta AB BA. A = B = AB = BA = [ ] [ ] [ ] 0 1, 0 0 [ ] Esimerkki Olkoon A R 2 3 ja B R 3 3. Tällöin tulo AB on määritelty, mutta tulo BA ei ole määritelty. Lause (Osittelulait). Olkoon A R n r, ja olkoot B, C R r m. Tällöin (1) A(B + C) = AB + AC. Olkoon A R r m, ja olkoot B, C R n r. Tällöin (2) (B + C)A = BA + CA. Todistus. Todistetaan kohta (1). Oletetaan sitä varten, että A R n r ja B, C R r m. Tällöin A(B + C) = [a ij ] ([b ij ] + [c ij ]) = [a ij ] [b ij + c ij ] [ r ] = a ik (b kj + c kj ) k=1 [ r ] r = a ik b kj + a ik c kj k=1 k=1 [ r ] [ r ] = a ik b kj + a ik c kj k=1 k=1 = [a ij ] [b ij ] + [a ij ] [c ij ] = AB + AC, 8

9 joten kohta (1) on saatu todistettua. Kohta (2) on harjoitustehtävä. Lause Olkoot A, B R m n ja a, b R. Tällöin (1) a(a + B) = aa + ab (2) (a + b)a = aa + ba (3) a(ba) = (ab)a (4) 1A = A. Todistus. Harjoitustehtävä. Lause Olkoon A R m n, B R n r ja a R. Tällöin Todistus. Harjoitustehtävä. (aa)b = A(aB) = a(ab). Määritelmä [Nollamatriisi] Tarkastellaan m n matriiseja. Silloin nollamatriisi 0 on sellainen matriisi, että A + 0 = 0 + A = A aina, kun A R m n. Voidaan myös merkitä täsmällisemmin 0 = 0 m n. Lause Nollamatriisi on sellainen m n matriisi, jonka jokainen alkio on 0; ts. 0 = [0]. Todistus. Oletetaan, että A R m n. Tällöin [a ij ] + [0] = [a ij + 0] = [a ij ] = A. Lauseen nojalla puolestaan A + [0] = [0] + A. Siis on saatu, että A + [0] = [0] + A = A. Nyt määritelmän mukaan [0] on nollamatriisi. Huomautus. Nollamatriisi on yksikäsitteinen. (Vain matriisi [0] toteuttaa määritelmän ehdot.) Huomautus. On olemassa sellaiset matriisit A 0 ja B 0, että AB = 0. Määritelmä [Vastamatriisi] Matriisin A vastamatriisi A on sellainen matriisi, että A + ( A) = ( A) + A = 0. Lause Olkoon A matriisi. Tällöin matriisi [ a ij ] on matriisin A vastamatriisi, ts. A = [ a ij ]. 9

10 Todistus. Oletetaan, että A on matriisi. Tällöin A + [ a ij ] = [a ij ] + [ a ij ] = [a ij + ( a ij )] = [0] = 0. Kommutatiivisuuden perusteella [ a ij ] + A = 0, joten määritelmän nojalla [ a ij ] on matriisin A vastamatriisi. Huomautus. Kullakin matriisilla A on yksi ja vain yksi vastamatriisi; se on [ a ij ]. Määritelmä (Erotus). Olkoot A, B R m n. Matriisien erotus A B on A B = A + ( B). Lause Olkoot A, B R m n. Tällöin Todistus. Harjoitustehtävä. Esimerkki Lasketaan [ ] A B = [a ij b ij ]. [ ] 4 1 = 1 4 [ ] Määritelmä (Identiteettimatriisi). Tarkastellaa n n neliömatriiseja. Matriisia I sanotaan identiteettimatriisiksi, jos AI = IA = A aina, kun A R n n. Voidaan myös merkitä täsmällisemmin I = I n n tai I = I n. Huomautus. Identiteettimatriisia voidaan kutsua myös identtiseksi matriisiksi tai yksikkömatriisiksi. Lause Identiteettimatriisi on sellainen n n diagonaalimatriisi, jonka jokainen diagonaalialkio on 1. Todistus. Oletetaan, että A R n n ja että B on sellainen n n diagonaalimatriisi, jonka jokainen diagonaalialkio on 1. Tällöin [ n ] AB = a ik b kj k=1 = [a i1 b 1j a ij b jj a in b nj ] = [a i a ij a in 0] = [ a ij ] = [a ij ] = A, joten AB = A. Vastaavasti saadaan, että BA = A. Siis AB = BA = A. Siis määritelmän nojalla B on identiteettimatriisi. 10

11 Esimerkki Esimerkiksi ja I 2 = [ ] I 3 = Huomautus. Identiteettimatriisi on yksikäsitteinen. Siis n n diagonaalimatriisi, jonka jokainen diagonaalialkio on 1, on ainoa n n identiteettimatriisi eli matriisi, joka toteuttaa määritelmän ehdot. Määritelmä (Käänteismatriisi). Olkoon A neliömatriisi. Silloin B on matriisin A käänteismatriisi, jos AB = BA = I. Jos tällainen B on olemassa, niin sanotaan, että A on kääntyvä. Esimerkki Olkoon ja Tällöin AB = [ ] [ ] A = = B = [ 2 ] [ ] [ ] 1 0 = I = 0 1 [ Siis matriisi A on kääntyvä ja B on sen käänteismatriisi. ] [ ] 2 5 = BA. 1 3 Lause Jos käänteismatriisi on olemassa, se on yksikäsitteinen. Todistus. Oletetaan, että A on kääntyvä matriisi ja B, C ovat sen käänteismatriiseja. Tällöin AB = BA = I ja Nyt AC = CA = I. B = IB = (CA)B = C(AB) = CI = C. Siis käänteismatriisi on yksikäsitteinen. 11

12 Merkintä. Kääntyvän matriisin A käänteismatriisia merkitään symbolilla A 1. Huomautus. Kun A on matriisi, niin ja kun A on neliömatriisi, niin A + 0 = A, A + ( A) = 0, AI = A ja AA 1 = I, kun A on kääntyvä. Vastaavasti kun a on reaaliluku, niin a + 0 = a, a + ( a) = 0, ja a1 = a ja aa 1 = 1, kun a 0. Lause Olkoot A ja B kääntyviä matriiseja. Silloin (a) AB on kääntyvä, (b) (AB) 1 = B 1 A 1. Todistus. Oletetaan, että A ja B ovat kääntyviä matriiseja. Siis on olemassa matriisit A 1 ja B 1. Nyt ja (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AIA 1 = AA 1 = I (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 IB = B 1 B = I, joten B 1 A 1 on matriisin AB käänteismatriisi. Siis AB on kääntyvä eli kohta (a) pätee ja (AB) 1 = B 1 A 1 eli kohta (b) pätee. Määritelmä Olkoon A neliömatriisi ja n Z +. Tällöin (a) A 0 = I, (b) A n = AA n 1 = (c) A n = (A 1 ) n = n kpl {}}{ A A, n kpl {}}{ A 1 A 1, kun A on kääntyvä. Lause Olkoon A kääntyvä matriisi. Silloin (a) A 1 on kääntyvä ja (A 1 ) 1 = A, (b) A n on kääntyvä ja (A n ) 1 = (A 1 ) n, n Z + {0}, (c) (ka) 1 = 1 k A 1, kun k 0. 12

13 Todistus. Kohdat (a) ja (b) ovat harjoitustehtäviä. Todistetaan kohta (c). Oletetaan, että A on kääntyvä matriisi ja k R, k 0. Nyt (ka)( 1 k A 1 ) = (k 1 k )(AA 1 ) = 1I = I ja ( 1 k A 1 )(ka) = ( 1 k k)(a 1 A) = 1I = I, joten (ka) 1 = 1 k A 1. Määritelmä (Transpoosi). Olkoon A = [a ij ] m n matriisi. Sen transpoosi on sellainen n m matriisi B, että Merkitään B = A T. b ij = a ji. Esimerkki Olkoon 1 2 A = Tällöin ja A T = [ ] (A T ) T = = A. Lause Olkoot A ja B kussakin kohdassa sopivan kokoisia matriiseja, ja olkoon k R skalaari. Silloin (a) (A T ) T = A, (b) (A + B) T = A T + B T, (c) (ka) T = ka T, (d) (AB) T = B T A T. Todistus. Kohdat (a), (b) ja (c) ovat harjoitustehtäviä. Todistetaan tässä kohta (d). Oletetaan sitä varten, että A on m n-matriisi ja B on n k- matriisi. Silloin AB on m k-matriisi ja sen alkio paikassa ij (ts. rivillä i ja sarakkeella j) on r a ik b kj, k=1 13

14 joten matriisi (AB) T on k m-matriisi, jonka alkio paikassa ij on r a jk b ki. k=1 Merkitään A T = [c ij ] ja B T = [d ij ]. Silloin A T on n m-matriisi ja B T on k n-matriisi, joten B T A T on k m-matriisi, jonka alkio paikassa ij on r d ik c kj. k=1 Nyt c kj = a jk ja d ik = b ki. Näin ollen matriisin B T A T alkio paikassa ij on r a jk b ki. k=1 Siis matriisit (AB) T ja B T A T ovat samaa kokoa ja niiden alkiot paikassa ij ovat samat. Täten (AB) T = B T A T. Määritelmä Matriisia A sanotaan symmetriseksi, jos Esimerkki Matriisi on symmetrinen. A T = A. a d e d b f e f c Huomautus. Vain neliömatriisi voi olla symmetrinen. 1.4 Determinantti Määritelmä Olkoon A n n matriisi. Sen determinantti on det A = sgn(j 1,..., j n )a 1j1 a 2j2 a njn, (j 1,...,j n) missä (j 1,..., j n ) käy läpi kaikki joukon {1, 2,..., n} permutaatiot. Huomautus. Determinantin määritelmä ei kuulu tämän kurssin vaatimuksiin. Se käsitellään tarkemmin kurssilla Algebra 1. Merkintä. Matriisin A determinanttia merkitään notaatioilla det A ja A. Huomautus. Reaalialkioisen matriisin determinantti on kuvaus R n n R. Huomautus. Seuraavassa luvussa tarkastellaan determinantin laskemista ja sen ominaisuuksia ns. kofaktoriesityksen avulla. Huomautus. Determinanttia käytetään muun muassa käänteismatriisien laskemiseen, yhtälöryhmien ratkaisemiseen ja tilavuuksien määrittämiseen. 14

15 1.5 Kofaktori Määritelmä Olkoon A n n-neliömatriisi, ja olkoot 1 i, j n. Silloin minori M ij on sellaisen matriisin determinantti, joka saadaan poistamalla i. rivi ja j. sarake matriisista A. Lukua ( 1) i+j M ij sanotaan (alkion a ij ) kofaktoriksi. Merkitään C ij = ( 1) i+j M ij. Esimerkki Olkoon Saadaan esimerkiksi, että A = M 11 = 4 8 ja C 11 = ( 1) 1+1 M 11 = M 11. Saadaan myös, että 3 4 M 32 = 2 6 ja C 32 = ( 1) 3+2 M 32 = M 32. Lause (Kofaktoriesitys 1. rivin suhteen). Olkoon A n n neliömatriisi. Tällöin det A = a 11 C 11 + a 12 C a 1n C 1n. Todistus. Sivuutetaan. Huomautus. Kofaktoriesitys voidaan toteuttaa muiden kuin 1. rivin suhteen. Lause Olkoon A = [a] 1 1. Silloin Todistus. Sivuutetaan. Lause Olkoon 2 2 matriisi. Silloin Todistus. Harjoitustehtävä. det A = a. [ ] a b A = c d det A = ad bc. Esimerkki Lasketaan [ ] 1 0 det = = ja det [ ] 1 2 = =

16 Esimerkki Olkoon Silloin det A = A = = 3 C C C 13 = 3( 1) ( 1) ( 1) = 3 1 ( 10) + 1 ( 1) = 40. Lause Olkoon A 3 3 matriisi. Silloin det A voidaan laskea kaavalla det A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Todistus. Harjoitustehtävä. Esimerkki Lasketaan = = Määritelmä (Kolmiomatriisi). Neliömatriisi A = [a ij ] on yläkolmiomatriisi, jos jokainen alkio diagonaalin alapuolella on 0. Toisin sanoen a ij = 0, kun i > j. Neliömatriisi A = [a ij ] on alakolmiomatriisi, jos jokainen alkio diagonaalin yläpuolella on 0. Toisin sanoen a ij = 0, kun i < j. Ylä- ja alakolmiomatriisit ovat kolmiomatriiseja. Esimerkki Matriisi on yläkolmiomatriisi. Matriisi on alakolmiomatriisi. Matriisi a b c 0 d e 0 0 f a 0 0 b c 0 d e f a b c on diagonaalimatriisi ja tällöin sekä ylä- että alakolmiomatriisi. 16

17 Lause Jos A on kolmiomatriisi, niin det A = a 11 a 22 a nn Todistus. Todistetaan 3 3 alakolmiomatriisille. Yleinen tapaus voidaan todistaa induktiolla. Olkoon A 3 3 alakolmiomatriisi. Merkitään a 0 0 A = b c 0. d e f Nyt a 0 0 b c 0 = a C C C 13 d e f c 0 = a e f = a(cf 0e) = acf. Lause (Rivioperaatiot). 1) Olkoon A matriisi, joka saadaan matriisista A vaihtamalla kahden rivin paikkaa keskenään. Silloin det A = det A. 2) Olkoon A matriisi, joka saadaan matriisista A kertomalla yksi rivi skalaarilla k R. Silloin det A = k det A. 3) Olkoon A matriisi, joka saadaan matriisista A lisäämällä yksi rivi vakiolla kerrottuna toiseen riviin. Silloin Todistus. Luennot ja harjoitukset. det A = det A. Esimerkki Lasketaan = = = = ( 1) 5 1 = 5. 17

18 Seuraus. Rivioperaatioiden lisäksi voidaan käyttää sararakeoperaatioita samaan tapaan. Lause (Nollarivi). Olkoon A neliömatriisi, jonka jokin rivi koostuu pelkistä nollista. Silloin det A = 0. Todistus. Oletetaan, että A on neliömatriisi, jonka jokin rivi koostuu pelkistä nollista. Jos nollarivi ei ole ensimmäinen rivi, niin olkoon A matriisi, joka on saatu matriisista A vaihtamalla nollarivi ja ensimmäinen rivi keskenään. Tällöin det A = det A = (0 C C C 1n) = 0 = 0. Jos nollarivi on ensimmäinen rivi, niin det A = 0 C C C 1n = 0. Lause Olkoon A neliömatriisi. Silloin det A = det A T. Todistus. Seuraa määritelmistä. Sivuutetaan. Lause (Tulon determinantti). Olkoot A ja B samankokoisia neliömatriiseja. Silloin det(ab) = det A det B. Todistus. Sivuutetaan yleisessä tapauksessa. Esimerkki Olkoon A neliömatriisi. Tällöin det A 2 = (det A)(det A) = (det A) 2 0. Lause Olkoot A,B,C R n n sellaiset matriisit, että c 1j = a 1j + b 1j, j = 1, 2,..., n, ja a ij = b ij = c ij, kun i = 2, 3,..., n, j = 1, 2,..., n. Silloin det C = det A + det B. Todistus. Saadaan kofaktoriesityksestä. Huomautus. Rivin 1 sijasta voidaan tarkastella muutakin riviä tai saraketta. Esimerkki Lauseen perusteella =

19 Huomautus. Yleensä det(a + B) det A + det B. Määritelmä (Matriisin aste). Olkoon A m n matriisi. Sen aste on r, jos matriisilla A on ainakin yksi r r-alimatriisi, jonka determinantti ei ole nolla, ja jokaisen (r + 1) (r + 1)-alimatriisin determinantti on nolla. Huomautus. Jos A on m n-matriisi, sen aste on korkeintaan min{m, n}. Esimerkki Matriisin A = aste on = 2, sillä matriisin A kaikkien 3 3-alimatriisien (mitkä ne ovat?) determinantit ovat nollia ja matriisilla A on 2 2-alimatriisi, jonka determinantti poikkeaa nollasta (nimittäin 1 1 = 1 0) Esimerkki Matriisin A = [ 1 0 ] aste on = 1, sillä matriisin A kaikkien 2 2-alimatriisien (mitkä ne ovat?) determinantit ovat nollia ja matriisilla A on 1 1-alimatriisi, jonka determinantti poikkeaa nollasta (esimerkiksi det[1] = 1 0). 1.6 Käänteismatriisin kaava ja olemassaolo Määritelmä Matriisin A R n n adjungaatti on C 11 C C n1 adj A = [C ij ] T C 12 C C n2 = C 1n C 2n... C nn Lause Olkoon A neliömatriisi ja det A 0. Silloin matriisi A on kääntyvä ja A 1 = 1 adj A. det A 19

20 Todistus. Oletetaan, että A on sellainen neliömatriisi, että det A 0. Merkitään [C ij ] T = [d ij ]. Tällöin A(adj A) = [a ij ] [C ij ] T = [a ij ] [d ij ] [ r = = ] a ik d kj k=1 [ r = B. ] a ik C jk k=1 Tarkastellaan matriisin B alkioita. Jos i = j, niin r b ii = a ik C ik = det A. k=1 Jos i j, niin r b ij = a ik C jk = det A, k=1 missä A on matriisi, joka on saatu matriisista A korvaamalla j. rivi i. rivillä. Tällöin matriisin A i. ja j. rivi ovat samat, joten det A = 0. Siis det A det A... 0 A(adj A) =..... = (det A)I det A Nyt A( adj A) = (A(adj A)) = (det A)I = I det A det A det A ja vastaavasti ( 1 adj A)A = I, joten adj A = det A A 1. Esimerkki Olkoon A = Tällöin det A = 40 ja C 11 = ( 1) = 10 C 12 = ( 1) = 10 C 13 = ( 1) =

21 Vastaavasti saadaan, että C 21 = 5, C 22 = 15, C 23 = 10, C 31 = 2, C 32 = 6, C 33 = 4, jolloin adj A = Siis A 1 = Lause Neliömatriisi A on kääntyvä, jos ja vain jos det A 0. Todistus. Olkoon A neliömatriisi. Oletetaan ensin, että A on kääntyvä. Tällöin A 1 on olemassa. Nyt AA 1 = I det(aa 1 ) = det I (det A)(det A 1 ) = 1, joten det A 0. Oletetaan sitten, että det A 0. Tällöin lauseen nojalla käänteismatriisi on olemassa ja näin ollen A on kääntyvä. Esimerkki Olkoon ja Silloin joten A on kääntyvä, mutta joten B ei ole kääntyvä. A = B = Seuraus. Jos A on kääntyvä, niin [ ] [ ] det A = 1 0, det B = 0, det A 1 = 1 det A. Todistus. Oletetaan, että A on kääntyvä. Tällöin det A 0. Lauseen todistuksen nojalla (det A)(det A 1 ) = 1, joten tästä saadaan, että det A 1 = 1 det A. 21

22 Esimerkki Olkoot A, B R n n sellaisia, että BA = I. Silloin B = A 1. Todistus. Oletetaan, että A, B R n n ja BA = I. Nyt BA = I det(ba) = det I det B det A = 1, joten det A 0. Siis A 1 on olemassa. Tällöin BA = I (BA)A 1 = IA 1 B(AA 1 ) = A 1 BI = A 1 B = A Lineaariset yhtälöryhmät Määritelmä Lineaarinen yhtälöryhmä on muotoa missä a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, luvut x 1, x 2,..., x n ovat tuntemattomia muuttujia, termit a ij ovat vakiokertoimia, ij on indeksi, termit b i ovat vakiotermejä. Huomautus. Määritelmässä yhtälöitä on siis m kappaletta ja tuntemattomia muuttujia n kappaletta. Huomautus. Jos tuntemattomia muuttujia on kolme, merkitään niitä usein symboleiden x 1, x 2, x 3 sijaan symboleilla x, y, z. Jos tuntemattomia muuttujia on kaksi, merkitään niitä usein symboleiden x 1, x 2 sijaan symboleilla x, y. 22

23 Huomautus. Lineaarisen yhtälöryhmän yhtälöt koostuvat siis vakiolla kerrotuista muuttujista, joita on laskettu yhteen, sekä vakiotermeistä. Esimerkki Esimerkiksi x + 2y + 3z = 2 x + y + 2z = 1 2x + 3y z = 2 on lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on kolme tuntematonta muuttujaa ja kolme yhtälöä. Esimerkki Yhtälöryhmät { x + xy = 1 x + 2y = 5 ja { x + y = 3 x y = sin x ovat eivät ole lineaarisia, mutta yhtälöryhmät { x + y = 3 x y = 2x ja { x + y = 5 ovat lineaarisia. 2y z = 2 Ratkaiseminen. Yhtälöryhmän ratkaisemisessa käytetään seuraavia elementaarisia rivioperaatioita: 1. Kahden yhtälön paikkaa voidaan vaihtaa. 2. Yhtälö voidaan kertoa puolittain nollasta eroavalla vakiolla. 3. Yhden yhtälön puolittainen monikerta voidaan lisätä puolittain toiseen yhtälöön. Esimerkki Ratkaistaan yhtälöryhmä { x + 3y = 3 x 6y = 3. 23

24 Tehdään ratkaisu ensin niin, että eliminoidaan y toisesta yhtälöstä. Tällöin { x + 3y = 3 x 6y = 3 +2I { x + 3y = 3 3x = { x + 3y = 3 x = 1 x = 1 { 1 + 3y = 3 x = 1 { 3y = x = 1 { y = 2 3 x = 1. Toisaalta voitaisiin ratkaista yhtälöryhmä eliminoimalla x ensimmäisestä yhtälöstä. Tällöin { x + 3y = 3 II x 6y = 3 { 9y = 6 x 6y = 3. Ylemmästä yhtälöstä saadaan, että y = 2, jolloin sijoittamalla tämä toiseen 3 yhtälöön saadaan x = 6y 3 = = 4 3 = 1. Tarkistetaan ratkaisun oikeellisuus sijoittamalla se alkuperäiseen yhtälöryhmään. Saadaan joten ratkaisu on oikein = = 3, = 1 4 = 3, Esimerkki Ratkaistaan yhtälöryhmä x + 2y + 3z = 2 x + y + 2z = 1 2x + y + z = 1. 24

25 Saadaan x + 2y + 3z = 2 x + y + 2z = 1 2x + y + z = 1 y + z = 1 x + y + 2z = 1 x z = 0 +I y + z = 1 x + y + 2z = 1 Yhtälöryhmän ratkaisu on siis x + y = 1 y + z = 1 II II +III 2z = x + y = 1 y + z = 1 z = 0 z = 0 x + y = 1 y = 1 z = 0 x + y = 1 y = 1. y = 1 z = 0 x = 0. x = 0 y = 1 z = 0. Esimerkki Ratkaistaan yhtälöryhmä { x + 2y + 3z = 2 Saadaan x + y + 2z = 1. { x + 2y + 3z = 2 II x + y + 2z = 1 { y + z = 1 x + y + 2z = 1 { y + z = 1 x + z = 0. I 25

26 Merkitään z = t, jolloin saadaan ensimmäisestä yhtälöstä y = 1 t ja toisesta yhtälöstä x = t. Siis yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan x = t y = 1 t, t R. z = t Huomautus. Käytännössä lineaarisia yhtälöryhmiä ratkotaan usein matemaattisilla ohjelmistoilla, esimerkiksi WolframAlphalla. Määritelmä Lineaarinen yhtälöryhmä on homogeeninen, jos b 1 = = b m = 0. Huomautus. Homogeenisella lineaarisella yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua tai vain ratkaisu x 1 = = x n = 0 eli ns. triviaaliratkaisu. Jos homogeenisessa lineaarisessa yhtälöryhmässä on enemmän muuttujia kuin yhtälöitä eli jos n > m, niin ratkaisuja on ääretön määrä. Esimerkki Ratkaistaan yhtälöryhmä { x + y + z = 0 Saadaan x + 2y + 2z = 0. { x + y + z = 0 x + 2y + 2z = 0 I { x + y + z = 0 II y + z = 0 { x = 0 y + z = 0. Merkitään y = t, jolloin saadan, että z = t. Siis ratkaisuksi saadaan x = 0 y = t, t R. z = t 1.8 Lineaariset yhtälöryhmät matriiseilla Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n, jossa on n yhtälöä ja n tuntematonta x 1, x 2,..., x n. 26

27 Merkintä. Merkitään X = [x 1,..., x n ] T, B = [b 1,..., b n ] T ja A = [a ij ]. Tällöin saadaan matriisiyhtälö AX = B. Jos A on kääntyvä, niin ratkaisu on X = A 1 B. Lause (Cramerin sääntö). Tarkastellaan yhtälöä (1.1) AX = B, missä det A 0. Olkoon A j matriisi, joka saadaan matriisista A korvaamalla j. sarake matriisilla B. Toisin sanoen b 1 a a 1n b 2 a a 2n A 1 =.....,. b n a n2... a nn a 11 b 1... a 1n a 21 b 2... a 2n A 2 = a n1 b n... a nn ja niin edelleen. Silloin yhtälön (1.1) ratkaisu on x 1 = det A 1 det A,..., x n = det A n det A. Todistus. Oletetaan, että A on kääntyvä matriisi, X = [x 1,..., x n ] T ja B = [b 1,..., b n ] T. Nyt X = A 1 B = 1 det A adj(a)b b 1 = 1 det A [C ij] T. b n = 1 [ n ] C ki b k. det A k=1 27

28 Tällöin x i = 1 det A n b k C ki k=1 = 1 det A det A i = det A i det A, missä A i on kuten lauseessa määriteltiin. Esimerkki Olkoon x 1 + 2x 3 = 6 3x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 30 x 1 2x 2 + 3x 3 = 8. Tällöin saadaan, että x 1 6 A = 3 4 6, X = x 2, B = 30, x A 1 = , A 2 = , A 3 = Lasketaan determinantit, jolloin saadaan det A = 44, det A 1 = 40, det A 2 = 72 ja det A 3 = 152. Näiden avulla saadaan yhtälöryhmän ratkaisu x 1 = = 10 11, x 2 = = 18 11, x 3 = = Lause Olkoon A neliömatriisi. Silloin seuraavat kohdat ovat yhtäpitäviä: 1. A on kääntyvä, 2. det A 0, 3. yhtälöryhmällä AX = 0 on vain triviaali ratkaisu X = 0, 4. yhtälöryhmä AX = B on ratkeava aina, kun B R n 1. 28

29 Todistus. Kohtien (1) ja (2) yhtäpitävyys on todistettu lauseessa Oletetaan, että A on kääntyvä. Tällöin AX = 0 X = A 1 0 X = 0, joten kohdasta (1) seuraa kohta (3). Oletetaan sitten, että A on kääntyvä ja B R n 1. Tällöin AX = B joten kohdasta (1) seuraa kohta (4). Muut suunnat sivuutetaan. X = A 1 B, 29

30 Luku 2 Vektorialgebraa 2.1 Geometriset vektorit Vektorit ovat suuntajanojen ekvivalenssiluokkia. Yleensä ekvivalenssiluokan edustaja ja vektori eli ekvivalenssiluokka samaistetaan. Kaksi vektoria ovat samat, jos ja vain jos 1. niillä on sama suunta, 2. ne ovat yhtä pitkät. Kuvassa 2.1 t u = v w t. Kuva 2.1: Vektoreita. Summa. Vektoreiden summa saadaan yhdistämällä vektorit alku- ja loppupisteistään kuvan 2.2 tavalla. Kuva 2.2: Vektoreiden summa. 30

31 Skalaarilla kertominen. Skalaarilla kerrottu vektori saadaan venyttämällä (kun skalaari on > 1) alkuperäistä vektoria kuvan 2.3 tavalla. Kuva 2.3: Skalaarilla kertominen. 2.2 Vektoriavaruus R n, n Z + Joukko R n on R n = n kpl {}}{ R R = {(u 1, u 2,..., u n ) u 1, u 2,..., u n R}. Summa. Olkoot (u 1,..., u n ), (v 1,..., v n ) R n. Silloin (u 1,..., u n ) + (v 1,..., v n ) = (u 1 + v 1,..., u n + u n ). Skalaarilla kertominen. Olkoon (u 1,..., u n ) R n ja k R. Silloin k(u 1,..., u n ) = (ku 1,..., ku n ). Nyt joukko R n (varustettuna yo. laskutoimituksilla) on vektoriavaruus ja sen alkiota kutsutaan vektoreiksi. Merkitään u = (u 1,..., u n ). Huomautus. Vektoreiden yhtäsuuruudelle pätee Esimerkki Vektoriavaruuden u = v u 1 = v 1,..., u n = v n. R 2 = {(u 1, u 2 ) u 1, u 2 R} alkioita voidaan havainnollistaa xy-tason nuolilla. Kuvassa 2.4 P (3, 2) on piste ja u = (3, 2) on vektori. Suuntajana OP on vektorin u yksi edustaja. 31

32 Kuva 2.4: Vektoreiden havainnollistus xy-tasossa. 2.3 Vektorialgebraa vektoriavaruudessa R n Määritelmä Nollavektori 0 R n on sellainen vektori, että u + 0 = 0 + u = u aina, kun u R n. Vektorin u R n vastavektori u R n on sellainen vektori, että u + ( u) = ( u) + u = 0. Lause Olkoot u, v, w R n ja k, l R. Silloin (1) u + v = v + u (kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus), (2) (u + v) + w = u + (v + w) (assosiatiivisuus eli liitännäisyys), (3) 0 = (0,..., 0) (nollavektori), (4) u = ( u 1,..., u n ) (vektorin u vastavektori), (5) k(lu) = (kl)u, (6) k(u + v) = ku + kv, (7) (k + l)u = ku + lu, (8) 1u = u. 32

33 Todistus. Oletetaan, että u, v, w R n ja k, l R. Todistetaan kohta (1). Nyt u + v = (u 1,..., u n ) + (v 1,..., v n ) = (u 1 + v 1,..., u n + v n ) = (v 1 + u 1,..., v n + u n ) = (v 1,..., v n ) + (u 1,..., u n ) = v + u, joten kohta (1) on voimassa. Todistetaan kohta (3). Merkitään 0 = (t 1,..., t n ). Nyt u + 0 = (u 1,..., u n ) + (t 1,..., t n ) = (u 1 + t 1,..., u n + t n ). Nollavektorin ominaisuuksien nojalla u + 0 = u, joten u 1 + t 1 = u 1,..., u n + t n = u n. Tästä saadaan, että t 1 = 0,..., t n = 0, joten kohta (3) on voimassa. Todistetaan kohta (8). Nyt 1u = (1u 1,..., 1u n ) = (u 1,..., u n ) = u, joten kohta (8) on voimassa. Muut kohdat ovat harjoitustehtäviä. Määritelmä Olkoot u, v R n. Silloin vektoreiden u ja v erotus on u v = u + ( v). Lause Olkoot u, v R n. Silloin u v = (u 1 v 1,..., u n v n ). Todistus. Oletetaan, että u, v R n. Tällöin u v = u + ( v) = (u 1,..., u n ) + ( v 1,..., v n ) = (u 1 + ( v 1 ),..., u n + ( v n )) = (u 1 v 1,..., u n v n ). 33

34 2.4 Vektoreiden skalaaritulo eli pistetulo Määritelmä Määritelmä Olkoot u, v R n. Silloin niiden skalaaritulo (eli pistetulo) on u v = u 1 v u n v n. Esimerkki Olkoon u = (1, 1, 1) ja v = (2, 0, 1). Silloin u v = = 3. Huomautus. Pistetulo on ns. euklidinen sisätulo Algebrallisia ominaisuuksia Lause Olkoot u, v, w R n, ja olkoon k R. Silloin (1) u v = v u, (2) u (v + w) = u v + u w, (3) (ku) v = k(u v)[= u (kv)], (4) u u 0, ja u u = 0 u = 0, (5) u 0 = 0[= 0 u]. Todistus. Oletetaan, että u, v, w R n ja että k R. Todistetaan kohta (1). Nyt u v = (u 1,..., u n ) (v 1,..., v n ) = u 1 v u n v n = v 1 u v n u n = (v 1,..., v n ) (u 1,..., u n ) = v u, joten kohta (1) pätee. Todistetaan kohta (3). Nyt (ku) v = (k(u 1,..., u n )) (v 1,..., v n ) = (ku 1,..., ku n ) (v 1,..., v n ) = (ku 1 )v (ku n )v n = k(u 1 v 1 ) + + k(u n v n ) = k(u 1 v u n v n ) = k((u 1,..., u n ) (v 1,..., v n )) = k(u v), joten kohta (3) pätee. Muut kohdat ovat harjoitustehtäviä. 34

35 Huomautus. Onko voimassa (u v) w = u (v w)? Onko olemassa sellaista vektoria v R n, että u v = v u = u aina, kun u R n? Onko olemassa käänteisvektoria pistetulon suhteen? Geometrisia ominaisuuksia Määritelmä Vektorin u R n pituus u on Kyseessä on ns. euklidinen pituus. Huomautus. Pituudelle pätee u = u = u u. u u 2 n. Esimerkki Määritelmän nojalla (1, 1) = = 2. Lause (Cauchy-Schwarz). Olkoot u, v R n. Silloin u v u v. Määritelmä Olkoot u, v R n \ {0}. Silloin vektoreiden u ja v välinen kulma θ [0, π] määritellään kaavalla ts. cos θ = θ = arccos u v u v u v u v. Esimerkki Olkoon u = (2, 0) ja v = (1, 1). Silloin joten θ = π 4. cos θ = = = 1 2, Määritelmä Vektorit u ja v ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos Silloin merkitään u v. u v = 0. 35

36 Lause Olkoot u, v 0. Silloin u v θ = π 2. Todistus. Oletetaan, että u, v 0. Nyt θ = π 2 cos θ = 0 u v u v = 0 u v = 0 u v. Esimerkki Vektoreille (1, 1) ja (1, 1) pätee (1, 1) (1, 1), koska (1, 1) (1, 1) = ( 1) = 0. Määritelmä Olkoot u, v 0. Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset, jos u = kv, k R \ {0}. Silloin merkitään u v. Huomautus. Jos k > 0, sanotaan, että vektorit ovat samansuuntaiset. Jos k < 0, sanotaan, että vektorit ovat vastakkaissuuntaiset. Huomautus. Kun v R n ja k R, kv = kv kv = Lause Olkoot u, v 0. Silloin k 2 (v v) = k v v = k v. u v θ = 0 tai θ = π. Todistus. Oletetaan ensin, että u v. Siis on olemassa sellainen k R \ {0}, että u = kv. Tällöin u v = (kv) v = k(v v) = k v 2 ja u = kv = k v. Nyt cos θ = u v u v = joten θ = 0 tai θ = π. Toinen suunta sivuutetaan. k v 2 k v v = k k = ±1, 36

37 Esimerkki Pitääkö paikkansa, että 1. u v ja v w u w, 2. u v ja v w u w? Ratkaisu. Väite (1) on oikein. Oletetaan, että u v ja v w. Tällöin u = kv, missä k 0, ja v w = 0. Nyt u w = (kv) w = k(v w) = k0 = 0, joten u w. Väite (2) on väärin. Annetaan tästä vastaesimerkki. Oletetaan, että u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0) ja w = (0, 0, 1). Tällöin u v = 0 ja v w = 0, mutta u kw, koska 1 = k0 ei päde millään luvun k arvolla. Huomautus. Olkoot u, v 0. Silloin u v u v = u v. Lause (Kolmioepäyhtälö). Olkoot u, v R n. Silloin u + v u + v. Todistus. Oletetaan, että u, v R n. Tällöin u + v 2 = (u + v) (u + v) = (u + v) u + (u + v) v = u u + v u + u v + v v = u 2 + u v + u v + v 2 = u 2 + 2(u v) + v 2 u u v + v 2 u u v + v 2 = ( u + v ) 2. Lause (Pythagoraan lause). Olkoot u, v R n sellaiset, että u v. Silloin u + v 2 = u 2 + v 2. Todistus. Todistus on samanlainen kuin kolmioepäyhtälön todistus. Luennot/harjoitustehtävä. Lause (Kosinilause). Olkoot kolmion sivujen pituudet a, b, c, ja olkoon pituudeltaan a olevan sivun vastakkainen kulma α. Silloin a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α. 37

38 Todistus. Luennot/harjoitustehtävä. Esimerkki Olkoot kolmion sivujen pituudet 1, 1, 1. Mikä on kulma? Ratkaisu. Lasketaan kulma kosinilauseella. Saadaan 1 2 = cos α cos α = 1 2 α = π Projektio Olkoon a annettu suunta. Kirjoitetaan vektori u muodossa u = v + w, missä v a (tai v = 0) ja w a, mikäli se on mahdollista. Silloin v = ka, w = u ka ja w a = 0. Siis osittelemalla erotuksen suhteen (luennot/harj) saadaan 0 = (u ka) a = u a (ka) a = u a k(a a) = u a k a 2, joten saadaan, että k = u a a 2. Näin ollen v = u a a 2 a. Määritelmä Olkoot u, a R n. Silloin vektorin u projektio suuntaan a on ( ) u a proj a u = a 2 a, a 0. 38

39 Kuva 2.5: Projektio. Kuvassa 2.5 on vektorin u projektio suuntaan a. Huomautus. Projektioille pätee proj a u = proj a u. Huomautus. Projektion pituudelle pätee u a proj a u = a 2 a u a cos θ = a 2 a = u cos θ. Kuva 2.6: Projektiokulma. Kuvassa 2.6 vasemmanpuoleisessa tapauksessa v = u cos θ ja oikeanpuoleisessa tapauksessa v = u cos θ. Esimerkki Olkoon a = (1, 1) ja u = (3, 5). Silloin Siis w = u v = ( 1, 1), joten missä (4, 4) ( 1, 1). proj a u = u a a 2 a = ( (1, 1) ) 2 = 8 (1, 1) 2 = 4(1, 1) = (4, 4) = v. u = v + w = (4, 4) + ( 1, 1), 39

40 2.5 Vektoritulo eli ristitulo Määritelmä Merkintä. Yksikkökoordinaattivektorit vektoriavaruudessa R 3 ovat i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). Siis jokaista vektoria u R 3 kohti on olemassa sellaiset u 1, u 2, u 3 R, että u = u 1 i + u 2 j + u 3 k. Määritelmä Olkoot u, v R 3. Silloin niiden vektoritulo eli ristitulo u v on u u v = 2 u 3 v 2 v 3 i u 1 u 3 v 1 v 3 j + u 1 u 2 v 1 v 2 k i j k = u 1 u 2 u 3. v 1 v 2 v 3 Esimerkki Olkoon u = (1, 2, 0) ja v = (3, 0, 1). Silloin 2 0 u v = 0 1 i j k = ( )u ( )j + ( )k = 2i j 6k Algebrallisia ominaisuuksia Lause Olkoot u, v, w R 3, ja olkoon k R. Silloin (1) u v = (v u) (antikommutatiivisuus), (2) u (v + w) = u v + u w (osittelulaki), (3) (u + v) w = u w + v w (osittelulaki), (4) k(u v) = (ku) v = u (kv) (skalaarin siirto), (5) u 0 = 0 u = 0 (nollavektorin tulo), (6) u u = 0. Todistus. Oletetaan, että u, v, w R 3 ja k R. Todistetaan kohta (1). Nyt i j k i j k u v = u 1 u 2 u 3 = v 1 v 2 v 3 = (v u), v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 40

41 joten kohta (1) pätee. Todistetaan kohta (4). Nyt ja i j k i j k k(u v) = k u 1 u 2 u 3 = ku 1 ku 2 ku 3 = (ku) v v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3 i j k i j k k(u v) = k u 1 u 2 u 3 = u 1 u 2 u 3 = u (kv), v 1 v 2 v 3 kv 1 kv 2 kv 3 joten kohta (4) pätee. Muut kohdat ovat harjoitustehtäviä. Huomautus. Yleisesti u (v w) (u v) w Geometrisia ominaisuuksia Lause Olkoot u, v R 3. Silloin 1. u v u, 2. u v v. Todistus. Oletetaan, että u, v R n. Todistetaan kohta (1). Pitää siis osoittaa, että (u v) u = 0. Nyt (u v) u = u (u v) ( ) u = (u 1, u 2, u 3 ) 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u 2 v 1 v 2 u = u 2 u 3 1 v 2 v 3 u u 1 u 3 2 v 1 v 3 + u u 1 u 2 3 v 1 v 2 u 1 u 2 u 3 = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = 0, joten määritelmän nojalla (u v) u. Kohta (2) todistetaan vastaavasti. 41

42 Lause (Lagrange). Olkoot u, v R 3. Silloin Todistus. Harjoitustehtävä. u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2. Lause Olkoot u, v R 3 \ {0}. Silloin u v = u v sin θ. Todistus. Oletetaan, että u, v R 3 \ {0}. Lauseen avulla saadaan, että u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 = u 2 v 2 ( u v cos θ) 2 = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 θ = u 2 v 2 (1 cos 2 θ) = u 2 v 2 sin 2 θ. Ottamalla tästä yhtälöstä neliöjuuri puolittain saadaan u v = u v sin θ. Vektorin pituus on aina ei negatiivinen ja sin θ 0, koska θ [0, π]. Siis u v = u v sin θ. Lause Vektoreiden u, v R 3 \{0} määräämän suunnikkaan pinta-ala on u v. Todistus. Oletetaan, että u, v R 3 \ {0}. Olkoon u suunnikkaan kanta ja h suunnikkaan korkeus. Tällöin h = v sin θ. Siis A = u h = u v sin θ, joten lauseen nojalla A = u v. Kuva 2.7: Suunnikas. 42

43 Kuvassa 2.7 on havainnollistus lauseen todistuksesta, kun θ on terävä kulma. Huomautus. Kahden vektorin määräämän kolmion pinta-ala on puolet niiden määräämän suunnikkaan pinta-alasta eli Kuva 2.8 havainnollistaa tilannetta. A = 1 u v. 2 Kuva 2.8: Suunnikkaan määräämä kolmio. Huomautus. Pisteestä P (a 1, a 2, a 3 ) pisteeseen Q(b 1, b 2, b 3 ) kulkeva vektori on u = P Q = (b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ). Vektori voidaan laskea samalla tavalla missä tahansa vektoriavaruudessa R n. Kuvassa 2.9 on vektori P Q vektoriavaruudessa R 3. Kuva 2.9: Vektori pisteestä P pisteeseen Q. Lause Olkoot u, v R 3 \ {0}. Silloin u v = 0 u v. Todistus. Oletetaan, että u, v R 3 \ {0}. Nyt u v = 0, jos ja vain jos u v = 0. Lauseen nojalla u v = u v sin θ, joten u v = 0, jos ja vain jos u v sin θ = 0. Koska u, v 0, tämä on voimassa, jos ja vain jos sin θ = 0. Edelleen tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että θ = 0 tai θ = π. Lauseesta saadaan, että tämä pätee, jos ja vain jos u v. Siis on osoitettu, että u v = 0 u v. 43

44 Huomautus. Olkoot u, v R 3 \ {0}. Silloin ja u v u v = 0 u v = u v u v u v = 0 u v = u v Lause (Sinilause). Kolmiossa sivun pituuden suhde vastakkaisen kulman siniin on vakio. Todistus. Olkoon kolmion kaksi sivua vektorit a ja b. Tällöin kolmas sivu on vektori b a. Havainnollistus tästä on kuvassa Nyt saadaan yhtälöt ja Kuva 2.10: Vektoreiden muodostama kolmio. Yhdistämällä nämä yhtälöt saadaan ja edelleen b (b a) = b b b a = a b a (b a) = a b a a = a b. b (b a) = a (b a), b (b a) = a (b a). Lauseen avulla saadaan nyt, että b b a sin α = a b a sin(π β) b b a sin α = a b a sin β b sin α = a sin(β) a sin α = b sin β. 44

45 2.5.4 Skalaarikolmitulo Määritelmä Olkoot u, v, w R 3. Silloin on vektoreiden ns. skalaarikolmitulo u (v w) Lause Olkoot u, v, w R 3. Silloin Todistus. Harjoitustehtävä. u 1 u 2 u 3 u (v w) = v 1 v 2 v 3. w 1 w 2 w 3 Lause Vektoreiden u, v, w R 3 määräämän suuntaissärmiön tilavuus on V = u (v w). Kuvassa 2.11 on havainnollistettu, kuinka tietyt vektorit u, v ja w määräävät suuntaissärmiön. Kuva 2.11: Vektoreiden määräämä suuntaissärmiö. 45

46 Todistus. Lauseen nojalla särmiön pohjan pinta-ala on A = v w. Särmiön korkeus saadaan vektorin u projektion pituutena suuntaan v w = z eli u z h = proj z u = z. Siis V = Ah = u z = u (v w). Esimerkki Lasketaan k (i j). Ristitulon ja pistetulon määritelmien avulla saadaan, että i j k i j = = k ja k (i j) = k k = (0, 0, 1) (0, 0, 1) = 1. Vastaavasti skalaarikolmitulon kaavalla saadaan k (i j) = = Esimerkki Skalaarikolmitulo u (u v) = 0, koska u u v. Geometrisesti tämä tarkoittaa tapausta, jossa suuntaissärmiön korkeus on 0 eli särmiö on luhistunut suunnikkaaksi Vektorikolmitulot Määritelmä Olkoot u, v, w R 3. Silloin ja u (v w) (u v) w ovat vektoreiden ns. vektorikolmituloja. Lause (kehityskaava). Olkoot u, v, w R 3. Silloin Todistus. Harjoitustehtävä. u (v w) = (u w)v (u v)w. 46

47 Luku 3 Analyyttistä geometriaa: suoran ja tason yhtälöt 3.1 Suora avaruudessa R 3 Suora tunnetaan, kun tunnetaan sen yksi piste ja suunta. Kuvassa 3.1 l on suora, Kuva 3.1: Pisteen ja vektorin määräämä suora. P = P (x 0, y 0, z 0 ) on suoran l yksi piste, OP = r 0 = x 0 i + y 0 j + z 0 k on suoran paikkavektori, d = d 1 i + d 2 j + d 3 k 0 on suoran suuntavektori. Edellä mainitut P ja d eivät ole yksikäsitteisiä. 47

48 Suoran yhtälöitä Parametriesitys vektorimuodossa Suoran parametriesitys vektorimuodossa on (3.1) l : r(t) = r 0 + td, t R. Tulkinta. Kun t käy läpi kaikki joukon R arvot, vektorin r(t) kärki piirtää suoran l. Muuttuja t on ns. parametri. Parametriesitys koordinaattimuodossa Merkitään Toisaalta r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. r(t) = r 0 + td = x 0 i + y 0 j + z 0 k + t(d 1 i + d 2 j + d 3 k) = (x 0 + td 1 )i + (y 0 + td 2 )j + (z 0 + td 3 )k. Siis (3.2) l : x(t) = x 0 + td 1 y(t) = y 0 + td 2 z(t) = z 0 + td 3 (t R). Tulkinta. Kun t käy läpi kaikki joukon R arvot, piste Q(x(t), y(t), z(t)) käy läpi suoran l pisteet. Symmetrinen muoto Oletetaan, että d 1, d 2, d 3 0. Tällöin Siis ts. t = x(t) x 0 d 1 t = y(t) y 0 d 2 t = z(t) z 0 d 3. x(t) x 0 d 1 = y(t) y 0 d 2 = z(t) z 0 d 3, (3.3) l : x x 0 d 1 = y y 0 d 2 = z z 0 d 3. 48

49 Tulkinta. Suora l koostuu niistä pisteistä Q(x, y, z), joiden koordinaatit toteuttavat yhtälön (3.3). Esimerkki Määritetään suoran yhtälöt, kun suora kulkee pisteiden P (1, 2, 3) ja Q(4, 1, 5) kautta. Valitaan r 0 = i + 2j + 3k. Valitaan suuntavektoriksi d = P Q = 4i + j + 5k (i + 2j + 3k) = 3i j + 2k. Tästä saadaan yhtälö (3.1) muodossa l : r(t) = r 0 + td = (i + 2j + 3k) + t(3i j + 2k), t R. Toisaalta r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k = (1 + 3t)i + (2 t)j + (3 + 2t)k, joten saadaan yhtälö (3.2) muodossa x(t) = 1 + 3t l : y(t) = 2 t z(t) = 3 + 2t (t R). Edelleen joten saadaan yhtälö (3.3) muodossa l : t = x(t) 1 3 t = y(t) 2 1 t = z(t) 3, 2 x 1 3 = y 2 1 = z Suora avaruudessa R 2 Asetetaan pykälän 3.1 yhtälöihin, että z 0 = 0 ja d 3 = 0. Tällöin saadaan yhtälöt (3.4) l : r(t) = r 0 + td, t R, (3.5) l : { x(t) = x0 + td 1 y(t) = y 0 + td 2 49 (t R),

50 (3.6) l : x x 0 d 1 = y y 0 d 2, kun d 1, d 2 0. Yhtälö (3.6) voidaan kirjoittaa muodossa (3.7) l : y y 0 = d 2 d 1 (x x 0 ) tai muodossa (3.8) l : y = d 2 d 1 x + d 1y 0 d 2 x 0 d 1 = kx + m, jotka ovat kulmakerroinmuotoisia yhtälöitä. Luku k on suoran kulmakerroin. Suora voidaan kirjoittaa myös muodossa d 2 (x x 0 ) = d 1 (y y 0 ). Kun merkitään d 2 = a ja d 1 = b, saadaan (3.9) a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0. Määritelmä Vektori n ( 0) on suoran l normaalivektori, jos n d, missä d on suoran l suuntavektori. Merkitään Lause Olkoon l suora n l. (3.10) l : a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0, missä a, b 0. Silloin ts. (a, b) on suoran l normaalivektori. (a, b) l, Todistus. Nyt Tällöin joten ja edelleen d = ( b, a). (a, b) d = (a, b) ( b, a) = a( b) + ba = 0, (a, b) d, (a, b) l. 50

51 Määritelmä Suoran yhtälö (3.10) on normaaliyhtälö. Huomautus. Suoran normaaliyhtälö voidaan kirjoittaa myös muodossa (3.11) ax + by + c = 0. Esimerkki Olkoon l suora x x 0 l : = y y 0, d 1 d 2 missä d 1, d 2 0. Etsi jokin suoran l normaalivektori n eli vektori, jolle pätee Ratkaisu. Selvästi Esimerkki Olkoon l suora missä k 0. Saadaan Tällöin joten sillä tällöin n d = 0. n = (d 2, d 1 ) (d 1, d 2 ) = d. l : y = kx + m, y m k = x 0. 1 d = (1, k) = i + kj, n = ki + j, n d = 0. Lause Pisteen P (x 0, y 0 ) etäisyys suorasta on l : ax + by + c = 0 D = ax 0 + by 0 + c a2 + b 2. Todistus. Olkoon Q(x 1, y 1 ) jokin suoran l piste. Lauseen nojalla vektori n = (a, b) on suoran l normaalivektori. Tällöin D = projnqp QP n = n 2 n QP n = n = a(x 0 x 1 ) + b(y 0 y 1 ) a2 + b 2 = ax 0 + by 0 + c a2 + b 2. 51

52 Kuvassa 3.2 on havainnollistettu lausetta Kuva 3.2: Pisteen P etäisyys suorasta l. 3.3 Taso avaruudessa R 3 Taso p tunnetaan, kun tiedetään tason yksi piste P ja tason (yksi) normaalivektori N. Oletetaan, että P = P (x 0, y 0, z 0 ) ja N = Ai + Bj + Ck tunnetaan. Normaaliyhtälö koordinaattimuodossa Piste Q(x, y, z) P kuuluu tasoon p, jos ja vain jos P Q N. Tämä on edelleen yhtäpitävää sen kanssa, että P Q N = 0 ((x x 0 )i + (y y 0 )j + (z z 0 )k) (Ai + Bj + Ck) = 0 On siis johdettu yhtälö A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. (3.12) p : A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0, joka on tason p normaaliyhtälö koordinaattimuodossa. Kun merkitään E = (Ax 0 + By 0 + Cz 0 ) saadaan vaihtoehtoinen muoto yhtälölle (3.12) (3.13) Ax + By + Cz + E = 0. 52

53 Esimerkki Kirjoita taso p : x + 2y z 5 = 0 muodossa (3.12). Ratkaisu. Valitaan N = Ai + Bj + Ck = i + 2j k ja Tällöin P (x 0, y 0, z 0 ) = P (0, 1, 3). p : A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 Esimerkki Kirjoita taso muodossa (3.13). Ratkaisu. Yksinkertaisella algebralla Esimerkki Etsi tasojen leikkauspiste. 1(x 0) + 2(y 1) + 1(z + 3) = 0. p : (x 1) + 3(y 2) 2(z 5) = 0 (x 1) + 3(y 2) 2(z 5) = 0 x + 3y 2z = 0 x + 3y 2z + 3 = 0. p : x + y + z 6 = 0 q : x y + z = 0 r : 2x + 3y + z 3 = 0 Ratkaisu. Leikkauspisteen on kuuluttava kaikkiin tasoihin eli sen on toteutettava jokaisen tason yhtälö. Siis saadaan yhtälöryhmä x + y + z = 6 x y + z = 0 2x + 3y + z = 3. Sen ratkaisu on joten leikkauspiste on P ( 9, 3, 12). x = 9 y = 3 z = 12, 53

54 Esimerkki Etsi tason ja suoran leikkauspiste. Ratkaisu. Nyt ja Tällöin joten p : 2x + 3y + z 5 = 0 l : x 1 2 = y 2 1 = z 3 1 N = 2i + 3j + k d = 2i j k. N d = ( 1) + 1 ( 1) = 0, N d. Siis suora l on tason p suuntainen ja näin ollen joko suoran l jokainen piste on tasossa p tai suoralla l ja tasolla p ei ole yhtään yhteistä pistettä. Huomataan, että piste P (1, 2, 3) l, mutta P (1, 2, 3) / p. Siis leikkauspistettä ei ole. Toinen tapa ratkaista tehtävä on muodostaa yhtälöryhmä. Leikkauspisteen on kuuluttava tasoon ja suoraan, joten sen on toteutettava molempien yhtälöt. Suoran yhtälöstä saadaan x 1 2 = y 2 1 eli x + 2y = 5 ja x 1 = z 3 eli x + 2z = 7, 2 1 jolloin ratkaistavaksi yhtälöryhmäksi saadaan 2x + 3y + z = 5 x + 2y = 5 x + 2z = 7. Tällä yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua, joten leikkauspisteitä ei ole. Normaaliyhtälö vektorimuodossa Merkitään, että tason tunnetun pisteen P paikkavektori on r 0. Olkoon r pisteen Q ( P ) paikkavektori. Silloin vektorin r kärkipiste (eli piste Q) kuuluu tasoon, jos ja vain jos P Q = (r r 0 ) N. 54

55 Tämä on edelleen yhtäpitävää sen kanssa, että On siis saatu johdettua yhtälö (r r 0 ) N = 0. (3.14) p : (r r 0 ) N = 0, joka on tason p normaaliyhtälö vektorimuodossa. Esimerkki Kirjoita tason vektorimuotoinen normaaliyhtälö. p : x + 2y z 5 = 0 Ratkaisu. Valitaan N = i + 2j k ja P = P (0, 1, 3), jolloin r 0 = j 3k. Tällöin yhtälö on siis (r r 0 ) N = 0 ((xi + yj + zk) (j 3k)) (i + 2j k) = 0. Lause Pisteen P (x 0, y 0, z 0 ) etäisyys tasosta p : Ax + By + Cz + E = 0 on D = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + E A2 + B 2 + C 2. Todistus. Olkoon Q(x 1, y 1, z 1 ) jokin tason p piste ja N tason p normaalivektori. Silloin D = projnqp QP N = N = A(x 0 x 1 ) + B(y 0 y 1 ) + C(z 0 z 1 ) A2 + B 2 + C 2 = Ax 0 + By 0 + Cz 0 (Ax 1 + By 1 + Cz 1 )) A2 + B 2 + C 2 = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + E) A2 + B 2 + C 2. 55

56 Parametriesitys vektorimuodossa Taso tunnetaan, kun tiedetään jokin tason piste P (x 0, y 0, z 0 ) ja kaksi tason sellaista vektoria u ja v, että u v ja u, v 0. Näitä vektoreita sanotaan tason virittäjävektoreiksi. Olkoon r 0 pisteen P (x 0, y 0, z 0 ) paikkavektori. Silloin saadaan tason yhtälö (3.15) p : r(t, s) = r 0 + tu + sv, t, s R. Normaaliyhtälö vektorimuodossa on p : (r r 0 ) (u v) = 0. Parametriesitys koordinaattimuodossa Merkitään u = (u 1, u 2, u 3 ) ja v = (v 1, v 2, v 3 ). Tällöin voidaan kirjoittaa yhtälön (3.15) koordinaatit erikseen yhtälöryhmäksi (3.16) p : x(t, s) = x 0 + tu 1 + sv 1 y(t, s) = y 0 + tu 2 + sv 2 z(t, s) = z 0 + tu 3 + sv 3 (t, s R). Esimerkki Oletetaan, että taso p sisältää pisteen P (1, 1, 1) ja sen virittävät vektorit u = 2i j + k ja Kirjoita p muodossa (3.13). v = j 3k. Ratkaisu. Lasketaan i j k u v = = 2(i + 3j + k) Valitaan tason normaalivektoriksi Siis N = i + 3j + k. p : A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 1(x 1) + 3(y 1) + 1(z 1) = 0 x + 3y + z 5 = 0. Esimerkki Taso sisältää pisteet P (1, 1, 1), Q(2, 3, 1) ja R(5, 2, 0). Määritä tason yhtälö. 56

57 Ratkaisu. Valitaan tason pisteeksi P (1, 1, 1) ja virittäjävektoreiksi Valitaan vielä normaaliksi P Q = i + 2j ja P R = 4i + j k. N = (i + 2j) (4i + j k) = 2i + j 7k. Tällöin saadaan, että p : x(t, s) = 1 + t + 4s y(t, s) = 1 + 2t + s z(t, s) = 1 s (t, s R) ja p : 2(x 1) + (y 1) 7(z 1) = 0. 57