Matematiikan approbatur 2B

Matematiikan approbatur 2B Kurssin sisältö yleisesti. Sarjateoriaa ja monen (kahden ja kolmen) muuttujan differentiaalilaskentaa. Sarjateoriassa esitellään potenssisarjat ja Taylorin kehitelmä sekä niiden käyttötapoja. Differentiaalilaskennassa määritellään vektorimuuttujan funktion osittaisderivaatta ja differentioituvuus, käsitellään perusasiat käyristä ja pinnoista ja niiden tangenteista ja normaaleista. Tähän kirjoitelmaan on koottu tärkeimmät tulokset (pääsääntöisesti ilman todistuksia) ja jokusia esimerkkejä. Yksityiskohtia varten on syytä tutustua kirjallisuuteen; esimerkiksi kirja [3] on varsin sopivaa luettavaa. Tätä tekstiä kirjoitettaessa on käytetty apuna lähinnä viiteluettelossa mainittuja kirjoja [2, luvut XIV ja XV], [, luvut XIII, XIV ja XVI XVIII], [7, osan II/ luvut ja 3] ja [3, luvut 9 ja 3]. Viimeksi muutettu 30.4.2006.

Sisältö Matematiikan approbatur 2B Kirjallisuutta 3 Luku. Sarjateoriaa 4. Johdantoa 4 2. Sarjan suppeneminen 5 3. Positiivitermiset sarjat 7 4. Itseisesti suppenevat sarjat 0 5. Vuorottelevat sarjat 0 6. Potenssisarjat 7. Taylorin ja Maclaurinin sarja 7 8. Alkeisfunktioiden sarjakehitelmiä 22 9. Sovelluksia 25 Luku 2. Vektorimuuttujan funktioiden differentiaalilaskentaa 28. Vektoriarvoiset funktiot (käyrät) 28 2. Kahden muuttujan funktiot 32 3. Osittaisderivaatta 36 4. Ääriarvot 42 2

Kirjallisuutta [] Serge Lang, A First Course in Calculus, 5th Edition, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 986. [Luvut XIII, XIV ja XVI XVIII.] [2] Serge Lang, Short Calculus. The Original Edition A First Course in Calculus, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2002; sama kuin kirjan A First Course in Calculus ensimmäinen laitos, Addison-Wesley, 964. [Luvut XIV ja XV.] [3] Robert A. Adams, Calculus. A Complete Course, 6th Edition, Pearson Addison Wesley, 2006. [Luvut 9 ja 3. Myös kirjan aiemmat laitokset ovat käyttökelpoisia.] [4] Ross L. Finney, Maurce D. Weir, ja Frank R. Giordano, Thomas Calculus, 0th Edition, Addison Wesley Longman, 200. [Luvut 8 ja 0.] [5] Useita tekijöitä, Monet kirjat, joiden otsikosta löytyy Calculus (mutta ei Advanced), sopivat oheislukemistoksi. [Hyviä tuntomerkkejä: sivukoko n. A4, sivuja n. 000.] [6] Aatos Lahtinen ja Erkki Pehkonen, Matematiikkaa soveltajille. Peruskurssi korkeakouluja varten. Osa 2, Kirjayhtymä, 988. [Luvut 7 ja 8.] [7] Richard Courant ja F. John, Introduction to Calculus and Analysis, Volume I, Reprint of the 989 Edition, Classics in Mathematics, Springer, 999; Volume II/, 2000; Volume II/2, 2000. [8] Stephen Abbott, Understanding analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 200. [9] Tom M. Apostol, Mathematical analysis, 2nd edition, 5th printing, Addison Wesley, 98; ensimmäinen laitos 957. 3

LUKU Sarjateoriaa. Johdantoa Sarjateoriassa tarkastellaan päättymättömien summien a j = a + a 2 +... ominaisuuksia. Tilanteesta riippuen sarjat voivat olla a) lukusarjoja j= a j; b) potenssisarjoja j=0 a jx j ; c) Fourier n sarjoja a 0 2 + j= (a j cos(jx) + b j sin(jx); d) yleisempiä funktiosarjoja j= f j(x). j=.. Merkintöjä. Kun a,..., a n ovat annettuja lukuja, käytetään summamerkintää n j= a j = a + a 2 + + a n. Vastaavasti, jos on annettu lukujoukko {a j,k j {..., n}, k {,..., m}}, merkitään n m j= a j,k = a, + + a,m + + a n, + + a n,m. Esimerkki.. Geometrisen sarjan summakaava lienee koulusta tuttu: + q + q 2 + q 3 + q 4 + = /( q). Erityisesti, + + + + = 2. Tämän päättymättömän summan laskemista voidaan havannoillistaa kuvalla (ks. kuva ): Jaetaan 2 4 8 tason yksikköneliö {(x, y) R 2 0 x, 0 y } puoliksi suoralla x = /2. Jaetaan oikean puoleinen suorakaide kahdeksi neliöksi suoralla y = /2. Näin yksikköneliö jakautuu kolmeen osaan, joiden avulla yksikköneliön pinta-ala voidaan laskea: + + =. 2 4 4 Toistetaan toiminto kaksi peräkkäistä puolitusta oikean ylänurkan neliölle yhä uudelleen ja uudelleen. Kuvan tilanne vastaa viittä peräkkäistä kaksoispuolitusta ja yksikköneliön pinta-alalle jakoa + + + + + + + + + + =. 2 4 8 6 32 64 28 256 52 024 024 Kun jakoa toistetaan päättymättömiin, saadaan ilmeisesti geometriselle sarjalle summa + + + + =. 2 4 8 6 Kuva. Geometrisen sarjan summa: 2 + 4 + 8 + =. 4

2. SARJAN SUPPENEMINEN 5 Esimerkki.2. Reaalilukujen yhteenlaskun vaihdannaisuus- ja liitännäisyysominaisuuksien nojalla on esimerkiksi luvuille a,, a,2, a 2, ja a 2,2 voimassa (a, + a,2 ) + (a 2, + a 2,2 ) = (a, + a 2, ) + (a,2 + a 2,2 ). Tämä tarkoittaa, että jos luvut esitetään matriisina [ ] a, a,2, a 2, a 2,2 niin kaikkien lukujen summa voidaan laskea yhtä lailla laskemalla ensin summat riveittäin ja sitten rivisummat yhteen kuin laskemalla ensin summat sarakkeittain ja sitten sarakesummat yhteen. Päättymättömille summille tilanne on toisenlainen. Tarkastellaan seuraavan päättymättömän matriisin mukaisia lukuja a j,k :... 2 4 8 6 0... 2 4 8 0 0... 2 4 0 0 0... 2 0 0 0 0...... Geometrisen sarjan summakaavan nojalla jokaisen rivin lukujen summa on a j,k = + ( + + + ) = 0. Kun lasketaan rivisummat yhteen, saadaan 2 4 8 a j,k = 0 = 0. j= Toisaalta, kun lasketaan ensin summat sarakkeittain, saadaan sarakesummiksi [ j= a j, j= a j,2 j= a j,3 j= a j,4... ] = [... ] 2 4 8, tai yleisesti j= a j,k =. Kun lasketaan sarakesummat yhteen, saadaan geometrisen sarjan summakaavan 2 k nojalla j= a j,k = Yhteenlaskemisen järjestyksellä on siis väliä!. j=. = 2. 2k 2. Sarjan suppeneminen Määritelmä 2.. Olkoon (a k ) annettu lukujono. Määritellään uusi lukujono asettamalla n s = a, s 2 = a + a 2, s 3 = a + a 2 + a 3,..., s n = a + + a n = a k. Sanotaan, että (päättymätön) sarja a k suppenee (eli konvergoi), jos (äärellinen) raja-arvo lim n s n on olemassa. Muussa tapauksessa sanotaan, että sarja a k hajaantuu (eli divergoi).

2. SARJAN SUPPENEMINEN 6 Jos sarja a k suppenee, sanotaan raja-arvoa lim n s n sarjan summaksi, ja merkitään a k = lim s n. n Lukuja a k kutsutaan sarjan termeiksi ja lukuja s n sarjan osasummiksi. Huomautus 2.2. Jos sarja a k suppenee ja sen summa on s, niin termien muodostama jono suppenee kohti nollaa, sillä a n = s n s n s s = 0, kun n. Erityisesti suppenevan sarjan termien jono on rajoitettu. Käänteinen ei pidä paikkaansa; on olemassa jonoja (a k ) siten, että a k 0, kun k, mutta sarja a k hajaantuu. Esimerkki 2.3 (Aritmeettinen sarja). Sarjaa a k kutsutaan aritmeettiseksi, jos sarjan termit ovat muotoa a k = ck + d joillekin (k:sta riippumattomille) vakioille c ja d. Tässä s n = c n n(n + ) ( (n + ) ) k + nd = c + nd = n c + d. 2 2 Jos c > 0, niin c (n+) + d, kun n, joten myös s 2 n. Jos c < 0, niin c (n+) + d, kun n, joten myös s 2 n. Jos c = 0 ja d 0, niin s n = nd ± riippuen d:n etumerkistä. Siis aritmeettinen sarja suppenee, jos ja vain jos sen termit ovat kaikki nollia. Esimerkki 2.4 (Geometrinen sarja). Sarjaa a k kutsutaan geometriseksi, jos sarjan termit ovat muotoa a k = cq k joillekin (k:sta riippumattomille) nollasta eroaville vakioille c ja q. Tämä tarkoittaa, että sarjan peräkkäisten termien suhde a k+ /a k = (cq k )/(cq k ) = q on vakio. Jos q =, niin kyse on aritmeettisesta sarjasta, joka ei suppene, koska c 0. Olkoon q. Osasummat ovat nyt s n = c n q k = c qn q. Muistetaan, että jonolla (q n ) n= on äärellinen raja-arvo, jos ja vain jos q <. Kun q <, on cq k = lim c qn n q = c q. Lause 2.5. Olkoot a k ja b k suppenevia sarjoja ja c annettu luku. Tällöin sarjat (a k + b k ) ja ca k suppenevat, ja niiden summat ovat (a k + b k ) = a k + b k, ca k = c a k.

3. POSITIIVITERMISET SARJAT 7 3. Positiivitermiset sarjat Määritelmä 3.. Sarjaa a k sanotaan positiivitermiseksi, jos sen termit a k ovat ei-negatiivisia, t.s. a k 0 kaikille k Z + = {, 2, 3,... }. Olkoot sarja a k positiiviterminen ja s n = n a k sen osasummien jono. Koska s n+ = n+ a k = s n + a n+ s n, muodostavat osasummat s n kasvavan jono. Lukujonojen ominaisuuksista muistetaan, että kasvava lukujono suppenee, jos ja vain jos se on ylöspäin rajoitettu. Positiivitermisen sarjan osasummille s n tämä tarkoittaa, että sarja a k suppenee, jos ja vain jos on olemassa (äärellinen, n:stä riippumaton) vakio M siten, että s n M kaikille n Z +. Esimerkki 3.2. Osoitetaan, että sarja /k2 suppenee. Sarja on positiiviterminen, joten riittää osoittaa, että osasummien jono on rajoitettu. Olkoot n Z + ja N = 2 n+. Arvioidaan osasummaa s N (t.s. katkaistaan sarjan summa siten, että ensimmäinen pois jätetty termi on /(2 n+ ) 2 ). Ryhmitellään osasumma s N seuraavan kaavan mukaisesti ja korvataan jokaisen ryhmän termit suurimmalla termillään (eli ensimmäisellä). Tällöin s N = + 2 2 + 3 2 }{{} 2 + 4 2 + + 7 2 }{{} 4 + 8 2 + + 5 2 }{{} 8 < + 2 2 + 4 2 4 + 8 2 8 + + 2 2n (2 n ) 2 = + 2 + 4 + 8 + + 2 n < 2. + + (2 n ) + + 2 (2 n+ ) }{{ 2 } 2 n Viimeinen epäyhtälö saadaan geometrisen sarjan avulla. Koska osasummien jono on rajoitettu, sarja /k2 suppenee. Esimerkki 3.3 (Harmoninen sarja). Osoitetaan, että sarja /k hajaantuu. Sarja on positiiviterminen, joten riittää osoittaa, että osasummien jono ei ole rajoitettu. Olkoot n Z + ja N = 2 n+. Arvioidaan osasummaa s N (t.s. katkaistaan sarjan summa siten, että ensimmäinen pois jätetty termi on /(2 n+ + )). Ryhmitellään osasumma s N seuraavan kaavan mukaisesti ja korvataan jokaisen ryhmän termit pienimmällä termillään (eli viimeisellä). Tällöin s N = + 2 + 3 + 4 }{{} 2 + 5 + + 8 }{{} 4 + 9 + + 6 }{{} 8 > + 2 + 2 4 + 4 8 + 8 6 + + 2n = + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2. Koska summille s N suppene. 2 n+ + + 2 n + + + }{{ 2 n+ } 2 n saatu alaraja kasvaa rajatta, kun n, ei sarja /k Lause 3.4 (Majoranttitesti). Olkoot a k ja b k positiivitermisiä sarjoja. Oletetaan, että a k b k kaikille k Z +, ja että sarja b k suppenee. Tällöin sarja

3. POSITIIVITERMISET SARJAT 8 a k suppenee ja a k b k. Lause 3.5 (Minoranttitesti). Olkoot a k ja b k positiivitermisiä sarjoja. Oletetaan, että a k b k kaikille k Z +, ja että sarja b k hajaantuu. Tällöin sarja a k hajaantuu. Esimerkki 3.6. Muistetaan, että sarja /k2 suppenee. Jos s 2, on /k s /k 2 kaikille k Z +, joten majoranttitestin nojalla sarja /ks suppenee. Vastaavasti, jos s, on /k s /k kaikille k Z +, joten minoranttitesti nojalla sarja /ks hajaantuu, koska sarja /k hajaantuu. Huomautus 3.7. Eräs käytännöllinen versio majorantti- ja majoranttitestistä on seuraava: Olkoot a k ja b k positiivitermisiä sarjoja siten, että b k > 0 kaikille k Z +. a Oletetaan, että raja-arvo c = lim k k b k on olemassa ja c =. Tällöin sarja a k suppenee, jos ja vain jos sarja b k suppenee. Huomautus 3.8. Olkoon a k suppeneva positiiviterminen sarja. Tällöin sarjan termien järjestystä voidaan muuttaa ilman, että sarjan suppenevuus tai summa muuttuvat. Samoin sarjan summa voidaan laskea ryhmittelemällä termit uudestaan esimerkiksi parillisiin ja parittomiin termeihin: a k = a 2k + a 2k. Lause 3.9 (Suhdetesti). Olkoon a k positiiviterminen sarja siten, että a k > 0 kaikille k Z +. a Oletetaan, että raja-arvo c = lim k+ k a k Jos c <, niin sarja a k suppenee. Jos c >, niin sarja a k hajaantuu. on olemassa. Huomautus 3.0. Suhdetestiä ei voi käyttää, jos c =. Esimerkiksi hajaantuvalle sarjalle /k on lim k a k+ k a k = lim k =. k+ Vastaavasti suppenevalla sarjalle /k2 a on lim k+ k k a k = lim 2 k =. (k+) 2 Lause 3. (Juuritesti). Olkoon a k positiiviterminen sarja. Oletetaan, että raja-arvo c = lim k k a k on olemassa. Jos c <, niin sarja a k suppenee. Jos c >, niin sarja a k hajaantuu. Huomautus 3.2. Juuritestiä ei voi käyttää, jos c =. Esimerkiksi hajaantuvalle sarjalle /k on lim k k a k = lim k k /k =. Vastaavasti suppenevalla sarjalle /k2 on lim k k a k = lim k k k 2 =. Lause 3.3 (Integraalitesti). Olkoon f : [, ) R annettu funktio. Oletetaan, että f(x) > 0 kaikille x, ja että f on vähenevä. Tällöin sarja f(k)

3. POSITIIVITERMISET SARJAT 9 0.8 0.6 0.4 0.2 2 3 4 5 6 Kuva 2. Funktion kuvaajan rajoittaman alueen arvioiminen sarjan osasummilla. suppenee, jos ja vain jos epäoleellinen Riemann-integraali suppenee. f(x) dx Esimerkki 3.4 (Yli- ja aliharmoninen sarja). Tarkastellaan sarjaa /ks, missä s on annettu reaaliluku. Olkoon f(x) = /x s, kun x [, ). Funktion f arvot ovat positiivisia ja f on vähenevä, jos s 0, Jos s 0, on /k s = k s. Minoranttitestin nojalla sarja /ks hajaantuu, kun s 0. Muistetaan, että b f(x) dx = { ln b jos s =, s (b s ) jos s. Siis epäoleellinen integraali f(x) dx suppenee, jos ja vain jos s >. Integraalitestin perusteella sarja /ks suppenee, jos ja vain jos s >. Sarjan /ks summaa kutsutaan usein Riemannin ζ-funktioksi, ζ(s) =, kun s >. ks Esimerkki 3.5. Olkoot f(x) = /x, kun x [, ) ja s n = n. k Tarkastelmalla funktion f kuvaajaa, on helppo todeta, että n f(x) dx n k ja n f(x) dx Koska n f(x) dx = ln n, saadaan arvio harmonisen sarjan hajaantumisnopeudelle n k=2 k. s n ln n s n n eli s n ln n n. Siis erotus s n ln n pysyy rajoitettuna. Voidaan osoittaa, että kun n, niin erotuksella s n ln n on raja-arvo. Tämä raja-arvo tunnetaan nimellä Eulerin γ.

5. VUOROTTELEVAT SARJAT 0 4. Itseisesti suppenevat sarjat Määritelmä 4.. Olkoon a k annettu sarja (ei välttämättä positiiviterminen). Sanotaan, että sarja a k suppenee itseisesti, jos sarja a k suppenee. Jos sarja a k suppenee, mutta ei itseisesti, sanotaan, että sarja a k suppenee ehdollisesti. Lause 4.2. Olkoon a k annettu sarja. Oletetaan, että sarja a k suppenee itseisesti. Tällöin sarja a k suppenee. Huomautus 4.3. a) Edellinen lause ja positiivitermisten sarjojen majoranttitesti on usein varsin hyödyllinen yhdistelmä. Esimerkiksi, olkoot q < ja (a k ) mikä tahansa lukujono, jolle pätee a k kaikille k Z +. Tällöin on a k q k q k kaikille k Z +. Koska geometrinen sarja q k suppenee, suppenee majoranttitestin perusteella myös sarja a kq k, t.s. sarja a kq k suppenee itseisesti. Siis sarja a kq k suppenee. b) Jos sarja a k suppenee ehdollisesti, niin sarjat a+ k ja a k hajaantuvat. Tässä a + k = a k, jos a k 0, ja a + k = 0, jos a k < 0. Vastaavasti a k = 0, jos a k 0, ja a k = a k, jos a k < 0. Näillä merkinnöillä a k = a + k a k ja a k = a + k + a k. c) Olkoon a k sarja, joka suppenee ehdollisesti. Voidaan osoittaa, että jos r on mikä tahansa reaaliluku, niin sarjan termit a k voidaan järjestää uudestaan siten, että uudelleen järjestetyn sarjan osasummien jono t n suppenee kohti lukua r (t.s. termien järjestystä vaihtamalla sarjan summaksi saadaan mikä tahansa tulos). d) Jos sarja a k suppenee itseisesti. voidaan sarjan termien järjestystä muuttaa ilman, että sarjan suppenevuus tai summa muuttuvat. Samoin itseisesti suppenevan sarjan summa voidaan laskea ryhmittelemällä termit uudestaan esimerkiksi parillisiin ja parittomiin termeihin: a k = a 2k + a 2k. Kumpikaan näistä ominaisuuksista ei päde ehdollisesti suppenevalle sarjalle. 5. Vuorottelevat sarjat Leibnizin lause vuorottelevista sarjoista. Lause 5.. Olkoon a k annettu sarja. Oletetaan, että (i) jono ( a k ) on vähenevä (t.s. a k+ a k kaikille k Z + ); (ii) sarjat termit ovat vuoroin positiivisia ja vuoroin negatiivisia (t.s., jos esimerkiksi a > 0, niin ( ) k a k > 0 kaikille k Z + ); (iii) lim k a k = 0. Tällöin sarja a k suppenee. Huomautus 5.2. Oletetaan, että edellisen lauseen oletukset toteutuvat sarjalle a k, ja että a > 0. Olkoot s = a k sarjan summa ja s n = n a k sarjan n. osasumma. Lauseen todistusta voidaan muokata siten, että saadaan seuraava epäyhtälö 0 ( ) n (s s n ) a n+. Tämä tarkoittaa, että jos sarjan summa s korvataan osasummalla s n, niin virhe s s n on samanmerkkinen kuin ensimmäinen pois jätetty termi a n+ = ( ) n a n+ ja suuruudeltaan enintään pois jätetyn termin itseisarvo.

6. POTENSSISARJAT Esimerkki 5.3. Sarja ( ) k termit toteuttavat edellisen lauseen ehdot, k joten sarja suppenee. Se ei kuitenkaan suppene itseisesti, koska sarja /k on harmoninen sarja (ja siis hajaantuva). 6. Potenssisarjat Olkoon (a k ) k=0 annettu lukujono. Sarjaa k=0 a kx k kutsutaan potenssisarjaksi ja lukuja a k sarjan kertoimiksi. Potenssisarjan k=0 a kx k osasummat s n = n k=0 a kx k ovat polynomeja. Sanotaan, että potenssisarja k=0 a kx k suppenee pisteessä x = x, jos sarja k=0 a kx k suppenee. Toisinaan tarkastellaan muotoa k=0 a k(x x 0 ) k olevia potenssisarjoja. Näiden ominaisuudet voidaan selvittää merkitsemällä z = x x 0 ja tarkastelemalla muuttujan z potenssisarjaa k=0 a kz k. Potenssisarja k=0 a kx k suppenee aina pisteessä x = 0 ja sarja k=0 a k(x x 0 ) k suppenee aina pisteessä x = x 0. Voi kuitenkin käydä niin, että sarja ei muulloin suppene. Voidaan esimerkiksi osoittaa, että potenssisarja + x + 2! x 2 + 3! x 3 +... k! x k +... suppenee vain, kun x = 0. Tässä k! tarkoittaa luvun k kertomaa k! = k (k ) 2. Lause 6.. Oletetaan, että potenssisarja k=0 a kx k suppenee pisteessä x = x ja x 0. Tällöin potenssisarja k=0 a kx k suppenee itseisesti kaikille x, joille x < x. Todistus. Oletuksen mukaan sarja k=0 a kx k suppenee. Tällöin jono (a k x k ) k=0 on rajoitettu, t.s. on olemassa vakio M siten, että a k x k M kaikille k N. Olkoon x valittu siten, että x < x. Tällöin a k x k = a k x k x/x k M x/x k. Koska x/x <, on sarja k=0 M x/x k suppeneva geometrinen sarja. Lisäksi k=0 a kx k k=0 M x/x k, joten majoranttitestin nojalla sarja k=0 a kx k suppenee. Siis sarja k=0 a kx k suppenee itseisesti. Lauseen nojalla potenssisarjalle k=0 a kx k tapahtuu siis jokin seuraavista: a) sarja k=0 a kx k suppenee vain, kun x = 0; b) sarja k=0 a kx k suppenee kaikille luvuille x; c) on olemassa luku x siten sarja k=0 a kx k ei suppene, kun x = x. Viimeisessä tapauksessa asetetaan r = sup{x sarja k=0 a kx k suppenee}. Lukua r sanotaan potenssisarjan k=0 a kx k suppenemissäteeksi. Sovitaan vielä, että sarjan suppenemissäde on nolla, jos sarja k=0 a kx k suppenee vain, kun x = 0, ja että suppenemissäde on ääretön, jos sarja k=0 a kx k suppenee kaikille luvuille x. Huomautus 6.2. Voidaan osoittaa, että jos raja-arvo c = lim k k a k on olemassa ja 0 < c <, niin potenssisarjan k=0 a kx k suppenemissäde on r = /c. Voidaan myös osoittaa, että jos a k 0 kaikille riittävän suurille k ja raja-arvo r = lim k a k /a k+ on olemassa, niin potenssisarjan k=0 a kx k suppenemissäde on r.

6. POTENSSISARJAT 2 Esimerkki 6.3. Geometrinen sarja k=0 xk suppenee itseisesti, kun x <, ja se ei suppene lainkaan, kun x. Sarjan suppenemissäde on siis. Tälle sarjalle on a k = kaikille k, joten lim k a k /a k+ =. Lause 6.4 (Sarjojen Cauchyn tulo). Olkoot r > 0 annettu luku, k=0 a kx k ja j=0 b jx j potenssisarjoja, jotka suppenevat itseisesti, kun x < r. Muodostetaan sarja n=0 c nx n, jonka kertoimet c n määrätään seuraavasti: c 0 = a 0 b 0, c = a b 0 + a 0 b,..., c n = a n b 0 + a n b + + a b n + a 0 b n. Tällöin sarja n=0 c nx n suppenee itseisesti, kun x < r, ja ( )( c n x n = a k x k b j x ). j n=0 k=0 Huomautus 6.5. Kertoimien c n määrittely tarkoittaa sitä, että sarjojen k=0 a kx k ja j=0 b jx j tulo voidaan muodostaa samalla tavalla kuin polynomien tulo: kerrotaan termeittäin ja yhdistetään x:n potenssit, (a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... )(b 0 + b x + b 2 x 2 + b 3 x 3 +... ) j=0 = (a 0 b 0 + a 0 b x + a 0 b 2 x 2 + a 0 b 3 x 3 +... ) + (a b 0 x + a b x 2 + a b 2 x 3 + a b 3 x 4 +... ) + (a 2 b 0 x 2 + a 2 b x 3 + a 2 b 2 x 4 + a 2 b 3 x 5 +... ) + (a 3 b 0 x 3 + a 3 b x 4 + a 3 b 2 x 5 + a 3 b 3 x 6 +... ) +... = a 0 b 0 + (a 0 b + a b 0 )x + (a 0 b 2 + a b + a 2 b 0 )x 2 + (a 0 b 3 + a b 2 + a 2 b + a 3 b 0 )x 3 +... Caychyn tulosarjan suppenevuuden todistus sivuutetaan. Esimerkki 6.6. Koska geometrinen sarja k=0 xk suppenee itseisesti, kun x <, saadaan sarjojen Cauchyn tulosäännön avulla (valitse a k = b k = kun k = 0,,... ) ( ) 2 x k = (n + )x n. k=0 n=0 Lemma 6.7. Olkoot r > 0 annettu luku ja potenssisarja k=0 a kx k, joka suppenee itseisesti, kun x < r. Tällöin myös sarja ka kx k suppenee itseisesti, kun x < r. Todistus. Oletataan yksinkertaisuuden vuoksi, että a k 0 kaikille k N, ja että 0 < x < r (näin voidaan tehdä, koska ollaan kiinnostuneita vain sarjan itseisestä suppenevuudesta). Olkoon c luku siten, että x < c < r. Koska lim k k /k =, on lim k k /k x = x < c. Riittävän suurille k:n arvoille (esimerkiksi, kun k N) on siis k /k x < c. Tällöin riittävän suurille k:n arvoille on kx k < c k, joten ka k x k < a k c k.

6. POTENSSISARJAT 3 Oletuksesta seuraa, että sarja k=n a kc k = k=0 a kc k N k=0 a kc k suppenee. Majoranttitestin perusteella myös sarja k=n ka kx k suppenee. Siis myös sarja N ka k x k = ka k x k + ka k x k x suppenee. Huomautus 6.8. Vastaavanlainen tulos saadaan myös termeittäin integroidulle potenssisarjalle: jos sarja k=0 a kx k suppenee itseisesti, kun x < r, niin myös sarja k=0 a k+ kx k+ suppenee itseisesti, kun x < r. Tämän todistaminen on helpompaa kuin termeittäin derivoidun sarjan suppenemisen osoittaminen, ja sen käsittely jätetään harjoitustehtäväksi. Lause 6.9. Olkoon annettuna luku r > 0 ja potenssisarja k=0 a kx k, joka suppenee itseisesti, kun x < r. Määritellään funktio avoimella välillä ( r, r) asettamalla f(x) = a k x k. k=0 Tällöin f on derivoituva välillä ( r, r) ja f (x) = ka k x k. Todistus. Valitaan luku b siten, että 0 < b < r. Seuraavaksi valitaan δ > 0 siten, että b + δ < r. Funktion f erotusosamäärää tarkastellaan pisteissä x, joille x < b, ja luvuille h, joille h < δ. Tällöin x + h x + h < b + δ < r. Erotusosamäärän osoittaja on f(x + h) f(x) = a k (x + h) k a k x k = a k ((x + h) k x k ). k=0 Väliarvolauseen nojalla lukujen x ja x + h välistä löytyy luku x k, jolle Siis k=0 (x + h) k x k = kx k k h. f(x + h) f(x) = k=n a k kx k k h. Edellisen lemman nojalla sarja ka kx k suppenee. Osoitetaan, että funktion f erotusosamäärä lähestyy tämän sarjan summaa. Erotusosamäärän ja summan erotus on f(x + h) f(x) h ka k x k = a k kx k k ka k x k = k=2 ka k ( x k k x k ). Huomaa, että viimeisen summan erotus x k k x k on nolla, kun k =. Käyttämällä väliarvolausetta uudestaan lukujen x k ja x välistä löydetään luku y k, jolle x k k x k = (k )y k 2 k (x k x).

Siis f(x + h) f(x) h 6. POTENSSISARJAT 4 ka k x k = k=2 k(k )a k y k 2 k (x k x). Luvuille y k on y k b + δ ja erotuksille x k x on x k x h (piirrä kuva), joten kolmioepäyhtälön avulla saadaan f(x + h) f(x) ka k x k k(k ) a k y k k 2 x k x h k=2 h k(k ) a k (b + δ) k 2. Kun edellistä lemmaa sovelletaan kaksi kertaa, nähdään, että epäyhtälöketjussa viimeisenä esiintyvä sarja suppenee. Olkoon S = k=2 k(k ) a k (b+δ) k 2. Kun h 0, on h S 0, joten myös epäyhtälön vasemmalla puolella oleva lauseke lähestyy nollaa. Tämä merkitsee, että f(x + h) f(x) ka k x k, kun h 0, h joten f on derivoituva ja sen derivaatta on termeittäin derivoimalla saatu sarja. Esimerkki 6.0. Geometrinen sarja f(x) = k=0 xk määrittelee funktion välille (, ). Edellisen lauseen mukaan f on derivoituva tällä välillä ja derivaatta voidaan laskea termeittäin derivoimalla. Koska sarja summa on f(x) = /( x), saadaan kx k = f (x) = ( x). 2 Esimerkki 6.. Merkitään luvun k kertomaa k! = k (k ) 2 = k (k )!. Suhdetestin avulla nähdään helposti, että sarja f(x) = + x + x2 2! + x3 3! + + xk k! +... suppenee itseisesti kaikille reaaliluvuille x: x k+ (k + )! k=2 k! x k = x k + 0, kun k. Sarjan summa voidaan siis derivoida termeittäin, jolloin saadaan f (x) = + 2x 2! + 3x2 + + kxk +... + x + x2 3! k! 2! + + xk (k )! + = f(x). Funktio f toteuttaa siis differentiaaliyhtälön y = y. Tämän yhtälön yleinen ratkaisu on y = Ce x. Koska funktiolle f on f(0) =, on f(x) = e x = + x + x2 2! + x3 3! + + xk k! +....

6. POTENSSISARJAT 5 Esimerkki 6.2. Vastaavalla tavalla voidaan osoittaa, että sarjat S(x) = x x3 3! + x5 x2... ja C(x) = 5! 2! + x4 4! x6 6! +... suppenevat itseisesti kaikille reaaliluvuille x. Sarjojen summien derivaatoille on S (x) = x2 2! + x4 4! = C(x) ja C (x) = x + x3 3! x5 5! + = S(x). Näiden derivaattojen ominaisuuksien perusteella voisi tehdä arvauksen: Tähän palataan myöhemmin. S(x) = sin x ja C(x) = cos x. Huomautus 6.3. Muunlaisten funktiosarjojen kuin potenssisarjojen k=0 a kx k derivoiminen termeittäin ei yleensä ole sallittua (t.s. termeittäin derivoimalla saatu tulos ei välttämättä ole sarjan summan derivaatta). Vielä yllättävämpää lienee se, että vaikka sarjassa k=0 f k(x) olevat funktiot f k olisivat derivoituvia, ei sarjan summan tarvitse olla derivoituva. Eräs ensimmäisiä tämänkaltaisia esimerkkejä on peräisin Karl Weierstrassilta vuodelta 876: W (x) = b k sin(a k πx), missä a on pariton, positiivinen kokonaisluku ja 0 < b < siten, että ab > + 3π/2 (myöhemmin on todettu, että ehdot 0 < b < ja ab riittävät). Tämä funktio on jatkuva, mutta se ei ole derivoituva missään pisteessä x; vrt. kuva 3, missä b = /2 ja a = 3. Vielä yllättävämpi on Bernhard Riemannin esimerkki vuodelta 86: R(x) = k 2 sin(k2 πx). Tämä funktio on derivoituva pisteissä x, jotka ovat muotoa x = 2n+, missä n ja m 2m+ ovat mitä tahansa ei-negatiivisia kokonaislukuja. Missään muussa pisteessä R ei ole derivoituva. Lisäksi pisteissä x = 2n+ funktion R derivaatta on. Vrt. kuva 4. 2m+ 2 G. H. Hardy ratkaisi Riemannin funktion derivoituvuusongelman osittain vuonna 96 (oikeastaan derivoitumattomuusongelman; tuona aikana luultiin, että funktiolla R ei ole derivaattaa missään pisteessä; Hardy osoitti, että R ei ole derivoituva tietyissä rationaalisissa pisteissä). Täydellisen ratkaisu ongelmaan löysi Joseph L. Gerver vasta vuonna 970. Lause 6.4. Olkoon annettuna luku r > 0 ja potenssisarja f(x) = k=0 a kx k, joka suppenee itseisesti, kun x < r. Tällöin f:n integraali välillä ( r, r) voidaan määrätä termeittäin integroimalla, x 0 f(t) dt = k=0 a k k + xk+, kun x < r. Todistus. Termeittäin integroimalla saatu sarja suppenee itseisesti. Olkoon sen summa F (x) = a k k=0 k+ xk+. Tällöin edellisen lauseen nojalla F :n sarja voidaan derivoida termeittäin, jolloin saadaan F (x) = a k k=0 (k + k+ )xk = k=0 a kx k =

6. POTENSSISARJAT 6 0.6 0.4 0.2-0.2 0.5.5 2-0.4-0.6 Kuva 3. Weierstrassin funktio W. 0.5 0.5.5 2-0.5 - Kuva 4. Riemannin funktio R. f(x). Siis F (x) = x f(t) dt+c jollekin vakiolle C. Mutta koska F (0) = 0 = 0 f(t) dt, 0 0 on C = 0. Esimerkki 6.5. Koska sarja f(x) = suppenee itseisesti välillä (, ), saadaan edellisen lauseen perusteella x 0 f(t) dt = Toisaalta, f:n sarja on geometrinen, joten Siis k=0 k + xk+ = x 0 k=0 k=0 x k f(x) = x. f(t) dt = k + xk+. x 0 dt t = log( x).

7. TAYLORIN JA MACLAURININ SARJA 7 3 2-3 -2-2 3 - -2-3 Kuva 5. Sinin ja sen Taylorin polynomien P (x) = x, P 3 (x) = x x3 6 ja P 5 (x) = x x3 + x5 kuvaajat. 6 20 7. Taylorin ja Maclaurinin sarja 7.. Taylorin kaava. Olkoot n positiivinen kokonaisluku ja f funktio, jolla jollakin origon sisältävällä avoimella välillä on derivaatat kertalukua n myöten. Merkitään 0! =,! = ja k! = k (k )! = k (k ) 2, kun k Z + (luvun k kertoma). Ongelma: Mikä on paras funktiota f origon lähellä approksimoiva polynomi? Eräs kriteeri hyvälle approksimaatiolle on, että funktion f ja etsityn polynomin P kaikki derivaatat kertalukua n myöten ovat samat pisteessä x = 0: f (k) (0) = P (k) (0), kun k = 0,,..., n. Tässä sovitaan, että f (0) = f. Olkoon haettu polynomi P (x) = c 0 + c x + c 2 x 2 + + c n x n. Nyt Siis P (x) = c + 2c 2 x + + nc n x n, P (2) (x) = 2c 2 + + n(n )c n x n 2,. P (k) (x) = k!c k + termejä, joissa on tekijänä x. P (k) (0) = k!c k. Koska etsitylle polynomille P asetettiin ehdoksi f (k) (0) = P (k) (0), kun k = 0,,..., n, ovat P :n haetut kertoimet siis c k = f (k) (0), kun k = 0,,..., n. k! Määritelmä 7.. Funktion f astetta n oleva Taylorin polynomi on polynomi P n (x) = f(0) + f (0) x + f (2) (0) 2! x 2 + + f (n) (0) n! x n.

7. TAYLORIN JA MACLAURININ SARJA 8 Huomautus 7.2. Jos ollaan kiinnostuneita funktion f approksimoinnista polynomeilla jonkin muun pisteen x 0 läheisyydessä, niin määrittelemme vastaavasti funktion f astetta n olevan Taylorin polynomin pisteessä x 0 polynomiksi P n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (2) (x 0 ) 2! (x x 0 ) 2 + + f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n. Lause 7.3 (Taylorin kaava). Olkoon funktio f määritelty suljetulla välillä, jonka päätepisteinä ovat a ja b. Oletetaan, että funktiolla f on jatkuvat derivaatat f (k) kertalukua n myöten tällä välillä. Tällöin f(b) = f(a) + f (a)! (b a) + f (2) (a) 2! missä R n (ns. jäännöstermi) on integraali R n = b a (b a) 2 + + f (n ) (a) (n )! (b a)n + R n, (b t) n (n )! f (n) (t) dt. Todistus. Todistetaan väite induktiolla luvun n suhteen. Tapauksessa n = jäännöstermi saa muodon R = b Analyysin peruslauseen nojalla tämä on a b a (b t) 0 f (t) dt = 0! b f (t) dt = f(b) f(a), joten väite on tosi tapauksessa n =. Olkoon nyt n = 2. Analyysin peruslauseen nojalla f(b) f(a) = b a a f (t) dt. f (t) dt. Käytetään osittaisintegrointia muuttamaan tämä integraali muotoon, jossa on f:n toinen derivaatta. Asetetaan u = f (t) ja dv = dt. Valitaan funktioksi v(t) = (b t). Osittaisintegrointikaavan mukaan b u dv = b b b v du = f auv (a)(b a) + (b t) f (2) (t) dt. a a Taylorin kaava tapauksessa n = 2 seuraa tästä. Samaa menetelmää käyttäen saadaan Taylorin kaava tapauksessa n = 3 (tämän tarkistaminen jätetään lukijan tehtäväksi). Yleinen tapaus: Oletetaan, että väite pätee, kun oikean puolen summassa on n termiä sekä jäännöstermi R n = b a (b t) n (n )! a f (n) (t) dt.

dt. Valitaan funktioksi v(t) = (b t)n n!. Osittais- Asetetaan u = f (n) (t) ja dv = (b t)n (n )! integrointikaavan mukaan R n = b a u dv = 7. TAYLORIN JA MACLAURININ SARJA 9 b auv b Induktio-oletuksen mukaan on f(b) = f(a) + f (a)! a (b a) + f (2) (a) 2! v du = f (n) (b b a)n (b t) n (a) + f (n+) (t) dt. n! a n! (b a) 2 + + f (n ) (a) (n )! (b a)n + R n. Sijoittamalla tähän R n edellisestä kaavasta ja järjestämällä termit uudestaan, saadaan Taylorin kaava tapauksessa n +. 7.2. Jäännöstermin arvioiminen. Lause 7.4. Lauseen 7.3 oletuksin ja merkinnöin: Lukujen a ja b välissä on olemassa luku c siten, että R n = f (n) (c) (b a) n. n! Todistus. Oletetaan, että a < b. Koska derivaatta f (n) on jatkuva suljetulla ja rajoitetulla välillä [a, b], se saavuttaa tällä välillä suurimman ja pienimmän arvonsa. Väliltä [a, b] löydetään siis pisteet u ja v siten, että f (n) (u) on derivaatan f (n) suurin ja f (n) (v) pienin arvo tällä välillä. Tällöin f (n) (v) f (n) (t) f (n) (u) kaikille t [a, b]. Kaikille välin [a, b] pisteille t on t b 0, joten jäännöstermin R n integrandille on voimassa (b t) n (n )! f (n) (v) (b t)n (n )! f (n) (t) Kun tämä epäyhtälö integroidaan puolittain, saadaan f (n) (v) b a (b t) n (n )! dt b a (b t) n (n )! (b t)n (n )! f (n) (t) dt f (n) (u) Tässä b (b t) n dt = b (b t)n = a (n )! a n! Edellinen epäyhtälö saa nyt muodon f (n) (b a)n (v) R n f (n) (u) (b a)n. n! f (n) (u). b a (b t) n (n )! (b a)n. n! n! Jatkuvien funktioiden väliarvolauseen nojalla jatkuva funktio saavuttaa kaikki kahden arvonsa väliin jäävät arvot. Funktio t f (n) (b a)n (t) n! on jatkuva, joten se saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa väliin jäävän arvon R n jossakin pisteessä c, t.s. jollekin välin [a, b] pisteelle c on voimassa R n = f (n) (b a)n (c). n! Tapauksessa a > b jotkin edellisistä epäyhtälöistä vaihtuvat vastakkaisiksi epäyhtälöiksi; yksityikohdat jätetään lukijan tehtäväksi. dt.

7. TAYLORIN JA MACLAURININ SARJA 20 Seuraus 7.5. Lauseen 7.3 oletuksin ja merkinnöin: kun h = b a, on f(a + h) = f(a) + f (a)! h + f (2) (a) 2! missä jäännöstermille R n on voimassa arvio R n M n h n n!, h 2 + + f (n ) (a) (n )! hn + R n, kun M n on derivaatan f (n) itseisarvon yläraja välillä [a, a + h] (tai välillä [a + h, a], jos h < 0). Seurauslausetta sovelletaan usein seuraavassa muodossa: f(x) = f(0) + f (0)! x + f (2) (0) 2! missä jäännöstermille R n (x) on voimassa arvio x 2 + + f (n ) (0) (n )! xn + R n (x), R n (x) M n x n n!, ja M n on derivaatan f (n) itseisarvon yläraja lukujen 0 ja x välillä. Huomautus 7.6. Olkoon f funktio, joka on määritelty jossakin origon ympäristössä, ja jolla on kaikkien kertalukujen derivaatat. Taylorin kaavan nojalla sarja f(0) + f (0)! x + f (2) (0) 2! x 2 + = n=0 f (n) (0) n! suppenee ja sen summa on f(x), jos ja vain jos jäännöstermeille on voimassa lim R n(x) = 0. n Vaikka funktiolla f olisi kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat koko reaaliakselilla ja sarja f (n) (0) n=0 x n suppenisi, ei sarjan summan tarvitse olla f(x). Esimerkiksi, jos n! { e /x, kun x > 0, ja f(x) = 0, kun x 0, niin funktiolla f on kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat koko reaaliakselilla, { f (n) e /x P (/x), kun x > 0, ja (x) = 0, kun x 0, missä P on jokin polynomi. Erityisesti f (n) (0) = 0 kaikille n N. Siis sarja f (n) (0) n=0 x n n! suppenee ja sen summa on identtisesti nolla, joten sarjan summa ei ole f(x), kun x > 0. Määritelmä 7.7. Olkoon x 0 annettu reaaliakselin piste. Olkoon f funktio, jolla on kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat jollakin pisteen x 0 sisältävällä avoimella välillä. x n

Potenssisarjaa 7. TAYLORIN JA MACLAURININ SARJA 2 n=0 f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n kutsutaan funktion f Taylorin sarjaksi pisteeessä x 0. Jos x = 0, kutsutaan funktion f Taylorin sarjaa pisteeessä x = 0 usein funktion f Maclaurinin sarjaksi. Lause 7.8. Oletetaan, että potenssisarja f(x) = c k (x x 0 ) k suppenee jollakin pisteen x 0 sisältävällä avoimella välillä. Tällöin y.o. sarja on funktion f Taylorin sarja pisteessä x 0. Erityisesti c k = f (k) (x 0 ) ja R n = c k (x x 0 ) k. k! k=0 Todistus. Se, että väitetty kaava pätee kertoimille c k, saadaan vastaavalla laskulla kuin ennen Määritelmää 7. (korvataan polynomi P y.o. potenssisarjalla). Apuna on Lause 6.9, jonka mukaan potenssisarja voidaan derivoida termeittäin (avoimella) suppenemisvälillään. Jos f:n astetta n olevaa Taylorin polynomia pisteessä x 0 merkitään P n, niin vastaava jäännöstemi R n toteuttaa n f(x) = P n (x) + R n (x) = c k (x x 0 ) k + c k (x x 0 ) k. k=0 Jäännöstemiä R n koskeva väite seuraa tästä. k=n Esimerkki 7.9. Geometriselle sarjalle on välillä (, ) k=0 k=0 k=n f(x) = x = n x k = x k + xn x. Edellisen lauseen perusteella f:n Taylorin astetta n oleva polynomi P n ja sitä vastaava jäännöstermi R n ovat n P n (x) = x k ja R n (x) = xn x. k=0 Potenssisarjan termeittäin derivointia koskevan Lauseen 6.9 avulla saadaan funktion f (x) = /( x) 2 sarja, astetta n oleva Taylorin polynomi P n ja vastaava jäännöstermi R n edellisistä derivoimalla (huomaa yhtä isompi n) P n (x) = f (x) = n ( x) = kx k, 2 kx k ja Rn (x) = (n + )xn nx n+ ( x) 2.

8. ALKEISFUNKTIOIDEN SARJAKEHITELMIÄ 22 8. Alkeisfunktioiden sarjakehitelmiä 8.. Trigonometriset funktiot. Olkoon f(x) = sin x. Tällöin f(0) = 0, f (0) =, f (2) (0) = 0, f (3) (0) =. Taylorin kaavan nojalla (valitaan n = 2m) saadaan sin x = x x3 3! + x5 5! + + ( )m x 2m (2m )! + R 2m+(x). Koska f (n) (x) kaikille x, saadaan jäännöstermille R n (x) arvio R n (x) M n x n Vastaavalla tavalla saadaan kosinille n! = x n n!. cos x = x2 2! + x4 x2m + + ( )m 4! (2m)! + R 2m+2(x), missä jäännöstermille R n (x) on voimasasa arvio R n (x) x n n!. Lause 8.. Kaikille reaaliluvuille x on voimassa x n 0, kun n. n! Todistus. Voidaan olettaa, että x > 0. Valitaan luku n 0 Z + siten, että n 0 > 2x. Tällöin x/n 0 < /2. Nyt x n n! = xn0 x x n 0! n 0 + n 0 + 2 x ( n xn0 ) n n0. n 0! 2 Kun n, on (/2) n n 0 0, mistä väite seuraa. Lause 8.2. Sinin ja kosinin Maclaurinin sarjat suppenevat koko reaaliakselilla ja ne esittävät k.o. funktiota, t.s. kaikille reaaliluvuille x on voimassa sin x = ( ) m x 2m (2m )!, ja cos x = ( ) m x2m (2m)!. m= 8.2. Eksponenttifunktio. Olkoon f(x) = e x. Tällöin f (n) (x) = e x kaikille n N, joten f (n) (0) =, ja Taylorin kaava eksponenttifunktiolle on Jäännöstermille R m (x) on voimassa m=0 e x = + x + x2 2! + x3 3! + + xm (m )! + R m(x). missä c on lukujen x ja 0 välissä. R m (x) = e c xm m!,

8. ALKEISFUNKTIOIDEN SARJAKEHITELMIÄ 23 Lause 8.3. Eksponenttifunktion Maclaurinin sarja suppenee koko reaaliakselilla ja se esittää eksponenttifunktiota, t.s. kaikille reaaliluvuille x on voimassa e x = m=0 x m m!. 8.3. Logaritmi. Logaritmifunktion x log x = ln x Taylorin kehitelmää ei voi käyttää pisteessä x = 0, koska logaritmia ei ole määritelty tässä pisteessä. Käytetään funktiota f(x) = log( + x), joka on määritelty, kun x <. Taylorin kaava voitaisiin määrätä laskemalla f:n kaikki derivaatat origossa, mutta voidaan menetellä helpomminkin. Funktion f derivaatta on f (x) = /( + x), joten geometrisen sarjan avulla saadaan f (t) = + t = t + t2 t 3 + + ( ) n t n + ( ) n tn + t. Olkoon x <. Integroimalla puolittain saadaan missä log( + x) = x 0 f (t) dt = x x2 2 + x3 3 x4 xn + + ( )n 4 n + R n+(x), R n+ (x) = x 0 tn ( ) n + t dt. Koska geometrinen sarja (+t) = n=0 ( )n t n suppenee välillä (, ), seuraa potenssisarjan termeittäin integrointia koskevasta Lauseesta 6.4, että funktion f Maclaurinin sarja suppenee välillä (, ). Lisäksi Lauseesta 7.8 seuraa, että f:n astetta n oleva Taylorin polynomi on P n (x) = x x2 + x3 x4 + + 2 3 4 ( )n xn ja sitä vastava jäännöstermi on y.o. R n n+(x). Lause 8.4. Funktion f(x) = log( + x) Maclaurin sarja suppenee, kun < x, ja n xn log( + x) = ( ) n. n= Todistus. Se, että sarja suppenee, kun < x <, ja että summa on log(+x), seuraa edellisestä. Osoitetaan sarjan suppenevuus, kun 0 < x käyttäen jäännöstermiä. Kun x > 0 ja t on välillä [0, x], on + t, joten R n+ (x) = x 0 t n + t dt x 0 t n dt = xn+ n +. Väite seuraa tästä. Sarjan suppenevuus, kun < x < 0, voitaisiin päätellä vastaavalla tavalla, mutta jäännöstermin arviointi on hieman hankalampaa: R n+ (x) x n+. (n+)(x+)

8. ALKEISFUNKTIOIDEN SARJAKEHITELMIÄ 24 8.4. Arkustangentti. Arkustangentin Taylorin kehitelmä voidaan määrätä vastaavalla menetelmällä kuin logaritmin. Olkoon f(x) = arctan x. Tällöin f (x) = /( + x 2 ), joten geometrisen sarjan avulla saadaan f (t) = + t 2 = t2 + t 4 t 6 + + ( ) n t 2n 2 + ( ) n t2n + t 2. Olkoon x <. Integroimalla puolittain saadaan missä arctan x = x 0 f (t) dt = x x3 3 + x5 5 x7 x2n + + ( )n 7 2n + R 2n+(x), x R 2n+ (x) = ( ) n 0 + t dt. 2 Arkustangentin Maclaurinin sarjan suppenevuus saadaan samaan tapaan kuin edellä logaritmille. Jäännöstermin avulla on helppo todeta, että R 2n+ (x) = x 0 t 2n + t 2 dt x 0 t2n t 2n dt = x 2n+ 2n +. Lause 8.5. Arkustangentin Maclaurinin sarja suppenee, kun x, ja n x2n arctan x = ( ) 2n. n= 8.5. Binomisarja. Binomikertoimet ( n k) määritellään kertomien avulla ( ) n n! n(n )(n 2) (n k + ) = =, k k! (n k)! k! kun n ja k ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja ja 0 k n. Binomikertoimille on voimassa palautuskaava (Pascalin kolmio) ( ) ( ) ( ) n + n n = +. k k k Tätä kaavaa käyttäen induktiolla on helppo osoittaa, että kaikille luvuille x ja y on voimassa ns. binomikaava n ( ) n (x + y) n = x k y n k. k Erityisesti, kun valitaan y =, saadaan ( + x) n = k=0 n k=0 ( ) n x k. k Seuraavaksi osoitamme, että tämä kaava yleistyy myös tilanteeseen, missä eksponentti n ei ole positiivinen kokonaisluku. Kun s on reaaliluku ja k positiivinen kokonaisluku, asetetaan ( s k ) = s(s )(s 2) (s k + ). k!

9. SOVELLUKSIA 25 Lisäksi sovitaan, että ( ) s =. 0 Pascalin kolmion mukainen palautuskaava pätee myös näille yleisemmille binomikertoimille. Suoraan määritelmästä saadaan toinen palautuskaava ( ) s k = s k+ ( s k k ). Olkoon f(x) = ( + x) s. Tällöin f (x) = s( + x) s, f (0) = s, f (2) (x) = s(s )( + x) s 2, f (2) (0) = s(s ), f (k) (x) = s(s ) (s k + )( + x) s k, f (k) (0) = s(s ) (s k + ). Siis funktion f astetta n oleva Taylorin polynomi on n s(s ) (s k + ) P n (x) = + x k = k! Lause 8.6. Kun x <, on ( ) s ( + x) s = + sx + x 2 + 2. ( ) s x 3 + + 3 missä jäännöstermi ( ) s R n+ (x) = ( + c) s n x n+ n + jollekin lukujen x ja 0 välissä olevalle luvulle c. Binomisarja k=0 ( ) s x k k suppenee välillä (, ) ja esittää funktiota ( + x) s. n k=0 ( ) s x k. k ( ) s x n + R n+ (x), n Todistus. Jäännöstermiä koskevan väitteen todistus sivuutetaan. Osoitetaan binomisarjan suppeneminen. Sarjan peräkkäisille termien suhteelle on s(s ) (s k)xk+ k! = s k s(s ) (s k + )x k (k + )! k + x x, kun k. Kun x <, seuraa binomisarjan itseinen suppeneminen positiivitermisten sarjojen suhdetestistä. 9. Sovelluksia 9.. Arkussinin Taylorin sarja. Funktion f(x) = arcsin x Maclaurinin sarja saadaan helposti derivaatan avulla. Koska f (x) = / x 2, saadaan binomisarjan avulla ( ) /2 ( x 2 ) /2 = ( ) k x 2k. k k=0

9. SOVELLUKSIA 26 Funktion f välillä (, ) suppeneva sarjakehitelmä löydetään integroimalla puolittain x ( ) /2 ( ) arcsin x = ( t 2 ) /2 k dt = k 2k + x2k+ 0 k=0 = x + x3 6 + 3 x5 40 + 5 x7 35 x9 63 x + + 2 52 286 + 9.2. Ellipsin kaaren pituus. Tarkastellaan ellipsiä, jonka määrää yhtälö x 2 a + y2 2 b =. 2 Oletetaan, että a b (t.s. ellipsin isoakseli sijaitsee x-akselilla ja pikkuakseli y- akselilla). Ylemmässä puolitasossa olevan ellipsin osa on funktion f : [ a, a] R, f(x) = b x 2 /a 2, kuvaaja. Koko ellipsin kaaren pituus on siis a l := 2 + f (x) 2 dx. a Tässä +f (x) 2 = +(b 2 x 2 /a 4 )/( x 2 /a 2 )) = ( x 2 /a 2 +b 2 x 2 /a 4 )/( x 2 /a 2 ). Käytetään apuna ellipsin eksentrisyyttä e, joka kuvaa ellipsin poikkeamista ympyrästä, e = a 2 b 2 /a. Tämän avulla + f (x) 2 = ( e 2 x 2 /a 2 )/( x 2 /a 2 ). Integroitavan funktion parillisuuden vuoksi ellipsin kaaren pituudeksi saadaan l = 4 a 0 e 2 x 2 /a 2 x 2 /a 2 dx = 4a 0 e2 t 2 t 2 dt. (Jälkimmäinen yhtäsuuruus on saatu sijoituksella x = at.) Sijoituksella t = sin ϕ saadaan dt = cos ϕ dϕ ja t 2 = cos ϕ, joten π/2 l = 4a e 2 sin 2 ϕ dϕ. 0 Saatua integraalia ei voi lausua alkeisfunktioiden avulla (paitsi tapauksissa e = ja e = 0). Kehitetään integraali eksentrisyyden e mukaan eteneväksi potenssisarjaksi. Aluksi käytetään binomisarjaa: ( ) /2 s = ( ) k s k. k k=0 Kun sijoitetaan s = e 2 sin 2 ϕ ja integroidaan, saadaan ( ) /2 l = 4a ( ) k e 2k I 2k, k k=0 missä I 2k = π/2 0 sin 2k ϕ dϕ. Integraaleille I 2k voidaan osittaisintegroinnilla johtaa palautuskaavat I 2k = 2k 2k I 2k 2, ja I 0 = π/2. Binomikertoimet ( α k) voidaan laskea palautuskaavalla ( α k ) ( = α α k+ ). k k

9. SOVELLUKSIA 27 Taulukoidaan muutama ensimmäinen termi: k 0 2 3 4 5 6 ) ( /2 k I 2k 2 8 π π 3π 2 4 6 5 6 28 5π 35π 32 256 7 2 256 024 63π 23π 52 2048 Tämän avulla ellipsin kaarenpituuden sarjakehitelmän alku on l = 2 a π a e2 π 3 a e4 π 5 a e6 π 75 a e8 π 2 32 28 892 9.3. Raja-arvojen laskeminen. Määrätään ( ( lim x x2 e 2x ln e x + x 44 a e0 π 32768 ) x 2 + 2e x ). 485 a e2 π 524288 Huomaa, että lauseke saa muodon ( ), jos sijoitetaan x =, joten raja-arvoa ei voi määrätä näin. Logaritmin omaisuuden ln(e x y) = ln e x + ln y = x + ln y nojalla saadaan ( ln e x + ) ( x x 2 + 2e x = x + ln + ) x + 2e xe x /x 2 x Käytetään apuna sarjakehitelmiä ln( + s) = s s2 2 + s3 3 + R 4(s) ja + t = + t 2 t2 8 + R 3 (t). Sijoitetaan näihin s = /(xe x ) ja t = 2e x /x 2. Saadaan ( x 2 e (ln 2x e x + ) ) x x 2 + 2e x = 2 + 2 x + 3 e x x + x2 e 2 x R 4 (s) x 3 e 2 x R3 (t) Taylorin kehitelmän ominaisuuksien nojalla on olemassa vakiot M ja M siten, että kun s ja t ovat riittävän pieniä. Siis kun x on riittävän iso. Siis ( x 2 e (ln 2x e x + ) ) x x 2 + 2e x kun x. R 4 (s) M s 4, ja R 3 (t) M t 3, x 2 e 2 x R 4 (s) M x 2 e 2 x (xe x ) 4 = M x 2 e 2x ja x 3 e 2 x R3 (t) x 3 e 2 x M (2e x /x 2 ) 3 = 8 M x 3 e x, = 2 + 2 x + 3 e x x +x2 e 2 x R 4 (s) x 3 e 2 x R3 (t) 2, Huomautus 9.. Raja-arvon määrääminen numeerisesti laskemalla on hankalaa. Esimerkiksi, jos x = 2, ovat lausekkeet x 2 e 2x ln ( e x + x) ja x 2 e 2x -0.42 x 2 + 2e x kumpikin arvoltaan n. 4.5773204993427 0 3-0.44. Viereisessä kuvassa on yritetty piirtää erotuksen ku- -0.46 vaaja välillä [, 3]. Numeeriset virheet ovat -0.48 suuria eikä oikea raja-arvo ole vielä lähelläkään..5 2 2.5 3

LUKU 2 Vektorimuuttujan funktioiden differentiaalilaskentaa.. Taso- ja avaruuskäyrä.. Vektoriarvoiset funktiot (käyrät) Määritelmä.. Parametrisoitu tasokäyrä on kuvaus reaaliakselin väliltä I tasoon R 2, t (x(t), y(t)). Tätä kuvausta kutsutaan myös käyrän parametriesitykseksi. Funktiot x: I R ja y : I R ovat käyrän koordinaattikuvauksia. Parametrisoitu avaruuskäyrä on kuvaus reaaliakselin väliltä I kolmiulotteiseen avaruuteen R 3, t (x(t), y(t), z(t)). Käyrä on jatkuva (pisteessä t 0 ), jos sen koordinaattikuvaukset ovat jatkuvia (pisteessä t 0 ). Käyrä on derivoituva (pisteessä t 0 ), jos sen koordinaattikuvaukset ovat derivoituvia (pisteessä t 0 ). Seuraavassa käyriä merkitään kreikan kielen pienillä kirjaimilla. Esimerkki.2. Olkoon f : I R annettu funktio. Tällöin α: I R 2, α(t) = (t, f(t)), on parametrisoitu tasokäyrä. Huomaa, että käyrän α kuvajoukko on sama kuin funktion f kuvaaja: α(i) = {α(t) t I} = {(t, f(t)) t I}. Tarkastellaan erityisesti neliöjuurifunktiota f : [0, ] R, f(x) = x. Funktion f kuvaajalle on parametriesitys α: [0, ] R 2, t (t, t). Mutta myös parametrisoitu käyrä β : [0, ] R 2, β(s) = (s 2, s 2 ) = (s 2, s) esittää samaa käyrää. Tämä kannattaa tulkita niin, että α(t) ja β(s) liikkuvat pitkin samaa käyrää, mutta eri vauhdilla. Itse asiassa, käyrä β saadaan käyrästä α (aidosti kasvavalla) muuttujanvaihdoilla t = s 2 : β(s) = α(s 2 ). Esimerkki.3. Olkoon P = (p, q) tason piste ja V = (u, v) tasovektori. Tällöin käyrä α: R R 2, α(t) = P + tv, esittää suoraa, joka hetkellä t = 0 kulkee pisteen P kautta, ja joka on vektorin V suuntainen (kunhan V (0, 0); jos V = (0, 0), on α vakiofunktio). Esimerkki.4. Olkoot a ja b annettuja positiivilukuja. Käyrä α: [0, 2π] R 2, α(t) = (a cos t, b sin t), on ellipsin x2 a + y2 = parametriesitys. Erityisesti t (a cos t, a sin t) on a-säteisen 2 b2 ympyrän x 2 + y 2 = a 2 parametriesitys. Kreikan kielen aakkosto a:sta o:hon (iso ja pieni kirjain): A α alfa, B β beeta, Γ γ gamma, δ delta, E ε epsilon, Z ζ dzeeta, H η eeta, Θ θ (tai ϑ) theeta, I ι joota, K κ kappa, Λ λ lambda, M µ myy, N ν nyy, Ξ ξ ksii, O o omikron, Π π pii, P ϱ rho, Σ σ sigma, T τ tau, Υ υ ypsilon, Φ ϕ fii, X χ khii, Ψ ψ psii, Ω ω oomega. 28

. VEKTORIARVOISET FUNKTIOT (KÄYRÄT) 29 Kuva. Parametrisoitu käyrä t (at cos t, at sin t, bt), 0 t 2π. Esimerkki.5. Olkoon a annettu positiiviluku. Käyrä α: [0, ) R 2, α(t) = (a(t sin t), a( cos t)), on nimeltään sykloidi. Sykloidi syntyy, kun a-säteinen ympyrä pyörii liukumatta pitkin x-akselia. Piste α(t) on ympyrän kehältä valitun pisteen piirtämä rata. Esimerkki.6 (Napakoordinaateissa annettu käyrä). Olkoon r : I R annettu funktio, jonka arvot ovat positiivisia. Käyrä α: I R 2, α(θ) = (r(θ) cos θ, r(θ) sin θ), on käyrä, jolle pisteen α(θ) etäisyys origosta on r(θ) ja pisteen α(θ) ja x-akselin välinen kulma on θ. Esimerkki.7. Olkoot a ja b annettuja positiivilukuja. Käyrä α: R R 3, α(t) = (at cos t, at sin t, bt), on spiraali. Käyrän pisteet toteuttavat yhtälön b 2 (x 2 + y 2 ) = a 2 z 2 (kartio)..2. Käyrän tangentti- ja normaalivektorit. Määritelmä.8. Olkoot α: I R 2 derivoituva parametrisoitu tasokäyrä, α(t) = (x(t), y(t)), ja t 0 I. Käyrän derivaatta pisteessä t 0 on α (t 0 ) = dα dt (t 0) = (x (t 0 ), y (t 0 )). Avaruuskäyrän derivaatta määritellään vastaavasti. Määritelmä.9. Olkoot α: I R n derivoituva parametrisoitu taso- tai avaruuskäyrä ja t 0 I. Vektori α (t 0 ) on käyrän tangenttivektori (tai nopeusvektori) hetkellä t 0. Nopeusvektorin pituus α (t 0 ) on käyrän vauhti hetkellä t 0.

. VEKTORIARVOISET FUNKTIOT (KÄYRÄT) 30 2.5 0.5 -.5 - -0.5 0.5-0.5 Kuva 2. Parametrisoitu käyrä t (at cos t, at sin t) sekä käyrän tangenttivektori ja kaksi erotusosamäärävektoria. - 0,5 - -0,5 0 0,5-0,5 - Kuva 3. Parametrisoitu käyrä t (r(t) cos t, r(t) sin t), missä r(t) = log(t + ), sekä käyrän tangentti ja normaali hetkellä t 0 = 2.5. Oletetaan, että α (t 0 ) 0. Parametrisoitu käyrä β : R R n, β(t) = α(t 0 ) + α (t 0 )(t t 0 ), on käyrän tangentti hetkellä t 0. Jos α: I R n on kaksi kertaa derivoituva, sanotaan toista derivaattaa α (t 0 ) käyrän kiihtyvyysvektoriksi hetkellä t 0. Määritelmä.0. Olkoot α: I R 2 derivoituva parametrisoitu tasokäyrä ja t 0 I. Olkoot α:n koordinaattifunktiot x ja y. Oletetaan, että α (t 0 ) = (x (t 0 ), y (t 0 )) (0, 0). Vektori N = ( y (t 0 ), x (t 0 )) on käyrän normaalivektori hetkellä t 0. Käyrän pisteen α(t 0 ) = (x(t 0 ), y(t 0 )) kulkeva normaali on parametrisoitu käyrä s α(t 0 ) + s N = (x(t 0 ), y(t 0 )) + s ( y (t 0 ), x (t 0 )).

. VEKTORIARVOISET FUNKTIOT (KÄYRÄT) 3 Huomaa, että kaikki vektorit V = (u, v), jotka ovat kohtisuorassa vektoria α (t 0 ) = (x (t 0 ), y (t 0 )) vastaan, toteuttavat yhtälön α (t 0 ) V = x (t 0 )u + y (t 0 )v = 0. Yksi tämän ratkaisuista on vektori N = ( y (t 0 ), x (t 0 )). Jos α (t 0 ) = (x (t 0 ), y (t 0 )) (0, 0), niin yhtälön kaikki ratkaisut saadaan vektorin N = ( y (t 0 ), x (t 0 )) monikertoina. Lause.. Olkoot α, β : I R 3 derivoituvia käyriä ja f : I R sekä g : J I derivoituvia funktioita. Tällöin a) d dt( α(t) + β(t) ) = α (t) + β (t) b) d dt( f(t)α(t) ) = f (t)α(t) + f(t)α (t) c) d dt( α(t) β(t) ) = α (t) β(t) + α(t) β (t) ( tarkoittaa vektoreiden piste- eli sisätuloa) d) d dt( α(t) β(t) ) = α (t) β(t) + α(t) β (t) ( tarkoittaa vektoreiden ristituloa) e) d ds( α(g(s)) ) = α (g(s))g (s) f) d dt α(t) = α(t) α (t), jos α(t) 0 α(t) Todistus. Jätetään harjoitustehtäväksi. Huomautus.2. Derivoituvan käyrän α: [a, b] R n kaarenpituus määritellään integraalina b a α (t) dt. Jos käyrä on annettu napakoordinaattimuodossa, α(θ) = (r(θ) cos θ, r(θ) sin θ), niin käyrän kaarenpituus on b r(θ)2 + r (θ) 2 dθ. a Esimerkki.3. Käyrä, jota napakoordinaateissa esittää yhtälö r = r(θ) = a( cos θ), missä a on positiivinen vakio, on nimeltään kardioidi. Kardioidin pituus on (symmetriasyistä integrointi voidaan rajoittaa välille [0, π]) π π 2 r(θ)2 + r (θ) 2 dθ = 2 a 2 ( cos θ) 2 + a 2 sin 2 θ dθ 0 = 2a = 2a = 2a = 4a 0 π 0 π 0 π 0 π 0 2 cos θ + cos 2 θ + sin 2 θ dθ 2 2 cos θ dθ 4 sin 2 θ 2 dθ koska cos θ = 2 sin2 θ 2 sin θ 2 dθ = 4a π 2 cos θ 2 = 8a. 0

2. KAHDEN MUUTTUJAN FUNKTIOT 32 Kuva 4. Funktion (x, y) 2x y x 2 +y 2 kuvaaja sivulta ja päältäpäin katsottuna. 2. Kahden muuttujan funktiot Tarkastellaan kahden muuttujan reaaliarvoisia funktioita f : R 2 R. Kahden muuttujan funktiota havainnollistetaan tavallisesti sen kuvaajalla tai tasa-arvokäyrillä tai näiden yhdistelmällä. Funktion f kuvaaja koostuu kaikista muotoa (x, y, f(x, y)) olevista pisteistä, missä (x, y) käy läpi kaikki f määrittelyjoukon pisteet (jos määrittelyjoukko on rajoittamaton, pitää rajata sopiva osajoukko). Funktion f tasa-arvokäyriä ovat yhtälön f(x, y) = c määrittelemät tasokäyrät. Tässä c on annettu reaaliluku. Tavallisesti samaan kuvaan piirretään useita eri c:n arvoja vastaavia käyriä. 2 Funktion f kuvaaja ja tasa-arvokäyriä voidaan piirtää myös samaan kuvaan nostamalla tasa-arvokäyrät oikealle korkeudelle, t.s. piirretään f:n kuvaaja sekä sen ja tasojen z = c leikkauskäyriä. Esimerkki 2.. Olkoon f : R 2 R, f(x, y) = 2x y, kun (x, y) 0, ja f(0, 0) = 0. x 2 + y2 Kuvassa 4 on f:n kuvaaja nähtynä sivulta ja ylhäältä. Kuvaajiin on myös liitetty f:n tasa-arvokäyriä (vaaleita käyriä). Kuvassa 5 on kokoelma f:n tasa-arvokäyriä. Kuvista voi päätellä, että funktiolla f on vakioarvo pitkin jokaista origon kautta kulkevaa suoraa. Tämä nähdään myös laskemalla. Pitkin y-akselia on x = 0 ja f(0, y) = 2 0 y = 0, kun y 0. 0 2 + y2 2 Tasa-arvokäyrillä on useita eri nimiä tilanteesta riippuen. Esimerkiksi, jos f kuvaa potentiaalienergiaa, kutsutaan tasa-arvokäyriä tasapotentiaalikäyriksi, ja jos f kuvaa lämpötilaa, kutsutaan tasa-arvokäyriä isotermeiksi.