Black-Scholes-optiohinnoittelumalli

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jonne Kuittinen Black-Scholes-optiohinnoittelumalli Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2012

Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö KUITTINEN, JONNE: Black-Scholes-optiohinnoittelumalli Pro gradu -tutkielma, 46 s., 2 liites. Matematiikka Elokuu 2012 Tiivistelmä Optiot ovat yhä merkittävämpi osa rahoitusmarkkinoita, mutta niiden hinnoittelu nojaa edelleen pitkälti Black-Scholes-optiohinnoittelumalliin, joka esitettiin jo vuonna 1973. Rajoitteistaan huolimatta tämän mallin ymmärtäminen on erittäin tärkeää rahoitusalasta kiinnostuneille. Tämän tutkielman tavoitteena on avata Black-Scholes-optiohinnoittelumallin matemaattista taustaa. Mallin matematiikan ymmärtämistä yritetään helpottaa erityisesti tuomalla esiin sen yhteys myöhemmin julkaistuun binomimalliin, joka voidaan nähdä Black-Scholes-optiohinnoitelumallin yksinkertaistuksena. Tutkielma etenee seuraavasti. Aluksi käydään läpi optioihin liittyviä käsitteitä ja perustietoja. Sitten siirrytään optioiden hinnoitteluun binomimallin avulla, jossa osakkeen hinnalle annetaan askeleittain kaksi mahdollista arvoa ja tutkitaan askelmäärää nostaen miten option hinta käyttäytyy. Sen jälkeen esitellään osakkeen hinnan prosessi ja muut tarvittavat esitiedot Black- Scholes-optiohinnoittelukaavalle, jonka kaksi eri todistusta päättävät tutkielman. 2

Sisältö 1 Johdanto 1 2 Optiot 2 2.1 Option positiot.......................... 3 2.2 Optioiden hinnoittelun perusteet................ 6 3 Optioiden hinnoittelu - binomimalli 7 3.1 Yhden askeleen binomimalli................... 8 3.2 Kahden askeleen binomimalli.................. 12 3.3 Useamman askeleen binomimalli................. 14 4 Optioiden hinnoittelu - Black-Scholes-malli 16 4.1 Taustatiedot............................ 16 4.1.1 Martingaalit........................ 17 4.1.2 Markov-prosessi...................... 18 4.1.3 Wiener-prosessi...................... 20 4.1.4 Itô-prosessi........................ 22 4.1.5 Osakkeen hinnan prosessi................ 22 4.1.6 Itôn lemma........................ 23 4.1.7 Osakkeen hinnan lognormaalisuus............ 26 4.2 Black-Scholes-differentiaaliyhtälö................ 28 4.3 Black-Scholes-optiohinnoittelukaava............... 32 4.3.1 Black-Scholes-optiohinnoittelukaavan johtaminen... 32 4.3.2 Black-Scholes-optiohinnoittelukaavan johtaminen binomimallista......................... 38 Viitteet 44 A Black-Scholes-differentiaaliyhtälön vaihtoehtoinen todistus 47 3

1 Johdanto Optiot ovat johdannaisinstrumentteja, jotka antavat haltijalleen oikeuden, mutta ei velvollisuutta, ostaa tai myydä kohde-etuutena olevan hyödykkeen ennalta sovitulla hinnalla ja mahdollisesti määrättynä ajankohtana. Kohdeetuutena voivat olla esimerkiksi osakkeet, valuutat tai raaka-aineet. Optioiden merkitystä rahoitusmarkkinoiden instrumentteina kuvastaa hyvin 40% tasainen vuosikasvu amerikkalaisten listattujen optioiden määrässä, jonka uskotaan edelleen kaksinkertaistuvan vuoden 2012 aikana [11]. Optioiden hinnoitteluun on kehitetty useita malleja ja niitä on edelleen muokattu sopiviksi erilaisille optioille. Huolimatta sen paljon keskustelluista rajoitteista, tärkeimpänä on vielä tänä päivänäkin säilynyt Fisher Blackin ja Myron Scholesin vuonna 1973 esittämä malli, jonka kehittämiseen on ratkaisevasti osallistunut myös Robert C. Merton samana vuonna julkaistulla artikkelillaan. Merton ja Scholes saivat työstään myös Nobelin taloustieteen palkinnon vuonna 1997. Black oli valitettavasti kuollut jo vuonna 1995. Tämän tutkielman tavoitteena on esitellä optioiden hinnoittelun tärkein tulos, Black-Scholes-optiohinnoittelumalli, tiiviisti ja selkeästi. Hinnoittelumallin ymmärrystä pyritään selkeyttämään esittelemällä optioiden hinnoittelussa käytetyn binomimallin (Cox, Ross ja Rubinstein, 1979) ja Black- Scholes-mallin välinen yhteys, joka usein jää oppikirjoissa vähemmälle huomiolle. Hinnoittelukaavojen johtaminen on pyritty tekemään tarpeeksi yksityiskohtaisesti, jotta lukija pystyy sitä seuraamaan. Vieraimpiin käsitteisiin on lisätty viittaukset lähteisiin, joista lukija löytää lisää tietoa. Tutkielma jäsentyy seuraavasti. Luvussa 2 kerrotaan yleisesti optioista, sekä käydään läpi terminologiaa ja optiopositiot. Optioiden hinnoittelun käsittely aloitetaan kolmannessa luvussa binomimallilla. Ensin aloitetaan yksinkertaisimmasta yhden askeleen mallista, josta jatketaan kahden askeleen mallin kautta useamman askeleen binomimalliin. Lisäämällä askeleiden lukumäärää option hinnoittelun tarkkuus paranee. Luvun lopuksi saavutaan useamman askeleen binomimallilla saatuun optiohinnoittelukaavaan. Luku 4 käsittelee Black-Scholes-optiohinnoittelumallia. Ensimmäisen alaluku johdattaa lukijan aiheeseen tarvittavien taustatietojen kautta. Näistä tärkeimmät ovat osakkeen hinnan prosessi, sen lognormaalisuus sekä Itôn lemma. Seuraavassa alaluvussa johdetaan keskeinen tulos: Black-Scholes-differentiaaliyhtälö. Tutkielma päättyy Black-Scholes-optiohinnoittelukaavan johtamiseen kahdella eri tavalla. Tutkielman päälähteinä on käytetty tunnettuja taloustieteen oppikirjoja Hull: Options, futures, and other derivatives ja Luenberger: Investment Science, hieman matemaattisempaa kirjaa Neftci: An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives sekä Cox, Ross ja Rubinsteinin kir- 1

joittamaa tieteellistä artikkelia Option Pricing: A Simplified Approach. Kaikki tutkielman teossa käytetyt lähteet on listattu tutkielman lopussa. Esitietoina lukijalla olisi hyvä olla perustiedot todennäköisyyslaskennasta sekä differentiaali- ja integraalilaskennasta. 2 Optiot Optio on johdannaisinstrumentti, eli johdannainen, joka toimii sopimuksena kahden osapuolen välillä. Sen erityispiirteenä on, että se tarjoaa option ostajalle (haltija) mahdollisuuden, mutta ei velvollisuutta, ostaa (osto-optio) tai myydä (myynti-optio) sopimuksen kohteena oleva hyödyke (kohde-etuus) sovittuun hintaan (lunastushinta) ennalta määrättynä ajankohtana (lunastusajankohta). Vrt. [3, s. 229] & [12, s. 320]. Option ostaja maksaa option hinnan (preemio) option myyjälle edellä määritellystä oikeudesta. Jos optio voidaan lunastaa vain ennalta määrättynä lunastusajankohtana, on kyseessä eurooppalainen optio. Sitä vastoin amerikkalainen optio voidaan lunastaa milloin tahansa sen voimassaoloaikana (juoksuaika, myös maturiteetti). Vrt. [14, s. 142] & [1, s. 1]. Molemmilla optiotyypeillä, osto- ja myyntioptiolla, on kaksi näkökulmaa: kumpikin optio voidaan joko ostaa (pitkä positio) tai myydä (lyhyt positio). Pitkässä positiossa olevaa henkilöä kutsutaan option haltijaksi ja lyhyessä positiossa olevaa henkilöä option asettajaksi. Optioilla voi olla siis neljä eri positiota 1 : 1. Osto-option pitkä positio: Maksamalla preemion option ostajalla, eli haltijalla, on oikeus hankkia kohde-etuus ennalta sovitulla lunastushinnalla. 2. Osto-option lyhyt positio: Option myyjällä, eli asettajalla, on velvollisuus luovuttaa kohde-etuus haltijan maksaessa ennalta sovittu lunastushinta. Asettaja saa velvollisuudestaan korvaukseksi option preemion. 3. Myyntioption pitkä positio: Preemion maksaminen antaa haltijalle oikeuden myydä kohde-etuus option asettajalle ennalta sovittuun lunastushintaan. 4. Myyntioption lyhyt positio: Myyntioption asettaja on velvoitettu ostamaan kohde-etuus ennalta sovitulla hinnalla. Option preemio on korvaus asettajan ostovelvollisuudesta. 1 Optiopositioista käytetään useasti myös niiden englanninkielisiä termejä: 1. Long Call, 2. Short Call, 3. Long Put ja 4. Short Put. 2

Vrt. [7, s. 8 9] & [2, s. 649 651]. Optio voi olla kolmessa asemassa voimassaolonsa aikana. Näin luokiteltuna optiot voidaan jakaa plus-, tasa- ja miinusoptioihin. Option sanotaan olevan plusoptio, kun sen välitön lunastaminen johtaisi voittoihin haltijalle. Osto-option tapauksessa tämä tarkoittaa, että lunastushinnan on oltava kohde-etuuden arvoa alemmalla tasolla. Vastaavasti tilanteessa, missä ostooption lunastushinta on korkeampi kuin kohde-etuuden arvo, optiota kutsutaan miinusoptioksi. Kolmas mahdollinen asema optiolle on, kun sen lunastushinta on yhtäsuuri kuin kohde-etuuden arvo. Tällöin on kyseessä tasaoptio. Vrt. [2, s. 649 651]. Option arvo voidaan jakaa kahteen osaan. Option perusarvo ilmaisee, kuinka paljon suurempi kohte-etuuden sen hetkinen arvo on verrattuna option lunastushintaan. Se ei saa koskaan negatiivisia arvoja. Vastaavasti option aika-arvo on option hinnan ja sen perusarvon välinen erotus. Se perustuu osakkeen hinnan mahdollisiin tuleviin positiivisiin liikkeisiin option voimassaoloaikana. Se saa arvon nolla, kun option voimassaoloaika päättyy tai on optimaalinen hetki lunastaa optio välittömästi (amerikkalaisen option tapauksessa). Tarkastellaan yksinkertaista esimerkkiä, jossa osto-option hinta on 5 euroa ja juoksuaika kaksi kuukautta, osakkeen hinta on 40 euroa ja lunastushinta 37 euroa. Option perusarvo on 40 37 = 3 euroa ja aika-arvo 5 3 = 2 euroa. Vrt. [7, s. 154]. 2.1 Option positiot Kuten jo aiemmin mainittiin, optiolla voi olla neljä eri positiota: 1) ostooption pitkä positio, 2) osto-option lyhyt positio, 3) myyntioption pitkä positio, sekä 4) myyntioption lyhyt positio. Eri positioiden ymmärtäminen auttaa hahmottamaan optioiden dynamiikkaa ja siten ymmärtämään niiden hinnoittelua. Osto-option ostajalla on osto-option pitkä positio. Osto-option pitkässä positiossa option haltija odottaa kohde-etuuden hinnan nousevan. Voimassaolon päättyessä haltija lunastaa option, jos sillä on perusarvo. Osto-option pitkässä positiossa optio tuottaisi haltijalle voittoa, mikäli lunastushinnan ja option hinnan yhteenlaskettu summa on pienempi kuin kohde-etuuden sen hetkinen arvo. 2 Toisaalta, jos optiolla ei ole perusarvoa (kohde-etuuden arvo < lunastushinta) lunastuspäivänä, option haltijan tappio on maksetun preemion suuruinen. Vrt. [7, s. 6 7]. 2 Tarkastellaan esimerkkiä. Oletetaan, että option voimassaolon loppuessa kohdeetuuden markkina-arvo on 12 euroa ja, että option lunastushinta on 7 euroa ja preemio 3 euroa. Nyt option perusarvo on 5 euroa (12-7). Tällöin optio tuottaisi haltijalleen voittoa 2 euroa (12-(7+3)). 3

20 Osto option pitkän position tuottokaavio 15 10 Tuotto/Tappio 5 0 5 10 35 40 45 50 55 60 65 Kohde etuuden hinta Kuva 1: Tuottokaavio - Osto-option pitkä positio Yllä olevassa kuvassa 1 option lunastushinta on 50 euroa ja option hinta eli preemio 3 euroa. Osakkeen hinnan ollessa lunastushetkellä 53 euroa ei option haltija saa voittoa eikä koe tappiota. Hinnan ollessa alempi, option haltija kokee tappion, joka rajoittuu preemion hintaan, 3 euroa. Optio alkaa tuottamaan voittoa, kun osakkeen hinta on yli 53 euroa. Vrt. [7, s. 6 7]. Teoriassa option haltijan voitto voi olla rajaton, koska osakkeen hinta voi nousta rajattomasti, kun taas tappio on rajattu optiosta maksettuun hintaan. Vastaavasti osto-option myyjälle tappio on rajaton, koska jokainen osakkeen hinnan nousu kasvattaa hänen tappiotaan. Hänen voittonsa on taas rajattu optiosta saatuun hintaan. Osto-option myyjällä on osto-option lyhyt positio, jonka tuottokaavio on esitetty kuvassa 2. Osto-option lyhyen position ottaja odottaa siis osakkeen hinnan laskevan option voimassaoloaikana. Vrt. [7, s. 6 10]. 4

10 Osto option lyhyen position tuottokaavio 5 0 Tuotto/Tappio 5 10 15 20 35 40 45 50 55 60 65 Kohde etuuden hinta option maturiteettina Kuva 2: Tuottokaavio - Osto-option lyhyt positio 20 Myyntioption pitkän position tuottokaavio 15 10 Tuotto/Tappio 5 0 5 10 35 40 45 50 55 60 65 Kohde etuuden hinta option maturiteettina Kuva 3: Tuottokaavio - Myyntioption pitkä positio Kolmas mahdollinen positio on myyntioption pitkä positio, jossa option myyjä hyötyy kohde-etuutena olevan osakkeen hinnan laskusta. Myyntiop- 5

tion ostaja maksaa preemion oikeudesta myydä osake ennalta sovitulla lunastushinnalla option voimassaolon päättyessä (eurooppalainen optio). Hänen voittonsa kasvaa sitä mukaa, kun osakkeen hinta laskee. Tuotto voi periaatteessa olla rajaton, mutta osakkeen hinta ei voi kuitenkaan laskea alle nollan. Tämän position tuottokaavio on esitetty kuvassa 3. Vrt. [7, s. 7 10]. Myyntioption myyjä saa option ostajalta preemion, jota vastaan myyjällä on velvollisuus ostaa kohde-etuutena oleva osake ennalta sovitulla hinnalla option voimassaolon päättyessä. Tämä viimeinen mahdollinen positio on nimeltään myyntioption lyhyt positio ja sen tuottokaavio on esitetty kuvassa 4. Myyntioption myyjän tappio kasvaa, kun osakkeen hinta laskee, mutta hänen voittonsa on enintään maksetun preemion suuruinen. Vrt. [7, s. 7 10]. 10 Myyntioption lyhyen position tuottokaavio 5 0 Tuotto/Tappio 5 10 15 20 35 40 45 50 55 60 65 Kohde etuuden hinta option maturiteettina Kuva 4: Tuottokaavio - Myyntioption lyhyt positio 2.2 Optioiden hinnoittelun perusteet Optioiden hinnoilla on yhteys edellä esitettyihin tuottokaavioihin. Tässä luvussa esitellään perusteet option hinnan määrittämiselle, joka valmistaa lukijaa seuraavissa luvuissa olevaan syvempään tarkasteluun. Oletetaan, että omistetaan osakkeen osto-optio, jonka lunastushinta on K. Olkoon osakkeen hinta option erääntymishetkellä S T. On helppo huomata, että jos S T < K, niin option arvo on nolla. Tässä tapauksessa osto-option omistaja voi ostaa osakkeen markkinoilta halvemmalla hinnalla S T kuin lu- 6

nastamalla optio ja maksamalla osakkeesta hinta K. Jos taas S T > K, niin optiolla on arvoa. Nyt option omistaja voi lunastaa option ja ostaa osakkeen hintaan K. Hän voi samantien myydä osakkeen markkinoilla korkeammalla hinnalla S T, jolloin hänen voittonsa on S T K. Vrt. [12, s. 322]. Yhdistämällä nämä kaksi tapausta option arvo voidaan esittää kaavana C = max[s T K, 0]. (2.1) Tämä tarkoittaa, että option arvo C on yhtä suuri kuin suurempi arvoista 0 ja S T K. Kaava (2.1) antaa eksplisiittisen kaavan osto-option arvon määrittämiseen option erääntymishetkellä osakkeen hinnan S T funktiona. Ostooption lyhyessä positiossa kaava on vastaavasti max[s T K, 0] = min[k S T, 0]. Vrt. [12, s. 322] & [7, s. 9]. Myyntioption kohdalla tulos on vastakkainen, koska optio antaa omistajalleen oikeuden myydä kohde-etuus ennalta sovitulla lunastushinnalla. Oletetaan, että omistetaan myyntioptio, jonka lunastushinta on K. Tässä tapauksessa, jos osakkeen hinta S T on suurempi kuin option lunastushinta K, siis S T > K, niin optio on arvoton. Option omistaja voi lunastamalla option myydä osakkeen hintaan K, kun markkinoilla hän voi myydä sen suoraan korkeampaan hintaan S T. Toisaalta, jos S T < K, niin option omistaja voi ostaa osakkeen markkinoilta hinnalla S T ja sitten lunastaa option ja myydä osakkeen korkeammalla hinnalla K. Hänen voittonsa on tällöin K S T. Yleinen kaava myyntioption arvolle sen erääntymishetkellä on P = max[k S T, 0], ja vastaava kaava myyntioption lyhyessä positiossa on Vrt. [12, s. 322 323] & [7, s. 10]. max[k S T, 0] = min[s T K, 0]. 3 Optioiden hinnoittelu - binomimalli Binomimalli on yksinkertaisin ja käytännöllisin optioiden hinnoittelumalli. Binomimalli on itse asiassa yksinkertaistettu versio Black-Scholes-optiohinnoittelumallista ja kehitetty vasta tämän jälkeen. Sen luojat olivat Cox, Ross ja Rubinstein (1979). 7

3.1 Yhden askeleen binomimalli Binomimallin rakentaminen alkaa diskreetin yhden askeleen binomimallin esittelemisellä. Olkoon osakkeen hinta S hetkellä t. Yhden askeleen jälkeen, hetkellä t+1 osakkeen hinnan kehityksellä on kaksi mahdollista arvoa: todennäköisyydellä q osakkeen hinta nousee arvoon us, missä u > 1 ja 0 < q < 1, tai todennäköisyydellä 1 q hinta laskee arvoon ds, missä 0 < d < 1. Vrt. [3, s. 232]. Asia on havainnollistettu kuvassa 5. S q us 1 q ds Kuva 5: Osakkeen hinta yhden askeleen binomimallissa. Lähde [3, s. 232]. Binomimalliin kuuluu useita oletuksia. Korkokanta on vakio ja lainan antaminen sekä lainaaminen ovat rajoituksettomia. Suurempaa varallisuutta pidetään parempana kuin pienempää, joten tuottavat riskittömät arbitraasimahdollisuudet käytetään välittömästi. Arbitraasi on mahdollisuus tuottoihin ilman riskiä. Tämä voidaan saavuttaa esimerkiksi hyödyntämällä osakkeen hintaeroja eri markkinoilla. Alla oleva todistus auttaa ymmärtämään arbitraasin käsitettä. Veroja, marginaalivaatimuksia sekä transaktioista aiheutuvia kuluja ei oteta mallissa huomioon. Lyhyeksimyymisestä saatavat tuotot jäävät siis kokonaisuudessaan käyttöön. Binomimallia käyttäen, kun rakennetaan salkku, joka koostuu osakkeesta ja sen optiosta tietyillä painoilla, tarkastelujakson lopussa, hetkellä t + 1, ei ole epävarmuutta salkun arvosta. Koska salkku on riskitön, täytyy tuoton olla yhtäsuuri riskittömän korkokannan kanssa ja täten pystytään laskemaan salkun rakentamisesta aiheutuvat kustannukset sekä edelleen option hinta. Vrt. [3, s. 232 235] & [7, s. 201]. Olkoon r = 1 + r f, missä r f on riskitön korkokanta. Oletetaan lisäksi, että u > r > d. Jos yhtälö u > r > d ei päde, on olemassa arbitraasimahdollisuuksia käyttäen ainoastaan osaketta ja riskitöntä lainan antamista ja lainanottoa. Vrt. [3, s. 232]. 8

Todistetaan tämä väite käsittelemällä kaksi eri tapausta: d < u r ja r d < u. Olkoon d < u r. Tällöin osakkeen tuotto on kaikissa tapauksissa huonompi kuin lainan tuotto. Nyt arbitraasi muodostetaan myymällä osake lyhyeksi ja sijoittamalla myyntitulot riskittömään korkokantaan (esim. valtion obligaatio). Tällöin tuotto on joko r u tai r d osakkeen loppuhinnan mukaan. Vrt. [12, s. 327]. Tapaus r d < u käsitellään samalla tavalla. Nyt osakkeen tuotto on kaikissa tapauksissa vähintään yhtä hyvä kuin lainan tuotto, joten arbitraasi muodostetaan ottamalla laina riskittömällä korolla r ja sijoittamalla rahat osakkeeseen. Tuotto on joko u r tai d r osakkeen loppuhinnan mukaan. Seuraavaksi paneudutaan osto-option hinnoitteluun yhden askeleen binomimallin avulla. Oletetaan, että osakkeille ei makseta osinkoja, jolloin eurooppalaisen ja amerikkalaisen option käsittelyllä ei ole eroa. Optiotyyppien eroja on tarkasteltu tarkemmin lähteessä [12, s. 332-333]. Vaikka jatkossa keskitytään ainoastaan osto-optioon, pienillä muutoksilla käsittely voidaan laajentaa käsittämään useita muita johdannaisia. Oletetaan, että osto-optio erääntyy yhden periodin kuluttua. Tämän option kohde-etuutena on edellä mainittu osake, jonka hinta noudattaa edellä esitettyä mallia. Olkoon C osto-option arvo hetkellä t. Jos periodin lopussa osakkeen hinta on us, olkoon option arvo C u hetkellä t+1. Jos osakkeen hinta on periodin lopussa ds, olkoon option arvo C d hetkellä t + 1. Kun K on osto-option lunastushinta, option arvon kaavasta (2.1) seuraa C u = max[0, us K] ja (3.1) C d = max[0, ds K]. (3.2) Vrt. [3, s. 232 233]. Osto-option arvonmuutos on havainnollistettu kuvassa 6. C q C u = max[0, us K] 1 q C d = max[0, ds K] Kuva 6: Osto-option hinta yhden askeleen binomimallissa. Lähde [3, s. 233]. 9

Kun arbitraasia ei ole, voidaan rakentaa replikoiva salkku, jonka loppuarvo on sama kuin osto-option. Se sisältää osaketta ja B euron arvosta riskittömiä obligaatioita. Vrt. [12, s. 329]. Obligaatiota käytetään kuvaamaan sijoitusta riskittömään korkokantaan. Koska option ja salkun loppuarvot ovat yhtäsuuret, on oltava us + rb = C u ja (3.3) ds + rb = C d. (3.4) Seuraavaksi ratkaistaan muuttuja vähentämällä yhtälö (3.4) yhtälöstä (3.3). us + rb ( ds + rb) = C u C d (us ds) = C u C d = C u C d (u d)s. (3.5) Sijoittamalla yhtälöstä (3.5) saatu muuttuja yhtälöön (3.3), joka on ratkaistu muuttujalle B, saadaan B = C u us r = C u u Cu C d u d r u d u d = C u u Cu C d u d = uc u dc u u d r ucu uc d u d r = uc d dc u (u d)r. (3.6) Kun ja B valitaan tällä tavoin, kutsutaan salkkua suojautumissalkuksi (hedging portfolio). Vrt. [3, s. 233 234]. 10

Koska arbitraasia ei ole, on oltava C = S + B (3.7) = C u C d u d ( r = r ) Cu C d u d + uc d dc u (u d)r + uc d dc u (u d)r = rc u rc d + uc d dc u (u d)r = rc u dc u + uc d rc d (u d)r = pc u + (1 p)c d, (3.8) r missä p = r d, 1 p = u r ja r > 1. Vrt. [3, s. 234]. Yhtälö 3.8 on binomimallilla johdettu yhden askeleen optiohinnoittelukaava. u d u d Jos yhtälö (3.7) ei olisi voimassa, arbitraasi olisi mahdollista. Jos C < S +B, myymällä salkku ja ostamalla osto-optio saavutetaan riskitön tuotto ilman nettoinvestointia. Jos C > S + B, arbitraasi saavutetaan myymällä osto-optio ja ostamalla salkku. Vrt. [3, s. 233]. Mielenkiintoinen seikka yllä esitellyssä optioiden hinnoittelukaavassa on sen yhteys riskineutraaliin hinnoitteluun. Optioiden hinnoittelukaava ei sisällä todennäköisyyttä q. Tämä voi tuntua logiikan vastaiselta, mutta tarkemmin ajateltuna osto-option arvo on saatu sovittamalla täydellisesti yhteen option sekä riskittömän korkokannan ja osakkeen yhdistelmän tuotot, missä todennäköisyydellä q ei ole mitään roolia. Riippumatta yksittäisten sijoittajien näkemyksestä osakkeen hinnannousun todennäköisyydestä, osto-option hinta C voidaan siis perustaa muuttujiin S, u, d ja r. Option arvo ei riipu sijoittajan asenteesta riskiin vaan aiemmin esitetystä oletuksesta, että sijoittajat pitävät suurempaa varallisuutta pienempää parempana ja tästä johtuen hyödyntävät riskittömät arbitraasimahdollisuudet. Optioden hinnoittelukaavan ainoa satunnaismuuttuja on osakkeen hinta S. Vrt. [3, s. 235] & [12, s. 330]. Huomataan kuitenkin, että 0 < p < 1, missä p = r d. Siis muuttujalla p u d on todennäköisyyden ominaisuudet. Itse asiassa p on arvo, jonka muuttuja q saisi, jos sijoittajat olisivat riskineutraaleja. Tässä tapauksessa osakkeen 11

odotettu tuotto vastaisi riskitöntä korkokantaa. Siis q(us) + (1 q)(ds) = rs qu + (d qd) = r (u d)q = r d q = r d u d = p. Muuttujaa p kutsutaankin riskineutraaliksi todennäköisyydeksi. On kuitenkin hyvä huomata, että option tuoton ei odoteta olevan yhtäsuuri kuin riskittömän korkokannan tuotto, vaan luodun suojautumissalkun tuotto. Vrt. [3, s. 235 236] & [12, s. 329 330]. 3.2 Kahden askeleen binomimalli Seuraavaksi siirrytään yhden askeleen binomimallista useamman askeleen binomimalliin. Askelien lisääminen parantaa option hinnoittelun tarkkuutta. Aloitetaan yksinkertaisimmasta, eli kahden askeleen binomimallista, jossa option lunastusajankohta on kahden periodin kuluttua. Kuvissa 7 ja 8 on määritelty osakkeen ja osto-option hintakehitys kahden askeleen binomimallissa. C uu on option arvo, kun osakkeen hinta on kohonnut molempina periodeina ja näin päätynyt hintaan u 2 S. Luvut C du ja C dd määritellään vastaavasti. Vrt. [3, s. 235 236]. S us ds uus = u 2 S dus = uds dds = d 2 S Kuva 7: Osakkeen hinta kahden askeleen binomimallissa. Lähde [3, s. 236]. Kahden askeleen binomimallissa osto-option arvo lasketaan yhden askeleen binomimallissa käytetyllä tavalla. Kuitenkin option arvo hetkellä t saadaan selville aloittamalla arvoista hetkellä t + 2 ja etenemällä takaperin arvoon hetkellä t + 1 ja edelleen hetkellä t. Hetkellä t + 2 option osakkeen 12

hintakehityksestä riippuvat arvot ovat C uu = max[0, u 2 S K], (3.9) C du = max[0, dus K] ja (3.10) C dd = max[0, d 2 S K]. (3.11) Osto-option arvot hetkellä t + 1 voidaan laskea yhden askeleen binomimallin optioiden hinnoittelukaavan (3.8) avulla. C u = pc uu + (1 p)c ud r ja (3.12) C d = pc du + (1 p)c dd, (3.13) r missä p on riskineutraali todennäköisyys. Option arvo hetkellä t lasketaan käyttämällä yhtälöä (3.8) vielä kerran. Näin saadaan Vrt. [12, s. 330]. C = pc u + (1 p)c d. (3.14) r C C u C d C uu = max[0, u 2 S K] C du = max[0, dus K] C dd = max[0, d 2 S K] Kuva 8: Osto-option arvo kahden askeleen binomimallissa. Lähde [3, s. 236]. Nyt osto-option nykyarvo hetkellä t saadaan sijoittamalla yhtälöön (3.14) option arvot hetkellä t+1 yhtälöistä (3.12) ja (3.13), ja edelleen sijoittamalla 13

tähän option arvot hetkellä t + 2 yhtälöistä (3.9) (3.11). C = pc u + (1 p)c d r = p pcuu+(1 p)c ud r + (1 p) pc du+(1 p)c dd r r = p2 C uu + 2p(1 p)c du + (1 p) 2 C dd r 2 = p2 max[0, u 2 S K] + 2p(1 p) max[0, dus K] r 2 + (1 p)2 max[0, d 2 S K] r 2. (3.15) Vrt. [3, s. 237 238]. Riskineutraali hinnoittelu toimii myös kahden askeleen binomimallissa. Muuttujat p 2, 2p(1 p) ja (1 p) 2 ovat riskineutraalit todennäköisyydet option arvoille hetkellä t + 2. Vrt. [7, s. 208]. Yhtälöön (3.8) liittyvät huomiot pätevät myös yhtälöön (3.15). Erona kahden askeleen binomimallin optioden hinnoittelu kaavassa on se, että uutena muuttujana huomioon on otettava myös option erääntymiseen jäljellä olevan periodien määrä n, jonka arvo on tässä tapauksessa 2. Kaikki option arvon C määräävät muuttujat ovat siis S, K, r, u, d ja n. Vrt. [3, s. 238]. 3.3 Useamman askeleen binomimalli Kahden askeleen binomimallista voidaan siirtyä useamman askeleen binomimalliin käyttämällä rekursiivista päättelyä. Useamman askeleen binomimallista on esimerkki kuvassa 9. Replikoivan salkun arvo noudattaa option arvoa. Aloittamalla option erääntymishetkestä ja etenemällä takaperin voidaan johtaa universaali optioden hinnoittelukaava jokaiselle muuttujan n arvolle: C = nj=0 ( n! j!(n j)! )pj (1 p) n j max[0, u j d n j S K] r n. (3.16) Vrt. [3, s. 238]. Useamman askeleen optiohinnottelukaava saadaan käyttökelpoisempaan muotoon muokkaamalla yhtälöä (3.16) hieman. Olkoon a minimimäärä hinnannousuja, joka osakkeen on tehtävä seuraavan n periodin aikana, jotta ostooptiolla olisi reaaliarvoa erääntymispäivänä, eli se olisi plusoptio. Tällöin a on pienin ei-negatiivinen kokonaisluku, jolla on voimassa u a d n a S > K. Ot- 14

tamalla luonnollinen logaritmi molemmilta puolilta epäyhtälöä, saadaan ln(u a d n a S) > ln K a ln u + (n a) ln d + ln S > ln K a ln u a ln d + n ln d + ln S > ln K a(ln u ln d) + ln Sd n > ln K a ln u d > ln K ln Sdn a > ln K Sd n ln u. d Nyt a voidaan kirjoittaa pienimpänä ei-negatiivisena kokonaislukuna, joka on suurempi kuin (ln K )/(ln u ). Vrt. [3, s. 238]. Sd n d S u 3 S u 2 S us u 2 ds uds ds ud 2 S d 2 S d 3 S u 4 S u 3 ds u 2 d 2 S ud 3 S d 4 S Kuva 9: Osakkeen hinta useamman askeleen binomimallissa. Vrt. [7, s. 394]. Jokaista j < a kohti, max[0, u j d n j S K] = 0, ja jokaista j a kohti, max[0, u j d n j S K] = u j d n j S K. Siis, C = nj=a ( n! j!(n j)! )pj (1 p) n j (u j d n j S K) r n. (3.17) 15

Jos a > n, osto-optio on miinusoptio, eli sillä ei ole reaaliarvoa erääntymispäivänä vaikka osake nousisi joka periodilla, joten osakkeen tämänhetkinen arvo täytyy olla nolla. Vrt. [3, s. 238 239]. Jakamalla C kahteen termiin saadaan ( ) ( n n! C =S u p j (1 p) n j j d n j ) j!(n j)! r n j=a ( n Kr n j=a n! j!(n j)! ) p j (1 p) n j. (3.18) Nyt jälkimmäinen suluissa oleva esitys on komplementäärinen binomijakaumafunktio Φ[a; n, p] (binomijakaumafunktio tarkoittaa binomijakauman kertymäfunktiota). Ensimmäinen suluissa oleva esitys voidaan myös tulkita binomijakauman kertymäfunktioksi Φ[a; n, p ], missä p = u r p ja 1 p = d (1 p). r Koska 0 < p < 1, niin p on todennäköisyys. Huomaa, että p < r u ja ( u p j (1 p) n j j d n j ) ( ) ( ) u j n j d = r p r (1 p) = p j (1 p ) n j. r n Vrt. [3, s. 239]. Siis useamman askeleen binomimallilla saatu optiohinnoittelukaava on missä C = SΦ[a; n, p ] Kr n Φ[a; n, p], (3.19) p = r d, p = u u d r p ja a = pienin ei-negatiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin ln K Sd n ln u. d Jos a > n, niin C = 0. Vrt. [3, s. 239]. 4 Optioiden hinnoittelu - Black-Scholes-malli 4.1 Taustatiedot Tässä luvussa esitellään taustatietoja Black-Scholes-optiohinnoittelumallin ja sen todistusten ymmärtämiseksi. Aluksi määritellään osakkeen hinnan 16

prosessi käyttäen apuna muiden prosessien määritelmiä. Kaiken pohjana on stokastinen prosessi, joka on diskreetti tai jatkuva indeksoitu satunnaismuuttujien kokoelma [15, s. 108]. Luvun lopussa esitellään Black-Scholesdifferentiaaliyhtälön keskeinen aputulos, Itôn lemma, sekä osakkeen hinnan lognormaalisuus. 4.1.1 Martingaalit Martingaalit ovat keskeinen osa modernia finanssiteoriaa. Martingaaliteorian laajuuden vuoksi tässä luvussa keskitytään käsittelemään ainoastaan tutkielman kannalta kiinnostavia tietoja. Martingaaliteoria luokittelee havaitut aikasarjat niiden trendien mukaan. Stokastinen prosessi käyttäytyy kuten martingaali, jos siinä ei esiinny havaittavia trendejä tai jaksollisuutta. Vrt. [15, s. 120]. Oletetaan, että havaitaan satunnaismuuttujakokoelma, joka on indeksoitu aikaindeksillä t. Käsitellään jatkuvia stokastisia prosesseja. Olkoon {S t, t [0, ]} havaittu prosessi ja {I t, t [0, ]} kokoelma informaatiojoukkoja, jotka tulevat tietoon jatkuvasti ajan kuluessa. Käytännössä informaatiota I t voidaan pitää esimerkiksi informaationa, joka on saatavilla finanssimarkkinoiden hinnoista hetkellä t. Kun s < t < T, tämä informaatiojoukkokokoelma toteuttaa ehdon I s I t I T... (4.1) Joukkoa {I t, t [0, ]} kutsutaan filtraatioksi. Vrt. [15, s. 120]. Valitaan sellainen jono {t i }, että 0 = t 0 < t 1 <... < t k 1 < t k = T (4.2) kuvastaa aikajaksoja jatkuvalla aikavälillä [0, T]. Symbolilla t 0 kuvataan alkupistettä ja symbolilla t k loppupistettä. Nyt kun k ja (t i t i 1 ) 0 kaikilla i = 1,..., k, aikaväli [0, T] jakautuu yhä pienempiin osiin. Vrt. [15, s. 120]. Olkoon S t satunnainen hintaprosessi äärellisellä aikavälillä [0, T]. Määrätyllä hetkellä t i hintaprosessin arvo on S ti. Jos hintaprosessin arvo S t kuuluu informaatiojoukkoon I t jokaisella t 0, niin sanotaan, että prosessi {S t, t [0, T]} sopii filtraatioon {I t, t [0, T]}. Siis arvo S t tunnetaan, kun informaatiojoukko I t on annettu. Vrt. [15, s. 120]. Käyttämällä eri informaatiojoukkoja voidaan tuottaa eri ennusteita prosessista {S t }. Näiden ennusteiden ilmaisussa käytetään ehdollisia odotusarvoja. Erityisesti, E t [S t ] = E [S t I t ], t < T, (4.3) 17

on muodollinen tapa merkitä tulevan arvon ennustetta käyttäen saatavissa olevaa informaatiota hetkellä t. Vrt. [15, s. 121]. Määritelmä 4.1. [15, s. 121] Prosessia {S t, t [0, ]} kutsutaan martingaaliksi filtraation {I t } ja todennäköisyyden P suhteen, jos jokaisella luvulla t > 0 1. S t tunnetaan, kun I t on annettu (S t on I t -sopiva), 2. ehdottomat ennusteet ovat äärellisiä: E [S t ] <, (4.4) 3. paras ennuste tulevista arvoista on viimeinen saatu arvo S t : todennäköisyydellä 1. E t [S T ] = S t jokaisella t < T, (4.5) Kaikki odotusarvot E [ ], E t [ ] lasketaan todennäköisyyden P suhteen. Havainnollistetaan martingaalin määritelmää esimerkin avulla. Olkoon S t martingaali ja E t [S t+u S t ] = E t [S t+u ] E t [S t ] (4.6) ennuste prosessin S t muutoksesta välillä [t, t + u], missä u > 0. Koska martingaalin määritelmän kohdan 1 mukaan S t on I t -sopiva, E t [S t ] = S t. Lisäksi, martingaalin määritelmän kohdan 3 mukaan, jos S t on martingaali, niin E t [S t+u ] = S t. Siis E t [S t+u S t ] = 0. (4.7) Vrt. [15, s. 121]. Edellisestä esimerkistä voidaan huomata martingaaliprosessien keskeinen ominaisuus: martingaalien liikettä on mahdotonta ennustaa. On hyvä muistaa, että martingaalit määritellään aina suhteessa tiettyyn informaatiojoukkoon ja todennäköisyyteen. Näitä muuttamalla voidaan ei-martin-gaalista prosessista tehdä martingaali ja päin vastoin. Vrt. [15, s. 121 122]. 4.1.2 Markov-prosessi Markov-prosessi on sellainen stokastinen prosessi, jono satunnaismuuttujia, jossa muuttujan tulevat arvot riippuvat ainoastaan muuttujan tämänhetkisestä arvosta. Aiemmat arvot ja aiempi arvon kehitys ovat prosessin kannalta merkityksettömiä. Vrt. [15, s. 109]. 18

Osakkeiden hintojen oletetaan yleisesti noudattavan Markov-prosessia. Eugene Faman muotoilema markkinoiden heikko tehokkuus (weak form of market efficiency) sanoo, että osakkeen tämänhetkinen hinta sisältää kaiken tiedon osakkeen menneistä hinnoista. Jos näin ei olisi, käyttämällä hyväksi osakkeen historiatietoja taitava analyytikko voisi jatkuvasti saavuttaa keskiarvoa parempia tuottoja. Tällaisesta toiminnasta ei kuitenkaan ole pitkäkestoisia havaintoja. Vrt. [7, s. 216 217]. Seuraavaksi annetaan Markov-prosessin matemaattinen määritelmä. Ensin täytyy kuitenkin määritellä termit sigma-algebra sekä todennäköisyysavaruus. Määritelmä 4.2. [18, s. 9] Kokoelma F joukon Ω osajoukkoja on sigmaalgebra, jos 1. Ω F, 2. A F A c F, 3. A n F kaikilla n N A n F. Määritelmä 4.3. [17, s. 30] Todennäköisyysavaruus (Ω, F, P) sisältää kolme objektia 1. Ω on epätyhjä joukko, jota kutsutaan otosavaruudeksi. Se sisältää kaikki mahdolliset satunnaiskokeesta saadut ratkaisut. 2. F on otosavaruuden Ω osajoukkojen sigma-algebra. 3. P on parille (Ω, F) määriteltävä todennäköisyys (kutsutaan myös todennäköisyysmitaksi). P on siis funktio, joka antaa jokaiselle joukolle A F luvun P(A) [0, 1], joka edustaa todennäköisyyttä, että satunnaiskokeen ratkaisu sisältyy joukkoon A. Määritelmä 4.4. [17, s. 70] Olkoon (Ω, F, P) todennäköisyysavaruus ja {F k } n k=0 filtraatio sigma-algebralla F. Olkoon lisäksi {X k } n k=0 todennäköisyysavaruuden (Ω, F, P) stokastinen prosessi. Tämä prosessi on Markov 3, jos 1. stokastinen prosessi {X k } sopii filtraatioon {F k }, ja 2. (Markov-ominaisuus) jokaisella k = 0, 1,..., n 1 satunnaismuuttujan X k+1 jakauma ehdolla F k on sama kuin ehdolla X k. 3 Markov-prosessiin liittyvä tekninen oletus: Käsitellään ainoastaan joukon R ja sen osajoukkojen funktioita, jotka ovat Borel-mitallisia. Siis käsitellään ainoastaan joukon R osajoukkoja A, jotka ovat joukossa B, ja funktioita g : R R, joilla g 1 : B B. Vrt. [17, s. 70]. Tarkemmin Borel-joukoista esimerkiksi [18, s. 11]. 19

4.1.3 Wiener-prosessi Wiener-prosessi 4 on Markov-prosessi, jonka muutoksen odotusarvo on 0 ja yhdessä aikayksikössä tapahtuvan muutoksen varianssi 1. Muutoksen tiheysfunktio on φ(0, 1), missä φ(µ, σ) on normaalijakauman tiheysfunktio odotusarvolla µ ja keskihajonnalla σ. Vrt. [7, s. 217 218]. Määritelmä 4.5. [15, s. 177] Wiener-prosessi z t, filtraation {I t } suhteen on sellainen stokastinen prosessi, jossa seuraavat ehdot täyttyvät. 1. Wiener-prosessi z t on neliöintegroituva martingaali 5 ja z 0 = 0. Lisäksi E [(z t z s ) 2 ] = t s, s t. 2. Wiener-prosessin z t kuvaaja on jatkuva pisteessä t. Käytettäessä martingaaleihin perustuvaa määritelmää Wiener-prosessin todennäköisyysjakauman normaalius seuraa määritelmän oletuksista Lévyn lauseen 6 mukaan. Wiener-prosessi voidaan myös määritellä sen ominaisuuksien mukaan. Muuttuja z noudattaa Wiener-prosessia, jos sillä on seuraavat ominaisuudet. 1. Muutos δz lyhyen ajanjakson δt aikana on δz = ǫ t δt, (4.8) missä ǫ t on satunnaismuuttuja standardinormaalijakaumasta φ(0, 1). 2. Muutoksen δz arvot millä tahansa kahdella eri lyhyellä aikavälillä δt ovat toisistaan riippumattomia. Nyt ensimmäisestä ominaisuudesta seuraa, että muutoksella δz on normaalijakauma, jonka odotusarvo on 0, keskihajonta on δt, varianssi on δt. 4 Osa kirjallisuudesta käyttää Wiener-prosessista termiä Brownin liike. Lévyn lauseen mukaan näillä kahdella prosessilla ei ole tässä yhteydessä eroa. Lisää tietoa aiheesta löytyy esimerkiksi lähteestä [15, s. 177-178]. 5 Neliöintegroituvan martingaalin erityisominaisuus on, että sen varianssi on äärellinen. Tarkempi käsittely löytyy esimerkiksi lähteestä [9]. 6 Esimerkiksi [4, s. 295 299] tarkastelee Lévyn lausetta tarkemmin. 20

Toisesta ominaisuudesta seuraa, että muuttuja z noudattaa Markov-prosessia. Vrt. [7, s. 218]. Matematiikassa yleisesti edetään pienistä muutoksista, joita merkitään edellä symbolilla δ, raja-arvoihin, kun muutokset lähestyvät nollaa. Stokastisten prosessien kanssa voidaan menetellä samoin. Wiener-prosessi määritellään raja-arvona, kun δt 0 yllä kuvaillussa prosessissa muuttujalle z. Vrt. [7, s. 219]. Wiener-prosessi voidaan siis muodollisesti kuvata yhtälöllä dz = ǫ t dt. Satunnaismuuttujat ǫ t ja ǫ s ovat korreloimattomia aina, kun t s. Vrt. [12, s. 306]. Wiener-prosessin pohjalta voidaan rakentaa kokoelma yleisempiä prosesseja. Yksinkertaisin laajennus, yleistetty Wiener-prosessi, on muotoa dx = adt + bdz, (4.9) missä x on satunnaismuuttuja ja a ja b ovat vakioita. Lukua a sanotaan suuntakertoimeksi. Suuntakerroin kuvastaa muuttujan arvonkehityksen yleistä trendiä, kun taas varianssi on satunnainen muutos trendin ympärillä. Yllä kuvaillun Wiener-prosessin dz suuntakerroin on nolla. Tämä on selvää, koska myös prosessin odotusarvo on nolla. Vrt. [7, s. 219]. Ensimmäinen termi yhtälön oikealla puolella kuvastaa suuntakerrointa ja toinen termi häiriöitä suuntakertoimen määräämällä reitillä. Koska tämä häiriö on b kertaa Wiener-prosessi ja Wiener-prosessin keskihajonta on 1 hetkellä 1, on häiriön keskihajonta b hetkellä 1. Ilman häiriötekijää yhtälö on dx = adt, mistä seuraa, että dx dt = a. Kun yhtälö integroidaan ajan suhteen, saadaan x = x 0 + at, missä x 0 on muuttujan x arvo hetkellä nolla. Jos ajanjakson pituus on T, kasvaa muuttujan x arvo summalla at. Vrt. [7, s. 219]. Muuttujan x muutos δx lyhyellä aikavälillä δt seuraa yhtälöistä (4.8) ja (4.9): δx = aδt + bǫ t δt. 21

Koska ǫ t on satunnaismuuttuja standardinormaalijakaumasta, muutoksella δz on normaalijakauma, jonka odotusarvo on aδt, keskihajonta on b δt, varianssi on b 2 δt. Yleistetyn Wiener-prosessin suuntakerroin on a ja sen varianssiparametri (häiriö) on b 2. Vrt. [7, s. 219 221]. 4.1.4 Itô-prosessi Rahoitusomaisuuden liikkeiden kuvaamisessa käytetään usein Itô-prosessia. Se on yleistetty Wiener-prosessi, jossa parametrit a ja b ovat funktioita muuttujan x ja ajan t suhteen. Itô-prosessi voidaan ilmaista yhtälönä dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz. (4.10) Itô-prosessin suuntakertoimen sekä varianssiparametrin tulisi muuttua ajan kuluessa. Lyhyellä aikavälillä (t, t + δt) muuttuja x kehittyy arvoon x + δx, missä δx = a(x, t)δt + b(x, t)dz. Suuntakertoimen a(x, t) ja varianssiparametrin b(x, t) 2 oletetaan pysyvän vakioina aikavälillä (t, t + δt). Vrt. [7, s. 222] & [12, s. 308]. 4.1.5 Osakkeen hinnan prosessi Edellä esiteltyjen prosessien kautta päästään lopulta määrittelemään prosessi, jota käytetään osakkeiden hintojen kuvaamiseen. Esimerkiksi yleistetty Wiener-prosessi ei kykene ottamaan huomioon osakkeen hinnan kannalta tärkeää ominaisuutta, sijoittajan edellyttämää tuottoa. Jos sijoittaja edellyttää 10 prosentin tuottoa, kun osakkeen hinta on 10 euroa, edellyttää hän 10 prosentin tuottoa myös, kun osakkeen hinta on 100 euroa. Tästä johtuen oletus vakiona pysyvästä suuntakertoimesta on hylättävä. Uusi oletus on, että edellytetty tuotto (suuntakerroin jaettuna osakkeen hinnalla) on vakio. Vrt. [7, s. 222]. Jos osakkeen hinnan volatiliteetti asetetaan (pysyvästi) nollaksi seuraa, että ds = µsdt 22

tai ds S = µdt. Kun nyt otetaan integraali aikavälin [0, T] yli, saadaan T 0 / 0 T 1 T S ds = 0 ln S = / 0 T µ dt µt ln S T ln S 0 = µt µ0 ( ) ST ln = µt S 0 S T S 0 = e µt S T = S 0 e µt, (4.11) missä S 0 on osakkeen hinta hetkellä 0 ja S T on osakkeen hinta hetkellä T. Yhtälöstä (4.11) nähdään, että varianssin ollessa nolla osakkeen hinta kasvaa jatkuvasti maksettavalla korkoasteella µ aikayksikköä kohden. Vrt. [7, s. 222]. Koska käytännössä osakkeen hinta kuitenkin vaihtelee satunnaisesti, oletetaan, että prosentuaalisen tuoton stokastisen muutoksen odotusarvo lyhyellä aikavälillä δt pysyy vakiona riippumatta osakkeen hinnasta. Muutoksen keskihajonnan tulisi lyhyellä aikavälillä δt olla suoraan verrannollinen osakkeen hintaan. Tämä johtaa malliin ds = µsdt + σsdz (4.12) tai ds = µdt + σdz, (4.13) S missä muuttuja σ on osakkeen hinnan volatiliteetti ja muuttuja µ on osakkeen odotettu tuottoaste. Yhtälö (4.13) on suosituin osakkeen hinnan kuvaamiseen käytetty malli. Yleisesti tällaista mallia kutsutaan geometriseksi Brownin liikkeeksi. Vrt. [7, s. 223] & [12, s. 308 309]. 4.1.6 Itôn lemma Nyt tiedetään, että osakeoption hinta määräytyy ajan sekä kohde-etuutena olevan osakkeen hinnan funktiona. Johdannaisten hinnan voidaan yleistäen sanoa määräytyvän johdannaisen perustana olevien stokastisten prosessien 23

sekä ajan funktiona. Seuraavaksi tarkastellaan stokastisten funktioiden kannalta tärkeää tulosta, Itôn lemmaa 7. Vrt. [7, s. 226]. Oletetaan, että muuttuja x noudattaa Itô-prosessia dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz, (4.14) missä dz on Wiener-prosessi ja a ja b ovat muuttujan x ja ajan t funktioita. Muuttujan x suuntakerroin on a ja varianssiparametri b 2. Itôn lemma osoittaa, että muuttujan x ja ajan t funktio G noudattaa prosessia dg = ( G x a + G t + 1 2 ) G 2 x 2 b2 dt + G b dz, (4.15) x missä dz on sama Wiener-prosessi kuin yhtälössä (4.14). Funktio G noudattaa siis Itô-prosessia. Sen suuntakerroin on ja varianssiparametri G x a + G t + 1 2 G 2 x 2 b2 ( ) 2 G b 2. x Vrt. [7, s. 226]. Vaikka Itôn lemman yksityiskohtainen todistus ei ole option hinnan määrityksen kannalta tässä yhteydessä välttämätön, on sen idea hyvä ymmärtää. Lemma voidaan nähdä differentiaalilaskennan tunnettujen tulosten laajennuksena. Olkoon G muuttujan x jatkuva ja derivoituva funktio. Jos δx on pieni muutos muuttujassa x ja δg on siitä seuraava pieni muutos funktiossa G, niin Taylorin 8 sarjan approksimaation mukaan δg dg δx. (4.16) dx Tämän approksimaation virhe sisältää astetta δx 2 olevia termejä. Mikäli funktion δg arviota halutaan tarkentaa, voidaan käyttää Taylorin sarjakehitelmää: δg = dg dx δx + 1 d 2 G 2 dx 2 δx2 + 1 d 3 G 6 dx 3 δx3 + Vrt. [7, s. 232]. 7 Itôn lemman kehitti Kiyosi Itô vuonna 1951. Katso alkuperäinen julkaisu [8]. 8 Brook Taylor, englantilainen matemaatikko 1685 1731. Tarkemmin Taylorin sarjakehitelmästä esimerkiksi lähteessä [10, s. 108]. 24

Nämä tulokset voidaan myös laajentaa kahden muuttujan x ja y jatkuvalle ja derivoituvalle funktiolle G. Yhtälöä (4.16) vastaava tulos on δg G G δx + x y δy ja funktion δg Taylorin sarjakehitelmä δg = G G δx + x y δy + 1 2 G 2 x 2 δx2 + 2 G x y δxδy + 1 2 G 2 y 2 δy2 + (4.17) Kun δx ja δy lähestyvät nollaa, yhtälöstä (4.17) saadaan dg = G G dx + dy. (4.18) x y Vrt. [7, s. 232]. Edellä esitetty yhtälö (4.18) voidaan nyt laajentaa kattamaan funktioita, joiden muuttujat noudattavat Itô-prosesseja. Olkoon x muuttuja, joka noudattaa yhtälön (4.18) Itô-prosessia, siis dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz (4.19) ja olkoon G muuttujan x ja ajan t funktio. Vastaavasti kuin yhtälö (4.17), voidaan nyt kirjoittaa δg = G G δx + x t δt + 1 2 G 2 x 2 δx2 + 2 G x t δxδt + 1 2 G 2 t 2 δt2 + (4.20) Yhtälö (4.19) voidaan esittää epäjatkuvassa muodossa δx = a(x, t)δt + b(x, t)ǫ δt tai jättämällä argumentit merkitsemättä muodossa δx = aδt + bǫ δt. (4.21) Vrt. [7, s. 232]. Tämä yhtälö paljastaa tärkeän eron yhtälöiden (4.20) ja (4.17) välillä. Kun rajaavien muuttujien avulla siirryttiin yhtälöstä (4.17) yhtälöön (4.18), astetta δx 2 olevat termit sivuutettiin, koska ne olivat toisen asteen termejä. Yhtälöstä (4.21) saadaan δx 2 = b 2 ǫ 2 δt + korkeampaa astetta olevia δt-termejä. (4.22) 25

Tästä huomataan, ettei yhtälön (4.20) termiä, jossa esiintyy δx 2 (siis termiä 1 2 G δx 2 ) voida sivuuttaa, koska se sisältää ensimmäistä astetta olevan δttermin. Vrt. [7, s. 232 233]. 2 x 2 Standardinormaalijakauman varianssi on 1. Siis E (ǫ 2 ) [E (ǫ)] 2 = 1, missä E tarkoittaa odotusarvoa. Koska E (ǫ) = 0, seuraa, että E (ǫ 2 ) = 1. Nyt E (ǫ 2 δt) = E (ǫ 2 )δt = δt. Siis termin ǫ 2 δt odotusarvo on δt. Voidaan osoittaa, että termin ǫ 2 δt varianssi on astetta δt 2 ja että sen seurauksena termiä ǫ 2 δt voidaan käsitellä ei-stokastisena. Se lähenee odotusarvoaan, δt, kun δt lähenee nollaa. Yhtälöstä (4.22) seuraa, että termistä δx 2 tulee ei-stokastinen ja yhtäsuuri kuin b 2 dt, kun δt lähenee nollaa. Kun δx ja δt lähestyvät nollaa yhtälössä (4.20) ja käytetään viimeistä tulosta, saadaan dg = G G dx + x t dt + 1 2 G 2 x 2 b2 dt. (4.23) Tämä on Itôn lemma. Se saadaan muokattua tutumpaan muotoon korvaamalla termi dx yhtälöllä (4.19). Näin yhtälöstä (4.23) tulee Vrt. [7, s. 233]. dg = G G dx + x t dt + 1 2 G 2 = G G (a dt + b dz) + = ( x G x a + G t + 1 2 x 2 b2 dt t dt + 1 2 2 ) G x 2 b2 4.1.7 Osakkeen hinnan lognormaalisuus 2 G x 2 b2 dt dt + G x b dz. Kuten aiemmin todettiin, osakkeen hinnan oletetaan seuraavan stokastista prosessia, jota kutsutaan geometriseksi Brownin liikkeeksi. Tästä oletuksesta seuraa, että osakkeen hinnan hajonta on lognormaali. Olkoon osakkeen hinnan prosessi siis yhtälössä (4.12) esitetty ds = µsdt + σsdz. Itôn lemmasta seuraa, että muuttujien S ja t funktio G noudattaa prosessia ( G G dg = µs + S t + 1 2 ) G 2 S 2 σ2 S 2 dt + G σs dz, (4.24) S 26

missä dz on sama Wiener-prosessi kuin yllä olevassa osakkeen hinnan prosessissa. Määritellään G = ln S. Tällöin G S = 1 S, 2 G S = 1 2 S, G 2 t = 0. Sijoittamalla nämä yllä olevaan yhtälöön (4.24) seuraa, että funktion G noudattama prosessi on ( ) dg = µ σ2 dt + σdz. 2 Vrt. [7, s. 226 227]. Koska odotusarvo µ ja keskihajonta σ ovat vakioita, noudattaa silloin funktio G = ln S yleistettyä Wiener-prosessia. Sen suuntakerroin on µ σ2 2 ja varianssiparametri σ 2, molemmat vakioita. Funktion ln S muutos hetken nolla ja tulevan hetken T välillä noudattaa siten normaalijakaumaa, jonka odotusarvo on (µ σ2 )T ja varianssi 2 σ2 T. Tämä tarkoittaa, että ln S T ln S 0 φ [( µ σ2 2 ) T, σ T ] tai vastaavasti ln S T φ [ ln S 0 + ( µ σ2 2 ) T, σ T ], (4.25) missä S T on osakkeen hinta tulevana hetkenä T, S 0 osakkeen hinta hetkellä nolla ja φ(m, s) merkitsee normaalijakaumaa, jonka odotusarvo on m ja keskihajonta s. Yhtälöstä (4.25) nähdään, että funktio ln S T noudattaa normaalijakaumaa. Tästä seuraa, että osakkeen hinnan prosessi, siis osakkeen hinta tulevana hetkenä T, noudattaa lognormaalia jakaumaa. Vrt. [7, s. 227 228]. Lognormaalijakauma on oikealle vino jakauma. Sen keskiarvo, moodi ja mediaani ovat kaikki erisuuria. Kun osakkeen hinnan todellista käyttäytymistä ajatellaan tarkemmin, on sen lognormaalisuus aivan looginen. Muuttuja, joka noudattaa lognormaalia jakaumaa, ei voi saada nollaa pienempiä arvoja, mutta ylärajaa arvoilla ei ole. Osakkeen hinnan tapauksessa nousu voi periaatteessa olla rajatonta, mutta osakkeen hinta ei voi koskaan olla negatiivinen. Osakkeen omistaja ei ole vastuussa yhtiön veloista tai muista maksuvelvotteista konkurssin sattuessa, joten osakkeen haltijan riski rajoittuu yhtiöön sijoitettuun pääomaan. 27

Yhtälöstä (4.25) ja lognormaalijakauman ominaisuuksista voidaan osoittaa, että osakkeen hinnan odotusarvo on E (S T ) = ( = e ln S 0+ σ2 e µ+ 2 µ σ2 2 σ2 µt = S 0 e 2 T + σ2 2 T )T + (σ T ) 2 2 = S 0 e µt, (4.26) missä µ on normaalijakaumaa noudattavan muuttujan ln S T odotusarvo ja σ sen keskihajonta, jotka saadaan yhtälöstä (4.25). Muuttuja µ määriteltiin aiemmin osakkeen odotetuksi tuottoasteeksi, mikä sopii hyvin yllä olevaan tulokseen. Vrt. [7, s. 236] & [16]. 4.2 Black-Scholes-differentiaaliyhtälö Black-Scholes-optiohinnoittelumalli on yksi modernin rahoitusteorian tärkeimmistä askelista. Sen julkaisu synnytti valtavan määrän tutkimusta ja itse asiassa Black-Scholes-hinnoittelumalli edelsi myös edellä esiteltyä optioden hinnoitteluun käytettävää binomimallia, joka onkin sen yksinkertaistus. Black-Scholes-mallin logiikka on käsitteellisesti sama kuin binomimallin: jokaisella hetkellä kahdesta arvopaperista rakennetaan salkku (portfolio), joka jäljittelee johdannaisen sen hetkistä käyttäytymistä. Tässä luvussa esitetään Black-Scholes-differentiaaliyhtälö, jonka avulla johdetaan seuraavassa luvussa Black-Scholes-optiohinnoittelukaava. Vrt. [12, s. 351]. Black-Scholes-differentiaaliyhtälöllä on seuraavat oletukset: 1. Osakkeen hinta noudattaa aiemmin esitettyä yhtälöä (4.12), missä odotusarvo µ ja keskihajonta σ ovat vakioita. 2. Arvopaperin lyhyeksi myynti ja siitä saatujen tuottojen vapaa käyttö on sallittu. 3. Kaupankäyntikuluja ja veroja ei oteta huomioon. Kaikki arvopaperit ovat täydellisesti jaettavissa. 4. Johdannaisen voimassaoloaikana ei makseta osinkoja. 5. Riskittömiä arbitraasimahdollisuuksia ei ole. 6. Arvopapereiden kaupankäynti on jatkuvaa. 7. Riskitön korkokanta r on vakio ja se tunnetaan. 28

Vrt. [7, s. 242]. Seuraavaksi johdetaan Black-Scholes-differentiaaliyhtälö. Yhtälön johtaminen perustuu luvussa 3.1 käytettyyn replikoivan salkun luomiseen. Alla olevassa todistuksessa salkku rakennetaan sisältämään osakkeita sekä riskittömiä obligaatioita. Vaihtoehtoinen todistus toisenlaisella salkulla on esitetty liitteessä A. Olkoon osakkeen hinnan prosessi yhtälön (4.12) mukaisesti ds = µsdt + σsdz. (4.27) Olkoon f osakkeen hinnasta S riippuvan johdannaisen hinta, joka on hinnan S ja ajan t funktio. Nyt Itôn lemmasta johdetusta yhtälöstä (4.24) saadaan df = ( f f µs + S t + 1 2 2 ) f S 2 σ2 S 2 dt + f σs dz, (4.28) S joka on johdannaisen hinnan Itô-prosessi. Hinta vaihtelee satunnaisesti osakkeen hinnan S ja Brownin-liikkeen dz mukaan. Vrt. [7, s. 242 243] & [12, s. 354]. Muodostetaan osakkeita S ja riskittömiä obligaatioita B sisältävä salkku, joka replikoi johdannaisen käyttäytymistä. Tämä tehdään niin, että jokaisella hetkellä t valitaan määrä x t osakkeita ja määrä y t obligaatioita, jolloin koko salkun arvo on G = x t S + y t B. (4.29) Määrät x t ja y t pyritään valitsemaan siten, että salkku G replikoi johdannaisen arvoa f. Salkun arvon osakkeen hinnan muutoksista johtuva hetkellinen nousu on dg = x t ds + y t db. (4.30) Kun osakkeen hinnan prosessin tiedetään seuraavan yhtälöä (4.12) ja obligaation riskitöntä korkokantaa r, saadaan salkun arvon muutokseksi lyhyellä aikavälillä dg = x t ds + y t db = x t (µsdt + σsdz) + y t rbdt = (x t µs + y t rb)dt + x t σsdz. (4.31) Vrt. [12, s. 354]. Koska salkun arvon muutoksen G halutaan käyttäytyvän täsmälleen samoin kuin johdannaisen arvon f, asetetaan muutosten dt ja dz kertoimet 29

yhtä suuriksi. Kertoimet saadaan yhtälöistä (4.28) ja (4.31). Asettamalla muutoksen dz kertoimet yhtäsuuriksi saadaan x t σs = f S σs x t = f S. (4.32) Koska vaaditaan, että G = x t S + y t B (yhtälö (4.29)) ja G = f, niin f = x t S + y t B y t B = f x t S y t = 1 B (f x ts) y t = 1 ( f S f ). (4.33) B S Sijoittamalla kertoimet x t ja y t yhtälöistä (4.32) ja (4.33) yhtälöön (4.31) saadaan dg = (x t µs + y t rb)dt + x t σs dz [ f = S µs + 1 ( f S f ) ] rb B S dt + f σsdz. (4.34) S Vrt. [12, s. 354]. Koska yhtälöiden f ja G halutaan olevan yhtä suuret lyhyellä aikavälillä, asettamalla muutoksien dt kertoimet yhtälöistä (4.28) ja (4.34) yhtä suuriksi, saadaan f S µs + 1 ( B ( 1 B f S f ) S f S f ) rb = f S t + 1 2 ( f S f ) r = f S t + 1 2 rb = f f µs + S t + 1 2 2 f S 2 σ2 S 2 2 f S 2 σ2 S 2, 2 f S 2 σ2 S 2 josta edelleen 9 f t + f S rs + 1 2 2 f S 2 σ2 S 2 = rf. (4.35) 9 Todistusta on hieman yksinkertaistu, sillä yhtälön (4.30) tulisi sisältää termi x ts+y tb. Tämän summan voidaan kuitenkin osoittaa olevan nolla. 30