3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion kikki sivut tunnetn. Tälliset tpukset voin rtkist kosiniluseen vull. Trkstelln kolmiot ABC, joss kulm BCA on tylppä, siis steluvultn yli 9. Jtketn sivu AC niin, että kolmiolle voin piirtää korkeusjn BD. Korkeusjnhn sijitsee tällöin kolmion ulkopuolell. B h D m C A Merkitään korkeusjn BD h j knnn jtkett DC m. Kolmion sivujen merkinnät ovt stnrin mukiset: CA, AB j BC. Korkeusjnn piirtämisen jälkeen kuvioon on stu kksi suorkulmist kolmiot, DCB j DAB. Sovelletn kumpiseenkin Pythgorn lusett j toetn, että korkeusjn h on näissä molemmiss toisen kteettin. DAB: (BD) (DA) (AB) DCB:(BD) (DC) (CB) eli h (m ) eli h m Hlutn jonkinlist kolmion sivujen välistä yhtälöä. Kun korkeusjn h sen premmin kuin knnn jtkekn (m) eivät kuulu tähän joukkoon, yritetään päästä niistä eroon. Rtkistn kumpikin eo. yhtälöistä korkeusjnn neliön suhteen:
h h m m m h h m m m Sun yhtälöprin vsemmt puolet ovt smt, joten yhtälöien oiket puolet voin kirjoitt yhtä suuriksi: m m m m. Knnn jtke m ei suostunut poistumn, mutt toetn, että se esiintyy kteettin kolmioss DCB. Tämän kolmion hypotenuus on, j kun nyt otsikoss esiintyy sn kosiniluse, niin lusutn tämä knnn jtke m kosinin vull. Snottu trigonometrinen funktio voin liittää kolmion kulmn DCB, jonk suuruus on 1 : m os (1 ) m os (1 ) m os, sillä luseess 3.13 toettiin, että supplementtikulmien kosinit ovt vstlukuj. Onhn sitä pitsi oletuksen mukn kulm tylppä, j sen kosini siten negtiivinen. Sijoitetn tulos: m os m os Sun tuloksen yleispätevyyttä voin tietenkin epäillä, käytettiinhän toistuksess tylppäkulmist kolmiot, mutt voin toist (hrjoitustehtävä) sen pätevän, vikk kulm olisi teräväkin. Tällöin knnlle CA piirretty korkeusjn olisi kolmion sisällä j jkisi knnn osiin, joist toinen olisi m j toinen ( m). Lusuttisiin tällöinkin korkeusjn BD h khen suorkulmisen kolmion CDB j DAB sivujen vull. Kun yhtälöä os ktselln, sen vsemmll puolell esiintyy yksi kolmion sivu neliöön korotettun. Oikell puolell tämä sivu ei esiinny ollenkn, mutt esiintyy tämän sivun vstisen kulmn kosini. Tällä smll peritteell voin kolmion mikä thns sivu vlit esiintymään yksinään yhtälön vsemmll puolell, j sn kksi muut esitysmuoto: os osβ
****************************************************************** LAUSE 1 Kosiniluse Jos kolmioss ABC on AB, BC j CA j kusskin kärkipisteessä olev kulm merkitään vstvll kreikklisell kirjimell, niin os osβ os ****************************************************************** Esim. 1 Kolmioss ABC ovt sivujen pituuet, j. Lske kolmion kul-mien steluvut ssos-steen trkkuuell. C B β Oheisin merkinnöin AB, BC j CA. A
β β β β.5 os.5 os.5315 os os os os os os os os os os β 4.5 4.54... 5.5 5.54... 5.91 5.91... Trkistus: 1. 4.5) 5.5 (5.91 β, jonk mukn tulos VOI OLLA oikein. Miksei ole 1% vrm, että se on oikein?? Esim. Suunnikkn ABCD sivujen pituuet AB DC.5 m. Toisen yhensuuntisen sivuprin BC j AD pituuet ovt 5. m. Tämän suunnikkn pienemmät kulmt ovt 5 steen suuruiset. Kuink pitkät ovt suunnikkn lävistäjät? D C A B Piirretään suunnikkseen toinen lävistäjä j sovelletn kosinilusett:
± ± (AB) (AD) (AB)(AD)os (.5.5 33.4 9.os5 53.399... ±.339... m 5..5 5. os5 )m m Negtiivinen ei kelp jnn pituueksi. Lyhempi lävistäjä on suunnilleen.3 m. Olkoon toinen lävistäjä vikkp e. Sen vstinen kulm, suunnikkn suurempi kulm on pienemmän kulmn supplementtikulm eli steluvultn 1 5 1 β. e ± ± (AB) (.5.5 33.4 9.os1 15.14... ± 1.55... m (BC) (AB)(BC)osβ m m m 5..5 5. os1 )m Pitempi lävistäjä suunnilleen 1. m.