Kvan%fysiikan perusteet kevät 2014 Luennot maanantaisin ja tiistaisin 12-14, D101 Syksy Räsänen: C326 Laskuharjoitukset (25% arvosanasta) Anna-Stiina Suur-Uski (C329) ja Jussi Väliviita (A329) Neljä ryhmää: ma 14-16 D117, ti 10-12 D117, ti 14-16 E205, ti 16-18 E205, alkaen 17.3. Tehtävät ilmestyvät kotisivulle maanantaisin Sähköpostiosoitteet: etunimi.sukunimi@helsinki.fi Lopputenttiin osallistuminen edellyttää 25% laskuharjoituspisteistä Kurssin uusiminen edellyttää (tyypillisesti) 25%:a kokonaispisteistä Loppukokeen tekemisestä myöhemmin pitää sopia etukäteen Kotisivu http://www.courses.physics.helsinki.fi/teor/kfp/ 1
Kurssin sisältö Kvanttimekaniikkaa Historiallista taustaa: Planckin säteilylaki, valosähköilmiö, Bohrin atomimalli Schrödingerin yhtälö, hiukkanen laatikossa, vetyatomi Heisenbergin epämääräisyysperiaate, superpositioperiaate Operaattoriformalismi, spin Schrödingerin kissa, Bellin epäyhtälö, dekoherenssi, klassinen raja Kvanttikenttäteoriaa Hiukkasfysiikan Standardimalli QED, QCD, heikko vuorovaikutus Higgsin mekanismi Säilymislait Feynmanin graafit, virtuaaliset hiukkaset Yhtenäisteoriat: supersymmetria, supergravitaatio, säieteoria 2
Painopiste on ilmiöiden esittelyssä. Kvanttimekaniikkaa käsitellään semikvantitatiivisesti, kvanttikenttäteoriaa lähinnä kvalitatiivisesti. Maalammen ja Perkon kirja Lyhyt modernin fysiikan johdatus sisältää osan kurssilla käsiteltävistä asioista. Kenneth Kramerin kirja Modern physics saattaa myös olla hyödyllinen. 3
Kvan%fysiikka Nykyfysiikassa on kaksi perustavanlaatuista (fundamentaalista) teoriaa: yleinen suhteellisuusteoria ja kvan%ken@äteoria. klassinen mekaniikka + kvan%fysiikka kvan%mekaniikka suppea suhteellisuusteoria + kvan%fysiikka kvan%ken*äteoria yleinen suhteellisuusteoria + kvan%fysiikka kvan%gravitaa0o? 4
Kvan%mekaniikka Yleinen suhteellisuusteoria on teoria ajasta, avaruudesta ja gravitaagosta. Kvan%mekaniikka/kvan%ken@äteoria on teoria aineesta ja muista kuin gravitaagovuorovaikutuksista. Kvan%mekaniikka ja kvan%ken@äteoria kuvaavat kaikkia mikromaailman ilmiöitä: Atomit, molekyylit, kiinteä aine (puolijohteet, suprajohtavuus),... SähkömagneGsmi, QCD, heikot vuorovaikutukset,... Toisin kuin suhteellisuusteorian tapauksessa, käytännön sovellukset valtavan merki@äviä: kaikki elektroniikka ja nykyaikainen kemia pohjaa kvan%fysiikkaan. Keskitytään ensin kvan%mekaniikkaan, sen jälkeen selitellään kvan%ken@äteoriaa. 5
Luonnonvakioita Suppeassa suhteellisuusteoriassa on valonnopeus c, yleisessä suhteellisuusteoriassa lisäksi Newtonin vakio G. Kvan%mekaanisten efekgen suuruu@a hallitsee vastaavasg Planckin vakio h. Kun skaala on suuri verra@una Planckin vakioon, kvan%mekaaniset efekgt ovat pieniä. Kun skaala on samaa suuruusluokkaa kuin h, kvan%mekaniikkaa ei voi sivuu@aa. 6
Planckin vakio h! 6.62606896 "10 #34 Js! 4.13566733"10 #15 evs!! h 2! " 1.054571628#10 $34 Js " 6.58211899 #10 $16 evs SI- yksiköt hiukkasfysiikassa kätevämpi 1 ev! 1.602176487"10 #19 J Yksikkö: [energia x aika] = [massa x nopeus x pituus] = [liikemäärä x pituus] = [kulmaliikemäärä] Kertoo kvan%efekgen merki@ävyyden. 7
Kuten suhteellisuusteoria, myös kvan%mekaniikka muu% kvalitagivisesg käsityksemme todellisuudesta. Kvan%mekaniikka on epärelagvisgnen (tämä muu@uu kvan%ken@äteoriassa) epädeterminisgnen kausaalinen Kvan%mekaniikka muu*aa klassisen käsityksen determinismistä aineesta tapahtumisesta ja olemisesta Kvan%mekaniikka ei muuta kuvaa ajasta ja Glasta kausaliteegsta gravitaagosta 8
Kausalitee%: syy on aina ennen seurausta, tai vähintään samaan aikaan. ( Ei seurausta ennen syytä. ) Determinismi: kaikilla tapahtumilla on syy. ( Ei seurausta ilman syytä. ) 9
Kvan%fysiikan historiaa (hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!) 1900: Planckin säteilylaki 1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle 1913: Bohrin atomimalli 1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi 1925: Heisenbergin matriisimekaniikka 1926: Schrödingerin yhtälö 1927: Heisenbergin epämääräisyysperiaate 1928: Diracin yhtälö 1949: Quantum Electrodynamics (QED) 1964: Higgsin mekanismi 1965: kvarkit, Quantum Chromodynamics (QCD) 1967: sähköheikko vuorovaikutus 1973: asymptoottinen vapaus 1971-1976: supersymmetria, tekniväri, suuri yhtenäisteoria, säieteoria, supergravitaatio 10
Planckin säteilylaki (1900) Ongelma: miten lämpöglassa T oleva kappale säteilee? Ekvipar,,oteoreeman mukaan termisessä tasapainossa kaikkien systeemin vapausasteiden energia on k B T/2. (Fotonilla on kaksi polarisaagota, eli k B T per fotoni; k B on Boltzmannin vakio.) Ajatellaan, e@ä kiinteä kappale koostuu värähtelijöistä, joilla on eri taajuuksia f. Kolmiulo@eiseen kappaleeseen mahtuvien aaltojen lukumäärä on f 2. Kokonaisenergia saadaan laskemalla kaikki moodit yhteen. Intensitee% on I! f 2 T Ääretön säteilyn intensitee% ja energia: Klassisen fysiikan ultraviole*katastrofi 11
Boltzmannin vakio k B! 1.380658"10 #23 J/K! 8.617332 "10 #5 ev/k SI- yksiköt hiukkasfysiikassa kätevämpi 1 ev! 11600 K Muunnoskerroin lämpöglan ja energian yksiköiden välillä. Ei perustavanlaatuista merkitystä. 12
Planckin säteilylaki (1900) Ratkaisu à la Planck: moodien energia on verrannollinen taajuuteen: E = nhf n = 1, 2, 3,... Planckin vakio Seurauksena todennäköisyysjakauma ei ole tasainen. Keskivertoenergia per moodi: k B T! hf e hf /(k BT ) "1 I = 4hf 3 c 3 1 e hf /(k BT )!1 Planckin säteilylaki 13
Planckin säteilylaki (1900) E = nhf Energian esiintyminen määräsuuruisissa erissä eli kvan,4uminen oli mullistava askel, jota ei klassisen fysiikan pui@eissa voinut perustella. Planck 1913: For my part, I hate discon,nuity of energy even more than the discon,nuity of emission. 14
Valosähköilmiö (1905) Ongelma: Kun metalliin kohdistaa valoa, siitä irtoaa elektroneja siten, e@ä Elektronien määrä aikayksikössä valon intensitee% Jos valo ei ylitä Ge@yä taajuu@a, elektroneita ei vapaudu Elektronien energia riippuu valon taajuudesta, mu@a ei intensiteegstä. Einstein 1905: Valo koostuu hiukkasista, joiden energia on E = hf säteilyenergia kvan0*unut säteily E max = hf E= hf elektroni 15
Bohrin atomimalli (1913) Ongelma: Atomeilla on posigivisesg vara@u ydin, jonka ympärillä on negagivisesg vara@uja elektroneja. Klassisen sähkömagnegsmin mukaan kiihtyvässä liikkeessä olevat hiukkaset lähe@ävät säteilyä ja mene@ävät energiaa. Ympyräradalla oleva hiukkanen putoaa nopeasg keskustaan, eli atomeja ei voi olla olemassa. V r säteilyä elektroni 16
mvr nh = n 2π E i! E f = hf Bohrin atomimalli (1913) Bohrin ehdotus: salli@uja ovat vain radat, jotka toteu@avat kvan,4umisehdon (Huom: mvr on kulmaliikemäärä.) Elektronin hypätessä radalta toiselle emi@oituu/absorboituu fotoni, jonka energia on Mallissa klassinen mekaniikka pätee noilla määrätyillä radoilla, mu@a se ei selitä, miksi tai miten radoilta siirtyminen tapahtuu. Malli on kuitenkin hyvin ennustusvoimainen. 17
KvanG@umisehdosta voidaan ratkaista salli@ujen ratojen säteet ja energiat, ja täten myös fotonien aallonpituudet. Ympyräradalla sähköinen vetovoima on yhtä suuri kuin keskipakoisvoima (Z on atomiluku):! Ze 2 # 4!" 0 r = mv2 " 2 r # $ mvr = n! % r = n2! Z!mc & n2 α 1 137. Z a 0 4πε 0 c 036 e 2 hienorakennevakio Säde on kvang@unut Bohrin säteen yksiköissä: a 0!!!mc " 0.52917720859 #10$10 m n Zα Elektronin nopeus on v = = c << c mr n E = E kin + E pot = 1 2 mv2! Ze2 4!" 0 r =! " Z# % Elektronin energia on 1 2 mc2 $ ' # n & 2 sido@u Gla
Bohrin atomimalli ennustaa, e@ä atomit lähe@ävät valoa vain Getyillä taajuuksilla. Atomin spektriviivojen taajuudet voi ennustaa elektronien energiasta: " Z! % E =! 1 2 mc2 $ ' # n & 2 f = E i! E f h =! 1 2 mc 2 h " ( Z! ) 2 $ 1 2 n! 1 2 # i n f % ' & 19
de Broglien aallonpituus Miksi radat olisivat kvang@uneita? de Broglie ehdo% vuonna 1924, e@ä ainehiukkasiin lii@yy aalto, aivan kuten valoon:! = h p = h mv Aallonpituuden ja liikemäärän suhde on sama kuin fotoneilla. Massiivisen hiukkasen koko on sitä pienempi, mitä raskaampi se on. Koska h on SI- yksiköissä pieni (eli arkinen skaala on iso verra@una h:hon), de Broglien aallonpituudella ei ole merkitystä arki- ilmiöissä. 20
de Broglien aallonpituus ja Bohrin atomi Radan säteen ja aallonpituuden suhde on r = n! mv = n! 2"!! = 2"r n Vain sellaiset radat ovat mahdollisia, joihin sopii hiukkasta kuvaava seisova aalto. 21
Aalto- oppia Tarkastellaan kompleksista aaltoa: ψ = δ Ae i = Acosδ + iasin δ Imψ ψ amplitudi vaihe δ ψ* = Ae i = Acosδ iasin δ ψ* Reψ Kompleksiluvussa kaksi vapausaste@a, joita voi ajatella reaali- ja imaginaariosana lukuna ja sen kompleksikonjugaa%na. kompleksitaso Aallon intensitee%: I =ψψ * = A 2 22
Tasoaalto! = e ikx!i!t = cos kx!!t ( ) + isin kx!!t ( ) t 0 t 0 +2π/ω x täy@ää avaruuden, vaihesiirto ajan mukana, kulkee x- akselin suuntaan k on aaltoluku ω on kulmanopeus Imψ ψ ωt ψ(t) Reψ k = 2! " # = 2! f vaihe pyörii kulmanopeudella ω ja palaa ajan 1/f jälkeen samaan arvoon 23
kaksi aaltoa Imψ! 1 = A 1 e i" 1 ;! 2 = A 2 ei" 2 ψ = ψ 1 + ψ 2 on myös aalto ψ 1 ψ = Reψ Ae iδ ψ 2 intensitee% I =! 2 =! 1 2 = I 1 + I 2 + 2Re ( *! 1! ) 2 +! 2 2 +! 1! 2 * +! 1*! 2 ( ) = I 1 + I 2 + 2A 1 A 2 Re e i! 1!i! 2 ( ) = I 1 + I 2 + 2A 1 A 2 cos! 1!! 2 " I 1 + I 2 kaksi aaltoa voi vahvistaa tai heikentää toisiaan 24
"[!1,1]!#" # $ I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos(! 1!! 2 ) I + I max = I1 + I2 2 I1I2 min = I1 + I2 2 I1I2 jos I 1 = I 2 I max = 4I 1 I min = 0 25
Kaksoisrakokoe biljardipallot aalto interferoi itsensä kanssa (valo: Young 1803 elektroni: Davisson ja Germer 1927) aallot heikentävät ja vahvistavat toisiaan 26
Koh0 uu*a kvan%mekaniikkaa Planckin säteilylaki, valosähköilmiön selitys ja Bohrin atomimalli olivat irrallisia paloja vailla yhteistä viitekehystä. Nämä vanhan kvan%mekaniikan ideat johgvat 1920- luvulla uuteen kvan%mekaniikkaan, joka on matemaa%sesg täsmällinen teoria. Perustavanlaatuisia fysiikan teorioita ei voi johtaa mistään, mu@a niitä voi mogvoida. Tarkastellaan tasaista aaltoliike@ä, ja oletetaan e@ä tasoaalto kuvaa vapaata hiukkasta:! = e ikx!i"t. 27
! = e ikx!i"t t ψ 2 2 ψ ψ = iωψ; = ikψ ; = k ψ 2 x x Fotonille pätee kvan%hypoteesin mukaan Fotonille pätee suhteellisuusteorian mukaan Oletetaan nämä yleiseksi yhteydeksi, joka pätee myös massiivisille hiukkasille: E =!! ja p =!k. Vapaan massiivisen hiukkasen energian ja liikemäärän suhde klassisessa mekaniikassa: E = p2 2m E =!!. p = E c = hf c = h! =!k. Saadaan epärelagvisgsen vapaan hiukkasen dispersiorelaa,o! =! k 2 2m i!!!t = "! =! k 2 2m! = "! 2m! 2!!x 2 28
Schrödingerin yhtälö Vapaan hiukkasen aalto toteu@aa siis yhtälön i ψ = t Eψ = 2 2 2 p ψ ψ = 2 2m 2m x Vuorovaiku@avan hiukkasen energia on Oletetaan, e@ä sen aalto toteu@aa yhtälön E = p2 2m +V(x). i!!!!t = # % "!2 $ 2m! 2!x +V(x) & (! 2 ' Yleistetään kolmeen ulo@uvuuteen: AaltofunkGo i!!!(x,t)!t $ ' = &"!2 2m #2 +V(x) )!(x,t) % ( kinee%nen energia + potengaalienergia Schrödingerin yhtälö 29
Schrödingerin yhtälössä energia ja liikemäärä on korva@u derivaatoilla: E p i t i x kolmessa ulo@uvuudessa p i Schrödingerin yhtälö on kvan%mekaniikan liikeyhtälö, josta voi ratkaista, miten aaltofunk,o käy@äytyy, kun potengaali on anne@u. Vrt. Newtonin II laki klassisessa mekaniikassa, josta voi ratkaista hiukkasen radan, kun potengaali on anne@u. Kuten Newtonin mekaniikka, kvan%mekaniikka ei kerro, mikä potengaalin pitäisi olla. (Tähän tulee muutos kvan%ken@äteoriassa.) Newtonin II lain ratkaisuna on hiukkasen rata, Schrödingerin yhtälön ratkaisuna on aaltofunkgo. Mikä on aaltofunkgon merkitys? 30
Bornin sääntö AaltofunkGo on kompleksinen, eli ei voi olla havaintosuure. Kvan%mekaniikan keskeinen oletus: todennäköisyystulkinta. AaltofunkGo ψ on todennäköisyysamplitudi. Bornin sääntö: todennäköisyysgheys hiukkasen löytämiseen paikasta x ajanhetkellä t on!(t, x)! * (t, x) =!(t, x) 2. Todennäköisyys löytää hiukkanen avaruuden alueesta V hetkellä t on P(V ) =! d 3 x!(t, x)! * (t, x). V Hiukkanen löytyy aina jostain, eli kun integroidaan koko avaruuden yli, saadaan P tot =! d 3 x!(t, x)! * (t, x) =1. 31
Schrödingerin yhtälö on ensimmäisen asteen yhtälö ajan suhteen: i!!!!t = $ " ' &!2 2m #2 +V(x) )! % ( Normitus Yhtälö on lineaarinen, eli kahden ratkaisun summa on ratkaisu, ja ratkaisun voi kertoa mielivaltaisella vakiolla. VaaGmus siitä, e@ä kokonaistodennäköisyys on yksi, määri@ää normituksen. Oletetaan, e@ä meillä on ratkaisu, jolle! d 3 x!(t, x) 2 = N 2. Ainoastaan sellaiset aaltofunkgot, joille N on äärellinen, kelpaavat ratkaisuiksi. Tällaisia aaltofunkgoita sanotaan normi4uviksi. Määritellään uusi aaltofunkgo, jolle kokonaistodennäköisyys on 1. Tällainen aaltofunkgo on normite4u.!(t, x) = N!1!(t, x). 32
AaltofunkGo on määrite@y vaihe@a vaille. Jos ψ on normite@u ratkaisu, niin myös on ratkaisu (α on reaaliluku).!(t, x) = e i"!(t, x) AaaltofunkGo ei ole fysikaalinen, mu@a sen itseisarvo on. 33
Normitus Kokoelma informaagota, joka kertoo systeemistä kaiken mitä siitä on Gede@ävissä, on nimeltään systeemin,la. Klassisessa mekaniikassa systeemin Gla ajan funkgona Gedetään, kun tunnetaan kaikkien hiukkasten paikka ajan funkgona. Newtonin II laki on toisen kertaluvun differengaaliyhtälö ajan suhteen, joten kun annetaan hiukkasten paikat ja nopeudet alkuhetkellä, voidaan ratkaista, miten ne käy@äytyvät tulevaisuudessa. Schrödingerin yhtälö on ensimmäisen asteen yhtälö ajan suhteen, joten ratkaisu on määrä@y, kun annetaan todennäköisyysamplitudi alkuhetkellä. Hiukkasen rata on korva@u todennäköisyysamplitudilla. Mitä tämä tarkoi@aa? Mikä on todennäköisyyden merkitys? Entäpä hiukkasen rata? Palataan näihin kysymyksiin myöhemmin: tutustutaan ensin lisää matemaa%seen muotoiluun. 34
StaGonaarinen ratkaisu Etsitään ratkaisuja, joiden todennäköisyysgheys ei riipu ajasta (f reaalinen):!(x,t) = e!if (t) "(x) Sijoitetaan Schrödingerin yhtälöön: i!!!(x,t)!t $ ' = &"!2 2m #2 +V(x) )!(t, x) % ( *! f " $ ' +(x) = &"!2 2m #2 +V(x) )+(x) % ( On olemassa ratkaisu vain jos f=at+b. Valitaan B=0 ja kirjoitetaan A=E/ħ: # % $ & 2m "2 +V(x) ()(x) = E)(x) '!!2 kinee%nen energia + potengaalienergia = kokonaisenergia 35
StaGonaarinen ratkaisu StaGonaarisessa Glassa Et!i!(x,t) = e! "(x) Tätä voi pitää energian määritelmänä: energia kertoo, millä kulmataajuudella todennäköisyysamplitudi värähtelee. AaltofunkGon ja energian merkitys tulee selvemmäksi käytännön esimerkkien avulla. Vetyatomi on GetysG mielenkiintoinen tapaus. Mu@a tarkastellaan ensin kahta yksinkertaisinta systeemiä: vapaa hiukkanen ja hiukkanen laagkossa. 36
Vapaa hiukkanen Vapaalle hiukkaselle V=0. Etsitään stagonaarisia Gloja: Et!i!(x,t) = e! "(x) Schrödingerin yhtälö on siis (tarkastellaan yksiulo@eista systeemiä) E! = "!2 # 2! 2m #x 2 $! = Ae ikx + Be "ikx oikealle liikkuva tasoaalto vasemmalle liikkuva tasoaalto Tässä A ja B ovat kompleksisia vakioita ja k = 2mE! 2, E =!2 k 2 2m. 37
Vapaan hiukkasen aaltofunkgo ei ole normi@uva. Tarkastellaan tapausta B=0:! = Ae i(kx!!t) "!! * = A 2 E =! 2 k 2 2m,! =!k 2 2m #! P tot = $ dx!(t, x)! *(t, x) = A 2 $ dx = # "# Vapaan hiukkasen tapauksessa mikään paikka ei ole erityisasemassa, joten todennäköisyysgheys ei riipu paikasta. AaltofunkGo aaltoilee, todennäköisyys ei. Vapaan hiukkasen liikemäärä on Gsmalleen määrä@y ja paikka täysin epämääräinen. (Tämä on erikoistapaus Heisenbergin epämääräisyysperiaa@eesta, johon palaamme myöhemmin.) # "# 38
Hiukkanen laagkossa Hiukkanen laagkossa on yksinkertaisin ei- triviaali kvan%mekaaninen systeemi, ja sillä on useita realisgsten systeemien keskeisiä ominaisuuksia. Yksinkertaisin hiukkanen laagkossa on seuraava. Tarkastellaan yksiulo@eista tapausta ja sanotaan, e@ä potengaali on nolla välillä 0<x<L ja ääretön muualla. Hiukkanen ei pääse laagkosta, joten aaltofunkgo on nolla kun x<0 tai x>l. 39
V = V V = Reunaehdot:!(0) =!(L) = 0 V = 0 L Etsitään stagonaarisia Gloja: Et!i!(x,t) = e! "(x) Schrödingerin yhtälö: i!!!(x,t)!t $ ' = &"!2 2m #2 +V(x) )!(x,t) % (! 2 "(x) + 2m (E #V )"(x) = 0!x 2 2! LaaGkon sisällä V=0:!(x) = Ae ikx + Be "ikx E =!2 k 2 2m 40
Pitää määri@ää vakiot A ja B. Käyte@ävissä on reunaehdot ja normitusehto. Reunaehdot:!(0) = 0 " A + B = 0!(L) = 0 " Ae ikl + Be #ikl = 0! A( e ikl " e "ikl ) = 2iAsinkL = 0! kl = n!, n = 0,±1,±2,... Aaltoluvun kvang@umisesta seuraa energian kvan0*uminen: E = E n =!2 k 2 2m =!2! 2 2mL 2 n2 = h2 8mL 2 n2 Selvitetään vielä vakio A. kvan%luku n 41
Kvan%lukua n vastaa aaltofunkgo! n (x) = 2iAsin(k n x) Normitus: " 1= # dx!(t, x)! *(t, x) = # dx $(x)$ *(x)!" = 4 A 2 L % # dxsin 2 n" x ( ' * & L ) 0 L # = 4 A 2 dx 0 = 2L A 2 L 0 1 + % n" x ( % 2 sin2 ' *+ cos 2 n" x (. - ' * 0, & L ) & L )/!#### "#### $ 1 A = ei! 2L! n (x) = 2 L! n" x sin# " L $ & % Valitaan vaihetekijäksi θ = 3iπ 4 e iθ = i 42
Koko stagonaarinen ratkaisu on! n (t, x) =! n (x)e "ie nt/! = 2 L # n" x & sin% (e "ient/! ; E n = n2 h 2 $ L ' 8mL 2 E E 4 ψ 4 mahdolliset Glat E 3 ψ 3 E 2 ψ 2 E 1 ψ 1 energiatasot = spektri 43
44
Hiukkanen laagkossa on yksinkertainen esimerkki, mu@a sisältää lähes kaikki realisgsten systeemien keskeiset kvan%fysikaaliset ominaisuudet: Raja@uun Glaan sido@u systeemi seisovat aallot suureiden kvang@uminen Todennäköisyyden oskilloiminen Jos laagkon syvyys olisi äärellinen, hiukkasella olisi mahdollisuus päästä pois, ja silloin näkyisi myös tunneloitumisena tunne@u ilmiö. (Tästä lisää laskuharjoituksissa.) RealisGnen tapaus: vetyatomi, eli elektroni hassun muotoisessa laagkossa V (r) r! e2 4!" 0 r laagkko 45