Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x < 9. Itse asiassa olisi ollut fiksumpaa kirjoittaa esi 3 x x 3 je b) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 5x + 1 5x + 1 tai 5x + 1 5x 3 tai 5x 1 x 3 5 tai x 1 5.. Ratkaise x + x 1 3. Ratkaisu. Oletetaa, että yhtälöllä o ratkaisu x R. Jotta vase puoli o määritelty, pitää olla x 1. Silloi saadaa eliöö korottamalla: x + x 1 3 x 1 x 1 3 x x 1 x 1 9 6x + x x 1 6x 10 x 1 x 5 3 x 1 x 5 3. Sijoittamalla alkuperäisee yhtälöö ähdää, että x 5 3 todella myös o ratkaisu. 3. Osoita, että seuraava yhtälö o tosi mutta missä joukossa? cos x 1 + cos x 1 + cos x. Ratkaisu. Samaimisiksi lavetamalla saadaa arvoilla ±1 eli x π/ + π, Z: cos x 1 + cos x 1 + cos x + cos x + cos x cos x 1 si x cos x 1 si x cos x cos x cos x. Kaava o voimassa joukossa { x R x π/ + π, Z }. 1
4. Osoita, että seuraava yhtälö o tosi mutta missä joukossa? cot x + 1 + cos x 1. Ratkaisu. Käyttäe kotageti määritelmää ja lavetelemalla samaimisiksi saadaa arvoilla x π, Z: cot x + 1 + cos x cos x + 1 {}}{ cos x + si x 1 + cos x cos x + (1 + cos x) cos x + 1 (1 + cos x) 1. Kaava o voimassa joukossa { x R x π, Z }. 5. Sieveä (saat harjoitella tauluko käyttöä tässä) a) si( 3π x) b) si( π 3 + x) si( π 3 x) Ratkaisu. a) Sii yhteelaskukaava si(x + y) cos y + cos x si y mukaa ottae huomioo kosii parillisuude ja sii parittomuude si( 3π x) si 3 π cos x cos 3 π 1 cos x 0 cos x. b) Siie yhteelaskukaava + si y +y mukaa cos x y ja sii parittomuude si( π + x) si( π x) si( π + x) + si(x π) 3 3 3 3 si ( π + x) + (x π) 3 3 cos ( π + x) (x π) 3 3 cos π 1. 3 6. Ratkaise epäyhtälö cos x >. Ratkaisu. Epäyhtälö o määritelty, ku x π, jolloi se voidaa kirjoittaa muotoo cos x > 0. Ratkaistaa ollakohdat (ekvivalessit ovat voimassa, ku x π): cos x 0 cos x 0 cos x si x cos x si x 0 cos x 0 x ± π + π, Z 0 x ± π 4 + π, Z. Muodostetaa merkkitarkastelu ympyrässä, ottae huomioo ollakohdat ja määrittelemättömyyskohdat:
Tämä perusteella epäyhtälö o voimassa jos ja vai jos tai tai 7. Osoita, että arc ta x + arc cot x π. π < x < π 4 + π, Z 3π + π < x < π + π, Z 4 5π 4 + π < x < 7π + π, Z. 4 Ratkaisu. Reaaliluvulle x o 0 arc cot x π, jote se kotagetti o määritelty ja x cot(arc cot x). Koska trigoometria peruskaavoje 13, 9 ja 10 ja tageti jaksollisuude ja parittomuude mukaa arvoilla y π cot y cos y si y si(y + π ) cos(y + π ) ta(y + π ) ta(y π ) ta( π y), o x cot(arc cot x) ta( π arc cot x). Site ottamalla äistä arkustageti päähaara saadaa väittee eräs muoto: arc ta x arc ta ( ta( π arc cot x)) π arc cot x 8. Todista hyperboliste fuktioide laskukaava cosh x cosh x + sih x. Todistus. Kaikilla x R o cosh x + sih x 1 4 (ex + e x ) + 1 4 (ex e x ) 1 4 (ex + + e x ) + 1 4 (ex + e x ) 1 (ex + e x ) cosh x. 9. Todista iduktiolla, että (1 + x) 1 + x kaikilla x > 1, kaikilla N. Todistus. Arvoilla x > 1 o 1+x > 0. Iduktiotodistus: I1) 1: (1 + x) 1 1 + 1x o tosi. I) k: Iduktio-oletus: Jollaki arvolla k 1 o (1 + x) k 1 + kx. I3) k+1: Iduktioväite: Arvolla k+1 o (1 + x) (k+1) 1 + (k+1)x. Lasketaa arvio: (1 + x) (k+1) (1 + x)(1 + x) k [iduktio-oletukse ja positiivisuude ojalla] (1 + x)(1 + kx) 1 + kx + x + kx 1 + (k+1)x + kx [jätetää positiivie termi pois] 1 + (k+1)x. Kohtie I1-3) ja iduktioperiaattee ojalla väite o tosi kaikilla N, ku x > 1. Pitääkö väite paikkasa myös arvolla x 1, etä arvoilla x < 1? 3
10. Logaritmille tuetaa omiaisuus l(xy) l x+ l y. Osoitetaa tämä avulla, että kaikilla c Q o l x c c l x. a) Osoita iduktiolla, että l x l x pätee kaikilla N. b) Osoita kohda a) avulla, että l x 1 1 l x pätee kaikilla N. (Vihje: l x l x 1.) c) Osoita kohtie a) ja b) avulla, että l x m m l x pätee kaikilla m Q. Ratkaisu. a) Osoitetaa iduktiolla, että l x l x kaikilla N, ku tiedetää, että l xy l x+ l y. I1) Väite pätee arvolla 1, sillä l x 1 1 l x. I) Oletetaa, että väite pätee jollaki arvolla k 1, eli l x k k l x. I3) Todistetaa että väite pätee arvolla k+1: l x k+1 l x k x l x k + l x k l x + l x (k + 1) l x. Iduktioperiaattee ojalla väite pätee kaikilla N. b) Osoitetaa, että l x 1 1 l x kaikilla N. Logaritmi voidaa kirjoittaa muodossa l x l x 1 l(x 1 ). Kohda a) ojalla ja jakamalla luvulla > 0 saadaa kaikilla N l x l x 1 1 1 l x l x. c) Osoitetaa, että l x m m l x kaikilla m Q. Logaritmi voidaa kirjoittaa muodossa ( ) l x l x m 1 m l (x m 1 ) m Tästä saadaa kohtia a) ja b) peräkkäi soveltae: ( ) l x l (x m 1 m 1 ) m l(x ) m ja ratkaisemalla edellisestä lopulta m l x l x m. 11. Mitä vikaa o seuraavassa laskussa? m l x m 1 1 ( 1)( 1) 1 1 i 1? Ratkaisu. Neliöjuurta ei ole varsiaisesti määritelty egatiivisille luvuille, ja laskusäätö ab a b pätee vai, ku a 0 ja b 0. Siis 1 1 1. 1. (ks. demot 1) Sieveä joukko A : { a C a 0 }. Ratkaisu. Esiäki, kompleksilukuje joukossa ei ole järjestystä, joka olisi yhteesopiva reaalilukuje järjestykse kassa. Niipä voidaa tarkastella vai lukuja z x + iy, joide eliö o reaalie: z x y + ixy 0 mikä tarkoittaa: ((x 0) (y 0)) (x y ). Näistä voidaa päätellä, että A sisältää täsmällee puhtaat imagiaariluvut ja olla, siis A { a C Re a 0 }. 4
13. Oko puoliavoi väli [0, 1[ o yhtä mahtava kui avoi väli ]0, 1[? Ratkaisu. Kyllä o, mutta bijektio äide välillä ei voie olla mikää jatkuva fuktio [0, 1[ ]0, 1[. Oikeastaaha tulokseksi kelpaa melkei idettie kuvaus, pistee olla kuvaamie o vai järjestettävä jollai vippaskostilla jolleki avoime väli ]0, 1[ pisteelle. Aloitetaa siis kuvaamalla olla puolikkaalle (miksipä jolleki muulle?). Nyt puolikas pitää kuvata jolleki muulle kui puolikkaalle. Avuksi kelpaavat luvut 1, 3, joita riittää. Kuvataa järjestelmällisesti: puolikas kolmaekselle, kolmaes eljäekselle je. Lopuksi kuvataa kaikki välit ] 1 +1, 1 [ itsellee idettisellä kuvauksella x x. Havaiollisesti: Täsmällie fuktio määrittely: f : [0, 1[ ]0, 1[, 1 ku x 0, 1 f(x) : ku x 1 +1, x muutoi. Kostruktio mukaa tämä o eräs bijektio [0, 1[ ]0, 1[, jote välit ovat yhtä mahtavat, ks. Kuva 14. Oko umeroituva moe umeroituva jouko päättymätö tulojoukko umeroituva? Esimerkiksi: oko kaikkie luoollisista luvuista muodostettuje lukujooje joukko umeroituva? Päättymätö tulojoukko tarkoittaa vektorie jouko yleistystä jooiksi seuraavasti: X 1 X X 3 {(x 1, x, x 3,...) x i X i kaikilla i N}. 5
Kuki päättymättömä tulojouko alkio o siis päättymätö alkiojoo. Ratkaisu. Ei ole umeroituva vaa yliumeroituva. Todistus saadaa samaa tapaa kui osoitettaessa reaalilukuje joukko yliumeroituvaksi (ks. moistee Luku 11.7.). Oletetaa, että joukot A 1, A, A 3,... ovat umeroituvia ja tarkastellaa iide päättymätötä tulojoukkoa A : A 1 A A 3. Atiteesi. A o umeroituva. Silloi jouko A alkiot voidaa esittää luetteloa, ts. o olemassa bijektio N A: Esitetää ämä alkiot, siis päättymättömät joot, alekkai (jätetää yksikertaisuude vuoksi pois sulut ja pilkut väleistä): A 1 A A 3 A 4 A 5 1 a 11 a 1 a 13 a 14 a 15 a 1 a a 3 a 4 a 5 3 a 31 a 3 a 33 a 34 a 35 4 a 41 a 4 a 43 a 44 a 45 5 a 51 a 5 a 53 a 54 a 55.......... Muodostetaa yt yksi uusi joo, joka o jouko A alkio mutta ei ole yksikää tauluko jooista. Koska kuki joukko A j o umeroituva, ovat sarakkee A j alkiot a 1j, a j, a 3j,... eri alkioita. Silloi diagoaalialkioista muodostuva joo J (a 11, a, a 33, a 44, a 55,...) o päättymättömä tulojouko alkio, mutta se ei ole yksikää vaakariveillä olevista jooista. Nimittäi: J ei ole esimmäie jooista, koska toie jäse a a 1. J ei ole toie jooista, koska esimmäie jäse a 11 a 1. J ei ole kolmas jooista, koska esimmäie jäse a 11 a 31. J ei ole eljäs jooista, koska esimmäie jäse a 11 a 41. yleisesti jatkossa: J ei ole k:s jooista, koska esimmäie jäse a 11 a k1. Tämä o ristiriitaista, koska kaikki joot piti jo olla luettelossa riveiä. 15. Osoita, että kompleksilukuje yhteelasku ja kertolasku toteuttavat osittelulait, ts. kaikilla z 1, z, z 3 C: I) z 1 (z + z 3 ) z 1 z + z 1 z 3. II) (z 1 + z )z 3 z 1 z 3 + z z 3. Ratkaisu. Olkoot z 1 (x 1, y 1 ), z (x, y ) ja z 3 (x 3, y 3 ) C mielivaltaisia. Vase puoli aukikirjoitettua: z 1 (z + z 3 ) (x 1, y 1 ) ((x, y ) + (x 3, y 3 )) Oikea puoli vastaavasti: (x 1, y 1 )(x + x 3, y + y 3 ) (x 1 (x + x 3 ) y 1 (y + y 3 ), x 1 (y + y 3 ) + y 1 (x + x 3 )) (x 1 x + x 1 x 3 y 1 y y 1 y 3, x 1 y + x 1 y 3 + y 1 x + y 1 x 3 ). z 1 z + z 1 z 3 (x 1, y 1 )(x, y ) + (x 1, y 1 )(x 3, y 3 ) (x 1 x y 1 y, x 1 y + y 1 x ) + (x 1 x 3 y 1 y 3, x 1 y 3 + y 1 x 3 ) (x 1 x y 1 y + x 1 x 3 y 1 y 3, x 1 y + y 1 x + x 1 y 3 + y 1 x 3 ), 6
mistä äkyy tuloste oleva samat. Näissä käytettii reaalilukuje yhtee- ja kertolaskuje vaihdaaisuutta sekä osittelulakeja. Toie osittelulaki vastaavaa tapaa laskemalla (tai vedote kertolasku vaihdaaisuutee, mite se käy?). 7