Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa

Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali) Muunnosten ominaisuuksia Signaalien kuvaus aika- ja taajuusalueissa Järjestelmän analysointi aika- ja taajuusalueissa Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 1

Signaalit aika ja taajuusalueissa Kaikilla signaaleilla on kuvaus molemmissa alueissa Mittaukset ja tulosten analysointi tai tulkinta voidaan tehdä kummassa alueessa tahansa Laskennallisesti voidaan siirtyä alueesta toiseen Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 2

Signaalien esitystavoista taajuusalueessa Signaalit voidaan kuvata joko kompleksisten tai reaalisten sinifunktioiden summana Kompleksiesityksessä signaalista näkyy vaihe, reaaliesityksessä tämä on (tarvittaessa) otettava erikseen huomioon. Osoitinesityksessä ilmaistaan sinisignaali(e)n amplitudi(t) ja kulma(t) Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 3

Fourier sarja Esittää jaksollisen signaalin sini ja kosinivärähtelyjen summana A0 xt () = + cos( ) + sin( ) 2 A B n n = = 2 T 2 T T T n= 1 missä Fourier kertoimet 2 T 2 2 T 2 [ An nω0t Bn nω0t ] xt ()cos( nω tdt ) xt ()sin( nω tdt ) 0 0 KertoimetA n ja B n kuvaavat signaalia taajuusalueessa. 2 2 Amplitudispektri C = A + B n n n Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 4

Parillisten ja parittomien signaalien Fourier sarjat Pariton signaali sinien sarja Kertoimet A n = 0, kaikilla n:n arvoilla Parillinen signaali kosinien sarja Kertoimet B n = 0, kaikilla n:n arvoilla Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 5

Fourier sarja kompleksisten sinifunktioiden avulla Eulerin kaavan avulla Fourier sarja voidaan saattaa kompleksiseen muotoon 2 () = n, missä n = () T ( inω0t ) ( inω0t ) xt C e C xt e dt n= T T 2 2 Yksi kerroinsarja C n, joka sisältää nyt myös vaiheen Summaus on nyt -äärettömästä äärettömään, koska mukana on myös negatiiviset taajuudet Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 6

Fourier muunnos ja käänteismuusnnos Ei jaksollinen aikarajoitettu signaali muunnetaan taajuusavaruuteen käyttäen Fourier muunnosta Fourier muunnos saadaan Fourier sarjan kertoimista asettamalla jakson ajaksi T= ja vaihtamalla ω jatkuvaksi muuttujaksi Fourier käänteismuunnos { } i ft X( f) = xte () 2π dt= F xt () { } i2πft 1 x( t) = X( f ) e df = F X( f ) Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 7

Fourier sarjan ja Fourier muunnoksen välinen yhteys Yksittäisen pulssin F-muunnos Jatkuvan pulssijonon F-sarja 1 2 3 4 5 6 7 Fourier muunnos on vastaavan Fourier sarjan verhokäyrä Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 8

Fourier muunnoksen tärkeimpiä ominaisuuksia X(-f)=X*(f) (kompleksikonjugaatti) Parilliselle funktiolle x(t) Fourier muunnos X(f) on reaalinen Parittomalle funktiolle x(t) Fourier muunnos X(f) on puhtaasti imaginaarinen Superpositio pätee sekä aika, että taajuusalueissa Signaalin kapeneminen toisessa alueessa vastaa leventymistä toisessa, ja päinvastoin Kertominen toisessa alueessa vastaa konvoluutiota toisessa Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 9

Konvoluutio Konvoluutio määritellään seuraavasti gt ()* ht () = gu ( ) ht ( u) du Konvoloitu signaali on (useinmiten) olennaisesti sama kuin alkuperäinen signaali Signaalin kuhunkin pisteeseen summautuu myös signaalin muut pisteet konvoloivan funktion määräämän painon mukaisesti Fyysiset mittalaitteet konvoloivat aina mitattavan suureen omalla siirtofunktiollaan (esim. spektrianalysaattorin äärellinen kaistanleveys) Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 10

Mittalaitteen aiheuttama konvoluutio Mitattava signaali (kanttiaalto) * Analysaattorin päästökaista = Konvoloitu mittaustulos Mitattaessa spektriä analysaattorilla, jonka päästökaista on kolmio, konvoloituvat kaikki taajuuskomponentit kolmiolla f Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 11

Esimerkki konvoluutiosta: Signaalin katkaisu Aikataso Taajuustaso D(t) Katkaisulaatikko -T T X h(t)=cos(2πf 0 t) f Mitattava Signaali t H(t) -f 0 f 0 Mittaustulos t = -f 0 H(t) f 0 Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 12

Fourier sarja vai Fourier muunnos? Fourier sarja on Fourier muunnoksen erikoistapaus jaksollisille signaaleille. Fourier muunnos antaa saman tuloksen Käytännön mittaustekniikassa Fourier sarja ei koskaan voi kuvata signaalia täydellisesti Aikatasossa signaali on katkaistava Taajuustasossa näkyy tällöin konvoluutio laatikkofunktion Fourier muunnoksen sinc-funktion kanssa Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 13

Signaalin käsittelyä aika-alueessa: n. asteen keskiarvo x n 1 n () t = x () t dt 2T T T keskiarvoistus Jaksollisella signaalilla T on jakson aika, jaksottomalla signaalilla joku sopivaksi katsottu aika n = 1 -> aritmeettinen keskiarvo, n = 2 -> varianssi. Varianssista saadaan neliöllinen keskiarvo x 2 () t Jatkuvasti muuttuvaa signaalia voidaan suodattaa esim. liukuvalla keskiarvolla x n 1 = k n+ k i= n k x i Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 14

Korrelaatio ( samankaltaisuus ) ψ xy ( τ) = xt () yt () = T 1 lim xt ( ) yt ( + τ ) dt T 2T T Korrelaatio kuvaa kahden signaalin x(t) ja y(t) samankaltaisuutta signaalien välisen vaihe-eron τ funktiona Autokorrelaatio ja ristikorrelaatio Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 15

Ristikorrelaatio Kuvaa kahden eri signaalin samankaltaisuutta Ristikorrelaation avulla voidaan etsiä tietyn funktion piirteitä toisesta mitattavasta signaalista Voidaan käyttää esim. jonkin järjestelmän aiheuttaman vaiheeron mittaamiseksi Virtausnopeuden mittaaminen ristikorrelaattorilla Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 16

Autokorrelaatio Signaalin korrelaatio itsensä kanssa viiveen τ funktiona Kohinaisesta signaalista voidaan etsiä jaksollisia signaaleja Kohina korreloi vain viiveenarvolla 0 Voidaan käyttää esim pulsarien lähettämien jaksollisten signaalien erottamiseen kohinasta Käytössä stealth-radioissa Jaksollisen signaalin ja valkoisen kohinan autokorrelaatiofunktio Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 17

Signaalin analysointia taajuusalueessa: Amplitudi- ja tehotiheysspektri Amplitudispektri, joka ilmaisee signaalin jakautumisen eri taajuuksille saadaan Fourier muunnoksesta Satunnaisille signaaleille, kuten kohinalle, ei amplitudispektriä voida määrittää (=0). Signaalia kuvaa tällöin paremmin tehotiheysspektri. Saadaan esim Fourier muunnoksella asettamalla x(t) -> x 2 (t) Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 18

Signaalin käsittelymahdollisuuksia taajuusalueessa Instrumenttifunktion, näytteistyksen ym. aiheuttaman konvoluution dekonvolointi (konvoluutio muuttuu kertolaskuksi -> dekonvoluutio jakamalla) Interpolointi nollia lisäämällä Matemaattinen suodatus Matemaattinen tasoitus Interferenssin poisto Taustan poisto (Näitä käsitellään enemmän kurssissa Fourier muunnokset mittaustekniikassa) Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 19

Järjestelmien analysointi Järjestelmän toimintaa voidaan analysoida aika- tai taajuusalueissa laittamalla sisäänmenoon testisignaali ja tarkastelemalla ulostulon muutosta Tavallisimpia testisignaaleja yksikköaskel -> askelvaste Dirac n deltafunktio -> impulssivaste sinifunktio -> taajuusvaste Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 20

Askelvasteen analysointi Määritettävät parametrit Kuollut aika t d Viive t l Nousuaika t n (10%->90%) Asettumisaika t t Ylitys x Aikavakio (0%->63%) Impulssivaste vastaavasti Antavat vasteen tietylle testisignaalille. Vaste muille testisignaaleille voidaan laskea superpositioperiaatteella Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 21

Järjestelmien askelvasteita Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 22

Järjestelmien pulssivasteita aika- ja taajuustasoissa Petri Kärhä 27/02/2004 Luento 5: Signaalit ja järjestelmät aika ja taajuusalueissa 23