KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme
Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima ja taivutusmomentti jakaantuvat palkin pituudelle Osata määrittää jakaumat ja esittää ne graafisesti Ymmärtää, miten rasitukset liittyvät toisiinsa differentiaaliyhtälöillä Sisältö: Leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuvioiden määrittäminen leikkausmenetelmän avulla Kuormitusten ja rasitusten yhteydet
Palkin rasitukset Eilen opimme laskemaan rasitukset poikkileikkauksessa soveltamalla leikkausmenetelmää Suunnittelussa kiinnostavat eniten rasitetut poikkileikkaukset sekä rasitukset koko palkin pituudelta Ne on hyvä esittää graafisesti. Katsotaan seuraavaksi, miten piirretään leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuviot
Leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuviot Leikkausvoima, V, ja taivutusmomentti, M, ovat paloittain jatkuvia funktioita palkin pituudella Ne muuttuvat pistevoimien kohdalla, voimaparin momentin vaikutuspisteiden kohdalla ja voimajakautuman muuttuessa Jaetaan palkki osiin ja määritetään funktiot joka osalle erikseen. Piirretään funktioiden kuvaajat Leikkausvoimakuvio Taivutusmomenttikuvio
Leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuviot Lasketaan ensin tukireaktiot pisteessä A. A M A A y Palkissa ei ole päiden välillä pistevoimia, momentteja tai jakaantuneen voiman muutoksia. Voimme siis määrittää leikkausvoiman ja taivutusmomentin funktiot kerralla koko palkin pituudelle. + ΣF y = 0 A y = 6 kn + ΣM A = 0 M A = 18 knm + ΣF = 0 A = 0
Leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuviot Leikataan palkki kohdasta. Piirretään vasemman puoliskon vapaakappalekuva 18 knm M Huomaa sisäisten voimien positiiviset suunnat! 6 kn V Määritetään tasapainoyhtälöistä lausekkeet leikkausvoimalle ja taivutusmomentille. + ΣF y = 0 V = 6 kn Kirjoitetaan momenttitasapaino leikkauskohdan ympäri. + ΣM = 0 18 6 + M = 0 M = 6 18 (knm)
Leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuviot Piirretään leikkausvoiman ja taivutusmomentin kuvaajat. Negatiiviset leikkausvoiman ja taivutusmomentin arvot piirretään -akselin alapuolelle ja positiiviset yläpuolelle. V (kn) M (knm) V = 6 kn M min = 18 knm M = (6 18) knm
Leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuviot Leikataan palkki kohdasta. Piirretään vasemman puoliskon vapaakappalekuva 2 kn/m M Huomaa sisäisten voimien positiiviset suunnat! Määritetään tasapainoyhtälöistä lausekkeet leikkausvoimalle ja taivutusmomentille. V + ΣF y = 0 V 2kN/m (m) = 0 V = ( 2) kn Kirjoitetaan momenttitasapaino leikkauskohdan ympäri. + ΣM = 0 15kNm + 2kN( m) + M = 0 M 2 = 15 2 knm
Leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuviot Piirretään leikkausvoiman ja taivutusmomentin kuvaajat. V (kn) Negatiiviset leikkausvoiman ja taivutusmomentin arvot piirretään -akselin alapuolelle ja positiiviset yläpuolelle. V ma = 0 V = ( 2) kn M (knm) M ma = 15 knm V min = 6 kn M min = 6 knm M = 15 2 knm
Jakaantuneen voiman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin väliset yhteydet (Kirjan luku 7.3) Tarkastellaan leikatun palasen tasapainoa. + ΣF y = 0 V V + V + w() = 0 V = w() Jaetaan puolittain :lla. V = w() Otetaan raja-arvo 0. Leikkausvoimakuvaajan kulmakerroin. dv d = w()
Jakaantuneen voiman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin väliset yhteydet (Kirjan luku 7.3) Tarkastellaan leikatun palasen momenttitasapainoa pisteen O suhteen. + ΣM O = 0 V M w k + M + M = 0 M = V + kw() 2 Jaetaan puolittain :lla. M = V + kw() Otetaan raja-arvo 0. Taivutusmomenttikuvaajan kulmakerroin. dm d = V
Jakaantuneen voiman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin väliset yhteydet (Kirjan luku 7.3) F Leikataan palanen pistevoiman kohdalta ja tarkastellaan tasapainoa. + ΣF y = 0 V + F (V + V) = 0 V (kn) V = F Leikkausvoimassa on siis F:n suuruinen hyppäys pistevoiman kohdalla. + F 2 F 2
Jakaantuneen voiman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin väliset yhteydet (Kirjan luku 7.3) Leikataan palanen voimaparin momentin vaikutuspisteen kohdalta ja tarkastellaan tasapainoa. M 0 O + ΣM O = 0 V M M 0 + M + M = 0 M (knm) M 0 M = V + M 0 Kun 0: M = M 0 Taivutusmomentissa on siis M 0 :n suuruinen hyppäys voimaparin momentin kohdalla. Huom! Voimaparin momentti on vapaa vektori, joka aiheuttaa saman ulkoisen vaikutuksen kappaleeseen vaikutuspisteestä riippumatta. Nyt tarkastellaan sisäisiä voimia, joten vaikutuspisteellä on merkitystä.
Jakaantuneen voiman, leikkausvoiman ja taivutusmomentin väliset yhteydet (Kirjan luku 7.3) Yhteyksistä voidaan tehdä hyödyllisiä päätelmiä: dv d = w() dm d = V V = F M = M 0 Kun jakaantunut voima on nolla, eli palkin kuormittamattomalla osuudella, leikkausvoiman kulmakerroin on nolla, eli sen kuvaaja on vaakasuora viiva. Kun jakaantunut voima on nolla, taivutusmomentin kulmakerroin on vakio, eli sen kuvaaja on vino suora. Jos kuormitus on tasainen, eli w = w 0 (vakio), leikkausvoiman kuvaaja on vino suora, jonka kulmakerroin on w 0. Jos jakaantunut voima on n. asteen polynomi, leikkausvoima on n + 1 asteen polynomi ja taivutusmomentti on n + 2 asteen polynomi. Kun leikkausvoima on nolla, taivutusmomentilla on ääriarvo. Pistevoiman kohdalla leikkausvoimassa on pistevoiman suuruinen hyppäys. Voimaparin momentin kohdalla taivutusmomentin kuvaajassa on momentin suuruinen hyppäys, mutta leikkausvoima ei muutu.
Esimerkki Määritä leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuvio kuvan palkille. Ratkaisusuunnitelma: Määritetään ensin palkin tukireaktiot. Leikkausvoima ei muutu momentin kohdalla. Piirretään leikkausvoiman kuvaaja väleille AD, DB ja BE paloittain. Piirretään taivutusmomentin kuvaaja paloittain väleille AC, CD, DB ja BE. y A C D B E A y B y + ΣM A = 0 20 knm 8kN 3m + B y 5m (15 kn m )(3m)(6.5m) = 0 B y = 67.3 kn + ΣF y = 0 + ΣF = 0 A y 8kN + 67.3kN (15 kn/m)(3m) = 0 A y = 14.3 kn A = 0
Esimerkki Piirretään leikkausvoiman kuvaaja väleille AD, DB ja BE paloittain. y Määritä leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuvio kuvan palkille. C D B E 14.3 14.3 kn V (kn) A dv d = 0 V = 8 kn D 22.3 67.3 kn 45 B dv d = 0 dv d E = 15 kn/m V = 67.3 kn
y Esimerkki C D B E Määritä leikkausvoima- ja taivutusmomenttikuvio kuvan palkille. V (kn) 14.3 kn 67.3 kn 45 14.3 M (knm) A M = 20 kn m dm d = 14.3 A C D B 8.6 28.6 D 22.3 dm d = 22.3 22.9 B 67.5 E E M() on 2. asteen polynomi Miten M() määritetään?
Miten taivutusmomentin lauseke välillä BE määritetään? V (kn) 45 Leikkausvoima välillä BE: M = 45 7.5 2 + C V = 45 15 Taivutusmomentin ja leikkausvoiman välinen yhteys: dm() d = V Ratkaistaan M() integroimalla puolittain: M = V d + C Ratkaistaan integroimisvakio C: M 0 = 67.5 C = 67.5 M = 7.5 2 + 45 67.5 Tarkistetaan, että momentti pisteessä E on nolla: M (knm) M 3 = 7.5(3 2 ) + 45(3) 67.5 = 0 B 3m B 67.5 E E
Yhteenveto Opimme, miten leikkausvoima ja taivutusmomentti jakaantuvat palkin pituudella Opimme esittämään leikkausvoiman ja taivutusmomentin graafisesti kuvaajien avulla Johdimme kuormituksen, leikkausvoiman ja taivutusmomentin väliset differentiaaliset yhteydet Teimme niistä päätelmiä, joiden avulla kuvaajien piirtäminen nopeutuu.