FYSIIKAN LABORATORIO V. 9.0 4B6A. KIMMOISUUSTUTKIMUKSIA A. LANGAN KIMMOKERTOIMEN MÄÄRITTÄMINEN. Tavoite. Teoriaa Työssä perehdytään Hooken lakiin normaalijännityksen alaisessa kappaleessa ja määritetään lankamateriaalin kimmokerroin. Mikään aine ei ole täysin jäykkää, vaan jokainen aine joustaa tietyssä määrin, kun siihen vaikuttaa voima. Tällainen joustaminen voi esiintyä koon, muodon tai tilavuuden muutoksena kysymyksessä olevasta kappaleesta ja siihen vaikuttavista voimista riippuen. Yleisesti sanotaan, että kappaleessa tapahtuu muodonmuutos. Muodonmuutos on kimmoinen, jos kappale palautuu alkuperäiseen kokoonsa, muotoonsa ja tilavuuteensa heti voiman vaikutuksen lakatessa. F A l o Robert Hooke oli ensimmäinen, joka vakavissaan tutki kiinteiden aineiden kimmoisia ominaisuuksia. Hänen tutkimustensa tulokset tunnetaan Hooken lakina, jonka mukaan muodonmuutos (esim. venymä, kiertymäkulma tms.) aineessa on suoraan verrannollinen muutoksen aikaansaavaan voimaan. Kuva. F l Normaalijännitys σ määritellään oheisen kuvan merkinnöin pintaan kohtisuorasti kohdistuvan voiman F (veto tai puristus) ja pinnan alan A suhteena: F σ = () A Suhteellinen venymä ε voiman aikaansaaman pituuden muutoksen l suhteena alkuperäiseen pituuteen l 0 : l ε = () l 0
FYSIIKAN LABORATORIO V. 9.0 Puristuksen aikaansaama pituuden muutos on negatiivinen, joten puristavan voiman ajatellaan aiheuttavan negatiivisen normaalijännityksen. Langan tai sauvan vetojännityksen tapauksessa Hooken laki voidaan nyt esittää muodossa σ = Eε (3), missä verrannollisuuskerroin E on materiaalin kimmokerroin. 3. Työn suoritus Materiaalin venymistä jännityksen alaisena kuvataan jännitys venymäpiirroksella. Sen yksityiskohtainen muoto vaihtelee suuresti eri aineilla, mutta yhteisenä piirteenä on aina pienillä jännityksillä oleva lineaarinen suhteellisuusalue, jolla Hooken laki on voimassa. Kuvan kaltainen jännitys venymäpiirros on tyypillinen mm. niukkahiiliselle pehmeälle teräkselle. Kun suhteellisuusalue ylitetään, kappaleen muodonmuutos jää pysyväksi (plastinen muodonmuutos). Tässä työssä pysytään lineaarisella alueella. σ Pa Suhteellisuusalue Kuva. Jännitys venymäpiirros. ε Pystysuorassa riippuvaa lankaa kuormitetaan sen alapäähän kiinnitettyyn telineeseen asetettavilla punnuksilla. Punnusteline on koko ajan paikallaan langan "suoristuspainona. Langan pituuden muutokset havaitaan rakennemikrometrillä, joka on erittäin tarkka ja herkkä mittalaite, jota on käsiteltävä varoen. Mittaustilannetta lukuun ottamatta mikrometrin karan ja punnustelineen välillä on pidettävä ainakin 0,5 cm ilmarako (ks. alla). Myös mikrometrin lukemista harjoitellaan riittävällä ilmaraolla. RAKENNEMIKROMETRI ON HERKKÄ TARKKUUSMITTALAITE. SITÄ EI MISSÄÄN TAPAUKSESSA SAA KUORMITTAA, SILLÄ SEN KIERTEET VAU- RIOITUVAT HELPOSTI. TÄMÄN VUOKSI AINA ENNEN UUDEN PUNNUKSEN LISÄÄMISTÄ PUNNUSTELINEESEEN ON MIKROMETRIÄ KIERRETTÄVÄ ALAS NIIN, ETTÄ VÄLIIN JÄÄ AINAKIN 0,5 cm ILMARAKO. Aluksi mitataan (ilman muuta kuormaa kuin mahdollinen suoristuspaino) rullamitalla langan alkupituus sekä mikrometrillä kymmenestä kohdasta sen paksuus (Miksi pitää mitata monta havaintoa?). Mikrometrin nollakohta pitää muistaa tarkistaa ja merkitä muistiin. Jos tutkittavan langan halkaisija > 0,7 mm, kannattaa telineeseen ripustaa pieni punnus aloituseli suoristuspainoksi.myös langan materiaali pyritään tunnistamaan. Sitten luetaan raken-
3 FYSIIKAN LABORATORIO V. 9.0 nemikrometrin alkulukema, johon nähden selostuksessa lasketaan pituuden muutokset ja niistä suhteelliset venymät. Rakennemikrometrin lukema otetaan siten, että sitä kierretään hitaasti ylös tarkkaillen samalla laitteen vieressä olevaa valodiodia (lediä). Kotelossa olevan vahvistinpiirin ansiosta ledi syttyy jo pienestäkin kosketuksesta mikrometrin karan ja punnustelineen alapinnan välillä. Valon syttyessä lopetetaan kiertäminen välittömästi. Hiukan takaisinpäin kiertämällä voidaan tarkistaa kosketuskohta ja sitten ottaa lopullinen lukema. Tällä tavalla menetellen saadaan mahdollisimman tarkat arvot, eikä mikrometri vaurioidu. Seuraavaksi kuormitetaan lankaa ainakin viidellä eri kuormituksella lisäten punnustelineeseen käytössä olevia punnuksia eri tavoin yhdistellen ja luetaan kutakin kuormitusta vastaava mikrometrilukema. Punnusten massat määritetään ylätasovaa'alla. Kuormitusmassojen avulla lasketaan jännitykset alkutilanteeseen verrattuna. Työpaikalla on ohje suurimmasta sallitusta kuormituksesta: suhteellisuusalueen ylärajaa ei saa ylittää! 4. Havaintojen käsittely, virheenarviointi ja lopputulos Työselostukseen laaditaan taulukko, johon kirjataan havainnot (kuormitusmassat ja vastaavat rakennemikrometrin lukemat) sekä niistä lasketut venyttävät voimat ja edelleen normaalijännitykset sekä langan pituudenmuutokset ja suhteelliset venymät lausekkeita () ja () käyttäen. Tuloksista piirretään graafinen esitys, jossa esitetään lausekkeen (3) mukaisesti normaalijännitys suhteellisen venymän funktiona (ε, σ)-koordinaatistossa. Kuvaajaan piirretään tasoitettu suora ja määritetään sen kulmakerroin, ts. lankamateriaalin kimmokerroin E virherajoineen. Työhön valmistautuessa mietitään, miten kimmokertoimen virhe kuvaajasta määritetään, ja se selvitetään valvojalle työn kuluessa, viimeistään pois lähtiessä. 5. Kirjallisuusvertailu ja pohdintaa Selostukseen tehdään kirjallisuusvertailu: mietitään, mitä materiaalia tutkittu lanka oli ja etsitään kirjallisuudesta vertailuarvoja. Lisäksi selostuksessa pohditaan vastauksia seuraaviin kysymyksiin: - Miksi langan pituuden muutos pitää pyrkiä mittaamaan 0,00 mm tarkkuudella, vaikka langan koko pituus pystytään mittaamaan paljon epätarkemmin? - Miten langan venymään vaikuttaa toisaalta langan halkaisija ja toisaalta lankamateriaalin kimmokerroin?
4 FYSIIKAN LABORATORIO V. 9.0 B. LIUKUKERTOIMEN MÄÄRITTÄMINEN. Työn tavoite. Teoriaa 3. Koejärjestely Työn tässä osiossa tutustutaan harmoniseen värähdysliikkeeseen ja tutkitaan aineen kiertokimmoisuutta sekä määritetään metallin liukukerroin kiertoheilurin avulla. Aineen kimmoisuus käy ilmi paitsi venytyksessä ja puristuksessa myös kierrossa: metallilanka kiertyy, mutta vastustaa kiertoa. Oletetaan, että lankaa kiertää kiertymiskulman α verran tietyn voiman F momentti M F = Fr, missä r on langan säde. Tasapainotilanteessa lanka pyrkii palautumaan alkuperäiseen tilaansa yhtä suurella, mutta vastakkaissuuntaisella palautusmomentilla M D = Dα. Miinusmerkki kuvaa sitä, että kiertymäkulma ja palautusmomentti ovat vastakkaissuuntaiset. Jollei kimmoisuusrajaa ylitetä, niin voimassa on M = M Dα, () F D = mikä on Hooken lain lauseke kierron tapauksessa. Kulman yksikkönä tässä on radiaani. Verrannollisuuskerroin D on nimeltään suuntamomentti eli direktiomomentti ja se on materiaalille ominainen vakio. Langan kiertoa tutkitaan tässä työssä kuvan 3 mukaisella kiertoheilurilla. Siinä poikkileikkaukseltaan pyöreä lanka (halkaisija d) on ripustettu yläpäästään kiinteästi telineeseen. Langan pituutta l voidaan säätää yläkiinnityspisteestä. Langan alapäähän vaakatasoon on keskipisteestään kiinnitetty pyöreä levy, jolle voidaan kiinnittää punnuksia (massat m) eri etäisyyksille s levyn keskipisteestä. Levyä ja samalla lankaa kierretään vaakatasossa jonkin kulman α verran (ei yli 0 ). Kulman suuruudella ei sinänsä ole merkitystä, sillä se ei vaikuta värähtelyn taajuuteen eikä siis heilahdus- eli värähdysaikaan. Irti päästettäessä heiluri alkaa värähdellä harmonisesti vaakatasossa tasapainoasemansa suhteen, koska systeemin vaimennus ei ole liian voimakasta. Tällöin palautusmomentti ja liikemäärämomentin säilyminen aiheuttavat edestakaisen pyörähdysliikkeen. l m s Kuva 3. Kokeessa käytettävä kiertoheiluri. d m
5 FYSIIKAN LABORATORIO V. 9.0 Värähdysaika eli yhteen edestakaiseen pyörähdykseen kuluva aika on, () jossa J on värähtelevän systeemin hitausmomentti pyörähdysakselin (tässä sama kuin symmetria-akseli) suhteen. Poikkileikkaukseltaan pyöreälle langalle G π d D = 3 l 4, (3) jossa G on lankamateriaalin liukukerroin. Näistä yhtälöistä voidaan ratkaista G: 8 π l J G = 4 d T (4) Kappaleen hitausmomentti on usein hankala laskea, mutta se voidaan eliminoida kaavoista käyttämällä värähtelijään kiinnitettäviä apupainoja eri paikoissa ja mittaamalla vastaavat heilahdusajat. Yhtälöstä (4) nähdään, että suhde J eli T merk. = vakio = k J = kt, josta seuraa, että T J J T = k ( T T ) = k T T (5) on myös vakio. Tässä J on yhdistelmän levy+punnukset hitausmomentti painojen ollessa etäisyydellä s pyörähdysakselista, ja J on vastaavasti hitausmomentti, kun punnukset ovat toisella etäisyydellä s. T ja T ovat vastaavat värähdysajat. Yhtälö (4) voidaan siis kirjoittaa muodossa 8 π l J J G = d T T 4 (6) Olkoon pelkän levyn hitausmomentti J 0. Kun kaksi samanmassaista pientä painoa (massat m) sijoitetaan symmetrisesti pyörähdysakseliin nähden, tulee yhdistelmän hitausmomentiksi J J ms = 0 +. Tästä saadaan edelleen
6 FYSIIKAN LABORATORIO V. 9.0 ( ) J J = m s s (7) sekä lopulta liukukertoimelle saadaan lauseke: m l s s G = 56 π d T T 4 (8) 4. Työn suoritus Mittaukset tehdään kahdella langan pituudella, kummallakin pituudella kahdella eri painojen paikalla. Mittaukset kannattaa tehdä siten, että heilahdusajat eri punnusten paikoilla olisivat mahdollisimman erilaiset (miksi?). Kaikissa tapauksissa mitataan 0 heilahduksen aika (0T) vähintään kahteen kertaan (ryhmästä kaikki mittaavat). Langan paksuus mitataan mikrometrillä kymmenestä eri kohdasta (miksi?). Mikrometrin nollakohta on muistettava tarkistaa! Langan paksuus voidaan mitata ensin työntömitalla, jos ei ole täysin varma mikrometrin lukemisesta. G:n virhekaavasta (9) nähdään (mistä siinä?), että halkaisija on mitattava mahdollisimman tarkasti. Punnukset punnitaan mahdollisimman tarkalla vaa alla ennen mittauksia. Suureiden mittaustarkkuudet on kirjattava: dm, dl, dd, ds ja dt. Havaintopöytäkirjaan kirjataan, mitä materiaalia lanka todennäköisesti oli. 5. Virheen arviointi, kirjallisuusvertailu ja lopputulos G:n suhteellinen virhe lasketaan kaavasta: dg G dm dl dd ds dt + + 4 + +. (9) m l d s + s T + T Kaavaa johdettaessa on yksinkertaistaen oletettu, että etäisyyksien virheet ds i ja värähdysaikojen virheet dt i ovat samoja kaikissa mittauksissa. Punnusten etäisyyden virheeksi ds sijoitetaan epävarmimman havainnon virhearvio. Ajanoton virheen arvioimiseksi lasketaan saman mittauksen eri aikojen suurimman eron /0-osa ja verrataan sitä ajanottotarkkuuteen. Epätarkin sijoitetaan virhelausekkeeseen. Tuloksena ilmoitetaan langan materiaalin liukukerroin virherajoineen. Tulosta verrataan kirjallisuudessa esitettyihin arvoihin ja päätellään, mikä oli tutkittu aine.