Kvanttimekaniikka I A/S. Jani Tuorila Fysiikan laitos Oulun yliopisto

Kvanttimekaniikka I 763312A/S Jani Tuorila Fysiikan laitos Oulun yliopisto 2. syyskuuta 2014

Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Taustaa................................................ 1 1.2 Aallot ja hiukkaset.......................................... 2 1.2.1 Kaksoisrakokoe hiukkasilla................................. 2 1.2.2 Kaksoisrakokoe aalloilla................................... 2 1.3 Valon hiukkas- ja aaltoluonteet................................... 4 1.4 Todennäköisyystulkinta....................................... 5 1.5 Hiukkasten aaltoluonne....................................... 5 1.6 Elektroneja vahtimassa........................................ 6 1.6.1 Heisenbergin epätarkkkusperiaate.............................. 7 2 Aaltofunktio 8 2.1 Schrödingerin yhtälö......................................... 8 2.2 Todennäköisyystulkinta ja normalisaatio.............................. 8 2.3 Liikemäärä.............................................. 9 3 Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö 10 3.1 Stationaariset tilat.......................................... 11 3.2 Ääretön potentiaalikuoppa...................................... 12 3.3 Harmooninen värähtelijä....................................... 14 3.4 Vapaa hiukkanen........................................... 17 3.5 Sidotut ja sirontatilat........................................ 19 3.5.1 Delta-potentiaali....................................... 20 3.5.2 Äärellinen potentiaalikuoppa................................ 22 4 Kvanttimekaniikan teoreettinen muotoilu 25 4.1 Hilbertin avaruus........................................... 25 4.2 Mitattavat suureet.......................................... 26 4.2.1 Määrätyt tilat........................................ 26 4.3 Hermiittisen operaattorin ominaisfunktiot............................. 27 4.3.1 Diskreetti spektri....................................... 27 4.3.2 Jatkuva spektri........................................ 27 4.4 Yleistetty statistinen tulkinta.................................... 28 4.5 Kahden suureen yhtäaikainen mittaus ja epätarkkuusperiaate.................. 29 4.5.1 Kommutoivat operaattorit.................................. 29 4.5.2 Yleistetty epätarkkuusperiaate............................... 29 4.5.3 Minimi-epätarkkuuden aaltopaketti............................. 30 4.5.4 Energian ja ajan epätarkkuus................................ 30 4.6 Diracin merkinnät.......................................... 31 5 Kolmiulotteista kvanttimekaniikkaa 33 5.1 Muuttujien erottelu......................................... 33 5.2 Kulmayhtälö............................................. 34 5.3 Radiaaliyhtälö............................................ 36 i

5.4 Vetyatomi............................................... 36 5.4.1 Radiaaliyhtälö........................................ 36 5.4.2 Vetyatomin spektri...................................... 39 5.5 Kulmaliikemäärä........................................... 39 5.5.1 Kulmaliikemäärän ominaisfunktiot............................. 40 5.6 Spin-kulmaliikemäärä........................................ 41 6 Identtiset hiukkaset, jaksollinen järjestelmä ja aineen rakenne 42 6.1 Kahden hiukkasen systeemi..................................... 42 6.1.1 Bosonit ja fermionit..................................... 42 6.1.2 Vaihto-voima......................................... 44 6.1.3 Spinin vaikutus........................................ 44 6.2 Atomit................................................. 45 6.2.1 Helium............................................ 45 6.2.2 Jaksollinen järjestelmä.................................... 46 6.3 Kiinteät aineet............................................ 47 6.3.1 Vapaa elektronikaasu..................................... 47 6.3.2 Vyörakenne.......................................... 49 6.4 Kvanttistatistiikkaa.......................................... 50 6.4.1 Yleinen konfiguraatio.................................... 52 ii

Kirjallisuutta: Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics, (Pearson Prentice Hall), 2005 Saarela: Kvanttimekaniikka I Johdatus alkuaineiden jaksolliseen järjestelmään (luentomoniste), 2012 Shankar: Principles of Quantum Mechanics, 1994 Cohen-Tannoudji, Diu ja Laloë: Quantum Mechanics (volume one), 1977 Powell & Crasemann: Quantum Mechanics (Addison-Wesley), 1965 Feynman: Lectures on Physics III (Addison-Wesley) iii

1 Johdanto 1.1 Taustaa Aina silloin tällöin fyysikot ovat varomattoman tyytyväisiä teorioihinsa. Kaikki kokeet ovat sopusoinnussa teorian antamien ennustusten kanssa ja vaikuttaa siltä kuin fysiikka olisi valmis. Näin tapahtui esimerkiksi 1900-luvun vaihtessa, kun Newtonin mekaniikka, termofysiikka ja Maxwellin sähkömagnetismi näyttivät antavan selityksen kaikille havaituille luonnonilmiöille. The more important fundamental laws and facts of physical science have all been discovered, and these are now so firmly established that the possibility of their ever being supplanted in consequence of new discoveries is exceedingly remote... Our future discoveries must be looked for in the sixth place of decimals. Albert. A. Michelson, 1894. There is nothing new to be discovered in physics now. All that remains is more and more precise measurement Lord Kelvin, 1900. 1 Kuitenkin samaan aikaan kokeelliset havainnot, kuten esimerkiksi Mustan kappaleen säteily Atomien spektriviivat Valosähköinen ilmiö alkoivat olla ristiriidassa klassisten fysiikan teorioiden kanssa. Vuonna 1900 Max Planck ratkaisi mustan kappaleen säteilyn ongelman vaatimalla, että säteilyn energia muodostuu lukemattomista pienistä yksiköistä, kvanteista. Vuonna 1905 Einstein käytti Planckin oletusta valosähköisen ilmiö selittämiseen 2. 1 Lainatut fyysikot vaikuttivat suuresti tieteen kehitykseen. Sen vuoksi onkin parempi, että heidät muistettaisiin ansioistaan enemmin kuin näistä onnettomista lausahduksista. 2 Einstein sai Nobel-palkintonsa valosähköisen ilmiön teoriasta vuonna 1921. Planckin oletus sai aikaan kehityskulun, joka johti ns. vanhan kvanttimekaniikan syntyyn. Tässä työssä olivat vahvasti mukana suurin osa 1900-luvun alun merkittävistä fyysikoista, kuten Planck, Einstein, Bohr, Sommerfeld, ja monet muut. Vanha kvanttimekaniikka oli ilmiöihin perustuva (fenomenologinen) teoria. Muodollisen matemattisen muotonsa kvanttimekaniikka sai vuosina 1925-30 (de Broglie, Heisenberg, Born, Jordan, Schrödinger, Pauli, Dirac, von Neumann, ja monet muut). Kvanttimekaniikkaa pidetään yhtenä nykytieteen merkittävimmistä saavutuksista. Se on lähes kaiken modernin tutkimuksen perusta niin hiukkasfysiikassa, atomifysiikassa, molekyylifysiikassa, kiinteän olomuodon fysiikassa, kemiassa, jne. Kvanttimekaniikka antaa selityksen aineen rakenteelle ja kuvaa sen vuorovaikutuksen valon kanssa tarkkuudella, joka poikkeaa kokeellisista arvoista kahdeksannessa desimaalissa. Kvanttimekaniikka onkin yksi tarkimmista ja eniten testatuista tieteellisistä teorioistamme. Ehkä suurimman muutoksen kvanttimekaniikka tuo kuitenkin tapaamme ajatella. Kvanttimekaniikka on erityisesti pienen mittakaavan (atomin kokoluokan) ilmiöiden teoria. Mielemme ja kielemme ovat kehittyneet ympäristössä, jossa kvantti-ilmiöt eivät ole läsnä. Osoittautuu, että atomin mittakaavassa, asiat käyttäytyvät täysin eri tavalla kuin mihin olemme tottuneet. Sen vuoksi atomaariset ilmiöt tuntuvat oudoilta sekä vasta-alkajasta että kokeneesta fyysikosta. Tämä on luonnollista, koska kaikki välitön inhimillinen kokemus ja intuitio perustuu aineen makroskooppiseen käyttäytymiseen. Tämän kurssin tarkoituksena on kertoa niistä muutoksista, joita kvanttimekaniikka tuo klassiseen maailmankuvaan. Kvanttimekaniikan ymmärtäminen, jos sellainen ylipäätään on mahdollista, vaatii uudellaisen sanavaraston, ajattelutavan ja intuition opettelemista. Tavoitteena onkin ennen kaikkea oppia kvanttimekaniikan teorian muodollinen rakenne ja oppia käyttämään sen antamaa koneistoa yksinkertaisten esimerkkiongelmien ratkaisemisessa. If you think you understand quantum mechanics, you don t understand quantum mechanics. Richard Feynman 1

1.2 Aallot ja hiukkaset Nature isn t classical, dammit, and if you want to make a simulation of nature, you d better make it quantum mechanical. Richard Feynman Tykki 1 2 Liikkuva detektori x I 1 x I 12 I 2 x Ennen kuin aloitamme kvanttimekaniikan matemaattisen koneiston käsittelyn, käymme läpi yksinkertaisen kahden raon kokeen avulla ne olelliset muutokset jotka klassiseen fysiikkaan täytyy tehdä. 1.2.1 Kaksoisrakokoe hiukkasilla Klassisessa fysiikassa hiukkasilla on hyvin määritellyt paikka x ja liikemäärä p, ja ne yhdessä määrittävät hiukkasen tilan. 3 Hiukkasten liikkeitä kuvataan Newtonin yhtälöillä, jotka voidaan kirjoittaa yleisempään ja matemaattisesti elegantimpaan muotoon käyttäen Analyytisen mekaniikan kurssissa esitettyjä menetelmiä. Tuloksena saadaan Hamiltonin (tai vastaavat Lagrangen) liikeyhtälöt: dx dt dp dt = H p (1) = H x, (2) missä H on tarkasteltavan systeemin Hamiltonin funktio. Toisin sanoen, jos hiukkasen paikka ja liikemäärä tunnetaan jollakin ajan hetkellä, sen myöhempi tila saadaan laskettua täsmällisesti liikeyhtälöistä. Tarkastelemme klassisten hiukkasten, esim. luotien, käyttäytymistä kuvan 1 mukaisessa laitteessa. Siinä on vasemmalla konekivääri, joka ampuu luotisuihkun. Ase ei ole erityisen tarkka ja niinpä luodit lähtevät satunnaisesti tiettyyn avaruuskulmaan. Määritellään intensiteetti I(x) pisteeseen x saapuvien luotien lukumääräksi sekunnissa. Tämän koejärjestelyn avulla voimme määrätä intensiteetin I 12 (x) sille, että luoti, joka kulkee raon 1 tai 2 läpi, 3 Tämän kurssin ensimmäisessä puolikkaassa tarkastellaan vain yksiulotteisia ongelmia, jotta vältytään korkeampien ulottuvuuksien tuomilta (tässä tarpeettomilta) haasteilta. Seinä Takaseinä I 12 =I 1 +I 2 (a) (b) (c) Kuva 1: Kaksoisrakokoe luodeilla iskee seinään kohdassa x. Mittaus voidaan suorittaa seinään kiinnitetyllä detektorilla, joka laskee aikayksikössä tulevien luotien lukumäärän. Käyrä (c) I 12 antaa intensiteetin sille, että luoti kulkee joko raosta 1 tai 2. Saadun käyrän muodon ymmärtämiseksi teemme toisen kokeen (b), jossa vuorotellen peitetään raot 2 ja 1, jolloin saadaan intensiteetit I 1 ja I 2. Vertaamalla mittaustuloksia todetaan: I 12 = I 1 + I 2, ts. intensiteetti on osaintensiteettien summa. 1.2.2 Kaksoisrakokoe aalloilla Ero hiukkasten ja aaltojen välillä on selkeä. Siinä missä hiukkaset (klassisen fysiikan mukaan) ovat hyvin paikallistettavissa olevia energia- ja liikemäärä yksiköitä, ovat aallot eräänlaisia häiriöitä, jotka ovat jakautuneet hyvinkin laajalle alueelle. Tästä johtuen aallot voivat, toisin kuin hiukkaset, taipua ja interferoida. Nämä ilmiöt havaitaan jokapäiväisessä elämässä hiloissa, linsseissä ja peileissä. Yleistä aalloille (niin sähkömagneettisille kuin esim. veden pinta-aalloille, ääniaalloille jne.) on, että niitä voidaan kuvata aalto-funktiolla ψ(x, t), joka kuvaa jotain oleellista häiriötä 4 pisteessä x ajan hetkellä t. 4 Sähkömagneettisille aalloille ψ voi olla mikä tahansa sähkö-tai magneettikentän komponentti, ääniaalloille se voi kuvata paineen vaihteluita, veden pinta-aalloille ψ on poikkeama tasapainosta, jne. 2

Vastaavaan tapaan kuin hiukkasilla, aallon riippuvuus paikasta ja ajasta saadaan liikeyhtälöstä: 2 ψ x 2 = 1 2 ψ c 2 t 2, (3) missä c on aallon etenemisnopeus ko. väliaineessa. Tätä kutsutaan aaltoyhtälöksi. Kun aalto tunnetaan jollakin ajan hetkellä, voidaan sen myöhempi tila ratkaista aaltoyhtälöstä. Tarkastellaan tässä aaltoyhtälön yksinkertaista ratkaisua, tasoaaltoa 5 [ ψ(x, t) = A exp i ( 2π λ x 2π ] T t), (4) joka kuvaa sekä paikassa että ajassa jaksollista aaltoa. Yllä λ on aallonpituus (jakso paikassa), T jaksonaika. Usein käytetään johdannaissuureita k = 2π/λ (aaltoluku) ja ω = 2π/T (kulmataajuus). Aallonnopeus on c = ω/k, (reaalinen) amplitudi on A ja aallon intensiteetti I = ψ 2. 6 Tarkastelemme seuraavaksi esim. veden aaltoilua kuvan 2 mukaisella laitteella. Aaltojen lähteessä vasemmalla synnytetään ympyrämäisiä aaltoja pienen moottorin avulla, joka liikuttaa esinettä veden pinnalla ylös ja alas. Lähteestä oikealla on seinämä, jossa on jälleen kaksi aukkoa ja siitä oikealle seinämä, jossa on detektori. Detektori on laite, joka mittaa aaltoliikkeen intensiteetin seinämän kohdalla. Tämä taas saadaan mittaamalla aaltoliikkeen amplitudin (so. korkeuden) neliö kohdassa y. Toisaalta intensiteetti on verrannollinen aikayksikössä kohtaan y saapuvaan energiaan. Mittaustulokseksi saamme kohdan c mukaisen interferenssikuvion I 12. Tämän kuvion ymmärtämiseksi teemme jälleen kokeen, jossa raot 1 ja 2 vuorotellen peitetään, jolloin saadaan kohdan b mukaiset käyrät I 1 ja I 2. Nyt kysymme: Mikä on näiden kolmen käyrän välinen yhteys? Erikoisesti näemme, että I 12 I 1 + I 2. 5 Aaltoyhtälön ratkaisut ovat yleisesti ottaen kompleksisia ja fysikaaliset ratkaisut kompleksisten ratkaisujen reaaliosia. 6 Jos nämä käsitteet tuntuvat vierailta, kertaa ne Aaltoliike ja optiikka -kurssista. Aaltolähde 1 2 Seinä Detektori Absorboija x 2 I = ψ 1 1 I = ψ 2 2 2 (a) (b) (c) Kuva 2: Kaksoisrakokoe aalloilla I 1 I 2 x I 12 2 I = ψ +ψ 12 1 2 Tämän inteterferenssin matemaattinen esitys tapahtuu seuraavasti: Oletetaan, että rakojen kohdalla tulevat aallot ovat tasoaaltoja ψ = Ae i(ky ωt). Huygenssin periaate sanoo, että jokainen piste on tasoaallon keskus ja aallon eteneminen noudattaa tasoaaltojen rintaman etenemistä. Valitaan kohta x (pystysuora poikkeama vaakasuoralta akselilta kuvassa 2). Rakojen 1 ja 2 aiheuttamat aallot ovat kulkeneet matkat d 1 ja d 2, jotka yleisesti ottaen ovat erisuuret. Merkitään aaltojen amplitudeja kohdassa x seuraavasti: ψ 1 = Ae iφ1 φ 1 = 2πd 1 /λ ψ 2 = Ae i(φ1+δ) δ = 2π(d 2 d 1 )/λ. Kun aukot ovat vuorotellen suljettuja saamme intensiteetit 7 I1 = ψ1 2 = A 2 I 2 = ψ 2 2 = A 2. Molempien aukkojen ollessa avoimina saamme aaltoliikkeen amplitudiksi summan (superpositioperiaate) ψ = ψ 1 + ψ 2 = Ae iφ1 (1 + e iδ ). Intensiteetti on siten I 12 = ψ 2 = ψ 1 + ψ 2 2 7 Huomaa, että yleisesti ottaen raolla on toinenkin ulottuvuus, jolloin tasoaallon sijaan tulisi käyttää palloa-aaltoa e ikr /r. Palloaaltojen intensiteetti pienenee kuljetun matkan r kasvaessa kuin 1/r 2. 3

= (ψ 1 + ψ 2)(ψ 1 + ψ 2 ) = A 2 e iφ1 (1 + e iδ )(1 + e iδ )e iφ1 = A 2 (2 + (e iδ + e iδ ) = 2A 2 (1 + cos δ) = ψ 1 2 + ψ 2 2 + 2 ψ 1 ψ 2 cos δ Tässä vaihe-ero δ määrää interferenssin muodon. Voimme kirjoittaa tuloksen myös intensiteettien avulla I 12 = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos δ Aukoista 1 ja 2 lähteneiden aaltojen vaihe-ero varjostimella pisteessä x on δ = 2π(d 2 d 1 ) λ missä d 2 d 1 on kuljettujen matkojen ero ja λ on valon aallonpituus. Jos oletetaan, että rakojen välinen ero a ja matka x varjostimella (kuvapisteen ja rakojen välisen keskipisteen etäisyys) ovat pieniä verrattuna varjostimen ja raon väliseen etäisyyteen d, niin voidaan osoittaa (harjoitus), että vierekkäiset intensiteettimaksimit ovat etäisyydellä x = λd a toisistaan. Näin klassinen fysiikka ennustaa miten hiukkaset ja aallot käyttäytyvät kaksoisrakokokeeessa. 1.3 Valon hiukkas- ja aaltoluonteet Valon eteneminen poikkeaa muun aaltoliikkeen, kuten ääniaaltojen tai vaikkapa veden laineiden etenemisestä siinä, ettei se tarvitse värähtelevää väliainetta. Kuitenkin matemaattisesti se käsitellään klassisessa fysiikassa samanlaisen aaltoyhtälön avulla. Oletetaan, että lähetämme monokromaattista, palloaaltomuotoista valoa kohti kuvan 2 mukaista kaksoisrakoa 8. Oletetaan, että rakojen takana pys- 8 Aaltoliike ja Optiikan kurssissa tätä kutsuttiin Youngin kaksoisrakokokeeksi. Se on yksi perusesimerkki valon aaltoluonteesta., tymme mittaamaan läpimenneen säteilyn intensiteettiä. Kun molemmat raot ovat auki havaitsemme interferenssikuvion I 12, ja kun rako 1 on suljettu havaitaan käyrä I 2 (vastaavasti raon 2 ollessa suljettu nähdään I 1 ). Valo näyttäisi käyttäytyvän samaan tapaan kuin vesiaalto, mikä on täydellisessä sopusoinnussa klassisen fysiikan (Maxwellin yhtälöt) kanssa. Pienennetään sitten valon intensiteettiä 9 mitataan I 1. Jotain kummallista tapahtuu. Havaitaan, että energia ei saavu jatkuvana virtana vaan purkauksina siellä täällä. Oletetaan, että voimme pienentää intensiteetin niin matalaksi, että havaitsemme vain yhden tällaisen purkauksen kerrallaan. Jos odotamme riittävän kauan ja piirrämme saapuneista purkauksista histogrammin, saamme tulokseksi saman käyrän I 1 kuin suuremmalla intensiteetillä. Havaitsemme, että valo ei koostukkaan jatkuvasta aallosta vaan on muodostunut hiukkasista, joita kutsutaan fotoneiksi. Tutkimalla fotoneita enemmän, havaitaan että Jokaisella fotonilla on sama energia E. Jokaisella fotonilla on sama liikemäärä p. E = pc. Koska E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4, fotonien lepomassa on nolla. Säteilylähteen taajuutta muuttamalla nähdään, että E = hω (5) p = hk, (6) missä h = h/2π on vakio. Luonnonvakiota h = 6.626 10 34 Js sanotaan Planckin vakioksi. Kuten aikaisemmin mainittiin, ajatuksen valon hiukkasluonteesta, ns. kvantittumisesta, esitti ensimmäisenä Planck johtaessaan mustan kappaleen säteilyä koskevan yhtälönsä. Samaan kvanttiajatukseen perustui myös Einsteinin fotosähköiselle ilmiölle antama selitys. Vaikka valon kvanttituminen sinänsä on jo yllättävää klassisen fysiikan näkökulmasta, tapahtuu jotain vieläkin mullistavampaa kun tutkitaan intensiteettiä 9 Esimerkiksi viemällä valonlähde kauemmas. Muista, että palloaaltojen intesiteetti pienenee kuin 1/r 2! 4

I 12. Jos fotoneita saapuu edelleen yksi kerrallaan, ja taulukoidaan saapuneiden fotonien lukumäärää, havaitaan samanlainen interferenssikuvio kuin (c) kuvassa 2! Tämä kertoo, että klassisessa fysiikassa on jotain pielessä. Koska fotonit ovat hiukkasia, niillä tulisi olla hyvin määrätyt paikka ja liikemäärä. Tällöin tuntuu mahdottomalta, että fotoni joka on menossa raon 1 läpi pystyisi jotenkin aistimaan onko rako 2 auki vai kiinni. Interferenssikuvion havaitseminen tarkoittaa kuitenkin väistämättä sitä, että näin käy. Kokeen perusteella on ilmeistä, että ei ole totta, että fotonit menevät joko raon 1 tai raon 2 kautta. Mitä muita mahdollisia reittejä fotoneilla on kulkea lähteestä varjostimelle? Voisi ajatella seuraavia: Mennessään rakojen läpi fotoni jakautuu kahteen osaan. Tämä kaatuu siihen, että fotonit saapuvat varjostimelle kokonaisina Fotoni kulkee monimutkaisempia teitä (sisään raosta 1, ulos raosta 2 ja uudelleen sisään raosta 2 jne.) Tämä ei voi toteutua, koska molempien rakojen ollessa avoimia, vain hyvin vähän fotoneja osuu määrättyihin kohtiin x. Kun toinen rako suljetaan, fotonien määrä tällaisen I 12 - käyrän minimin kohdalla lisääntyy. Vastaavasti voidaan todeta maksimien kohdalla toisen reiän sulkemisen vähentävän fotonien lukumäärää, joten molempien selittäminen monimutkaisella reitillä tuntuu mahdottomalta. Todetaan, että kokeen perusteella emme pysty sanomaan, miten fotonit siirtyvät lähteestä detektoriin. Toisin sanoen, fotonit eivät voi kulkea pitkin hyvin määrättyjä liikeratoja. 1.4 Todennäköisyystulkinta Edellä esitettyjen tosiasioiden perusteella Born teki seuraavan johtopäätöksen: Jokaiseen fotoniin liittyy kompleksinen aalto ψ(x), jota kutsutaan todennäköisyysamplitudiksi. Amplitudin itseisarvon neliö ψ(x) 2 antaa todenäköisyyden sille, että fotoni löytyy pisteestä x. 10 Tätä kutsutaan aaltofunktion statistiseksi tulkinnaksi. Valon kaksoisrakokoe voidaan ymmärtää nyt kokonaan edellisen oletuksen avulla. Jokaista fotonia (energia E ja liikemäärä p) kuvaa aaltofunktio ψ(x), joka on tasoaalto jonka ω = E/ h ja k = p/ h. Tämä aalto interferoi itsensä kanssa ja muodostaa oskilloivan käyrän x-akselille. Mikä tahansa yksittäinen fotoni saapuu johonkin tiettyyn pisteeseen x eikä pysty paljastamaan todennäköisyysjakaumaa. Jos odotamme kauan, muodostavat jakauman ψ(x) 2 mukaisesti saapuneet fotonit histogrammin joka muistuttaa intensiteettiä I 12. Vastaava kuvio saadaan luonnolilsesti kasvattamalla sisääntulevien fotonien intensiteettiä. Tällöin oletetaan, että samalla hetkellä saapuu yhden sijaan monta fotonia, joilla kaikilla on sama aaltofunktio ja siten sama todennäköisyys osua pisteeseen x. Tällöin mitattu intensiteetti näyttää välittömästi jakaumalta ψ(x) 2 ja energiavirta jatkuvalta, sopusoinnussa klassisen sähkömagnetismin teorian kanssa. Korostetaan vielä, että interferenssi ei siis synny siitä, että yksi fotoni menee raosta 1 ja toinen raosta 2, koska ne eivät voi interferoida keskenään. Interferenssi tapahtuu jokaiselle fotonille, jonka todennäköisyysamplitudi muodostuu useammasta kuin yhdestä komponentista. (Kaksoisrakokokeen tapauksessa molemmat reiät ovat auki.) Tätä kutsutaan valon aalto-hiukkas -dualismiksi. Selvästi myös kokeiden lopputulokset eivät ole täysin ennustettavissa: parasta mitä voimme laskea on millä todennäköisyydellä mitäkin tapahtuu. 1.5 Hiukkasten aaltoluonne Vuonna 1924 de Broglie esitti hypoteesin, että kaikkia hiukkasia (elektronit, protonit, neutronit, jne.), joilla on energia E ja liikemäärä p voidaan kuvata fotonin tapaan tasoaallolla, ψ = Ae i(kx ωt) 10 Täsmällisesti: koska x on jatkuva muuttuja, ψ(x) 2 on todennäköisyystiheys ja todennäköisyys löytää fotoni pieneltä väliltä [x, x + dx] on ψ(x) 2 dx. 5

missä ω = Ē h k =. (7) p h Davisson ja Germer havaitsivat vuonna 1925 että elektronit taipuivat nikkelikiteessä kuten Röntgensäteet ja määrittivät interferenssikuviosta elektronien aallonpituudeksi de Broglien ennustaman arvon. Nykyisin on yleisesti hyväksyttyä, että kaikkia hiukkasia voidaan kuvata todennäköisyysamplitudilla ψ, ja että niille ei voida määrittää täsmällistä liikerataa. Tämän jälkeen voidaan vielä kysyä, miksi luotikokeessa (tai esimerkiksi jalkapalloilla, ihmisillä tai vaikkapa elefanteilla) ei havaita interferenssiä? Miksi niiden paikat ja liikemäärät vaikuttavat olevan hyvin määrättyjä? 1.6 Elektroneja vahtimassa 1 2 Elektronitykki Valolähde A (a) (b) (c) Kuva 3: Kaksoisrakokoe aalloilla x I 1 ' I 2 ' x I 12 '=I 1 '+I 2 ' Seuraavaksi järjestämme uuden kokeen kuvan 3 mukaan 11. Siinä pyritään vakoilemaan, kumman raon kautta kukin elektroni kulkee ja näemme, että elektroni muuttaa tämän koejärjestelyn johdosta käytäytymistään. Sen johdosta, että elektroneilla on varaus, tiedämme, että ne sirottavat valoa. Lisäämme koejärjestelyyn valolähteen, jonka avulla voimme testata kumman 11 Tällä kertaa elektroneilla, koska niiden liikkeitä on helpompi havaita. I 12 ' raon kautta elektroni kulkee. Jos esim. se kulkee raon 2 kautta, näemme väläyksen kohdassa A (kuva 3). Koetulos on seuraava: joka kerta, kun havaitsemme elektronin mittalaitteellamme, näemme valon välähtävän joko raolla 1 tai 2, mutta ei koskaan yhtä aikaa molemmissa. Selvästi elektroni siis kulkee jommankumman raon kautta. Tämän jälkeen merkitsemme eri sarakkeisiin (kullekin kohdalle x) rakojen 1 ja 2 kautta kulkeneet elektronit ja saamme käyrät I 1 ja I 2. Tulos on sama kuin rakojen ollessa vuorotellen peitettyinä. Tämä todistaa, että elektronit eivät kulje monimutkaisia teitä. Toisaalta, koska tässä kokeessa molemmat raot olivat avoinna, saamme kokonaistodennäköisyydet laskemalla yhteen I 1 ja I 2 ts. I 12 = I 1 + I 2. Tulosta tarkasteltaessa toteamme, että emme saakaan interferenssiä: Elektronit interferoivat vain silloin, kun niitä ei havaita aukkojen kohdalla. On siis ilmeistä, että valolähde häiritsee elektronien kulkua ja hävittää interferenssikuvion. Nyt voisi kuvitella, että himmentämällä valolähdettä häiritsemme elektroneja vähemmän. Pidämme valon aallonpituuden samana, mutta vähennämme intensiteettiä ja suoritamme kokeen uudestaan. Koska valo on muodostunut fotoneista, elektronien häiriö aiheutuu elektronin ja fotonin törmäyksestä (Compton sironta). Intensiteetin (=fotonien luku/pinta-ala/aikayks.) pienetessä sironnan todennäköisyys pienenee ja osa elektroneista pääsee huomaamatta läpi. Jokaista kohtaa x varten teemme kolmannen sarakkeen niitä elektroneja varten, jotka menevät näkemättä läpi detektoriin (mittalaite rekisteröi elektronin, mutta ei näy väläystä!). Tulos on seuraava: raon 1 kautta kulkeneille saadaan jakautuma I 1 ja 2:n kautta kulkeneille I 2 (kuva 3b)). Sen sijaan niille, joita ei nähty kummallakaan raolla saadaan jakautuma P 12 (kuva 2c)). Jälleen siis vain ne elektronit, joita ei nähdä raoilla, antavat interferenssi-kuvion. 6

Seuraavaksi teemme vielä yhden kokeen pidentämällä valon aallonpituutta. Tiedämme, että kunkin fotonin liikemäärä on kääntäen verrannollinen aallonpituuteen. p = h λ (h= Planckin vakio) Näin ollen on otaksuttavissa, että fotonien vaikutus kuhunkin elektroniin on sitä pienempi mitä suurempi on aallonpituus. Pidennämme aallonpituutta ja mitään erikoista ei tapahdu, kunnes tulemme rajalle, jossa λ rakojen välimatka; tämän jälkeen emme enää pysty sanomaan kummalta raolta väläys tulee. Olemme tulleet laitteen erotuskyvyn rajalle 12. Näemme väläyksen, joka osoittaa, että elektroni on kulkenut jostain, mutta emme pysty sanomaan, kumman raon kautta se kulki. Samalla todetaan, että aallonpituuden kasvaessa jakaantuma P 12 alkaa yhä enemmän muistuttaa interferenssitapausta P 12. Kokeen syvällinen selitys pohjautuu ns. Heisenbergin epätarkkuusperiaatteesta, jonka johdamme tarkasti myöhemmin. Todetaan tässä vain, että epätarkkuusperiaatteen mukaan paikan ja liikemäärän standardipoikkeamat σ x ja σ p noudattavat epäyhtälöä σ x σ p h 2. (8) Tämä tarkoittaa sitä, että jos mittauksella määritetään tarkasti kumman raon kautta elektroni kulki (σ x = 0), emme voi sanoa sen mittauksen jälkeisestä liikemäärästä varmuudella yhtään mitään (σ p ). 1.6.1 Heisenbergin epätarkkkusperiaate Yllä oleva ajatuskoe tulkitaan tavallisesti seuraavasti. Ennen tutkimista valonlähteellä, elektroneilla on kiinnitetty liikemäärä p = hk ja ne ovat tasoaaltoja (tasaisesti jakautuneet avaruuteen). Toisin sanoen ennen mittausta elektroneilla ei ole hyvin määriteltyä paikkaa, ne löytyvät samalla todennäköisyydellä mistä tahansa avaruuden pisteestä ja muistuttavat siten hyvin paljon klassisen fysiikan aaltoja. Mittauksen jälkeen tiedämme missä elektroni on: joko raolla 1 tai raolla 2. Välittömästi mittauksen jälkeen suoritettu uusi mittaus tulee antaa luonnollisesti sama tulos. Sen vuoksi vedämme johtopäätöksen, että mittaus muuttaa peruuttamattomasti elektronin tilan. Tätä kutsutaan aaltofunktion romahtamiseksi. Koska elektroni mittauksen jälkeen on suurella varmuudella jommalla kummalla raolla, täytyy sen aaltofunktion olla piikkittynyt raon kohdalla ja sen vuoksi elektroni ei voi interferoida itsensä kanssa. Tämän vuoksi interferenssikuvio häviää, kun elektronien kulkema reitti määritetään tarkasti. 12 Yleisesti ottaen, kvanttimekaaninen tarkastelu tulee oleelliseksi, jos tutkittavan systeemin de Broglie -aallonpituus on isompi kuin systeemin koko. 7

2 Aaltofunktio Tässä kappaleessa, kuten myös koko kurssin ensimmäisessä puolikkaassa, tarkastellaan yksiulotteista kvanttimekaniikkaa. Useampi ulotteinen teoria on usein suoraviivainen yleistys yksiulotteisesta, ja sen käsittely jätetään kurssin jälkimmäiseen osaan. Kertausta hiukkasmekaniikasta Palataan liikeyhtälöön (2). Kun muistetaan, että hiukkasen Hamiltonin funktio on muotoa saadaan Newtonin toinen laki H = p2 + V (x), (9) 2m m d2 x dt 2 = V x F, (10) missä V on hiukkasen kokema ulkoinen potentiaali. Yhdessä alkuarvojen x(0) ja p(0) tämä määrittää hiukkasen koko tulevan aikakehityksen, x(t) ja p(t). Siten klassisessa fysiikassa tietämys systeemin paikasta, liikemäärästä ja Hamiltonin funktiosta riittää sen täydelliseen kuvaamiseen (ainakin periaatteessa) nyt ja tulevaisuudessa. 2.1 Schrödingerin yhtälö Kvanttimekaniikan mukaan paikka ja liikemäärä eivät sovi mikrohiukkasten liikkeiden kuvaamiseen, koska ne tunnetaan vain tietyllä todennäköisyydellä tarkasti määrätyn radan sijasta 13. Sen vuoksi Newtonin lakien sijaan hiukkasen tilan, aaltofunktion Ψ(x, t), aikakehityksen kuvaamiseen käytetään Schrödingerin yhtälöä: i h Ψ t = h2 2 Ψ + V Ψ. (11) 2m x2 Schrödingerin yhtälö on analoginen Newtonin 2. lain kanssa: alkuarvo (tyypillisesti Ψ(x, 0) määrää yhdessä Schrödingerin yhtälön kanssa tulevan aikakehityksen Ψ(x, t). On myös syytä huomata, että samaan 13 Muista, että hiukkanen löytyy paikasta x todennäköisyydellä Ψ(x, t) 2 dx! tapaan kuin Newtonin 2. laki, Schrödingerin yhtälö on postulaatti. Sitä ei voi johtaa muusta kvanttimekaniikan teoriasta, vaan sen ainoana oikeutuksena on yhtäpitävyys sen antamien ennustusten ja kokeiden välillä. 2.2 Todennäköisyystulkinta ja normalisaatio Ennen kuin aletaan tarkastelemaan lähemmin mitä seurauksia aaltofunktion käsitteellä ja Schrödingerin yhtälöllä on, palautetaan mieleen aaltofunktion todennäköisyystulkinnan käsite. Johdannon perusteella hiukkasen paikka on suure, jolla ei ole fysikaalista sisältöä ennen kuin se mitataan. Mittaustulos ei ole ennaltamäärättävissä vaan mahdolliset arvot noudattavat aaltofunktion itseisarvon neliön määrittämää todennäköisyysjakaumaa ρ(x, t) = Ψ(x, t) 2. Tätä kutsuttiin aaltofunktion statistiseksi tulkinnaksi. Mitkä funktiot sitten kelpaavat aaltofunktioiksi? Periaatteessa kaikki kompleksiarvoiset funktiot, jotka ovat sopusoinnussa todennäköisyystulkinnan kanssa. Oletetaan, että Ψ(x, t) on Schrödingerin yhtälön eräs ratkaisu. Koska Schrödingerin yhtälö (11) on lineaarinen differentiaaliyhtälö, on myös AΨ sen ratkaisu kaikilla kompleksisilla vakioilla A. Osoittautuu, että kaikki funktiot AΨ(x, t) kuvaavat samaa fysikaalista tilaa, ts. kompleksitasossa vain suunnalla on fysikaalista merkitystä. Tämän vuoksi voimme valita yhden funktioista AΨ(x, t) edustamaan ääretöntä joukkoa fysikaalisesti ekvivalentteja tiloja. Tässä käytetään hyväksi aaltofunktion todennäköisyystulkintaa. Jotta statistinen tulkinta olisi voimassa, täytyy hiukkasen löytyä varmuudella jostain päin avaruutta. Täytyy siis olla Ψ(x, t) 2 dt = 1. (12) Tätä vaatimusta kutsutaan aaltofunktion normalisoinniksi, ja se kiinnittää luvun A. Normalisaation aikakehitys Yksi Schrödingerin yhtälön tärkeistä ominaisuuksista on, että se säilyttää aaltofunktion normalisaation. 8

Tämä voidaan osoittaa tarkastelemalla aikaderivaattaa d dt Ψ(x, t) 2 dx = t Ψ(x, t) 2 dx. (13) Koska t Ψ 2 = Ψ Ψ t + Ψ Ψ, (14) t niin Schrödingerin yhtälöstä seuraa, että t Ψ 2 = [ ( i h Ψ Ψ )] x 2m x Ψ x Ψ. (15) Huomaa, että jos tulkitaan S = i h(ψ Ψ x Ψ x Ψ)/2m todennäköisyysvirtatiheydeksi, tulee ylläoleva jatkuvuusyhtälön muotoon: x S + ρ = 0. (16) t Todennäköisyystiheyden integraalin aikaderivaatta on nyt d Ψ(x, t) 2 dx = i h ( dt 2m Ψ Ψ ) x Ψ x Ψ. (17) Jotta aaltofunktio olisi normalisoituva, täytyy sen hävitä äärettömyyksissä. Sen vuoksi sijoitus häviää molemmilla rajoilla: d dt Ψ(x, t) 2 dx = 0. (18) Integraali on siis riippumaton ajasta, ja jos aaltofunktio on normalisoitu sen normalisointi säilyy myös tulevaisuudessa. 2.3 Liikemäärä Tarkastellaan hiukkasta tilassa Ψ. Jos mitatataan hiukkasen paikka x, noudattaa saadut mittaustulokset todennäköisyysjakaumaa Ψ 2. Erityisesti, mittaustulosten odotusarvo 14 saadaan laskemalla x = x Ψ(x, t) 2 dx. (19) 14 Muista, että kvanttimekaniikassa keskiarvoa kutsutaan odotusarvoksi! Tässä vaiheessa on syytä muistaa, että mittauksen jälkeen hiukkasen paikka on täsmälleen se mitä mittalaite sanoo. Toisin sanoen, jos mittaus toistetaan välittömästi ensimmäisen mittauksen jälkeen, saadaan sama tulos. Paikan odotusarvo ei siis tarkoita yhden hiukkasen peräkkäisten paikan mittausten keskiarvoa! Odotusarvo tuleekin ymmärtää samassa tilassa Ψ olevien identtisten hiukkasten joukon (ensemble) samanaikaisten paikanmittausten keskiarvona. Koska aaltofunktio on yleisesti ottaen ajasta riippuva, muuttuu myös x ajan funktiona: d i h x = dt 2m = i h m x ( Ψ Ψ ) x x Ψ x Ψ (20) Ψ Ψ dx, (21) x missä ensimmäinen yhtäsuuruus on saatu jatkuvuusyhtälöstä ja jälkimmäinen seuraa osittaisintegroinnista. Klassisen fysiikan tietämyksemme pohjalta postuloimme, että liikemäärän odotusarvo p = m d x dt = i h Ψ Ψ dx. (22) x Tämä on yksi ns. Ehrenfestin teoreeman realisaatio; kvanttimekaaniset odotusarvot noudattavat klassisia liikeyhtälöitä (harjoituksissa tarkastelemme liikemäärän odotusarvon aikakehitystä). Palaamme tähän tarkemmin, kun käsittelemme kvanttimekaniikan teoriaa muodollisemmin. Kirjoitetaan sitten paikan ja liikemäärän odotusarvot hieman vihjailevasti x = Ψ xψdx (23) p = Ψ ( h i ) Ψdx. (24) x Tämä tulkitaan siten, että paikkaa ja liikemäärää (ja kaikkia muita mitattavia suureita) kuvataan kvanttimekaniikassa operaattoreilla 15. Odotusarvot ovat 15 Operaattorit ovat käskyjä tehdä jotakin operaattorin oikealla puolella olevalle funktiolle. Paikkaoperaattori kertoo muuttujalla x, liikemääräoperaattori derivoi muuttujan x suhteen. 9

tilan ominaisuuksia. Operaattorin odotusarvo saadaan kuten yllä, asettamalla operaattori funktioiden Ψ ja Ψ väliin ja integroimalla. Kaikki klassisen fysiikan dynaamiset suureet saadaan paikan ja liikemäärän avulla. Esim. kineettinen energia ja kulmaliikemäärä T = p2 2m (25) L = r p. (26) Yleisesti ottaen, mikä tahansa paikan ja liikemäärän funktio Q(x, p) voidaan muuntaa kvanttimekaaniseen operaattorimuotoon korvaamalla muuttujat x ja p vastaavilla operaattoreilla: x ˆx = x (27) p ˆp = h i x. (28) Tätä kutsutaan korrespondenssiperiaatteeksi. Yllä ja jatkossa on merkitty operaattoreita hatulla(ˆ), jotta ne erottuisivat vastaavista klassisista muuttujista. Odotusarvo saadaan vastaavaan tapaan laskemalla Esimerkiksi, ˆQ(ˆx, ˆp) = ˆT = h2 2m ( Ψ ˆQ ˆx, h i ) Ψdx. (29) x Ψ 2 Ψ dx, (30) x2 antaa kineettisen energian odotusarvon tilassa Ψ. 3 Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö Edellisessä kappaleessa tarkasteltiin mikä on aaltofunktio ja miten voimme käyttää sitä kiinostavien suureiden laskemisessa. Seuraavaksi tutkimme miten aaltofunktio ylipäätään saadaan määritettyä. Tiedämme, että fysikaalisesti tärkeitä aaltofunktioita ovat Schrödingerin yhtälön i h Ψ t = h2 2 Ψ 2m x 2 + ˆV Ψ. (31) normalisoidut ratkaisut. Yleisesti ottaen ˆV (ˆx, t) on paikan ja ajan funktio, mutta tässä kurssissa tutkitaan (jos muuta ei sanota) ajasta riippumattomia potentiaaleja. Tällöin Schrödingerin yhtälö ratkaistaan yleisesti erottamalla muuttujat. Menetelmän mukaisesti etsitään tulomuotoista ratkaisua Ψ(x, t) = ψ(x)ϕ(t). (32) Näin tullaan saamaan vain pieni osajoukko kaikkien ratkaisujen joukosta. Myöhemmin kuitenkin nähdään, että tämä osajoukko osoittautuu erittäin tärkeäksi. Sijoittamalla tulomuotoinen yrite Schrödingerin yhtälöön ja jakamalla yhtälö yritteellä, saadaan h2 1 d 2 ψ 2m ψ dx 2 + ˆV = i h ϕ ϕ. (33) Koska ψ on vain paikan funktio ja ϕ vain ajan funktio, täytyy yllä olevan yhtälön molempien puolien olla riippumattomia sekä ajasta että paikasta. Toisin sanoen molempien yhtälöiden ovat vakioita. Merkitään jatkossa tätä vakiota symbolilla E (syy tähän selviää hetken päästä). Näin olemme saaneet muunnettua osittaisdifferentiaaliyhtälön kahdeksi tavalliseksi differentiaaliyhtälöksi dϕ dt = iē h ϕ (34) h2 d 2 ψ 2m dx 2 + ˆV ψ = Eψ. (35) Nähdään, että ajasta riippuva osa ϕ aaltofunktiosta ratkeaa helposti: φ(t) = e iet/ h, (36) 10

missä mahdollinen integrointivakio on ajeteltu sisällytetyksi funktioon ψ. Yhtälöä (35) kutsutaan ajasta riippumattomaksi Schrödingerin yhtälöksi. Jatkossa tullaan huomaamaan, että ajasta riippumattomalla Schrödingerin yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja (ψ 1 (x), ψ 2 (x),...) ja jokaisella ratkaisulla on oma symboli E (E 1, E 2,...). Aina kun potentiaali on ajasta riippumaton päädytään siis tähän tilanteeseen; aikariippuvuus ratkeaa yksinkertaisesti yllä esitetyllä tavalla, ja paikkariippuvuus joudutaan etsimään tapauskohtaisesti, potentiaalista riippuen, ajasta riippumattomasta Schrödingerin yhtälöstä. Tässä kurssissa ratkaistaan vain ongelmia, joissa potentiaali ei riipu ajasta. 3.1 Stationaariset tilat Mitä näissä tulomuotoisissa tiloissa (32) on sitten niin erikoista? Osoitetaan seuraavassa ensin, että ne ovat ns. stationaarisia tiloja. Tarkastellaan siis Schrödingerin yhtälön ratkaisuja Ψ(x, t) = ψ(x)e iet/ h. (37) Tästä laskettu todennäköisyystiheys on Ψ(x, t) 2 = ψ(x) 2, (38) mikä ei riipu ajasta. Sama tapahtuu, kun lasketaan mitä tahansa dynaamista muuttujaa vastaavan operaattorin ˆQ(ˆx, ˆp) odotusarvo: ˆQ(ˆx, ˆp) = ( ψ ˆQ x, h ) d ψdx. (39) i dx Erityisesti, ˆx on ajasta riippumaton ja siten ˆp = 0. Tiloissa (37) ei siis tapahdu mitään, ne ovat stationaarisia. Stationaaristen tilojen energia Osoittautuu myös, että stationaarisilla tiloilla on tarkasti määrätty kokonaisenergia. Klassisessa fysiikassa systeemin kokonaisenergia saadaan Hamiltonin funktiosta H(x, p) = p2 + V (x). (40) 2m Korrespondessiperiaatteen mukaisesti systeemin kvanttimekaaninen Hamiltonin operaattori saadaan korvaamalla x ja p vastaavilla operaattoreilla: 2 Ĥ = h2 2m x 2 + ˆV (x). (41) Siten ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon 16 Tämän avulla voidaan laskea Ĥψ = Eψ. (42) Ĥ = E, (43) Ĥ2 = E 2. (44) Siten Hamiltonin operaattorin varianssi stationaarisessa tilassa on σ H = H 2 H = 0. (45) Tämä tarkoittaa sitä, että jakauman leveys on nolla, eli toisin sanoen jokainen energian mittaus antaa saman tuloksen E (siksi myöskin valittiin nimenomaan E kuvaamaan vakiota, joka esiteltiin muutujien erottamisen yhteydessä). Yleinen ratkaisu Voidaan osoittaa, että ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön yleinen ratkaisu Ψ(x, t) voidaan esittää stationaaristen tilojen (37) lineaarikombinaationa Ψ(x, t) = c n ψ n (x)e ient/ h. (46) n=1 Yllä olevan tulos perustuu siihen että Schrödingerin yhtälö on lineaarinen differentiaaliyhtälö. Ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön ratkaisemiseksi riittää siis ratkaista stationaariset tilat ψ n ja niitä vastaavat energiat E n ajasta riippumattomasta Schrödingerin yhtälöstä, sekä etsiä sellaiset kertoimet c n, jotka toteuttavat tarkasteltavan ongelman alkuehdot: Ψ(x, 0) = c n ψ n (x). (47) n=1 16 Tätä kutsutaan operaattorin Ĥ ns. ominaisarvoyhtälöksi. Ominaisarvoyhtälöt ovat tärkeässä osassa kvanttimekaniikassa, ja niihin palataan myöhemmin myös tässä kurssissa. 11

on voimassa. Yllä oleva on (toivon mukaan) tuttu harmoonisen värähtelijän differentiaaliyhtälö, jonka yleinen ratkaisu on muotoa 17 ψ(x) = A sin kx + B cos kx, (50) missä A ja B ovat mielivaltaisia vakioita, jotka tavallisesti määräytyvät ongelman reuna-arvoista. Tavallisesti sekä ψ että dψ/dx ovat jatkuvia, mutta äärettömän potentiaalin tapauksessa on derivaatan jatkuvuudesta luovuttava 18. Joka tapauksessa aaltofunktion ψ jatkuvuudesta seuraa, että Kuva 4: Ääretön potentiaalikuoppa Huomaa, että vaikka yleinen ratkaisu on kehitetty stationaaristen tilojen avulla, ei se itsessään välttämättä ole stationaarinen (harjoitus). 3.2 Ääretön potentiaalikuoppa Harjoitellaan Schrödingerin yhtälön ratkaisemista yksinkertaisilla, idealisoiduilla potentiaaleilla. Kaikkein intuitiivisin ensimmäinen valinta olisi V = 0, eli tilanne jossa hiukkanen ei vuorovaikuta minkään ulkopuolisen systeemin kanssa. Valitaan kuitenkin yksinkertaisuuden vuoksi ensimmäiseksi esimerkiksi tilanne, jossa hiukkanen on vapaa, mutta vain rajoitetulla avaruuden alueella. Sanotaan, että hiukkanen on äärettömässä potentiaalikuopassa, jonka potentiaalienergia on muotoa { 0, jos 0 x a V (x) = (48), muulloin Yllä a on potentiaalikuopan leveys. Selkeästi potentiaali on ajasta riippumaton, joten edellisen kappaleen nojalla riittää tutkia ajasta riippumatonta Schrödingerin yhtälöä. Kuopan ulkopuolella täytyy selkeästi olla ψ(x) = 0, koska potentiaali siellä on ääretön. Kuopan sisällä V (x) = 0, joten Schrödingerin yhtälö (35) voidaan kirjoittaa muotoon d 2 ψ dx 2 = k2 ψ, (49) missä k = 2mE/ h. Harjoituksissa osoitetaan, että yleisesti E minv (x), joten yllä tehty oletus E 0 ψ(0) = ψ(a) = 0. (51) Ensimmäisestä reuna-arvosta seuraa, että B = 0 ja ψ(x) = A sin kx. (52) Toisella reunalla täytyy siis olla ψ(a) = A sin ka. Nyt ei kuitenkaan voi olla A = 0, sillä silloin saadaan triviaali ratkaisu ψ(x) = 0, joka ei ole edes normalisoituva. Täytyy siis olla sin ka = 0, eli toisin sanoen 19 Nähdään siis, että vain arvot ka = π, 2π, 3π,... (53) k n = nπ, missä n = 1, 2, 3,... (54) a ovat sallittuja. Eli, reuna-arvo ei määrääkään vakiota A vaan sallitut vakion k arvot! Luvun k määritelmästä seuraa, että myöskään energia E ei voi saada mielivaltaisia arvoja. Sallitut energiat ovat muotoa E n = n2 π 2 h 2 2ma 2, (55) eli energia on kvantittunut. Amplitudi A määräytyy normalisoinnista 20 : a 0 A 2 sin 2 (kx)dx = A 2 a 2 = 1 A 2 = 2 a. (56) 17 Palauta differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät mieleen, joko harjoituksesta 1, tai differentiaalilaskennan kurssista. 18 Toivottavasti ehdimme perustella tämän yleisen ominaisuuden myöhemmin. 19 Mieti miksi voimme hylätä ratkaisut k 0! 20 Huomaa, että voimme määrätä vain suuruden emme vaihetta. Yleensä valitaan A positiiviseksi reaaliluvuksi. Näin voidaan tehdä, koska vaiheella ei ole fysikaalista merkitystä. 12

ψ n (x) n=1 n=2 0 a n=3 x esittää niiden lineaarikombinaationa 21 f(x) = c n ψ n (x) = n=1 2 a n=1 ( ) nπ c n sin a x. (60) Kertoimet c n saadaan laskemalla c n = ψn(x)f(x)dx. (61) Kuva 5: Kolme alinta äärettömän potentiaalikuopan stationaarista tilaa Potentiaalikuopan sisällä Schrödingerin yhtälön ratkaisut ovat siis 2 ψ n (x) = a sin ( nπ a x). (57) Saimme siis äärettömän määrän ratkaisuja, jotka muistuttavat kitaran kieleen muodostuvia seisovia aaltoja, ja joilla jokaisella on oma energiansa. Energiat kasvavat kuin n 2. Alinta energiatilaa kutsutaan perustilaksi (ground state) ja ylempiä tiloja viritystiloiksi (excited states). Äärettömän potentiaalikuopan kaikkien stationaaristen tilojen joukolla {ψ n (x) n = 1, 2,...} on monta tärkeää ominaisuutta: Tilat ovat joko parillisia (ψ 2n+1 ) tai parittomia (ψ 2n ) kuopan keskipisteen suhteen. Tilan ψ n järjestysluku kertoo aaltofunktion nollakohtien määrän (= n 1). Tilat ovat ortogonaalisia, eli ψ m(x)ψ n (x)dx = δ nm, (58) missä δ nm = { 0, jos m n, 1, jos m = 0 (59) on symboli, jota kutsutaan Kroneckerin deltaksi (harjoitus). Stationaaristen tilojen joukko on täydellinen, eli mikä tahansa muu funktio f(x) voidaan Nämä neljä ominaisuutta eivät rajoitu pelkästään äärettömän potentiaalikuopan ratkaisuihin, vaan pätevät hyvin yleiselle joukolle potentiaaleja. Ensimmäinen ominaisuus on voimassa aina kun potentiaali on symmetrinen funktio (harjoitus). Toinen ominaisuus on voimassa kaikille potentiaaleille. Ortogonaalisuusehtoon palataan myöhemmin. Stationaaristen tilojen täydellisyys oletetaan käytännössä aina, mutta todistukset ovat usein työläitä. Stationaaristen tilojen aikakehitys on muotoa ( ) 2 nπ Ψ n (x, t) = a sin a x e i(n2 π 2 h/2ma 2 )t. (62) Siten ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön yleinen ratkaisu on muotoa Ψ(x, t) = ( 2 nπ c n )e a sin a x i(n2 π 2 h/2ma 2 )t. n=1 Kertoimet c n määräytyvät alkuehdosta laskemalla c n = Ψ(x, 0) = 2 a a 0 (63) c n ψ n (x) (64) n=1 ( ) nπ sin a x Ψ(x, 0)dx. (65) Esimerkki: Oletetaan, että hiukkanen on hetkellä t = 0 äärettömässä potentiaalikuopassa tilassa Ψ(x, 0) = Ax(a x), (66) 21 Tämä ei ole mitään muuta kuin mielivaltaisen funktion f(x) Fourier-sarja. Tulosta kutsutaan Dirichlet n teoreemaksi. 13

missä A on vakio. Etsitään seuraavassa Ψ(x, t). Ensin täytyy etsiä A normalisoimalla Ψ(x, 0): a 1 = Ψ(x, 0) 2 dx = A 2 a5 30 30 A = a 5. (67) 0 Sitten lasketaan kertoimet c n osittaisintegroimalla: 2 a ( ) nπ 30 c n = sin a a x x(a x)dx (68) a5 Siten Ψ(x, t) = 0 { =... = 30 a 0, n parillinen, 8 15/(nπ) 3 n pariton. (69) ( ) 3 2 (70) π i=1,3,5,... ( ) 1 nπ n 3 sin a x e in2 π 2 ht/2a 2. Luku c n 2 antaa todennäköisyyden sille, että energian mittaus antaa tuloksen E n. Aaltofunktion normalisointiehdosta seuraa luonnollinen tulos: c n 2 = 1. (71) n=1 Vastaavasti voidaan osoittaa, että Ĥ = c n 2 E n. (72) n=1 Toisin sanoen, kokonaisenergian odotusarvo ei riipu ajasta. Tämä on kvanttimekaninen versio energian säilymislaista. 22 3.3 Harmooninen värähtelijä Fysikaalisesti erittäin tärkeä esimerkki yksiulotteisesta potentiaalista on harmooninen värähtelijä. Tyyppiesimerkki koostuu massasta m joka on kiinnitetty jouseen, jonka jousivakio on k. Tällöin tasapainosta matkan x verran poikkeutettu massa-jousi - systeemi kokee palauttavan voiman, joka on Hooken 22 Huomaa, että energia on ennalta määrätty vain stationaarisessa tilassa. Yleisen superposition energiamittaus voidaan ennustaa vain todennäköisyyksien c n 2 avulla. lain muotoa: m d2 x = kx. (73) dt2 Kuten aikaisemmin totesimme (ja harjoituksissa osoitamme), tämän differentiaaliyhtälön ratkaisut ovat muotoa x(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt), (74) missä ω = k/m on värähtelijän luonnollinen (kulma-) värähtelytaajuus. Koska F = dv/dx, niin potentiaalienergian V (x) täytyy olla muotoa V (x) = 1 2 kx2. (75) Harmoonisen värähtelijän potentiaalin käytännöllisyys ei rajoitu pelkästään jousiin. Tasapainossa minkä tahansa hiukkasen potentiaalienergia on (paikallisessa) minimissä 23. Jos hiukkasta poikkeutetaan vähän tasapaino pisteestään x 0, matkan x x 0 verran, sen potentiaalienergiaa voidaan approksimoida Taylorin kehitelmällä: V (x) = V (x 0 )+V (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 V (x 0 )(x x 0 ) 2 +. (76) Yllä hylkäämme vakion V (x 0 ), koska se asettaa vain energian vertailutason. Myöskin V (x 0 ) = 0, sillä x 0 on potentiaalin minimikohta. Siten, jos poikkeamat (x x 0 ) ovat pieniä, voimme hylätä toista kertalukua korkeammat termit ja saamme V (x) 1 2 V (x 0 )(x x 0 ) 2. (77) Siten, jos merkitään k = V (x 0 ), näemme että käytännössä mikä tahansa pieniamplitudista värähtelyä potentiaalin minimin ympäristössä voidaan approksimoida yksinkertaisella harmoonisen värähtelijän potentiaalilla. Kvanttimekaniikkaan siirryttäessä kirjoitetaan yleensä V (x) = 1 2 mω2 x 2, (78) 23 Tarkasti ottaen hiukkanen asettuu sellaiseen paikkaan x 0, jossa dv/dx = 0, eli potentiaalienergian ääriarvokohtaan. Toisin sanoen, potentiaalin maksimikohdassakin voi olla tasapainopiste, mutta sellainen on hyvin epästabiili. 14

eli korvataan jousivakio värähtelytaajuudella. Siten saadaan ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö muotoon h2 d 2 ψ 2m dx 2 + 1 2 mω2 x 2 = Eψ. (79) Tämän yhtälön ratkaisemiseksi on kaksi usein käytettyä vaihtoehtoa: algebrallinen ja Frobeniuksen menetelmät. Algebrallinen ratkaisu on yksinkertainen mutta erittäin abstrakti, jonka vuoksi sen käsittely jätetään Kvanttimekaniikka II -kurssiin. Käydään tässä läpi Frobeniuksen menetelmä, joka käyttää hyväksi potenssisarjoja 24. Frobeniuksen menetelmä Kirjoitetaan ensin Schrödingerin yhtälö yksiköttömään muotoon valitsemalla uudeksi paikkamuuttujaksi (harjoitus) ξ = mω x. (80) h Tällöin Schrödingerin yhtälö on muotoa d 2 ψ dξ 2 = (ξ2 K)ψ, (81) missä K on energia yksiköissä hω/2: K = 2E hω. (82) Tarkastellaan ensin asymptoottista rajaa (x todella suuri). Tällöin ξ 2 on paljon isompi kuin K, ja Schrödingerin yhtälöä voidaan approksimoida d 2 ψ dξ 2 = ξ2 ψ. (83) Tällä on approksimativiinen ratkaisu: ψ(ξ) = Ae ξ2 /2 + Be ξ2 /2. (84) 24 Tämä menetelmä on matemaattisesti hieman työläs. Ei kannata kuitenkaan antaa sen lannistaa, tärkeintä tässä vaiheessa on oppia Frobeniuksen menetelmän perusidea, ja erityisesti lopputulokset ja mitä ne merkitsevät. Jälkimmäinen termi ei ole fysikaalinen, koska se ei ole normalisoituva. Siten nähdään, että kaukana tasapainosta, aaltofunktio on verrannollinen funktioon e ξ2 /2. Tehdään sitten sellainen yrite Schrödingerin yhtälön yleiselle ratkaisulle, jolla on tämä asymptoottinen ominaisuus 25 ψ(ξ) = h(ξ)e ξ2 /2. (85) Sijoittamalla tämä Schrödingerin yhtälöön, saadaan differentiaaliyhtälö funktiolle h(ξ): d 2 h dh 2ξ + (K 1)h = 0. (86) dξ2 dξ Tätä yhtälöä kutsutaan Hermiten yhtälöksi ja sen ratkaisuja Hermiten polynomeiksi 26. Käydään seuraavassa läpi miten ratkaisu saadaan aikaiseksi. Jos voidaan olettaa, että h(ξ) on riittävän hyvin käyttäytyvä funktio, niin tällöin se voidaan kirjoittaa potenssisarjamuotoon h(ξ) = a 0 + a 1 ξ + a 2 ξ 2 + = a j ξ j. (87) j=0 Potenssisarjamuotoisen yritteen käyttämistä differentiaaliyhtälön ratkaisemisessa kutsutaan Frobeniuksen menetelmäksi. Derivoimalla yllä olevaa potenssisarjaa voidaan Hermiten yhtälö kirjoittaa muotoon [ ] (j+1)(j+2)aj+2 2ja j +(K+1)a j ξ j = 0. (88) j=0 Jotta tämä olisi voimassa kaikilla muuttujan ξ arvoilla, täytyy jokaisen potenssin ξ j kertoimen olla identtisesti nolla: (j + 1)(j + 2)a j+2 2ja j + (K + 1)a j = 0, (89) 25 Huomaa, että vaikka asymptoottinen käyttäytyminen kaivettiin vain approksimatiivisesti, tästä eteenpäin ratkaisu etenee eksaktisti. Toive on, että asymptoottisen osan erottaminen helpottaa jäljelle jäävän osan ratkaisemista. Tämä on yleinen tapa, kun etsitään potenssisarjamuotoista ratkaisua differentiaaliyhtälölle. 26 On erittäin hämmästyttävää, että Hermiten 1800-luvulla matemaattisesti tutkimat yhtälöt löytävät sovelluksia 2000- luvun kvanttimekaniikasta. 15

ja siten a j+2 = (2j + 1 K) (j + 1)(j + 2) a j. (90) Nähdään siis, että potenssisarjaesityksessä Schrödingerin yhtälö muuntuu rekursioyhtälöksi. Lisäksi kaikki parilliset termit a 2n voidaan lausua kertoimen a 0 avulla, ja vastaavasti parittomat termit kertoimen a 1 avulla. Siten koko ratkaisu voidaan kirjoittaa parillisten (even) ja parittomien (odd) funktioiden summana: missä funktiot h(ξ) = h e (ξ) + h o (ξ), (91) h e (ξ) = a 0 + a 2 ξ 2 + a 4 ξ 4 + (92) h o (ξ) = a 1 ξ + a 3 ξ 3 + a 5 ξ 5 + (93) ovat yksikäsitteisesti määriteltyjä, kun a 0 ja a 1 tunnetaan 27. Näin saadut ratkaisut eivät kuitenkaan kaikki ole normalisoituvia. Nimittäin, suurilla indeksin j arvoilla saadaan a j+2 2 j a j a j = C (j/2)!, (94) missä C on jokin vakio. Siten suurilla muuttujan ξ arvoilla h e/o (ξ) C 1 (j/2)! ξj C ξ 2j = Ce ξ2, j! j=e tai o j (95) missä ensimmäisessä summauksessa summataan joko yli parillisten tai parittomien indeksin j arvojen. Siten ψ(ξ) e ξ2 /2 kun ξ, (96) mikä on juuri se muoto jota emme ratkaisulta halunneet! 28 Ainoa keino kiertää tämä ongelma on, että vaaditaan, että funktion h potenssisarjaesitys katkeaa jollain indeksin j arvolla (merkitään sitä luvulla n) siten, että a n+2 = 0. Jos n on parillinen niin 27 Vastaavasti, toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön (mitä Schrödingerin yhtälöllä yleisesti tarkoitetaan) ratkaisut ovat yksikäsitteisiä, jos meillä on esim. kaksi alkuarvoa. 28 Luonnollisesti Frobeniuksen menetelmä tuottaa myös ei-fysikaaliset ratkaisut, sillä normalisointiehto ei sisälly Schrödingerin yhtälöön. sarja h e katkeaa, ja jos n on pariton niin sarja h o katkeaa. Lisäksi täytyy vaatia, että a 1 = 0, jos n on parillinen ja a 0 = 0 jos n on pariton. Fysikaalisesti hyväksyttävät (siis normalisoituvat) ratkaisut ovat siis äärellisiä (joko parillisia tai parittomia) potenssisarjoja, eli polynomeja. Lisäksi katkaisuehdosta (a n+2 = 0) seuraa, että ( K = 2n + 1 E n = n + 1 ) hω, (97) 2 missä n = 1, 2,.... Yleisesti ottaen harmoonisen värähtelijän Schrödingerin yhtälöllä on kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua mielivaltaisella energian E arvolla. Vaatimus aaltofunktion normalisoituvuudesta rajoittaa siis fysikaalisesti sallittujen ratkaisujen määrää huimasti! Yllä saimme siis, että harmoonisen värähtelijän aaltofunktiot ovat joko parillisia tai parittomia polynomeja. Muodostetaan näistä pari ensimmäistä. Jos n = 0, niin täytyy valita a 1 = 0: h 0 (ξ) = a 0 ψ 0 (ξ) = a 0 e ξ2 /2. (98) Kun n = 1 ja a 0 = 0 (huomaa että jokaiselle luvun n arvolle on oma kertoimien a i joukko), niin saadaan: h 1 (ξ) = a 1 ξ ψ 1 (ξ) = a 1 ξe ξ2 /2. (99) Kun n = 2, saadaan a 2 = 2a 0 ja a 4 = 0, joten h 2 (ξ) = a 0 (1 2ξ 2 ) ψ 2 (ξ) = a 0 (1 2ξ 2 )e ξ2 /2, (100) ja niin edelleen. Funktiot h n (ξ) ovat siis kertalukua n olevia polynomeja, jotka sisältävät vain joko pelkästään parillisia (n parillinen) tai parittomia (n pariton) muuttujan ξ potensseja. Tavallisesti kerroin a 0 määritellään siten, että korkeimman potenssin kerroin on 2 n, jolloin polynomeja voidaan kutsua Hermiten polynomeksi, ja merkitä h n (ξ) = H n (ξ). Tämä valinta kiinnittää myös stationaaristen tilojen normalisoinnin: ψ n (ξ) = ( mω π h ) 1/4 1 2n n! H n(ξ)e ξ2 /2. (101) Listataan vielä lopuksi kuusi ensimmäistä Hermiten polynomia: H 0 = 1, (102) 16