GAUIN LAKI IÄLTÖ: Gaussin lain integaalimuoto Gaussin lain diffeentiaalimuoto Menetelmän valinta sähkökentän laskemisessa ähkökentän voivat aiheuttaa vaaukset tai muuttuva magneettikenttä. Tässä kappaleessa keskitytään vaauksien aiheuttaman sähkökentän laskemiseen. Muuttuvan magneettikentän aiheuttaman sähkökentän laskemiseen peehdytään kappaleessa ähkömagneettinen induktio. sittelemme tässä kappaleessa Gaussin lain. Tästä laista voi valita integaalimuodon tai diffeentiaalimuodon. Yleensä opiskelijat pitävät ensiksi mainittua havainnollisempana. Muita sähkökentän laskemismenetelmiä ovat muun muassa potentiaalin gadientti ja kuvalähdepeiaate. Niistä puhutaan myöhemmin. Gaussin lain integaalimuoto Gaussin lakia voidaan käyttää sähkökentän laskemiseen tietyissä symmetisissä tapauksissa. Myöhemmin keotaan lisää siitä, milloin Gaussin lakia kannattaa käyttää ja milloin sitä ei voi käyttää. Gaussin lain integaalimuoto on d sis. Tämä on sähkömagnetiikan täkeimpiä yhtälöitä ja tätä kannattaa ehdottomasti opetella käyttämään. Mitä tämä Gaussin lain integaalimuoto sitten takoittaa? iinä on ilmaistu suljetun pinnan läpäisevä sähkökentän vuo kahdella tavalla. ähkökentän vuo ähkökentän vuon ymmätää ehkä havainnollisimmin kenttäviivojen avulla. Tuomo Nygénin laatimasta kussin 76619A ähkömagnetismi monisteesta löytyi seuaava kuvaus kenttäviivoista:
Voidaan ajatella, että sähkökentän vuo on kenttäviivojen lukumäää tai ainakin veannollinen siihen. iellä, missä kenttäviivoja on paljon, vuota on paljon ja päinvastoin. Jos kenttäviivoja on tiheässä, pienenkin pinta-alan läpi menee suui vuo, mutta havojen kenttäviivojen alueella isokaan pinta-ala ei keää suuta vuota. Jos sinulla on silmukka, jonka läpi haluat saada menemään mahdollisimman paljon vuota, sinun kannattaa asettaa silmukka kohtisuoaan kenttäviivoja vastaan. Tieteellisempi esitys sähkökentän vuolle on: d, missä d on pinta-alkiovektoi. Pintaalkiovektoi on kohtisuoassa pintaa vastaan ja sen itseisavo on pinta-alkion d suuuinen yksikkönä neliömeti. Kahden vektoin pistetulo voidaan tunnetusti saattaa muotoon d d cos, missä ψ on vektoin ja vektoin d välinen kulma. Katso kuva! ψ Jos sähkökenttä on vakio pinnalla, vuon lausekkeeksi tulee yksinketaisesti Nyt voidaan päätellä, että pistevaauksen lähettämä kokonaisvuo on: 1 4 4 Pistevaaushan lähettää joka suuntaan yhtä paljon vuota, eli sähkökenttä on vakio sen -säteisen pallon pinnalla, jonka keskipisteessä pistevaaus on. Kaikki pistevaauksen lähettämä vuo menee tietysti umpinaisen, pistevaausta ympäöivän pallon läpi. Pallon pinta-ala on 4π. Voidaan esittää yleisesti: Vaaus, jonka suuuus on, lähettää ympäilleen sähkökentän vuon /ε olipa vaauksen muoto millainen tahansa.
Tätäkin asiaa on helpompi käsitellä kenttäviivojen avulla. ähköinen vaaus aiheuttaa sähkökentän. ähkökenttää voidaan kuvata kenttäviivojen avulla. Tietystä määästä vaausta lähtee tietty määä kenttäviivoja. Jos vaauksen ympäille asetetaan suljettu pinta, nämä kenttäviivat lävistävät pinnan ainakin kean. d d d Jos suljetun pinnan muoto on sellainen, että kenttäviivat kulkevat sen lävitse useamman kean, esimekiksi n ketaa, sisällä olevalle vaaukselle n on paiton ja ulkopuolella oleville paillinen. Ulos meneville viivoille tulo ds on positiivinen positiiviselle vaaukselle ja sisään meneville negatiivinen. Näin ulkopuolella oleville vaauksille tulojen ds summa tulee nollaksi ja sisäpuolella oleville kyseisten tulojen summa on d s. simekki 6: Ohuesta langasta tehdään suoakaiteen muotoinen silmukka, jonka pituus on a ja leveys b. ilmukka asetetaan sähkökenttään, jonka voimakkuus on, siten että sähkökentän voimaviivat ja silmukan taso muodostavat kulman θ. Mikä sähkökentän vuo menee silmukan läpi, kun a = 1 cm, b = 5, cm, θ = 7 o ja = 4 V/m? θ
atkaisu: ähkökentän vuo määitellään: d, missä d on pinta-alkiovektoi. Pistetulo voidaan saattaa muotoon d d cos, missä ψ on vektoin ja vektoin d välinen kulma, tässä tapauksessa 9 o θ = 5 o. ähkökentän vuo on nyt: d d cos Koska sähkökenttä ja kulma ψ ovat vakioita, ja cosψ voidaan ottaa integaalimekin eteen ja sähkökentän vuo saadaan laskettua: V d cos cos d cos ab 4 cos 5 m.1m.5m 1Vm 1Nm / C Integaali d takoitti tässä yksinketaisesti silmukan pinta-alaa = ab. ψ θ simekki 7: Minkä sähkökentän vuon pistevaaus = + 1, μc aiheuttaa 1, metin päässä olevan pinnan A läpi maksimissaan? Pinta A on euon kolikon suuuinen. atkaisu: Pistevaauksen ympäilleen lähettämän sähkökentän vuo on. Tämä vuo jakaantuu tasaisesti kaikkiin suuntiin. Mitä kauemmaksi siiytään, sitä pienemmäksi vuon tiheys menee. Kymmenen metin etäisyydellä kyseinen vuo on jakaantunut pinta-alalle 4 4 1m. uon.m kolikon halkaisija on noin mm ja pinta-ala d. Maksimivuo saadaan menemään pinnan läpi, kun kolikko asetetaan kohtisuoaan tulevaa vuota vastaan, sillä tällöin pistetulo on suuin mahdollinen: d
d Koska vuo menee tasaisesti pinta-alaan 4 1m., pinta-alaan m vuosta menee osuus.m 6 4 1m 1, 1 C,m 16 8,854 1 1m 1 C Nm Nm,7 C,7Vm Kun teet yksikkötakastelua, muista että J = Nm = VC. Tässä laskussa on ajateltu, että 1 metin etäisyydellä pistevaauksesta sähkökentän voimaviivat ovat lähes yhdensuuntaiset, jolloin d ds. simekki 8: inulla on epämäääisen muotoinen muovikappale, jonka kokonaisvaaus on. Laitat muovikappaleen jätesäkkiin ja suljet säkin suun tiukasti. Mikä sähkökentän kokonaisvuo menee jätesäkistä läpi. atkaisu: ähköisesti vaattu muovikappale aiheuttaa ympäilleen vuon /ε. Koko tämä vuo tulee jätesäkin pinnan läpi. Jos jätesäkin pinta on utussa, vuo voi mennä jätesäkin läpi useita ketoja, mutta yhteenlaskettu kokonaisvuo on kuitenkin tuo /ε.
uljetun pinnan sisään jäävän kokonaisvaauksen laskeminen Vaaus voi olla jakautunut tasaisesti aineeseen eli vaausjakauma on silloin vakio. Tällöin vaaustiheys aineessa tilavuus V on V Vastaavasti jos pinnalle on jakautunut tasaisesti vaaus, on pinta-vaaustiheys eli vaauskate: ähköopissa käytetään myös käsitettä vaaus pituusyksikköä kohden. Tätä sanotaan joskus viivavaaukseksi: L Vaaustiheyksiä laskettaessa tavitaan pallon pinta-alan lauseketta 4 ja pallon tilavuuden 4 lauseketta. Tentissä oletetaan, että opiskelija joko osaa nämä ulkoa tai osaa johtaa nämä. Jos vaaustiheys aineessa ei ole vakio, vaan noudattaa jotain tunnettua yhtälöä, kokonaisvaaus saadaan integoimalla. simekiksi kokonaisvaaus tilavuudessa V, jossa on paikasta iippuva vaaustiheys ρ, lasketaan seuaavasti dv Pinnalla, jossa on vaaustiheys σ, lasketaan: V d Pinta- ja tilavuusalkioita ei koodinaatistoissa on kappaleessa Laskemisen avuksi. Kyseinen kappale on linkissä: http://cc.oulu.fi/~hpulkkin/soveltava/lisamatsku_1_laskemisen_avuksi.pdf simekki 9: Pitkässä langassa on vaaustiheys pituusyksikköä kohden λ =,. 1-6 C/m. Kuinka suui vaaus on tämän langan osassa, joka on metin pituinen? atkaisu: = λl =,. 1-6 C/m. 1 m =,. 1-6 C
simekki 1: Vaaus on jakautunut tasaisesti -säteiseen umpinaiseen palloon. Mikä on pallon vaaustiheys? Kuinka paljon vaausta on tämän pallon pintakeoksessa, joka on D:n paksuinen? atkaisu: Vaaustiheys on vakio eli vaaus on jakaantunut tasaisesti pallon tilavuuteen, joka on 4 V Vaaustiheys on silloin: 4 4 V D:n paksuisen pallokuoen tilavuus on: ] [ 4 4 4 ' D D V Kyseisessä pallokuoessa on vaaus: ] [ ] [ 4 4 ' ' D D V simekki 11: Ympyänmuotoisessa -säteisessä levyssä vaaus pintayksikköä kohden vaauskate iippuu säteestä seuaavan yhtälön mukaisesti: 1 Mikä on koko levyn vaaus? D
atkaisu: Käytetään yhtälöä: s d s = kokonaispintavaaus ympyälevyllä d = pinta-alkio Pinta-alkio sylinteikoodinaatistossa sylintein kannessa on kappaleen Laskemisen avuksi mukaan dd d. ijoitamme integaaliin vaauskatteen ja pinta-alkion: 6 / 1 1 d d d d d d d s Voidaan käyttää myös sellaista pinta-alkiota, jossa on vain yksi muuttuja. Otetaan pinta-alkioksi ympyäengas, jonka säde on ja leveys säteen suunnassa d. Tällaisen ympyäenkaan ala on kehän pituus ketaa leveys, koska engas on hyvin ohut. iis pinta-alkio tässä tapauksessa on d = π d. Pinta-alkio on mekitty kuvaan mustalla. Fyysikot käyttävät paljon tällaisia yhden muuttujan pinta-alkioita. Kun integoidaan yli koko ympyälevyn, saadaan kokonaisvaaus: 6 / 1 d d d s d
Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Kun yhdistetään kahdella tavalla esitetty sähkökentän vuo, saadaan Gaussin laki: d sis Gaussin laki peustuu siihen, että suljetun pinnan läpi kulkeva sähkökentän vuo on veannollinen tämän suljetun pinnan sisälle jäävän vaauksen määään. Näin on iippumatta pinnan muodosta ja vaausjakauman muodosta. Gaussin lakia ei kuitenkaan voi käyttää sähkökentän laskemiseen kuin tietyissä symmetisissä tapauksissa. Laskuvinkkejä: Mieti ensin, voiko kyseisessä tehtävässä käyttää Gaussin lakia vai pitääkö vaaus paloitella pieniksi vaausalkioiksi ja sen jälkeen integoida. Katso kappale Menetelmän valinta sähkökenttiä laskettaessa. Piiä vaauksista lähtevät kenttäviivat. dellä keottiin kenttäviivojen ominaisuuksista. Lisää tietoa saat sähkökentän suunnista, kun laskemme sähkökenttiä paloittelumenetelmällä. Valitse sitten Gaussin suljettu pinta. e on yleensä näissä laskuissa joko pallo tai sylintei. Pistevaauksille, palloille ja pallokuoille valitaan pallon muotoinen Gaussin pinta. Pitkille langoille, sylinteeille, sylinteikuoille valitaan sylintein muotoinen Gaussin pinta, joka asetetaan langan tai sylintein suuntaisesti. Tasoille ja tasomaisille ajapinnoille voidaan käyttää myös sylinteiä, mutta nyt sylintei asetetaan kohtisuoaan tasoa vastaan siten, että se kulkee tason läpi. Katso jäljempänä oleva kuva! Pallon muotoinen Gaussin pinta piietään siten, että pinta on siinä kohdassa, missä sähkökenttä halutaan laskea. ylintein muotoinen Gaussin pinta piietään siten, että joko kansi tai vaippa iippuu tapauksesta on siinä kohdassa, missä sähkökenttä pitää laskea. tsi ne kohdat, missä Gaussin pinta ja kenttäviivat ovat yhdensuuntaiset. iellä tulo nolla. ds on tsi seuaavaksi ne kohdat, joissa Gaussin pinta ja kenttäviivat ovat kotisuoassa toisiaan vastaan. iellä ds voidaan kijoittaa ds. Jos Gaussin pinta on oikein valittu, yleensä edellisen kohdan pinnalla sähkökenttä on vakio, jolloin voidaan ottaa integaalimekin eteen. Nyt d on pelkkä pinta-ala niille alueille, joilla Gaussin pinta ja kenttäviivat ovat kohtisuoassa. Huomaa, että nyt ei enää ole välttämättä kyseessä suljettu pinta, jolle mekittäisiin d Laske seuaavaksi Gaussin lain oikea puoli eli määitä suljetun pinnan sisään jäävät vaaukset I. Jos vaausjakauma ei ole vakio, integoidaan. Mekitse yhtä suuiksi se, minkä sait Gaussin lain vasemmalta puolelta ja se, minkä sait Gaussin lain oikealta puolelta.
atkaise yhtälöstä sähkökenttä. euaavassa on esitetty eilaisia tilanteita ja niihin sopivia Gaussin pintoja. Pallosymmetinen vaausjakauma: Gaussin pinta d ylinteisymmetinen vaausjakauma: d Gaussin pinta L
Tasomainen vaausjakauma tai ajapinta: d Gaussin pinta Täällä sähkökenttä voi olla ylöstai alaspäin tai nolla. simekki 1: -säteisessä pallossa on tasaisesti jakautuneena positiivinen vaaus. Laske sähkökenttä pallon ulkopuolella. atkaisu: Valitaan Gaussin pinnaksi pallo, jonka säde on isompi kuin. Gaussin pinta d
Positiivisesta pistevaauksesta ja positiivisesti vaatusta pallosta lähtee säteettäin ulospäin sähkökentän kenttäviivoja, jotka ovat kohtisuoassa kyseisen vaatun pallon pintaa vastaan. ähkökenttävektoi on siis kohtisuoassa myös Gaussin pallon joka on ulompana pintaa vastaan ja yhdensuuntainen pinta-alkiovektoin kanssa, josta syystä vektoeiden ja d pistetulosta tulee tavallinen skalaaitulo d. Lisäksi sähkökentän itseisavo on symmetian vuoksi vakio kyseisellä pinnalla, jolloin voidaan ottaa integaalimekin eteen. Näiden kahden ehdon peusteella saamme Gaussin lain vasemman puolen muotoon: d d d 4 Oikea puoli saadaan helposti, sillä Gaussin pinnan sisäpuolelle jäävä vaaus on sis =. Nyt saamme lopulta: 4 4 li tasaisesti vaatun pallon kenttä on sama kuin pistevaauksen kenttä. simekki 1: Ääettömän pitkässä suoassa langassa on vaaus pituusyksikköä kohden = λ. Laske sähkökenttä :n etäisyydellä langasta. Langan poikkileikkaus on ympyä, jonka säde on. atkaisu: Käytetään Gaussin lakia. Gaussin laki: d sis Nyt valitaan Gaussin pinnaksi sylintei, jonka pituus on L ja pohjan säde >. Lasketaan ensin yhtälön vasen puoli. d on pinta-alkiovektoi. en itseisavo eli suuuus on pinta-alkion d suuuinen ja sen suunta on kohtisuoaan pintaa vastaan. on sähkökenttä ja se on tällaisen ääettömän pitkän langan tapauksessa kohtisuoassa lankaa vastaan.
d d Kuvasta nähdään, että Gaussin pintana toimivan sylintein vaipalla ja d ovat yhdensuuntaisia. ylintein päissä sen sijaan ja d ovat kohtisuoassa. Miten käy pistetulon d? Kun vektoit ovat kohtisuoassa toisiaan vastaan, niiden välinen pistetulo tulee nollaksi. Näin käy sylintein päissä. Kun vektoit ovat yhdensuuntaisia, niiden välinen pistetulo tulee pelkäksi itseisavojen tuloksi eli tässä tapauksessa d:ksi. Näin käy vaipalla. L dellä on sovellettu kaavaa: A B A B cos, missä α on vektoeiden A ja B välinen kulma. Paloitellaan Gaussin lain vasen puoli: d d d d d d vaippa päät vaippa vaippa vaippa L saatiin ottaa pois integaalimekin sisältä, sillä sähkökentän itseisavo on vakio vaipan alueella, koska vaippa on vakioetäisyydellä langasta. Tällöin integaali: d vaippa kuvaa pelkkää vaipan alaa, joka on πl. Gaussin lain vasen puoli saatiin kuntoon. Nyt oikea puoli: sis takoitti Gaussin pinnan sisään jäävää vaausta. Lasketaan siis sylintein sisään jäävä vaaus. ylintein pituus on L. Langassa on vaaus pituusyksikköä kohden λ, joten sylintein sisään jää sis = Lλ. Nyt saadaan Gaussin laki muotoon: L L Kuvan olen piitänyt sillä oletuksella, että langan vaaus on positiivinen.
simekki 14: Tasaisesti vaatussa -säteisessä pallossa on vaaustiheys ρ. Laske sähkökenttä pallon sisäpuolella. atkaisu: Gaussin pinnaksi valitaan taas pallo. Gaussin lain vasemmasta puolesta tulee samanlainen kuin simekissä 7 ja samoin peustein, nyt vain on pienempi kuin. Oikealla puolella pitää laskea sis eli -säteisen pallon sisäpuolelle jäävä vaaus. e on helppoa, koska vaaustiheys on vakio: sis = ρv sis = ρ4/π Nyt Gaussin laki on saatu muotoon: 4 4
simekki 15: Pallossa, jonka säde on, on vaaustiheys 1 / Laske vaaustiheyden aiheuttama sähkökenttä kun < ja kun >. atkaisu:
simekki 16: ylinteisymmetinen vaaustiheys alueessa < on muotoa 1 /, missä ρ ja ovat vakioita ja on etäisyys symmetia-akselista. Tämän alueen ulkopuolella vaaustiheys on nolla. Laske vaaustiheyden aiheuttama sähkökenttä, kun < ja kun >. atkaisu:
simekki 17: Laaja levy, jonka paksuus on d, on asetettu xz-tason suuntaisesti symmetisesti xztasoon nähden. Katso kuva!. Levyn ulkopuolella ei ole vaausta. Laske sähkökenttä y:n funktiona, kun levyn vaaustiheys on Cy. y atkaisu: x
Gaussin lain diffeentiaalimuoto Gaussin lain integaalimuodosta voidaan johtaa Gaussin lauseen avulla diffeentiaalimuoto: Diffeentiaalimuoto on kätevä silloin, kun on laskettava sähkökenttä systeemissä, jossa vaaustiheys ei ole vakio. Näissä laskuissa tavitset divegenssiopeaattoeita ei koodinaatistoissa. uoakulmaisessa koodinaatistossa: ylinteikoodinaatistossa: Pallokoodinaatistossa: Kun systeemissä on pistevaaus tai kappale, jossa on vakiovaaustiheys, tällä menetelmällä laskeminen voi olla paljon monimutkaisempaa kuin käyttäen Gaussin lain integaalimuotoa. simekki 18: -säteisessä pallossa on tasaisesti jakautuneena positiivinen vaaus. Laske sähkökenttä pallon ulkopuolella. Käytä Gaussin lain diffeentiaalimuotoa. atkaisu: Pallon ulkopuolella vaaustiheys on nolla. Käytetään pallokoodinaatistoa: 1 1 sin 1 sin sin
Tiedämme, että sähkökentällä on ainoastaan adiaalinen komponentti eli komponentit θ ja φ ovat nollia. Yhtälö sievenee muotoon: 1 Keotaan yhtälön molemmat puolet :lla: Nyt saamme: C C * Joudumme laskemaan sähkökentän myös pallon sisäpuolella, jolloin saamme eunaehdosta atkaistua vakion C. Pallon sisällä on vaaustiheys 4 4 ijoitetaan vaaustiheys Gaussin lain diffeentiaalimuotoon: 4 sin 1 sin sin 1 1 Poistetaan yhtälöstä kulmaiippuvat komponentit: 4 1 Keotaan yhtälön molemmat puolet :lla: 4 Integoidaan: d d 4 4 4 ** ähkökentän täytyy olla jatkuva kohdassa =, jolloin *:stä ja **:stä saadaan: 4 4 C C li nyt vasta saimme sähkökentän pallon ulkopuolella: 4 C
Kokeillaan, miten edellä olevat esimekit onnistuvat Gaussin lain diffeentiaalimuodolla. Huomataan, että menetelmä on veattain kätevä tällaisissa systeemeissä. simekki 19: Pallossa, jonka säde on, on vaaustiheys 1 / Laske vaaustiheyden aiheuttama sähkökenttä kun < ja kun > käyttäen Gaussin lain diffeentiaalimuotoa. atkaisu:
simekki : ylinteisymmetinen vaaustiheys alueessa < on muotoa 1 /, missä ρ ja ovat vakioita ja on etäisyys symmetia-akselista. Tämän alueen ulkopuolella vaaustiheys on nolla. Laske vaaustiheyden aiheuttama sähkökenttä, kun < ja kun > käyttäen Gaussin lain diffeentiaalimuotoa. atkaisu:
simekki 1: Laaja levy, jonka paksuus on d, on asetettu xz-tason suuntaisesti symmetisesti xztasoon nähden. Katso kuva!. Levyn ulkopuolella ei ole vaausta. Laske sähkökenttä y:n funktiona, kun levyn vaaustiheys on Cy käyttäen Gaussin lain diffeentiaalimuotoa. y atkaisu: x
Menetelmän valinta sähkökentän laskemisessa ähkömagnetismin lisämateiaalissa on esitelty seuaavat menetelmät sähkökentän laskemiseksi: Gaussin lain integaalimuoto, Gaussin lain diffeentiaalimuoto, pistevaausten yhtälö ja jatkuvan vaauksen paloitteleminen pistevaauksiksi. Myöhemmin esitetään, miten sähkökenttä saadaan potentiaalin gadienttina ja kuvalähdepeiaate. Joskus on vaikea tietää, voiko Gaussin lain integaalimuotoa käyttää. euaavasta taulukosta voi olla apua: Vaausjakauman muoto Pistevaaus Umpinainen pallo Pallokuoi isäkkäiset pallot Pitkä umpinainen sylintei Pitkä ontto sylintei Koaksiaalikaapeli Pitkät sisäkkäiset sylinteit Pitkä suoa lanka Laaja taso Useita yhdensuuntaisia laajoja tasoja Kahden ei aineen tasomainen ajapinta Jatkuva vaausjakauma esimekiksi ilmassa tai avauudessa Lyhyt lanka Ympyälevy Ympyäengas pämäääisen muotoinen kappale Toimiva Gaussin pinta Pallo Pallo Pallo Pallo ylintei ylintei ylintei ylintei ylintei ylintei tai suoakulmainen sämiö ylintei tai suoakulmainen sämiö ylintei tai suoakulmainen sämiö ylintei tai suoakulmainen sämiö i voi käyttää Gaussin lakia i voi käyttää Gaussin lakia i voi käyttää Gaussin lakia i voi käyttää Gaussin lakia