Aluksi. Ympyrästä. Ympyrän osat. MAB2: Ympyrä 4

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Aluksi. Ympyrästä. Ympyrän osat. MAB2: Ympyrä 4"

Transkriptio

1 MAB: Ympyä 4 Aluksi Tämän luvun aihe on ympyä. Ympyä on yksi geometisista peusmuodoista ja on sinulle ennestään hyvinkin tuttu. Mutta oletko tullut ajatelleeksi, että ympyää voidaan pitää säännöllisen monikulmion ääimmäisenä eikoistapauksena? Ympyästä Ympyä voidaan määitellä tai mieltää monella tavalla. Yksi tapa on ajatella, että aloitetaan valitsemalla yksi tason piste ympyän keskipisteeksi. Sitten valitaan jana, jonka pituus on puolet aiotusta ympyän halkaisijasta. Akikielessähän ympyän kokoa kuvataan yleensä ilmoittamalla halkaisija. Jatketaan asettamalla valitun janan toinen loppupiste valittuun pisteeseen ja pidetään se siinä. Annetaan janan pyöähtää täysi kieos ympäi niin, että keskipisteessä oleva loppupiste pysyy paikoillaan ja toinen loppupiste liikkuu. Tällöin liikkuva piste piitää ympyän. Tätä menetelmää itse asiassa käytetään, kun ympyä piietään hapin avulla. Toinen tapa aloitetaan kuten ensimmäinen: valitaan ympyälle keskipiste ja halkaisija. Sitten ajatellaan, missä ne pisteet ovat, joiden etäisyys keskipisteestä on takalleen puolet valitusta halkaisijasta. Kaikki nämä pisteet ovat ympyän kehällä eikä ympyän kehällä toisaalta ole muita pisteitä. Minulta on joskus kysytty Kuuluuko kehä ympyään?. Tämä on asia, jonka ympyän piitäjä atkaisee. Äskeisten kahden määitelmän valossa ympyään ei muuta kuulukaan kuin ympyän kehä. Kysyjällä on siis mielessä lähinnä, kuuluuko ympyäviiva ympyälevyyn. Jos ympyä määitellään niin, että siinä ovat ne pisteet, jotka ovat takalleen etäisyydellä keskipisteestä tai lähempänä kuin :n etäisyydellä siitä, niin ympyään kuuluvat sekä ympyälevy että ympyäviiva. Voidaan myös määitellä, että takastellaan ympyää, jonka pisteet ovat lähempänä kuin :n päässä keskipisteestä. Tällöin ympyäviiva ei ole mukana ympyässä. Jos muuta ei nimenomaisesti sanota tai asiayhteys toisin osoita, niin tällä kussilla sana ympyä takoittaa ympyäviivaa eli ympyän kehää. Ympyän osat Luettelen ensin ne ympyän osat, jotka tavitsemme jatkossa. kehä Oheisen kuvion musta viiva on ympyän kehä. Ympyään piietty viheä jana on ympyän säde ja sininen jana on ympyän halkaisija. Halkaisija voidaan tulkita kahtena, takalleen peäkkäin olevana säteenä ja säde puolestaan halkaisijan puolikkaana. Halkaisijan molemmat päätepisteet ovat ympyän kehällä; säteen toinen päätepiste on ympyän keskipisteessä, toinen ympyän kehällä. keskipiste halkaisija säde Pieni, keltainen tähti ympyän keskellä on

2 keskipisteen paikka, mikä seikka ei liene yllätys! Kaikkiaan ympyä on edelleen se sama pyöeä, täydellinen olio, jonka olet tuntenut jo kauan. Nyt takastelemme sitä ehkä vain aiempaa takemmin. Keskipisteen symbolina käytän usein kijainta O, säteen symbolina kijainta ja halkaisijan symbolina kijainta d. Ympyän kehän symbolina käytetään usein kijainta D. Joskus vasinkin tekniikassa ympyän halkaisijaa mekitään keikkalaisella kijaimella φ eli (iso) fii. Ympyä nimetään tavallisesti keskipisteensä mukaan. Jos ympyän keskipiste on O, myös itse ympyää sanotaan ympyäksi O. Katsotaan vielä, millä ei tavoilla ympyä voidaan jakaa alueisiin. kaai α sektoi segmentti jänne Piioksen kulma α on sektoin keskuskulma. Ympyänsektoi tai vain sektoi on suljettu kuvio, jota ajoittavat kaksi ympyän sädettä ja ympyän kaaen osa eli sektoin kaai. Kaaen ajoittavat ne mainittujen säteiden käjet, jotka ovat ympyän kehällä. Piioksen vasemmassa ympyässä olevan sektoin käki on ympyän keskipisteessä. Sektoi on siis kulma, jonka käki on ympyän keskipisteessä ja jonka kylkinä on kaksi ympyän sädettä. Myös sektoin tapauksessa voidaan puhua vasemmasta ja oikeasta kyljestä kuten kulman tapauksessa. Nimeämällä sektoin kyljet voidaan määitellä myös se, kumpaa kahdesta mahdollisesta sektoista takoitetaan. Yllä olevan piioksen oikeanpuoleisessa ympyässä oleva kulma α on sektoin keskuskulma. Keskuskulmalla ei ole muita kokoajoituksia, kuin että se on kokeintaan 360 astetta niin ja vähintään 0 astetta. Jos keskuskulma on 360 astetta, niin koko ympyä on mukana sektoissa. Puoliympyää puolestaan vastaa 180 asteen keskuskulma. Huomaa, että tämä matematiikassa käytössä oleva sektoin määitelmä on sopusoinnussa sellaisten käsitteitten kanssa kuin taloussektoi tai julkinen sektoi. Tämä temihän viittaa tilastotieteelliseen piiakkakuvioon, jonka eäs siivu eli sektoi edustaa talousalan osuutta yhteiskunnassa. Ja kun leikkaat pyöeästä kakusta viipaleen, leikkaat kakusta oikeastaan sektoin.

3 Piioksen vasemmassa ympyässä on myös toinen suljettu ympyän osa-alue, ympyän segmentti. Sitä ajoittavat jänne ja ympyän kaaen osa. Jänteen molemmat päätepisteet ovat ympyän kehällä ja ajaavat tuon kaaenosan ympyän kehältä. Segmentti voidaan määitellä myös niin, että valitaan ympyän kehältä kaksi pistettä, jotka yhdistetään sekä janalla että kehän kaaella. Ympyän kehä Ympyän kehään liittyy luku, joka lienee maailman tunnetuin. Se on ympyän kehän pituuden ja halkaisijan pituuden suhde ja tunnetaan nimellä pii. Alun pein tuo sana pii, joka nykyään siis on eään luvun nimi, takoittaa keikkalaista kijainta π. Vaikka keikkalaiset ovat toki saaneet pitää kijaimensa, tätä heidän kijaintaan käytetään myös mainitun luvun symbolina kansainvälisesti ihan standadina. Meillekin siis π on pii eli ympyän kehän pituuden ja ympyänhalkaisijan pituuden suhde. Piietään kuva ja kijoitetaan piin määitelmä sen mekinnöin vielä uudestaan. D d Pii on siis ympyän kehän pituuden eli ympyän ympäysmitan ja halkaisijan pituuden osamäää: D π = d 3, Pii ei ole ationaaliluku Yksi huomattava piin ominaisuus on, että se ei ole ationaaliluku. Toisin sanoen, piitä ei voi takasti esittää mutolukuna ja niin ollen ei myöskään desimaalilukuna. On sinulla siis kuinka takka piin

4 likiavo tahansa, niin sinulla ei ole takinta mahdollista piin likiavoa puhumattakaan siitä, että sinulla olisi lopullisen takka piin desimaaliesitys. Huomaa, että kaikissa funktiolaskimissa on pii näppäin. Funktiolaskimeen piitä ei kannata koskaan näppäillä käsin, vaan aina käyttää tätä näppäintä piin käsin näppäilemisen sijasta. Jos kuitenkaan joudut käyttämään laskinta, jossa ei ole piitä, usein likiavo 3,14 on iittävän takka. Tämä likiavo täytyy muistaa. Tekstinkäsittelyohjelmassa saat π - kijaimen aikaiseksi kaavaeditoilla (tai mikä sen nimi sitten ohjelmassasi onkin) tai kijoittamalla kijaimen p ja valitsemalla sen fontiksi Symbol. Ainakin Windows -pohjaisissa ohjelmissa sen voi myös lisätä valitsemalla Lisää Mekki. Antiikin keikkalaisille filosofeille muun muassa pythagoalaisille tuotti suuta päänvaivaa se, kun huomattiin, että on olemassa lukuja, joita ei voi esittää kokonaislukujen osamääänä. Esimekki 1 Kaivonenkaan suu on ympyänmuotoinen. Jos sen halkaisija on 75 cm, kuinka pitkä on sen kehä? Koska kehä on pii ketaa halkaisija eli D = πd, niin D = π 75cm 35, cm. Käytin laskimen pii-näppäintä ja pyöistin tuloksen kolmen numeon takkuuteen. Katsotaan, kuinka käy, jos käytän piille avoa 3,14. Silloin D = 35,5 cm oli noin 36 cm. Eo näkyy juui ja juui. Vastaus: Ympyän kehä on 36 sentin pituinen. Esimekki Ympyän säde on 40 cm. Laske ympyän kehän pituus. Säteen avulla ilmoitettu kehän pituus on Vastaus: Kehän pituus on 51 cm. π, joten kehä on 51 sentin pituinen. Esimekki 3 Oletetaan, että sinulla pallo, jonka halkaisija on 4 cm. Kieät sen ympäille nauhan, jonka pingotat tiukasti pallon ympäille. Nauhan pituus on nyt sama kuin pallon ympäysmitan pituus. Sitten lisäät tuohon nauhaan yhden metin lisää ja asettelet sen pallon ympäille takasti niin, että se on joka puolella yhtä kaukana pallon pinnasta. Kuinka kauas pallon pinnasta nauha joutuu?

5 D + 1m Tehtävämme on tutkia, kuinka paljon nauhan säde kasvaa. Huomaa, että tutkimme, kuinka paljon säde kasvaa. Halkaisija ei kiinnosta juui nyt. Yksi tapa selvittää tämä asia on laskea suoaviivaisesti uuden säteen pituus ja veata sitä vanhaan. Toinen tapa on lähteä liikkeelle siitä, että kijoitetaan uusi säde vanhan funktiona. Käytän tätä jälkimmäistä tapaa. Yleisesti siis ympyän kehä on ympyähän tuo pallon ympäille kiedottu nauha on D = π, kun on säde, joten D =. π Olkoon alkupeäinen säde nyt s ja uusi säde s en halua käyttää :ää uudestaan, koska sillä olisi nyt vähän ei mekitys. Tällöin s = D π ja

6 D + 1m s' =. π Säteiden eotus eli muutos on siis ( D + 1m) D s' s = π π D + 1m D = π 1m = π 16cm Säde kasvaa siis 16 senttiä ja halkaisija jos sitä kysyttäisiin kasvaisi 3 senttiä. Mihin tavittiin tietoa pallon halkaisijasta? Ei mihinkään. Vastaus: Nauha joutuu noin 16 sentin päähän pallosta. Ympyänsektoin kaaen pituus Sektoin kaaen pituus sekä sektoin keskuskulman suuuus kulkevat käsikädessä sikäli, että samassa ympyässä niitten suuuudet vastaavat toisiaan yksikäsitteisesti. Tähän peustuu niin sanottu absoluuttinen aste eli adiaani. Emme tapaa adiaania tällä kussilla enää uudestaan: = πad. Tämä vastaavuus takoittaa sitä, että niin suui osa kuin kaaen pituus on koko ympyän kehän pituudesta, niin niin suui osa myös sektoin keskuskulma on täydestä ympyästä eli 360 asteesta ja kääntäen. Kijoitetaan tämä sama asia yhtälönä. Valitaan keskuskulmalle symboli α ja sektoin kaaelle symboli c. Ympyän säde olkoon kuten tavallista. Silloin α c 360 = π Tästä voidaan atkaista sektoin kaaen pituus, jolloin saadaan c = α π. tai sektoin keskuskulman suuuus, jolloin saadaan

7 c α =. π Esimekki 4 Hammaspyöän halkaisija on 17,0 cm ja kunkin hampaan keskuskulma on 6,74 astetta. Kuinka leveä hammas on? 6,74 Koska hampaan keskuskulma on 6,74º, niin sen osuus koko ympyästä on. osaa. Toisaalta 360 6, , 74. osaa kehästä puolestaan on π 17cm 100, cm. Hampaan leveys on siis yksi sentti. 360 Vastaus: Hampaan leveys on 1,00 cm. Esimekki 5 Kuinka suuta keskuskulmaa vastaa ympyänsektoin kaai, jonka pituus on sama kuin ympyän säde? Jos ympyän säde on, niin myös kaaen pituus on. Keskuskulman α suuuus on siis α = π 180 = π 57, 9578 Vastaus: Säteen pituista kaata vastaa noin 57,3 asteen keskuskulma. Ympyän osien pinta-aloja Takastellaan seuaavia piioksia.

8 Vasen ympyä on jaettu kahteen yhtä suueen osaan eli kahteen puoliympyään. Oikea ympyä on jaettu yhteen ja kolmeen neljännesympyään. Molempien ympyöitten jakaminen on tehty sektoien avulla. Vasemman sektoin keskuskulma on 180º ja oikean ympyän 90º tai 70º iippuen siitä, kumpaa sektoia takastellaan. On helppo uskoa, että nämä ympyöiden osien alat edustavat myös puolikasta, yhtä neljäsosaa ja kolmea neljäsosaa ympyän koko alasta. Huomattavaa tässä on se, että kunkin sektoin keskuskulman asteluvun suhde koko ympyän astelukuun on sama kuin sektoin alan suhde koko ympyän alaan. Vetaa tätä suhdetta edellä olevaan ympyän kaaen pituuden ja asteluvun suhteeseen! Tämä tieto yleistetään koskemaan kaikkia ympyänsektoeita ja niitten aloja. Ensin tavitaan kuitenkin ympyän ala. Ympyän pinta-ala Mitä suuemmaksi säännöllisen n-kulmion luku n kasvaa sitä lähempänä n-kulmio on ympyää. Koska sinulla on keinot laskea säännöllisen n-kulmion ala, sinulla on peiaatteessa keinot johtaa ympyän ala tästä. Tulos on π, missä on ympyän säde. Ympyän pinta-ala A saadaan kaavasta A = π missä on ympyä säde. Jos ympyän halkaisijaa mekitään d:llä, ympyän ala voidaan esittää myös muodossa d π A = π = d. 4 Esimekki 6 Ympyän säde on 1,0 m. Laske ympyän ala.

9 Nyt = 1,0 m, joten A = π ( 1, 0m) = πm. Vastaus: Ympyän ala on noin 3,1 m. Esimekki 7 Ympyän halkaisija on 1,0 m. Laske ympyän ala. Edellä annetun kaavan avulla ympyän alan voi laskea suoaan halkaisijan avulla. Suosittelen kuitenkin, että opettelet vain toisen kaavan ulkoa ja toisen mahdollisesti niin, että osaat tavittaessa johtaa sen. Lasketaan ala nyt molemmilla kaavoilla. π A = d 4 π = 10, m 4 Ensin ala suoaan halkaisijasta eli ( ) 0, 8m. Sitten säteen avulla. Jos ympyän halkaisija on 1,0 m, niin sen säde on 0,5 m. Joten ( 0, 5m) 0, 8m A = π = π. Vastaus: Ympyän ala on noin 0,8 m. Esimekki 8 Pukissa oleva maali iittää 10 neliömetin alan maalaamiseen. Kuinka suuen ympyän sillä voi maalata? Koska A = π, niin A 10m =. Siis = 1, 8m π π Vastaus: Maali iittää sellaisen ympyän maalaamiseen, jonka säde on noin 1,8 metiä.. Esimekki 9 Leikkimökin äystäs koistellaan pipakakkukuvioin. Reunan yksi pipai koostuu puoliympyästä ja suoakulmiosta. Mitat annetaan kuvassa. Pipakakkueunan väi on punainen ja taustalaudan väi on valkoinen. Taustalaudan leveys on 7 cm. Kuinka suui on valkoiseksi maalattava alue, kun pipakakkueunaa ja taustaa tulee kaikkiaan 13 metiä? 4 cm,5 cm cm

10 13m Koska = 35, niin äystääseen tavitaan pipaeita 35 kappaletta. Siten pipaien 4cm suoakulmaisten osien yhteenlaskettu ala on 35, 5cm 4cm = 350cm. Puoliympyöitä on tietenkin myös 35 kappaletta. Puoliympyän halkaisija on 4 cm, joten sen säde on cm. Näillä tiedoilla saamme kaikkien puoliympyöitten yhteenlasketun alan, joka on ( cm ) = π cm. Koska koko eunalaudan ala on 7cm 13m = 9100cm 9100cm 350cm 04 = 3808cm., valkoinen ala on Vastaus: Valkoiseksi maalattavan alueen pinta-ala on noin 3800 cm. Ympyän sektoin pinta-ala Edellä jo todettiin, että sektoin keskuskulman asteluvun suhde koko ympyän astelukuun on sama kuin sektoin alan suhde koko ympyän alaan. Esimekiksi siis kolme neljäsosaa koko ympyästä olevan sektoin ala on kolme neljäsosaa koko ympyän alasta. Toisaalta 3 70 = ja vastaavasti (neljännesympyä) 1 90 = Jos sektoin keskuskulma on α ja ympyän säde, niin sektoin ala on α π Esimekiksi puoliympyä on sektoi, jonka keskuskulma on 180 astetta. Sen ala vaikkapa A on siis puolet koko ympyän alasta:

11 π A = 180 = π Esimekki 10 Laske ympyänsektoin pinta-ala, kun ympyän säde on 1 cm ja sektoin keskuskulma on 8º. α π 8 π Sektoin ala on = ( 1cm) = 35cm Vastaus: Ympyänsektoin pinta-ala on noin 35 cm.. Esimekki 11 Laske ympyänsektoin keskuskulma, kun ympyän säde on 14 cm ja sektoin pinta-ala on 0 cm. Sektoin pinta-alan laskukaava on α A = π, josta A 0cm α = = = 1. π π ( 14cm) Vastaus: Ympyänsektoin keskuskulma on noin 1 astetta. Esimekki 1 Laske ympyän ala, kun sellaisen ympyänsektoin ala on 5 cm, jonka keskuskulma on 15º. Ympyänsektoin alan kaavasta α A = π saadaan

12 π = A α = 5cm 15 = 600cm, joten kysytty ala on 600 cm. Vastaus: Ympyän ala on 600 cm. Esimekki 13 Antenninvalmistaja väittää, että heidän lähetysantenninsa säteilykulma siis kulma, josta antennin lähettämä säteily on havaittavissa on 35º. Antenninvalmistaja väittää samasta antennista myös, että minimiteholla heidän antenninsa lähettämä signaali on kuultavissa huonoissa olosuhteissa 30 metin ja ihanteellisissa olosuhteissa 60 metin päästä. Laske epävaman alueen pinta-ala. Kysytty ala saadaan, kun sellaisen sektoin alasta, jonka säde on 60 metiä ja keskuskulma 35º, vähennetään sellaisen sektoin ala, jolla on sama keskuskulma, mutta jonka säde on 30 metiä. Mekitään kysyttyä aluetta A:lla. Epävama alue 35 A = π 35 = π 85m 35 ( 60m) π ( 30m) [( 60m) ( 30m) ] Vastaus: Antennin epävaman kuuluvuusalueen ala on noin 85 m.

13 Ympyän segmentin pinta-ala Edellä olevasta segmentin kuvauksesta näemme, että sektoi ja segmentti liittyvät vahvasti toisiinsa samaan tapaan kuin sektoin kaai sekä sektoin keskuskulma. Aina kun määittelemme sektoin, määittelemme myös segmentin ja kääntäen. Samalla tulemme määitelleeksi myös janan, sektoin jänteen. Käytetään tätä havaintoa nyt sillä tavalla, että huomataan, että tämä jana jänne voidaan nähdä myös sellaisen tasakylkisen kolmion kantana, jonka kylkinä ovat sektoin kyljet. Jaetaan segmentin alan takasteleminen nyt kahteen tapaukseen. Toinen tapaus on sellainen, jossa sektoin keskuskulma on alle 180º ja toinen sellainen, jossa keskuskulma on yli 180º. No, eikö keskuskulma on tasan 180º ole tapaus? Jos sektoin keskuskulma on 180º, niin segmentti on puoliympyä kuten samaa kulmaa vastaava sektoikin ja segmentin jänne on siis sama kuin halkaisija. Tätä käsiteltiin eikseen jo aiemmin. Olkoon sektoin keskuskulma alle 180º. Jos keskuskulmaa mekitään α :lla, niin α < 180º. 180 α Tällöin kolmion kantakulma on ja kolmio tunnetaan, jos ympyän säde tunnetaan. Nyt segmentin ala saadaan vähentämällä tasakylkisen kolmion ala sektoin alasta. Jos keskuskulma on pienempi kuin 180º, niin segmentin ala on sektoin ja kolmion alojen eotus.

14 Olkoon sektoin keskuskulma yli 180º (kuva). Oheiseen piiokseen tilanteemme mukaisen segmentin jänne on piietty sinisellä viivalla. Sitä vastaavan kolmion tausta on valkoinen ja sektoin tausta punainen. Jos keskuskulma on suuempi kuin 180º, niin segmentin ala on sektoin ja kolmion alojen summa. α Esimekki 14 Laske segmentin ala kun sitä vastaavan keskuskulman asteluku on 5 ja ympyän säde eli on 15 cm. Piietään kuva, jonka avulla nimetään tavittavat oliot. Huomaa, että kuvassa määitellään jana s niin, että se on puolet segmentin jänteestä. Määitelmien mukaan h s sin 1, 5 = s = 15 cm ja α = 5º

15 h cos 1, 5 =. Näistä saadaan s = sin1, 5 ja h = cos1, 5, joten segmentin ala on 5 1 π cos( 1, 5 ) sin( 1, 5 ) 15, cm. Vastaus: Segmentin ala on noin 1,5 cm. Esimekki 15 Ympyän säde on 30 cm. Laske segmentin ala ja segmenttiä vastaavan sektoin kaaen pituus, kun segmentin jänteen pituus on 35cm. Piietään ensin lähtötilanne: Takastellaan ympyän niitä säteitä, jotka yhdistävät jänteen loppupisteet ja ympyän keskipisteen. Tällöin muodostuu tasakylkinen kolmio, jonka kokeus olkoon h ja kanta eli jänne olkoon b. Tällöin jänteen puolikas on b ja siis b = 17,5 cm. Mekitään vielä kolmion huippukulmaa kijaimella α ja ympyän sädettä kijaimella. Toinen piios esittää tätä tilannetta. jänteen pituus on 35 cm säde = 30 cm Koska kuvion tasakylkisen kolmion puolikas, joka on saatu aikaan jakamalla alkupeäinen kolmio kokeusjanalla kahtia, on suoakulmainen, ovat seuaavat yhtälöt voimassa = b + h b b ja α sin = b, h α joista

16 h = b ja α = sin -1 b Segmentin ala on siis -1 35cm sin 30cm π ja sektoin kaaen pituus on 1 35cm ( 30cm) 35cm ( 30cm) 134cm 35cm -1 sin 30cm π 30cm 37 cm Vastaus: Segmentin ala on noin 134 neliösenttimetiä ja sektoin kaaen pituus on noin 37 senttimetiä. Esimekki 16 A=cm Segmentin ala on cm. Mikä on koko ympyän ala, kun segmenttiä vastaavan keskuskulman asteluku on 30 ja ympyän säde on 15 cm. Piietään kuva. Määittelen kuvan avulla taas tavittavia muuttujia. Näitten lisäksi tavitaan segmentin jänne, olkoon se s ja kolmion kokeus olkoon h. Haluat ehkä tehdä oman piioksen ja mekitä siihen myös nämä muuttujat. Käyttämällä näitä muuttujia ilman lukuavoja saadaan yhtälö (katso Esimekki 14) =15 cm α A = π α = π sh α α sin cos α=30º

17 Ratkaistaan tästä yhtälöstä ympyän säde : α A = π = α α sin cos α α α A = π sin cos A α α α π sin cos cm = π sin cos 13cm Täten ympyän ala on noin 533 cm. Vastaus: Ympyän ala on noin 530 cm. Ympyän tangentti Ympyän tangentti on suoa, joka liittyy kahteen pisteeseen: piste, jossa tangentti sivuaa ympyää ja ympyäviivan ulkopuolinen piste, jonka kautta tangentti kulkee. Piste, jossa tangentti sivuaa ympyää, on ympyän ja tangentin ainoa yhteinen piste. Jos suoalla ja ympyällä on kaksi yhteistä pistettä, suoa ei ole ympyän tangentti. Jos yhteisiä pisteitä ei ole yhtään, suoa ei myöskään ole ympyän tangentti. Suoa on ympyän tangentti takalleen silloin, kun ympyällä ja suoalla on yksi yhteinen piste Saman asian voi sanoa toisinkin. Suoa on ympyän tangentti takalleen silloin, kun suoa sivuaa ympyää yhdessä pisteessä Mieti, miksi ympyäviivan sisäänsä sulkeman kuvion ympyän! sisällä olevan pisteen kautta ei voi piitää samalle ympyälle tangenttia.

18 Olen piitänyt oheiseen kuvaan ympyän ja sille yhden tangentin. Huomaa siinä seuaava seikka, jota ei peustella. Ympyälle piietty tangentti on kohtisuoassa sivuamispisteeseen piiettyä sädettä vastaan. Takastellaan nyt seuaavaa kuvaa, johon piisin ensin ympyän ja sen ulkopuolelle pisteen P. Sitten piisin kolme suoaa, jotka jokainen kulkevat ympyän ulkopuolisen pisteen P kautta. Kaksi niistä, suoat s ja t, ovat ympyän tangentteja ja kolmas, suoa l, kulkee ympyän keskipisteen O kautta. α B β A O t s l Pisteen P kautta voidaan piitää ympyälle O kaksi tangenttia. Olkoon niitten välinen kulma α. Tämä ympyän tangenttien välinen kulma on nimeltään tangenttikulma. Tangenttien välistä kulmaa sanotaan tangenttikulmaksi

19 Pisteet A ja B ovat pisteitä, joissa tangentit sivuavat ympyää. Kuvaan on mekitty myös kaksi sädettä, jotka leikkaavat tangentteja näissä pisteissä. Nämä leikkauskulmat ovat siis suoat. Mekitään näitten säteitten muodostamaa (pienempää) kulmaa kijaimella β. Kuvaan piietyt säteet, jotka määitelmänsä mukaisesti kohtaavat ympyänkehän tangenttien sivuamispisteissä, muodostavat keskenään kulman, jota ole kuviossa mekinnyt kijaimella β. Sitä sanotaan näitä tangentteja vastaavaksi keskuskulmaksi. Tangenttien sivuamispisteissä ympyäviivaa leikkaavat säteet muodostavat tangentteja vastaavan keskuskulman Kolmioitten AOP ja BOP kaikkien kulmien summa on 360 astetta, koska yhden kolmion kulmien summa on 180 astetta. Koska suoa l puolittaa kulmat α ja β, puolet molemmista kulmista on toisessa kolmiossa, toinen puoli toisessa. Saadaan yhtälö kolmion AOP kulmat + kolmion BOP kulmat = 360º α β α β = α + β = α + β = 180, koska kolmiot AOP ja BOP ovat suoakulmaiset. Olemme päätyneet tulokseen Tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman summa on 180 astetta Ympyään ja sen tangentteihin liittyvät laskut ovat usein atkaistavissa Pythagoaan lauseen ja tigonometian avulla. Tämä johtuu siitä, että tangentit ja niitä vastaavat ympyän säteet muodostavat kaksi suoakulmaista kolmiota. Esimekki 17 Rantapallon halkaisija on 60 cm. Jos katsot sitä 9,7 metin päästä, kuinka suuessa kulmassa näet sen?

20 Ajatellaan tilannetta tasossa emme tavitse palloa, vaan ympyän. Tehtävämme on atkaista tangenttikulman suuuus, kun ympyän keskipiste on etäisyydellä 10 m = 9,7 m + 0,3 m ympyän ulkopuolisesta pisteestä, sanokaamme pisteestä P. Selvennetään asiaa piioksen avulla. Mekitsen kysyttyä kulmaa α :lla jotta saan laskuihin kokonaisen kulman. Edellähän tangenttikulmaa mekittiin α :lla. Sini-funktion määitelmän nojalla saadaan yhtälö sin α =, s josta edelleen α = 3, 4 = 3 6'. Vastaus: Kysytty kulma on noin 3,4 astetta. s α P Esimekki 18 Rantapallon halkaisija on 60 cm. Kuinka kaukaa sitä pitää katsoa, jotta tangenttikulmaa vastaavan keskuskulman suuuus on 178? Kuinka suui tangenttikulma on tällöin? Otetaan uusi kopio Esimekin 17 piioksesta. Käytän taas kaksinketaisia kulmia kuvan määitelmissä, jotta saan kokonaisia kulmia laskuihin. Täten esimekiksi keskuskulma = 178 = β. Koska tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman summa on 180 astetta, annettua keskuskulmaa vastaava tangenttikulma saadaan yhtälöstä β s α P α + β = 180, josta α =. Sini-funktion määitelmän mukaan sin α =, s josta

21 s = = 17m. sinα Vastaus: Rantapalloa on katsottava noin 17 metin päästä. Tangenttikulma on tällöin. Esimekki 19 Kuinka ylös on noustava, jotta näkisi Suomen kokonaan? Suomen pituus on 1150 kilometiä ja Maan säde on 6367,5 kilometiä. Määitellään kuvan avulla seuaavat suueet. Etäisyydet: = Maan säde, s = Maan keskipisteen ja kuvitellun katselupisteen välinen etäisyys sekä t = piste, jossa näkösäde sivuaa Maata. Kulmat: Kulma, jossa Suomi näkyy ylhäältä = α, Suomen pituutta vastaavan kaaen keskuskulma = β. Huomaa vielä, että t kuten edellä. Kun vetaat Suomen pituutta Maan säteeseen, huomaat, että oheisen piioksen mittasuhteet eivät ole kohdallaan. Se ei kuitenkaan haittaa. Lasketaan Suomen pituutta vastaavan kaaen keskuskulma, kun ympyän säde on 6367,5 kilometiä: t α s 1150 β = π 6367, 5, = 10, 3 β joten β = 5, 17. Kosini-funktion määitelmän mukaan cos β =. s Siis s = cos β = 6394

22 Etäisyys pinnalta on siis 6 kilometiä. Vastaus: Suomi näkyy kokonaan noin 6 kilometin kokeudesta.

23 Keskeisiä käsitteitä π Keskipiste Ympyä Säde Halkaisija Kehä Sivuamispiste Segmentti Sektoi Tangentti Puoliympyä Vasen kylki Tangenttikulma Oikea kylki Kaai Keskuskulma Jänne Jänteen kokeus

Ympyrä sekä kehä-, keskus- ja tangenttikulmat

Ympyrä sekä kehä-, keskus- ja tangenttikulmat 31.1.017 Ympyä sekä kehä-, keskus- ja tangenttikulmat GEMETRI M3 Ympyä: Ympyä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat säteen etäisyydellä keskipisteestä. Sanotaan, että ympyä on tällaisten pisteiden

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

2 = 31415,92... 2 31 000 m

2 = 31415,92... 2 31 000 m Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 6 40 Ympyän halkaisija d 00 m ja säde 00 m. a) kehän pituus p π d d 00 m π 68,... 60 ( m) b) pinta-ala π 00 m π 00 45,9... 40 a) ( ) 000 m a) kehän pituus 60 m

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne

YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne YMPYRÄ Ympyrä opetus.tv:ssä Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne KAPPALEEN TERMEJÄ 1. Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan. KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Sähkökentät ja niiden laskeminen I

Sähkökentät ja niiden laskeminen I ähkökentät ja niiden laskeminen I IÄLTÖ: 1.1. Gaussin lain integaalimuoto ähkökentän vuo uljetun pinnan sisään jäävän kokonaisvaauksen laskeminen Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma

1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma 1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma Pisteen, suoran ja tason avulla lähdetään muodostamaan uusia geometrian käsitteitä. Jos suora sahataan (keskeltä!!) poikki ja heitetään toinen puoli pois,

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 6.3.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 2. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen

7.lk matematiikka. Geometria 2. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 7.lk matematiikka Geometria 2 Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 8. Keskinormaali (kulmaviivaimella tai geometrisesti)... 4 9. Kulman puolittaminen ja siirtäminen geometrisesti...

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2

Harjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2 MAB: Luvut ja lukujoukot Harjoitustehtävien ratkaisut Joukko-opin harjoituksia T Joukossa W V ovat kaikki joukkojen W ja V alkiot, siis alkiot, jotka ovat joko W :n tai V :n tai molempien alkioita. Siis

Lisätiedot

5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km

5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 30.7.018 5 TASOGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 3,5 m eri yksiköihin. 3,5 m = 35 dm = 350 cm = 3 500 mm ja 3,5 m = 0,035

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Kolmion merkilliset pisteet ja kulman puolittajalause

Kolmion merkilliset pisteet ja kulman puolittajalause Kolmion mekilliset pisteet ja kulman puolittajalause GOMTRI M3 iiettäessä kolmioille kulmanpuolittajia, sivujen keskinomaaleja, kokeusjanoja tai mediaaneja eli keskijanoja, niin osoittautuu, että näiden

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Tapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora

Tapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora VOIMAN MOMENTTI Takastellaan jäykkää kappaletta, joka pääsee kietymään akselin O ympäi. VOIMAN MOMENTTI on voiman kietovaikutusta kuvaava suue. Voiman momentti määitellään voiman F ja voiman vaen tulona:

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot