Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division
Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon A C joukon B C. Joukkoa B sanotaan A:n kuvaksi ja merkitään B = f(a). Jos A = {z} jollekin z C ja w f(a), niin merkitään w = f(z). Koska funktio määritellään joukolta joukolle, on mahdollista, että funktio voi olla moniarvoinen, eli f(z) ei välttämättä ole yksikäsitteinen. Jos jokaista z C vastaa täsmälleen yksi w f(z), niin sanotaan, että f on yksiarvoinen. 2 / 27
Joitakin alkeisfunktioita Funktiota, joka liittää jokaiseen z C potenssin z n, n Z, sanotaan potenssifunktioksi. juuren n z, sanotaan juurifunktioksi. murtopotenssin z m/n, sanotaan murtopotenssifunktioksi. kompleksisen eksponentin e z, sanotaan eksponenttifunktioksi. polynomin P(z), sanotaan polynomifunktioksi. polynomien P ja Q 0 osamäärän R(z) = P(z) Q(z), sanotaan rationaalifunktioksi.... 3 / 27
Yksiarvoinen vs. moniarvoinen funktio Ensimmäisellä viikolla käsiteltyjen potenssin, juuren,... määritelmien mukaan potenssifunktio w = z n on yksiarvoinen, juurifunktio w = n z on moniarvoinen, kun n > 1, murtopotenssifunktio w = z m n on moniarvoinen, kun m n eksponenttifunktio w = e z on yksiarvoinen, polynomifunktio w = P(z) on yksiarvoinen, rationaalifunktio w = R(z) on yksiarvoinen,... / Z, 4 / 27
Kompleksifunktion komponentit Koska kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen, jatkossa lyhyemmin kompleksifunktio, on kuvaus f : C C, on sekä määrittelyjoukon pisteellä z että sen kuvapisteellä w = f(z) reaali- ja imaginaariosa, eli ovat muotoa z = x + iy ja w = u + iv. Funktion f(z) reaali- ja imaginaariosa ovat muuttujien x ja y funktioita, eli u = u(x,y) = Ref(z) ja v = v(x,y) = Imf(z). Siten f voidaan esittää muodossa f(z) = f(x + iy) = u(x,y)+iv(x,y). (1) 5 / 27
Kompleksifunktion komponentit Kääntäen, jos on annettu funktiot u,v : R 2 R, niin yhtälö (1) määrittelee kompleksifunktion f : C C. Kompleksifunktio f vastaa siis kahta reaaliarvoista funktiota u ja v. Esim. 1 a) Määrää funktion f(z) = z 2 reaali- ja imaginaariosa. b) Olkoot u(x,y) = x 2 + y 2 ja v(x,y) = xy. Määrää muuttujan z funktio f, joka toteuttaa ehdon (1). Vihje: Käytä hyväksi kaavoja x = Rez = 1 2 (z + z) ja y = Imz = 1 (z z). 2i 6 / 27
Funktioiden geometrinen havainnollistaminen Koska funktiossa w = u + iv = f(z) = f(x + iy) esiintyy 4 muuttujaa x, y, u, v, edellyttää kompleksifunktion havainnollistaminen 4-ulotteista avaruutta, joka on geometrisen havainnointikykymme ulottumattomissa. Kompleksifunktion geometriselle havainnollistamiselle on (ainakin) kaksi vaihtoehtoa: a) havainnollistetaan funktion reaaliosaa u = Re f ja imaginaariosaa v = Imf erikseen R 3 :n 2-ulotteisina pintoina z = u(x,y) ja z = v(x,y). b) havainnollistetaan xy-tason käyrien ja alueiden kuvautumista uv-tason käyriksi ja alueiksi. 7 / 27
Reaali- ja imaginaariosa pintoina Kuvien liittämisessä oli ongelmia. Katso erilliset kuvat. Kuvissa on esitetty funktion f(z) = z 2 reaaliosan ja imaginaariosan kuvaajat. 8 / 27
Funktioiden kuvausominaisuuksia Keskitytään jatkossa ainoastaan b)-kohtaan. Esim. 2 Tarkastellaan lineaarisen funktion f(z) = az + b(a 0), kuvausominaisuuksia. Olkoot z 1,z 2,z 3 kompleksitason pisteitä, jotka eivät ole samalla suoralla. Pisteet määräävät kolmion z 1 z 2 z 3. Tutki kolmion sivujen pituuksien ja kulmien muuttumista kuvauksessa f. Piirrä kuva, kun a = 2+ 2i, b = 1+i ja z 1 = 0,z 2 = 1,z 3 = i. Esim. 3 Miksi alueeksi neliöjuurifunktio f(z) = z kuvaa yksikkökiekon ylemmän puolikkaan {z C : y > 0, x 2 + y 2 < 1}? Mikä on päähaaran kuva? 9 / 27
Polynomifunktio Polynomifunktio P(z) = a n z n + a n 1 z n 1 + +a 1 z + a 0. Kertoimet a i C, a n 0. Luku n on P(z):n aste. Polynomiyhtälöllä a n z n + a n 1 z n 1 + +a 1 z + a 0 = 0 on n juurta z 1,z 2,...,z n (joista jotkut voivat olla samoja). Polynomi voidaan Algebran peruslauseen mukaan aina jakaa ensimmäisen asteen tekijöihin P(z) = a n (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ). Reaalikertoimisen polynomin nollakohdat esiintyvät aina konjugaattipareina. Toisin sanoen, jos z on polynomin P(z), missä a i R kaikilla i, nollakohta, niin myös z on P:n nollakohta. 10 / 27
Rationaalifunktio Aiemmista esimerkeistä poiketen rationaalifunktion määritysjoukko ei ole koko C, jos supistetussa muodossa olevan rationaalifunktion R(z) = P(z) Q(z) nimittäjällä on nollakohtia. Q:n nollakohdat ovat R:n napoja ja P:n nollakohdat R:n nollia (jos P:llä ja Q:lla ei ole yhteisiä tekijöitä). Navoilla on erityinen merkitys kuten myöhemmin nähdään. Ensimmäisen asteen rationaalifunktiota w = f(z) = az + b, missä ad bc 0, cz + d sanotaan Möbius - muunnokseksi tai bilineaarikuvaukseksi. Lineaaristen systeemien (suodattimien tms.) siirtofunktiot ovat useimmiten rationaalifunktioita. 11 / 27
Rationaalifunktio Esim. 4 a) Tutki, mikä on imaginaariakselin kuva bilineaarikuvauksessa w = f(z) = z 1 2z + 2. b) Tutki, onko a)-kuvauksen funktiolla f kiintopisteitä, eli pisteitä z C, joille f(z) = z. 12 / 27
Eksponenttifunktio Kuten edellä todettiin, kompleksinen eksponenttifunktio on f(z) = e z = e x+iy = e x (cos y + isin y). Kompleksisen eksponentin ominaisuuksien perusteella (ks. Lause 4, viikko 1) e 2kπi = 1, k Z, e z e w = e z+w (potenssin laskusäännöt), e z = e x (pituus), arg e z = y + 2kπ (argumentti), e z 0 kaikilla z, e z+k2πi = e z (2πi-jaksollisuus). 13 / 27
Kuvausominaisuuksia Eksponenttifunktion kuvausominaisuuksien selvittämisessä auttaa eksponenttiesitys: f(z) = e z merk = w, w = w e iϕ e x e iy = w e iϕ { e x = w > 0 y = ϕ ( mod 2π) { x = ln w y = arg w = Arg w + k2π eli jokainen arvo e z = w 0 saavutetaan z:n arvoilla z = ln w +iarg w. (2) 14 / 27
Kuvausominaisuuksia Esim. 5 Tutki, mikä on eksponenttifunktion kuva horisontaaliselle yhdensuuntaisvyölle {z C : π < Imz π}. Esim. 6 Tutki, mikä on eksponenttifunktion kuva vertikaaliselle yhdensuuntaisvyölle {z C : π < Rez π}. 15 / 27
Logaritmifunktio Logaritmifunktio määritellään funktiona, joka liittää lukuun w C yhtälön w = e z ratkaisun Kaavan (2) mukaan eli z = log w, w C, w 0. log w = ln w +i arg w (3) log w = ln w +iarg w + jk2π, k = 0,±1,±2,... (4) Logaritmifunktio on siis eksponenttifunktion käänteisfunktio. 16 / 27
Logaritmin haarat Kiinteällä k:n arvolla saadaan yksiarvoinen funktio, jota sanotaan logaritmifunktion haaraksi. Päähaaraa (k = 0) merkitään Log w = ln w +iarg w. (5) Logaritmin pääarvolla tarkoitetaan logaritmin päähaaralla saamaa arvoa. 17 / 27
Logaritmin laskulait Yleiselle logaritmifunktiolle log w pätevät normaalit laskulait: ja log w 1 w 2 = log w 1 + log w 2 log w 1 w 2 = log w 1 log w 2. Huomaa, että määritelmän mukaan yhtäsuuruuden molemmat puolet ovat joukkoja, joten yhtäsuuruus edellyttää oikeiden haarojen valintaa. Yhtäsuuruus ei päde pääarvolle! 18 / 27
Esimerkkejä Esim. 7 Logaritmin laskusääntöjen kanssa täytyy olla tarkkana. Osoita, että a) Log(1+i) 2 = 2Log(1+i). b) Log( 1+i) 2 2Log( 1+i). Esim. 8 Ratkaise yhtälö e 4z + 4e 2z + 8 = 0. Anna ratkaisut z muodossa z = x + iy. 19 / 27
Yleinen potenssi Nyt kun logaritmifunktio on määritelty, niin yleinen potenssi voidaan määritellä yleinen potenssi asettamalla z w = e w log z, w C, z 0, (6) joka on yhteensopiva reaaliluvuista tutun laskusäännön kanssa. Esim. 9 Laske i 2i. x a = e log xa = e a log x, 0 < x R, a R, 20 / 27
Yleisen potenssin ominaisuuksia Huomaa, että erityisesti negatiivisen luvun reaalilukupotenssit tulevat määritellyiksi kaavalla (6), mikä ei ollut mahdollista reaalianalyysin kurssilla. Huomaa, että erityisesti murtopotenssi tulee määritellyksi kaavalla (6). Huomaa, että yleisesti sekä pituus z w että argumentti arg z w ovat moniarvoisia, sillä e z = e x ja logaritmi on moniarvoinen. Kukin haara saadaan kiinnittämällä logaritmin haara. Kun logaritmin haara on kiinnitetty, niin z w 1+w 2 = e (w 1+w 2 )log z = e w 1 log z+w 2 log z = e w 1 log z e w 2 log z = z w 1 z w 2. 21 / 27
Trigonometriset funktiot Koska eksponenttifunktio on määritelty kaikilla kompleksiluvuilla, voidaan sini ja kosini määritellä kaavoilla sinz = eiz e iz 2i, cos z = eiz + e iz, z C, 2 22 / 27
Ominaisuuksia 1. sin 2 z + cos 2 z = 1 2. e iz = cos z + isin z, e iz = cos z isinz 3. sin(z 1 + z 2 ) = sinz 1 cos z 2 + cos z 1 sinz 2, 4. cos(z 1 + z 2 ) = cos z 1 cos z 2 sinz 1 sin z 2 5. sin z:n ja cos z:n nollakohdat ovat reaalisia, z = kπ, z = (k + 1 2 )π 6. sin z on pariton, cos z on parillinen 7. sin z ja cos z ovat 2π-jaksollisia 8. sin z ja cos z eivät ole rajoitettuja! 9. sin z ja cos z saavuttavat jokaisen kompleksilukuarvon! 23 / 27
Esimerkki Tarkastellaan reaalianalyysiin tottuneelle esimerkkinä ehkä hämmästyttävältä kuulostavaa kohtaa 9. Esim. 10 Ratkaise yhtälö sin z = 3. 24 / 27
Raja-arvo ja jatkuvuus Oletetaan seuraavassa, että f on yksiarvoinen kompleksifunktio. Käyttämällä esitystä (1) nähdään, että raja-arvon ja jatkuvuuden käsitteet palautuvat reaalianalyysin vastaaviin käsitteisiin. Aloitetaan raja-arvon määritelmästä. Määr. 2 Olkoon f(z) yksiarvoinen funktio pisteen z = z 0 ympäristössä, paitsi mahdollisesti pisteessä z = z 0. Luku L C on f :n raja-arvo pisteessä z 0, jos jokaista ǫ > 0 kohti on olemassa sellainen δ > 0, että f(z) L < ǫ, kun 0 < z z 0 < δ. Merkitään lim z z0 f(z) = L tai f(z) L kun z z 0. 25 / 27
Raja-arvo Merkitään z = x + iy, z 0 = x 0 + iy 0 ja L = A+iB. Esityksen (1) perusteella on selvää, että lim u(x,y) = A (x,y) (x 0,y 0 ) lim f(z) = L = A+iB z z 0 lim v(x,y) = B. (x,y) (x 0,y 0 ) 26 / 27
Jatkuvuus Jatkuvuus määritellään kuten reaalifunktioille. Määr. 3 Olkoon f : A C yksiarvoinen kompleksifunktio. Jos lim f(z) = f(z 0 ), z z 0 niin sanotaan, että f on jatkuva pisteessä z 0 A. Jos f on jatkuva jokaisessa A:n pisteessä, niin sanotaan, että f on jatkuva A:ssa. Jos f on jatkuva C:ssä, sanotaan, että f on jatkuva. Esityksen (1) perusteella on selvää, että f = u + iv on jatkuva jos ja vain jos u ja v ovat jatkuvia. Jatkuvuustarkastelut voivat joskus olla hankalia, sillä mahdollisia reittejä lähestyä pistettä z 0 on ääretön määrä. 27 / 27