RAUDOITTAMATTOMAN SUORAKAIDEPOIKKILEIKKAUKSISEN SAUVAN PURISTUSKAPASITEETTI Critical Compression Load of Unreinforced Concrete Member with Rectangular Cross-Section Pentti Ruotsala Vaasa 04
TIIVISTELMÄ Seuraavan tarkastelun peruslähtökohtana on otaksuma, jonka puristetun sauvan puristusvoiman kriittinen arvo on suurempi kuin materiaalin murtumisrajoja vastaava arvo. Mainittuun otaksumaan sekä betonirakenteiden suunnittelussa yleisesti käytettyihin betonin muodonmuutosominaisuuksiin perustuen on tarkastelussa saatu lyhykäisyydessään seuraava tulos: Suhteellinen puristuskapasiteetti arvioida likimääräisesti kaavalla ν " + lc h 33 e i h e i h Puristusvoiman kriittinen arvo on siten N " = ν " b h f Kyseisissä lausekkeissa esiintyvillä suureilla on seuraavat merkitykset: N " = sauvan puristusvoiman kriittinen arvo b = poikkileikkauksen leveys e = sauvan puristusvoiman alkuperäinen epäkeskisyys h = poikkileikkauksen korkeus l = sauvan nurjahduspituus = suhteellisen puristusvoiman kriittinen arvo ν "
MERKINNÄT A = poikkileikkauksen pinta-ala A = poikkileikkauksen puristusvyöhykkeen pinta-ala M = poikkileikkausta rasittava taivutusmomentti N = sauvaa rasittava puristusvoima N " = sauvan puristusvoiman kriittinen arvo N = sauvan materiaalimurtumaa vastaava puristusvoiman arvo b = poikkileikkauksen leveys dy = poikkileikkauksen tarkasteltavan alkion pituus dη = suhteellisen puristuman alkion pituus e = puristusvoiman epäkeskisyys e = sauvan taipumisesta johtuva puristusvoiman lisäepäkeskisyys e "# = sauvan puristusvoiman kriittistä arvoa vastaava lisäepäkeskisyys e " = sauvan materiaalimurtumaa vastaava lisäepäkeskisyys e = sauvan puristusvoiman alkuperäinen epäkeskisyys f = betonin puristuslujuus h = poikkileikkauksen korkeus l = sauvan nurjahduspituus r = sauvan taipumaviivan kaarevuussäde x = poikkileikkauksen puristusvyöhykkeen korkeus y = poikkileikkauksen tarkasteltavaa kohtaa osoittava mitta = myötöpuristumaa ε " vastaava poikkileikkauksen mitta y α ε ε " ε ε ε " σ σ η η η μ ν ν " ξ = sauvan taipuman muodosta riippuva vakio = betonin puristuma = betonin myötöpuristuma = poikkileikkauksen enemmän puristetun reunan puristuma = poikkileikkauksen vähemmän puristetun reunan puristuma = betonin murtopuristuma = betonin puristusjännitys = betonin puristusjännitys poikkileikkauksen vähemmän puristetulla reunalla = betonin suhteellinen puristuma = poikkileikkauksen enemmän puristetun reunan suhteellinen puristuma = poikkileikkauksen vähemmän puristetun reunan suhteellinen puristuma = suhteellinen taivutusmomentti = suhteellinen puristusvoima = suhteellisen puristusvoiman kriittinen arvo = poikkileikkauksen puristusvyöhykkeen suhteellinen korkeus
0. JOHDANTO Tarkastellaan aluksi kuvion esittämää puristusvoiman N rasittamaa sauvaa, johon syystä tai toisesta on syntynyt taivutusrasitusta, jonka johdosta sauvan jänteen keskelle on syntynyt epäkeskisyyden e. Taivutusrasituksen johdosta sauva taipuu aiheuttaen sauvan jänteen keskelle taipumia, joita kutsutaan yleensä ns. lisäepäkeskisyyksi e, koska ne puristusvoiman johdosta lisäävät edelleen taivutusrasitusta ja siten myös lisäävät edelleen taipumia. Normaalivoiman kasvaessa taipumat ja samalla siis myös sen lisäepäkeskisyydet kasvavat. Tällöin jossakin vaiheessa normaalivoima saavuttaa ns. kriittisen arvonsa N ". Kokeellisestikin on havaittu ehkä yllättävältäkin vaikuttava seikka, että kyseinen arvo on rakenteen hoikkuudesta riippuen usein suurempi kuin poikkileikkauksen murtumista vastaava kapasiteetti N. Kuvio Seuraavassa tarkastelussa pyritään selvittämään edellä mainitun kriittisen normaalivoiman N " arvo poikkileikkaukseltaan suorakaiteen muotoisissa raudoittamattomissa betonirakenteissa, jotka yleensä ovat seinärakenteita.. PERUSOLETTAMUKSET. Betonin jännitys-muodonmuutosriippuvuudet Seuraavassa tarkastelussa käytetään murtorajatilatarkasteluissa yleisesti hyväksyttyä kuvion mukaista otaksumaa betonin jännitysten ja muodonmuutosten välisestä riippuvuudesta. Kuviossa betonin puristusjännityksen σ oletetaan kasvavan parabolisesti nollasta puristuslujuutta vastaavaan maksimiarvoonsa f betonin puristuman ε kasvaessa
samaan aikaan nollasta arvoon ε ". Puristuman kasvaessa edelleen oletettuun maksimiarvoonsa ε " puristusjännityksen σ otaksutaan pysyvän vakiona f. Kuvio Betonin puristusjännitysten ja puristumien välisillä riippuvuuksilla on siten seuraavat lausekkeet: σ = f ε c ε co ε c ε co, kun ε ε " (.3) σ = f, kun ε " ε ε " (.4) joissa f = betonin puristuslujuus ε = betonin puristuma Puristumille ε " ja ε " on yleisesti hyväksytty murtorajatilatarkasteluissa käytettäväksi seuraavat arvot: ε " = 0,00 (.5) ε " = 0,0035 (.6) Jos otetaan käyttöön merkintä η = ε c ε co (.7) lausekkeet (.) voidaan kirjoittaa muotoon σ = f η η, kun η (.8) σ = f, kun η,75 (.9). Puristetun sauvan taipuminen Kuten jo johdannossa mainittiin, sauvaa rasittava puristusvoima aiheuttaa sauvan lisätaipumista, josta aiheutuvaa puristusvoiman lisäepäkeskisyyttä e voidaan arvioida kaavalla e = r l c α (.0) missä /r = taipumaviivan kaarevuus taipuman maksimikohdassa l = puristetun sauvan pituus α = taipumaviivan muodosta riippuva vakio
3 Mikäli taipumaviiva otaksutaan sinikäyrän muotoiseksi, tällöin olisi eli α = π e = r l c π (.) Jos taas taipumaviiva olisi paraabelin muotoinen eli taivutusmomentin jakaantuminen sauvassa olisi tasainen, kyseessä oleva vakio olisi α = 8 sekä vastaavasti taipumaviivan ollessa kuutioparaabeli eli taivutusmomenttikuvion ollessa kolmion muotoinen olisi α =. Seuraavassa keskitytään kuitenkin tapaukseen, jossa taipumaviiva olisi ainakin likimääräisesti sinikäyrän muotoinen eli otaksutaan, että α = π. Sauvan kaarevuus on vuorostaan ilmaistavissa sauvan poikkileikkauksen muodonmuutosten avulla seuraavasti: = missä ε = poikkileikkauksen puristetumman reunan puristuma ε = poikkileikkauksen toisen reunan puristuma Jos poikkileikkaus on vain osittain puristettu, kaarevuus on ilmaistavissa myös muodossa = (.) missä x = poikkileikkauksen puristetun vyöhykkeen korkeus. PURISTETUN SAUVAN RASITUSTAPAUKSET Raudoittamattoman rakenteen puristavan normaalivoiman kriittistä arvoa N " selvitettäessä on otettava ensinnäkin huomioon se, että rakenteiden murtorajatilatarkasteluissa ei yleensä oteta puristuskapasiteetteja määritettäessä huomioon betonin vetolujuutta. Näin ollen joudutaan tarkasteluissa erottamaan kaksi toimintamallia: - Poikkileikkaus on osittain vedetty - Poikkileikkaus on kauttaaltaan puristettu Puristavalle normaalivoimalle on aina otaksuttava useistakin eri syistä johtuva tietty perusepäkeskisyys eli e. Tämä yhdessä rakenteen taipumisesta johtuvan lisäepäkeskisyyden e aiheuttaa sen, että hoikkien rakenteiden puristuskapasiteetin kannalta katsoen miltei poikkeuksetta joudutaan tilanteeseen, jossa poikkileikkaus on syntyneistä epäkeskisyyksistä johtuen osittain vedetty.
. Poikkileikkaus on osittain vedetty 4 Koska murtorajatilatarkasteluissa ei betonin vetojännityksiä oteta huomioon, rakenteen puristusresultantti N sekä momenttiresultantti M koostuvat yksinomaan poikkileikkauksen puristetun alueen jännityksistä. Tällöinkin on erotettavassa kaksi eri tapausta: - Puristetun reunan puristuma ε ε " - Puristetun reunan puristuma ε on välillä ε " ε ε " Otetaan näistä aluksi tarkasteltavaksi edellinen... Puristetun reunan betonin puristuma ε c ei ylitä arvoa ε co Kuvio 3 Kuvion 3 mukaan etäisyydelle a voidaan kirjoittaa lauseke a = ε c ε c x Kun otetaan käyttöön merkinnät η = ε c ε co
5 𝜀 𝜂 = 𝜀𝑐 𝑐𝑜 𝜉 = voidaan kirjoittaa edelleen 𝑥 𝜂 𝑎 = 𝜂 𝜉 𝑑𝜂 𝑑𝑎 = 𝜂 𝜉 Koska reunan puristuma 𝜀 𝜀" betonin puristusjännitykset 𝜎 jakaantuvat parabolisesti koko puristusvyöhykkeessä. Ne ovat siten ilmaistavissa kohdan. mukaan kaavalla 𝜎 = 𝑓 𝜂 𝜂 Puristusresultantin 𝑁 lauseketta voidaan kehitellä seuraavasti: 𝑁 = 𝜎 𝑑𝐴 = 𝜎 𝑏 𝑑𝑎 𝜉 𝜂 𝑑𝜂 = = 𝑓 𝑏 𝜂 𝜂 = = 𝑓 𝑏 𝜉 𝜂 (3 𝜂 ) 3 Ottamalla käyttöön ns. suhteellisen puristusvoiman 𝜈 käsite 𝑁 𝜈 = 𝑓 𝑏 𝑐 saadaan sille vastaavasti lauseke 𝜈 = 3 𝜉 𝜂 (3 𝜂 ) (.) Puristusjännitysten 𝜎 momenttiresultantti 𝑀 sauvan akselin suhteen saadaan vastaavalla tavalla seuraavasti: 𝑀 = = 𝜎 𝑥 + 𝑎 𝑏 𝑑𝑎 = 𝜎 𝑏 𝑎 𝑑𝑎 (𝑥 ) Koska edellä jo todettiin, että 𝑁 = 𝜎 𝑏 𝑑𝑎 𝜎 𝑏 𝑑𝑎 saadaan taivutusmomentin 𝑀 lauseke edelleen muotoon 𝑀 = 𝜎 𝑏 𝑎 𝑑𝑎 + 𝑁 (𝑥 ) jota voidaan edelleen kehitellä edellä mainittujen laaduttomien suureiden avulla seuraavasti:
6 𝑀 = 𝑓 𝑏 𝜉 𝜂 𝜂 𝜂 𝑑𝜂 + 𝑓 𝑏 𝜈 𝜉 = = 𝑓 𝑏 𝜉 𝜂 8 3 𝜂 + 𝜈 𝜉 Ottamalla tässäkin käyttöön ns. suhteellisen momentin käsite 𝜇 = saadaan sille lauseke 𝑀 𝑓𝑐 𝑏 𝜇 = 𝜉 𝜂 8 3 𝜂 𝜈 (𝜉 ) (.) Puristusvoiman suhteellinen epäkeskisyys 𝑒 on = eli sijoittamalla tähän edellä olevat 𝜇:n ja 𝜈:n lausekkeet (.) ja (.) saadaan = (.3) Kuten jo kohdassa mainittiin, puristusvoiman epäkeskisyys 𝑒 koostuu kahdesta osasta eli perusepäkeskisyydestä 𝑒 sekä sauvan taipumisesta aiheutuvasta lisäepäkeskisyydestä 𝑒, joista viime mainitun suhteellinen määrä voidaan ilmaista muodossa. 𝜀𝑐𝑜 (.4) Edellä oleva suhteellisen epäkeskisyyden 𝑒 lauseke johtaa siten yhtälöön + 𝜀𝑐𝑜 𝜉 4 = Saatu yhtälö voidaan muuntaa myös muotoon 4 𝜂 3 𝜂 𝜉 𝑒𝑖 𝜉 + 4 𝜂 𝜀𝑐𝑜 𝑙𝑐 𝜋 = 0 (.5) Kyseisestä toisen asteen yhtälöstä saadaan puristusvyöhykkeen suhteelliselle korkeudelle 𝜉 lauseke 3 𝜂 𝑒 4 𝜂 𝑙𝑐 𝜋 𝜉 = 4 𝜂 𝑖 + 4 𝜀𝑐𝑜 𝜂 3 𝜂 𝑒 𝑖 (.6) Puristusvyöhykkeen suhteellisen korkeuden 𝜉 lausekkeesta (.6) nähdään, että sillä on reaaliarvoja vain jos
7 l c 4 η 4 ε co η πh 3 η e i h 0 (.7) mistä seuraa hoikkuudelle l h vuorostaan ehto π 3 η 4 ε co (4 η ) ( e i h ) (.8) Mikäli siis sauvan hoikkuus on kaavan (.8) osoittamaa arvoa pienempi, ei tämän kohdan alussa esitetty jännitysjakauma ei ole voimassa. Lisäksi omat rajoituksensa jännitysjakauman käytölle asettaa ehto, jonka puristusvyöhykkeen suhteellisen korkeuden on oltava ξ. Edellä olevasta suhteellisen puristusvoiman ν lausekkeesta (.) havaitaan, että se riippuu sekä puristusvyöhykkeen suhteellisesta korkeudesta ξ että suhteellisesta puristumasta η. Koska tarkoitus on löytää sen maksimiarvo, kyse on siten ääriarvotehtävästä, jossa perusmuuttuja on η. Tarkka matemaattinen ratkaisu muodostuu kuitenkin siksi työlääksi, että käytännössä on joudutaan käyttämään numeerista lähestymistapaa... Puristetun reunan puristuma on välillä ε co ε c ε cu Kuvio 4
8 Betonin puristusjännitykset 𝜎 mutta muuttuvat parabolisesti nollasta maksimiarvoonsa 𝑓, kun 0 𝜀 𝜀" eli 0 𝜂, mutta pysyvät 𝑓 :n suuruisina, kun 𝜀" 𝜀 𝜀" eli 𝜂,75. Puristusjännitysten resultantille 𝑁 voidaan siten kirjoittaa suoraan 𝑁 = 𝑓 𝑏 𝑥 3 𝑓 𝑏 𝑎 Betonin puristusjännitykset 𝜎 mutta muuttuvat parabolisesti nollasta maksimiarvoonsa 𝑓, kun 0 𝜀 𝜀" eli 0 𝜂, mutta pysyvät 𝑓 :n suuruisina, kun 𝜀" 𝜀 𝜀" eli 𝜂,75. Puristusjännitysten resultantille 𝑁 voidaan siten kirjoittaa suoraan 𝑁 = 𝑓 𝑏 𝑥 3 𝑓 𝑏 𝑎 Kuvion 4 perusteella 𝜀 𝑎 = 𝜀𝑐𝑜 = 𝜂 𝜉 𝑐 missä 𝑥 𝜉 = Puristusvoiman 𝑁 lauseke saadaan siten muotoon 𝑁 = 𝑓 𝑏 𝜉 ( 3 𝜂 ) Suhteellisella puristusvoimalla 𝜈 on siten lauseke 𝜈 = 𝜉 ( 3 𝜂 ) tai toisessa muodossa esitettynä 𝜈 = 3 𝜉 3 𝜂 𝜂 (.9) Momenttiresultantin 𝑀 lauseke voidaan kehitellä vastaavalla tavalla. 𝑥 𝑀 = 𝑓 𝑏 𝑥 = 𝑓 𝑏 𝜉 𝜉 + 3 𝑓 𝑏 𝑎 + 3 𝑓 𝑏 𝜂𝜉 𝑎 𝑥 + 4𝑜 = 𝜉 𝜉 4 𝜂 Suhteelliselle momentille saadaan siten lauseke 𝜉 𝜇 = 6 3 𝜉 + 𝜂 [ 𝜉 ( 𝜂 ) ] Koska puristusvoiman suhteellinen epäkeskisyys on (.0)
9 = sille saadaan edellä olevien 𝜇:n ja 𝜈:n lausekkeiden avulla ilmaisu = + 𝜉 ( 𝜂 ) 3 𝜉 (.) Saatu yhtälö voidaan esittää myös muodossa 𝑒 = Kun otetaan huomioon, että 3 𝜂 = missä 𝜉 3 𝜂 + 𝜂 + 𝑒 𝜂 𝑙 𝜀" 𝜉 𝜋 ) saadaan yhtälö 𝜂 𝑒 𝑙𝑐 𝑖 + 𝜉 𝜀" 𝜋 ) = 𝜉 3 𝜂 + 𝜂 3 𝜂 joka voidaan muuntaa toisen asteen yhtälön muotoon 3 + 𝜂 𝜉 𝜉 + 𝜂 𝜀𝑐𝑜 ) =0 Saadun varsin monimutkaisen yhtälön ratkaisu on niinikään monimutkainen 𝜉 = 3 𝜂 + 𝑒𝑖 𝑒𝑖 𝜂 𝑙𝑐 + 8 𝜂 𝜀 𝑐𝑜 3 𝜂 𝜋 ) 3 𝜂 + joka voidaan esittää myös muodossa 𝜉= 3 𝜂 3 𝜂 𝑒 𝑖 + 3 + 𝜂 Saadulla ratkaisulla on reaaliarvoja vain, jos 𝜂 8 𝜀𝑐𝑜 𝜂 3 + 𝜂 3 𝜂 𝑙𝑐 𝜋 𝑒 𝑖 (.)
0 8 ε " η 3 + η 3 η lc π h e i h 0 Tästä saadaan tästä sauvan redusoidulle hoikkuudelle ehto π η η + ( e i ) (.3) h Mikäli siis sauvan hoikkuus on kaavan (.3) osoittamaa arvoa pienempi, ei oletettu jännitysjakauma ei ole voimassa. Lisäksi puristusvyöhykkeen suhteellisen korkeuden on oltava ξ.. Poikkileikkaus on kauttaaltaan puristettu Kuvio 5 Kyseisessä tapauksessa normaalivoiman suhteellinen epäkeskisyys on pieni eli e h 0,084. Tapaus on siten vaikutusalueeltaan varsin vähäinen, mutta kokonaisuuden kannalta sekin on syytä selvittää. Tällöin on tarkasteltavana olevaa puristusvoiman kriittistä arvoa N " ja samalla sen suhteellista arvoa ν " selvitettäessä on kyseessä pääasiassa tapaus:
𝜀" 𝜀 𝜀" 𝜀 𝜀" eli suhteellisessa muodossa ilmaistuna 𝜂,75 𝜂 Paraabelipinnan tunnettuja ominaisuuksia käyttäen voidaan voimasuureet 𝑁 ja 𝑀 kuvion 5 mukaan määrittää myös seuraavasti: 𝑁 = 𝑓 𝑏 3 (𝑓 𝜎 ) 𝑏 𝑎 𝑎 𝑀 = 3 (𝑓 𝜎 ) 𝑏 𝑦 4𝑜 Kyseisissä lausekkeissa vähemmän puristetun reunan jännitys 𝜎 on kohdan. mukaan 𝜎 = 𝑓 𝜂 ( 𝜂 ) Kuvion mukaan voidaan etäisyydeksi 𝑦 saadaan 𝜂 𝜀𝑐𝑜 𝜀 𝑎 = 𝜀 𝜀𝑐 = 𝜂 𝜂 𝑐 𝑐 Puristusvoiman 𝑁 lauseke voidaan kirjoittaa siten muotoon 𝜂 𝑁 = 𝑓 𝑏 3 𝜂 𝜂 𝜂 𝜂 josta saadaan suhteelliselle puristusvoimalle 𝜈 lauseke 𝜂 𝜈 = 3 𝜂 𝜂 𝜂 𝜂 (.4) Taivutusmomentille 𝑀 ja sen suhteelliselle arvolle 𝜇 voidaan kirjoittaa vuorostaan lausekkeet 𝜂 𝜂 𝑀 = 𝑓 𝑏 3 𝜂 𝜂 𝜂 𝜂 4 𝜂 𝜂 𝜇 = 4 𝜂 𝜂 𝜂 𝜂 𝜂 𝜂 𝜂 Aikaisemmissa kohdissa esitettyjen selvitysten mukaan ja = = + (.5)
Koska kyseisessä tapauksessa koko poikkileikkaus on puristettu, suhteellinen epäkeskisyys e h on lausekkeen (.) mukaan e h η l η ε " π h) Näin ollen saadaan yhtälö η η ε co ) = 0 (.6) josta varioimalla suureiden η ja η arvoja voidaan selvittää esimerkiksi numeerisesti suurin mahdollinen suhteellisen puristusvoiman arvo ν " vastaamaan erilaisia hoikkuuksien l h arvoja. 3. PURISTUSVOIMAN KRIITTINEN ARVO Suhteellisten normaalivoimien kriittisten arvojen ν " riippuvuus hoikkuuksista l h voidaan edellä oleviin selvityksiin perustuvien numeeristen analyysien perusteella koota seuraavaan graafiseen muotoon: Kuvio 7
3 Mikäli kuvion 7 mukainen käyräparvi muunnetaan koordinaatistoon, jossa molemmat koordinaatit jaetaan luvulla, käyräparvi kutistuu kuvion 8 mukaiseen muotoon eli hoikkuudesta l h 5 lähtien kaikki käyrät kutakuinkin yhtyvät. Hoikkuuden ollessa varsin pieni l h < 5 poikkeamista tapahtuu tälläkin alueella vain erittäin pienillä suhteellisen epäkeskisyyden e h arvoilla. Kuvio 8 Jos teoreettinen tapaus e = 0 jätetään ottamatta huomioon, kuvion perusteella voidaan siten päätellä, että hoikkuuden ollessa välillä ν " + lc h 33 e i h (3.) Arvioitiinpa kriittisen puristusvoiman ν " arvot kuvion 8 mukaisen käyrästön tai kaavan (3.) avulla puristusvoiman kriittinen arvo on lopulta ilmaistavissa kaavalla N " = ν " b h f (3.)
4 Kuten luvussa mainittiin, sauvan taipumaviiva otaksuttiin likimääräisesti sinikäyrän muotoiseksi. Mikäli sauvaa rasittaisi alun perin koko sauvan matkalta vakiosuuruinen epäkeskisyys e, olisi edellä mainittuja käyrästöjä ja likimääräiskaavaa käytettäessä hoikkuusarvot l h kerrottava luvulla π 8,. Johdannossa esitettyyn otaksumaan siitä, että puristusvoiman kriittinen arvo on hoikissa sauvoissa yleensä suurempi kuin materiaalien murtumisarvoja vastaava puristuskapasiteetti, voidaan kuviossa 6 esittää muutamia havainnollistavia esimerkkejä tästä otaksumasta. Tehtyjen selvityksen mukaan kyseinen otaksuma näyttää olevan täysin perusteltu. j Kuvio 9 Vaasassa.4.04 Pentti Ruotsala