z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten analyysissä (c) Antti Kosonen 2013 1

z muunnos Diskreettiaikaisen signaalin muunnos määritellään yhtälöllä missä on kompleksinen muuttuja Merkitään, jolloin :n ja :n välinen yhteys merkitään Käänteinen operaatio on käänteinen muunnos muunnos on olemassa vain niillä :n arvoilla, joilla sarja suppenee (ääretön potenssisarja) Suppenemisalue (eng. region of convergence, ROC) on niiden :n arvojen joukko, joilla saa äärellisiä arvoja (c) Antti Kosonen 2013 2

z muunnos esimerkki Esimerkki 3.1.1. Määritä seuraavien äärellisen pituisten sekvenssien muunnokset: a) 1, 2, 5, 7, 0, 1 b) 1, 2, 5, 7, 0, 1 c) 0, 0, 1, 2, 5, 7, 0, 1 d) 2, 4, 5, 7, 0, 1 e) f), 0 g), 0 (c) Antti Kosonen 2013 3

z muunnos ratkaisu Ratkaisu 3.1.1. muunnoksen määritelmä a) b) 12 5 7, ROC: koko taso, paitsi 0 257, ROC: koko taso, paitsi 0ja (c) Antti Kosonen 2013 4

c) d) 2 5 7, ROC: koko taso, paitsi 0 2 457, ROC: koko taso, paitsi 0ja e) Koska 1, kun 0 1, ROC: koko taso (c) Antti Kosonen 2013 5

f) Koska 1, kun, ROC: koko taso, paitsi 0 g) Koska 1, kun, ROC: koko taso, paitsi (c) Antti Kosonen 2013 6

z muunnos (jatkuu) Äärellisen pituisen sekvenssin muunnoksen ROC on koko taso, poislukien mahdollisesti 0ja/tai, jos 0, jos 0 0 :n eksponentti sisältää aikainformaation, millä yksilöidään signaalin näytteet hetkellä Esimerkki 3.1.2. Määritä seuraavan signaalin muunnos 1 2 Ratkaisu 3.1.2. Esitetään luennolla. (c) Antti Kosonen 2013 7

ROC:n selvittäminen yleisessä tapauksessa Merk., :n ROC:n sisäpuolella,, jos ROC:n etsiminen tarkoittaa siis sellaisen :n arvojen joukon etsimistä, joilla on absoluuttisesti summautuva (c) Antti Kosonen 2013 8

Tarkastellaan vielä :n itseisarvoa ROC:ssa molempien summatermien täytyy olla äärellisiä (c) Antti Kosonen 2013 9

J= I 1 H 5 K F F A A EI = K A K 5 N H J= I 1 H : I K F F A A EI = K A H H H 4 + Kuva. :n antikausaalisen komponentin ROC. 4 A J= I 1 H 5 K F F A A EI = K A K 5 4 A N H 4 A Ensimmäinen summa H Kuva. :n ROC. 4 + Kuva. :n kausaalisen komponentin ROC. Toinen summa molemmat Jos, ei olemassa (c) Antti Kosonen 2013 10

z muunnos esimerkit Esimerkki 3.1.3. Määritä seuraavan signaalin muunnos, 0 0, 0 Ratkaisu 3.1.3. Esitetään luennolla. Esimerkki 3.1.4. Määritä seuraavan signaalin muunnos 1 0, 0 antikausaalinen, 0 Ratkaisu 3.1.4. Esitetään luennolla. (c) Antti Kosonen 2013 11

z muunnos esimerkit (jatkuu) Esimerkki 3.1.5. Määritä seuraavan signaalin muunnos 1 Ratkaisu 3.1.5. Esitetään luennolla. (c) Antti Kosonen 2013 12

z muunnos yhteenveto (1/2) Signaalit, joilla äärellinen kesto = K I = = E A N Koko taso, paitsi 0 ) JE = K I = = E A N Koko taso, paitsi = I E F K A E A N Koko taso, paitsi 0 ja (c) Antti Kosonen 2013 13

z muunnos yhteenveto (2/2) Signaalit, joilla ääretön kesto = K I = = E A N H ) JE = K I = = E A N H = I E F K A E A N H H (c) Antti Kosonen 2013 14

Hyödyllisiä sarjoja Geometrinen sarja: Variaatiot: 1 1 1 1 1, 1 1 1, 1 1 1, 11 1 1 (c) Antti Kosonen 2013 15

z muunnoksen ominaisuuksia Lineaarisuus (eng. linearity) Jos niin Kaikilla vakioilla ja Esimerkki 3.2.1. Määritä seuraavan signaalin muunnos ja ROC 3 2 4 3 Ratkaisu 3.2.1. Esitetään luennolla. (c) Antti Kosonen 2013 16

Ajansiirto (eng. time shifting) Jos niin Viivettä kuvaava lohkokaaviosymboli Esimerkki 3.2.2. Määritä esimerkin 3.1.1 signaalien ja z muunnokset :n z muunnoksesta hyödyntämällä ajansiirto ominaisuutta Ratkaisu 3.2.2. Esitetään luennolla. (c) Antti Kosonen 2013 17

Skaalaus (eng. scaling) Jos, ROC: niin, ROC: kaikilla vakion arvoilla, reaaliset ja kompleksiset. (c) Antti Kosonen 2013 18

Ajan kääntäminen (eng. time reversal) Jos, ROC: niin, ROC: tai 1 1 Esimerkki 3.2.3. Määritä seuraavan signaalin muunnos Ratkaisu 3.2.3. Esitetään luennolla. (c) Antti Kosonen 2013 19

Derivointi z tasossa (eng. differentiation in z domain) Jos niin Esimerkki 3.2.4. Määritä seuraavan signaalin muunnos Ratkaisu 3.2.4. Esitetään luennolla. (c) Antti Kosonen 2013 20

Konvoluutio (eng. convolution) Jos niin Konvoluutio aikatasossa vastaa kertolaskua z tasossa Esimerkki 3.2.5. Määritä seuraavien signaalien konvoluutio 1, 2, 1 1, 0 5 0 Ratkaisu 3.2.5. Esitetään luennolla. (c) Antti Kosonen 2013 21

Korrelaatio (eng. correlation) Jos niin Esimerkki 3.2.6. Määritä seuraavan signaalin autokorrelaatiosekvenssi, 11 Ratkaisu 3.2.6. Esitetään luennolla. (c) Antti Kosonen 2013 22

Alkuarvoteoreema (eng. initial value theorem) Jos on kausaalinen, niin 0 lim Todistus Koska on kausaalinen, muunnoksen määritelmästä seuraa 0 1 2 Kun, 0, jos 0. Teoreema seuraa tästä. Huom. muunnoksen ominaisuuksia ja muunnospareja on taulukoitu. (c) Antti Kosonen 2013 23

Rationaaliset z muunnokset Navat ja nollat (eng. zeros and poles) muunnoksen nollia ovat ne :n arvot, joilla 0 muunnoksen napoja ovat ne :n arvot, joilla Jos on rationaalifunktio, se voidaan ilmaista muodossa Tämä voidaan edelleen kirjoittaa muotoon (c) Antti Kosonen 2013 24

missä, 1,,ovat polynomin juuret ja, 1,, ovat polynomin juuret :lla on nollaa (äärellistä) napaa (äärellistä) nollaa origossa ( ) 0 napaa origossa ( ) 0 (c) Antti Kosonen 2013 25

Napa tai nolla voi olla myös :ssä o nolla, jos 0 o napa, jos napoja ja nollia yhtä monta voidaan kuvata graafisesti kompleksitasossa napa nollakuvion (eng. pole zero plot) avulla o napa () o nolla (O) (c) Antti Kosonen 2013 26

Napa nollakuvio esimerkit Esimerkki 3.3.1. Piirrä seuraavan signaalin napa nollakuvio, 0 Ratkaisu 3.3.1. Esitetään luennolla. Esimerkki 3.3.2. Piirrä seuraavan signaalin napa nollakuvio, 0 1 0, muualla kun 0. Ratkaisu 3.3.2. Esitetään luennolla. (c) Antti Kosonen 2013 27

Myös toisin päin onnistuu: jos tunnetaan napa nollakuvio, voidaan määrittää (:tä lukuunottamatta) Esimerkki 3.3.3. Määritä oheista napa nollakuviota vastaava z muunnos sekä vastaava signaali. 4 + 1 F H M M 4 A F Ratkaisu 3.3.3. Esitetään luennolla. Kuva. Napa nollakuvio. (c) Antti Kosonen 2013 28

Navan sijainti ja kausaalisen signaalin käyttäytyminen aikatasossa Kausaalisten signaalien aikatason käyttäytyminen riippuu siitä, ovatko muunnoksen navat yksikköympyrän (eng. unit circle) sisä vai ulkopuolella vai ympyrän kehällä Jos reaalisen signaalin muunnoksella on yksi napa, tämän on oltava reaalinen Ainoa tällainen signaali on reaalinen eksponenttisignaali 1 1, ROC: Kausaalinen signaali, jolla on kaksinkertainen reaalinen napa 1, ROC: (c) Antti Kosonen 2013 29

J= I N J= I N J= I N J= I N J= I N J= I N Kuva. Kausaalinen signaalin (yksi reaalinen napa). (c) Antti Kosonen 2013 30

J= I N J= I N J= I N J= I N J= I N J= I N Kuva. Kausaalinen signaalin (kaksinkertainen reaalinen napa). (c) Antti Kosonen 2013 31

J= I N H M J= I N H M J= I N H H M Kuva. Kausaalinen signaalin (navat kompleksikonjugaattipari). (c) Antti Kosonen 2013 32

J= I M N Kuva. Kausaalinen signaalin (kaksinkertainen kompleksikonjugaattinapapari). (c) Antti Kosonen 2013 33

LTI järjestelmien siirtofunktio LTI järjestelmän lähtö saadaan konvoluution avulla muunnetaan yhtälö Impulssivasteen muunnosta nimitetään siirtofunktioksi (eng. transfer function) tai systeemifunktioksi (eng. system function) Jos järjestelmä on kuvattu lineaarisella vakiokertoimisella differenssiyhtälöllä on järjestelmän siirtofunktio 1 (c) Antti Kosonen 2013 34

Todistus muunnetaan differenssiyhtälö 1 Mistä voidaan ratkaista 1 (c) Antti Kosonen 2013 35

Siirtofunktio esimerkki Esimerkki 3.3.4. Määritä seuraavan järjestelmän siirtofunktio ja yksikköimpulssivaste, kun järjestelmän differenssiyhtälö 1 1 2 2 Ratkaisu 3.3.4. muunnetaan differenssiyhtälö 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 (c) Antti Kosonen 2013 36

Yksikköimpulssivaste on siirtofunktion käänteismuunnos. Sitä varten käytetään taulukkoa, josta löytyy muunnospari 1 1 Siten 2 1 2 Mitkä ovat eo. siirtofunktion navat ja nollat? Muokataan edelleen 2 1 1 2 2 1 2 Siten siirtofunktiolla on nolla kohdassa 0ja napa kohdassa. (c) Antti Kosonen 2013 37

All zero ja all pole järjestelmät Siirtofunktion yleisestä muodosta saadaan kaksi erikoistapausta: Jos 0, kun 1:FIR järjestelmän siirtofunktio 1 nollaa, joiden arvot on määritelty järjestelmäparametreilla kertainen napa kohdassa 0 all zero järjestelmä (ei välitetä navoista origossa) Jos 0, kun 1: siirtofunktio 1, 1 napaa, joiden arvot on määritelty järjestelmäparametreilla kertainen nolla kohdassa 0 all pole järjestelmä (ei välitetä nollista origossa) (c) Antti Kosonen 2013 38

Käänteinen z muunnos Käänteinen muunnos määritellään yhtälöllä 1 2π on suljettu tie, joka kiertää origon ja sijaitsee :n suppenemisalueessa, esim. ympyrä suppenemisalueen sisällä Käytännössä käänteinen muunnos muodostetaan jollakin seuraavista menetelmistä: 1. Integraalin (eng. contour integration) suoraviivainen laskenta 2. Potenssisarjakehitelmän (eng. power series expansion) muodostaminen (:n ja :n sarja) 3. Osamurtokehitelmän (eng. partial fraction expansion) muodostaminen ja taulukko (c) Antti Kosonen 2013 39

Pintaintegraalin laskenta Cauchyn residyteoreema (eng. Cauchy s integral theorem): Jos :n 1 kertainen derivaatta on olemassa ja :lla ei ole napoja kohdassa, niin 1 2π 1 1!, jos on : n sisällä 0, jos on : n ulkopuolella Jos 1: 1 2π, jos on : n sisällä 0, jos on : n ulkopuolella (c) Antti Kosonen 2013 40

Tarkastellaan muotoa olevan funktion integrointia: o :lla ei ole napoja :n sisällä o on polynomi, jolla on erilliset juuret,,, :n sisällä Integraali voidaan kirjoittaa silloin seuraavasti 1 2π 1 2π 1 2π missä (c) Antti Kosonen 2013 41

Arvot ovat napoja, 1, 2,, vastaavat residyt Integraalin arvo on siis :n sisällä olevien residyjen summa Käänteinen muunnos on edellisen perusteella 1 2π : n residy kohdassa : ää missä viimeinen muoto pätee vain, jos navat ovat erillisiä (c) Antti Kosonen 2013 42

Pintaintegraalin laskenta esimerkki Esimerkki 3.4.1. Määritä seuraavan muunnoksen käänteismuunnos 1 1, käyttämällä käänteismuunnoksen määritelmää. (c) Antti Kosonen 2013 43

Pintaintegraalin laskenta ratkaisu Ratkaisu 3.4.1. Tiedetään, että 1 2π 1 1 2π missä on ympyrä, jonka säde on suurempi kuin. Nyt. :n suuruus ( 0 vai 0eli onko vai, 0) vaikuttaa napojen lukumäärään. Tarkastellaan siksi erikseen tapauksia 0ja 0 1. Jos 0: :lla on vain nollia eikä siten napoja :n sisällä. :n sisällä on yksi napa. Siten, 0 2. Jos 0: :llä on kertainen napa kohdassa 0, joka on :n sisällä. Siten molemmilla navoilla on vaikutus. Jos 1, saadaan 1 1 2π 1 1 1 1 1 0 (c) Antti Kosonen 2013 44

Jos 2, saadaan 2 1 2π 1 1 1 1! 1 1 1 1 1 0 Jos 3, saadaan 3 1 2π 1 1 1 2! 1 1 2 1 1 2 1 1 1 0 Jatkamalla samaan tapaan eteenpäin, havaitaan, että 0, kun 0. Siten (c) Antti Kosonen 2013 45

Potenssisarjakehitelmä Perusidea: muunnos voidaan kirjoittaa potenssisarjana seuraavasti mikä suppenee annetussa ROC:ssa. Tällöin signaalin käänteismuunnos on kaikilla :n arvoilla Esimerkki 3.4.2. Määritä seuraavan muunnoksen käänteismuunnos 1 1 1,5 0,5 kun a) ROC: 1 b) ROC: 0,5 Ratkaisu 3.4.2. Esitetään luennolla. (c) Antti Kosonen 2013 46

Osamurtokehitelmän ja taulukon käyttö Tavoite: Pyritään ilmaisemaan muodossa missä,, ovat lausekkeita, joiden käänteismuunnokset saadaan muunnosparitaulukosta Soveltuu erityisen hyvin rationaalifunktioiden käänteismuunnoksen laskemiseen 1 1 Rationaalifunktio on sopiva (eng. proper), jos 0ja (nollia vähemmän kuin napoja) Epäsopiva rationaalifunktio ( ) voidaan kirjoittaa polynomin ja sopivan rationaalifunktion summana (c) Antti Kosonen 2013 47

Osamurtokehitelmä muodostetaan jakamalla nimittäjä tekijöihin ja ilmaisemalla seuraavasti missä,,, ovat :n navat Jos navat ovat erilliset (eng. distinct poles), kertoimet saadaan seuraavasti, 1,2,, (c) Antti Kosonen 2013 48

Jos navat ovat kompleksiset ja signaali reaalinen o jos on :n kompleksinen napa myös on napa Jos napa on kertainen, osamurtokehitelmä sisältää seuraavat termit Kertoimet saadaan derivoinnin kautta (c) Antti Kosonen 2013 49

Erilliset navat esimerkki Esimerkki 3.4.3. Muodosta osamurtokehitelmä muunnokselle 1 1 1,5 0,5 Ratkaisu 3.4.3. Esitetään luennolla. (c) Antti Kosonen 2013 50

Kompleksiset navat esimerkki Esimerkki 3.4.4. Muodosta osamurtokehitelmä muunnokselle 1 1 0,5 Ratkaisu 3.4.4. Esitetään luennolla. (c) Antti Kosonen 2013 51

Moninkertaiset navat esimerkki Esimerkki 3.4.5. Muodosta osamurtokehitelmä muunnokselle 1 1 1 Ratkaisu 3.4.5. Esitetään luennolla. (c) Antti Kosonen 2013 52

Käänteinen muunnos 1 1 Kausaalisen signaalin ROC: Navat:,,,, jos ROC: 1, jos ROC: ROC:, missä max,,, Yleisesti kompleksikonjugaattiparin käänteismuunnos on (kausaalinen signaali) Merkitään (polaarinen muoto) (c) Antti Kosonen 2013 53

Siten kompleksikonjugaattiparin käänteismuunnos voidaan kirjoittaa uuteen muotoon Siten 2 cos 1 1 2 cos jos ROC on Kompleksikonjugaattinavat tasossa tuottavat kausaalisen sinimuotoisen signaalin aikatasoon (c) Antti Kosonen 2013 54

Käänteismuunnos esimerkki Esimerkki 3.4.6. Määritä signaali, jonka muunnos 1 1 1,5 0,5 kun a) ROC: 1 b) ROC: 0,5 c) ROC: 0,5 1 Ratkaisu 3.4.6. Esitetään luennolla. (c) Antti Kosonen 2013 55

Kausaalisuus ja stabiilius LTI järjestelmä on kausaalinen, jos 0, 0 LTI järjestelmä on kausaalinen, jos ja vain jos järjestelmän siirtofunktion ROC on säteisen ympyrän ( ) ulkopuoli sisältäen pisteen LTI järjestelmä on BIBO stabiili, jos LTI järjestelmä on BIBO stabiili, jos ja vain jos järjestelmän siirtofunktion ROC sisältää yksikköympyrän Kausaalinen LTI järjestelmä on BIBO stabiili, jos ja vain jos järjestelmän siirtofunktion kaikki navat ovat yksikköympyrän sisäpuolella (c) Antti Kosonen 2013 56

Kausaalisuus ja stabiilius esimerkki Esimerkki 3.5.1. Erään lineaarisen aikainvariantin järjestelmän siirtofunktio on 34 13,5 1,5 1 1 1 2 2 13 Määritä siirtofunktion ROC ja impulssivaste seuraavissa tapauksissa: a) Järjestelmä on stabiili. b) Järjestelmä on kausaalinen. c) Järjestelmä on antikausaalinen. (c) Antti Kosonen 2013 57

Kausaalisuus ja stabiilius ratkaisu Ratkaisu 3.5.1. Järjestelmällä on navat kohdissa ja 3 a) Koska järjestelmä on stabiili, täytyy yksikköympyrän kuulua ROC:in. Siten ROC on 3. on tällä perusteella ei kausaalinen 1 2 3 1 2 b) Koska järjestelmä on kausaalinen, sen ROC on 3. Impulssivaste on silloin 1 2 3 2 Järjestelmä on tässä tapauksessa epästabiili, koska ROC ei sisällä yksikköympyrää. c) Järjestelmä on antikausaalinen, joten sen ROC on 0,5. Siten 1 2 3 1 2 Järjestelmä on tässä tapauksessa epästabiili, koska ROC ei sisällä yksikköympyrää. (c) Antti Kosonen 2013 58

Konvoluutio esimerkki Esimerkki 3.5.2. Laske seuraavien signaalien konvoluutio muunnoksen avulla 1, 0 3 1, 0 2 1 2 Ilmoita tulos aikatasossa. Ratkaisu 3.5.2. Esitetään luennolla. (c) Antti Kosonen 2013 59