DYNAMIIKKA II, LUENTO 1 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
LUENNON SISÄLTÖ Yleisiä asioita syksyn 2015 kurssista. Johdanto: Dynamiikka osana mekaniikkaa ja sen tarkastelukohteet. Dynamiikan ongelmien ratkaiseminen. Mekaniikan koordinaatistot.
KURSSI SYKSYLLÄ 2015
YLEISIÄ ASIOITA Kurssin henkilökunta: Vastaava opettaja: Arttu Polojärvi (etunimi.sukunimi(at)aalto.fi), vastaanotto ke 14-15, huone 214 (puumiehenkuja 5A). Tuntiassistentti: Ali Rabiei (etunimi.sukunimi(at)aalto.fi), vastaanotto laskutuvan yhteydessä. Laskuharjoitukset: Palautus klo 12.00 mennessä keskiviikkoisin luentosalin viereisen käytävän postilaatikkoon tai harjoitusten alussa luennoitsijalle. Tenttioikeus edellyttää laskuharjoitusten osittaista suorittamista (alla lisää). Luentotehtävät: Luentojen yhteydessä kullakin viikolla. Ilmoittaudu kurssille weboodissa! Tenttioikeus: seuraavaan luennointikertaan saakka (4 kpl tenttejä).
KURSSIN ARVOSTELUSTA Kotitehtävät (3-4/kierros, 5 kierrosta): maksimi 30 p. 5 luentotehtävää (0-2 p./tehtävä): maksimi 10 p. Tenttioikeus: kotitehtävistä yhteensä 12 p (40 % neljältä kierrokselta). Hyvin suoritetut kotitehtävät (yli 15 pistettä): maksimi 8 tenttipistettä. Hyvin suoritetut luentotehtävät (yli 5 pistettä): maksimi 2 tenttipistettä. Koti- ja luentotehtävien antamat lisätenttipisteet (ei voi tulla negatiivisia lisäpisteitä): ( ) ( ) K L lisäpisteet = 8 15 1 + 2 1, 5 jossa K ja L ovat on koti- ja luentotehtävien yhteenlasketut pistemäärät. Lisäpisteet käytössä vain ensimmäisessä tentissä, johon opiskelija osallistuu. Tentissä jaossa 30 p. ja pelkillä tentti-pisteillä voi myös saada arvosanan 5 (jaossa olevat 10 lisäpistettä nostavat arvosanaa helposti). Tavoitteena on kannustaa opiskeluun koko kurssin keston ajan!
ALUSTAVA AIKATAULU SYKSY 2015 KUL$49.3100,,Dynamiikka,II,,alustava,aikataulu,S2015 VK/VKP MA TI, KE TO PE 38,(14$19.9) 39,(21$25.9) LT1 kertaus,)napa,)ja) sylinterikoordinatisto,) vektorin)derivaatta Jäykän)kappaleen) kinematiikka,)kappaleen) suuntautuneisuuden) kuvaus LH1,,> LH1)<,,,)LH2),,> pallokoordinaatisto,) vektorin)muutosnopeus,) liikeyhtälöiden) muodostaminen kappaleen) suuntautuneisuuden) kuvaus,)suhteellinen)liike 40,(28.9$2.10) LT2 Jäykän)kappaleen) kinetiikka)ja)hyrräyhtälöt) 1 LH2)<,,,)LH3),,> Jäykän)kappaleen) kinetiikka)ja)hyrräyhtälöt) 2 41,(5$9.10) LT3 Lagrangen)formalismi)1 LH3)<,,,)LH4)&)LH5),,> Lagrangen)formalismi)2 42,(12$16.10) LT4 Lagrangen)formalismi)3 LH4*)<,, LH5)<,,)ja)kertausluento 43,(19$23.10) ) Tentti LT)=)laskutupa,)LH)=)laskuharjoitus LH4*)palautus)siirtyy)joko)viikon)42)torstaille)tai)tiistaille Tentin)lisäpisteet)määritellään)viiden)laskuharjoituskierroksen)perusteella. Tenttioikeus)määräytyy)neljän)laskuharjoituskierroksen)perusteella. ",,>")=)jaetaan)opiskelijoille,)"<,,")palautetaan
OPPIMISTAVOITTEET Kurssin jälkeen opiskelija osaa: Määritellä jäykän kappaleen kolmedimensioisen liikkeen kannalta tärkeät koordinaatistokäsitteet, suureet ja peruslakien muodot. Soveltaa tehokkaasti erilaisia koordinaatistoja dynamiikan ongelmien ratkaisemisessa. Johtaa jäykän kappaleen liikeyhtälöt lähtien keskeisistä rakennuspalikoista ja soveltamaan hyrräyhtälöitä. Soveltaa Lagrangen formalismia partikkelin, partikkelisysteemin ja jäykän kappaleen liikeyhtälöiden muodostamiseen konservatiivisten ja ei-konservatiivisten systeemien tapauksessa.
OPISKELUSTA TÄLLÄ KURSSILLA Kurssille on syytä varata riittävästi aikaa (4op vastaa noin 100h työskentelyä) ja työskentely alusta alkaen kannattaa: Kunkin luennon oppimistavoitteet perustuvat paljolti aikaisemmilla luennoilla opittuun. Kurssilla täytyy suorittaa kohtuu paljon itsenäistä työskentelyä, mutta kannustan ryhmätyöhön niin kauan kun kyse ei ole kopioinnista. Ryhmässä miettimällä ja keskustelemalla asiat aukeavat usein helpommin. Silmäile luentomateriaalia jo ennen luentoja ja tutustu kunkin luennon oppimistavoitteisiin ja sisältöön. Voit miettiä vaikuttaako jokin asia vaikealta. Harjoitustehtävät liittyvät hyvin läheisesti kurssin oppimistavoitteisiin: Laskemalla tehtäviä voit varmistaa saavuttavasi oppimistavoitteet sekä saat rutiinia. Jos osaat laskarit, olet vähintäänkin hyvin lähellä tavoitteiden saavuttamista. Älä kiinnitä liikaa huomiota ratkaisujen yksityiskohtiin (älä opettele ulkoa), vaan mieti mikä on yhteistä eri tehtävien ratkaisuille (suuremmat linjat ja teoria). Kurssin lopussa oppimistavoitteiden saavuttamista testataan tentillä ja luentojen tavoitteiden saavuttamista laskuharjoituksin. Lisäksi luennoilla ratkotaan tehtäviä, joiden on tarkoitus aktivoida miettimään kunkin luennon asioita tuoreeltaan.
LUENTOKALVOJEN MERKINNÖISTÄ Olen pyrkinyt pääosin käyttämään useissa lähteissä esiintyvää tyyliä: Skalaarit: kursivoituja pienaakkosia (esim. m) Vektorit: lihavoituja pienaakkosia (esim. f) Matriisit: suuraakkoset lihavoituna (esim. L) Huomaa: Mikäli epäilet löytäneesi painovirheen, ota yhteyttä minuun!
DYNAMIIKKA YLEISESTI
MEKANIIKKA JA DYNAMIIKKA Mekaniikka: Fysiikan haara, jossa tarkastellaan voimien vaikutuksen alaisena olevien kappaleiden liikettä ja lepotilaa.
DYNAMIIKKA JA SEN SOVELLUSKOHTEET Dynamiikka: Tarkastellaan erityisesti kappaleiden liiketilaa ottaen huomioon liikkeen syy eli voimat.
DYNAMIIKKA JA SEN SOVELLUSKOHTEET Sovelluskohde: jääkuormien tutkiminen ja mallintaminen.
DYNAMIIKKA JA SEN SOVELLUSKOHTEET Siirtymäkentän gradientit: kokeet (vas) ja simulaatiot (oik) (Polojärvi et al., 2013) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x [m] Indentor displacement y I 30 mm
DYNAMIIKKA JA SEN SOVELLUSKOHTEET Siirtymäkentän gradientit: kokeet (vas) ja simulaatiot (oik) (Polojärvi et al., 2013) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x [m] Indentor displacement y I 80 mm
DYNAMIIKKA JA SEN SOVELLUSKOHTEET Siirtymäkentän gradientit: kokeet (vas) ja simulaatiot (oik) (Polojärvi et al., 2013) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x [m] Indentor displacement y I 200 mm
DYNAMIIKKA JA SEN SOVELLUSKOHTEET Siirtymäkentän gradientit: kokeet (vas) ja simulaatiot (oik) (Polojärvi et al., 2013) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x [m] Indentor displacement y I 240 mm
MEKANIIKAN PERUSLAIT Täällä toistuvasti vastaan tulee ja sovelletaan: Massan säilymisen periaate: Systeemin massa on vakio ṁ = 0 Liikemäärän taseen periaate: Kappaleen liikemäärän muutosnopeus on yhtä suuri kuin siihen vaikuttavien voimien summa f = d (mv) = ṁv + m v = m v = ma dt Liikemäärän momentin taseen periaate: Kappaleen liikemäärän momentin muutosnopeus on yhtä suuri kuin siihen vaikuttavien ulkoisten voimien aiheuttaminen momenttien summa m = l Lisäksi: energian taseen ja entropian kasvun periaatteet.
MEKANIIKAN AINEMALLIT Aina voi valita mahdollisimman yksinkertaisen mutta ongelmaan sopivan mallin Partikkeli: Yksittäinen ainepiste (ei rotaatiotakaan), helpoin ainemalli, hyvä prototyyppi mutta myös käyttökelpoinen joissain tapauksissa (esim. taivaanmekaniikka). Partikkelijoukko: Joukko partikkeleita. Kontinuumi: Jakautunut massa (ylinumeroituva joukko partikkeleita), voi muuttaa muotoaan (deformoitua) jolloin voidaan käyttää lujuuslaskelmissa (venymä/jännitys). Kappale: koko ajan samoista partikkeleista muodostuva systeemi. Jäykkä kappale: on kontinuumin erikoistapaus, jossa kappaleen pisteiden välinen etäisyys säilyy koko ajan vakiona, käyttökelpoinen kappaleen liikkeen kuvaukseen. Jäykkä kappale tällä kurssilla paljon käytössä.
MEKANIIKAN ONGELMIEN RATKAISU Malli: Koostuu rakennuspalikoista (jostain ainemallista) ja (usein tehtävää yksinkertaistavista) oletuksista (ei kitkaa, ei ilmanvastusta yms.). Yhtälöt: Saadaan aikaan eliminoimalla muuttujia tehtävän rajoitteiden yms. mukaisesti mahdollisimman helppo alku-/reunaarvotehtävä. Ratkaisu: Joskus analyyttinen ratkaisu mahdollinen yleensä tarvitaan numeerista ratkaisua. Lisäsuureet: Voidaan johtaa ratkaisusta (esim. heilurin jaksonaika). Mallinnus (väärät oletukset yms.) ja ratkaisuvirheet rajoittavat mallin todenmukaisuutta verrattuna oikeaan systeemiin. Dynamiikka II: alkuarvotehtävien muodostaminen riittää.
MALLIT JA MALLINTAMINEN 700 600 500 S, exp. S, exp. S, sim. S, sim. 700 600 500 S, exp. S, exp. S, sim. S, sim. S, S [N] 400 300 S, S [N] 400 300 200 200 100 100 0 0 20 40 60 80 100 120 140 δ [mm] (a) 0 0 20 40 60 80 100 120 140 δ [mm] Kokeissa ja simulaatioissa mitattu voima (Polojärvi & al., 2015). (b) 800 600 S, exp. S, exp. S, sim. S, sim. 800 600 S, exp. S, exp. S, sim. S, sim. S, S [N] 400 S, S [N] 400
MALLIT JA MALLINTAMINEN 1 0.5 0.4 0.9 0.8 0.7 y [m] 0.3 0.2 0.6 0.5 0.4 ˆσ 1 [-] 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 x [m] 0.3 0.2 Voimaketuja voiman kasvaessa (Polojärvi & al., 2015).
MALLIT JA MALLINTAMINEN 1 0.5 0.4 0.9 0.8 0.7 y [m] 0.3 0.2 0.6 0.5 0.4 ˆσ 1 [-] 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 x [m] 0.3 0.2 Voimaketuja voiman maksimissa (Polojärvi & al., 2015).
MALLIT JA MALLINTAMINEN 1 0.5 0.4 0.9 0.8 0.7 y [m] 0.3 0.2 0.6 0.5 0.4 ˆσ 1 [-] 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 x [m] 0.3 0.2 Voimaketuja voimapiikin jälkeen (Polojärvi & al., 2015).
MEKANIIKAN MALLIN RAKENNUSPALIKAT Kinematiikka = liikkeen tarkastelu huomioimatta liikkeen syytä. Kinetiikka = liikkeen ja sen syyn (voimien ja niiden momenttien) tarkastelu. Fysiikan perussuureet: asema r [m], massa m [kg], aika t [s]. Kinematiikan johdannaissuureet: nopeus v = dr/dt, kiihtyvyys a = dv/dt, liikemäärä, liikemäärän momentti jne. Kinetiikan suureet ja peruslait (aksioomat): voima f [N], liikemäärän tase, esim. f = ma. Matematiikan päättelysäännöt: vektori- ja matriisialgebra, vektorin derivointi, derivointisäännöt yms. Konstitutiiviset yhteydet: esim. f = k(l l 0) (yleensä materiaalille tai systeemille ominainen kinemaattisten ja kineettisten suureiden välinen yhteys). Kinetiikan aksioomat pätevät kappaleille (massaltaan suljettu systeemi).
MEKANIIKAN MALLIN RAKENNUSPALIKAT: ESIMERKKI Värähtelyn partikkelimalli: Fysiikan perussuureet: Kinematiikan johdannaissuureet: Kinetiikan suureet ja peruslait: Konstitutiiviset yhteydet: Päättelysäännöt:
DYNAMIIKKA II L1: MEKANIIKAN KOORDINAATISTOT 1 Arttu Polojärvi
OPPIMISTAVOITTEET Tämän luennon jälkeen opiskelija: Pystyy selittämään miksi dynamiikassa käytetään erilaisia koordinaatistoja ja hallitsee niihin liittyvät käsitteet. Osaa johtaa partikkelin nopeuden ja kiihtyvyyden esitykset derivoimalla partikkelin aseman esitystä napa- ja sylinterikoordinaatistossa. Osaa esittää kantavektoreiden muutosnopeudet tapauksissa, jossa koordinaatiston kanta ei ole vakio. Ymmärtää käsitteet aboluuttinen ja suhteellinen näkemys ja niiden merkityksen dynamiikassa.
MEKANIIKAN KOORDINAATISTOT YLEISESTI
KOORDINAATISTOT: KÄSITTEITÄ Koordinaatisto: Tarkastelukoordinaatisto ja sen kantavektorit voidaan valita usealla eri tavalla. Yleensä (täällä aina) kantavektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja yksikön mittaisia mutta eivät välttämättä vakioita (toisesta koordinaatistosta havainnoituna). Liiketila: Liikelaki f = ma pätee inertaalikoordinaatistossa (tai korkeintaan vakionopeuksellisessa koordinaatistossa). Suureen a muutosnopeus ȧ on sen absoluuttinen muutosnopeus inertiaalikoordinaatistosta havainnoituna. Kuvaustapa: Liikkeen kuvaustapa voidaan valita useilla eri tavoilla (esim. parametrikuvaus y(t), x(t) tai ratakuvaus y(x), x(t)) ja oikean tavan valinta voi lyhentää yhtälöitä.
KOORDINAATISTOT: INERTIAALIKOORDINAATISTO Mitkä koordinaatistoista A,B ja C ovat inertiaalikoordinaatistoja (vauhti v =vakio)? Mieti vaikkapa heittäväsi palloa suoraan ylöspäin eri tapauksissa tai sitä ovatko kantavektorit liikkeessä vakioita (suunta).
KOORDINAATISTOT: MUUTOSNOPEUDET Mekaniikan ongelmissa: muutosnopeus = inertaalikoordinaatistosta havaittu muutosnopeus. Absoluuttinen näkemys (havaitsija A) vs. suhteellinen näkemys (B).
KOORDINAATISTOT: MUUTOSNOPEUDET Mekaniikan ongelmissa: absoluuttinen aikaderivaatta = inertiaalikoordinaatistossa otettu Havaitsija ajattelee aina omien kantavektoreidensa olevan paikallaan (vakioita).
KOORDINAATISTOT: MUUTOSNOPEUDET Skalaarit ja vektorit ovat invariantteja koordinaatiston suhteen. Skalaarit: suuruus säilyy kaikissa kannoissa. Skalaarin aikaderivaatta: ei riipu kannasta (esim. massa ei riipu kannasta) ( ) ( ) da da = dt dt (tässä ja jatkossa derivaatta (d/dt) A on havaitsijan ottama A jne.) A Vektorit: voidaan aina kirjoittaa missä tahansa kannassa ja sen suunta ja suuruus säilyvät vaikkakin komponentit muuttuvat aina valitun kannan mukaan a = a X I + a Y J + a Z K = a x i + a y j + a z k Vektorin aikaderivaatta: voi riippua kannasta (tarkemmin: niiden liikkeestä) ( ) ( ) da da dt dt A Huomaa: vektorin komponenttien kertoimet (a X, a x,...) ovat skalaareita. Suhteellinen näkemys: helpottaa usein monimutkaisten systeemien tarkastelua. B B
KOORDINAATISTOT: MUUTOSNOPEUDET a = a XI + a Y J + a ZK = a xi + a yj + a zk ja ( ) da dt A ( da dt ) B
NAPA- JA SYLINTERIKOORDINAATISTO
NAPAKOORDINAATISTO Partikkelin P asema ilmaistuna sen origosta mitatun etäisyyden ja kulman funktiona. e ϕ r r ϕ O P e r Napakoordinaatit r = r(t) ja ϕ = ϕ(t): - r on etäisyys origosta O. - ϕ kulma valitusta suorasta. Kantavektorit: - e r koordinaatin r:n kasvusuuntaan. - e ϕ koordinaatin ϕ:n kasvusuuntaan. - e r ja e ϕ eivät ole vakiovektoreita. - e r e ϕ ja e r = e ϕ = 1. asema: nopeus: kiihtyvyys: r = re r v = ṙe r + r ϕe ϕ a = v = r = ( r r ϕ 2 )e r + (2ṙ ϕ + r ϕ)e ϕ Kerätään tarvittavat osat ja johdetaan nopeuden ja kiihtyvyyden lausekkeet.
NAPAKOORDINAATISTO Partikkelin P asema ilmaistuna sen origosta mitatun etäisyyden ja kulman funktiona. e ϕ e r r(t 1 ) P e ϕ r(t 1 ) O ϕ(t 1 ) O P r(t 2 ) ϕ(t r(t 2) 2) er Kuvassa partikkeli P liikkumassa radallaan ajanhetkillä t 1 ja t 2. Yleensä liikessä ϕ muuttuu jolloin e r ja e ϕ muuttavat suuntaansa. e r ja e ϕ eivät ole vakiovektoreita.
NAPAKOORDINAATISTO: MUUNNOSMATRIISI Tullaan tarvitsemaan kantavektoreiden e r ja e ϕ yhteyttä inertiaalikoordinaatistoon. j O e ϕ r r ϕ P e r i Kuvassa on esitetty karteesinen inertiaalikoordinaatisto, jolla on kantavektorit i ja j. Kuvan koordinaatistojen välillä pätevät yhteydet e ϕ e r = cos ϕi + sin ϕj e ϕ = sin ϕi + cos ϕj, jotka matriisimuodossa esitettynä ovat { } [ ] { } { } er cos ϕ sin ϕ i i = = L(ϕ). sin ϕ cos ϕ j j Tässä L(ϕ) on nk. muunnos- tai rotaatiomatriisi. Seuraavaksi kaksi tapaa johtaa nämä yhteydet
NAPAKOORDINAATISTO Eräs tapa johtaa edellinen yhteys on tarkastella tapauksen geometriaa: j d e ϕ c ϕ O ϕ a e r b i Siirrä e r e ϕ -kanta origoon ja jaa e r ja e ϕ vektoreiden i ja j suuntaisiin komponentteihin (kuvassa a, b, c ja d). Trigonometria antaa esimerkiksi cos ϕ = a e r ja sin ϕ = b e r josta muistaen että e r = 1, saadaan a = cos ϕ ja b = sin ϕ e r = cos ϕi + sin ϕj. Johda itse yhteys kantavektorille e ϕ. Muista: a = a a = a x a x + a y a y + a z a z
NAPAKOORDINAATISTO Toinen ja myös muille koordinaatistoille yleistyvä tapa: 1. r karteesisessa koordinaatistossa käyttäen koordinaatteja r ja ϕ r = r cos ϕi + r sin ϕj (ks. edellisen sivun kuva tätä varten ) 2. Derivoi vektoria r kunkin koordinaatin suhteen e r = dr dr = cos ϕi + sin ϕj ja e ϕ = dr = r( sin ϕi + cos ϕj) dϕ 3. Normalisoi vektorit e r ja e ϕ (tässä e r = 1 ja e ϕ = r) e r = e r e r = cos ϕi + sin ϕj e ϕ = e ϕ = sin ϕi + cos ϕj ja tuloksena ovat etsityt kantavektorit. e ϕ Yllä: e r = e r e r = sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 jne.
NAPAKOORDINAATISTO: NOPEUS Johdetaan partikkelin nopeuden esitys v = ṙe r + r ϕe ϕ : Aletaan derivoimaan paikan esitystä ajan suhteen v = ṙ = ṙe r + rė r (tulon derivaatta) sijoitetaan e r = cos ϕi + sin ϕj ja derivoidaan ė r = der dt = d dt (sin ϕ)i + d (cos ϕ)j dt koska di/dt = dj/dt = 0 (i ja j vakioita). Derivaatat (muista ϕ = ϕ(t)) d (sin ϕ) = ( cos ϕ) ϕ ja dt jossa on huomiotu e ϕ = sin ϕi + cos ϕj d (cos ϕ) = (sin ϕ) ϕ dt ė r = ϕ( sin ϕi + cos ϕj) = ϕe ϕ v = ṙ = ṙe r + r ϕ( sin ϕi + cos ϕj) = ṙe r + r ϕe ϕ.
NAPAKOORDINAATISTO Oikein derivoimalla on helppo välttää turhia virheitä, joten ennen kiihtyvyyttä Toistuvasti vastaan tulevan derivoinnin ketjusäännön mukaan Jos y = y(u) ja u = u(t) niin Edellähän meillä oli dy dt = dy du du dt. e r = cos ϕi + sin ϕj, jossa e r = e r (ϕ) ja ϕ = ϕ(t). ja i ja j ovat vakioita (di/dt = dj/dt = 0). Sijoittamalla derivoinnin ketjusääntöön ė r = de r dϕ dϕ dt = d dϕ (cos ϕi + sin ϕj) dϕ dt = ( sin ϕi + cos ϕj) ϕ = ϕe ϕ, jossa on taas huomioitu e ϕ :n lauseke.
NAPAKOORDINAATISTO: KIIHTYVYYS Johda itse seuraavaksi kiihtyvyyden esitys nopeudesta a = v = d (ṙe r + r dt ϕe ) ϕ =... = ( r r ϕ 2 )e r + (2ṙ ϕ + r ϕ)e ϕ. Tässä tarvitset derivaattoja ė r = ϕe ϕ ė ϕ = ϕe r, joista jälkimmäisen saat myös ratkaista itse.
KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET (OSA I) Huomataan vielä seuraava seikka alun yhteyksistä: Edellä saatiin napakoordinaatistossa yhteydet e r = cos ϕi + sin ϕj e ϕ = sin ϕi + cos ϕj, jotka ovat siis matriisimuodossa { } { } [ ] er i cos ϕ sin ϕ = L(ϕ), jossa L(ϕ) = j sin ϕ cos ϕ e ϕ Kerrotaan käänteismatriisilla L(ϕ) 1 (muistetaan L(ϕ) 1 L(ϕ) = I) { } { } [ ] i = L(ϕ) 1 er, jossa L(ϕ) 1 cos ϕ sin ϕ =. j e ϕ sin ϕ cos ϕ
KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET (OSA I) Yleisesti muutosnopeudet saadaan ratkaistua seuraavalla tavalla: 1. Muodosta relaatio ei-vakio -kannan ja inertiaalikannan välille: e α i i e α e β = L(ϕ) j j = L(ϕ) 1 e β k k e γ 2. Derivoi puolittain (tulon derivointi ja di/dt = dj/dt = dk/dt = 0): d e α i e β dt = L(ϕ) j k e γ 3. Palauta kanta halutuksi (eli jää jäljelle vain kysytyn kannan vektoreita): d e α e α e α e β dt = L(ϕ)L(ϕ) 1 e β = Ω(ϕ) e β, e γ jossa Ω(ϕ) = L(ϕ)L(ϕ) 1. e γ e γ e γ Tätä tullaan käyttämään paljon!
KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET (OSA I) Jos kanta on ortonormeerattu (kantavektorit kohtisuorassa ja pituus 1): L(ϕ) 1 = L(ϕ) T ts. matriisin transpoosi=sen käänteismatriisi Helpottava tieto: muunnosmatriiseja ei tarvitse oikeasti kääntää. Lisäksi det(l) = 1 rotaatiomatriiseille. Edeltä seuraa myös, että muutosnopeudet antava matriisi Ω(ϕ) = L(ϕ)L(ϕ) 1 on tällöin vinosymmetrinen (Ω ij = Ω ji). Tämä auttaa tarkistamaan tuloksia. Huomaa vielä, että tässä matriisin derivointi tehdään alkioittain dl 11 dl 12 L(ϕ) = d... dt L(ϕ) = dt dt dl 21 dl 22... dt dt jne.......
KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET (OSA I) Näytä, että napakoordinaatiston tapauksessa yhtälöstä { } { } { } d er er = Ω(ϕ) = L(ϕ)L(ϕ) 1 er dt e ϕ e ϕ e ϕ saadaan jo yllä esitetyt kantavektoreiden muutosnopeudet: ė r = ϕe ϕ ė ϕ = ϕe r.
ESIMERKKI: NAPAKOORDINAATISTO Oheisen kuvan mukaisessa systeemissä partikkelin P asema on napakoordinaatein ilmaistuna r(t) = b + c sin Ωt ja ϕ(t) = ωt jossa b, c, ω ja Ω ovat vakioita. Mitkä ovat partikkelin nopeuden ja kiihyvyyden lausekkeet? (EMS, Dynamiikka I, esim. 2.7)
SYLINTERIKOORDINAATISTO Asema: etäisyys valitusta (1) akselista ja (2) tasosta ja (3) kulma valitusta suorasta. e r e ϕ e z P z r r O ϕ Sylinterikoordinaatit r = r(t), ϕ = ϕ(t) ja z = z(t): - r on etäisyys valitusta akselista. - ϕ on kulma valitusta suorasta. - z on etäisyys valitusta tasosta. Kantavektorit e r,e ϕ ja e z: - Suunnat alaindeksin indikoiman koordinaatin kasvusuuntaan. - e r ja e ϕ eivät ole vakioita. - Kanta on ortonormeerattu. asema: nopeus: kiihtyvyys: r = re r + ze z v = ṙe r + r ϕe ϕ + że z a = v = r = ( r r ϕ 2 )e r + (2ṙ ϕ + r ϕ)e ϕ + ze z
SYLINTERIKOORDINAATISTO e r e ϕ e z P z r r O k ϕ i Kuvan koordinaatistojen välillä pätevät yhteydet e r = cos ϕi + sin ϕj e ϕ = sin ϕi + cos ϕj e z = zk. Matriisimuodossa nämä ovat e r cos ϕ sin ϕ 0 i e ϕ j = sin ϕ cos ϕ 0 j e z 0 0 1 k i = L(ϕ) j. k Nämä yhteydet johdetaan kuten edellä napakoordinaatiston tapauksessa.
SYLINTERIKOORDINAATISTO Kantavektoreiden muutosnopeudet saadaan taas yhteydestä ė r e r ė ϕ = L(ϕ)L(ϕ) 1 e ϕ = Ω(ϕ) ė z ė r ė ϕ ė z Huomataan taas että Ω ij = Ω ji. e z 0 ϕ 0 = ϕ 0 0 0 0 0 e r e ϕ e z e r e ϕ e z
ESIMERKKI: SYLINTERIKOORDINAATISTO Partikkelin P rata sylinterikoordinaatistossa voidaan esittää funktioiden r = R, ϕ = ωt ja z = v 0t avulla (ns. ruuviviiva). Mitkä ovat partikkelin aseman, nopeuden ja kiihtyvyyden esitykset? (EMS, Dynamiikka II, esim. 8.1) Mitkä ovat partikkelin aseman ja nopeuden esitykset karteesisessa koordinaatistossa?
KYSMYKSIÄ KURSSIN SUORITTAMISESTA 1. Oletko ollut suorittamassa kurssia ennen (milloin)? 2. Jos olet niin mitkä asiat koit vaikeiksi tai helpoiksi? 3. Mihin asioihin toivoisit kurssilla opetuksen painottuvan? 4. Onko sinulla MATLAB-käyttökokemusta? 5. Onko sinulla ehdotuksia perinteisen luento-opetuksen tilalle?